下载文档原格式
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的问题类型，涉及到几何和代数等多个方面，具有一定的挑战性和趣味性。
下面是一些折叠问题的解题技巧:
1. 观察折叠过程，提取关键信息。
在折叠问题中，通常会涉及到两个或多个图形的折叠，需要观察折叠过程，并提取关键信息。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，关键信息可能是矩形的长和宽，或者是正方形的边长。
2. 利用几何图形的性质，进行推理和计算。
折叠问题通常涉及到几何图形的性质，例如面积、周长、角等。
在解决问题时，需要利用这些性质进行推理和计算。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，进而计算出折叠后的形状。
3. 利用代数知识，进行化简和求解。
折叠问题还可以利用代数知识进行化简和求解。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，并将它们用代数式表示出来。
然后，通过解方程组或代数式的方法求解答案。
4. 寻找规律，构建模型。
有些折叠问题可以通过寻找规律，构建模型来解决。
例如，在将一个正多边形折叠成平面图形的过程中，可以尝试利用正多边形的边数来构建模型。
通过模型，可以更好地理解和解决问题。
折叠问题是初中数学中的一种重要问题类型，需要学生掌握一定
的几何和代数知识，并学会利用这些知识进行推理和计算。
同时，学生还需要具备较强的逻辑思维能力和分析问题的能力，才能有效地解决折叠问题。
高考热点问题：立体几何中折叠问题一、考情分析立体几何中的折叠问题是历年高考命题的一大热点与难点,主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题,多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题,主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等.二、经验分享(1)立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开.把一个平面图形按照某种要求折起,转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化,这就是折叠问题.把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题,这就是几何体的表面展开问题.折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题,这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现,展开与折叠问题就是一个由抽象到直观,由直观到抽象的过程.此类问题也是历年高考命题的一大热点. (2) 平面图形通过折叠变为立体图形，就在图形发生变化的过程中，折叠前后有些量(长度、角度等)没有发生变化，我们称其为“不变量”．求解立体几何中的折叠问题，抓住“不变量”是关键．(3)把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法.三、题型分析(一) 平面图形的折叠解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形,抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征,如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据.1. 折叠后的形状判断【例1】如下图,在下列六个图形中,每个小四边形皆为全等的正方形,那么沿其正方形相邻边折叠,能够围成正方体的是_____________(要求：把你认为正确图形的序号都填上)①②③④⑤⑥【分析】根据平面图形的特征,想象平面图形折叠后的图形进行判断.也可利用手中的纸片画出相应的图形进行折叠.【答案】①③⑥【解析】①③⑥可以.②把横着的小方形折起后,再折竖着的小方形,则最上方的小方形与正方体的一个侧面重合,导致正方体缺少一个侧面；④把下方的小方形折起后,则上方的小方形中的第1,2个重合,导致正方体的底面缺少,不能折成正方体；⑤把中间的小方形当成正方体的底面,则右下方的小方形折叠不起来,构不成正方体.【小试牛刀】下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是（）A. B. C. D.【例2】将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四边形ABCD(如图2),则在空间四边形ABCD中,AD与BC的位置关系是( )图1 图2A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【答案】C【解析】在图1中的等腰直角三角形ABC 中,斜边上的中线AD 就是斜边上的高,则AD ⊥BC ,折叠后如图2,AD 与BC 变成异面直线,而原线段BC 变成两条线段BD 、CD ,这两条线段与AD 垂直,即AD ⊥BD ,AD ⊥CD ,故AD ⊥平面BCD ,所以AD ⊥BC .【小试牛刀】如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别为边BC,AD 的中点,将沿BF 所在直线进行翻折,将沿DE 所在直线进行翻折,在翻折过程中（ ）A. 点A 与点C 在某一位置可能重合B. 点A 与点C 的最大距离为C. 直线AB 与直线CD 可能垂直D. 直线AF 与直线CE 可能垂直 3.折叠后几何体的数字特征折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等,设计问题综合、全面,也是高考命题的重点.解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应.【例3】（体积问题）如图所示,等腰ABC △的底边66AB =,高3CD =,点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点,点F 在BC 边上,且EF AB ⊥,现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置,使PE AE ⊥,记BE x =,()V x 表示四棱锥P ACFE −的体积．（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时,()V x 取得最大值？PED F B CA【解析】（1）由折起的过程可知,PE ⊥平面ABC,96ABC S ∆=,V(x)= （036x <<）（2）,所以(0,6)x ∈时,'()0v x > ,V(x)单调递增；636x <<时'()0v x < ,V(x)单调递减；因此x=6时,V(x)取得最大值126.【小试牛刀】【河北省五个一名校联盟2019届高三下学期一诊】在平面四边形 中，AB=BC=2,AC=AD=2，现沿对角线AC 折起,使得平面DAC平面ABC ，则此时得到的三棱锥D-ABC外接球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【例4】（空间角问题）如左图,矩形ABCD 中,12AB =,6AD =,E 、F 分别为CD 、AB 边上的点,且3DE =,4BF =,将BCE ∆沿BE 折起至PBE ∆位置(如右图所示),连结AP 、EF 、PF ,其中25PF =.(Ⅰ)求证:PF ⊥平面ABED ； (Ⅱ)求直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值.【解析】(Ⅰ)由翻折不变性可知, , ,在PBF ∆中, ,所以PF BF ⊥ 在图1中,易得,在PEF ∆中, ,所以PF EF ⊥又,BF ⊂平面ABED ,EF ⊂平面ABED ,所以PF ⊥平面ABED .. .ACDBEF图图ABCD PEF(Ⅱ)方法一:以D 为原点,建立空间直角坐标系D xyz −如图所示,则()6,0,0A ,,()0,3,0E ,()6,8,0F ,所以, ,,设平面PEF 的法向量为(),,x y z =n ,则0FP EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ,即,解得560x y z ⎧=−⎪⎨⎪=⎩令6y =−,得,设直线AP 与平面PEF 所成角为θ,则81281427. 所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为81281427. 方法二:过点A 作AH EF ⊥于H ,由(Ⅰ)知PF ⊥平面ABED ,而AH ⊂平面ABED 所以PF AH ⊥,又,EF ⊂平面PEF ,PF ⊂平面PEF ,所以AH ⊥平面PEF ,所以APH ∠为直线AP 与平面PEF 所成的角. 在Rt APF ∆中,在AEF ∆中,由等面积公式得4861在Rt APH ∆中,所以直线AP 与平面PEF 所成角的正弦值为81281427. 【点评】折叠问题分析求解两原则：解法二图ABCD PEFHxy z 解法一图A BC D PEF(1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；(2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变.【小试牛刀】【广东省汕头市2019届高三上学期期末】如图，已知是边长为6的等边三角形，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足，如图，将沿DE折成四棱锥，且有平面平面BCED．求证：平面BCED；记的中点为M，求二面角的余弦值．(二) 几何体的展开几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程,一般地,涉及到多面体表面距离的问题,解题时不妨将它展开成平面图形试一试.1.展开后形状的判断【例5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图）,请根据各面上的图案判断这个正方体是（）解析：这是图③模型,在右图中,把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面,有“空心圆”的正方形做“上面”,显然是正方体C的展形图,故选（C）.【小试牛刀】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________.2.展开后的数字特征——表面上的最短距离问题【例6】如图,已知圆柱体底面圆的半径为2π,高为2,AB CD，分别是两底面的直径,AD BC，是母线．若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到C点,求小虫爬行的最短路线的长度．【解析】如图,将圆柱的侧面展开,其中AB为底面周长的一半,即,2AD=.则小虫爬行的最短路线为线段AC.在矩形ABCD中,.所以小虫爬行的最短路线长度为22.【点评】几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开,将其转化为平面内的最短距离,利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图,如长方体的表面展开图等,要把不同展开图中的最短距离进行比较,找出其中的最小值.【小试牛刀】如图,在长方体中, ,求沿着长方体表面从A到1C的最短路线长.四、迁移运用1．【浙江省2019年高考模拟训练】已知四边形中，，，在将沿着翻折成三棱锥的过程中，直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角，设二面角，的大小分别为，则（）A． B． C．存在 D．的大小关系无法确定【答案】B【解析】如图，在三棱锥中，作平面于，连，则分别为与平面所成的角．∵直线与平面所成角的角均小于直线与平面所成的角，∴．过作，垂足分别为，连，则有，∴分别为二面角，的平面角，∴．在中，，设BD的中点为O，则为边上的中线，由可得点H在CO的左侧（如图所示），∴．又，∴．又为锐角， ∴．故选B ．2.【四川省德阳市2018届高三二诊】以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的中线AD 为折痕，将ABD ∆与ACD ∆折成互相垂直的两个平面，得到以下四个结论：①BD ⊥平面ACD ；②ABC ∆为等边三角形；③平面ADC ⊥平面ABC ；④点D 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外接圆圆心.其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C【解析】由于三角形ABC 为等腰直角三角形,故,所以BD ⊥平面ACD ,故①正确,排除B 选项.由于AD BD ⊥,且平面ABD ⊥平面ACD ,故AD ⊥平面BCD ,所以AD CD ⊥,由此可知,三角形为等比三角形,故②正确,排除D 选项.由于,且ABC ∆为等边三角形,故点D 在平面ABC 内的射影为ABC ∆的外接圆圆心, ④正确,故选C .3.