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北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

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【无理数】√2=1.414 √3=1.732 √5=2.236 √7=2.645 （熟记） 1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

（3）无理数与有理数的 和/差 结果都是无理数。

如：2-π是无理数 （4）无理数 乘/除以 一个不 为0的有理数结果是无理数。

如2π,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。

（填序号） （2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 拓展中考在线：1.下列各数中：－1,23,3.14,－π,3,0,2,27, 25,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1).其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________.在上面的有理数中，分数有____________，整数有______________.2.x 2=8，则x______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”）3.面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数．（填“是”或“不是”）4.一个高为2米，宽为1米的大门，对角线大约是______米（精确到0.01）.5.下列数中是无理数的是（ ）. A.0.12••32 B.2π C ．0 D ．722 6.下列说法中正确的是（ ）.A.不循环小数是无理数B.分数不是有理数C.有理数都是有限小数D.3.1415926是有理数 7.下列语句正确的是（ ）.A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数8.在直角△ABC 中，∠C=90°，AC=23，BC=2，则AB 为（ ）. A.整数 B.分数 C.无理数 D.不能确定 9.面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ）.A.小数B.分数C.无理数D.不能确定10.下列说法中，正确的是（ ）.A.数轴上的点表示的都是有理数B.无理数不能比较大小C.无理数没有倒数及相反数D.实数与数轴上的点是一一对应的 11.在()2-，38,0,9,0.010010001……，2π，－0.333…，5， 3.1415， 2.010101…(相邻两个1之间有1个0)中，无理数有（ ）. A.1个 B.2个 C .3个 D.4个 12.下列说法正确的是（ ）.A.有理数只是有限小数B.无理数是无限小数C.无限小数是无理数D.3π是无理数 13.下列说法错误的是 ( ).A.无理数的相反数还是无理数B.无限小数都是无理数C.正数、负数统称有理数D.实数与数轴上的点一一对应14.下列说法中：1、无理数就是开方开不尽的数；2、无理数是无限小数；3、无理数包括正无理数、零、负无理数；4、无理数可以用数轴上的点来表示．共有（ ）个是正确的． A.1 B.2 C.3 D.4 15.下列各数中，不是无理数的是（ ）.A.7B.0.5C.2πD. 0.151151115… 16.下列说法正确的是（ ）.A.有理数只是有限小数B.无理数是无限不循环小数C.无限小数是无理数D.带根号的数都是无理数 17.在实数：3.14159，，1.010010001…，，π，中，无理数的（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个18.下列实数中，无理数是（ ）. A.﹣B.πC.D.|﹣2|19.下列实数中是无理数的是( ). A.4 B. 83 C. 0π D. 220.边长为4的正方形的对角线的长是 （ ）.A.整数B.分数C.有理数D.不是有理数 21.已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数2；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有有限个.其中正确的结论是( ). A.①② B.②③ C.③④ D.②③④【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。

特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。

（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例：（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是 。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

（6）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。

求x － y 的值.平方根：1.定义：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根；，我们称x 是a 的平方（也叫二次方根），记做：)0(≥±=a a x2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们 相等或 互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根例（1）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （2）当x 时，x 23－有意义。

（3）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？3. 的性质与22)0()(a a a ≥（1）77)0()22=≥=）如：（a a a （2）||2a a =中，a 可以取任意实数。

如5|5|52== 3|3-|3-2==）（例：1.求下列各式的值（1）27 （2）27-）（ （3）249-）（2.已知1)12-=-a a （，那么a 的取值范围是 。

3.已知2＜x ＜3,化简=-+|3|)-22x x （ 。

【立方根】1.定义：一般地，如果以个数x 的立方等于a ，即x 3=a,那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）记为3a ，读作，3次根号a 。

如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。

2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。

立方根是它本身的数有0,1，-1. 例：（1）64的立方根是（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于 （3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。

其中正确的有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个平方根与立方根练习题一、填空题1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________；2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________．4. x ==则 ，若,x x =-=则 。

5．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 6．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义；7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 8．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________．9.若0|2|1=-++y x ，则x+y=； 10．若642=x ，则3x ＝＿＿＿＿.11．立方根是－8的数是＿＿＿，64的立方根是＿＿＿＿。

