集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈ ；不属于，记为?.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或 N ＋表示正整数集， N 表示自然数集，Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A? B(或 B? A)．(2)真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，但集合 B 中至少有一个元素不属于A，则称A 是B 的真子集，记作 A B 或 B A.A? B，既要说明 A 中任何一个元素都属于B，也要说明 B 中存在一个元素不A B?A≠ B.属于 A.(3)集合相等：如果 A? B，并且 B? A，则 A＝ B.A? B，A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性， B 中任意一两集合相等： A＝ B?A? B.个元素也符合 A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集．记作 ?.?∈ { ?} ，?? { ?} ， 0??， 0?{ ?},0 ∈ {0} ，?? {0} ．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 交集，记作A∩ B，即 A∩ B＝ { x|x∈ A，且 x∈ B} ．(2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 并集，记作A∪ B，即 A∪ B＝ { x|x∈ A，或 x∈ B} ．(3)补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作?U A，即 ?U A＝ { x|x∈ U，且 x?A} ．求集合 A 的补集的前提是“ A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集中取出集合 A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A.的的U二、常用结论(1)子集的性质：A? A， ?? A， A∩ B? A， A∩B? B.(2)交集的性质：A∩A＝ A， A∩?＝ ?， A∩ B＝B∩ A.(3)并集的性质：A∪B＝ B∪ A，A∪ B? A， A∪ B? B， A∪ A＝ A， A∪ ?＝ ?∪A＝ A.(4)补集的性质：A∪?U A＝U， A∩ ?U A＝ ?，?U(?U A)＝ A， ?A A＝ ?， ?A?＝ A.(5)含有 n 个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－ 1 个真子集， 2n－ 1 个非空子集．(6)等价关系： A∩ B＝ A? A? B； A∪ B＝ A? A? B.考点一集合的基本概念[典例 ] (1)(2017全·国卷Ⅲ )已知集合 A＝ {( x，y)|x2＋ y2＝ 1} ，B＝ {( x，y)|y＝ x} ，则 A∩ B 中元素的个数为 ()A ． 3B． 2C．1D． 0b2 2 019 2 019(2)已知 a， b∈ R，若 a，a， 1＝{ a， a＋ b,0} ，则 a＋b的值为 ()A ． 1B． 0C．－ 1D．±1[解析 ] (1)因为 A 表示圆 x2＋y2＝1上的点的集合， B 表示直线 y＝ x 上的点的集合，直线 y＝ x 与圆 x2＋ y2＝1 有两个交点，所以A∩ B 中元素的个数为 2.b＝ 0，所以 b＝ 0，于是 a2＝1，即 a＝ 1 或 a＝－ 1.又根据集合中(2)由已知得 a≠ 0，则a元素的互异性可知a＝ 1 应舍去，因此 a＝－ 1，故 a2 019＋ b2 019＝ (－ 1)2 019＋ 02 019＝－ 1.[答案 ] (1)B(2)C[ 提醒 ]集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练 ]1．设集合 A ＝{0,1,2,3} ，B ＝ { x|－ x ∈ A,1－ x?A} ，则集合 B 中元素的个数为 ()A ． 1B ． 2C ．3D ． 4解析： 选 A若 x ∈ B ，则－ x ∈ A ，故 x 只可能是 0，－ 1，－ 2，－ 3，当 0∈B 时， 1－0＝ 1∈ A ；当－ 1∈ B 时， 1－ (－ 1)＝ 2∈A ；当－ 2∈ B 时， 1－ (－ 2)＝ 3∈A ；当－ 3∈B 时， 1 －( －3) ＝4?A ，所以 B ＝ { － 3} ，故集合 B 中元素的个数为 1.2．