高中数学《空间中的垂直关系》学案1新人教B版必修2

第1课时直线与平面垂直1．理解线线垂直、线面垂直的概念．2．掌握直线与平面垂直的判定定理及性质．3．能应用性质定理证明空间位置关系．1．直线与直线的垂直两条直线垂直的定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．2．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点O的任何直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．(2)直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面． (简而言之：线线垂直，则线面垂直)(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知，直线与平面内的所有直线都垂直，除此以外还有性质定理．(2)垂直于同一个平面的两条直线平行．垂直于同一条直线的两个平面平行．1．下列命题正确的是( )A．垂直于同一条直线的两直线平行B．垂直于同一条直线的两直线垂直C．垂直于同一个平面的两直线平行D．垂直于同一条直线的一条直线和平面平行解析：选C．在空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行，可能相交，也可能异面，所以A，B错；垂直于同一直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内，也可以是直线和平面平行，所以D错；注意分析清楚给定条件下直线和平面可能的位置关系，不要有遗漏．2．在三棱锥A­BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD．证明：如图取BD的中点E，连接AE，EC．因为AB＝AD，BE＝ED，所以AE⊥BD．又因为CB＝CD，BE＝ED，所以CE⊥BD．又AE∩EC＝E，所以BD⊥平面ACE，又AC⊂平面ACE，所以AC⊥BD．3．垂直于同一条直线的两条直线平行吗？解：不一定．平行、相交、异面都有可能．线面垂直的判定如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN ⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．【证明】(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM．又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM．又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM．又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN．又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM．(2)由第一问知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB．又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ．又NQ⊂平面ANQ，所以PB⊥NQ．在本例中若条件不变，在四面体P­AMB的四个面中共有多少个直角三角形．解：由本例第一问的证明过程知，BM⊥平面PAM，又PM⊂平面PAM，所以BM⊥PM．所以∠PAM＝∠PAB＝∠AMB＝∠BMP＝90°．所以四个面都是直角三角形．证明线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理法：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．(2)平行转化法(利用推论)①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β．如图所示，S为Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若直角边BA＝BC，求证：BD⊥平面ASC．证明：(1)法一：在等腰三角形SAC中，D为AC的中点，所以SD⊥AC，取AB的中点E，连接DE、SE．则ED∥BC，又AB⊥BC，所以DE⊥AB．又SE⊥AB，SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SED，所以AB⊥SD，又AB∩AC＝A，所以SD⊥平面ABC．法二：因为D为AC中点，△ABC为直角三角形．所以AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，所以△SAD≌△SBD，所以∠SDB＝∠SDA．又SA＝SC，所以SD⊥AC，即∠SDA＝90°，所以∠SDB＝90°，即SD⊥BD，又BD∩AC＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为BA＝BC，所以BD⊥AC，又SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD，因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面ASC．线面垂直的性质的应用如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．(1)求证：AF⊥SC；(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．【证明】(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC，因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥BC．所以BC⊥平面SAB，所以BC⊥AE．又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SC．又EF⊥SC，AE∩EF＝E，所以SC⊥平面AEF．所以AF⊥SC．(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．又AD⊥DC，AD∩SA＝A，所以DC⊥平面SAD．所以DC⊥AG．又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂面AEF，所以SC ⊥AG ，所以AG ⊥平面SDC ，所以AG ⊥SD ．证明线线垂直的常用思路线面垂直――→推出定义线线垂直――→推出判定定理线面垂直――→推出定义线线垂直．如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ． 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明：(1)因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D ． 又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1． 因为A 1D ∩CD ＝D ， 所以AD 1⊥平面A 1DC ． 又因为MN ⊥平面A 1DC ， 所以MN ∥AD 1．(2)如图，连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． 所以ON ═∥12CD ．因为CD ═∥AB ， 所以ON ∥AM ． 又因为MN ∥OA ，所以四边形AMNO 为平行四边形． 所以ON ＝AM ．因为ON ＝12CD ，所以AM ＝12DC ＝12AB ．所以M 是AB 的中点．线面垂直的综合应用如图所示，在直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB∥DC ．(1)求证：D 1C ⊥AC 1；(2)设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使D 1E ∥平面A 1BD ，并说明理由． 【解】 (1)证明：连接C 1D ．因为DC ＝DD 1，所以四边形DCC 1D 1是正方形，所以DC 1⊥D 1C ． 因为AD ⊥DC ，AD ⊥DD 1，DC ∩DD 1＝D ， 所以AD ⊥平面DCC 1D 1，D 1C ⊂平面DCC 1D 1，所以AD ⊥D 1C ．又AD ∩DC 1＝D ，所以D 1C ⊥平面ADC 1． 又AC 1⊂平面ADC 1，所以D 1C ⊥AC 1．(2)如图，当E 是CD 的中点时满足条件，连接BE 、D 1E ，因为AB ═∥12CD ， 所以四边形ABED 为平行四边形． 所以BE ∥AD ∥A 1D 1．所以四边形BED 1A 1为平行四边形， 所以D 1E ∥A 1B ．又D 1E ⊄面A 1BD ，A 1B ⊂A 1BD ， 所以D 1E ∥平面A 1BD ．综上所述，当E 是DC 的中点时，可使D 1E ∥平面A 1BD ．线面垂直与平行的相互转化(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的．(2)转化关系：线线垂直判定定理定义线面垂直性质判定定理推论线线平行．如图所示，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB 1，D 为AB 的中点．求证：(1)CD ⊥AA 1； (2)AB 1⊥平面CED ．证明：(1)由题意，得AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以CD ⊥AA 1．(2)因为D 是AB 的中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，所以CD ⊥AB ． 又CD ⊥AA 1，AB ∩A 1A ＝A ，所以CD ⊥平面A 1B 1BA ，因为AB 1⊂平面A 1B 1BA ，所以CD ⊥AB 1． 又CE ⊥AB 1，CD ∩CE ＝C ， 所以AB 1⊥平面CED ．1．直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直．两条直线垂直包括相交垂直和异面垂直． 2．线面垂直、线线垂直的证明方法 (1)线面垂直的证明方法：①定义法；②判定定理法；③判定定理的推论．