级数练习题

第七章 无穷级数【基础练习题52】1. 根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：（1）1n ∞；（2）1111133557(21)(21)n n ； （3）11ln 1n n ∞. 2. 判定下列级数的收敛性：（1）1111+3693n； （2）13 ； （3）22331111111123232323n n. （4）23111111112322323323n n. 【基础练习题52解析】1.【解析】 （1）因为1)1,lim ,n n n S S ∞∞所以根据定义可知级数1n ∞发散.（2）由于1111(21)(21)22121n u n n n n，从而1111111111,23352121221n S n n n1lim ,2n n S 所以根据定义可知级数收敛. （3）341ln 2lnln ln ln(1)23n n S n n， 因lim n n S ∞∞，故级数发散. 2.【解析】（1）此级数的部分和1111111113693323n S n n，而111lim 123n n∞∞，故lim n n S ∞∞，即该级数发散.（2）此级数的一般项n u ，11lim lim 13nn n n u∞∞，不满足级数收敛的必要条件，故该级数发散.（3）此级数的一般项1123n n n u ，注意到112n n ∞与113n n ∞分别是公比12q 与13q 的等比级数，而1q ，故112n n ∞与113n n ∞均收敛. 根据收敛级数的性质可知，原级数11123n n n ∞收敛.（4）此级数的一般项1123n n u n ，又1111122n n n n ∞∞发散，113n n ∞收敛，根据级数的性质可知，原级数11123n n n∞发散.【基础练习题53】1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性：（1）111135(21)n ； （2）22212131112131nn ； （3）1112536(1)(4)n n . 2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性：（1）232333*********nnn ； （2）213n n n ∞；（3）12!n nn n n ∞. 3. 判定下列级数的收敛性：（1）233333234444nn；（2）11(2)n n n n ∞； （3. 4. 判定下列级数的收敛性：（1） 2111nn n n. （2）11ln 1nn.（3）1113n nn n. （4）211ln nn n.5. 设1ln 1nn u ，则级数 （ ） （A ）1nn u和21nn u都收敛. （B ）1nn u和21nn u都发散.（C ）1nn u收敛而21nn u发散. （D ）1nn u发散而21nn u收敛.6. 设有下列命题：○1若 1212)(n n n u u 收敛，则1n n u 收敛.○2若1n n u 收敛，则11000n n u 收敛.○3若1lim 1n n n u u ，则1n n u 发散.○4若 1)(n n n v u 收敛，则 1n n u ，1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 （ ） （A ）○1○2. （B ）○2○3. （C ）○3○4. （D ）○1○4. 【基础练习题53解析】1.【解析】（1）解法一 11 (1,2,)212n u n n n ，由于级数11n n ∞发散，故各项乘12后的级数112n n ∞也发散，由比较审敛法知原级数1121n n ∞发散. 解法二 因1121lim 12n n n∞，而11n n∞发散，故由极限形式的比较审敛法知原级数发散.（2）221111n n n u n n n n ，而11n n ∞发散，由比较审敛法知原级数发散.（3）因21(1)(4)lim 11n n n n ∞，211n n∞收敛，由极限形式的比较审敛法知原级数收敛.2.【解析】（1）因1113333lim limlim 1(1)22212n nn n n n n n n u n n n u n ∞∞∞，故级数发散. （2）因2221121(1)1(1)lim lim lim 13333n n n n n n nu n n n u n ∞∞∞，故级数收敛. （3）因11122(1)!2!lim lim lim 21(1)1e nn n n n n n n n nu n n n n n u n∞∞∞，故级数收敛. 3.【解析】 （1）1133limlim 144n n n nu n u n ∞∞，由比值审敛法知级数收敛.（2）11lim1(2)n n n n n ∞，而级数11n n∞发散，由极限形式的比较审敛法知原级数发散. （3）121lim lim 10n n n n u n∞∞，故级数发散. 4. 【解析】（1）记21n n u n，则n u 单调递减，且21lim lim 0,n n n n u n 由莱布尼茨判别法知，交错级数2111nn n n收敛. （2）记ln 1n u ，则n u单调递减，且lim lim ln 1ln10,n n n u由莱布尼茨判别法知，交错级数11ln 1nn收敛.（3）记3n n nu，则n u 单调递减，且lim lim 0,3n n n n n u 由莱布尼茨判别法知，交错级数1113n nn n收敛. （4）因为221111ln ln ln nnn n n n n，对于交错级数21ln nn n，记1ln n u n，则n u 单调递减，且1lim lim 0,ln n n n u n由莱布尼茨判别法知，交错级数21ln nn n收敛.对于正项级数21ln n n，因为11ln n n ，又21n n发散，故由正项级数比较审敛法知，级数21ln n n发散. 故由级数收敛的性质知，级数211ln nn n发散. 5.【答案】 C. 【解析】1nn u为交错级数，又满足莱布尼茨判别法的条件，故收敛.2211ln 1,n n n u又n时，221ln 1n ，且级数11n n发散，由比较审敛法的极限形式知，21nn u发散.6.