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3.3直线的交点坐标与距离公式3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离第一课时两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)[导入新知]1．两直线的交点坐标2．两直线的位置关系[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2，B2≠0)．(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.[导入新知]两点间的距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．[化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝x2＋y2.[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1，直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )， 即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．[活学活用]3．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．解：设所求点P(x,0)，于是由|P A|＝|PB|得(x＋1)2＋(0－2)2＝(x－2)2＋(0－7)2，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P点坐标为(1,0)，|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．[成功破障](2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12 B ．－12C.23D ．－23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，即直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)，代入y ＝ax －2，解得a ＝23.[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．1－或5解析：选C ∵|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5， ∴a ＝－5或a ＝1.3．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．解析：由题意设P (a,0)，则|PQ |＝(a －1)2＋(0－3)2＝5，解得a －1＝±4，即a ＝5或－3.故点P 的坐标是(5,0)或(－3,0)．答案：(5,0)或(－3,0)4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________． 解析：因为p ＝2q ＋1代入整理：(2x ＋1)q ＋3y ＋x ＝0对q 为一切实数恒成立，即2x ＋1＝0，且3y ＋x ＝0，所以x ＝－12，y ＝16.答案：⎝⎛⎭⎫－12，16 5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2， ∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1) 即：2x －y －1＝0. (2)若直线与l 2垂直， ∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴y －1＝－23(x －1)即：2x ＋3y －5＝0.3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1±2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________． 解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝155＝3.答案：3[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． [活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．解析：因为两直线平行，所以m ＝2.法一：在直线3x ＋y －3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d ＝|6×0＋2×3－1|62＋22＝104. 法二：将6x ＋2y －1＝0化为3x ＋y －12＝0，由两条平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－3＋1232＋12＝104. 答案：104[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程． [解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．[活学活用]4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －4＝0，4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－23，即直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫2，－23. ①当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ， 则l 的方程为y ＋23＝k (x －2)，即kx －y －2k －23＝0，由点A 到l 的距离为5，得⎪⎪⎪⎪－3k －1－2k －23k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43，所以l 的方程为43x －y －83－23＝0，即4x －3y －10＝0.综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.9.漏掉直线斜率不存在的情况[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．[解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |(－1)2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1，l 2的斜率不存在①，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．解析：当过点A 的直线垂直于x 轴时，原点到此直线的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x －1＝0.当过点A 的直线不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.由|－k ＋2|k 2＋1＝1得k ＝34，故其方程为3x －4y ＋5＝0.故所求的直线方程为x －1＝0，或3x －4y ＋5＝0. 