若集合 A ＝{ x ∈ R|ax 2－ 3x ＋ 2＝ 0} 中只有一个元素，则 a 等于 ()9 9 A. 2B.89C ．0D ． 0 或8解析：选 D若集合 A 中只有一个元素， 则方程 ax 2－ 3x ＋ 2＝0 只有一个实根或有两个相等实根．当 a ＝0 时， x ＝ 2，符合题意．329当 a ≠0 时，由 ＝ (－ 3) － 8a ＝ 0，得 a ＝ 8，所以 a 的值为90 或 .83.（ 2018·厦门模拟 ）已知 P={ x|2<x<k,x ∈N}, 若集合 P 中恰有 3 个元素，则 k 的取值范围为.解析： 因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P=｛ 3， 4，5｝，故 k 的取值范围为 5<k ≤6.答案：（ 5， 6］考点二 集合间的基本关系[典例 ](1)已知集合 A ＝ { x|x 2－ 3x ＋ 2＝ 0，x ∈ R} ， B ＝ { x|0<x<5， x ∈ N} ，则 ()A ． B? AB ． A ＝ BC ．ABD ． B A(2)(2019 湖·北八校联考 )已知集合 A ＝ * 2－ 3x<0} ，则满足条件 B? A 的集合 B 的{ x ∈ N |x 个数为 ()A ． 2B ． 3C ．4D ． 8(3)已知集合 A ＝ { x|－ 1<x<3} ，B ＝ { x|－ m<x<m} ，若 B? A ，则 m 的取值范围为 ________．[解析 ](1)由 x 2－ 3x ＋ 2＝0 得 x ＝ 1 或 x ＝ 2，∴ A ＝ {1,2} ．由题意知 B ＝ {1,2,3,4} ，比较 A ， B 中的元素可知 A B ，故选 C.* 2*＝ {1,2}，又 B? A，∴满足条件 B? A 的集合(2)∵ A＝ { x∈ N |x－ 3x<0} ＝ { x∈ N |0<x<3}B 的个数为22＝ 4，故选 C.(3)当 m≤0 时， B＝ ?，显然 B? A.当m>0 时，因为 A＝ { x|－ 1<x<3} ．若 B? A，在数轴上标出两集合，如图，所以－m≥－1，m≤ 3，所以0<m≤1.－ m<m.综上所述， m 的取值范围为(－∞， 1]．[答案 ](1)C (2)C(3)( －∞， 1][变透练清 ](变条件 )若本例 (2)中 A 不变， C＝ { x|0<x<5 ， x∈ N} ，则满足条件A? B? C 的集合 B 1.的个数为 ()A ． 1B． 2C．3D． 4解析：选 D因为 A＝ {1,2} ，由题意知 C＝{1,2,3,4} ，所以满足条件的 B 可为 {1,2} ，{1,2,3} ，{1,2,4} ， {1,2,3,4} ．(变条件 )若本例 (3)中，把条件“ B? A”变为“ A? B”，其他条件不变，则m 的取值2.范围为 ________．解析：若 A? B，由－ m≤ － 1，得 m≥ 3，m≥3∴m 的取值范围为 [3，＋∞ )．答案： [3，＋∞ )3．已知集合A＝ {1,2} ， B＝ { x|x2＋ mx＋ 1＝ 0， x∈ R} ，若 B? A，则实数m 的取值范围为________．解析：①若 B＝ ?，则＝m2－4<0，解得－2<m<2；②若 1∈ B，则 12＋ m＋1＝ 0，解得 m＝－ 2，此时 B＝ {1} ，符合题意；2③若 2∈ B，则 2 ＋ 2m＋ 1＝ 0，解得 m＝－5，此时 B＝ 2，1，不合题意．22综上所述，实数m 的取值范围为 [－ 2,2)．答案： [－ 2,2)考点三集合的基本运算考法 (一 )集合的运算[典例 ](1)(2018天·津高考 )设集合A＝ {1,2,3,4} ， B＝ { － 1,0,2,3} ， C＝ { x∈ R|－ 1≤ x＜2} ，则 (A∪ B)∩ C＝ ()A ． { － 1,1}B． {0,1}C．{ － 1,0,1}D． {2,3,4}(2)已知全集 U＝ R，集合 A＝ { x|x2－ 3x－4>0} ， B＝ { x|－ 2≤ x≤2} ，则如图所示阴影部分所表示的集合为 ()A ． { x|－ 2≤x<4}B．{ x|x≤ 2 或 x≥ 4}C．{ x|－ 2≤ x≤－ 1}D． { x|－ 1≤x≤ 2}[解析 ](1)∵ A＝{1,2,3,4} ， B＝ { －1,0,2,3} ，∴A∪B＝{ －1,0,1,2,3,4} ．又C＝{ x∈R|－ 1≤x＜2} ，∴(A∪B)∩ C＝ { － 1,0,1} ．