【答案】 B.【解析】级数加括号后收敛不能推本身级数收敛，故○1错，反例可取通项 1nn u ； 级数加上，去掉或改变前有限项不改变级数的敛散性，故○2正确； 命题○3正确：由1lim 1n n n u u 知，1lim 1n n nu u ，故当n 充分大时，正数列n u 是单调递增的，故当n 时，n u 0，则n u 0，由级数收敛的必要条件知，1n n u 发散；命题○4显然结论反了，可取11,nn u v n n排除.【基础练习题54】1. 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？（1）11n ；（2）111(1)3n n n n∞； （3）12341111111111(1)3232323232n n； （4）21ln nn n n.2. 级数 111cos n n a n（常数0a ） （ ）（A ）发散.（B ）条件收敛.（C ）绝对收敛.（D ）收敛性与a 有关.【基础练习题54解析】1.【解析】 （1）112(1)n n u n，11121nn n un∞∞是发散的；又1nn u∞是交错级数，满足1n n u u ，且lim 0n n u ∞，故由莱布尼茨定理知原级数收敛且条件收敛.（2）因1111lim lim 133n n n nu n u n ∞∞，由比较审敛法知级数1n n u ∞收敛，故原级数绝对收敛.（3）1(1)32n n n u ，因11132n nn n u ∞∞是公比1 (1)2q q 的等比级数，故收敛，从而原级数绝对收敛.（4）因为2211ln ln nn n n n n n，又11ln n n n ，且21n n发散，故由正项级数比较审敛法知，级数21ln nn n n发散.因为21ln nn n n为交错级数，令1ln n u n n，则n u 单调递减，且1lim lim 0,ln n n n u n n 由莱布尼茨判别法知，交错级数 21ln nn n n收敛. 综上，级数21ln nn n n条件收敛.2.【答案】 C.【解析】先判定是否绝对收敛，即判定正项级数 1111cos 1cos nn n a a n n的敛散性，因为n 时，22211cos ,22a a a n n n 又级数222211122n n a a nn收敛，由比较审敛法的极限形式知，级数11cos n a n收敛，即原级数绝对收敛.【基础练习题55】1. 求下列幂级数的收敛区间.（1）23232222225101n nx x x x n ；（2）221212n nn n x ∞； （3）1nn ∞；（4）1132nnnn x n. 2. 求下列幂级数的收敛域.（1）2323nx x x nx ；（2）2221(1)2nn x x x n； （3）23231323333nnx x x x n ；（4）211(1)21n nn x n ∞.3. 已知幂级数1nn n a x在1x 处条件收敛，则幂级数11nn n a x的收敛半径为 . 4. 已知幂级数11nn n a x在2x 处收敛，在0x 处发散，则幂级数11nn n a x的收敛域为 .【基础练习题55解析】1.【解析】（1）级数可表示为2121n nn x n，因为122211lim2,21n nn n n故收敛半径为112R，收敛区间为11,.22（2）记 2221,2n n nn u x x因为 221122212limlim ,2122nn n n n n n nn x u x x n u x x由正项级数比值审敛法知，212x时收敛，解得收敛区间为 .（3）记nn u x 因为1lim 5,n n n nu x x u x 由正项级数比值审敛法知，51x 时收敛，解得收敛区间为 4,6. （4）记1,32nn nn x u x n因为11111132limlim ,1332n n n n n n n nnn x n x u x x u x n由正项级数比值审敛法知，13x时收敛，解得收敛区间为 3,3 .2.【解析】（1）级数可表示为1nn nx，因为1lim1,n n n故收敛半径为11R，收敛区间为 1,1 ，又当1x 时，级数显然发散（不满足级数收敛的必要条件），故收敛域为 1,1 .（2）级数可表示为211(1)nnn x n，因为122(1)1lim1,(1)n nn n n故收敛半径为11R，收敛区间为 1,1 ，又当1x 时，级数2111(1)nn n收敛， 当1x 时，级数2111n n收敛， 故收敛域为 1,1 .（3）级数可表示为13nnn x n，因为 11131lim ,133n n n n n 故收敛半径为13R，收敛区间为 3,3 ，又当3x 时，级数11n n发散， 当3x 时，级数11nn n收敛，故收敛域为 3,3 .（4）记 21(1),21n nn x u x n 因为2311221(1)23lim lim ,(1)21n n n n n n n nx u x n x x u x n由正项级数比值审敛法知，21x 时收敛，解得收敛区间为 1,1 .又1x 时，级数11(1)21nn n ∞收敛，当1x 时，111(1)21n n n ∞收敛， 故收敛域为 1,1 .3.【解析】由阿贝尔定理知，幂级数1nnn a x的收敛半径为101R ，收敛区间为 1,1 .故幂级数 11nn n a x在111x ，即02x 时收敛，收敛区间为 0,2，收敛半径为1.4.【解析】由阿贝尔定理知，幂级数11nn n a x在121x ，即02x 内绝对收敛，在101x ，即02x x 或时发散，又幂级数在2x 处收敛，在0x 处发散，故收敛域为 0,2.【基础练习题56】求下列幂级数的和函数：（1）2(1)1212n n n n ∞； （2）1211(1)21n n n x n ∞； （3）1(1)nn n x ∞； （4）1(1)nn x n n ∞.【基础练习题56解析】（1）2(1)21()2n n nn u x x ，221()21lim lim ()2122n n n nu x xx n u x n ∞∞. 