(2)线线垂直的证明方法：①定义法；②线面垂直的性质． (3)线线垂直与线面垂直可相互转化．1．直线与平面垂直的定义，应注意：①定义中的“任何直线”这一条件，②直线与平面垂直是相交中的特殊情况，③利用定义可得直线和平面垂直则直线与平面内的所有直线垂直．2．直线与平面垂直应注意两点：①定理中的条件，是“平面内的两条相交直线”既不能说是“两条直线”，也不能说“无数条直线”．②应用定理的关键是在平面内，找到两条相交直线与已知直线垂直．3．“垂直于同一条直线的两条直线平行”要求涉及到的三条直线在同一个平面内，否则不正确．这告诉我们平面几何中的一些结论推广到空间时不一定成立，需要多加注意．1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定解析：选B．一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：选B．A答案还有异面或者相交的情况，C、D不一定．3．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．又因为PC⊥BD，PA∩PC＝P，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，所以平行四边形ABCD一定是菱形．答案：菱形4．点P是等腰三角形ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，PA＝8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则点P到BC的距离是．答案：4 5[学生用书P97(单独成册)])[A 基础达标]1．已知直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交D．a与b不一定垂直解析：选C．过b作平面β，β∩α＝b′，则b∥b′，因为a⊥平面α，所以a⊥b′，所以a⊥b．2．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．m∥n，n⊥α⇒m⊥α解析：选D．由直线与平面垂直的判定定理的推论可知D正确．3．E、F分别是正方形ABCD中AB、BC的中点，沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF 折起，使A、B、C三点重合于一点P，则有( )A．DP⊥平面PEF B．DE⊥平面PEFC．EF⊥平面PEF D．DF⊥平面PEF解析：选A．如图所示，A、B、C三点重合于点P，则PD⊥PE，PD⊥PF，又PE∩PF＝P，所以PD⊥平面PEF．4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H．为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE解析：选B ．因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ ．若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ ．又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B ．5．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段解析：选A ．如图，由于BD 1⊥平面AB 1C ，故点P 一定位于B 1C 上．6．如图，▱ADEF 的边AF ⊥平面ABCD ，AF ＝2，CD ＝3，则CE ＝．解析：因为AF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，所以DE ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥CD ，因为DE ＝AF ＝2，CD ＝3，所以CE ＝22＋33＝13．答案：137．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m ∥n ；②α∥β；③m ⊥α；④n ⊥β．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： ．答案：⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n α∥βm ⊥α⇒n ⊥β 8．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a (a ＞0)，PA ⊥平面AC ，且PA ＝1，若BC 边上存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，则a 的最小值为 ．解析：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥QD ． 若BC 边上存在一点Q ，使得QD ⊥PQ ， 则有QD ⊥平面PAQ ，从而QD ⊥AQ ．在矩形ABCD 中，当AD ＝a <2时，直线BC 与以AD 为直径的圆相离，故不存在点Q ，使PQ ⊥DQ ．所以当a ≥2时，才存在点Q ，使得PQ ⊥QD ．所以a 的最小值为2． 答案：29．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF ．证明：如图所示，连接PE ，EC ， 在Rt △PAE 和Rt △CDE 中，因为PA ＝AB ＝CD ，AE ＝DE ，所以PE ＝CE ，即△PEC 是等腰三角形． 又因为F 是PC 的中点，所以EF ⊥PC ． 又因为BP ＝ AP 2＋AB 2＝22＝BC ，F 是PC 的中点，所以BF ⊥PC ．又因为BF ∩EF ＝F ，所以PC ⊥平面BEF ． 10．侧棱垂直于底面的三棱柱ABC ­A ′B ′C ′满足∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝12AA ′＝2，点M ，N 分别为A ′B ，B ′C ′的中点．(1)求证：MN ∥平面A ′ACC ′； (2)求证：A ′N ⊥平面BCN ； (3)求三棱锥C ­MNB 的体积． 解：(1)证明：如图，连接AB ′，AC ′，因为四边形ABB ′A ′为矩形，M 为A ′B 的中点，所以AB ′与A ′B 交于点M ，且M 为AB ′的中点，又点N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′， 又MN ⊄平面A ′ACC ′，且AC ′⊂平面A ′ACC ′， 所以MN ∥平面A ′ACC ′．(2)证明：因为A ′B ′＝A ′C ′＝2，点N 为B ′C ′的中点， 所以A ′N ⊥B ′C ′．又BB ′⊥平面A ′B ′C ′，所以A ′N ⊥BB ′， 所以A ′N ⊥平面B ′C ′CB ，所以A ′N ⊥平面BCN ． (3)由图可知V C ­MNB ＝V M ­BCN ， 因为∠BAC ＝90°， 所以BC ＝AB 2＋AC 2＝22，S △BCN ＝12×22×4＝42．由(2)及∠B ′A ′C ′＝90°可得A ′N ＝2， 因为M 为A ′B 的中点， 所以M 到平面BCN 的距离为22， 所以V C ­MNB ＝V M ­BCN ＝13×42×22＝43．[B 能力提升]11．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1DD ．A 1A解析：选B．如图所示，连接AC，BD，因为BD⊥AC，A1C1∥AC，所以BD⊥A1C1，因为BD⊥A1A，A1A∩A1C1＝A1，所以BD⊥平面ACC1A1，因为CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE．12．如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC．其中，正确结论的序号是．解析：对于①、③，因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC．又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF．故③正确．又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，故①正确．对于②，由①知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB．故②正确．对于④，AE与平面PBC不垂直，故④不正确．答案：①②③13．如图，四棱锥P­ABCD中，O是底面正方形ABCD的中心，侧棱PD⊥底面ABCD，PD ＝DC，E是PC的中点．(1)证明：EO∥平面PAD；(2)证明：DE⊥平面PBC．证明：(1)连接AC，因为点O是底面正方形ABCD的中心，所以点O是AC的中点，又因为E是PC的中点，所以在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO．因为EO⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD．(2)因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC，因为底面ABCD是正方形，有BC⊥DC，所以BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．因为PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，所以DE⊥PC．又BC，PC⊂平面PBC，且BC∩PC＝C，所以DE⊥平面PBC．14．(选做题)如图，A、B、C、D为空间四点，在△ABC中，AC＝BC，等边三角形ADB 以AB为轴转动，问是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解：当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．证明如下：①当点D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C、D都在线段AB的垂直平分线上．所以CD⊥AB．②当点D不在平面ABC内时，取AB中点O，连DO，CO．因为AC＝BC，AD＝BD，所以CO⊥AB，DO⊥AB．又CO∩DO＝O，所以AB⊥平面COD．因为CD⊂平面COD，所以AB⊥CD．综上所述，总有AB⊥CD．。