(2)依题意得 A＝ { x|x<－ 1 或 x>4} ，因此 ?R A＝ { x|－ 1≤ x≤ 4} ，题中的阴影部分所表示的集合为(?R A)∩ B＝ { x|－ 1≤ x≤ 2} ．[答案 ](1)C(2)D考法 (二 )根据集合运算结果求参数[典例 ](1)已知集合 A＝ { x|x2－x－ 12>0} ， B＝ { x|x≥ m} ．若 A∩ B＝ { x|x>4} ，则实数 m 的取值范围是 ()A ． (－ 4,3)B． [－ 3,4]C．( －3,4)D． (－∞， 4](2)(2019河·南名校联盟联考 )已知 A＝{1,2,3,4} ，B＝ { a＋ 1,2a} ，若 A∩ B＝ {4} ，则 a＝()A ． 3B． 2C．2 或3D． 3 或 1[解析 ](1)集合 A＝ { x|x<－3或 x>4} ，∵ A∩ B＝{ x|x>4} ，∴－ 3≤m≤ 4，故选 B.(2)∵ A∩ B＝ {4} ，∴ a＋ 1＝4或 2a＝4.若 a＋1＝ 4，则 a＝ 3，此时 B＝ {4,6} ，符合题意；若 2a＝ 4，则 a＝ 2，此时 B＝ {3,4} ，不符合题意．综上，a＝ 3，故选 A.[答案 ] (1)B(2)A[ 题组训练 ]1．已知集合A ． {1}C ．{0,1,2,3}解析： 选 CA ＝ {1,2,3}因为集合 ， B ＝ { x|(x ＋ 1)(x － 2)<0 ， x ∈ Z} ，则B ． {1,2}D ． { －1,0,1,2,3}B ＝ { x|－ 1<x<2， x ∈Z} ＝{0,1} ，而 A ∪ B ＝ ()A ＝ {1,2,3} ，所以 A ∪B ＝{0,1,2,3} ．2． (2019 ·庆六校联考重 )已知集合 A ＝{ x|2x 2＋ x － 1≤0} ， B ＝ { x|lg x<2} ，则 (?R A) ∩B ＝()1， 1001， 2A. 2B. 2 1， 100D ． ?C. 2解析： 选 A由题意得 A ＝ － 1，1， B ＝ (0,100)，则 ?R A ＝ (－ ∞ ，－ 1)∪1，＋ ∞ ，2 2 所以 (?R A)∩ B ＝1， 100 .213．(2019 合·肥质量检测 )已知集合 A ＝ [1，＋∞ )，B ＝ x ∈ R 2a ≤ x ≤2a － 1 ，若 A ∩ B ≠?，则实数 a 的取值范围是 ()1A ． [1，＋∞ )B. 2， 1 2，＋∞D ． (1，＋∞ )C. 3解析： 选 A因为 A ∩ B ≠?，1a ， 解得 a ≥ 1.所以 2a － 1≥1，a － 1≥2[ 课时跟踪检测 ]1．(2019 ·州质量检测福 )已知集合 A ＝ { x|x ＝ 2k ＋ 1，k ∈ Z} ，B ＝ { x|－ 1<x ≤ 4} ，则集合 A ∩ B中元素的个数为 ()A ． 1B ． 2C ．3D ． 4解析： 选 B依题意，集合 A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝ {1,3} ，所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U＝ {1,2,3,4,5,6} ， A＝ {1,3,5} ， B＝ {3,4,5} ，则 ?U(A∪ B)＝ ()A ． {2,6}C．{1,3,4,5}解析：选 A因为A＝ {1,3,5}B． {3,6}D． {1,2,4,6}，B＝ {3,4,5} ，所以 A∪ B＝ {1,3,4,5}．又U＝ {1,2,3,4,5,6}，所以 ?U (A∪ B)＝ {2,6} ．3．(2018 ·津高考天 )设全集为R，集合 A ＝ { x|0＜ x＜ 2} ，B＝ { x|x≥1} ，则 A∩ (?R B)＝ ()A ． { x|0＜ x≤1}B． { x|0＜x＜ 1}C．{ x|1≤ x＜ 2}D． { x|0＜x＜ 2}解析：选B∵全集为R， B＝ { x|x≥ 1} ，∴?R B＝ { x|x＜ 1} ．∵集合 A＝ { x|0＜ x＜ 2} ，∴A∩ (?R B)＝ { x|0＜ x＜ 1} ．4．(2018 ·宁毕业班摸底南)设集合 M＝ { x|x<4} ，集合 N＝ { x|x2－ 2x<0} ，则下列关系中正确的是()A ． M∩ N＝ MC．N∪ (?R M)＝ R解析：选 D由题意可得，B． M∪ (?R N)＝ MD． M∪ N＝ MN＝ (0,2)， M＝ (－∞，4)，所以M∪ N＝M.5．设集合 A＝ x 1≤ 2x< 2， B＝ { x|ln x≤ 0} ，则 A∩B 为 () 2A.0，1B． [－ 1,0) 21， 1D． [－ 1,1]C. 21x－ 1x1112，∴A＝ x－ 1≤ x<.