当212x 时，原级数收敛；当212x，因级数的一般项()n u x )u ∞，故级数发散. 因此原级数的收敛域为212x，即(.设和函数为()S x ，即2(1)121()2n nn n S x x∞，从0到x 积分并逐项积分：22121101002211()d 22221,(2212nxn n n n n n n x x S x x x x x xx x x∞∞∞上式两端对x 求导，得22222()2(2)x x S x x x，(x . （2）121(1)()21n n n u x x n ，221()21limlim()21n n n n u x n x x u x n ∞∞.当1x 时，级数收敛；当1x 时，因级数一般项()n u x 0 ()u ∞，故级数发散；当1x ，级数11(1)21n n n ∞与1(1)21nn n ∞是收敛的交错级数，因此原级数的收敛域为[1,1] .设和函数为()S x ，则1211(1)()21n n n S x x n ∞，且(0)0S .在(1,1) 内，上式两端对x 求导，得12222211()(1)(1)()1n n nnn n n n S x xxx x∞∞∞. 于是，201()()(0)()d d arctan 1xxS x S x S S x x x x x.又由于幂级数在1x 处收敛，且arctan x 在1x 处连续，故()arctan S x x ， [1,1]x .（3）令1x t ，幂级数1nn nt∞的收敛域为(1,1) . 记其和函数为()t ，即有1111()nn n n n n t nt t ntt t∞∞∞21(1)t t t t t， (1,1)t . 于是原级数的和函数21()(1)(2)x S x x x， (0,2)x .（4）()nn n u x a x ，1(1)n a n n. 由1limlim 12n n n n a n a n ∞∞，得幂级数的收敛半径1R . 当1x 时，级数11(1)n n n∞与1(1)(1)n n n n ∞均收敛，故幂级数的收敛域为[1,1] .设和函数为()S x ，即1()(1)nn x S x n n ∞.当0x ，(0)0S ；当01x 时，11()(1)n n x xS x n n ∞，上式两端对x 求导，得1[()]nn x xS x n∞，再求导，得111[()]1n n xS x x x∞. 注意到0[()]0x xS x ，上式两端从0到x 积分，得0d [()]ln(1)1xxxS x x x，再积分，得()ln(1)d (1)ln(1)xxS x x x x x x ，于是，1()ln(1)1xS x x x， (1,0)(0,1)x .由于幂级数在1x 处收敛，故和函数分别在1x 处左连续与右连续，于是111(1)lim ()lim ln(1)11x x xS s x x x.因此111ln(1),[1,0)(0,1),()0,0,1,1.x x x S x x x【基础练习题57】1. 将函数1()f x x展开成(3)x 的幂级数. 2. 将函数21()32f x x x 展开成(4)x 的幂级数.3. 将函数11()ln 41xf x x展开成x 的幂级数.4. 将函数12()arctan 12xf x x展开成x 的幂级数.【基础练习题57解析】1.【解析】利用011n n x x ∞，(1,1)x 得01111113333331133133,(1,1),333nn x x x x x x∞ 即101(1)(3)3n nn n x x ∞，(0,6)x . 2.【解析】2111132(1)(2)12x x x x x x ，其中0111114413(4)33313nn x x x x∞， 4(1,1)3x ，即(7,1)x ；0111114422(4)22213nn x x x x∞， 4(1,1)2x ，即(6,2)x . 于是2110001141411(4),32223323n nnn n n n n x x x x x∞∞∞(7,1)(6,2)(6,2)x .3.【解析】11111212111111()ln ln 1ln 14141111,11411141211,1.421221n n n n n nn n n n n n x f x x x x x x x x n n x n x x x n n其中4.【解析】因为2222212014()1212112122141411411214,,,22nn n n n n n f x x x x x x x x x其中其中 故12021100()d arctan1214d π11214,.42122xx n n n n n n n n f x f f x xx xx x n其中又当12x 时，级数21211110001122142*********n n n n n n n n n n x n n n收敛，又12()arctan12x f x x 在12x 处连续，故展开范围可以包含端点12x ，即有 2110π11214,,.42122n n n n x f x x n【基础练习题58】1. 设 f x 是周期为1的周期函数，其在区间11,22上的定义为 11,0,211,0,2x x f x x x则 f x 的傅里叶级数在32x处收敛于 . 2. 将函数e ,0,()1,0x x f x x 展开成傅里叶级数.3. 将函数() (0)2xf x x展开成正弦级数. 4. 将函数2()2 (0)f x x x 分别展开成正弦级数和余弦级数.5. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数（下面给出函数在一个周期内的表达式）： （1）211()1 22f x x x；（2）21,0,()1,0 3.x x f x x【基础练习题58解析】1. 【解析】由迪利克雷收敛定理知，1122311110022222111002221111lim 1lim 10.2222x x S S f f f f x x【注】可画出 f x 的图形，辅助求解. 2.