已知梯形如下图所示,其中,,为线段的中点,四边形为正方形,现沿进行折叠,使得平面平面,得到如图所示的几何体.已知当点满足时,平面平面,则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】因为四边形为正方形,且平面平面,所以两两垂直,且,所以建立空间直角坐标系（如图所示）,又因为,,所以,则,,设平面的法向量为,则由得,取,平面的法向量为,则由得,取,因为平面平面,所以,解得.故选C.4.如图是棱长为1的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下结论错误的是（ ）A ．点M 到AB 的距离为22B ．AB 与EF 所成角是90︒C ．三棱锥C DNE −的体积是16D ．EF 与MC 是异面直线 【答案】D【解析】根据正方体的平面展开图,画出它的立体图形如图所示,A 中M 到AB 的距离为222MC =,A 正确；AB 与EF 所成角是90︒,B 正确；三棱锥C DNE −的体积是,C 正确；//EF MC ,D 错误．5.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）度A ．90B ．60C ．45D ．30 【答案】C【解析】折叠后所得的三棱锥中易知当平面ACD 垂直平面ABC 时三棱锥的体积最大．设AC 的中点为O ,则DBO ∠即为所求,而DOB ∆是等腰直角三角形,所以,故选C ．6.【辽宁省辽阳市2018学届高三第一次模拟】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ， E ， F ， G ， H 为圆O 上的点， ABE V ， BCF V ， CDG V ， ADH V 分别以AB ， BC ， CD ， DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ， BC ， CD ， DA 为折痕折起ABE V ， BCF V ， CDG V ， ADH V ，使得E ， F ， G ， H 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为__________．【答案】500327π3cm【解析】如图：连接OE 交AB 于点I ，设E ，F ，G ，H 重合于点P ，正方形的边长为x ()0x >，则OI=2x ， IE 62x =−. 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得4x =，设该四棱锥的外接球的球心为Q ，半径为R ，则，，解得5R 3=，外接球的体积3cm7．【山东省济南市2019届高三上学期期末】在正方形中，点，分别为，的中点，将四边形沿翻折，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】连接FC ，与DE 交于O 点，取BE 中点为N ， 连接ON ，CN ，易得ON ∥BD ∴∠CON 就是异面直线与所成角设正方形的边长为2， OC=，ON=，CN=∴cos ∠CON==故答案为：8.如图所示,在四边形ABCD 中,,将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体BCD A −',使平面⊥BD A /平面BCD ,则下列结论正确的是 ．（1）BD C A ⊥'； （2）；（3）A C '与平面BD A '所成的角为︒30； （4）四面体BCD A −'的体积为61． 【答案】（2）（4）【解析】平面⊥BD A /平面BCD CD ∴⊥平面'A BD ,/CA 与平面BD A /所成的角为'CA D ∠,四面体BCDA −/的体积为,,综上（2）（4）成立．9．如图,矩形ABCD 中,2AB AD =,E 为边AB 的中点,将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆,若M 为线段1AC 的中点,则在ADE ∆翻折过程中,下面四个选项中正确的是 (填写所有的正确选项)（1）||BM 是定值 （2）点M 在某个球面上运动（3）存在某个位置,使1DE AC ⊥ （4）存在某个位置,使//MB 平面1A DE 【答案】（1）（2）（4）．【解析】取CD 中点F ,连接MF ,BF ,则1//MF DA ,//BF DE ,∴平面//MBF 平面1A DE , ∴//MB 平面1A DE ,故（4）正确；由,为定值,FB DE =为定值,由余弦定理可得,∴MB 是定值,故（1）正确；∵B 是定点,∴M 是在以B 为圆心,MB 为半径的圆上,故（2）正确；∵1AC 在平面ABCD 中的射影为AC ,AC 与DE 不垂直,∴存在某个位置,使1DE A C ⊥错误,故（3）错误．10．【四川省广元市高2018届第二次高考适应性统考】如图，在矩形ABCD 中， 4AB =， 2AD =， E 是CD 的中点，以AE 为折痕将DAE ∆向上折起， D 变为'D ，且平面'D AE ⊥平面ABCE .（Ⅰ）求证： 'AD EB ⊥； （Ⅱ）求二面角'A BD E −−的大小. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 90o . 【解析】（Ⅰ）证明：∵， AB 4=，∴，∴AE EB ⊥，取AE 的中点M ，连结MD '，则，∵ 平面D AE '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥平面ABCE ，∴MD '⊥ BE ， 从而EB ⊥平面AD E '，∴AD EB '⊥ （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则()A 4,2,0、()C 0,0,0、()B 0,2,0、()D 3,1,2'，()E 2,0,0，从而BA u u u v=（4,0,0），，.设为平面ABD '的法向量，则可以取设为平面BD E '的法向量，则可以取因此， 12n n 0⋅=u u v u u v ，有12n n ⊥u u v u u v，即平面ABD ' ⊥平面BD E '，故二面角的大小为90o .11.【福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查】如图1，已知菱形的对角线交于点，点为线段的中点，，，将三角形沿线段折起到的位置，，如图2所示．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【解析】（Ⅰ）折叠前，因为四边形为菱形，所以；所以折叠后，，, 又，平面，所以平面因为四边形为菱形，所以．又点为线段的中点，所以．所以四边形为平行四边形．所以．又平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（Ⅱ）图1中，由已知得，，所以图2中，，又所以，所以又平面，所以又，平面，所以平面，所以．所以三棱锥的体积为．12．【湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模】如图，在多边形中（图1），为长方形，为正三角形，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好在上（图2）.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若点在线段上，且，当点在线段上运动时，求三棱锥的体积. 【解析】（Ⅰ）过点作，垂足为.由于点在平面内的射影恰好在上，∴平面.∴.∵四边形为矩形，∴.又，∴平面，∴.又由，，可得，同理.又，∴，∴，且，∴平面.（Ⅱ）设点到底面的距离为，则.由，可知，∴.又，∴.13．【江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考】如图所示，在边长为2的菱形中，，现将沿边折到的位置．（1）求证：；（2）求三棱锥体积的最大值．【解析】（1）如图所示，取的中点为，连接，易得，,又面（2）由（1）知，= ,当时，的最大值为1.14．【云南师范大学附属中学2019届高三上学期第一次月考】如图所示甲，在四边形ABCD中，，，是边长为8的正三角形，把沿AC折起到的位置，使得平面平面ACD，如图所示乙所示，点O，M，N分别为棱AC，PA，AD的中点．求证：平面PON；求三棱锥的体积．【解析】如图所示，为正三角形，O为AC的中点，，平面平面ACD，平面平面，平面ACD，平面ACD，．，，，，即．，N分别为棱AC，AD的中点，，，又，平面PON；解：由，，，可得，点O、N分别是AC、AD的中点，，是边长为8的等边三角形，，又为PA的中点，点M到平面ANO的距离，．又，．15．【湖北省荆门市2019届高三元月调研】如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图．1若，证明：平面；2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．【解析】1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，由已知得，，平面又平面BDE，，又，，平面2在图2中，，，，即面DEFC，在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，由题意得，，由勾股定理可得，则，，过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，．设平面ACD的一个法向量为，由得,取得，设，则m，，，得设CP与平面ACD所成的角为，．所以16．【山西省吕梁市2019届高三上学期第一次模拟】已知如图（1）直角梯形，，，，，为的中点，沿将梯形折起（如图2），使.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.【解析】（1）由已知可得为直角三角形，所以.又，所以，所以平面.（2）因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面，，所以，平面，又因为，所以平面，又因为平面，所以.在直角中，，设点到平面的距离为，由，则，所以.16.正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,,E F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折−−．成直二面角A DC B（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由；−−的余弦值；（2）求二面角E DF C（3）在线段BC 上是否存在一点P ,使AP DE ⊥？证明你的结论．【分析】（1）问可利用翻折之后的几何体侧面ABC ∆的中位线得到//AB EF ,便可由线面平行的判定定理证得；（2）先根据直二面角A DC B −−将条件转化为AD ⊥面BCD ,然后做出过点E 且与面BCD 垂直的直线EM ,再在平面BCD 内过M 作DF 的垂线即可得所求二面角的平面角；（3）把AP DE ⊥作为已知条件利用,利用ADC ∆中过A 与DE 垂直的直线确定点P 的位置.【解析】（1）如图：在△ABC 中,由E 、F 分别是AC 、BC 中点,得EF//AB,又AB ⊄平面DEF,EF ⊂平面DEF ．∴AB ∥平面DEF ．（2）∵AD ⊥CD,BD ⊥CD∴∠ADB 是二面角A —CD —B 的平面角∴AD ⊥BD ∴AD ⊥平面BCD取CD 的中点M,这时EM ∥AD ∴EM ⊥平面BCD过M 作MN ⊥DF 于点N,连结EN,则EN ⊥DF∴∠MNE 是二面角E —DF —C 的平面角,在Rt △EMN 中,EM=1,MN=23 ∴tan ∠MNE=233,cos ∠MNE=721（3）在线段BC 上存在点P,使AP ⊥DE. 证明如下：在线段BC 上取点P,使BC BP 31=,过P 作PQ ⊥CD 与点Q, ∴PQ ⊥平面ACD∵, 在等边△ADE 中,∠DAQ=30°,∴AQ ⊥DE ∴AP ⊥DE.。
