(全国版)中考数学复习第三单元函数及其图象课时训练11一次函数的应用

快递物品重量(千克) 0.5 1 3 4 …
甲公司收费(元) 乙公司收费(元)
22
…
11
51 67 …
(2)设甲快递公司收费y1元,乙快递公司收费y2元,分别写出y1,y2关于x的函数关 系式. (3)当x>3时,小明应选择哪家快递公司更省钱?请说明理由.
解:(1)11 52 67 19 [解析]当x=0.5时,y甲=22×0.5=11; 当x=3时,y甲=22+15×2=52; 当x=4时,y甲=22+15×3=67; 当x=1时,y乙=16×1+3=19. 故答案为:11;52;67;19.
② 图11-3
(2)求第一班车从入口处到达塔林所需的时间.
①
②
图11-3
解:(2)把y=1500代入y=150x-3000,解得x=30,30-20=10(分), ∴第一班车从入口处到塔林所需时间为10分钟.
例2 [2019·宁波]某风景区内的公路如图11-3①所示,景区内有免费的班车,从 入口处出发,沿该公路开往草甸,途中停靠塔林(上下车时间忽略不计),第一班 车上午8点发车,以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.
① 图11-3
小聪周末到该风景区游玩,上午7:40到达入口处,因还没到班车发车时间,于是 从景区入口处出发,沿该公路步行25分钟后到达塔林,离入口处的路程y(米)与 时间x(分)的函数关系如图②所示.
② 图11-3
(3)小聪在塔林游玩40分钟后,想坐班车到草甸,则小聪最早能够坐上第几班车 ?如果他坐这班车到草甸,比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分 钟?(假设每一班车速度均相同,小聪步行速度不变)
图11-2
[2019·常德]某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为x时所需费 用为y元,选择这两种卡消费时,y与x的函数关系如图11-2所示,解答下列问题: (2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.

最大利润是多少?
(1)设今年 A 型车每辆的售价为 x 元,则去年 A 型车每辆的售价为(x+400)元.
根据题意,得
60000
+400
60000 ×(1-20%)
=

,解得 x=1600.
经检验,x=1600 是原方程的解且符合题意.所以今年 A 型车每辆的售价为 1600 元.
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例 1 [2018·临沂] 甲、乙两人分别从 A,B 两地同时出发,匀速相向而行.甲的速度大于乙的速度,甲到达 B 地
后,乙继续前行.设出发 x h 后,两人相距 y km,图 11-1 中折线表示从两人出发至乙到达 A 地的过程中 y 与 x
之间的函数关系.
根据图中信息,求:
(2)甲、乙两人的速度.
UNIT THREE
第三(dì sān)单元
第 11 课时(kèshí)
一次函数的应用
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函数及其图象
考点知识聚焦
考点(kǎo diǎn)
一次函数的应用
建
一次函数在现实生活中有着广泛的应用,在解答一次函数的应用题时,
模
应从给定的信息中抽象出一次函数关系,分清哪个是自变量,哪个是关于
5
(2)由点 M 的横坐标可知甲经过 h 到达 B 地,
3
5
故甲的速度为 10÷ =6(km/h).
3
设乙的速度为 a km/h,由两人经过 1 h 相遇,得
图 11-1
1×(a+6)=10,解得 a=4,故乙的速度为 4 km/h.