1.2.2 空间中的垂直关系(一)一、学习目标：（1）正确理解直线与平面垂直的定义；（2）理解直线与平面垂直的判定与性质定理，并能运用定理证明相应问题．二、学习重点与难点：重点：直线与平面垂直的判定定理与性质定理难点：利用直线与平面垂直的判定定理与性质定理解决实际问题三、学习过程：（一）、自学导引1.两条直线互相垂直：2.直线与平面垂直①定义：②点到平面的距离：③直线与平面垂直判定定理：符号表示：④推论：符号表示：3.直线与平面垂直的性质①直线与平面垂直性质定理：符号表示：②推论：符号表示：思考：1.垂直于同一条直线的两个平面是否平行？为什么？2.如何定义两平行平面的距离？（二）、例题解析例1.已知四棱锥P-ABCD中，点O是底面平行四边形ABCD的对角线的交点，且PA=PC，PB=PD，求证PO⊥平面ABCD。

例2.如图直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC，D为BC中点。

求证：AD⊥BC1例3.四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，2AD＝BC，BC⊥AB，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，E是棱PC的中点。

四、课堂检测1.已知直线a c⊥，b c⊥，则直线a，b的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能2.已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题①m n∥，m nαα⊥⇒⊥②αβ∥，mα⊂，n m nβ⊂⇒∥③m n∥，m nαα⇒∥∥④αβ∥，m n∥，m nαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是（）A.①③B.②④C.①④D.②③3.设a、b、c表示直线α，β表示平面，则下列能推出aα⊥的条件是（）A.a b⊥，bα∥ B.a b⊥，a c⊥，,b cα⊂C.a∥b，bα⊥ D.aβ∥，αβ⊥4.在平面α内和这个平面的斜线l垂直的直线（）A.只有一条B.可能一条也没有C.可能有一条，也可能有两条D.有无数条5.在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，则在此三棱锥的四个面中为直角三角形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个6.对于四面体ABC在，给出下列四个命题①若AB＝AC，DB＝DC，则BC⊥AD②若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD则其中正确命题的序号是7.如图在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，EF⊥AE，AE＝DE，M为AD的中点。

1.2.3空间中的垂直关系（一）----直线与平面垂直一．学习要点：直线与平面垂直的判定与性质及其简单应用二．学习过程：一．直线与直线垂直两条直线互相垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。

直线a 和b 垂直，记作：a b ⊥．概念解读：1．空间的直线与直线垂直包括相交垂直（有一个公共点）与异面垂直（无公共点）两种；2．若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 的位置关系有三种：//a c ；a 与c 相交；a 与c 异面；3．在平面内，线段AB 的垂直平分线有且只有一条；在空间中，线段AB 的垂直平分线有无数条，其所有垂直平分线在同一个平面上。

二．直线与平面垂直（一）直线与平面垂直的定义及有关概念直线和平面α垂直，记作：l α⊥．1即：2如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

即：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。

即：B（三）直线与平面垂直的性质2：垂直于同一条直线的两个平面平行。

即：（四）直线与平面垂直的性质3：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。

即：五．两平行平面的距离：从一个平面内任取一点到另一平面的距离即为两个平行平面的距离。

例1如图，在正方体ABCD 1111A B C D 中， 求证：1BD ⊥平面1AB C ．例2如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，M 、求证：MN AB ⊥.例3已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AD PD =，E 、F 分别为CD 、PB的中点，求证：EF ⊥平面PAB课堂练习一．教材P51练习二．补充练习1．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的动点，过动点C 的直线VC 垂直于O 所在平面，D 、E 分别是VA 、VC 的中点。

求证：DE ⊥平面VBC ．PA B MCD N2．在正方体ABCD 1111A B C D 中，M 、N 、P 分别是BC 、1CC 、CD 的中点，求证：1A P ⊥平面MDN ．3．在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，AE SB ⊥于E ，EF SC ⊥于F ，求证：AF SC ⊥.4．在三棱锥P ABC 中，PA PB =，CB ⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB =，求证：MN AB ⊥．5．在三棱锥P ABC 中，BC PA ⊥，AB PC ⊥，求证：AC PB ⊥．DN1A 1C课后作业：见作业（48）、（49）。

课堂探究探究一线面垂直的判定(1)利用直线与平面垂直的判定定理来判定直线与平面垂直的步骤：①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直．三角形全等、等腰三角形、菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法．【典型例题1】如图所示，直角△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．思路分析：由于D是AC的中点，SA＝SC，则SD是△SAC的高，连接BD，可证△SDB ≌△SDA．由于AB＝BC，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，则BD⊥AC，利用线面垂直的判定定理即可得证．证明：(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，连接BD．则AD＝DC＝BD．又因为SB＝SA，SD＝SD，所以△ADS≌△BDS．所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．又由(1)知SD⊥BD，AC∩SD＝D，所以BD⊥平面SAC．探究二线面垂直的判定定理与推论的应用(1)平面内证明线线平行的四种方法：①两条直线被第三条直线所截，若同位角相等(或内错角相等或同旁内角互补)，则两直线平行．②三角形中位线、梯形中位线的性质．③平行四边形对边平行的性质．④平行线分线段成比例定理．(2)空间中证明线线平行的四种方法：①(基本性质4)平行于同一条直线的两条直线平行．②(线面平行的性质定理)如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行．③(面面平行的性质定理)如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．④(线面垂直的性质定理)如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．【典型例题2】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C 的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1．证明：因为ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．探究三距离问题求点到平面距离的基本步骤是：①找到或作出要求的距离；②使所求距离在某一个三角形中；③在三角形中根据三角形的边角关系求出距离．【典型例题3】如图所示，已知P为△ABC外一点，P A，PB，PC两两垂直，P A＝PB ＝PC＝a，求点P到平面ABC的距离．思路分析：作出点到平面的垂线，进一步求出垂线段的长．证明：过P作PO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO，所以PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC．因为P A＝PB＝PC＝a，所以△P AO≌△PBO≌△PCO．所以OA＝OB＝OC，所以O为△ABC的外心．因为P A，PB，PC两两垂直，所以AB＝BC＝CA，所以△ABC为正三角形，所以OA，所以PO．a．所以点P到平面ABC的距离为3探究四易错辨析易错点：忘记分类讨论而致误【典型例题4】已知：线段AB的中点为O，O∈平面α．求证：A，B两点到平面α的距离相等．错解：如图所示，过点A，B作平面α的垂线，垂足分别为A1，B1，则AA1，BB1分别是点A、点B到平面α的距离．在Rt△AA1O和Rt△BB1O中，AO＝BO，∠B1OB＝∠A1OA，所以Rt△AOA1≌Rt△BOB1，所以AA1＝BB1，即A，B两点到平面α的距离相等．错因分析：错误的原因有两种：一是忽略了AB⊂α的情况；二是认为∠AOA1和∠BOB1为对顶角而相等，其实应说明B1，O，A1三点共线才行．正解：(1)当线段AB⊂平面α时，显然A，B到平面α的距离均为0，相等．(2)当AB 平面α时，如图，分别过点A，B作平面α的垂线，垂足分别为A1，B1，则AA1，BB1分别是点A、点B到平面α的距离，且AA1∥BB1．所以AA1与BB1确定一个平面，设为β，则α∩β＝A1B1．因为O∈AB，AB⊂β，所以O ∈β．又因为O∈α，所以O∈A1B1．所以∠AOA1＝∠BOB1．又AA1⊥A1O，BB1⊥B1O，AO＝BO，所以Rt△AA1O≌Rt△BB1O．所以AA1＝BB1，即A，B两点到平面α的距离相等．。

1 / 2αlm O αl m n o EABCDαβA BCP 2019新人教B 版必修二1.2.3《空间中的垂直关系》word 教案【昨日重现】如图，在正方体中，点在上，点在上，, 求证：平面【创设情境】1.平面几何中两条直线垂直的定义：__________________________________________________2.观察上述正方体中，与直线相交且垂直的直线有______________ 【概念形成】1.两直线互相垂直概念： _____________． 2．直线与平面垂直:(1)线面垂直的定义：_____________________________________________________(2)如图，直线叫做平面的_______,平面叫做直线的______,点叫做_____(3)点到面的距离：__________________3．线面垂直的性质定理：（1）内容：_______________________________________________________________________ （2）符号表示:____________________ 4．线面垂直的判定定理： （1）内容：_________________________________________________________（2）符号表示:___________________________ 5.判断下列命题真假：（1）在空间中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线于这个平面内任何直线垂直. （3）一条直线垂直于平面内两条平行直线，那么这条直线垂直于这个平面. （4）一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面. （5）垂直于同一平面的两条直线平行.（6）如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直 【例题选讲】例1.已知,,垂足分别为A,B.求证：CDAB.例2. 已知：如图AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上任一点. 求证：BC 平面PAC.2 / 2ABCDEABCDABCHP例3.已知四面体ABCD 中，AB=AC,DB=DC.求证：BCAD【巩固提高】1.已知四面体ABCD 满足AB=AC=AD,且，点E 是BD 的中点，求证：AE 平面BCD2.P 是△ABC 所在平面外的一点，PA ⊥PB , PB ⊥PC , PC ⊥PA , H 是△ABC 的垂心 , 求证：PH ⊥平面ABC。