中考数学几何折叠问题答题技巧中考数学几何折叠问题答题技巧折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折1800，使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中折是过程，叠是结果. 折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用. 所以在解决有关的折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质.根据轴对称的性质可以得到：折叠重合部分一定全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴;互相重合两点(对称点)之间的连线必被折痕垂直平分;对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等;对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等. 在解题过程中要充分运用以上结论，借助辅助线构造直角三角形，结合相似形、锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题，可以使得解题思路更加清晰，解题步骤更加简洁.1、利用点的对称例1.(2006年南京市)已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合.(1)如果折痕FG分别与AD、AB交于F、G(如图①)，AF=，求DE 的长;(2)如果折痕FG分别与CD、AB交于F、G(如图②)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.图①中FG是折痕，点A与点E重合，根据折叠的对称性,已知线段AF的长,可得到线段EF的长，从而将求线段的长转化到求Rt△DEF 的一条直角边DE. 图②中，连结对应点A、E，则折痕FG垂直平分AE，取AD的中点M，连结MO，则MO=DE，且MO∥CD，又AE为Rt△AED的外接圆的直径，则O为圆心，延长MO交BC于N，则ONBC，MN=AB,又Rt△AED的外接圆与直线BC相切，所以ON是Rt△AED的外接圆的半径，即ON=AE，根据勾股定理可求出DE=，OE=. 通过Rt△FEO∽Rt △AED，求得FO=，从而求出EF的长.对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理.二、利用线段的对称性质例2.(新课标人教版数学八年级下学期P126)数学活动1：折纸做300、600、150的角对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再次折叠纸片，使A点落在折痕EF上的N点处，并使折痕经过点B得到折痕BM，同时得到线段BN，观察所得到的ABM、MBN和NBC，这三个角有什么关系(教师用书中给出了这样的提示：△ABM≌△NBC，作NGBC，则直角三角形中NG=BN，从而可得ABM=MBN=NBC=300.) 若这样证明则要用到：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于300. 这个定理现行教材中没有涉及到，在这儿用不太合适. 如果直接运用轴对称思想说理应该比较简洁明了：连结AN，则AN=BN，又AB=BN，所以三角形ABN为等边三角形，所以ABM=MBN=NBC=300.利用对称的思想来证明线段的相等比用其他方法快捷而且灵活.三、利用面对称的性质例3.(2006年临安)如图，△OAB是边长为2的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OAB折叠，使点A 落在OB上，记为A`点，折痕为EF. 此题中第③问是：当A`点在OB 上运动，但不与O、B重合时，能否使△A`EF为直角三角形这一问题需通过分类讨论，先确定直角顶点不可能在A`处. 当△A`EF为直角三角形，且直角顶点在F处时，根据轴对称性质我们可以得到AFE=A`FE=900，此时A`点与B点重合，与题目中已知相矛盾，所以直角顶点在点F处不成立. 同理可证，直角顶点亦不可能在点E处. 故当A`点在OB上运动，若不与O、B重合，则不存在这样的A`点使△A`EF为直角三角形.在折叠问题中,利用面的对称性可得到相等的角、全等的图形和相等的面积.解决折叠问题时，首先要对图形折叠有一准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量. 进一步发现图形中的数量关系;其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题.。
专题05 勾股定理与几何图形折叠问题一、单选题1．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =6，BC =8，将△ABC 折叠，使点C 落在AB 边上的点E 处，AD 是折痕，则△BDE 的周长为( )A ．6B ．8C ．12D ．14【答案】C【分析】 利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题．【解析】在Rt△ABC 中，△AC =6，BC =8，△C =90°，△AB ==10，由翻折的性质可知：AE =AC =6，CD =DE ，△BE =4，△△BDE 的周长=DE +BD +BE =CD +BD +E =BC +BE =8+4=12．故选：C ．【小结】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图，有一张直角三角形纸片，90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =，现将ABC ∆折叠，使边AC 与AB 重合，折痕为AE ，则CE 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cm 2D ．5cm 2【答案】C【分析】 先根据勾股定理求出BC 的长度，再由折叠的性质可得CE=DE ，设CE x =，然后在Rt BDE 中利用勾股定理即可求出x 的值.【解析】△90ACB ∠=︒，5cm AB =，3cm AC =△4BC ===由折叠可知CE=DE,AC=AD ，90ADE ACE ∠=∠=︒设CE x =，则4,2,BE x BD AB AD =-=-=在Rt BDE 中△222DE BD BE +=△2222(4)x x +=- 解得32x =故选C【小结】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容及方程的思想是解题的关键.3．如图，将等腰直角三角形ABC （90ABC ∠=︒）沿EF 折叠，使点A 落在BC 边的中点1A 处，6BC =，那么线段AE 的长度为A．5B．4C．4. 25D．154【答案】D【分析】由折叠的性质可求得AE=A1E，可设AE=A1E=x，则BE=6-x，且A1B=3，在Rt△A1BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．【解析】由折叠的性质可得AE=A1E，△△ABC为等腰直角三角形，BC=6，△AB=6，△A1为BC的中点，△A1B=3，设AE=A1E=x，则BE=6-x，在Rt△A1BE中，由勾股定理可得32+（6-x）2=x2，解得x=154，故选：D．【小结】本题考查折叠的性质，利用折叠的性质得到AE=A1E是解题的关键，注意勾股定理的应用．4．如图，矩形ABCD，AB=3，BC=4，点E是AD上一点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在BD上的点G处，则AE的长为（）A．2B．52C．32D．3【答案】C【分析】先用勾股定理求出BD，再由折叠得出BG=AB=3，从而求出DG=2，最后再用勾股定理求解即可．【解析】在Rt△ABD中，AB=3，AD=BC=4，△BD=5由折叠得，△BGE=△A=90°，BG=AB=3，EG=AE，△DG=BD-BG=2，DE=AD-AE=4-AE，在Rt△DEG中，EG2+DG2=DE2，△AE2+4=（4-AE）2，△AE=32．故选：C．【小结】本题考查翻折变换的性质，勾股定理，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5．如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使边AD与对角线BD重合，点A落在点A′处，折痕为DG，则AG的长为( )A．2B．1C．43D．32【答案】D【解析】【分析】由题得BD=√AB2+AD2=5，根据折叠的性质得出△ADG△△A′DG，继而得A′G=AG，A′D=AD，A′B=BD-A′G，再Rt△A′BG根据勾股定理构建等式求解即可.【解析】由题得BD=√AB2+AD2=5，根据折叠的性质得出：△ADG△△A′DG ，△A′G=AG ，A′D=AD=3，A′B=BD -A′G=5-3=2，BG=4-A′G在Rt△A′BG 中，BG 2=A′G 2+A′B 2可得：（4−A′G)2=A′G 2+22，解得A′G=32，则AG=32，故选：D ．【小结】本题主要考查折叠的性质，由已知能够注意到△ADG△△A′DG 是解决的关键．6．如图，在四边形ABCD 中，△A ＝△B ＝90°，△C ＝60°，BC ＝CD ＝8，将四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．2CD 【答案】A【分析】作DG△BC ，连接AE ，先根据Rt△CDG ，△DCG=60°，得出CG=4，利用勾股定理求出AB=BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，再根据勾股定理在Rt△ABE 列出方程进行求解.【解析】作DG△BC ，连接AE ，在Rt△CDG ，△DCG=60°，得出CG=4，设BE=x ，则CE=8-x ，根据折叠得AE= CE=8-x ，在Rt△ABE 中，AE 2=AB 2+BE 2，即(8-x)22+x 2故选A.【小结】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用.7．已知：如图，折叠矩形ABCD，使点B落在对角线AC上的点F处，若BC＝8，AB＝6，则线段CE的长度是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可求出AC＝10，设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据折叠的性质可得出BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，△AFE＝△B＝90°，进而可得出FC＝4，在Rt△CEF中，利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，将其代入8﹣a中即可得出线段CE的长度．【解析】在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，△AC＝10．设BE＝a，则CE＝8﹣a，根据翻折的性质可知，BE＝FE＝a，AF＝AB＝6，△AFE＝△B＝90°，△FC＝4．在Rt△CEF中，EF＝a，CE＝8﹣a，CF＝4，△CE2＝EF2+CF2，即（8﹣a）2＝a2+42，解得：a＝3，故选C．【小结】本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程，在Rt△CEF中，利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键．8．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点AB C'=，则AM的长是（）的对应点为A'，且3A．1B．1.5C．2D．2.5【答案】C【分析】连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【解析】连接BM，MB′，设AM=x，在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，△MB=MB′，△AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，解得x=2，即AM=2，【小结】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．9．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，则折痕为DG 的长为（ ）A B C ．2 D 【答案】D【分析】 首先设AG ＝x ，由矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，可求得BD 的长，又由折叠的性质，可求得A′B 的长，然后由勾股定理可得方程：x 2+22＝（4-x ）2，解此方程即可求得AG 的长，继而求得答案．【解析】设AG ＝x ，△四边形ABCD 是矩形，△△A ＝90°，△AB ＝4，AD ＝3，△BD 5，由折叠的性质可得：A′D ＝AD ＝3，A′G ＝AG ＝x ，△DA′G ＝△A ＝90°，△△BA′G ＝90°，BG ＝AB -AG ＝4-x ，A′B ＝BD -A′D ＝5-3＝2，△在Rt△A′BG 中，A′G 2+A′B 2＝BG 2，△x 2+22＝（4-x ）2，解得：x ＝32， △AG ＝32，△在Rt△ADG 中，DG =【小结】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．10．如图，正方形ABCD 的边长为8，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ＝EC ，则线段CH 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】 根据折叠可得DH ＝EH ，在直角△CEH 中，设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝8﹣x ，根据BE ＝EC ，可得CE ＝4，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH 的长．