2021-2022学年山东省济南市第一中学高一数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年山东省济南市第一中学高一数学文上学期期末试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. （5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）

A． ﹣2 B． 0 C． 1 D． 2

参考答案：

A

考点： 函数的值．

专题： 函数的性质及应用．

分析： 利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．

解答： ∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，

∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，

故选A．

点评： 本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．

2. 在映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则A中的元素（﹣1，2）在集合B中的像（ ）

A．（﹣1，﹣3） B．（1，3） C．（3，1） D．（﹣3，1）

参考答案：

D

【考点】映射．

【分析】根据已知中映射f：A→B的对应法则，f：（x，y）→（x﹣y，x+y），将A中元素（﹣1，2）代入对应法则，即可得到答案． 【解答】解：由映射的对应法则f：（x，y）→（x﹣y，x+y），

故A中元素（﹣1，2）在B中对应的元素为（﹣1﹣2，﹣1+2）

即（﹣3，1）

故选D

3. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是（ ）

A．至少有1件次品与至多有1件正品 B．至少有1件次品与都是正品

C．至少有1件次品与至少有1件正品 D．恰有1件次品与恰有2件正品

参考答案：

D

4. 已知全集,集合为,则为

A． B． C． D．

参考答案：

B

5. 函数f(x)=x2+2(a－1)x+2在区间(-∞,4］上递减,则a的取值范围是（ ）

A［-3,+ ∞) B ［3,+∞) C (-∞,5］ D (-∞,-3］

参考答案：

D

6. 在数列{an}中，，则a3＋a5=（ ）

A． B． C． D． 参考答案：

A

7. 设集合=

( ）

A．{1} B．{1，2} C．{2} D．{0，1，2}

参考答案：

D

8. 若为⊿所在平面内一点，且，

则⊿的形状为

A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．以上均不是

参考答案：

C

9. 已知圆，圆，则两圆的位置关系为（ ）

A．外切 B．内切 C. 相交 D．外离

参考答案：

A

圆x2+y2=1的圆心O（0，0），半径r=1，

圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=16，圆心A（3，4），半径R=4，

两圆心之间的距离|AO|=5=4+1=2=R+r，

∴两圆相外切．

10. 甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字，若甲、乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（ ）

A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定

C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定

参考答案：

B

【考点】茎叶图．

【分析】由茎叶图分别求出，，从而得到，由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中，从而得到乙比甲成绩稳定．

【解答】解：由茎叶图知：

=（72+77+78+86+92）=81，

=（78+88+88+91+90）=87，

∴，

由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中，

∴乙比甲成绩稳定．

故选：B．

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. =_______；

参考答案：

略

12. 已知递增的等差数列{an}满足，，则______.

参考答案： 【分析】

先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，得到通项公式，进而可求出结果.

【详解】设等差数列的公差为，

由，得，解得，则.

所以

.

故答案为

【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.

13. 若正实数x、y满足，则的最小值是__________．

参考答案：

根据题意，若，则；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立；即的最小值是，故答案为.

点睛：本题主要考查了基本不等式，关键是根据分式的运算性质，配凑基本不等式的条件，基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.

14. 已知=（1，2），=（﹣3，x），若与平行，则x= ．

参考答案：

﹣6

【考点】平行向量与共线向量．

【分析】利用向量共线定理即可得出．

【解答】解：∵与平行，∴﹣6﹣x=0，

解得x=﹣6．

故答案为：﹣6．

15. 已知一个扇形的周长是40，则扇形面积的最大值为___________．

参考答案：

略

16. 设函数，如果，则的取值范围是

参考答案：

17. 已知函数，．

当时，若存在，使得，则的取值范围为__________．

参考答案：

见解析

，开口朝下，

，

若使，

则，

即， ∴或，

综上：．

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. 已知设全集为R，集合，集合.

求（1） （2）.

参考答案：

略

19. （1）已知，求下列各式的值。

（2）求值：。

参考答案：

(1)=,=7.

(2)2.

略

20. （1）已知圆经过和两点，若圆心在直线上，求圆的方程；

（2）求过点、和的圆的方程.

参考答案：

（1）；（2）

【分析】

（1）由直线AB的斜率，中点坐标，写出线段AB中垂线的直线方程，与直线x-2y-3=0联立即可求出交点的坐标即为圆心的坐标，再根据两点间的距离公式求出圆心到点A的距离即为圆的半径，根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可；

（2）设圆的方程为，代入题中三点坐标，列方程组求解即可

【详解】（1）由点和点可得，线段的中垂线方程为． ∵ 圆经过和两点，圆心在直线上，

∴ ，解得，即所求圆的圆心，

∴ 半径，所求圆的方程为；

（2）设圆的方程为，

∵ 圆过点、和，

∴ 列方程组得 解得，

∴ 圆的方程为．

【点睛】本题考查了圆的方程求解，考查了待定系数法及运算能力，属于中档题．

21. 已知函数的图象过点(1,－4)．

（1）若，求实数x的值；

（2）当时，求函数的取值范围．

参考答案：

解：（1），∴，

，

∴，∴；

（2），

显然在与上都是减函数，

∵，∴在上是减函数，

∵，∴．

22. f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D中的任意两数x1，x2，恒有f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2），则称f（x）为定义在D上的C函数.

（1）试判断函数f1（x）＝x2，中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由；

（2）若f（x）是定义域为R的函数且最小正周期为T，试证明f（x）不是R上的C函数.

参考答案：

（1）是C函数，不是C函数，理由见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据函数的新定义证明f1（x）＝x2是C函数，再举反例得到不是C函数，得到答案.

（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n，讨论f（m）＜f（n）和f（m）＞f（n）两种情况得到证明.

【详解】（1）对任意实数x1，x2及α∈（0，1），有f1（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf1（x1）﹣（1﹣α）f1（x2）＝（αx1+（1﹣α）x2）2﹣αx12﹣（1﹣α）x22

＝﹣α（1﹣α）x12﹣α（1﹣α）x22+2α（1﹣α）x1x2＝﹣α（1﹣α）（x1﹣x2）2≤0，

即f1（αx1+（1﹣α）x2）≤αf1（x1）+（1﹣α）f1（x2），

∴f1（x）＝x2是C函数；

不是C函数，

说明如下（举反例）：取x1＝﹣3，x2＝﹣1，α，

则f2（αx1+（1﹣α）x2）﹣αf2（x1）﹣（1﹣α）f2（x2）＝f2（﹣2）f2（﹣3）f2（﹣1）0，

即f2（αx1+（1﹣α）x2）＞αf2（x1）+（1﹣α）f2（x2），

∴不是C函数；

（2）假设f（x）是R上的C函数，若存在m＜n且m，n∈[0，T），使得f（m）≠f（n）.

（i）若f（m）＜f（n）， 记x1＝m，x2＝m+T，α＝1，则0＜α＜1，且n＝αx1+（1﹣α）x2，

那么f（n）＝f（αx1+（1﹣α）x2）≤αf（x1）+（1﹣α）f（x2）＝αf（m）+（1﹣α）f（m+T）＝f（m），

这与f（m）＜f（n）矛盾；

（ii）若f（m）＞f（n），

记x1＝n，x2＝n﹣T，α＝1，同理也可得到矛盾；

∴f（x）在[0，T）上是常数函数，

又因为f（x）是周期为T的函数，

所以f（x）在上是常数函数，这与f（x）的最小正周期为T矛盾.

所以f（x）不是R上的C函数.

【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.