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高中数学 第二章 余弦定理教案2 北师大版必修5

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1 余弦定理

教学目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形

教学重点：余弦定理的证明及其基本应用

教学难点：理解余弦定理的作用及其适用范围

教学过程：

问题提出：

在三角形中，已知两角及一边，或已知两边和其中一边的对角，可以用利用正弦定理求其他的边和角，那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它的三个角呢？

分析理解：

1．余弦定理的向量证明：

设△ABC三边长分别为a, b, c AC=AB+BC

AC•AC=(AB+BC)•(AB+BC)=AB2+2AB•BC+BC2

=)180cos(||||2||02BBCABAB

22cos2aBacc

即：Baccabcos2222

同理可得：Abccbacos2222

Cabbaccos2222

2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

3．强调几个问题：

1 熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等

2 知三求一

3 当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例） cbaCBA

2 4 变形：bcacbA2cos222 acbcaB2cos222

accbaC2cos222

余弦定理的应用

能解决的问题：1．已知三边求角 2．已知三边和它们的夹角求第三边

例1、如图，有两条直线AB和CD相交成080，交点是O，甲、乙两人同时从点O分别沿OCOA,方向出发，速度分别是hkmhkm/5.4,/4，3小时后两人相距多远（结果精确到km1.0）

分析：经过3时后，甲到达点P，kmOP1234，乙到达点Q，kmOQ5.1335.4

问题转化为在OPQ中，已知kmOP12，kmOQ5.13，080POQ，求PQ的长

解：经过3时后，甲到达点P，kmOP1234，乙到达点Q，kmOQ5.1335.4

依余弦定理有POQOQOPOQOPPQcos222

02280cos5.131225.1312

)(4.16km

答：3时后两人相距约为km4.16

例2：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托期用来构造无理数2，3，5，„„的图形，试计算图中线段BD的长度及DAB的大小（长度精确到1.0，角度精确到01）

解：在BCD中，0135,1,1BCDCDBC

因为 BCDCDBCCDBCBDcos2222

22135cos11211022

所以 8.1BD 800QPDCBAo32111DCBA

3 在ABD中，3,22,1ADBDAB

因为 1691.0312)22()3(12cos22222ADABBDADABDAB

所以 080DAB

思考交流：

你还能用其他方法求线段BD的长度及DAB的大小吗？（用解直角三角形的方法及三角函数知识加以解决）

课堂小结：余弦定理及其应用

课堂作业：

1、若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则△ABC

（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.

（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.

解析：由sin:sin:sin5:11:13ABC及正弦定理得a:b:c=5:11:13

由余弦定理得0115213115cos222c，所以角C为钝角

2、（2010江西理数）E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF（ D ）

A. 2716 B.32 C.33 D.43

【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。

解法1：约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦定理得4cos5ECF，

解得3tan4ECF

解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),

C（0,3）利用向量的夹角公式得4cos5ECF，

4 解得3tan4ECF。

3、（2010天津理数）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若223abbc，sin23sinCB，则A=（ A ）

（A）030 （B）060 （C）0120 （D）0150

【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。

由由正弦定理得232322cbcbRR，

所以cosA=2222+c-a322bbccbcbc=323322bcbcbc，所以A=300

【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。

作业：

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数学【教材分析与导入设计】2.1.2余弦定理复习教案(北师大版必修5)

数学【教材分析与导入设计】2.1.2余弦定理复习教案(北师大版必修5)

“教材分析与导入设计”

第二章 解三角形

第二节 余弦定理

本节教材分析

本节的在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。” 在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”

三维目标

1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；

教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。．

教学建议：

教学时首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角.教学设计思想时，要突出由特殊到一般以及类比的思想.

高二数学《余弦定理》学案苏教版必修

高二数学《余弦定理》学案苏教版必修

[课题] 余弦定理（3）

[知识摘记]

[例题解析]

例1．在ABC中，求证：2222(coscoscos)abccbAcaBabC。

例 2．在ABC中，已知222coscosabccaBbAabc，且，试判断ABC的形状。

例3．在四边形ABCD中，75ADBBCDo，45ACBBDCo，3DC，求：

（1） AB的长；

（2） 四边形ABCD的面积。

[练习与反思]

书第17页 习题5，10

反思：

[课外作业]

1. 在ABC中，若2223ababc，则C 。

2. 在ABC中，如果::4:5:6abc，则ABC的最小角的余弦值为 。

3. 在ABC中，若2sin()sin()sinABABC，则ABC的形状是 。 4. 如图，在四边形ABCD中，已知ADCD,10AD，14AB, 60BDAo,

135BCDo，求BC的长。

5. 如图，已知圆内接四边形ABCD的边长分别为264ABBCADCD，，，

求四边形ABCD的面积。

高中数学必修五第一章：1.2余弦定理(两课时)教案

高中数学必修五第一章：1.2余弦定理(两课时)教案

课题：1.1.2余弦定理 （两课时） 第 课时 总序第 个教案

课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月

日

教学目标：

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 批

注

教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用。

教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

教学用具：三角板，直尺，投影。

教学方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

教学过程：

Ⅰ.课题导入 C

如图1．1-4，在ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和C，求边c b

a

A c

B

(图1．1-4)

Ⅱ.讲授新课

[探索研究]

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A

如图1．1-5，设CBauurr，CAbuurr，ABcuurr，那么cabrrr，则 br

cr

222 2 2cccababaabbabababrrrrrrrrrrrrrrrrr C ar

人教A版高中数学必修5精选优课教案1.1.2余弦定理2

人教A版高中数学必修5精选优课教案1.1.2余弦定理2

《1.1.2余弦定理》教学设计

永安一中 江冰

一． 教学内容分析

本节课是一节公式定理课，内容是高中数学人教A版必修5第一章解三角形的第二节课，主要的教学内容有余弦定理的公式，余弦定理公式的简单应用。本节课是在学习了正弦定理知识之后，也就要求学生类比正弦定理的学习，学会公式的优化选择。

二．目标与目标分析

数学的公式定理课-------我们在平时教学中很容易把大量的花在公式定理的应用上，而忽略了让同学们参与公式的推导建构过程。这样的过程同学们在短时间上通过大量的训练会知道怎么用公式，却总是会迷茫为什么要这么用，为什么会选择这个公式，例如我就发现同学们上高中后依旧很多同学不喜欢用求根公式，而是依旧用配方法，我想这也是在公式建构过程中，同学们没有参与推导的过程，就不知道如何解决公式的优化选择。导致学生还是无法接受新的知识。华罗庚说过，新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。而我们要回到原点看问题，才是学生能够更好的应用数学知识的基石。才能够用数学的思维去思考和解决问题。

三．学生学习情况分析

我们面对的是高一的学生，学生在学习数学的能力还处在比较稚嫩的阶段。不过他们刚学习完正弦定理的知识，知道正弦定理公式的推导是从直角三角形这个特殊三角形到一般三角形的推导，知道正弦定理是应用时解三角形的边角关系，学生可以通过类比的方法来学习余弦定理。

四．设计思想

本节课是一节公式定理课，我设计的主线是：从生活实际出发，解决学这节课干嘛用，是为了解决生活问题的。通过特殊到一般的思想，把特殊问题一般化，让同学们寻找解决的途径，通过对比，寻找最优化方法，最终由同学们自己推导出公式，并自己观察寻找公式的简单应用。

五．教学目标

知识与技能：：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。