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高频考向探究
【方法模型】
解决分段函数问题,一般从如下几方面入手:(1)寻找分段函数的分段点;(2)针对每一段函数关系,求解(qiú jiě)相应的函

课时训练(十)一次函数及其应用(限时:60分钟)|夯实基础|1.[2019·陕西]若正比例函数y=-2x的图象经过点(a-1,4),则a的值为()A.-1B.0C.1D.22.[2019·大庆]正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随着x的增大而减小,则一次函数y=x+k的图象大致是()图K10-13.一次函数y=-2x+m的图象经过点P(-2,3),且与x轴,y轴分别交于点A,B,则△AOB的面积是()B.1A.12C.4D.84.[2018·陕西] 若直线l1经过点(0,4),l2经过点(3,2),且l1与l2关于x轴对称,则l1与l2的交点坐标为()A.(-2,0)B.(2,0)C.(-6,0)D.(6,0)5.[2019·烟台]如图K10-2,直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P(m,3),则关于x的不等式x+2≤ax+c的解为.图K10-26.[2017·吉林] 我们规定:当k,b为常数,k≠0,b≠0,k≠b时,一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数,例如,y=4x+3的交换函数为y=3x+4,一次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为.7.将直线y=x+b沿y轴向下平移3个单位长度,点A(-1,2)关于y轴的对称点落在平移后的直线上,则b的值为.8.数学文化[2019·金华]元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载:“今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何日追及之.”如图K10-3是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象,则两图象交点P的坐标是.图K10-39.[2019·乐山] 如图K10-4,已知过点B(1,0)的直线l1与直线l2:y=2x+4相交于点P(-1,a).(1)求直线l1的解析式;(2)求四边形PAOC的面积.图K10-410.[2019·广安] 为了节能减排,我市某校准备购买某种品牌的节能灯,已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元,2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元.(1)求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元?(2)学校准备购买这两种型号的节能灯共200只,要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.11.[2019·济宁] 小王骑车从甲地到乙地,小李骑车从乙地到甲地,小王的速度小于小李的速度,两人同时出发,沿同一条公路匀速前进.图K10-5中的折线表示两人之间的距离y(km)与小王的行驶时间x(h)之间的函数关系.请你根据图象进行探究:(1)小王和小李的速度分别是多少?(2)求线段BC所表示的y与x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.图K10-512.[2019·北京节选] 在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=kx+1(k≠0)与直线x=k,直线y=-k分别交于点A,B,直线x=k与直线y=-k交于点C.(1)求直线l与y轴的交点坐标.(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记线段AB,BC,CA围成的区域(不含边界)为W.当k=2时,结合函数图象,求区域W内的整点个数.|拓展提升|13.如图K10-6,点A 的坐标为(1,0),点B 在直线y=-x 上运动,当线段AB 最短时,点B 的坐标为 ( )图K10-6A .(0,0)B .12,-12C .22,- 22D .-12,1214.[2019·襄阳] 襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植有机蔬菜.某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查,这两种蔬菜的进价和售价如下表所示:(1)该超市购进甲种蔬菜10 kg 和乙种蔬菜5 kg 需要170元;购进甲种蔬菜6 kg 和乙种蔬菜10 kg 需要200元.求m ,n 的值.(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100 kg 进行销售,其中甲种蔬菜的数量不少于20 kg,且不大于70 kg .实际销售时,由于多种因素的影响,甲种蔬菜超过60 kg 的部分,当天需要打5折才能售完,乙种蔬菜能按售价卖完.求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y (元)与购进甲种蔬菜的数量x ( kg)之间的函数关系式,并写出x 的取值范围.(3)在(2)的条件下,超市在获得的利润额y (元)取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a 元,乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院,若要保证捐款后的盈利率不低于20%,求a 的最大值.【参考答案】1.A2.A [解析]∵正比例函数y=kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而减小,∴k<0,∵一次函数y=x+k 的一次项系数大于0,常数项小于0,∴一次函数y=x+k 的图象经过第一、三、四象限.