答案：x ＝1或3x －4y ＋5＝0[随堂即时演练]1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|5＝ 5.2．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.3．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：124．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1735．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y 2－0＝x ＋31＋3， 即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455， 所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.[课时达标检测]一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．3 2 B.22C ．3D.322解析：选D 点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离 d ＝|1－1×(－1)＋1|12＋(－1)2＝322.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：选D 根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0.因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2.所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0. 4．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线， ∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3， 由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：选A 由题意，结合图形可知点M 必然在直线x ＋y －6＝0上，故M 到原点的最小距离为|－6|2＝3 2.二、填空题6．直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是________________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0， 则|C －4|12＋22＝|C |12＋22，解得C ＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0. 答案：x －2y ＋2＝07．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4,5)到l 的距离相等，则l 的方程为________________．解析：显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1； 设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即 kx －y －k ＝0.∵点A ，B 到l 的距离相等， ∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1.∴|1－3k |＝|3k －5|，∴k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0. 综上，l 的方程为x ＝1，或x －y －1＝0. 答案：x ＝1或x －y －1＝08．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是____________________．解析：法一：由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c －(－1)|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1， 则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.法二：由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0， 则c ＝3＋(－1)2＝1.则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 三、解答题9．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为 3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为 3x ＋4y ＋C ＝0， 由点到直线的距离公式得 |3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29， 故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．解：(1)点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝310. ∵l AB ∥l CD ，∴可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ， 则|m ＋16|10＝310， 又∵m ≠－13，∴m ＝－19，即l AB ：x ＋3y －19＝0. ∵l AD ⊥l CD ，∴可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，则P (1,5)到l AD 的距离等于P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310， |n －2|10＝310，n ＝5，或n ＝－1， 则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以，正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0.直线与方程一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·嘉兴高一检测)点A (2，－3)关于点B (－1,0)的对称点A ′的坐标是( ) A ．(－4,3) B ．(5，－6) C ．(3，－3)D.⎝⎛⎭⎫12，－32 解析：选A 设A ′(x ′，y ′)，由题意得⎩⎨⎧2＋x ′2＝－1，－3＋y ′2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4，y ′＝3. 2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．135°解析：选D 由题意知k ＝－1，故倾斜角为135°.3．(2012·潍坊高一期末检测)点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1B ．