∵ln x≤0，解析：选 A ∵≤ 2 < 2，即 2 ≤<2 2，∴－ 1≤ x<222即 ln x≤ ln 1，∴ 0<x≤1，∴ B＝ { x|0<x≤1} ，∴ A∩ B＝ x0<x<1. 26． (2019 郑·州质量测试 )设集合 A＝ { x|1<x<2} ，B＝ { x|x<a} ，若 A∩B＝ A，则 a 的取值范围是 ()A ． (－∞， 2]B． (－∞， 1]C．[1，＋∞ )D． [2，＋∞ )解析：选 D 由 A∩B＝ A，可得 A? B，又因为 A＝ { x|1<x<2} ，B＝ { x|x<a} ，所以 a≥ 2.7．已知全集 U＝ A∪B 中有 m 个元素，(?U A?U B个元素．若 A∩ B 非空，则)∪ ()中有nA∩ B 的元素个数为 ()A ． mn B． m＋nC ．n － mD ． m － n解析： 选 D( )中有 n个元素，如图中阴影部分所示， 因为 (?U A )∪ ?U B又 U ＝ A ∪ B 中有 m 个元素，故 A ∩B 中有 m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A ＝ x x ＝m， m ∈A ， n ∈B ，已知集合A ＝ {2,4,6} ，B ＝Bnx x ＝ k－1， k ∈ A，则集合 B∪ B 中的元素个数为 ()2AA ． 6B ． 7C ．8D ． 9解 析 ： 选 B由 题 意 知 ， B ＝ {0,1,2} ， B ＝0， 1， 1，1， 1，1， 则 B∪ B ＝A 2 4 63A1 1 1 10， 2， 4， 6， 1，3， 2 ，共有 7 个元素．9．设集合 A ＝{ x|x 2－ x － 2≤ 0} ， B ＝ { x|x<1，且 x ∈ Z} ，则 A ∩ B ＝ ________.解析： 依题意得 A ＝ { x|(x ＋ 1)(x － 2)≤ 0} ＝ { x|－ 1≤ x ≤ 2} ，因此A ∩B ＝{ x|－ 1≤x<1， x∈ Z } ＝ { －1,0} ．答案： { － 1,0}10．已知集合 U ＝ R ，集合 A ＝ [－ 5,2]， B ＝ (1,4) ，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析： ∵ A ＝ [－ 5,2]，B ＝ (1,4) ，∴ ?U B ＝ { x|x ≤1 或 x ≥ 4} ，则题图中阴影部分所表示的集合为 (?U B)∩A ＝ { x|－ 5≤ x ≤ 1} ．答案 ： { x|－ 5≤x ≤ 1}11．若集合 A ＝{( x ， y)|y ＝ 3x 2－ 3x ＋ 1} ，B ＝ {( x ， y)|y ＝ x} ，则集合 A ∩ B 中的元素个数为 ________．解析： 法一： 由集合的意义可知， A ∩ B 表示曲线 y ＝ 3x 2－ 3x ＋ 1 与直线 y ＝ x 的交点构成的集合．1y ＝ 3x 2－ 3x ＋ 1， x ＝3，x ＝ 1， 联立得方程组解得或y ＝ x ，1 y ＝ 1，y ＝31 1故 A ∩ B ＝ 3， 3 ， 1， 1 ，所以 A ∩ B 中含有 2 个元素．法二： 由集合的意义可知， A ∩ B 表示曲线 y ＝ 3x 2－ 3x ＋ 1 与直线 y ＝x 的交点构成的集合．因为 3x 2－ 3x ＋ 1＝ x 即 3x 2－4x ＋ 1＝ 0 的判别式 >0，所以该方程有两个不相等的实根，所以 A∩B 中含有 2 个元素．答案：212．已知集合 A＝ { x|log2x≤ 2} ，B＝ { x|x＜ a} ，若 A? B，则实数 a 的取值范围是__________ ．解析：由 log 2x≤ 2，得 0＜ x≤ 4，即A＝ { x|0＜x≤ 4} ，而 B＝{ x|x＜ a} ，由于 A? B，在数轴上标出集合A， B，如图所示，则a＞ 4.答案： (4，＋∞ )13．设全集U＝ R， A＝ { x|1≤ x≤ 3} ， B＝ { x|2<x<4} ， C＝ { x|a≤ x≤ a＋ 1} ．(1)分别求 A∩ B，A∪ (?U B)；(2)若 B∪ C＝ B，求实数 a 的取值范围．解： (1)由题意知， A∩ B＝ { x|1≤ x≤ 3} ∩ { x|2<x<4} ＝ { x|2<x≤ 3} ．易知 ?U B＝ { x|x≤ 2 或x≥4} ，所以 A∪(?U B)＝ { x|1≤ x≤ 3} ∪ { x|x≤2 或 x≥ 4} ＝ { x|x≤ 3 或 x≥ 4} ．(2)由 B∪ C＝ B，可知 C? B，画出数轴 (图略 )，易知 2<a<a＋ 1<4，解得 2<a<3.故实数 a 的取值范围是(2,3)．。