【解析】设CH ＝x ，则DH ＝EH ＝8﹣x ，△BC ＝8，△BE ＝EC ＝4，在Rt△ECH 中，EH 2＝EC 2+CH 2，△（8﹣x ）2＝42+x 2，解得：x ＝3，即CH ＝3．故选：A ．【小结】本题考查以正方形为背景的折叠问题，掌握正方形的性质，和折叠的轴对称性质，会利用中点求线段的长，会找问题所在的直角三角形，会利用勾股定理解决问题是关键．11．如图，把直角△ABC 沿AD 折叠后，使点B 落在AC 边上点E 处，若AB=6，AC=10，则CDE S =（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6【答案】D【分析】 由勾股定理求出BC 的长，再由折叠性质求出EC 的长、证明△DEC 是直角三角形、CD+DE=BC=8，由勾股定理列出关于DE 的方程，求出DE 后，由面积公式求出CDE S ∆【解析】△△ABC 是直角三角形，AB=6，AC=10由勾股定理得：BC= 8，由折叠可知：AE=AB=6，DE=BD ，△AED=△B=90°，△EC=AC -AE=10-6=4，设BD=x ，则DE=x ，，CD=8-x ，在Rt△CDE 中，222EC DE CD +=，即2224(8)x x +=-，解得x=3，即DE=3，所以△CDE 的面积为：3422DE EC ⋅⨯==6． 故选：D△【小结】本题考查用勾股定理计算直角三角形边长．本题中Rt△CDE△△△△△△△△△△△△EC=4，和其它两边△△△△△△△△△DE+CD=8，此时列方程就很关键了．12．如图，将直角△ABC 沿AD 对折，使点C 落在AB 上的E 处，若AC=6，AB=10，则DB 的长度是（ ）A ．3B ．4C ．8D ．5【答案】D【分析】根据折叠对应边相等，找出对应边，再根据小直角三角形的三边关系即可求出．【解析】△直角△ABC 沿AD 对折，AC=6，AB=10△AE=AC=6，BE=4，DE=DC ，，△BED=△C=900在直角△DEB 中DE 2+BE 2=BD 2△42+（8-BD ）2=BD 2 解得BD=5故选D ．【小结】本题主要考察了勾股定理等知识点，准确找出对应边和找出新的直角三角形是解题关键．13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连接AE ，将ABE △沿AE 翻折，点B 的对应点是点B '，当点B '落在边AD 上时，8AE =，6BB '=，则边AB 的长是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9【答案】A【分析】 由翻折可知，AE BB BF B F ''⊥=，，再根据平行四边形对边平行的性质，解得AB B B BE ''∠=∠，进而证明()BFE B FA ASA '≅，根据全等三角形对应边相等的性质，可解得AF EF =，结合已知条件及勾股定理，可解题．【解析】根据翻折的性质，可知AE BB BF B F ''⊥=，在平行四边形ABCD 中，//AB BE 'AB B B BE ''∴∠=∠AFB BFE '∠=∠()BFE B FA ASA '∴≅AF EF ∴=8AE =，6BB '=，43AF BF ∴==，，由勾股定理得5AB ==，故选：A ．【小结】本题考查翻折、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．如图，平行四边形纸片ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，将平行四边形纸片沿对角线BD 拆叠，使点C 落在平面上的点C '处，若45AOB ∠=︒，1AC =，则点A ，C '之间的距离是（ ）A ．1B C ．D 【答案】D【分析】 连接A C '，由折叠的性质，解得O C '的长，45AOB CO D D C O ∠=∠='=∠︒，根据三角形内角和180°，解得90AOC ∠'=︒，最后根据勾股定理解题即可．【解析】连接A C '，根据折叠的性质可知1122OC OC AO AC '==== 45AOB CO D D C O ∠=∠='=∠︒ 18090AOC AOB C OD ∴∠'=︒-∠-∠'=︒在t AO R C '中AC '= 故选：D ．【小结】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．如图，长方形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 的长为（ ）A ．254B ．6C ．74D ．234【答案】A【分析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，利用矩形纸片ABCD 中，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，由勾股定理求AF 即可．【解析】设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm ，△矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，△DF=D′F ，在Rt△AD′F 中，△AF 2=AD′2+D′F 2，△x 2=62+（8-x ）2，解得：x=254， 故选：A ．【小结】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变是解题关键．16．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC cm =，8BC cm =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】 根据翻折的性质可知：AC ＝AE ＝6，CD ＝DE ，设CD ＝DE ＝x ，在RT△DEB 中利用勾股定理解决．【解析】在RT△ABC 中，△AC ＝6，BC ＝8，△AB =10，△ADE 是由△ACD 翻折，△AC ＝AE ＝6，EB ＝AB−AE ＝10−6＝4，设CD ＝DE ＝x ，在RT△DEB 中，△DE 2＋EB 2＝DB 2，△x 2＋42＝（8−x ）2△x ＝3，△CD＝3．故选：B．【小结】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．17．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．4cm2B．5cm2C．6cm2D．7cm2【答案】C【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解析】将此长方形折叠，使点B与点D重合，△BE=ED．△AD=9cm=AE+DE=AE+BE．△BE=9-AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．△△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．【小结】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．18．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE 的长是（）A ．3B ．3.5C ．3.75D ．4【答案】C【分析】 由勾股定理求解AB ，由对折可得,5,AE BE BD AD ===设,BE x = 则,8,AE x CE x ==- 利用勾股定理求解x ，再利用勾股定理可得答案．【解析】90,6,8,C BC AC ∠=︒==10,AB ∴===由折叠可得：,5,AE BE BD AD ===设,BE x = 则,8,AE x CE x ==-()22286,x x ∴-+= 25,4x ∴=15 3.75,4DE ∴==== 故选C ．【小结】本题考查的是求一个数的算术平方根，轴对称的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 19．如图，在矩形ABCD 中，8BC =，6CD =，将ABE △沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则折痕BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D【分析】 由折叠性质，可知BEF BAE ≅，根据勾股定理，计算BD 的长，进而计算FD 的长，设EF AE x ==，再用勾股定理解得AE 的长，最终求BE 的长．【解析】在矩形ABCD 中，90BAD ∠=︒，由折叠可得BEF BAE ≅，EF BD AE EF AB BF ∴⊥==，，，在t R ABD 中，AB=CD=6,BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=10-6=4，设EF AE x ==，则8ED x =-，根据勾股定理得：2224(8)x x +=-，解得：3x ，=BE ∴=故选：D ．【小结】本题考查折叠的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．如图，点F 是长方形ABCD 中BC 边上一点将△ABF 沿AF 折叠为△AEF ，点E 落在边CD 上，若AB ＝5，BC ＝4，则BF 的长为（ ）A ．73B ．52C ．136D ．56【答案】B【分析】根据矩形的性质可得CD=AB=5，AD=BC=4，△C=△D=90°，由折叠的性质可得AE=AB=5，BF=EF，利用勾股定理即可求出DE，从而求出CE，设BF=EF=x，利用勾股定理列出方程即可求出结论．【解析】△四边形ABCD为矩形，AB＝5，BC＝4，△CD=AB=5，AD=BC=4，△C=△D=90°由折叠的性质可得AE=AB=5，BF=EF在Rt ADE中，3=△CE=CD－DE=2设BF=EF=x，则CF=4－x在Rt CEF中，CF2＋CE2=EF2即（4－x）2＋22=x2解得x=5 2即BF=5 2故选B．【小结】此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质和勾股定理是解决此题的关键．21．如图，ABC 中，△C=90°，AC=3，AB = 5，点D 是边BC 上一点，若沿将ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（）A．2B．52C．3D．103【答案】B 【分析】根据勾股定理，求出BC 的长度，设 BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE= 4-x ，BE=2，在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，根据勾股定理即可求出x 的值，即BD 的长度．【解析】△△C= 90°，AC=3，AB=5∴BC= ，设BD=x ，则DC= 4-x ，由折叠可知：DE=DC=4-x ，AE=AC=3，△AED= △C=90°，△ BE= AB -AE = 2．在 Rt BDE 中，222BD =BE DE +，即：222x =2(4-x)+，解得：x=52， 即BD=52， 故选：B ．【小结】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，解题的关键在于写出直角三角形BDE 三边的关系式，即可求出答案．22．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，若△1＝40°，则△AEF 的度数为（ ）A ．130°B ．120°C ．110°D ．100°【答案】C【分析】 如图，设B 的对应点为K ．由AD△BC ，推出△AEF+△BFE=180°，求出△BFE 即可解决问题．【解析】如图设B 的对应点为K ．△△BFE ＝△EFK ，△1＝40°，△△BFK ＝180°﹣40°＝140°，△△BFE ＝70°，△AD △BC ，△△AEF +△BFE ＝180°，△△AEF ＝110°，故选：C ．【小结】本题考查了矩形折叠的问题，掌握折叠的性质、矩形的性质、平行线的性质是解题的关键．23．在矩形纸片ABCD 中，6,10AB AD ==．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A '处，折痕为PQ ，当点A '在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在线段AB 、AD 边上移动，则点A '在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】 根据翻折的性质，△当P 与B 重合时，可得BA′与AP 的关系，根据线段的和差，可得A′C ，△当Q 与D 重合时，根据勾股定理，可得A′C ，根据线段的和差，可得答案．【解析】△当P 与B 重合时，BA′＝BA ＝6，CA′＝BC−BA′＝10−6＝4，△当Q 与D 重合时，由勾股定理，得CA′8，CA′最大是8，CA′最小是4，点A′在BC 边上可移动的最大距离为8−4＝4，故选：B ．【小结】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．24．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B '处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B F '的长为（ ）A ．