【解析】 设()x 是()f x 经周期延拓而得的函数，它在(,) 内连续，x 是()x 的间断点. 又()x 满足收敛定理的条件，故在(,) 内它的傅里叶级数收敛于()f x .0011e e d d xa x x，211(1)e e cos d cos d n x n a nx x nx x n(1,2,)n ，01e sin d sin d xn b nx x nx x21[1(1)e ]1(1)1n n n n n(1,2,)n . 故2211e 11(1)e (1)e 1(1)()cos sin 11n n n n n n f x nx nx n n n∞(,)x .3.【解析】 作(),(0,],()0,0,(),(,0).f x x x x f x x()x 是()f x 的奇延拓. 令()x 是()x 的周期延拓，则()x 满足收敛定理的条件，而在2 ()x k k Z 处间断，又在(0,] 上，()()x f x ，因此()x 的傅里叶级数在(0,] 上收敛于()f x .0 (0,1,2,)n a n ,200221sin d cos sin 222n x x b nx x nx nx n n1 (1,2,)n n， 故11()sin n f x nx n∞，(0,]x . 4.【解析】（1）展开成正弦级数令222, [0,],()2, (,0).x x x x x是()f x 的奇延拓，又()x 是()x 的周期延拓函数，则()x 满足收敛定理的条件，而在(21) ()x k k Z 处间断，又在[0,] 上()()x f x ，故它的傅里叶级数在[0, 上收敛于()f x .0n a (0,1,2,)n ，202sin d n b x nx x2230422cos sin cos x x nx nx nx n n n2334(1)(1)22n n n n n(1,2,)n ， 故2331422()(1)sin nn f x nx n n n，[0,)x .（2）展开成余弦函数令2()2x x ，(,]x 是()f x 的偶延拓，又()x 是()x 的周期延拓函数，则()x 满足收敛定理的条件且处处连续，又在[0,] 上()()x f x ，故它的傅里叶级数在[0,] 上收敛于()f x .0n b (0,1,2,)n ，220042d 3a x x， 22082cos d (1)n n a x nx x n(0,1,2,)n . 故2212(1)()8cos 3nn f x nx n∞，[0,]x . 5.【解析】（1）函数()f x 是半周期12l的偶函数，故21 1220011222200122223301220(1,2,),211(1)d ,1622(1)cos d 4(1)cos(2)d 11221224sin(2)cos(2)sin(2)248(1)(1,2,),n n n b n a x x n x a x x x n x x x x n x n x n x n n n n n因()f x 满足收敛定理的条件且处处连续，故有1221111(1)()cos(2)12n n f x n x n∞，(,)x ∞∞. （2）函数()f x 的半周期3l .303033011()d (21)d d 133a f x x x x x， 30333011()cos d (21)cos d cos d 33333n n x n x n x a f x x x x x 226[1(1)]n n， (1,2,)n ， 30333011()sin d (21)sin d sin d 33333n n x n x n x b f x x x x x16(1)n n， (1,2,)n . 因()f x 满足收敛定理的条件，其间断点为3(21)x k ，k Z ，故有1221166()[1(1)]cos (1)sin 233n n n n x n x f x n n∞， \{3(21)}x k k R Z .。

第四章级数（答案）复变函数练习题第四章级数系专业班姓名学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L ⼀些重要的级数⼀、选择题:1.下列级数中绝对收敛得就是 [ ] (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)2.若幂级数在处收敛,那么该级数在处得敛散性为 [ ](A )绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)不能确定3.幂级数在内得与函数为 [ ] (Ａ) (B) (C) (D)'100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n nz z n n n n z z n z z z dz dz z n n z ∞∞+==∞∞++==-=-=?? ?++??--==+ +++?∑∑∑∑?? ⼆、填空题:1.设,则 0 。

2.设幂级数得收敛半径为,那么幂级数得收敛半径为3.幂级数得收敛半径就是 e 。

4.幂级数(为正整数)得收敛半径就是 1 。

三、解答题:1.判断下列数列就是否收敛？如果有极限,求出它们得极限。

(1) (2)2.判断下列级数得敛散性。

若收敛,指出就是绝对收敛还就是条件收敛。

判断绝对收敛得两种⽅法: (1)绝对级数就是否收敛(2)实部与虚部得绝对级数就是否收敛 (1)11sin ()32323322332n n nnn nnnn n n in n e e n n e e n ne e -∞∞==-==-∑∑由级数及级数收敛，可得原级数绝对收敛(4)2111(1)(1)[]ln ln 2ln(21)(1)(1)ln 2ln(21)n k kn k k kk k i i n k k k k ∞∞==∞∞==--=++--+∑∑∑∑由于和为交错级数，由莱布尼兹准则，1111ln 2ln(21)k k k k ∞∞==+∑∑级数收敛，故原级数收敛。