人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系教学设计一、教学目标1.了解空间中垂直关系的概念和性质，掌握相关的基本概念和定义；2.能够运用垂直关系的定义，判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直，解决与垂直相关的简单问题；3.通过垂直关系的学习，增强学生的空间想象能力和数学思维水平。

二、教学重点和难点1.垂直关系的定义和应用；2.掌握判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法；3.解决与垂直相关的简单问题。

三、教学方法本课采用讲授、讨论和练习相结合的教学方法，倡导“启发式”教学，让学生在教师的引导下自主思考，发掘规律和方法，并通过课堂讨论和解决问题的过程中加深对知识的理解和记忆。

四、教学步骤1. 引入（10分钟）通过一个有趣的例子，激发学生对垂直关系的兴趣，引导学生了解垂直关系的概念和性质。

举例：小明在修建房屋时，需要确定柱子是否和地面垂直。

那么，垂直现象出现在我们生活中的哪些场合呢？2. 讲解垂直关系的基本概念和定义（20分钟）通过演示、讲解等方式，介绍垂直关系的定义和性质，如“两条直线垂直的条件是什么？两个平面垂直的条件是什么？”等等。

3. 探究垂直关系的应用（30分钟）带领学生探究判断两条直线、两个平面、线段和直线、线段和平面等是否垂直的方法和步骤，并通过练习，帮助学生巩固相关知识，增强应用能力。

4. 实际应用（30分钟）分组或个人作业，设计一些实际问题，让学生通过运用垂直关系的知识，解决实际问题。

举例：如何确定大型建筑物的每根柱子是否与地面垂直？5. 总结（10分钟）对本节课的重点知识、难点问题进行总结，并对学生问题进行答疑解惑，解决学生的困惑。

五、教学工具黑板、粉笔、几何模型、PPT等。

六、教学评价1.通过课堂练习，检验学生对垂直关系的掌握程度；2.通过实际应用的作业，检验学生对垂直关系的应用能力；3.通过教师观察、记录等方式，评价学生的表现和进步情况。

1.2.3 空间中的垂直关系(1)——直线与平面垂直自主学习学习目标1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并能灵活应用定理证明有关问题．自学导引1．如果直线l与平面α内的________________________，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作________，直线l叫做____________________，平面α叫做________________，它们的唯一公共点叫做________．垂线上任一点到垂足之间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到这个平面的距离．2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条________直线垂直，则这条直线与这个平面________．3．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么________________________．4．直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线________．5．垂直于同一条直线的两个平面________．对点讲练知识点一线面垂直的判定例1如图所示，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥面SAC.点评(1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路．(2)线面垂直的定义，给出了线面垂直的必备条件，即直线垂直于平面内的所有直线，是直线垂直平面的必要条件．作为直线与平面垂直的判定并不实用．变式训练1如图所示，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE 于点H.求证：AH⊥平面BCD.知识点二证明线线垂直例2如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB，AG⊥SD.点评本题的证明过程很具有代表性，即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化．变式训练2如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥AE.知识点三直线与平面垂直的性质定理的应用例3已知，如图所示，直线a⊥α，直线b⊥β，且AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c.点评判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特征几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系．变式训练3如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF⊥AC，EF⊥A1D，求证：EF∥BD1.1．直线与平面垂直的判定方法：(1)定义，(2)判定定理．由直线和平面垂直的判定定理知，把线线垂直关系转化为线面垂直关系．在判定定理中，注意“两条”和“相交直线”的重要性．判定线面垂直关键在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直．(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．这个命题也可作为线面垂直的一个判定方法．证明时常用的转化关系：线线垂直判定定理定义线面垂直．2．直线与平面垂直的性质定理是平行关系与垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面.课时作业一、选择题1．下列命题中正确的个数是( )①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α； ③如果直线l 不垂直于α，则α内没有与l 垂直的直线；④如果直线l 不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l 垂直． A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是( ) A ．垂直且相交 B ．相交但不一定垂直 C ．垂直但不相交 D ．不垂直也不相交3．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )A ．12B ．24C ．36D ．48 4．如果直线l 与平面α不垂直，那么在平面α内( ) A ．不存在与l 垂直的直线 B ．存在一条与l 垂直的直线C ．存在无数条与l 垂直的直线D ．任意一条直线都与l 垂直5．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m∥n m⊥αn⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn⊥αm∥n；③⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn∥αm⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m∥αm⊥n n⊥α. A ．1B ．2C ．3D ．4题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题 6．点P 为△ABC 所在面外一点，若PA ＝PB ＝PC ，且PO⊥面ABC ，则O 为△ABC 的________心．7．已知P 是△ABC 所在平面外的一点，点P 与AB 、AC 、BC 的距离相等，且点P 在△ABC 上的射影O 在△ABC 内，则O 一定是△ABC 的________心．8．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，BC ＝CC 1，当底面A 1B 1C 1满足条件________时，有AB 1⊥BC 1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．三、解答题 9.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD.(1)求证：CD⊥PD；(2)求证：EF⊥平面PCD.10.如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，E是VC的中点，D是VA上的点，若DE⊥平面VBC，试确定D点的位置．【答案解析】自学导引1．任意一条直线都垂直l⊥α平面α的垂线直线l的垂面垂足2．相交垂直3．另一条也垂直于这个平面4．平行5．平行对点讲练例1证明(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD.又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD.∵SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.变式训练1 证明取AB中点F，连接CF、DF，∵AC＝BC，∴CF⊥AB.又∵AD＝BD，∴DF⊥AB，又∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF，∴AB⊥CD.又BE⊥CD，且AB∩BE＝B，直线CD⊥平面ABE.∴CD⊥AH.而AH⊥BE，CD∩BE＝E，∴AH⊥平面BCD.例2证明因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.又BC⊥AB，SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB，又AE平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AEFG，所以SC⊥AE.又BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC，所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.变式训练2 证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB.∴CF⊥AE.例3证明过点B引直线a′∥a，a′与b确定的平面设为γ，因为a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又AB⊥b，a′∩b＝B，所以AB⊥γ.因为b⊥β，cβ，所以b⊥c.①因为a⊥α，cα，所以a⊥c.又a′∥a，所以a′⊥c.②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.变式训练3 证明连接AB1，B1C，B1D1，BD. ∵B1B⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥B1B.又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BDD1B1.又∵BD1平面BDD1B1∴AC⊥BD1，同理可证B1C⊥BD1.∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，又BD1⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.课时作业1．B 2.C3．C [正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．]4．C 5.C6．外7．内解析如图所示，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，分别交AB、AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影，连接OD、OE、OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等，且PO⊥平面ABC，所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO，∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，所以OD＝OE＝OF.因为PO⊥AB，PD⊥AB且PD∩PO＝P.所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD.同理可以证得OF⊥BC，OE⊥AC.又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离相等，故O为三角形ABC的内心．8．∠A1C1B1＝90°解析如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)9．证明(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA.又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又∵G、F分别是PD，PC的中点，∴GF 12 CD，又AE 12 CD，∴GF AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF.∵PA＝AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG平面PAD.∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD.10．解∵AB是底面圆的直径，C是圆上一动点，∴AC⊥BC.又VC⊥底面ABC，AC平面ABC，∴VC⊥AC.又BC∩VC＝C，∴AC⊥平面VBC.又DE⊥平面VBC，∴直线DE∥AC，又E在平面VAC内，E为VC的中点，∴D点为VA的中点。