45B ．35C ．23D ．34【答案】A【分析】根据折叠的性质可知AC=CD ，△A=△CDE ，CE△AB ，Rt△ABC 中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得B′F 的长．【解析】△Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，△AB ＝5，根据折叠的性质可知AC ＝CD ，△A ＝△CDE ，CE △AB ，△B ′D ＝BC ﹣CD ＝4﹣3＝1，△DCE +△B ′CF ＝△ACE +△BCF ，△△ACB ＝90°，△△ECF ＝45°，△△ECF 是等腰直角三角形，△EF ＝CE ，△EFC ＝45°，△△BFC ＝△B ′FC ＝135°，△△B ′FD ＝90°，△S △ABC ＝12AC •BC ＝12AB •CE ， △AC •BC ＝AB •CE ，△CE ＝125，△EF ＝125，ED ＝AE 95=， △DF ＝EF ﹣ED ＝35△B ′F 45=． 选：A ．【小结】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．25．如图，在ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上．将AEF 沿EF 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点G 处．若45A ∠=︒，AB =5BE AE =，则AF 长度为（ ）A．152 B ．7 C ．6 D ．【答案】A【分析】过B 作BM△AD 于M ，作FH△BC 于H ，作EN△BC 于N ，交CB 延长线于N ，分别求出BN 、EN 、AM 、BM ，继而在Rt△GEN 中求出GN 的值，设FM=BH =x ，在Rt△GFH 中，由勾股定理列方程解出x ，即可得出结果．【解析】过B 作BM△AD 于M ，作FH△BC 于H ，作EN△BC 于N ，交CB 延长线于N ，如图1所示：则BM△BC ，BM=FH ，FM=BH ，由折叠的性质得：AE=GE= GF=AF ，△四边形ABCD 是平行四边形，△AD△BC ，△△EBN=△A=45°，△△ABM 和△BEN 是等腰直角三角形，△BN=EN=，AM=BM= ， △FH=6，在Rt△GEN 中，由勾股定理得：12+GN 2= 2，解得：GN=±7（负值舍去），△GN=7，设FM=BH =x ，则GH=7-1-x=6-x ，GF=AF=x+6，在Rt△GFH 中，由勾股定理得：62+（6-x ）2=（x+6）2， 解得：x=32， △AF=32+6=152； 故选：A ．【小结】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．26．如图，已知 Rt ABC 中，90,6,8C AC BC ∠︒＝＝＝，将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ，则 DE 的值为（ ）A ．5B ．4C ．133D ．143【答案】C【分析】 由折叠可得△AEF△△DEF ，可知AE=DE ，由点 D 为边 BC 的中点，可求CD=118422CB =⨯=，设DE=x ，CE=6-x ，在Rt△CDE 中由勾股定理()22246x x +-=解方程即可．【解析】 △将它的锐角A 翻折，使得点A 落在边 BC 的中点 D 处，折痕交 AC 边于点E ，交AB 边于点F ， △△AEF△△DEF ，△AE=DE ，△点 D 为边 BC 的中点， △CD=118422CB =⨯=， 设DE=x ，CE=6-x ，在Rt△CDE 中由勾股定理，222CD CE DE +=即()22246x x +-=， 解得133x =． 故选择：C ．【小结】本题考查折叠性质，中点定义，勾股定理，掌握折叠性质，中点定义，勾股定理，关键是利用勾股定理构造方程．27．如图，矩形纸片ABCD ，3AB =，5AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的E 处，折痕为PQ ，当点E 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动，若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点E 在BC 边上可移动的最大距离为（ ）A．1B．2C．4D．5【答案】B【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点E到达最左边，当点P与点B重合时，点E到达最右边，所以点E就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时EB的长度，然后两数相减就是最大距离．【解析】如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得ED=AD=5，在Rt△ECD中，ED2=EC2+CD2，即52=（5-EB）2+32，解得EB=1，如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，△3-1=2，△点E在BC边上可移动的最大距离为2．故选：B．【小结】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．28．如图，已知ABCD 是长方形纸片，3CD =，在CD 上存在一点E ，沿直线AE 将AED 折叠，D 恰好落在BC 边上的点F 处，且6AFB S =△，则AED 的面积是（ ）．A ．253B ．256 C ．43 D ．23 【答案】B 【分析】根据面积求出BF 、AF 、CF ，设DE 为x ，列方程求出即可．【解析】ABCD 是长方形纸片，△AB=CD=3，12AFB S AB BF =⋅△， △1632BF =⨯⋅， △BF=4，△AF=5=，△AF=AD=BC=5，CF=1，设DE 为x ，EF=DE=x ，EC=3-x ，x 2=(3-x)2+1，解得，x=53， △1152552236AED S AD ED ∆=⋅=⨯⨯=， 故选：B ．【小结】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．29．如图，点A是y正半轴上一点，点B是x负半轴上一点，3BC=，AB=，点C（在B的右边）在x轴上，且5点D是x轴上一动点，将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，已知CE的最小值为1，则点A的坐标是（）A．（0，2）B．（0，2.4）C．（0，2.5）D．（0，1.8）【答案】B【分析】由折叠的性质可求AC的长，由勾股定理可求OA的长．【解析】△将三角形ABD沿直线AD翻折，点B落在点E处，△AB＝AE=3，△EC≥AC-AE，△当点A，点E，点C共线时，EC有最小值，如图，△CE的最小值为1，△AC＝4，△AO2+OC2＝16，AO2+（5﹣OC）2＝9，△OC=3.2,OA＝2.4，△点A坐标为（0，2.4），故选：B．【小结】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程组是解决问题的关键．30．如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI ＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（）A．2B．52C．4D．6【答案】D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝【解析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，△AB=，AC=，BC=，△△BAC＝90°，△AB2+AC2＝BC2，△2a2+2b2＝2c2，△a2+b2＝c2，△将等腰Rt△ADB 和等腰Rt△AFC 按如图方式叠放到等腰Rt△BEC ，△BG ＝GH ＝a ，△S 四边形GHCE ＝S 四边形GKJE +S 四边形KHCJ ＝9， △12（a +c ）（c ﹣a ）＝9， △c 2﹣a 2＝18，△b 2＝18，△b ＝△AC =＝6，故选：D ．【小结】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．31．如图，矩形ABCD 中，6,8AB BC ==．点E 、F 分别为边BC 、AD 上一点，连接EF ，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使得点A 落到边CD 上的点A '处，且2DA A C '='，则折痕EF 的长度为（ ）A ．B ．C D【答案】A【分析】 由2DA A C '='，6DC =，可求出DA '，A C '的长，再根据折叠和勾股定理可求出DF 和FA '，依据三角形相似可求出NC 、NA '，进而求出MF ，最后根据勾股定理求出EF ．【解析】如图，过点E 作EM AD ⊥，垂足为M ，2DA A C ''=，6DC =， 243DA DC '==，123A C DC '==，由折叠得，AF FA ='，6AB A B =''=， 设DF x =，则8FA FA x ='=-， 在Rt DFA ∆'中，由勾股定理得， 2224(8)x x +=-，解得3x =，即3DF =，835FA FA ∴='=-=，1809090NA C DA F ∠'+∠'=︒-︒=︒，90NA C A NC ∠'+∠'=︒， DA F A NC ∴∠'=∠'，90C D ∴∠=∠=︒，∴△A NC '∽△FA D '， ∴A C NC A N FD A D FA ''==''，即2345NC A N '==， 解得83NC =，103A N '=， 108633B N A B A N NC ∴'=''-'=-==， ∴△()A CN ENB AAS '≅∆'，103EN A N ∴='=， 108633EC EN NC MD ∴=+=+==， 633MF ∴=-=，在Rt EFM ∆中，EF == 故选：A ．【小结】 本题考查矩形的性质、折叠轴对称、相似三角形、全等三角形以及勾股定理等知识，掌握折叠的性质和直角三角形的边角关系是得出答案的前提，建立图形中线段之间的关系是解决问题的关键．32．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把△ACD 沿AD 翻折，得到△AD C '，D C '与AB 交于点E ，连结B C '，若BD ＝B C '＝2，AD ＝3，则点D 到A C '的距离( )AB C D 【答案】B【分析】连接CC '，交AD 于点M ，过点D 作DH AC '⊥于点H ，由翻折知，ADC ADC '∆≅∆，AD 垂直平分CC '，证BDC '∆为等边三角形，利用解直角三角形求出1DM =，C M '=2AM =，在Rt 'AC M ∆中，利用勾股定理求出AC '的长，在ADC '∆中利用面积法求出DH 的长．【解析】如图，连接CC '，交AD 于点M ，过点D 作DH AC '⊥于点H ，2BD BC ='=，D 是AC 边上的中点，2BD DC ==，由翻折知，ADC ADC '∆≅∆，AD 垂直平分CC '，2DC DC '∴==，AC AC '=，CM C M '=，2BD BC DC '∴='==，BDC '∴∆为等边三角形，60BDC BC D C BC '''∴∠=∠=∠=︒，DC DC '=，160302DCC DC C ''∴∠=∠=⨯︒=︒，在Rt △C DM '中，30DC C '∠=︒，2DC '=，1DM ∴=，C M '=312AM AD DM ∴=-=-=，在Rt 'AC M ∆中，AC ==' 1122ADC S AC DH AD CM ∆''==， ∴3=DH =， 故选：B ．【小结】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．二、填空题33．如图，AD 是ABC 的中线，45ADC ∠=︒，10BC =，把ABC 沿直线AD 折叠，点C 落在点C '处，那么BC '的长为________．【答案】【分析】由题意可得BD=CD=5，根据折叠的性质可得CD=C'D=5，△ADC=△ADC'=45°，根据勾股定理可求BC'的长．【解析】△AD 是ABC 的中线，10BC =，△BD=CD=5，△把ABC 沿直线AD 折叠，△CD=C'D ，△ADC=△ADC'=45°，△BD=C'D=5，△BDC'=90°，=故答案为：【小结】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．34．如图，在三角形纸片ABC 中，90,30,6C A AC ︒︒∠=∠==,折叠纸片，使点C 落在AB 边上的点D 处，折痕BE 与AC 交于点E ，则折痕BE 的长为_____________；【答案】4【分析】根据勾股定理求得BC =AB =△CBE=△ABE=12△ABC=30°，继而证得BE=AE ，在Rt△BCE 中，利用勾股定理列方程即可求得答案．