2C.22D. 2解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22.4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选B 设P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.a ＝－5.5．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：选A ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得－3n ＝－3，－mn ＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.7．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.8．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9D ．－9解析：选D 由题意知k AB ＝k BC即b －1－2－3＝11－b8＋2，解得b ＝－9. 9．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( ) A ．(4，－2) B ．(4，－3) C.⎝⎛⎭⎫3，32 D ．(3，－1)解析：选A 由已知知以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y ＝2x ，则(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点即为所求点．设所求点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋4＝－12，y 0＋22＝2·x 0－42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4，y 0＝－2. 10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34，或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对解析：选A 由题意知k AP ＝－3－12－1＝－4， k BP ＝－2－1－3－1＝34.由斜率的特点并结合图形可知k ≥34，或k ≤－4.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为⎝⎛⎭⎫－2＋02，3＋12即(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10.答案：1012．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________． 解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，此时直线方程为x ＋y －2＝0.答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝013．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．解析：如右图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，则k l ＝－2，所以方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.答案：2x ＋y －5＝014．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即y ＝x －5.设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32，解得x ＝1或x ＝277.即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2012·绍兴高二检测)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．16．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．17．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得顶点A (－1,0)．又AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)．已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x ＋1)，y －2＝－2(x －1).得顶点C 的坐标为(5，－6)．所以点A 的坐标为(－1,0)，点C 的坐标为(5，－6)．。
人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）3.3 直线的交点坐标与距离公式教案 A第1课时教学内容：3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离教学目标一、知识与技能1.掌握两条相交直线的交点求法；2.掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.二、过程与方法1.学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线相交的方法，形成数形结合的学习习惯；2.学习用代数方法研究几何问题的方法，归纳过定点的直线系方程；3.通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.三、情感、态度与价值观通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在联系，能够用辩证的观点看问题.教学重点、难点教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两点间距离公式的推导.教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系；应用两点间距离公式证明几何问题.教学关键：教师通过引导学生利用二元一次方程组的解法求两直线的交点，并会利用这种方法来判断两直线的位置关系.对于两点间距离公式，教师要向学生阐明其结构特点及应用，并以适量习题对此进行巩固.教学突破方法：首先创设问题情境，提出问题，引起学生思考，对学生进行分组讨论，在探究的基础上，得出结论，及时进行练习巩固.教法与学法导航教学方法：启发引导式．銀过內辄鑰鲤鴣绨赖銜煩闖欏语条蝉妩躒驭們镶贺笾須潷諢瞩艳毆娇绋瓯聞剄鋟叽紐靈骛竅锲幟鸽辚怀窃旷鋁篓隴寫笼韵绲禿垫瀉废皱婭蠶经庆薟埙鵡龄擬鐿帳处錐鉀联揀贲轨辈跄驕疡1教师备课系统──多媒体教案2誥嘩纱呛倆肿痪贬赕鏈样鰨锐陈獵齜纬。