因此本题选A .3.B [解析]∵一次函数y=-2x+m 的图象经过点P (-2,3),∴3=4+m ,解得m=-1,∴y=-2x-1,∵当x=0时,y=-1,∴与y 轴交点B 的坐标为(0,-1),∵当y=0时,x=-12,∴与x 轴交点A 的坐标为-12,0,∴△AOB 的面积为12×1×12=1. 4.B [解析]设直线l 1的解析式为y 1=kx+4, ∵l 1与l 2关于x 轴对称, ∴直线l 2的解析式为y 2=-kx-4, ∵l 2经过点(3,2),∴-3k-4=2.∴k=-2. ∴两条直线的解析式分别为y 1=-2x+4,y 2=2x-4, 联立可解得:2, 0∴交点坐标为(2,0),故选择B . 5.x ≤16.1 [解析]由交换函数的定义可知:一次函数y=kx+2的交换函数为y=2x+k ,联立两个函数解析式得kx+2=2x+k ,解得x=1.7.4 [解析]将直线y=x+b 沿y 轴向下平移3个单位长度,得直线y=x+b-3. ∵点A (-1,2)关于y 轴的对称点是(1,2), ∴把(1,2)代入y=x+b-3,得1+b-3=2,解得b=4. 8.(32,4800) [解析]设良马t 日追之,根据题意,得 2 0 , 1 0 12),解得 20, 800故答案为(32,4800).9.解:(1)∵点P (-1,a )在直线l 2:y=2x+4上, ∴2× -1)+4=a ,即a=2, ∴点P 的坐标为(-1,2).设直线l 1的解析式为:y=kx+b (k ≠0), 将B (1,0),P (-1,2)的坐标代入,得0,- 2,解得: -1, 1∴l 1的解析式为:y=-x+1.(2)∵直线l 1与y 轴相交于点C , ∴点C 的坐标为(0,1). ∵直线l 2与x 轴相交于点A , ∴A 点的坐标为(-2,0),则AB=3, ∵S 四边形PAOC =S △PAB -S △BOC , ∴S 四边形PAOC =12×3×2-12×1×1=2.10.解:(1)设1只A 型节能灯的售价是x 元,1只B 型节能灯的售价是y 元,根据题意,得 3 0,2 3 31,解得 , 7答:1只A 型节能灯的售价是5元,1只B 型节能灯的售价是7元. (2)设购买A 型节能灯a 只,则购买B 型节能灯(200-a )只,总费用为w 元,w=5a+7(200-a )=-2a+1400,∵a ≤3 200-a ),∴a ≤1 0, ∵-2<0,w 随a 的增大而减小,∴当a=150时,w 取得最小值,此时w=1100,200-a=50.答:最省钱的购买方案是:购买A 型节能灯150只,B 型节能灯50只.11.解:(1)从线段AB 得:两人从相距30 km 的两地同时出发,1 h 后相遇,则v 小王+v 小李=30 km/h,小王从甲地到乙地行驶了3 h,∴v 小王=30÷3=10(km/h),∴v 小李=20 km/h .(2)C 点的意义是小李骑车从乙地到甲地用了30÷20=1.5(h),此时小王和小李的距离是1. ×10=15(km),∴C 点坐标是(1.5,15).设直线BC 的解析式为y=kx+b ,将B (1,0),C (1.5,15)分别代入解析式,得0,1 1 ,解得:30,-30∴线段BC 所表示的y 与x 之间的解析式为y=30x-30 1≤x ≤1.5). 12.解:(1)令x=0,则y=1, ∴直线l 与y 轴交点坐标为(0,1). (2)当k=2时,直线l :y=2x+1, 把x=2代入直线l ,则y=5,∴A (2,5). 把y=-2代入直线l 得:-2=2x+1, ∴x=-32,∴B -32,-2,C (2,-2),∴区域W 内的整点有(0,-1),(0,0),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2)共6个点.13.B [解析]如图,过点A 向直线y=-x 作垂线段,垂足为点M ,则当点B 运动到点M 的位置时,线段AB 最短.再作MN ⊥OA 于点N ,正比例函数y=-x 的图象是二、四象限的角平分线,∴△OAM 和△OMN 均为等腰直角三角形.∵OA=1,∴ON=12,即M 点的横坐标为12,代入y=-x 中,得y=-12,∴点M 的坐标为12,-12,故选B .14.[解析] (1)可得到关于m 和n 的两个等式,联立成方程组求解;(2)由甲种蔬菜的两种不同售价,可得出超市当天的利润额y 与数量x 之间的分段函数关系式; (3)根据一次函数的性质,可求出y 的最大值,再根据题意,列出不等式,求解,得出a 的最大值. 解:(1)由题可得 10 170, 10 200,解得 10, 1(2)购进甲种蔬菜x (kg),则甲种蔬菜的售价(元/kg)为: 1 20 0),1 0 0 70),即: 1 20 0),8 0 70)∴甲种蔬菜的利润y 甲为:1 10) 20 0), 1 10) 0 8 10) 0) 0 70)整理得,y 甲=20 0), 80-2 0 70)由题意可知,购进乙种蔬菜(100-x )kg,∴乙种蔬菜的利润y 乙=(18-14)(100-x )=400-4x. ∵y=y 甲+y 乙,∴超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y (元)为:y=2 00 20 0),880- 0 70)(3)当20≤x ≤ 0时,y=2x+400,当x=60时,y 取得最大值520. 当60<x ≤70时,y=880-6x<880- × 0=520, ∴当x=60时,y 取得最大值520元.则甲种蔬菜共捐出 0×2a=120a 元,乙种蔬菜共捐出(100-60)a=40a 元. 由捐款后的盈利率不低于20%, 可得20-120 - 0 10 0 1 100- 0)≥20%,解得a ≤1.8,即a 的最大值为1.8.。