【解析】在Rt△ABC 中，90,30,6C A AC ︒︒∠=∠==，设BC x =，则2AB x =，△222BC AC AB +=，即()22262x x +=，解得：x =△BC =AB =△折叠△ABC 纸片使点C 落在AB 边上的D 点处，△△CBE=△ABE ，在Rt△ABC 中，△A=30°，△△ABC=60°， △△CBE=△ABE=12△ABC=30°，△△ABE=△A=30°，△BE=AE ，在Rt△BCE 中，△C=90°，BC =6CE AC AE BE =-=-，△222BC CE BE +=，即(()2226BE BE +-=， 解得：4BE =．【小结】本题主要考查了勾股定理的应用，含30度的直角三角形的性质以及折叠的性质，利用勾股定理构建方程求线段的长是解题的关键．领会数形结合的思想的应用．35．如图，在长方形ABCD 中，AB =3cm ，AD =9cm ，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则ΔABE 的面积为________cm 2.【答案】6【解析】【分析】由折叠的性质可知AE 与BE 间的关系，根据勾股定理求出AE 长可得面积.【解析】由题意可知BE =ED .因为AD =AE +DE =AE +BE =9cm ，所以BE =(9−AE )cm.在RtΔABE 中，根据勾股定理可知，AB 2+AE 2=BE 2，所以32+AE 2=(9−AE )2，所以AE =4cm ，所以RtΔABE 的面积为12×AB ×AE =12×3×4=6（cm 2）. 故答案为：6【小结】本题考查了勾股定理，由折叠性质得出直角边与斜边的关系是解题的关键.36．如图，在Rt ABC ∆中，B 90∠=︒，AB 30=，BC 40=，将ABC ∆折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B'重合，AE 为折痕，则EB'=_________.【答案】15【分析】根据折叠的性质可设BE=EB′=x，EC=40﹣x，然后再利用勾股定理在Rt△ABC中求得AC，进而在Rt△B′EC 中求解x即可.【解析】根据折叠的性质可得BE=EB′，AB′=AB=30，设BE=EB′=x，则EC=40﹣x，△△B=90°，AB=30，BC=40，△在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC=50，△B′C=50﹣30=20，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+202=（40﹣x）2，解得x=15．故答案是15．【小结】勾股定理和翻折变换是本题的考点，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键.37．如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将其沿AC折叠，点D落在E处，CE与AB交于点F，且EF=FB，则重叠部分△ACF的面积是____________【答案】10【分析】因为BF=EF，所以可设EF=x，则在Rt△AFE中，根据勾股定理求x，进而求出即可．【解析】△EF=BF，△设EF =x ，则AF =8-x ，在Rt △AFE 中，（8-x ）2=x 2+42，解之得：x =3，△AF =AB -FB =8-3=5，1102AFC S AF BC ∴==△． 故答案为：10．【小结】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理的应用，利用已知设EF =x ，根据直角三角形AFE 中运用勾股定理求x 是解题的关键．38．如图，在三角形纸片ABC 中，△C ＝90°，AC ＝18，将△A 沿DE 折叠，使点A 与点B 重合，折痕和AC 交于点E ，BC ＝12，则EC 的长为__________．【答案】5【分析】由翻折的性质可知BE =EA =18-EC ，最后在Rt △BCE 中由勾股定理求得EC 的长即可．【解析】△AC =18，△BE =AE =18-EC ，△可得()2221218EC EC +=-，解得：EC =5，故答案为：5．【小结】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用翻折的性质求得BE =EA =18-EC 是解题的关键． 39．如图，在菱形纸片ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 边的中点E 处，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE =_______．【答案】2.8【分析】过点E 作EH AD ⊥于H ， 根据菱形的性质，得到//AB CD ，4AD BC CD AB ====，继而可证60A HDE ∠=∠=︒，再利用含30°角的直角三角形性质，解得12DH DE =，结合勾股定理解得HE 的长，根据折叠的性质，得到,AG GE AF EF ==，最后在Rt HGE 中利用勾股定理得222GE GH HE =+，据此整理解题即可．【解析】过点E 作EH AD ⊥于H ，ABCD 是菱形//AB CD ∴，4AD BC CD AB ====60A HDE ∴∠=∠=︒ E 是CD 中点2DE ∴=在Rt DHE △中，2DE =HE DH ⊥60HDE ∠=︒30HED ∴∠=︒1,DH HE ∴===折叠,AG GE AF EF ∴==在Rt HGE 中222GE GH HE =+22(41)3GE GE ∴=-++2.8GE ∴=故答案为：2.8．【小结】本题考查翻折变换、菱形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．40．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点E 、F 分别在AC 、BC 上，将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，则CF 的长为______．【答案】258【分析】 过点M 作MN BC ⊥于N ，则//MN AC ，可得MN 是Rt ABC △的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4，设CF=x ，则NF=4-x ，由折叠的性质可得MF=CF ，在Rt MNF △中，利用勾股定理即可求解．【解析】过点M 作MN BC ⊥于N ，△90ACB ∠=︒，MN BC ⊥，△//MN AC ，△M 是AB 的中点，△MN 是Rt ABC △的中位线， △MN=12AC=3，BN=CN=12BC=4， 设CF=x ，则NF=4-x ，△将CEF △沿EF 翻折，使C 与AB 的中点M 重合，△MF=CF=x ，在Rt MNF △中，222MN NF MF +=，△()22234x x +-=，解得258x =， △CF=258． 故答案为：258． 【小结】本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．41．如图，在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，8AC =，点D 是AC 边上一点，将BCD △沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，那么DE 的长度是________．【答案】3【分析】先根据勾股定理得到AB=10，再根据折叠的性质得到DC=DE ，BC=BE=6，则AE=4，设DE=x ，在Rt△ADE 中利用勾股定理得（8-x ）2=x 2+42，解得方程即可．【解析】△△C=90°，BC=6，AC=8，△10AB ==△将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的E 点，△△BCD△△BED ，△△C=△BED=△AED=90°，DC=DE ，BC=BE=6，△AE=AB -BE=4，设DC=x ，则AD=8-x ，在Rt△ADE 中，AD 2=AE 2+ED 2，即（8-x ）2=x 2+42，解得x=3，△DE=3【小结】本题考查了折叠的性质以及勾股定理等知识，利用折叠性质折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点的连线段被折痕垂直平分是解题关键．42．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，按图中所示方法将BCD △沿BD 折叠，使点C 落在边AB 上的点C '处，则点D 到AB 的距离=________．【答案】3【分析】首先根据勾股定理求出AB 的长，然后利用折叠的性质求出AC ′的长，在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理求出x 的值即可．【解析】△△C =90°，AC =8，BC =6，△AB =10．根据折叠的性质，BC =BC ′，CD =DC ′，△C =△AC ′D =90°．△AC ′=10-6=4．在△AC ′D 中，设DC ′=x ，则AD =8-x ，根据勾股定理得（8-x ）2=x 2+42．解得x =3．△DC ′=CD =3，故答案为3．【小结】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等．43．如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =8，对角线AC 、BD 相交于点O ，点P 为边AD 上一动点，连接OP ，以OP 为折痕，将AOP 折叠，点A 的对应点为点E ，线段PE 与OD 相交于点F ．若PDF 为直角三角形，则DP 的长__________．【答案】52或1 【分析】 先根据矩形的性质、折叠的性质可得90DAB ∠=︒,8AD =,10BD =,5OA OD OE ===，,EP AP E ADB =∠∠=∠，设DP x =，从而可得8EP x =-，再根据直角三角形的定义分90DFP ︒∠=和90DPF ︒∠=两种情况，然后分别利用相似三角形的判定与性质、勾股定理求解即可得．【解析】四边形ABCD 是矩形，6AB =，8BC =，90DAB ︒∴∠=，8AD BC ==，10BD =，152OA OD BD ===，。
七年级数学下平面图形折叠问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初一数学中的折叠问题 张文彩折叠问题是一个热点问题，不仅在中考中居于很重要的地位，而且在初一初二年级的期中期末考试中都是经常遇到的题目。
初一年级的折叠问题大多是与平行有关的问题，然后根据平行线的性质求出有关角的度数问题，初二的折叠问题不仅与平行线有关，还和直角三角形的勾股定理，等腰三角形性质等相关的问题，初三的折叠问题就显得复杂得多，因为与初中阶段所学的各个知识点都有可能相关。
下面就从最简单的初一数学知识有关折叠的问题进行总结。
一．折叠矩形的一个角，求角的度数问题。
例1.如图，将矩形ABCD 沿AE 对折，使点D 落在点F 处，若∠CEF=60°，则∠EAF 等于（ ）；∠AED 的大小为 （ ）A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°解析：根据折叠的性质，折叠的角等于原图形中的角，也就是∠DEA=∠FEA ；再根据平角的度数是180°和条件∠CEF=60°，先求出∠DEA ，然后根据三角形内角和是180°求出∠DAE ，最后求出∠EAF 。
解：∵∠CEF=60°，∴∠DEA=21（180°-60°）=60°．在Rt △ADE 中，∠DAE=90°-∠DEA=90°-60°=30°．∵△EAF 由△EAD 翻折而成，∴∠EAF=∠EAD=30°．故选D ．例2. 将矩形ABCD 沿折线EF 折叠后点B 恰好落在CD 边上的点H 处，且 ∠CHE=40°，求∠EFB 的度数．解析：折叠的性质：折叠后得到的角等于原来的角，也就是∠EHF=∠B=90°，∠EFH=∠BFE. 因为∠CHE=40°，所以∠FHC=90°+40°=130°，再根据平行线的性质，两直线平行同旁内角互补，求得∠HFB，最后求得∠EFB的度数。
2016年中考专题：折叠问题折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
图形折叠问题中题型的变化比较多，主要有以下几点：1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；3．将长方形纸片折叠，三角形是否为等腰三角形；4．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；5．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求解，这是解题时常用的方法之一。
折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)从一般问题的特例人手，寻找问题解决的思路；(3)把一个复杂问题转化为解决过的基本问题的转化与化归思想；(4)归纳与分类的思想(把折纸中发现的诸多关系归纳出来，并进行分类)；(5)从变化中寻找不变性的思想.用“操作”、“观察”、“猜想”、“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的方法。