在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的相互关系.引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题.由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决.学习方法：在老师的启发下，自主思考讨论、探究，得出结论.利用结论实践，升华提高. 教学准备教师准备：多媒体课件.学生准备：直线的一般式方程的相关知识，回顾两条直线位置关系的判定方法及二元一次方程的解法.教学过程 教学环节教学内容 师生互动设计 意图 创设情景导入新课用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系.课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？激发学 生兴趣，引起学生思考. 概念形成与 深化 1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系 已知两直线L 1：A 1x + B 1y + C 1 = 0，L 2：A 2x + B 2y + C 2 = 0. 如何判断这两条直线的关系？ 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空.几何元素及关系 代数表示 点A A （a ，b ）直线LL ：Ax + By + C = 0点A 在直线上 直线L 1与L 2的交点A师：提出问题.生：思考讨论并形成结论.通过学生分组讨论，使学生理解掌握判断两直线位置的方法.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）3课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？（1）若二元一次方程组有唯一解，L 1与L 2相交.（2）若二元一次方程组无解，则L 1与L 2平行.（3）若二元一次方程组有无数解，则L 1与L 2重合.课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什么关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？应用举例教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后讲解. 同类练习：书本110页第1，2题. 训练学生解题格式，续上表应用举例 例1 求下列两直线交点坐标： L 1：3x + 4y –2 =0，L 2：2x + y +2 =0．例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. （1）L 1：x –y =0，L 2：3x +3y –10=0； （2）L 1：3x –y +4=0，L 2：6x –2y –1=0； （3）L 1：3x +4y –5=0， L 2：6x +8y –10=0. 这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系. 例1 【解析】解方程组得x = –2，y =2. 所以L 1与L 2的交点坐标为M （–2，2），如图：例2【解析】（1）解方程组得5353x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．所以，l 1与l 2相交，交点是M （55,33）.规范条理清楚，表达简洁.x –y =0，3x +3y –10=0，⎧⎨⎩3x +4y -2=0，2x +2y +2=0，⎧⎨⎩x y8 4 2– 2– 4 –5 5教师备课系统──多媒体教案4（2）解方程组①×②–②得9 = 0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.（3）解方程组①×2得6x + 8y–10 = 0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合.方法探究课堂设问一.当λ变化时，方程3x + 4y–2+λ（2x + y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点坐标，（1）可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.（2）找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.（3）结论，方程表示经过这两直线L1与L2的交点的直线的集合.培养学生由特殊到一般的思维方法.3x+4y–5=0，6x+8y–10=0，⎧⎨⎩①②3x-y+4=0，6x–2y–1=0，⎧⎨⎩①②人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）5应用举例例3 已知a 为实数，两直线l 1：ax + y + 1= 0，l 2：x + y – a = 0相交于一点. 求证：交点不可能在第一象限及x 轴上. 【分析】先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围. 例3【解析】解方程组若2101a a +>-，则a ＞1. 当a ＞1时，11a a +--<0，此时交点在第二象限内. 又因为a 为任意实数时，都有a 2 +1≥1＞0，故2101a a +≠-.因为a ≠1 （否则两直线平行，无交点），所以，交点不可能在x 轴上，得交点（211,11a a a a ++---）. 引导学生将方法拓展与延伸.概念的形成与深化 过平面上任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y 分别向y 轴和x 轴作垂线，垂足分别()()112200N y M x ，，，， 直线12PN P M 12与相交于点Q . 回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决平面直角坐标系中任意两点间的距离问题？续上表教师备课系统──多媒体教案续上表6人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）7应用 举例例5 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.【分析】首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系.这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤. 证明过程见书P105.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量.第二步：进行有关代数运算. 第三步；把代数结果“翻译”成几何关系.思考：同学们是否还有其他的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题.提高学生应用坐标法证明简单几何问题的能力.小结直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标及两点间的距离，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用.师生共同总结．形成知识体系.课堂作业1．求经过点（2，3）且经过l 1：x + 3y – 4 = 0与l 2：5x + 2y + 6 = 0的交点的直线方程.【解析】解法1：联立3402,52602,x y x x y y +-==-++==⎧⎧⎨⎨⎩⎩，得，所以l 1，l 2的交点为（–2，2）.教师备课系统──多媒体教案8 由两点式可得：所求直线方程为322322y x--=---，即x– 4y + 10 = 0.解法2：设所求直线方程为：x + 3y– 4 +λ（5x + 2y + 6）= 0.因为点（2，3）在直线上，所以2+3×3–4+λ（5×2+2×3+6）= 0，所以722λ=-，即所求方程为x + 3y– 4 + （722-）（5x + 2y + 6）= 0，即为x– 4y + 10 = 0.2．