第8章 无穷级数练习题习题8.11．判断题（对的划“√”，错的划“×”）（1）级数部分和的极限已求出，则级数收敛．若部分和的极限不存在，则级数发散． （ ）（2）若级数∑∞=±1)(n n nv u收敛，则级数∑∞=1n n u 与级数∑∞=1n n v 都收敛．（ ） （3）改变级数的有限项不会改变级数的和．（ ） （4）当0lim =∞→n n u 时，级数∑∞=1n nu不一定收敛.（ ）2．用级数的“∑”形式填空（1）,!3!2!1 +++ 即 ． （2）,7151311 +-+-即 ． （3）+++4ln 313ln 212ln 1即 ． （4）,63524101 +++++-即 ． 3．判断下列各级数的收敛性，并求收敛级数的和（1） -+-3322747474． （2） +++πππ543ln ln ln ．（3） +⋅+⋅+⋅751531311． （4） ++++7453321．（5）∑∞=-+1)1(nn n．4．级数∑∞=+1)31 21(nnn是否收敛？若收敛，求其和.5．制造灯泡需要抽去玻璃泡中的空气，设灯泡中原有空气的质量m，在多次抽气时，每一次抽出的空气质量为上次剩余质量的20%，连续不断地抽，抽出的空气质量最多是多少？习题8.21．用“收敛”或“发散”填空（1）∑∞=13 1n n．（）（2）∑∞=1222lnnn．（）（3）∑∞=1!n n．（）（4）∑∞=12.11nn．（）2．判断下列正项级数的收敛性（1）∑∞=+11 9.01n n．（2）∑∞=++12658nnn．（3）∑∞=+15 23n n．3．判断下列级数是否收敛（1）∑∞=--1)1 (nnnπ． (2) ∑∞=--1311)1(nnn．(3) ∑∞=-122sin)1(n nnn．(4) ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+12)1(1nnn．4．判断下列级数的收敛性（1）∑∞=++1)2(1n n n n ． （2）∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+11n nn n ．（3）∑∞=--1131arcsin )1(n n n ． （4）∑∞=+-1321)1(n n n n ．（5）∑∞=12n n n． （6）∑∞=166n n n．（7）)0,(,31211>++++++b a b a b a b a ． （8）∑∞=+++1)3)(2)(1(n n n n n．（9） ++++++nn 134232． （10） +-+-2227151311．习题8.31．求下列幂级数的收敛区间（1） ------n x x x x n 3232． （2） -++++n nnx x x x 3333233322．（3） +⋅++⋅+⋅+⋅+nnn x x x x x 33433323443322．（4） ++++++nnx n x x x 3322321．（5） +⋅⋅++⋅⋅+⋅+)2(64264242232n x x x x n．（6）∑∞=++-11212)1(n n nn x ． (7) ∑∞=--122212n n nx n ．(8) ∑∞=⋅+13)1(n nn n x ． (9) ∑∑∞=∞=++-112212)1(n n n n n n n x n x ．(10) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．2．利用逐项求导数或逐项求积分或逐项相乘的方法，求下列级数在收敛区间上的和函数（1）∑∞=--122212n n nx n ． （2） ++++753753x x x x ．（3） +++13951392x x x ． （4） +⋅+⋅+⋅433221432x x x ．（5） +⋅+⋅+⋅+⋅3254433221x x x ． （6）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=11!n n n n n x n x ．习题8.41．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛域 （1）xe 2． （2）)1,0(≠>a a a x 且．（3）2sin x． （4）)0()ln(>+a x a ．（5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)2cos 1(21sin sin 22x x x 提示：． （6）)1ln()1(x x ++．（7）⎰+xt dt41． （8）⎰x dt tt 0sin ．（9）⎰-xt dt e22．2．将下列函数展开为x 的幂级数，并指出其收敛半径（1）)0(22>+a x a ． （2）x arcsin ．（3）)1ln(2x x ++．3．用级数的展开式，近似计算下列各值（1）e （取前五项）． （2）521⋅（取前三项）．（3）︒18sin （取前两项）．4．计算下列积分的近似值（计算前三项）（1）⎰212dx e x ． （2）⎰10sin dx xx．（3）⎰11.0dx xe x．习题8.51．填空（1）若)(x f 在[]ππ,-上满足收敛定理的条件，则在连续点0x 处它的傅里叶级数与)(0x f .（2）设周期函数)(2)(ππ<≤-=x xx f ，则它的傅里叶系数 =0a ，=n a ， =1b ， =nb ．（3）用周期为π2的函数)(x f 的傅里叶系数公式，求周期为l 的函数)(t g 的傅里叶级数，应作代换=t .（4）周期为l 的函数)(x f 的傅里叶系数=0a ，=n a ，=n b .2．把下列周期函数展开成傅里叶级数 （1）⎩⎨⎧<≤<≤-=ππt t t u 0100)(． （2）⎩⎨⎧<≤+<≤--=ππx x x x x f 0,10,1)(．（3）⎩⎨⎧<≤-<≤-+=ππππt t t t t f 0,0,)(． （4）)(2cos)(ππ<≤-=x xx f ．（5）⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤--<≤--=21,11112,1)(x x x x x f ． （6）2121,1)(2<≤--=x x x f ．