九年级数学 二次函数的专项 培优 易错 难题练习题附答案
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九年级数学 二次函数的专项 培优 易错 难题练习题附答案
一、二次函数
1．已知抛物线26yxxc.
（1）若该抛物线与x轴有公共点，求c的取值范围；
（Ⅱ）设该抛物线与直线21yx交于M，N两点，若25MN，求C的值；
（Ⅲ）点P，点Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PAQB都垂直于x轴，垂足分别为A，B，若OPAOQB，求c的取值范围.
【答案】（I）9c…；（Ⅱ）2c；（Ⅲ）c的取值范围是2174c
【解析】
【分析】
(1) 抛物线与x轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;
(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN的长度，列方程即可求解;
(3)由OPAOQB可知，P,Q两点的坐标特点，设坐标得到设点P的坐标为(, )mn，则点Q的坐标为(,)nm，代入二次函数，得到n,m的关系，则只需保证该方程有正根即可求解.
【详解】
解：（I）∵抛物线26yxxc与x轴有交点，
∴一元二次方程260xxc有实根。
240bac…，即264(1)0c….解得9c…
（Ⅱ）根据题意，设1122,21,,21MxxNxx
由2621yxxcyx，消去y，得2410xxc ①.
由2(4)4(1)1240cc，得3c.
∴方程①的解为1223,23xcxc
22221212122121520(3)MNxxxxxxc
20(3)20c，解得2c
（Ⅲ）设点P的坐标为(, )mn，则点Q的坐标为(,)nm，且0,0,mnmn，
2266mmcnnncm，两式相减，得227()0nmmn，即()(7)0mnmn
7mn，即7nm
2770mmc，其中07m
由0…，即274(1)(7)0c…，得214c…. 当214c时，72mn，不合题意。
又70c，得7c.
∴c的取值范围是2174c
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式，数形结合思想的应用及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
2．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，交x轴正半轴于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；
（3）将点A绕原点旋转得点A′，连接CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S与m的函数表达式是S＝252mm，S的最大值是258，此时动点M的坐标是（52，74）；（3）点M在整个运动过程中用时最少是823秒．
【解析】
【分析】
（1）首先求出B点的坐标，根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值，进而即可计算出二次函数的解析式;
（2）计算出C点的坐标，设出M点的坐标，再根据△ABM的面积为S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可.
（3）首先证明△OHA′∽△OA′B，再结合A′H+A′C≥HC即可计算出t的最小值.
【详解】 （1）将x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B，
∴3＝a+4，得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）将y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点C的坐标为（3，0），
∵点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，点M的横坐标为m，
∴0＜m＜3，点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
将y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1，
∴点A的坐标（1，0），
∵△ABM的面积为S，
∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB＝2123313222mmm，
化简，得
S＝252mm＝21525228m，
∴当m＝52时，S取得最大值，此时S＝258，此时点M的坐标为（52，74），
即S与m的函数表达式是S＝252mm，S的最大值是258，此时动点M的坐标是（52，74）；
（3）如右图所示，取点H的坐标为（0，13），连接HA′、OA′，
∵∠HOA′＝∠A′OB，13OHOA，13OAOB，
∴△OHA′∽△OA′B，
∴3BAAH，
即3BAAH，
∵A′H+A′C≥HC＝22182333，
∴t≥823， 即点M在整个运动过程中用时最少是823秒．
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.
3．已知，抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0）．
（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由．
（2）若点A（-n+5，0），B(n-1，0)在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM的面积．
（3）若点（2，p)，（3，g），（4，r)均在该抛物线上，且p
【答案】（1）抛物线与x轴有2个交点，理由见解析；（2）△ABM的面积为8；（3）m的取值范围m>-2.5
【解析】
【分析】
（1）首先算出根的判别式b2-4ac的值，根据偶数次幂的非负性，判断该值一定大于0，从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论；
（2）根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程，求解算出m的值，进而求出抛物线的解析式，得出A,B,M三点的坐标，根据三角形的面积计算方法，即可算出答案；
（3）方法一（图象法）：根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件；当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2），从而列出不等式得出m的取值范围；当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3），再列出不等式得出m的取值范围，综上所述，求出m的取值范围；方法二（代数法）：将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式，用含m的式子表示出p,g,r，再代入 p
【详解】
（1）解：抛物线与x轴有2个交点。理由如下：
∵m≠0，∴b2-4ac =（2m）2-4×1×0=4m2>0．
∴抛物线与x轴有2个交点
（2）解：∵点A（-n+5，0），B(n-1，0)在抛物线上 ∴抛物线的对称轴x=5122nn
∴ 221m=2,即m=-2．
∴抛物线的表达式为y=x2-4x．
∴点A（0，0），点B（4，0）或点A（4，0），点B（0，0），点M（2，-4）
∴△ABM的面积为12×4×4=8
（3）解：方法一（图象法）：
∵抛物线y=x2+2mx的对称轴为x=-m，开口向上。
∴当对称轴在直线x=3的右边时，显然不符合题目条件（如图1）．
当对称轴在直线x=2的左边时，显然符合题目条件（如图2）．
此时，-m<2，即m>-2．
当对称轴在直线x=2和x=3之间时，满足3-（-m)>-m-2即可（如图3）．
即m>-2.5．
综上所述，m的取值范围m>-2.5
方法二（代数法）：
由已知得，p=4+4m，g=9+6m，r=16+8m． ∵p
【点睛】
二次函数的综合应用题。与X轴交点的情况当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。熟练运用顶点坐标（-2ba，244acba）
4．如图，直线y＝-12x-3与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点A，C的抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴的另一个交点为点B(2，0)，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接AD，DC．设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点D在第三象限，设△DAC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值及此时点D的坐标；
(3)连接BC，若∠EAD＝∠OBC，请直接写出此时点D的坐标．
【答案】(1)y＝14x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣34(m+3)2+274；△ADC的面积最大值为274；此时D(﹣3，﹣154)；(3)满足条件的点D坐标为(﹣4，﹣3)或(8，21).
【解析】
【分析】
（1）求出A坐标，再用待定系数法求解析式；（2）设DE与AC的交点为点F.设点D的坐标为：(m，14m2+m﹣3)，则点F的坐标为：(m，﹣12m﹣3)，根据S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①当点D与点C关于对称轴对称时，D(﹣4，﹣3)，根据对称性此时∠EAD＝∠ABC．
②作点D(﹣4，﹣3)关于x轴的对称点D′(﹣4，3)，直线AD′的解析式为y＝32x+9，解方程组求出函数图像交点坐标.
【详解】