已知直线l1：x + my + 6 = 0，l2：（m– 2）x + 3y + 2m = 0，试求m为何值时，l1与l2：（1）重合；（2）平行；（3）垂直；（4）相交.【解析】当l1∥l2（或重合）时：A1B2–A2B1 = 1×3 –（m– 2）·m = 0，解得：m = 3，m = –1.（1）当m = 3时，l1：x + 3y + 6 = 0，l2：x + 3y + 6 = 0，所以l1与l2重合；（2）当m = –1时，l1：x–y + 6 = 0，l2：–3x + 3y– 2 = 0，所以l1∥l2；（3）当l1⊥l2时，A1A2 + B1B2 = 0，m– 2 + 3m = 0，即12m=；（4）当m≠3且m≠–1时，l1与l2相交.3．若直线l：y = kx–3与直线2x + 3y– 6 = 0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）.A．[30,60)B．(30,90)C．(60,90)D．[30,90]【解析】直线2x + 3y– 6 = 0过A（3，0），B（0，人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）92），而l 过定点C (0,3)-， 由图象可知.0ACk kk >⎧⎨>⎩即可所以l 的倾斜角的取值范围是（30°，90°），故选B .4. 已知点A （4，12），在x 轴上的点P 与点A 距离等于13，求点P 的坐标. 【解析】由于点P 在x 轴上，设P （x ，0），则|PA|=13)012()4(22=-+-x ，解得x=9或-1.所以点P 的坐标为（9，0）或（-1，0）．第2课时教学内容：3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行线间的距离 教学目标一、知识与技能1. 理解点到直线距离公式的推导；2.熟练掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离. 二、过程与方法经历点到直线距离公式的推导过程，掌握一种推导方法. 三、情感、态度与价值观认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题 教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.教学关键：根据题目的具体条件，熟练地记忆并应用公式进行求解.教学突破方法：首先创设问题情境，提出问题，引起学生思考，让学生理解公式的推导过程，并结合公式的特点要求学生记忆公式，在此基础上，选择针对性的习题加以巩固.教法与学法导航教学方法：讲练结合法． 学习方法：讨论练习法． 教学准备教师准备：多媒体课件．学生准备：两直线间的位置关系．教师备课系统──多媒体教案10教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意图创设情景导入新课前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式.逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离.两条直线方程如下：11122200A x B y C A x B y C ++=++=⎧⎨⎩，，用PPT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？激发学生兴趣，引起学生思考.概念形成与深化 1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为： 0022.Ax By C d A B++=+教师提出问题： 在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P 到直线l 的距离呢? 体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 曾经解决过的问题，一个熟悉的问题.续上表概念形成与 深化点到直线距离公式的推导. 方案一：设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为AB（A ≠0），根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨另一种方法 方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点),(01y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点),(20y x S ，由1100200A x By C Ax By C ++=++=⎧⎨⎩，，画出图形，分析任务，理清思路，解决问题.人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）续上表11教师备课系统──多媒体教案续上表12人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）131. 原点O 到直线y =1的距离为（ ）．A ．1B ．-1C ．0D 【解析】 选A . d =|y 0-1|=1．2. 两直线3x +4y -2=0与直线6x +8y -5=0的距离等于（ ）． A . 3 B . 7 C .101 D . 21【解析】 选C . 把直线方程6x +8y -5=0化为3x +4y -25=0，由两条平行直线间的距离公式得：d 5|2()|---=110．3. 若两平行直线2x +y -4=0与y =-2x -k -2的距离不大于5，则k 的取值范围是 （ ）．A . [-11，-1] B . [-11，0] C . [11,6)(6,1]---- D . [1,)-+∞教师备课系统──多媒体教案14 【解析】选C．在一条直线上取点（2，0），到另一直线2x+y+k+2=0的距离由题意知0，解得-11≤k＜-6或-6＜k≤-1.4.已知直线l平行于直线4x-3y+5=0，且P（2，-3）到l的距离为4，则直线l的方程为.【解析】4x-3y+3=0或4x-3y-37=0.设直线l方程为4x-3y+m=0，根据点P（2，-3）到l的距离为4，即45)3(324=+-⨯-⨯m，解得m=3或-37，所以直线l的方程为4x-3y+3=0或4x-3y-37=0.教案 B第1课时教学内容：第1课时3.3.1 两条直线的交点坐标教学目标一、知识与技能1.掌握两直线交点坐标和二元一次方程组的解之间的联系；2.能利用二元一次方程组的解的个数来判断两直线位置关系；3.能利用两直线方程的对应系数关系来判断两直线位置关系.二、情感、态度与价值观1.通过研究两直线交点和二元一次方程组的解的联系，培养学生的数形结合能力；2.通过研究两直线位置关系与两直线方程对应系数的联系，培养学生的分类思想.教学重点、难点教学重点：能利用二元一次方程组解的个数来判断两直线位置关系；会求交点坐标.教学难点：能利用两直线方程的对应系数关系来判断两直线位置关系.教学过程一、温故知新人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）二、创设情景用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系.课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？