1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直[学习目标] 1.了解直线与平面垂直的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理.3.掌握一些求点到平面距离的常用方法.[知识链接]生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等.在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？[预习导引]1.直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直.2.直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.3.直线与平面垂直的性质如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.4.直线与平面垂直的判定定理及其推论定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.要点一直线和平面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是________.①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直.答案③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确.根据线面垂直的定义，若l⊥α则l与α的所有直线都垂直，所以④正确.规律方法 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.跟踪演练1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A.若l⊥m，m⊂α，l⊥αB.若l⊥α，l∥m，则m⊥αC.若l∥α，m⊂α，则l∥mD.若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B解析对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m 异面；对于D，l，m还可能相交或异面.要点二线面垂直的判定例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点.求证：AD⊥平面A1DC1.证明∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，显然A1C1⊂平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.规律方法证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪演练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.证明∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.要点三直线与平面垂直的性质及应用例3如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.规律方法证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪演练3如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a ⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.证明因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.不确定答案 B解析由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直.2.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直答案 C解析连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.3.下列表述正确的个数为()①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；②若直线a⊄平面α，b⊂α，且a⊥b，则a⊥α；③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α；④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.A.0B.1C.2D.3答案 A解析①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内；②中a与α还可能平行或斜交；③中a还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错.4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③B.②C.②④D.①②④答案 A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.5.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个.①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.答案 2解析由线面垂直的性质定理知①④正确.1.直线与平面垂直的判定方法：(1)利用定义；(2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线.2.对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解：(1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法.(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.。

人教版高中必修2(B版)1.2.3空间中的垂直关系课程设计一、课程目标通过本课程的学习，学生将能够：1.掌握空间直线和平面的基本概念和相关性质；2.理解垂直关系的定义和特性；3.熟练掌握垂直关系的判定方法，并能在实际问题中运用；4.培养学生的空间想象和几何证明能力。

二、教学内容本课程的教学内容主要包括以下三个部分：1. 空间直线和平面的基本概念和相关性质1.直线的定义及其特点；2.平面的定义及其特点；3.直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及其判定方法；4.直线和平面的交、垂足、投影等概念。

2. 垂直关系的定义和特性1.垂直关系的定义；2.垂直关系的性质；3.正交坐标系的建立及其应用。

3. 垂直关系的判定方法和实际应用1.垂直关系的判定方法；2.垂线的性质；3.垂直关系在直线、平面交角和空间角中的应用；4.垂足、投影的实际应用。

三、教学过程1. 导入（15分钟）介绍本课程的教学目标和内容，并通过展示直线、平面和正交坐标系等教具，激发学生的学习兴趣和想象力。

2. 知识点讲解（80分钟）根据教学大纲，系统地讲解课程中的相关知识点，包括各种概念、定理、性质、判定方法和应用等，同时通过具体的几何图形和实际问题进行讲解和解题指导。

3. 课堂练习（50分钟）组织学生进行课堂练习，加强对知识点的理解和掌握，同时培养学生的几何想象和证明能力。

4. 课后作业（15分钟）布置课后作业，要求学生巩固和扩展课堂所学知识点，同时要求学生归纳总结本课程的学习内容。

四、教学方法本课程采用多种教学方法相结合，包括讲授法、演示法、问答式教学、小组讨论和课堂练习等，旨在提高学生的学习兴趣和参与度，加强知识点的记忆和理解，培养学生的科学思维和解决问题的能力。

