1 / 12 第一章 绪论
1. x＝n21kaaa.010，如果｜x－x|≤0.5nk10（这里n是使此式成立的最大正整数），则称x为x的具有n位有效数字的近似值。
2．定理：设x的近似值x有（1-1）的表示式：
（１）如果x有n位有效数字，则
n1110a21|x||xx|
（２）如果n1110)1a(21|x||xx|，则x至少有n位有效数字。
第二章 非线性方程根求解
1. （零点存在定理）如果f(x)在[a,b]上连续，使f(a)f(b)<0，则必存在(a,b)，使f()=0。
2.二分法的误差： |1k1kkk2ab|xx||xx
3. 局部收敛性：设是f(x)=0的根，若存在的一个邻域，当迭代初值属于时，迭代法得到的序列{kx}收敛到，则称该迭代法关于根具有局部收敛性。
4. 收敛速度：设ix为第i次迭代值，是f(x)=0的根，令iix，且假设迭代收敛，即iixlim。若存在实数P1，使 c||||limpi1ii0 ，则称此方法关于根具有P阶收敛速度。C称为渐近误差常数，渐近误差常数C与f(x)有关。C0保证了P的唯一性。对于特殊的函数，C可能为零，此时，由这个函数针对此方法迭代产生的序列收敛得更快。一般情况下，P越大，收敛就越快。当P=1时，我们称为线性收敛。P>1，称为超线性收敛。P=2，称为平方收敛。
5.牛顿迭代法：)x(f)x(fxxkkk1k
定理3：如果方程f(x)=0的根是单根，且在的某领域内f(x)具有二阶的连续导数,则Newton迭代法必是局部收敛的
且 )(f2)(flim2i1ii（即具有二阶收敛速度）
定理4：如果是方程f(x)=0的r重根（r>1），且f(x)在的某邻域内具有r阶连续导数，则Newton法具有局部收敛性，且具有线性收敛速度。
数值分析误差限的计算公式
1、误差
x∗ 为 x 一个近似值
绝对误差：e∗=x∗−x
相对误差：e∗r=e∗x=x∗−xx，由于真值 x 总是不知道的，通常取
e∗r=e∗x∗=x∗−xx∗
误差限：|x∗−x|≤ε∗
相对误差限：ε∗r=ε∗|x∗|
ε(f(x∗))≈|f′(x∗)|ε(x∗)
2、插值法
记 ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn)
Lagrange 插值多项式系数：
lk(xk)=(x−x0)⋯(x−xk−1)(x−xk+1)⋯(x−xn)(xk−x0)⋯(xk−xk−1)(x−xk+1)⋯(x−xn)
Lagrange 插值多项式：
Ln(x)=∑k=0nlk(x)yk=∑k=0nykωn+1(x)ω′n+1(xk)(x−xk)
余项：记 Mn+1=maxa≤x≤b|fn+1(x)|
R(x)=fn+1(ξ)ωn+1(x)(n+1)!≤Mn+1(n+1)!|ωn+1(x)|
均差与 NewTon 插值多项式
一阶均差：f[x0,xk]=f(xk)−f(x0)xk−x0
k 阶均差：
f[x0,x1,⋯,xk]=f[x0,⋯,xk−2,xk]−f[x0,⋯,xk−2,xk−1]xk−xk−1 f[x0,x1,⋯,xn]=f(n)(ξ)n!(x0,x1,⋯,xn,ξ∈[a,b])
f[x0,x1,⋯,xk]=∑j=0kf(xj)ω′k+1(xj)
NewTon 插值多项式：
Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)
余项：R(x)=f[x0,x1,⋯,xn]ωn+1(x)
Hermite 插值
Taylor 多项式：
Pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n
余项：R(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1
数值分析常用公式及示例
数值分析是用数值方法研究数学问题的一种方法。在数值分析中，我们经常会用到一些常用的公式和方法，下面是一些常用的公式和示例。
1.插值公式：插值是用已知数据点来估计未知数据点的一种方法。常用的插值公式有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
拉格朗日插值公式：对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1,
y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为
P(x) = y0·l0(x) + y1·l1(x) + ... + yn·ln(x)
其中li(x) = Π(j ≠ i)((x - xj) / (xi - xj))。
2.数值积分公式：数值积分是用数值方法计算函数积分的一种方法。常用的数值积分公式有梯形公式、辛普森公式和高斯公式等。
梯形公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，梯形公式的积分近似值为
∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 2 · (f(a) + f(b))。
辛普森公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，辛普森公式的积分近似值为
∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 6 · (f(a) + 4f((a + b) / 2) +
f(b))。
3.数值解方程公式：数值解方程是通过数值计算方法找到方程的根的一种方法。常用的数值解方程公式有二分法和牛顿法等。 二分法：对于一个在区间[a,b]上连续的函数f(x)，如果f(a)·f(b)<0，则函数在该区间内存在一个根。二分法的基本思想是将区间不断二分，直到找到根。
具体步骤为：
1)如果f(a)·f(b)>0，则输出“区间[f(a),f(b)]上不存在根”；
2)否则，计算c=(a+b)/2；
3)如果f(c)≈0，则输出c为方程的一个根；
4)否则，如果f(a)·f(c)<0，则更新b=c，并返回第2步进行下一次迭代；
5)否则，更新a=c，并返回第2步进行下一次迭代。
数值分析重点公式
下面是一些数值分析中的重点公式：
1.最大值和最小值：
- 最大值：记作 max(a, b) 表示 a 和 b 中较大的值。
- 最小值：记作 min(a, b) 表示 a 和 b 中较小的值。
2.线性插值：
-线性插值：对于给定的两个点(x1,y1)和(x2,y2)，如果希望在这两个点之间的x值为x的位置计算对应的y值，可以使用线性插值：y=y1+(y2-y1)*((x-x1)/(x2-x1))。
3.数值微分：
-前向差商：用f'(x)≈(f(x+h)-f(x))/h的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数，其中h是一个小的正数。
-后向差商：用f'(x)≈(f(x)-f(x-h))/h的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数。
-中心差商：用f'(x)≈(f(x+h)-f(x-h))/(2*h)的形式近似表示函数f(x)在点x处的导数。
4.数值积分：
-矩形法则：使用函数在每个小矩形中的平均值作为矩形高度来计算定积分的近似值。 -梯形法则：使用底边为区间长度的梯形面积的一半来计算定积分的近似值。
-辛普森法则：使用函数在每个小区间上的平均值和两个端点值的加权平均来计算定积分的近似值。
5.数值解线性方程组：
-高斯消元法：将线性方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解各个未知数。
-LU分解：将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，再通过回代求解各个未知数。
-追赶法（托马斯算法）：适用于解三对角系数矩阵的线性方程组，通过追赶的方式求解。
6.数值解非线性方程：
-二分法：通过计算函数在区间端点的值的符号来确定函数在区间内的根的存在，并迭代缩小区间直至满足精度要求。
-牛顿法：通过迭代逼近函数的根，在每一步迭代中使用切线来逼近根的位置。
-弦截法：通过迭代逼近函数的根，在每一步迭代中使用割线来逼近根的位置。
7.数值解常微分方程：
-欧拉方法：使用函数在当前点的导数值来估计下一个点的函数值。 -改进的欧拉方法：使用函数在当前点和下一个点的导数值的平均值来估计下一个点的函数值。