三、探求新知已知两直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，如何判断这两条直线的关系？课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出用二元一次方程组的解的个数来判断两直线位置关系的方法？15教师备课系统──多媒体教案16（1）若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交；方程组的解即交点的坐标. （2）若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行. （3）若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合. 四、深入研究两直线位置关系与两直线方程的系数有何关系？特别地：121212121()0l l k k A A B B k ⊥⇔=-⇔+=斜率存在．说明：在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．五、拓展应用例 1 求下列两直线交点坐标：l 1 ：3x +4y -2=0；l 2：2x +y +2=0 .【解析】解方程组 3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，， 得 x =-2，y =2所以l 1与l 2的交点坐标为M （-2，2），如图教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解.12122111112222121221222 ()(0)k k A B A B A B Cl l k A B C b b B C B C A B C ==⎧⎧⇔⇔=≠≠⇔⎨⎨≠≠⎩⎩与平行斜率存在12122111112222121221222 ()(0)k k A B A B A B Cl l A B C b b B C B C A B C k ==⎧⎧⇔⇔==≠⇔⎨⎨==⎩⎩与重合斜率存在， ； 11121222122122()(0)A Bl l k k A B A B A B A B k ⇔≠⇔≠≠⇔≠与相交斜率存在； ， ；人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）17课后思考：当λ变化时，方程 3x +4y -2+λ（2x +y +2）=0表示何图形，图形有何特点？例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标. （1） l 1：x -y =0，l 2：3x +3y -10=0； （2） l 1：3x -y +4=0，l 2：6x -2y -1=0； （3） l 1：3x +4y -5=0，l 2：6x +8y -10=0． 【解析】（1）1112221313A B l l A B ≠∴≠∴-，，与相交； 解方程组033100x y x y -=⎧⎨+-=⎩，，得53x y ==，所以l 1与l 2的交点坐标为55(,)33;（2）11112222314 621A B C l l A B C -=≠∴=≠∴--，，与平行；（3）111122223456810A B C l l A B C -==∴==∴-，，与重合. 六、归纳整理1. 两直线位置关系与二元一次方程组的解（1）若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交；方程组的解即交点的坐标. （2）若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行. （3）若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合. 2. 两直线位置关系与两直线方程的系数已知两直线 l 1：A 1x+B 1y+C 1=0，l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，特别地：121212121()0l l k k A A B B k ⊥⇔=-⇔+=斜率存在.七、课外作业教材104页练习2，109-110页习题3.3A 组3、7.12122111112222121221222 ()(0)k k A B A B A B Cl l k A B C b b B C B C A B C ==⎧⎧⇔⇔=≠≠⇔⎨⎨≠≠⎩⎩与平行斜率存在12122111112222121221222 ()(0)k k A B A B A B C l l A B C b b B C B C A B C k ==⎧⎧⇔⇔==≠⇔⎨⎨==⎩⎩与重合斜率存在， ； 11121222122122()(0)A Bl l k k A B A B A B A B k ⇔≠⇔≠≠⇔≠与相交斜率存在； ， ；教师备课系统──多媒体教案18题109-110页3.3A 组4、6、8.第2课时教学内容：3.3.2 两点间的距离 教学目标一、知识目标探索并掌握两点间的距离公式的发生、发展过程.利用坐标法证明简单的平面几何问题.二、能力目标掌握本节课中的数形结合思想、由特殊到一般的思想.培养学生探索能力、研究能力、表达能力、团结协作能力.三、情感、目标与价值观探索过程中体验与他人合作的重要性、感受发现所带来的快乐.体验由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识的基本规律.教学重点、难点：教学重点：两点间的距离公式及公式的推导过程.教学难点：用坐标法证明简单的平面几何问题，本节课中的例4是教学中的难点. 教学过程一、提出问题已知：平面上两点()111,y x p ，()2212,y x p ，怎样求两点1p ，2p 间的距离？ 二、探究两点间的距离公式 思考题1：如图（1），求两点A （-2，0），B （3，0）间的距离，学生能很快地寻找出解决办法. 即：5)2(3=--=AB人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）19（图1） （图2）思考题2：将图（1）中的A 点移到第二象限()2,2'-A 处.如何求'A 、B 间的距离？ 学生可能想到连接A A '，构造出一个直角△AB A '，利用勾股定理求'A B ，∵AB =5，A A '=2，∴'A B ==思考题3：将图（2）中的B 点移到第三象限()2,3'-B 处.怎样求','B A 间的距离？ 从思考题2中能得到启发，利用勾股定理.让学生在图（3）中构造出一个直角△''A B C ，∵4'=C A ，5'=C B ，∴41''''22=+=C B C A B A .（图4）三、推导两点间的距离公式有思考题3作为基础，公式就能顺利的推出.在图（4）中构造出一个直角△21QP P ， ∵12211x x M M Q P -==，12212y y N N Q P -==，∴12PP == 特别地，原点O （ 0，0）与任一点P （x ，y ）的距离22y x OP +=. 四、例题教师备课系统──多媒体教案20例1 已知点)7,2(),2,1(B A -，在X 轴上求一点P ，使PB PA =，并求PA 的值. 方法一.设所求点为)0,(x P ，以下步骤由学生完成522++=x x PA ，PB = 由 PB PA = ，得：1145222+-=++x x x x ，解出：x =1 .∴所求点(1,0)P，PA =方法二.（由学生探究）由几何方法：作线段AB 的中垂线L ，求出中垂线L 的方程，再令y =0，可求点P 及PA 的值.