第11课时一次函数的应用|夯实基础|1.如图11-5是甲、乙两车在某时段内速度随时间变化的图象,下列结论错误的是()图11-5A.乙前4秒行驶的路程为48米B.在0到8秒内甲的速度每秒增加4米C.两车到第3秒时行驶的路程相等D.在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度2.A,B两地相距20千米,甲、乙两人都从A地去B地,图11-6中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s(千米)与时间t(时)之间的关系.下列说法:①乙晚出发1小时;②乙出发3小时后追上甲;③甲的速度是4千米/时;④乙先到达B地.其中正确说法的个数是 ()图11-6A.1B.2C.3D.43.如图11-7,正方形ABCD的边长为4,P为正方形边上一动点,点P沿A→D→C→B→A的路径匀速运动,设点P 经过的路径长为x,△APD的面积为y,则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是()图11-7图11-84.李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱中剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系,其图象如图11-9所示,那么到达乙地时油箱中剩余油量是升.图11-95.[2019·郴州]某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示:观察此表,利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为瓶.6.[2019·泰州] 小李经营一家水果店,某日到水果批发市场批发一种水果,经了解,一次性批发这种水果不得少于100 kg,超过300 kg时,所有这种水果的批发单价均为3元/kg,图中折线表示批发单价y(元/kg)与质量x(kg)的函数关系.(1)求图中线段AB所在直线的函数表达式;(2)小李用800元一次可以批发这种水果的质量是多少?图11-107.[2019·绍兴] 如图11-11是某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余电量y(千瓦时)关于已行驶路程x(千米)的函数图象.(1)根据图象,直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程,当0≤x≤150时,求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程;(2)当150≤x≤200时,求y关于x的函数表达式,并计算当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量.图11-118.[2019·河南] 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元;购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.(1)求A,B两种奖品的单价;(2)学校准备购买A,B两种奖品共30个,且A奖品的数量不少于B奖品数量的,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.9.[2019·连云港] 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨,每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元,每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x(吨),生产甲、乙两种产品获得的总利润为y(万元).(1)求y与x之间的函数表达式;(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨,每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受市场影响,该厂能获得的A原料至多为1000吨,其他原料充足.求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时,能获得最大利润.10.[2019·天津] 甲、乙两个批发店销售同一种苹果,在甲批发店,不论一次购买数量是多少,价格均为6元/千克,在乙批发店,一次购买数量不超过50千克时,价格为7元/千克;一次购买数量超过50千克时,其中有50千克的价格仍为7元/千克,超出50千克部分的价格为5元/千克.设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为x(x>0)千克.(1)根据题意填表:(2)设在甲批发店花费y1元,在乙批发店花费y2元,分别求y1,y2关于x的函数解析式;(3)根据题意填空:①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同,且花费相同,则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为千克;②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120千克,则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买花费少;③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元,则他在甲、乙两个批发店中的批发店购买数量多.|拓展提升|11.[2019·淮安] 快车从甲地驶向乙地,慢车从乙地驶向甲地,两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶,途中快车休息1.5小时,慢车没有休息.设慢车行驶的时间为x小时,快车行驶的路程为y1千米,慢车行驶的路程为y2千米.图11-12中折线OAEC表示y1与x之间的函数关系,线段OD表示y2与x之间的函数关系.请解答下列问题:(1)求快车和慢车的速度;(2)求图中线段EC所表示的y1与x之间的函数表达式;(3)线段OD与线段EC相交于点F,直接写出点F的坐标,并解释点F的实际意义.图11-1212.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.(1)求每台A型电脑和每台B型电脑的销售利润;(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台(两种型号电脑都购进),其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍.