高中数学1_3_1.1正弦函数的图象与性质学案新人教B版必修4

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1文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 正弦函数的图象与性质

1.能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象.(难点)

2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值.(重点)

[基础·初探]

教材整理1 正弦函数的图象

阅读教材P37～P38“例1”以上部分，完成下列问题.

1.利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，要想得到y＝sin x(x∈R)的图象，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图象沿x轴平移±2π，±4π…即可，此时的图象叫做正弦曲线.

2.“五点法”作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1和(2π，0).

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.( )

(2)正弦函数y＝sin x的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，(k∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同.( )

(3)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于x轴对称.( )

(4)正弦函数y＝sin x(x∈R)的图象关于原点成中心对称.( )

【解析】 由正弦曲线的定义可知只有(3)错误.

【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√

教材整理2 正弦函数的性质

阅读教材P39～P40“例2”以上部分，完成下列问题.

1.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f (x＋T)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

(2)最小正周期：对于一个周期函数f (x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.

2.正弦函数的性质

函数 y＝sin x

定义域 (－∞，＋∞)

值域 [－1,1]

奇偶性 奇函数

周期性 最小正周期：2π 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

2文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 单调性

在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上递增；

在2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)上递减

最值 x＝2kπ＋π2，(k∈Z)时，y最大值＝1；

x＝2kπ－π2(k∈Z)时，y最小值＝－1

函数y＝sin x的一条对称轴是( )

A.x＝π2 B.x＝π4

C.x＝0 D.x＝π

【解析】 y＝sin x的对称轴是x＝kπ＋π2(k∈Z)，∴应选A.

【答案】 A

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________________

解惑：_________________________________________________________

疑问2：_________________________________________________________

解惑：_________________________________________________________

疑问3：_________________________________________________________

解惑：_________________________________________________________

疑问4：_________________________________________________________

解惑：_________________________________________________________

[小组合作型]

五点法作函数的图象

作函数y＝sin x，x∈[0,2π]与函数y＝－1＋sin x，x∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系.

【导学号：】

【精彩点拨】 可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图象，然后比较它们的关系.

【自主解答】 按五个关键点列表：

x 0 π 2π 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

3文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. sin

x

0

1

0

－1

0

－1＋sin

x －1

0 －1 －2 －1

利用正弦函数的性质描点作图，如图：

由图象可以发现，把y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y＝－1＋sin x，x∈[0,2π]的图象.

1.五点法作图，要抓住五个关键点，使函数式中的x依次取0，π2，π，32π，2π，然后解出相应的y值，再描点，连线得出图象.

2.y＝sin x±b的图象可以由y＝sin x的图象上、下平移获得.

[再练一题]

1.作出函数y＝1＋sin x(x∈[0,2π])的简图.

【解】 列表：

x 0 π 32π 2π

y 1 2 1 0 1

描点连线：

求三角函数的周期

求下列函数的最小正周期.

(1)y＝sin12x；

(2)y＝2sinx3－π6.

【精彩点拨】 求周期的方法可以用诱导公式sin(x＋2kπ)＝sin x得到.

【自主解答】 (1)如果令u＝12x，则sin12x＝sin u是周期函数，且最小正周期为2π.

∴sin12x＋2π＝sin12x，

即sin12x＋4π＝sin12x.

∴y＝sin12x的最小正周期是4π.

(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6，

即2sin13x＋6π－π6＝2sinx3－π6， 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

4文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. ∴y＝2sinx3－π6的最小正周期是6π.

用定义求周期时应注意，从等式f (x＋T)＝f (x)来看，应强调是自变量x本身加的常数才是周期，如：f (2x＋T)＝f (2x)，T不是周期，要写成f (2x＋T)＝f 2x＋T2＝f (2x)，T2是f (x)的周期.

[再练一题]

2.求下列函数的周期：

(1)y＝sin2x＋π3；(2)y＝|sin

x|.

【解】 (1)∵sin2x＋π3＝sin2x＋π3＋2π，

即sin2x＋π＋π3＝sin2x＋π3，

∴y＝sin2x＋π3的最小正周期是π.

(2)令f (x)＝|sin x|，则f (kπ＋x)＝|sin(kπ＋x)|＝|±sin x|＝|sin x|＝f (x)(k∈Z且k≠0).

∴kπ是函数f (x)的周期，则最小正周期为π.

正弦函数的单调性及应用

已知函数f (x)＝sin x－1.

(1)写出f (x)的单调区间；

(2)求f (x)的最大值和最小值及取得最值时x的集合；

(3)比较f －π18与f －π12的大小.

【精彩点拨】 结合正弦函数的单调性及单调区间求解即可.

【自主解答】 (1)∵函数f (x)＝sin x－1与g(x)＝sin x的单调区间相同，

∴f (x)＝sin x－1的增区间为

2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，

减区间为2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z).

(2)∵函数g(x)＝sin x，

当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，取最大值1， 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

5文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 当x＝2kπ＋32π(k∈Z)时，取最小值－1.

∴函数f (x)＝sin x－1，

当x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，取最大值0，

当x＝2kπ＋32π(k∈Z)时，取最小值－2.

(3)f －π18＝sin－π18－1，

f －π12＝sin－π12－1，

∵－π2＜－π12＜－π18＜π2，

且y＝sin x在－π2，π2上是增函数，

∴sin－π12＜sin－π18.

∴f －π18＞f －π12.

1.求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性.

2.比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.

[再练一题]

3.比较大小：

(1)sin 250°与sin 260°；

(2)sin－235π与sin－174π.

【解】 (1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，

因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝sin x，x∈0，π2是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，

所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°.

(2)sin－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5

＝－sinπ－2π5＝－sin 2π5，