折叠问题主要有以下题型：题型1：动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．题型2：证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明．题型3：探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。
典型例题一．折叠后求度数例1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．600 B．750 C．900 D．950练习1．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55°C．60° D．65°2．把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=_______°，∠2=_______°3. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝度。
折叠求角度的数学题折叠后角度的计算锐角:大于0°小于90°的角。
直角:等于90°的角。
钝角:大于90°小于180°的角。
平角:等于180°的角。
周角:等于360°的角。
锐角<直角<钝角<平角<周角1周角=2平角=4直角1、如图是一张长方形纸折起来以后形成的图形，已知：∠1=32°，∠2是多少度？∠2=90°-32°×2=90°-64°=26°2、把一张长方形的纸如图折叠，其中1+22+23=210°，求∠1、∠2、∠3的度数。
因为∠1+∠2=180°∠1+∠2+∠3=210°所以∠3=210°-180°=30°所以∠1=∠3=30°∠2=180°-∠1=180°-30°=150°3、下图是用一张长方形纸折起来以后得到的图形，已知∠1=36°，∠2=是多少度？∠2=(180°-36°)÷2=144°÷2=72°4、下面两个图中的∠1和∠2相等吗？为什么？①由分析知：∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°则∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠3所以∠1=∠2②由分析知：∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°则∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠3所以∠1=∠2所以两个图中∠1和∠2都相等。
几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=A．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．335.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，则BC的长．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= ．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．712.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．413.（2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A． B．C．D．二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若=，则= ．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长.【探究篇】19.（2018年江苏省泰州市•12分）对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）（1）根据以上操作和发现，求的值；（2）将该矩形纸片展开．①如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC=90°；②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的P点，要求只有一条折痕，且点P在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）20.（2018年江苏省宿迁）如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E、F分别在边AB、CD上，将正方形ABCD 沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A、D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x，（1）当AM= 时，求x的值；（2）随着点M在边AD上位置的变化，△PDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值；（3）设四边形BEFC的面积为S，求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.几何图形折叠问题【疑难点拨】1.折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．2.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．3.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．4.凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．1.常见的轴对称图形：等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆.2.折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【基础篇】一、选择题：1..（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2. （2017山东烟台）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形AOB．已知OA=6，取OA的中点C，过点C作CD⊥OA交于点D，点F是上一点．若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD，DF，FA依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为（）．A．36π-108 B．108-32π C．2πD．π【考点】MO：扇形面积的计算；P9：剪纸问题．【分析】先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．【解答】解：如图，∵CD⊥OA，∴∠DCO=∠AOB=90°，∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，∴∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108，故答案为：36π﹣108．故选A3. （2017浙江衢州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD 于点F，则DF的长等于（）A．B．C．D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6﹣x）2，解方程求出x．【解答】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（AAS），∴EF=DF；∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt△AEF≌Rt△CDF，∴FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6﹣x，在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，即x2=42+（6﹣x）2，解得x=，则FD=6﹣x=．故选：B．4.（2018·山东青岛·3分）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是（）A．B．32C．3 D．33【分析】由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°，所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=AB，所以AB=AC的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．【解答】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=12AB，EF=32，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC=2，故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．5.（2017乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG=60°，GE=2BG，则折痕EF的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、∠DFE=∠GFE，结合∠AFG=60°即可得出∠GFE=60°，进而可得出△GEF为等边三角形，在Rt△GHE中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC= EC，再由GE=2BG结合矩形面积为4，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即可求出结论．【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF，HE=CE，GH=DC，∠DFE=∠GFE．∵∠GFE+∠DFE=180°﹣∠AFG=120°，∴∠GFE=60°．∵AF∥GE，∠AFG=60°，∴∠FGE=∠AFG=60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF=GE．∵∠FGE=60°，∠FGE+∠HGE=90°，∴∠HGE=30°．在Rt△GHE中，∠HGE=30°，∴GE=2HE=CE，∴GH==HE=CE．∵GE=2BG，∴BC=BG+GE+EC=4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC=4，∴EC=1，EF=GE=2．故选C．二、填空题：6.（2018·辽宁省盘锦市）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC.AB 上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为．【解答】解：分两种情况：①如图，当∠CDM=90°时，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，∴∠C=30°，AB=AC=，由折叠可得：∠MDN=∠A=60°，∴∠BDN=30°，∴BN=DN=AN，∴BN=AB=，∴AN=2BN=．∵∠DNB=60°，∴∠ANM=∠DNM=60°，∴∠AMN=60°，∴AN=MN=；②如图，当∠CMD=90°时，△CDM是直角三角形，由题可得：∠CDM=60°，∠A=∠MDN=60°，∴∠BDN=60°，∠BND=30°，∴BD=DN=AN，BN=BD\1AB=，∴AN=2，BN=，过N作NH⊥AM于H，则∠ANH=30°，∴AH=AN=1，HN=，由折叠可得：∠AMN=∠DMN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN=，∴MN=．故答案为：或．7.（2018·山东威海·8分）如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C 与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF=+1，求BC的长．【分析】由题意知∠3=180°﹣2∠1=45°、∠4=180°﹣2∠2=30°、BE=KE、KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x、MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．【解答】解：由题意，得：∠3=180°﹣2∠1=45°，∠4=180°﹣2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x、MF=x，∴x+x=+1，解得：x=1，∴EK=、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，∴BC的长为3++．