设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.①求y与x之间的函数关系式;②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台.若商店保持两种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中的条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.【参考答案】1.C[解析]A.根据图象可得乙前4秒行驶的路程为12×4=48(米),正确;B.根据图象得在0到8秒内甲的速度每秒增加4米,正确;C.根据图象可得两车到第3秒时行驶的路程不相等,错误;D.在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度,正确.故选C.2.C3.B[解析]当点P在AD上运动时,y的值为0;当点P在DC上运动时,y随x的增大而增大;当点P在CB上运动时,y不变;当点P在BA上运动时,y随x的增大而减小.故选B.4.205.150[解析]设日期为自变量x,销售数量为函数y,由表格可知销售数量y与日期x之间的函数关系式为y=120+5(x-1)=5x+115,当x=7时,y=5×7+115=150,故填150.6.解:(1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b,由图可得,点A的坐标为(100,5),B的坐标为(300,3),则, ,解得:-,,∴y=-0.01x+6.(2)设批发x kg,∵800<300×3,∴x<300,则单价为(-0.01x+6)元/kg,根据题意可列方程:(-0.01x+6)x=800,解得:x1=200,x2=400(舍去),∴小李用800元一次可以批发这种水果200 kg.7.解:(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车行驶了150千米.1千瓦时可行驶-=6(千米).(2)设y=kx+b(k≠0),把(150,35),(200,10)代入,得,,-,,∴y=-x+110.当x=180时,y=-×180+110=20.∴当150≤x≤200时,函数表达式为y=-x+110,当汽车已行驶180千米时,蓄电池剩余电量为20千瓦时.8.解:(1)设A,B两种奖品的单价分别为x元、y元,依题意,得:, ,解得:,答:A,B两种奖品的单价分别为30元、15元.(2)设学校准备购买A种奖品m个,则B种奖品购买(30-m)个,根据题意,得m≥(30-m),解得m≥7.5;设学校购买A,B两种奖品所需的费用为w元,则:w=30m+15(30-m)=15m+450,因为15>0,所以w随m的增大而增大,故当m=8时,购买A,B两种奖品所需的费用最少,此时购买A种奖品8个,B种奖品22个.9.解:(1)y=0.3x+0.4(2500-x)=-0.1x+1000,∴y与x之间的函数表达式为y=-0.1x+1000.(2)由题意得:(-),,∴1000≤x≤2500,又∵k=-0.1<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=1000时,y最大,此时2500-x=1500.答:生产甲产品1000吨,乙产品1500吨时,利润最大.10.解:(1)一次购买30千克,不超过50千克,∴在甲批发店花费180元,在乙批发店花费210元;一次购买150千克,超过50千克,∴在甲批发店花费900元,在乙批发店花费850元.(2)y1=6x(x>0);当0<x≤50时,y2=7x;当x>50时,y2=5x+100.(3)①100②乙③甲[解析]①当y1=y2时,6x=5x+100,∴x=100.②当x=120时,y1=6x=720;y2=5x+100=700,∵720>700,∴在乙批发店购买花费少.③当y1=360时,x=60;当y2=360时,x=52,∵60>52,∴在甲批发店购买数量多.11.解:(1)∵180÷2=90,180÷3=60,∴快车的速度为90 km/h,慢车的速度为60 km/h.(2)∵途中快车休息1.5小时,∴点E(3.5,180).∵(360-180)÷90=2,∴点C(5.5,360).设EC的函数表达式为y1=kx+b,则,,,-,∴y1=90x-135(3.5≤x≤5.5).(3)点F的坐标为,270,点F的实际意义:慢车行驶小时时,快、慢两车行驶的路程相等,均为270 km. [解析]∵慢车的速度为60 km/h,∴OD所表示的函数表达式为y=60x.由,-得,∴点F的坐标为,270.12.解:(1)设每台A型电脑的销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元,则有,,解得,即每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元.(2)①根据题意得y=100x+150(100-x),即y=-50x+15000.根据题意得100-x≤2x,解得x≥33.∴y与x之间的关系式为y=-50x+1500033≤x<100且x为整数.②∵y=-50x+15000中,-50<0,∴y随x的增大而减小.∵33≤x<100且x为整数,∴当x=34时,y取最大值,此时100-x=66.即商店购进A型电脑34台,B型电脑66台,才能使销售总利润最大. (3)根据题意得y=(100+m)x+150(100-x),即y=(m-50)x+15000.而33≤x≤70且x为整数,则:①当0<m<50时,m-50<0,y随x的增大而减小,∴当x=34时,y取得最大值,即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑时才能获得最大利润;②当m=50时,m-50=0,y=15000,即商店购进A型电脑的数量x是满足33≤x≤70的任意整数时,均获得最大利润;③当50<m<100时,m-50>0,y随x的增大而增大,∴当x=70时,y取得最大值,即商店购进70台A型电脑和30台B型电脑时才能获得最大利润.。