3．将函数)11()(≤≤-=x e x f x展开成傅氏级数.4．将函数)0()(ππ≤≤-=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数.5．将周期为4的单向窄脉冲信号,展开成傅里叶级数的复数形式，其表达式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<--≤≤-=221,02121,212,0)(t t e t t f ．复习题八（A ）组1．判断题（对的划“√”，错的划“×”） （1）若,0lim =∞→n n u 则级数∑∞=1n nu收敛．（ ）（2）若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=≠10(n nc cu为常数）也发散．（ ） （3）改变级数的有限多个项，级数的敛散性不变．（ ） （4）若级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=-+1212)(n n n u u收敛．（ ） （5）若)(x f 是周期函数为π2的函数，且满足收敛定理的条件，则在任意点x 处)(x f 的傅氏级数收敛于)(x f .（ ）2．用“收敛”或“发散”填空 (1)若级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=+1)001.0(n nu.(2)级数∞=1n （3）当10<<a 时，级数∑∞=-+111n nn aa . (4)级数∞=1n n （5）级数∞=n3．单项选择题（1）下列级数中，收敛的是（ ）（A ） ∑∞=--11)1(n n n ； （B ） ∑∞=+-1232)1(n n n n； （C ） ∑∞=+115n n ； （D ）∑∞=-+1231n n n ．(2)下列级数中，绝对收敛的是（ ）（A ）∑∞=-1)1(n n n ； （B ）∑∞=++12123n n n ； （C ）∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-1132)1(n nn ； （D ）∑∞=-+-11)1ln()1(n n n ． (3)幂级数∑∞=1n nnx 的收敛区间是（ ）（A ）[]1,1-； （B ）[)1,1-； （C ）(]1,1-； （D ）()1,1-． (4)函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数是（ ）（A ）∑∞=12!n n n x ； （B ）∑∞=-12!)1(n n n n x ； （C ）∑∞=1!n n n x ； （D ）∑∞=--11!)1(n nn n x ．(5) 设)(x f 的周期为π2，它在[)ππ,-的表达式),(,2)(ππ<≤-=x x x f 则)(x f 的傅氏展开式为（ ）（A ）∑∞=+-11sin )1(2n n nx n ； （B ）∑∞=+-11sin )1(4n n nx n ；（C ）),)12(,(sin )1(411Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞=+π；（D ）),)12(,(sin )1(211Z k k x x nx n n n ∈-≠+∞<<-∞-∑∞=+π．4．判别下列各级数的敛散性（1）)0(1112>+∑∞=a a n ． （2）∑∞=+112tann n n π．（3）∑∞=+112tann n n π． (4)∑∞=1sincos n nn ππ．（5） ∑∞=+112!n n n ． (6) ∑∞=--1ln )1(n n n n .（B ） 组1．用已知函数的展开式，将下列函数展开成x 的幂级数（1）x e x x f -=3)(． （2）x x f 2cos )(2=．（3）211)(x x f -=． （4）321)(2--=x x x f ．2．用已知函数的展开式，将下列函数展开成2-x 的幂级数 （1）xx f -=41)(． （2）x x f ln )(=．3．将下列周期函数展开成傅里叶级数（1）)(sin )(ππ<≤-=x ax x f （a 为非整数的常数）．（2）)()(22πππ<≤--=x x x f ．(3) )()(3ππ<≤-=x x x f .4．把周期函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤--=20102,2)(x x xx f 展开成傅氏级数.5．将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-=24,440,)(T t T T T x t t q 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．6．将)210(1)(2≤≤-=x x x f 分别展开成正弦型级数和余弦型级数．第8题图7．把函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤--=ππππx x x f 0,40,4)(展开成傅氏级数，并由它导出（1）+-+-=71513114π． （2） ++--+-=131111917151163π．8．将下面波形的函数展开成傅里叶级数9．将下面半波整流后的周期函数)(t f 展开成傅氏级数10．将)10()(2≤≤=x x x f ，展开成正弦级数和余弦级数。