五、教学评估本课程采用多项评估方法，包括课堂表现评估、课堂练习成绩评估和课后作业评估等，旨在全面评估学生对本课程所学内容的掌握和应用能力。

同时，也为调整和优化教学过程提供参考和依据。

数学人教B 必修2第一章1.2.3 空间中的垂直关系第一课时1．通过直观感知、操作确认，归纳出空间中线面垂直的相关定理、推论和性质． 2．掌握直线与平面垂直的判定定理和性质，并能利用以上定理和性质解决空间中的相关垂直性问题．把直线AB 画成和表示平面的平行四边形的一边________.【做一做1】如果一条直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的位置关系为( )．A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不确定 2．直线与平面垂直的判定定理与推论(1)判定定理：如果一条直线与平面内的________直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．(2)推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线________这个平面．推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．利用定义来判断直线与平面垂直是不方便的，因为“任意一条直线”是不方便研究的，因此根据确定平面的条件，找到两条相交直线便可确定一个平面，这样易于判断直线和平面垂直．【做一做2－1】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是( )． A ．平面DD 1C 1C B ．平面A 1DCB 1 C ．平面A 1B 1C 1D 1 D ．平面A 1DB【做一做2－2】已知α是平面，a ，b 是直线，且a ∥b ，a ⊥平面α，则b 与平面α的位置关系是( )．A ．b ⊂平面αB ．b ⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交但不垂直1．对直线与平面垂直的理解剖析：(1)定义中的“任何直线”是说这条直线和平面内所有过交点的直线垂直．(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式．(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直，如若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.简述之，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．2．若一条直线垂直于平面内的无数条直线，探讨这条直线与平面的关系剖析：给出平面α内的一条直线a，在该平面内与直线a平行的直线有无数条，所有与a垂直的直线，必与a的平行线垂直，却不一定与平面α垂直．如图所示，直线B1C1与平面AC内的直线AB垂直，且在平面AC内与AB平行的所有直线都与B1C1垂直，但直线B1C1∥平面AC．因此以下两个命题均是错误的，需要引起重视．命题①：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面；命题②：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面．3．教材中的“思考与讨论”(1)垂直于同一条直线的两个平面是否平行？为什么？(2)如何定义两平行平面的距离？剖析：(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．已知：AA′⊥α，AA′⊥β，求证：α∥β.证明：如图所示，设经过直线AA′的两个平面γ，δ分别与平面α，β相交于直线b，b′和a，a′.∵AA′⊥α，AA′⊥β，∴AA′⊥a，AA′⊥a′.AA′，a，a′都在平面δ内，由平面几何知识：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．∴a∥a′，∴a′∥α(线面平行的判定定理)．同理b′∥α.又∵a′∩b′＝A′，∴α∥β.(2)我们可以这样定义两平行平面的距离．由问题(1)可知，对于两个平行的平面α，β一定存在着与它们都垂直的直线，设为l，这样的直线l称为两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段，如图所示，如果AA′，BB′都是平面α与β的公垂线段，那么AA′∥BB′.根据两个平面平行的性质定理，有AB∥A′B′，所以四边形AA′B′B是平行四边形，故AA′＝BB′.由此我们得到，两个平行平面的公垂线段都相等．因此，我们可以把公垂线段的长度定义为两个平行平面间的距离．题型一线面垂直的判定定理的应用【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC．分析：要证B1O⊥平面PAC，根据直线和平面垂直的判定定理，只需证B1O垂直于平面PAC内两条相交直线．反思：(1)正方体是最常见的几何体，正方体的面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊的位置关系，它是研究直线和平面关系最为简单的模型之一．本题抓住了特殊几何体——正方体及特殊点P的位置关系，运用勾股定理的逆定理，通过计算证明了直线和直线垂直，再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直．(2)证明直线与平面垂直时，一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直，如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的，得到错误的结论．题型二线面垂直性质的应用【例2】如图所示，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F.(1)求证：AF ⊥SC ；(2)若平面AEF 交SD 于点G ，求证：AG ⊥SD ． 分析：线线垂直通常由线面垂直来证．反思：线面垂直和线线垂直在推理中是经常加以转化的，证线线垂直的常用思路为： 线面垂直――→定义线线垂直――→判定定理线面垂直――→定义线线垂直题型三 有关平行、垂直的综合问题 【例3】如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．(1)求证：FH ∥平面EDB ；(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求四面体B －DEF 的体积．分析：(1)证明E 与底面中心G 的连线和FH 平行即可；(2)先证FH 是平面ABCD 的垂线，再说明AC ⊥BD 与AC ⊥EG 即可得证； (3)关键是抓住四面体的高BF ，再运用体积公式求解．反思：有关平行、垂直的综合问题，关键要理清几何体的有关线段长度及位置关系，然后再根据目标逐一寻找关键要素，如(1)问中关键是求一平行线，(2)问中关键在于连续使用线面垂直进行过渡，(3)问中的关键是找准高．题型四 易错辨析【例4】已知：线段AB 的中点为O ，O ∈平面α. 求证：A ，B 两点到平面α的距离相等．错解：如图所示，过点A ，B 作平面α的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则AA 1，BB 1分别是点A ，B 到平面α的距离．又在Rt △AOA 1和Rt △BOB 1中，AO ＝BO ，∠B 1OB ＝∠AOA 1，∴Rt △AOA 1≌Rt △BOB 1，∴AA1＝BB1，即A，B两点到平面α的距离相等．错因分析：一是忽略了AB⊂α的情况说明，二是认为∠AOA1和∠BOB1为对顶角而相等，其实应说明B1，O，A1共线才行．1将直线与平面垂直的判定定理“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面”用集合符号语言表示为()．A．m⊂α，m∩n＝B，l⊥n，l⊥m⇒l⊥αB．m⊂α，n⊂α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n⇒l⊥αC．m⊂α，n⊂α，m∩n＝B⇒l⊥n，l⊥m，l⊥αD．m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α2一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()．A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定3下列命题：①平行于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两直线平行；③平行于同一直线的两平面平行；④垂直于同一直线的两平面平行．其中正确的有()．A．②和④B．①②和④C．③和④D．②③和④4如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB＝5 cm，AC＝2 cm，则B到平面PAC的距离为__________．5如图，已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．求证：AB⊥平面PCD．答案：基础知识·梳理1．任何直线都垂直AB⊥α垂直垂线垂面垂足垂线段距离任意一条【做一做1】D2．(1)两条相交(2)也垂直于平行【做一做2－1】B由直线与平面垂直的判定定理可以证明与AD1垂直的平面是平面A1DCB1.【做一做2－2】B典型例题·领悟【例1】证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设其棱长为2a，因为B1B⊥平面AC，且AC⊂平面AC，所以B1B⊥AC.又O是正方形ABCD的中心，所以AC⊥BD.所以AC⊥平面B1BO.而B1O⊂平面B1BO，所以B1O⊥AC.又PO2＋OB21＝3a2＋6a2＝9a2，PD21＋B1D21＝a2＋8a2＝9a2,PB21＝PD21＋B1D21，所以PO2＋OB21＝PB21.所以B1O⊥PO.又PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC.【例2】证明：(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC.又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF.∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.又AD⊥DC，∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC.∴AG⊥SD.【例3】(1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH，由于H为BC的中点，故GH 12AB.又EF12AB，∴EF GH.∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH.而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC. 又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB. (3)解：∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF.∴BF为四面体B－DEF的高．又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝ 2.V B－DEF＝13×12×1×2×2＝13.【例4】正解：(1)当线段AB⊂平面α时，显然A，B到平面α的距离均为0，相等．(2)当AB⊄平面α时，如图，分别过点A，B作平面α的垂线，垂足分别为A1，B1，则AA1，BB1分别是点A，B到平面α的距离，且AA1∥BB1.∴AA1与BB1确定一个平面，设为β，则α∩β＝A1B1.∵O∈AB，AB⊂β，∴O∈β.又∵O∈α，∴O∈A1B1.∴AA1⊥A1O，BB1⊥B1O.∵∠AOA1＝∠BOB1，AO＝BO，∴Rt△AA1O≌Rt△BB1O.∴AA1＝BB1，即A，B两点到平面α的距离相等．随堂练习·巩固1．B2．B一条直线垂直于三角形的两条边，那么这条直线必垂直于这个三角形所在的平面，因而必与第三边垂直．3．A4．21cm∵C为圆周上的一点，AB为直径，∴BC⊥AC.又∵PA⊥平面⊙O，BC⊂平面⊙O，∴PA⊥BC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，C为垂足，∴BC即为B到平面PAC的距离．在Rt△ABC中，BC＝AB2－AC2＝52－22＝21(cm)．5．证明：∵α∩β＝AB，PC⊥α，∴PC⊥AB.同理PD⊥AB.又PC∩PD＝P，PC，PD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD.。

1.2.3 空间中的垂直关系 第一课时 直线与平面垂直年 月 日一、复习：（1）在平面上两条直线垂直是如何定义的？（2）在平面上线段AB 的垂直平分线有几条？在空间呢？ （3）在右图的长方体中，棱AA 1 与棱AB 有何关系？棱AA 1 与棱AD 有何关系？ 棱AA 1 与平面ABCD 有何关系？1A二、自主学习：自学47P -50P 回答；1。

线线垂直：在空间，如果两条直线 或平移后 ，并且交角为 ，则称这两条直线互相垂直。

2。

直线与平面垂直：定义： 如果一条直线（AB ）和一个平面（α）相交于点O ，并且和这个平面内过交点（O ）的任何直线 ，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的 ，这个平面叫做直线的 ，交点叫做 。

垂线上任意一点到垂足间的线段叫做这个点到这个平面的 。

垂线段的长度叫做这个。

性质：由直线与平面垂直的定义可知：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和这个平面内的任意直线 。

此性质用符号语言表示为： 画法：通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边 。

记法：直线l 和平面α互相垂直，记作： 。

3。

直线与平面垂直的判定定理：判定定理：如果一条直线与平面内的两条 直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。