12．如果x 、y 满足|2|+++x y x =0，则x=，y=＿＿＿； 13、如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于 ； 14.若x 的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若3x =1，则x=＿＿＿二、选择题1. 若2x a =，则（ ） A.0x > B. 0x ≥ C. 0a > D. 0a ≥ 2．2)3(-的值是（ ）． A ．3- B ．3 C ．9- D ．9 3．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）A 、1 B 、9 C 、4 D 、54．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）．A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425+ D 、无法确定6. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ）A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤7. 若n 为正整数,则2 ）A ．-1 B.1 C.±1 D.21n +8. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）A.01a << B.0a > C. 1a < D. 1a >9、2008最接近的一个是（ ）A ．43；B 、44；C 、45；D 、46； 10．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是（ ）A 、n+1；B 、2n +1；CD 。

11. 以下四个命题①若a a a a 是自） Ａ．①④Ｂ．②③Ｃ．③Ｄ．④12. 当01a <<，下列关系式成立的是（ ）a >a >a a a <a >a >a <13. 下列说法中，正确的是（ ）Ａ．27的立方根是33=Ｂ．25-的算术平方根是5Ｃ．a 的三次立方根是a 14．下列命题中正确的是（ ）（1）0.027的立方根是0.3；（2）3a 不可能是负数；（3）如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0;(4)一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1. A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（4） D.（3）(4) 15. 下列各式中，不正确的是（ ）><5=-16．若a<0，则aa 22等于（） A 、21 B 、21- C 、±21 D 、017、化简(－3)2的结果是（ ） A.3 B.－3 C.±3 D ．918．已知正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ）A．S =a =C．a =．a S =±19、算术平方根等于它本身的数（ ）A 、不存在；B 、只有1个；C 、有2个；D 、有无数多个； 20、下列说法正确的是（ ）A ．a 的平方根是±a ；B ．a 的算术平方根是a ；C ．a 的算术立方根3a ；D ．-a 的立方根是－3a ． 21、满足-2＜x ＜3的整数x 共有（ ） A ．4个；B ．3个；C ．2个；D ．1个．()2b a +的22、如果a 、b 两数在数轴上的位置如图所示，则算术平方根是（ ）； A 、a+b ；B 、a-b ；C 、b-a ；D 、-a-b ；23、如果-()21x -有平方根，则x 的值是（ ） A 、x ≥1；B 、x ≤1；C 、x=1；D 、x ≥0； 24a 是正数，如果a 的值扩大100 ） A 、扩大100倍；B 、缩小100倍；C 、扩大10倍；D 、缩小10倍；三、解方程 1. 8)12(3-=-x 2．4(x+1)2=8 3. (2x+1)2 -16=0 4. (2x-5)3=-27四、解答题1.已知： 实数a 、b 满足条件0)2(12=-+-ab a2.已知一个正数的平方根是2a-1和a-5,求a 的值3.（1）若b=3-a +a -3+2,求b a的值。

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北师大版八年级上册数学第2章实数 第5节用计算器开方

北师大版八年级上册数学第2章实数 第5节用计算器开方


知2－练
课堂小结
用计算器开方
开方运算
开平方 工具 开立方
计算器
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后作业 作业2 补充: 请完成对应习题
知1－练
解： (1)依次按键 ■ 9 8 0 1 = S ⇔D， 显示 99. 所以 9 801=99.
(2)依次按键 ■ 1 1 = S ⇔D ， 显示 3.316 624 79. 所以 11≈3.32.
感悟新知
知识点 2 用计算器开立方
知2－讲
求一个数的立方根
(1)有 3 ■ 键的计算器，按键顺序为先按3 ■ 键，再按
感悟新知
知1－讲
特别提醒 用计算器求算术平方根或立方根时，计算器显
示的数值，许多都是近似值，要根据题目要求的精 确度确定结果.
感悟新知
例1 用计算器求下列各式的值： (1) 9 801； (2) 11 (结果精确到 0.0Байду номын сангаас ) .
知1－练
解题秘方：紧扣用计算器开平方的按键顺序进行 操作 .
感悟新知
数字键，最后按 = 键，显示结果； (2)有第二功能键的计算器，其按键顺序为先按 SHIFT键，
再按 ■ 键，然后按数字键，最后按 = 键，显示结果 .
感悟新知
知2－讲
特别提醒 不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用
计算器时，一定要按说明书操作 .
感悟新知
例2 用计算器求下列各数的立方根： (1) 64； (2) 100 (结果精确到 0.01 ) ； (3) － 13.27 (结果精确到 0.001 ) .
第二章
实数
2.5 用计算器开方
学习目标
1 课时讲解 用计算器开平方
北师大版八年级上第2章《实数》练习题及答案解析