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8.（2018·湖南省常德·3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点G处，点C落在点H处，已知∠DGH=30°，连接BG，则∠AGB= 75°．【分析】由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，从而可证明∠EBG=∠EGB．，然后再根据∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH，由平行线的性质可知∠AGB=∠GBC，从而易证∠AGB=∠BGH，据此可得答案．【解答】解：由折叠的性质可知：GE=BE，∠EGH=∠ABC=90°，∴∠EBG=∠EGB．∴∠EGH﹣∠EGB=∠EBC﹣∠EBG，即：∠GBC=∠BGH．又∵AD∥BC，∴∠AGB=∠GBC．∴∠AGB=∠BGH．∵∠DGH=30°，∴∠AGH=150°，∴∠AGB=∠AGH=75°，故答案为：75°．【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答与计算题：9.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．10.（2018•山东枣庄•10分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．【能力篇】一、选择题：11.（2018·辽宁省阜新市）如图，将等腰直角三角形ABC（∠B=90°）沿EF折叠，使点A落在BC边的中点A1处，BC=8，那么线段AE的长度为( )．A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E．∵△ABC为等腰直角三角形，BC=8，∴AB=8．∵A1为BC的中点，∴A1B=4，设AE=A1E=x，则BE=8﹣x．在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5．故答案为：5．故选B12.（2018·四川省攀枝花·3分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA=∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP=EB，∴∠EBP=∠EPB．∵点E为AB中点，∴AE=EB，∴AE=EP，∴∠PAB=∠PBA．∵∠PAB+∠PBA+∠APB=180°，即∠PAB+∠PBA+∠APE+∠BPE=2（∠PAB+∠PBA）=180°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB=90°，∴∠APQ+∠BPC=90°，由折叠得：BC=PC，∴∠BPC=∠PBC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC=∠PCE=∠BCE．∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE=30°时，才有∠FPC=∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF=EC，AD=BC=PC，∠ADF=∠EPC=90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL）．∵∠ADF=∠APB=90°，∠FAD=∠ABP，当BP=AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个．故选B．13. （2018·湖北省武汉·3分）如图，在⊙O 中，点C 在优弧上，将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．若⊙O 的半径为，AB=4，则BC 的长是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图，利用垂径定理得到OD ⊥AB ，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到=，所以AC=DC ，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF 为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=3 2．【解答】解：连接OD 、AC 、DC 、OB 、OC ，作CE ⊥AB 于E ，OF ⊥CE 于F ，如图， ∵D 为AB 的中点， ∴OD ⊥AB ， ∴AD=BD=AB=2，在Rt △OBD 中，OD=22(5)2 =1， ∵将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ．∴弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆， ∴=，∴AC=DC ， ∴AE=DE=1，易得四边形ODEF 为正方形， ∴OF=EF=1，在Rt △OCF 中，CF=22(5)1 ， ∴CE=CF+EF=2+1=3， 而BE=BD+DE=2+1=3， ∴BC=3．故选：B ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理． 二、填空题：14. (2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，将BF 延长交AD 于点G ．若=，则= ．【解答】解：连接GE ．∵点E 是CD 的中点，∴EC=DE ．∵将△BCE 沿BE 折叠后得到△BEF 、且点F 在矩形ABCD 的内部，∴EF=DE ，∠BFE=90°．在Rt △EDG 和Rt △EFG 中，∴Rt △EDG ≌Rt △EFG （HL ），∴FG=DG ．∵=，∴设DG=FG=a，则AG=7a，故AD=BC=8a，则BG=BF+FG=9a，∴AB==4a，故==．故答案为：．15.（2018·四川宜宾·3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，CB=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE 折叠，使点B落在矩形内点F处，下列结论正确的是①②③（写出所有正确结论的序号）①当E为线段AB中点时，AF∥CE；②当E为线段AB中点时，AF=95；③当A、F、C三点共线时，AE=；④当A、F、C三点共线时，△CEF≌△AEF．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KB：全等三角形的判定；LB：矩形的性质．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：如图1中，当AE=EB时，∵AE=EB=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠CEF=∠CEB，∠BEF=∠EAF+∠EFA，∴∠BEC=∠EAF，∴AF∥EC，故①正确，作EM⊥AF，则AM=FM，在Rt△ECB中，EC==，，∵∠AME=∠B=90°，∠EAM=∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴=，∴=，∴AM=，∴AF=2AM=95，故②正确，如图2中，当A、F、C共线时，设AE=x．则EB=EF=3﹣x，AF=13﹣2，在Rt△AEF中，∵AE2=AF2+EF2，∴x2=（﹣2）2+（3﹣x）2，∴x=，，∴AE=，故③正确，如果，△CEF≌△AEF，则∠EAF=∠ECF=∠ECB=30°，显然不符合题意，故④错误，故答案为①②③．【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答与计算题：16.（2018·湖北省宜昌·11分）在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B 的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；（2）如图2，①求证：BP=BF；②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；③当BP=9时，求BE•EF的值．【分析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，∵E是AD中点，∴AE=DE，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥PG，∴∠GPF=∠PFB，∴∠BPF=∠BFP，∴BP=BF；②当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，设AE=x，∴DE=25﹣x，∴，∴x=9或x=16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，∴CE=20，BE=15，由折叠得，BP=PG，∴BP=BF=PG，∵BE∥PG，∴△ECF∽△GCP，∴，设BP=BF=PG=y，∴，∴y=，∴BP=，在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；③如图，连接FG，∵∠GEF=∠BAE=90°，∵BF∥PG，BF=PG，∴▱BPGF是菱形，∴BP∥GF，∴∠GFE=∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴，∴BE•EF=AB•GF=12×9=108．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．17.（2018·广东·7分）如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：△DEF是等腰三角形．【分析】（1）根据矩形的性质可得出AD=BC、AB=CD，结合折叠的性质可得出AD=CE、AE=CD，进而即可证出△ADE ≌△CED（SSS）；（2）根据全等三角形的性质可得出∠DEF=∠EDF，利用等边对等角可得出EF=DF，由此即可证出△DEF是等腰三角形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD．由折叠的性质可得：BC=CE，AB=AE，∴AD=CE，AE=CD．在△ADE和△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）．（2）由（1）得△ADE≌△CED，∴∠DEA=∠EDC，即∠DEF=∠EDF，∴EF=DF，∴△DEF是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是：（1）根据矩形的性质结合折叠的性质找出AD=CE、AE=CD；（2）利用全等三角形的性质找出∠DEF=∠EDF．18.（2018•江苏盐城•10分）如图，在以线段为直径的上取一点，连接、.将沿翻折后得到.（1）试说明点在上；（2）在线段的延长线上取一点，使.求证：为的切线；（3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长. 【答案】（1）解：连接OC，OD，由翻折可得OD=OC，∵OC是⊙O的半径，∴点D在⊙O上。
勾股定理折叠问题六种模型首先，我们来先了解勾股定理折叠问题。
勾股定理告诉我们：任意一个直角三角形，其斜边的平方等于它的两个直角边的平方之和。
例如a²+b²=c²，其中a和b分别代表两条直角边，而c是斜边。
勾股定理折叠问题是由米彻斯把勾股定理转化为一个寻找三角形元素来组成一个功能性三角形的解决方案。
它需要一个有序的折叠和解释来完成。
一、利用三角形抽象模型利用三角形抽象模型是以好的方式实现勾股定理折叠问题的一种方法，这种方法基于三角形的内在几何结构，从而找出完美的三角形。
实用性非常强，可以帮助设计各种不同的形状的三角形，而且阻止结构受到外部环境的影响，使三角形保持其准确性，用于各种应用场景。
二、基本折叠模型基本折叠模型是一种利用简单形状折叠和拼接两个等边三角形成直角三角形的方法。
可以使用画线和折线绘制出三角形，也可以通过纸张折叠，压入特定几何形状实现最简单的直角三角形。
三、网线折叠模型网线折叠是一种快速折叠和拼接两个等边三角形的方法，它可以使用网格布线，或用具有相同数目的线段绘制几何图形，而不需要画太多细节，使折叠过程变得更简单快捷。
四、极限折叠模型极限折叠是利用特殊的几何形状（如螺旋状线条）来构建等边三角形的方法。
如果可以使用螺旋状线条，就可以节省大量长度，同时保持精确度，成功实现三角形拼接。
五、纯几何折叠模型纯几何折叠模型是一种利用几何图形功能来折叠和连接两个等边三角形的技术，这种方法使用精确的几何图形，考虑物理原理和几何角度，从而精确折叠出正确形状，使得三角形完美体现。
六、超级折叠模型超级折叠模型是一种将分层折叠和几何折叠结合到一起的方法，该方法在折叠时考虑多个因素，利用几何图形折叠和正确的分层折叠，最终得到准确的直角三角形。
它非常可靠，除了得到准确的直角三角形外，还可以用于构建其他复杂的几何模型，以满足设计需求。