此定理用符号语言表示为：推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条 这个平面。

此推论用符号语言表示为： 推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 。

此推论用符号语言表示为： 思考：垂直于同一条直线的两个平面有怎样的位置关系？ 三、典型例题：自学50P 例1、例2、例3补充例4．如图1-2-62所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SA=SB=SC ，点D 为斜边AC 的中点。

（1）求证：SD ⊥平面ABC ；（2）若AB=BC ，求证：BD ⊥面SAC 。

四、学生练习：51P 练习A 、B五、小结： 六、作业：1．空间四边形ABCD 的四边相等，则它的两对角线AC 、BD 的关系是（ ）A ．垂直且相交B ．相交但不一定垂直C ．垂直但不相交D ．不垂直也不相交 2．已知平面α及α外一直线l ，下列命题中：①若l 垂直α内两直线，则α⊥l ；②若l 垂直α内所有直线则α⊥l ；③若l 垂直α内两条平行直线，则α⊥l ；④若l 垂直α内无数条直线，则α⊥l ；⑤若l 垂直α内任一条直线，则α⊥l 。

ABCDA 1B 1C 1D 1C DαβA B CDαβl1.2.3空间中的垂直关系（2）【昨日重现】如图所示正方体1AC 中，求证：1AC ⊥平面1BDC【创设情境】1.直线与平面垂直的判定定理： .(符号表示)2.直线与平面垂直的性质定理： .（符号表示） 【概念形成】1.两个平面互相垂直概念： ____________________________________________________________________________________________________________________________________________2.平面与平面垂直的判定定理： . 符号语言表示： ．3.平面与平面垂直性质定理： .已知：求证： 证明：【例题选讲】例1.已知：平面⊥α平面β，在α与β 的交线上取线段AB=4cm ，AC,BD 分别在α和β内，它们都垂直于交线AB ，并且AC=3cm ，BD=12cm ，求CD 的长.例2．已知Rt ∆ABC 中，AB=AC=a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角. 求证：（1）平面ABD ⊥平面BDC ，平面ACD ⊥平面BDC (2)∠BAC=60.B AB C D EPABCDN【巩固提高】1.若l 为一条直线，,,αβγ为三个互不重合的平面，判断下面三个命题真假.（1）,αγβγαβ⊥⊥⇒⊥； （2）,//αγβγαβ⊥⇒⊥；（3）//,l l αβαβ⊥⇒⊥; 2.如图，有一个正三棱锥体的零件，P 是侧面ACD 上一点，在面ACD 上过点P 画一条与棱AB 垂直的线段，怎样画法？并说明理由.3. 1.已知空间四边形ABCD 中，AC=AD,BC=BD,且E 是CD 的中点，求证：（1）平面ABE ⊥平面BCD.（2）平面ABE ⊥平面ACD.2.如图：四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD,M,N 分别是AB,PC 的中点，PA=AD=a .（1）求证：MN//平面PAD.（2）求证：平面PMC ⊥平面PCD.。

空间中的垂直关系第课时直线与平面垂直[学习目标].了解直线与平面垂直的概念.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理.掌握一些求点到平面距离的常用方法.[知识链接]生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等.在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？[预习导引].直线与直线垂直经过平移后相交于一点，并且交角为如果两条直线相交于一点或，则称这两条直线互直角相垂直..直线与平面垂直的定义()的如果一条直线和一个平面相交于点，并且和这个平面内过交点任何直线都垂直，我们垂直就说这条直线和这个平面互相，这条直线叫做平面的垂线直线的垂面，这个平面叫做.，交点叫做垂足垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段垂线段.的长度叫做这个点到平面的.距离.直线与平面垂直的性质如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的.任意一条直线垂直.直线与平面垂直的判定定理及其推论定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.平行直线推论：如果在两条中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.垂推论：如果两条直线直于同一个平面，那么这两条直线平行.要点一直线和平面垂直的定义例下列命题中，正确的序号是.①若直线与平面α内的一条直线垂直，则⊥α；②若直线不垂直于平面α，则α内没有与垂直的直线；③若直线不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与垂直；④若平面α内有一条直线与直线不垂直，则直线与平面α不垂直.答案③④解析当与α内的一条直线垂直时，不能保证与平面α垂直，所以①不正确；当与α不垂直时，可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确.根据线面垂直的定义，若⊥α则与α的所有直线都垂直，所以④正确.规律方法.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直..由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若⊥α，⊂α，则⊥.跟踪演练设，是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是().若⊥，⊂α，⊥α.若⊥α，∥，则⊥α.若∥α，⊂α，则∥.若∥α，∥α，则∥答案解析对于，直线⊥，并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于，因⊥α，则垂直α内任意一条直线，又∥，由异面直线所成角的定义知，与平面α内任意一条直线所成的角都是°，即⊥α，故正确；对于，也有可能是，异面；对于，，还可能相交或异面.要点二线面垂直的判定例如图所示，在三棱柱中，侧棱⊥底面，＝＝，＝，∠＝°，为的中点.求证：⊥平面.证明∵⊥底面，平面∥平面，∴⊥平面，显然⊂平面，∴⊥.又∠＝°，∴⊥而∩＝，∴⊥平面，⊂平面，∴⊥.。