北师大版八年级上第2章《实数》练习题及答案解析

第二章实数2.1认识无理数专题无理数近似值的确定1. 设面积为3的正方形的边长为x，那么关于x的说法正确的是（）A．x是有理数B．x取0和1之间的实数C．x不存在 D．x取1和2之间的实数2．（1）如图1，小明想剪一块面积为25cm2的正方形纸板，你能帮他求出正方形纸板的边长吗？（2）若小明想将两块边长都为3cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，你能帮他求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间．3.你能估测一下我们教室的长、宽、高各是多少米吗？你能估测或实际测量一下数学课本的长、宽和厚度吗？请你再估算一下我们的教室能放下多少本数学书？这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用呢？请你对每一个问题给出估测的数据，再把估算的过程结果一一写出来．答案：1．D 【解析】 ∵面积为3的正方形的边长为x ，∴x 2=3，而12=1，22=4，∴1＜x 2＜4，∴1＜x ＜2，故选D. 2．解：（1）边长为5cm.（2）设大正方形的边长为x ，∵大正方形的面积=32+32=18，而42=16，52=25，∴16＜x 2＜25，∴4＜x ＜5,故正方形的边长不是整数,它的值在4和5之间.3．解：估算的过程：教室的长、宽、高可以用我们的身高估计出来；数学课本的长、宽和厚度可以用我们的手指估计出来，也可以用直尺测量出来；我们用长宽高相乘估计出教室的容积与课本的体积相除算出能放下多少本数学书，就是能供多少名学生使用，再用本班人数乘一年级班数估计本校一年级人数，然后相处就可以估计出这些数学书可供多少所像我们这样的学校的初一年级学生使用了．估测的数据、估算的结果略.2.2平方根专题一 非负数问题1. 若2(2)a +与1+b 互为相反数，则a b -的值为（ ）A ．2B ．21+C ．21-D ．12-2． 设a ，b ，c 都是实数，且满足（2-a ）2+2a b c +++|c+8|=0，ax 2+bx+c=0，求式子x 2+2x 的算术平方根．3. 若实数x ，y ，z x 1y -2z -= 14(x+y+z+9)，求xyz 的值．专题二 探究题 4. 研究下列算式，你会发现有什么规律？131⨯+=4 =2；241⨯+=9=3；351⨯+=16=4；461⨯+=25=5；…请你找出规律，并用公式表示出来．5.先观察下列等式，再回答下列问题： ①2211112++=1+ 11111-+- =112；②2211123++ =1+ 11221-+=116； ③2211134++=1+ 11331-+=1112． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想2211145++的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式（n 为正整数）．答案：1．D 【解析】 ∵2(2)a +与|b+1|互为相反数，∴2(2)a ++|b+1|=0， ∴2+a =0且b+1=0， ∴a=2，b=﹣1，a b -=12-，故选D.2．解：由题意，得2-a=0，a 2+b+c=0，c+8=0． ∴a=2，c=-8，b=4． ∴2x 2+4x-8=0． ∴x 2+2x=4．∴式子x 2+2x 的算术平方根为2．3．解：将题中等式移项并将等号两边同乘以4得x-4x +y-41y -+z-42z -+9=0，∴(x-4x +4)+(y-1-41y -+4)+(z-2-42z -+4)=0, ∴(x-2)2+(1y --2)2+(2z --2)2=0,∴x-2=0且1y --2=0且2z --2=0, ∴x=21y -=2 2z -=2,∴x=4,y-1=4 ,z-2=4,∴x=4,y=5,z=6.∴xyz=120．4.解：第n 项a n =(2)1n n ++=2(1)n +=n+1，即a n =n+1． 5.解：（1）2211145++=1+ 11441-+=1120． 验证：2211145++=1111625++=25161400400++=441400=1120． （2）22111(1)n n +++=1+111n n -+=1+1(1)n n +（n 为正整数）．2.3立方根专题 立方根探究性问题1. （1）填表：a 0.000001 0.001 1 1000 10000003a（2）由上表你发现了什么规律（请你用语言叙述出来）；（3）根据发现的规律填空：①已知33=1.442，则33000=_____________；②已知30.000456=0.07696，则3456=_____________．2．观察下列各式：（1）223=223；（2）338=338；（3）4415=4415．探究1：判断上面各式是否成立．（1）________；（2）________；（3）________ .