例2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.引导学生探究此题的证明方法（即坐标法）【证明】如图，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，有A （0，0）.设B （a ，0），D （b ，c ）性质得点C 的坐标为（a+b ，c ）.∵22a AB =， 22a CD =，222c b AD +=，222c b BC +=，222)(c b a AC ++=， 222()BD b a c =-+， ∴)(22222222c b a BC AD CD AB ++=+++，)(222222c b a BD AC ++=+，∴2222BC AD CD AB +++=22.AC BD +∴平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.思考：在例4中，是否还有其他建立坐标系的方法？为了让学生体会建立坐标系对证明平面几何问题的重要性，可将例4的平面几何的人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）证明的方法及步骤投影出来与坐标法证明过程进行比较.通过例4初步总结用坐标法解决平面几何问题的基本步骤五、课堂练习1.课本第106页“练习”第2题.2.证明直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等.六、学习小结1.探究两点间的距离公式的推导过程及公式的应用.2.用坐标法证明平面几何问题初步.七、布置作业课本第110页习题3.3A组第6、7、8题；B组第8题.第3课时教学内容：3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离教学目标一、知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式.二、过程和方法会用点到直线距离公式求解两平行线距离三、情感、态度和价值观1.认识事物之间在一定条件下的转化；2.用联系的观点看问题.教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式.教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.教具：多媒体.教学过程一、情境设置，导入新课：前几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的交点问题，两点间的距离公式.逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离.21教师备课系统──多媒体教案22用PPT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？两条直线方程如下：11122200.A xB yC A x B y C ++=++=⎧⎨⎩，二、讲解新课：1．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=.（1）提出问题.在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(00y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?学生可自由讨论.（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P 到直线l 的距离d 是点P 到直线l 的垂线段的长.这里体现了“化归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题.画出图形，分析任务，理清思路，解决问题.方案一：设点P 到直线l 的垂线段为PQ ，垂足为Q ，由PQ ⊥l 可知，直线PQ 的斜率为A B（A ≠0），根据点斜式写出直线PQ 的方程，并由l 与PQ 的方程求出点Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ ｜，得到点P 到直线l 的距离为d人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）23此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨另一种方法方案二：设A ≠0，B ≠0，这时l 与x 轴、y 轴都相交，过点P 作x 轴的平行线，交l 于点),(01y x R ；作y 轴的平行线，交l 于点),(20y x S ，由1100200A x By C Ax By C ++=++=⎧⎨⎩，，得BCAx y A C By x --=--=0201,. 所以，｜PR ｜＝｜10x x -｜＝ACBy Ax ++00，｜PS ｜＝｜20y y -｜＝00Ax By C B++， ｜RSAB=×｜C By Ax ++00｜，由三角形面积公式可知：d ·｜RS ｜＝｜PR ｜·｜PS｜，所以d = 可证明，当A=0时仍适用这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力、意志品质等方面得到了提高. 2．例题应用，解决问题.例1 求点P =（-1，2）到直线 3x =2的距离.【解析】53=例2 已知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0），求∆ABC 的面积. 【解析】设AB 边上的高为h ，则S=12AB h •，AB ==，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为311331y x --=--，即x +y -4=0.点C 到x +y -4=0的距离为h， h=，因此，S=1 5.2⨯=教师备课系统──多媒体教案24通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.同步练习：108页第1，2题. 3．拓展延伸，评价反思.（1） 应用推导两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221B A C C d +-=【证明】设),(000y x P 是直线02=++C By Ax 上任一点，则点P 0到直线01=++C By Ax 的距离为22100BA C By Ax d +++=又 0020Ax By C ++=， 即002Ax By C +=-，∴d例3 求两平行线1l ：0832=-+y x ，2l ：01032=-+y x 的距离.解法一：在直线l 1上取一点P （４，0），因为l 1∥l 2，所以点P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离.于是d ===解法二：1l ∥2l 又10,821-=-=C C . 由两平行线间的距离公式得133232)10(822=+---=d四、课堂练习已知一直线被两平行线3x +4y -7=0与3x +4y +8=0所截线段长为3，且该直线过点（2，3），求该直线方程.人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）25五、课堂小结点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.六、课后作业P110习题3.3 A 组：8，9. 10. B 组：2， 3，4，6，9.