1.2.3 空间中的垂直关系(2)——平面与平面垂直自主学习学习目标1．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理，判定两个平面互相垂直．2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．自学导引1．如果两个相交平面的交线与第三个平面______，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相______，就称这两个平面互相垂直．2．如果一个平面过另一个平面的__________，则两个平面互相垂直．3．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个平面．对点讲练知识点一面面垂直的证明例1如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.点评将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键，另外利用面面垂直的定义求二面角的平面角是90°(如例1)．变式训练1如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.知识点二面面垂直的性质定理的应用例2如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.点评证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．变式训练2 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.知识点三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．点评 证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．变式训练3 在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB ＝BC.能否在侧棱BB 1上找到一点E ，使得截面A 1EC⊥侧面AA 1C 1C ？若能找到，指出点E 的位置；若不能找到，说明理由．1．面面垂直的证法 (1)定义法； (2)判定定理法． 2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．至此判定线面垂直的方法主要有以下五种：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理； (3)面面垂直的性质定理；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，⎭⎪⎬⎪⎫a∥b a⊥α b⊥α.(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，⎭⎪⎬⎪⎫α∥βa⊥αβ.课时作业一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( ) A ．a⊥β B ．a∥βC．a与β相交D．以上都有可能2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )A．0条B．1条C．2条D．无数条3．已知m、n为不重合的直线，α、β、γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是( ) A．m⊥α，β，α⊥βB．α⊥γ，β⊥γα∥βC．α∥β，m⊥α，n∥βD．α⊥β，α∩β＝m，β4.如图所示，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则在平面PAB、平面PAD、平面PCD、平面PBC及平面ABCD中，互相垂直的有( )A．3对B．4对C．5对D．6对5.如图所示，在立体图形D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE二、填空题6．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；α，β，且l⊥m，则α⊥β；③若β，且l⊥α，则α⊥β；④若α，β，且α∥β，则l∥m.其中正确的命题的序号是________．7．空间四边形VABC的各边及对角线均为1，M是VB的中点，则平面ACM与平面VAB的位置关系是________．8.如图所示，已知，PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点．则图中面面垂直的共有________对．三、解答题9．在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.10.如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【答案解析】自学导引1．垂直垂直2．一条垂线3．交线对点讲练例1证明连接AC，设AC、BD交点为F，连接EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.变式训练1 证明∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.例2证明(1)连接PG，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.变式训练2 证明设AC∩BD＝O，连接EO，则EO∥PC.∵PC＝CD＝a，PD＝2a，∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，∴PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.又平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.例3证明(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC ，平面PAC ，∴DF⊥AP. 作DG⊥AB 于G. 同理可证DG⊥AP.DG 、DF 都在平面ABC 内，且DG∩DF＝D ， ∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE 并延长交PC 于H. ∵E 是△PBC 的垂心，∴PC⊥BE.又已知AE 是平面PBC 的垂线，∴PC⊥AE. ∴PC⊥面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC ，∴PA⊥AB. 又PC∩PA＝P ，∴AB⊥平面PAC. ∴AB⊥AC，即△ABC 是直角三角形． 变式训练3 解假设能够找到符合题意的点E.如图所示，作EM⊥A 1C 于点M.因为截面A 1EC⊥侧面AA 1C 1C ，所以EM⊥侧面AA 1C 1C.取AC 的中点N ，连接MN ，BN ，因为AB ＝BC ，所以BN⊥AC. 又因为AA 1⊥BN，所以BN⊥侧面AA 1C 1C ，所以BN∥EM. 因为平面BEMN∩平面AA 1C 1C ＝MN ， BE∥平面AA 1C 1C ，所以BE∥MN∥A 1A. 因为AN ＝NC ，所以A 1M ＝MC.因为四边形BEMN 为矩形，所以BE ＝MN ＝12A 1A.所以当E 为BB 1的中点时，平面A 1EC⊥侧面AA 1C 1C. 课时作业 1．D2．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．] 3．C4．C [面PAB⊥面AC ，面PAB⊥面PBC ，面PAD⊥面AC ，面PAD⊥面PCD ，面PAB⊥面PAD.]5．C [∵AB＝CB ，且E 是AC 的中点， ∴BE⊥AC.同理有DE⊥AC.∴AC⊥平面BDE.∵AC 平面ABC ， ∴平面ABC⊥平面BDE. 又平面ACD ，∴平面ACD⊥平面BDE.] 6．①③ 7.垂直 8.3 9.证明 在平面PAB 内， 作AD⊥PB 于D.∵平面PAB⊥平面PBC ， 且平面PAB∩平面PBC ＝PB. ∴AD⊥平面PBC.又平面PBC ，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面ABC ，平面ABC ，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB. 又平面PAB ，∴BC⊥AB.10．证明 (1)如图所示，取EC 的中点F ，连接DF.∵EC⊥BC，DF∥BC， ∴DF⊥EC.在Rt△EFD 和Rt△DBA 中， ∵EF＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ，∴Rt△EFD≌Rt△DBA，故ED ＝DA. (2)取CA 的中点N ，连接MN 、BN ， 则12EC. ∴MN∥BD，∴N 点在平面BDM 内． ∵EC⊥平面ABC ，∴EC⊥BN. 又CA⊥BN，∴BN⊥平面ECA.∵BN 在平面MBD 内，∴平面MBD⊥平面ECA. (3)∵BD12EC ，MN 12EC ， ∴MNBD 为平行四边形．∴DM∥BN.又BN⊥平面ECA ，∴DM⊥平面ECA.又平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.。

1.2.3 空间中的垂直关系(一)--线线垂直、线面垂直【学习目标】1.掌握直线与平面的位置关系.２掌握直线和平面平行的判定与性质定理．3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题．垂线：垂面：垂足：思考：在平面中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，那么在空间。

(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？答：(2)过一点有几条平面与已知直线垂直？答：2.直线和平面垂直的判定定理：符号表示推论1：推论2：直线和平面垂直的性质定理：3、过一点和已知平面垂直的直线。

考点探究案典例剖析考点突破考点一线面垂直的判定考向1 线面垂直的判断【例1】1.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线（）A．只有一条B．有无数条C．所有直线D．不存在变式训练：经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个考向2 线面垂直的判定定理【例2】如图, 已知PA ⊥α, PB ⊥β, 垂足分别为A 、B, 且α∩β= l , 求证: AB ⊥l .考点二 线面垂直的性质【例4】 .已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 .(1)求证: A 1C ⊥B 1D 1 ;(2)若M 、N 分别为B 1D 1与C 1D 上的点, 且MN ⊥B 1D 1 , MN ⊥C 1D , 求证: MN//A 1C .A BP α β lD 11B 1变式训练：.在△ABC 中，∠Ｂ＝90°，SA ⊥面ABC ，AM ⊥SC ，AN ⊥SB 垂足分别为N 、M ，求证：AN ⊥BC ，MN ⊥SC巩固提高案 日积月累 提高自我1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线.其中正确的命题共有 （ ）A .1个B .2个C .3个D .4个4、已知直线m 、n 和平面α、β满足m ⊥n ，m ⊥α，α⊥β，则（ ）A.n ⊥βB.n ∥β，或n β⊂C.n ⊥αD.n ∥α,或n α⊂5.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有( )N M C BASA.DP⊥平面PEFB.DM⊥平面PEFC.PM⊥平面DEFD.PF⊥平面DEF6.设a、b是异面直线，下列命题正确的是( )A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直C.过a一定可以作一个平面与b垂直D.过a一定可以作一个平面与b平行7.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m α和m⊥γ,那么必有( )A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ8.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为( )A.1B.2C.552D.5539.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直其中正确命题的个数为( )A.0B.1C.2D.310.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a⊥α，b⊥β，则下面正确的结论是( )A.α与β必相交且交线m∥d或m与d重合B.α与β必相交且交线m∥d但m与d不重合C.α与β必相交且交线m与d一定不平行D.α与β不一定相交11.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，给出下列命题①若m⊥α，则m∥l；②若m⊥l，则m∥α；③若m∥α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α，其中真命题．．．的序号是( )A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④12.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中正确的命题是( )A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②。

直线与平面垂直教学设计（一）一、本节内容分析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。

直线与平面垂直的定义：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就称这条直线与这个平面互相垂直。

定义中的“任意一条直线”就是“所有直线”。

定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线。

直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

该定理把原来定义中要求与任意一条（无限）直线垂直转化为只要与两条（有限）相交直线垂直就行了，使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性。

对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开，而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程展开，通过该内容的学习，进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力，发展学生的合情推理能力、一定的推理论证能力和运用图形语言进行交流的能力。

同时体验和感悟转化的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“直线与直线垂直和直线与平面垂直的相互转化”。

教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

二、教学目标分析目标：理解直线与平面垂直的意义，掌握直线与平面垂直的判定定理。

1、借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义。

2、通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理。

3、能运用直线与平面垂直的判定定理，证明与直线和平面垂直有关的简单命题：在平面内选择两条相交直线，证明它们与平面外的直线垂直。

4、能运用直线与平面垂直定义证明两条直线垂直，即证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面。