探究2：猜想5524= ________ ．探究3：用含有n的式子将规律表示出来，说明n的取值范围，并用数学知识说明你所写式子的正确性．拓展:3227=2327，33326=33326，34463=43463,…根据观察上面各式的结构特点，归纳一个猜想，并验证你的猜想．答案：1.解：（1）直接开立方依次填入：0.01；0.1；1；10；100．（2）从表中发现被开方数小数点向右移动三位，立方根向右移动一位．（3）①14.42 ②7.6962.解：探究1：（1）成立 （2）成立 （3）成立 探究2：5524探究3：21n nn -=21nn n -（n≥2,且n 为整数）．理由如下： 21n n n -=321n n n n -+-=221n n n ⨯-=21n n n -. 拓展：331n nn -=331n n n -．理由如下： 331n n n -=4331n n n n -+-=3331n n n ⨯-=331n n n -.2.4估算专题 比较无理数大小1. 设a=1003+997，b=1001+999，c=21001，则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a2. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题：(2+1)(2-1)=1，(3+2 )(3- 2)=1，(4+3)(4-3)=1，(5+4)(5-4)=1…（1）观察上面的规律，计算下列式子的值． (121++132++143++…+ 120132012+)•( 2013+1).（2）利用上面的规律，试比较1211-与1312-的大小．3. 先填写下表，通过观察后再回答问题．问：（1）被开方数a 的小数点位置移动和它的算术平方根a 的小数点位置移动有无规律？ 若有规律，请写出它的移动规律；（2）已知：a =1800，- 3.24 =-1.8，你能求出a 的值吗？（3）试比较a 与a 的大小．答案：1． D 【解析】 ∵a 2=2000+21003997⨯，b 2=2000+21001999⨯，c 2=4004=2000+2×1002，1003×997=1 000 000-9=999 991，1001×999=1 000 000-1=999 999，10022=1 004 004． ∴c ＞b ＞a ．故选D ．2．解：（1）由上面的解题规律可直接写出111n n n n=+-++，则(121++132++143++…+ 120132012+)•( 2013+1) =[(2-1)+ (3- 2)+(4-3)+…+(2013-2012)](2013+1) =( 2013-1) ( 2013+1) =.（2）∵11211-=1211+，11312-=1312+,又1211+＜1312+，∴11211-＜11312-， ∴1211-＞1312-.3．解：依次填:0.001，0.01，0.1，1，10，100，1000． （1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，算术平方根的小数点向左（或向右）移动1位.（2）观察1.8和1800，小数点向右移动了3位，则a 的值为3.24的小数点向右移动6位,即a=3240000； （3）当0＜a ＜1时，a ＞a ；当a=1或0时，a =a ；当a ＞1时，a ＜a ．2.6实数专题 实数与数轴1.如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是（ ） A ．2 B ．22 C ．12 D ．122.如图所示，直线L 表示地图上的一条直线型公路，其中A 、B 两点分别表示公路上第140公里处及第157公里处．若将直尺放在此地图上，使得刻度15，18的位置分别对准A ，B 两点，则此时刻度0的位置对准地图上公路的第（ ）公里处 A ．17 B ．55 C ．72 D ．853. 一个等腰直角三角形三角板沿着数轴正方向向前滚动，起始位置如图，顶点C 和A 在数轴上的位置表示的实数为-1和1．那么当顶点C 下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是___________．4. 如图，已知A 、B 、C 三点分别对应数轴上的数a 、b 、c ．（1）化简：|a-b|+|c-b|+|c-a|； （2）若a=4x y ，b=-z 2，c=-4mn ．且满足x 与y 互为相反数，z 是绝对值最小的负整数，m 、n 互为倒数，试求98a+99b+100c 的值；（3）在（2）的条件下，在数轴上找一点D ，满足D 点表示的整数d 到点A ，C 的距离之和为10，并求出所有这些整数的和．答案：1．B 【解析】由勾股定理得：正方形的对角线为2，设点A表示的数为x，则2-x=2，解得x=2-2．故选B．2．B 【解析】根据题意，数轴上刻度15，18的位置分别对准A，B两点，而AB两点间距离157-140=17（公里），即数轴上的3个刻度对应实际17公里的距离.