黑龙江省哈尔滨市哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高一下学期第一次月考数学试题(含精品解析)
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高一学年4月份月考题
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1.数列的一个通项公式是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可通过取值依次验证通项公式，排除法得到结果.
【详解】
选项：当
时，
，不合题意，错误；
选项：当
时，
，不合题意，错误；
选项：当
时，
，不合题意，错误；
选项：
，可知符合数列通项形式，正确.
本题正确选项：
【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题.
2.
已知向量
，
，
，且，则实数 ( )
A. B. 0C. 3
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据
得到：，利用坐标运算求解出结果.
【详解】由题意可知：
又
，即
可得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量垂直的性质、向量的坐标运算，属于基础题.
3.在中，
，，则外接圆的面积是（ ）
A.
B. C. D. 【答案】C
【解析】
分析：利用正弦定理来求外接圆的半径，从而得到外接圆的面积.
详解：因为
，所以
，外接圆的面积为，故选C.
点睛：在三角形中，与外接圆的半径有关的公式是：（1
），（2）
.
4.
已知等差数列的前
项和为
，若，则的值是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】
根据的二次函数特性，利用对称轴求出结果.
【详解】
等差数列
可看做关于的二次函数且
对称轴为：又
本题正确选项：
【点睛】本题考查等差数列前项和的二次函数性，属于基础题.
5.在△ABC
中，，则（ ）
A.
B.
C.
或D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理构造方程，解方程求得结果.
【详解】由余弦定理：
可得：
解得：
或
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查基础运算能力.
6.
已知等差数列
满足
，，则它的前10
项的和（ ）
A. 138B. 135C. 95D. 23
【答案】C
【解析】
试题分析：
∵，
∴，
∴，
∴．
考点：等差数列的通项公式和前n项和公式．
7.
已知
，
，则等于（ ）A. B. C. 或
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
通过
可知
与
夹角为
或
，从而求得，开方得结果.
【详解】由
可知：
，即
与
夹角为或或
或
本题正确选项：
【点睛】本题考查复合向量模长的运算，首先要能够通过条件确定两向量平行，然后先求解模长的平方，
将向量运算转化为模长运算是解题的关键.
8.
等差数列
的公差为
，且
若，则（ ）.
A. 8B. 4C. 6D. 12
【答案】A
【解析】【分析】
由等差数列性质可知，从而求得结果.
【详解】
且为等差数列
，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查等差数列性质的应用，属于基础题.
9.
已知等差数列的前
项和为
，且
则 （ ）
A. 104B. 78C. 52D. 39
【答案】C
【解析】
【分析】
将
化成
和
的形式，得到二者关系，求得
，利用求得结果.【详解】，即
本题正确选项：
【点睛】本题考查等差数列基本项的计算、性质的应用，属于基础题.
10.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB
＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
试题分析：设
，在中，由余弦定理得
，在中由正弦定理得
考点：解三角形
点评：解三角形的题目常借助于正余弦定理实现边与角的互化
11.在
中，设，则动点M的轨迹必通过的（ ）
A. 垂心B. 内心C. 重心
D. 外心
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知条件可得
，整理可得
，若
为中点，
可知
，从而可知
在中垂线上，可得轨迹必过三角形外心.【详解】
设
为中点，则
为的垂直平分线
轨迹必过的外心
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条
件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论.
12.
已知两点为坐标原点，点
在第二象限，且，设
，则等于（ ）A. B. 2C. 1D.
【答案】C
【解析】【分析】
假设点坐标，利用坐标运算建立方程，求得结果.
【详解】由
且在第二象限，可设
，
，
由得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在
中，已知
，当时，的面积为________.
【答案】
【解析】
由
得，，
所以，.
考点：平面向量的数量积、模，三角形的面积.
14.设
0
【答案】
【解析】
【分析】
根据两个向量平行的坐标表示列出方程，利用二倍角公式化简后可求得的值.
【详解】因为向量a∥b，所以sin 2θ－cos θ·cos θ＝0，又cos θ≠0，所以2sin θ＝cos θ，故
tan
θ＝.
【点睛】本小题考查两个向量平行的坐标表示，考查二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式.属于基础
题.15.
已知数列是递减数列,
且对于任意正整数恒成立,则的取值范围是_________.
【答案】【解析】
是递减数列，恒成立
即对于n∈N*
恒成立．而
在时取得最小值3，
，
故答案为
点睛：数列单调性的考查，直接利用递减数列符合恒成立，把问题转化为恒成立问题来解，采用
变量分离很容易得解.
16.
数列中，
，
，则=__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知递推关系式可知数列
为等差数列，求解出的通项后，得到所求通项公式.
【详解】由
得：
可知数列
为等差数列，首项为，公差
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用递推关系求解数列通项公式问题，关键是能够通过递推关系式证得与相关的数列
为等差数列，从而使问题得以求解.
三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17.
设两个向量
、
，满足
，
，
、的夹角为，若向量
与向量
的夹
角为钝角，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析：夹角为钝角可通过数量积为负来解决，但它们之间并不等价，简洁地说，数量积为负排除反向，
即可保证夹角为钝角；数量积为正排除同向，即可保证夹角为锐角.不作排除，就要犯错.
试题解析：由已知得
,
，
.
∴
(
)
(
)
6分
欲使夹角为钝角，需.
得. 8分
设
(
)(
)
10分
∴
，此时. 11分
即
时，向量
与
的夹角为.
∴
夹角为钝角时，
的取值范围是. 13分
考点：向量数量积的应用之一：求夹角.
18.
等差数列
中，
，．
（1
）求数列的通项公式；
（2
）设
，求数列的前n项和．
【答案】（1
）；（2
）
【解析】
【分析】
（1
）根据已知求出
和，从而得到通项公式；（2
）写出
的通项公式，可知当
时，，当
时，
；从而可分别在两个范围内求解.
【详解】（1
）由题意得：
（2
）
当
时，
；
时，
当
时，
当
时，