第三章测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在下列四个命题中，正确的共有（ ）.（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率； （2）直线的倾斜角的取值范围是[]0π，；（3）若两直线的斜率相等，则他们平行；（4）直线y =k x +b 与y 轴相交，交点的纵坐标的绝对值叫截距.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图：直线l 1 的倾斜角α1=30°，直线 l 1⊥ l 2 ，则l 2的斜率为（ ）.Ａ. 33-Ｂ. 33 Ｃ. 3- Ｄ.33．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）.教师备课系统──多媒体教案26A . 第一、二、三象限B . 第一、二、四象限C . 第一、三、四象限D . 第二、三、四象限4．已知直线01=-+by ax 在y 轴上的截距为1-，且它的倾斜角是直线033=--y x 的倾斜角的2倍，则（ ）.A ．1,3==b aB ．1,3-==b aC ．1,3=-=b aD ．1,3-=-=b a5．如果直线l ：x ＋a y ＋2＝0平行于直线2x －y ＋3＝0，则直线l 在两坐标轴上截距之和是（ ）. A ．6 B ．2 C ．－1 D ．－26．不论a 为何实数，直线(3)(21)70a x a y ++-+=恒过 （ ）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 7．若直线210(1)10,x ay a x ay a +-=--+=与平行则的值为（ ）. A ．21 B ．21或0 C ．0 D ．2-8．点（-1，1）关于直线x -y -1=0的对称点（ ）. A ．(-1，1)B ．(1， -1)C ．(-2，2)D ．(2，-2)9．等腰三角形两腰所在直线方程分别为x +y =2与x -7y -4=0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在的直线斜率为（ ）.A ．3 B ．2 C ．31- D ．21-10．点P （x ，y ）在直线4x + 3y = 0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点人教版新课标普通高中◎数学2 必修（A 版）27距离的取值范围是（ ）.A . [0，5] B . [0，10] C . [5，10] D . [5，15]11．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）.A ．3 B ．2C ．13-D ．12-12．如图，1l 、2l 、3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1，2l 与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在1l 、2l 、3l 上，则⊿ABC 的边长是 （ ）.A ．23B ．364 C ．3174D ．2213二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是 ． 14．若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是： ①15；②30；③45；④60；⑤75，教师备课系统──多媒体教案28其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）15．已知(1,2),(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=．设i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是 ．16．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里,,,a b c p 均为非零实数，设直线,BP CP 分别与边,AC AB 交于点,E F ，某同学已正确求得直线OE 的方程为1111()()0x y b c p a -+-=，请你完成直线OF 的方程：（ ）11()0x y p a+-=.三、解答题 17．（10分）已知三角形ABC 的顶点是A （-1，-1），B （3，1），C （1，6）.直线L 平行于AB ，且分别交AC ，BC 于E ， F ，三角形CEF 的面积是三角形CAB 面积的41.求直线L 的方程.18．（12分）过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２x －５y ＋９＝０与Ｌ２：２x －５y －７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线x －４y －１＝０上，求直线Ｌ的方程.A BCx yPOFE。
必修2第三章第三节两条直线的交点坐标第一课时 3.3.1 两条直线的交点坐标教学目标：1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解2．当两条直线相交时，会求交点坐标3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力教学重点：根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线相交求交点教学难点：对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解教学过程：（一）、复习准备：1. 讨论：如何用代数方法求方程组的解?2. 讨论：两直线交点与方程组的解之间有什么关系？（二）、讲授新课：1.直线上的点与直线方程的解的关系：①讨论：直线上的点与其方程Ax+By+C=0的解有什么样的关系？②练习：完成书上P109的填表.③直线L上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解。
反之直线L的方程的每一组解都表示直线上的点的坐标。
2.两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系及求两直线的交点坐标①讨论：点A（-2,2）是否在直线L1：3X+4Y-2=0上？点A（-2,2）是否在直线L2：2X+Y+2=0上？②A在L1上，所以A点的坐标是方程3X+4Y-2=0的解，又因为A在L2上，所以A点的坐标也是方程2X+Y+2=0的解。
即A的坐标（-2,2）是这两个方程的公共解，因此（-2,2）是方程组3X+4Y-2=0 2X+Y+2=0 的解.③讨论：点A和直线L1与L2有什么关系？为什么？④例1：求下列两条直线的交点坐标L1：3X+4Y-2=0 L2：2X+Y+2=03．如何利用方程判断两直线的位置关系？①如何利用方程判断两直线的位置关系？②两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。
因此，只要将两条直线L1和L2的方程联立，A X+B Y+C=0 A X+B Y+C=0得方程组1112221．若方程组无解，则L1//L22.若方程组有且只有一个解，则L1与L2相交3.若方程组有无数解，则L1与L2重合③例2：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标。