第一章：等差數列與等差級數 第一節：等差數列一、選擇1. （ ）若一等差數列的首項為4，公差是－3，則此數列的第10項為多少？(A)31 (B)34 (C)－23 (D)－26《答案》C2. （ ）一等差數列的公差為d ，將此數列的每一項都加3得一新數列，則下列敘述何者錯誤？(A)新數列為等差數列(B)新數列的公差為d ＋3(C)新數列首項比原數列首項多3(D)新數列的公差為d《答案》B3. （ ）若一等差數列的前四項是a 1，a 1＋d ，a 1＋2d 、a 1＋3d ，則此數列的第18項為多少？(以a 1、d 表示)(A)a 1＋17d (B)a 1＋18d (C)a 1＋19d (D)a 1＋20d《答案》A4. （ ）有一等差數列，公差為－4，若將此等差數列各項同乘 3 4，再加上5，則新數列的公差為多 少？(A)－3 (B)2 (C)3 (D)－8《答案》A5. （ ）下面各數列中，哪些是等差數列？甲：1 ,1 , 1 , 1 , 1 , 1乙：2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 丙：1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 , 1 6 丁： 1 3 , 2 3 , 3 3 , 4 3 , 5 3 , 6 3(A)甲、乙 (B)乙、丙、丁(C)甲、乙、丁 (D)甲、乙、丙、丁《答案》C6. （ ）若 1 5 , 1 x , 1 11成等差數列，則x ＝？ (A) 7 55 (B) 8 55 (C) 55 8 (D) 55 7《答案》C 7. （ ）下列何者不是等差數列？ (A)0 , 0 , 0 , 0(B)8 , 10 , 12 , 14 , 16(C) 1 2 , 1 3 ， 1 4 ， 1 5 ， 1 6(D)10～30所有6的倍數依序所成的數列《答案》C8. （ ）已知一等差數列的第2項是3，第6項是－25，則其首項為何？(A)－1 (B)－4 (C)－7 (D)10《答案》D9. （ ）關於數列5 , 8 , 11 , 14 , 17 , …的敘述，下列何者錯誤？(A)此數列為等差數列(B)此數列的公差為3(C)此數列的第8項是26(D)數字61是此數列的第20項《答案》D10. （ ）附圖是用133根牙籤所排成的 n 個小三角形，則n ＝？(A)64 (B)65 (C)66 (D)68《答案》C11. （ ）「－4」為下列哪一個選項中兩個數字的等差中項？(A)－2、－8 (B)2、－6(C)1、－8 (D)－1、－7《答案》D12. （ ）已知一等差數列的公差為d ，若將各項值都乘以2之後，則新數列的變化為何？(A)依然為等差數列，公差為2d(B)依然為等差數列，公差為 d 2(C)依然為等差數列，公差為d(D)不是等差數列《答案》A13. （ ）等差數列－8 , －5 , －2 , 1 , 4，則其公差為何？(A)3 (B)12 (C)13 (D)－3《答案》A14. （ ）已知一等差列首項為93，末項為2，公差為－7，則此等差數列有幾項？(A)13 (B)14 (C)15 (D)16《答案》B15. （ ） 在1～300且個位數字為 3的正整數，自小到大排列的數列中，請問下列敘述何者不正確？(A)此數列為等差數列 (B)此數列公差為10(C)此數列末項為293 (D)此數列共有29項《答案》D16. （ ）已知1 , a ,b , c , 19 3,……為一等差數列，則6(b －a )之值可被下列何者整除？ (A)2 (B)3 (C)5 (D)7《答案》A17. （ ）下列何者為等差數列？(A)1 , －1 , 1 , －1 (B)1 , 1 2 , 1 3 , 1 4(C)1 , 2 , 4 , 8 (D)3 , 3 , 3 , 3《答案》D18. （ ）若一數列－ 1 3 , a 9 , 5 9, b 為等差數列，則a ×b ＝？ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4《答案》A19. （ ）已知等差數列首項為－5，公差為4，則下列哪一個數為此數列其中的一項？(A)13 (B)21 (C)29 (D)39《答案》D20. （ ）若2為 x 和5的等差中項，且x 為y 和－5的等差中項，則x 、y 的等差中項為多少？(A)－2 (B)－1 (C)1 (D)2《答案》C21. （ ）數線上A (8)、B (x )、M (13)三點，若M 點到A 點的距離與M 點到B 點的距離相同，則x＝？22. （ ）若17 , x, 35三數成等差數列，則x之值是下列哪一個數的倍數？(A)3 (B)5 (C)11 (D)13《答案》D23. （ ）a ,b, c, d,e五點依序在數線上，且b ,c , d分別為a與e之間的等分點，則下列敘述何者不正確？(A)b是 a與 c的等差中項 (B)c 是b 與d的等差中項(C)c是a 與e的等差中項 (D)a＋b＋c＋d＋e＝3c《答案》D24. （ ）一等差數列共有五項，其首、末兩項之和為200，則中間三項之和為多少？(A)100 (B)150 (C)175 (D)300《答案》D25. （ ）已知一等差數列的首項為－101，第3 項為－97，則此數列第幾項開始為正數？(A)27 (B)51 (C)52 (D)103《答案》C26. （ ）若一等差數列的公差為d，則將各項值都加上2之後，新數列的變化為何？(A)依然為等差數列，公差為d＋2(B)依然為等差數列，公差為2d(C)依然為等差數列，公差為d(D)不是等差數列《答案》C27. （ ）若a與 b的等差中項為4，且2a－b 與 a＋2b的等差中項為9，則2a－b等於多少？(A)7 (B)0 (C)2 (D)8《答案》A28. （ ）有一數列2 , 8 , □ , 20 , 26 , 32 , 38，依某種規律排列而成，則可判斷□內之數字為何？(A)10 (B)12 (C)14 (D)16《答案》C29. （ ）下列何者不是等差數列？(A)0 , 0 , 0 , 0(B)1 , 1 , 1 , 1(C)－10到10之間所有整數的數列(D)1到20之間所有質數的數字《答案》D30. （ ）下列各數列中，哪些是等差數列？甲：3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3乙：1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11丙：1 , 13 ,15 ,17 ,19 ,111(A)甲，乙 (B)甲，丙(C)乙，丙 (D)甲，乙，丙《答案》A31. （ ）若一等差數列的公差為4，第5項為13，則首項是多少？