又有数轴上刻度0与15之间有15个刻度，故刻度0的位置对准地图上公路的位置距A点有15×173=85(公里), 140-85=55,故刻度0的位置对准地图上公路的55公里处.故选B．3．3+22【解析】在直角△ABC中，AC=CB=2，根据勾股定理可以得到AB=22，则当顶点C下一次落在数轴上时，所在的位置表示的实数是4+22-1=3+22．故答案为：3+22．4．解：（1）由数轴可知：a-b＞0，c-b＜0，c-a＜0，所以原式=（a-b）-（c-b）-（c-a）=a-b-c+b-c+a=2a-2c.（2）由题意可知：x+y=0，z=-1，mn=1，所以a=0，b=-（-1）2=-1，c=-4，∴98a+99b+100c=-99-400=-499.（3）满足条件的D点表示的整数为-7、3，它们的和为-4．2.7二次根式专题一 与二次根式有关的规律探究题1.将1、2、3、6按如图所示的方式排列.若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数之积是（ ）A.1B.2C. 23D.6 2. 观察下列各式及其验证过程：322322=+，验证：228222223333⨯+===． 333388+=，验证：2327333338888⨯+===．（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想1544+的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证；（3）针对三次根式及n 次根式（n 为任意自然数，且2n ≥）,有无上述类似的变形，如果有，写出用a （a 为任意自然数，且2a ≥）表示的等式，并给出验证．3. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=221）（+，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b 2=22）（n m +（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）,则有a+b 2=m 2+2n 2+2mn 2, ∴a=m 2+2n 2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b 2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b 3=2)3(n m +,用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a = ，b = ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： + 3 =（ ＋ 3）2；（3）若a +43=2)3(n m +，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值.专题二 利用二次根式的性质将代数式化简 4. 化简二次根式22a aa 的结果是（ ） A.2a B.2a C. 2a D.2a5.如图，实数a ．b 在数轴上的位置， 化简：222)(b a b a -+-．答案：1.D 【解析】 从图示中知道，（4，2）所表示的数是6.∵前20排共有1+2+3+4+…+20=210个数，∴（21，2）表示的是第210+2=212个数.∵这些数字按照1、2、3、6的顺序循环出现，212÷4=53，∴（21，2）表示的数是6.∴（4，2）与（21，2）表示的两数之积是666⨯=.2.解：（1）44441515+=．验证：24644444415151515⨯+===． （2）2211a a a a a a +=--（a 为任意自然数，且2a ≥）． 验证：3322221111a a a a a aa aa a a a -++===----． （3）333311-=-+a a a a a a （a 为任意自然数，且2a ≥）． 验证：33334433331111aa a aa aa aa a a a -++===----． 11nnn na aa a a a +=--（a 为任意自然数，且2a ≥）． 验证：n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a 111111-=-=-+-=-+++. 3. 解：(1)223n m + 2mn (2)21 12 3 2(3) ∵223n m a +=,4=2mn, ∴mn=2. ∵ m,n 为正整数，∴m=1,n=2或m=2,n=1, ∴a=13或a=7.4.B 【解析】若二次根式有意义，则22a a+-≥0，-a-2≥0，解得a≤-2，∴原式=2a a a=2a ．故选B ．5.解：由图知，a ＜0，b ＞0，∴a ﹣b ＜0，∴222)(b a b a -+-=|a |﹣|b |+|a ﹣b |=（﹣a ）﹣b +（b ﹣a ）=﹣2a ．。

北师大版八年级上册第二章 实数重难点专题

北师大版八年级上册第二章 实数重难点专题

2019-2020八年级实数重难点专题（含答案）一、单选题1．如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简的结果是（）A．﹣5 B．1 C．13 D．19﹣4k2．实数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则等于A．B．C．D．3．已知y=﹣+3，则的值为（）A．2B．3C．12 D．184．已知m=1+2，n=1-2，则代数式22m n-3mn+的值为( )A．9 B．±3 C．3 D．55．把根号外的因式移入根号内得()A．B．C．-D．-6．若32a3a+＝﹣a3a+，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a≤0B．a≤0C．a＜0 D．a≥﹣37．使代数式34xx--有意义的自变量x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3且x≠4 C．x≥3且x≠4 D．x＞38．下列各式①; ②; ③; ④;⑤; ⑥,其中一定是二次根式的有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．已知35a =+，35b =-，则代数式22a ab b -+的值是（ ）A ．24B ．±26C ．26D ．2510．如图，a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简22()a a c c b -++-的结果是（）A ．2c ﹣bB ．﹣bC ．bD ．﹣2a ﹣b11．若 ，则实数 满足的条件是（）A ．B ．C ．x<2D ．x≤212．若x < 0，则 的结果是（ ）A ．0B ．－2C ．0或－2D ．213．若75n 是整数，则正整数n 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．514．化简二次根式 的结果为( )A ．﹣2aB ．2aC ．2aD ．﹣2a15．如果 ，那么（ ）A ．B ．C ．D ．x 为一切实数16．已知（4+ ）•a=b ，若b 是整数，则a 的值可能是（ ）A ．B ．4+C ．4﹣D ．2﹣17．阅读下面问题：；．试求：（1）的值；（2）（为正整数）的值．（3）的值．18．计算：（1）+﹣（2）2÷5（3）（+3﹣）÷（4）（2﹣3）2﹣（4+3）（4﹣3）19．先化简再求值：（x+y）2﹣x（x+y），其中x=2，y=﹣1．20．已知，求的值.三、填空题21．若0a<，则2a=__________．22．在函数11y x =-中，自变量x 的取值范围是______． 23．化简 ___________．24．如图，数轴上点A 表示的数为a ，化简：a 244a a +-+=_____．25．已知实数 ， 互为倒数，其中 ，则 值为__________．26．若式子 有意义，则x 的取值范围是__．27．若x ，y 为实数，y ＝，则4y ﹣3x 的平方根是____．28．观察下列运算过程：……请运用上面的运算方法计算：=_____．29．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则()()()222a b c b c a b c a +-+--++-=_________. 30．化简 - 的结果是________； 的相反数是________； 的绝对值是_________.31．若 是整数，则满足条件的最小正整数 为________．32．计算29(0,0)b a a b a>…的结果是__．33．已知＋＝y＋3，则y x的平方根为___．34．与的关系是____________。

八年级数学上册第2章实数特色题型专练二新版北师大版

八年级数学上册第2章实数特色题型专练二新版北师大版

− ) －｜ a ＋ b ｜＋
.
解：由数轴可得 b ＜ a ＜0＜ c ，则 c － a ＞0， a ＋ b ＜0，
原式＝ c － a －[－( a ＋ b )]＋ b ＝ c － a ＋ a ＋ b ＋ b ＝2 b ＋ c .
1
2
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8
题型4 二次根式的运算
8. 【新考法 阅读类比法】小明在解决问题：已知 a ＝

，求2 a2－8 a ＋1的值时，他是这样分析与解答的：
+

−
因为 a ＝
＝
＝2－
+
(+ )(− )
，
所以 a －2＝－ .
所以( a －2)2＝3，即 a2－4 a ＋4＝3.
所以 a2－4 a ＝－1.
所以2 a2－8 a ＋1＝2( a2－4 a )＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
第二章
实数
陕西特色题型专练二
题型1 算术平方根、平方根、立方根
1. [2024西安新城区期中]已知2 a －1的一个平方根是3， b －
1的立方根是－2，求 a － b 的平方根.
解： 因为2 a －1的一个平方根是3， b －1的立方根是－2，所
以2 a －1＝9， b －1＝－8，解得 a ＝5， b ＝－7.所以 a － b
( −)( +)
＝ ＋2，
所以 a －2＝ .所以( a －2)2＝5，即 a2－4 a ＋4＝5.
所以 a2－4 a ＝1.所以2 a2－8 a ＋1＝2( a2－4 a )＋1＝3.
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