(A)－3 (B)1 (C)5 (D)9《答案》A32. （ ）一等差數列共有6項，若末項比首項多 50，則其公差＝？(A)5 (B)6 (C)10 (D)12《答案》C33. （ ）一等差數列第3項為3 2 ，第5項為5 2 ，則第8項等於多少？34. （ ）已知一數列的前八項為1 , 4 , 5 , 9 , 14 , 23 , 37 , 60，請觀察此數列的規律性，推斷此數列的第11項為何？(A)85 (B)97 (C)254 (D)411《答案》C35. （ ）若－3 , 0 , a ,b 成等差數列，則b －a ＝？(A)－3 (B)0 (C)3 (D)6《答案》C36. （ ）若a ≠0，試問下列哪一個數列不是等差數列？(A)5a , 7a , 9a (B)a ＋5 ,a ＋7 , a ＋9(C)a －9 ,a －7 , a －5 (D) 5 a , 7 a , 9a 《答案》D37. （ ）一等差數列共有9項，若末項比首項多 12，則這數列公差為多少？(A)2 (B) 3 2 (C)－ 3 2(D)－2 《答案》B38. （ ）有一等差數列的第3項為42，第6項為33，則首項與公差之和為多少？(A)39 (B)21 (C)48 (D)45《答案》D39. （ ）從1，2，3，4，5，6，7七個數字中，任取3個數字來組成等差數列，請問共有幾種取法？(A)9種 (B)8種 (C)7種 (D)6種《答案》A40. （ ）若一等差數列的首項為35，末項為－145，公差為－4，則此等差數列共有多少項？(A)44 (B)45 (C)46 (D)47《答案》C41. （ ）若2a －b 與a ＋2b 的等差中項為9，且 a －b ＝2，則a 與 b 的等差中項為何？(A)9 (B)4 (C)2 (D)0《答案》B42. （ ）設a ≠0，且4，a ，12三數的倒數成等差數列，則a ＝？(A) 113 21 (B) 120 17 (C) 1 6(D)6 《答案》D43. （ ）已知 5 4 ，a ， 11 4，b 成等差數列，則a ＋b ＝？ (A) 3 2 (B) 11 2 (C) 11 4(D)4 《答案》B44. （ ）若1＋3a , 6＋2a , 5－2a 三數成等差數列，則a ＝？(A)0 (B)－1 (C)－2 (D)－3《答案》C45. （ ）若2 , a ,b , c , 7為等差數列，則下列選項何者正確？(A)b ＝a ＋2 (B)b ＝7－c (C)b ＝a ＋c (D)b ＝ a ＋c 2《答案》D46. （ ）已知有兩等差數列，其中一數列首項為2，公差為2，另一數列首項為3，公差為3，則此兩數列的共同項所形成的數列中，其第4項為何？47. （ ）某六邊形的周長為75公分，它的邊長形成一個等差數列，已知最長的邊長為20公分，則此等差數列的公差為多少公分？(A)2 (B)3 (C)4 (D)5《答案》B48. （ ）在－1與8之間，插入5個數，使其成一等差數列，求插入的第2個數為多少？(A)2 (B)－3 (C)－4 (D)－5《答案》A49. （ ）直角三角形的三邊恰成等差數列，若面積為96平方公分，則此三角形的周長為多少公分？(A)48 (B)60 (C)72 (D)84《答案》A50. （ ）三數成等差數列，其和為180，且第一數與第三數之比為3：7，則第三數為多少？(A)84 (B)60 (C)36 (D)21《答案》A51. （ ）若a1 , a2 ,a4 ,……, a80 為一等差數列，且a2＞a5，則下列何者正確？(A)a8－a12＜0(B)a80＜0(C)a10＋a30＝a20＋a40(D)a7＋a20＝a5＋a22《答案》D52. （ ）在－8和12之間插入9個數，使此數列成為等差數列，則插入的第6個數是多少？(A)0 (B)2 (C)4 (D)5《答案》C53. （ ）有一數列：1 , 2, 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , ……，依此規律類推，則第40個數為何？(A)8 (B)9 (C)10 (D)11《答案》B54. （ ）設有四數成等差數列，且和為20，公差大於0，若首、末兩項的乘積為16，則其公差值為多少？(A)2 (B)2.5 (C)3 (D)4《答案》A55. （ ）若三角形三內角的度數成等差數列，則此三角形一定不是下列何種三角形？(A)鈍角三角形(B)銳角三角形(C)直角三角形(D)非正三角形的等腰三角形《答案》D56. （ ）若一三角形的三內角之度數為一等差數列，則此三角形的敘述下列何者正確？(A)此三角形的三邊長也會是等差數列(B)此三角形必為直角三角形(C)此三角形的三邊長比為1：2：3(D)此三角形必有一內角為60˚《答案》D57. （ ）若直角三角形三內角的角度成等差數列，則此三內角度數的比為下列何者？(A)3：4：5 (B)1：2：3 (C)2：3：4 (D)1：3：5《答案》B58. （ ）如圖，每一方格均有一整數，若每一橫列及每一直行均為等差數列，則斜線部分所代表的數為何？(A)9 (B)10 (C)11 (D)12《答案》B59. （ ）若甲、乙兩數的乘積為－35，其等差中項為1，則｜甲－乙｜＝？(A)－12 (B)2 (C)6 (D)12《答案》D60. （ ）若在a、70兩數之間插入23個數，使這25個數成一等差數列，已知插入的第11個數為5，則a＝？(A)－50 (B)－45 (C)－40 (D)－35《答案》A61. （ ）已知一等差數列的首項為－15，第2項為－9，若其公差為d，第25項為a，則a－d＝？(A)121 (B)123 (C)135 (D)144《答案》B62. （ ）一等差數列的首項為m(m＞0)，公差為－1，則第幾項是－m？(A)m (B)2m (C)m＋3 (D)2m＋1《答案》D63. （ ）若a , b,c ,d, e五數成等差數列，則下列何者不正確？(A)a＋e＝b＋d (B)a＋d＝b＋e(C)a－c＝b－d (D)2c＝a＋e《答案》B64. （ ）二個數列甲：1001 , 998 , 995 , ……，乙：1 , 3 , 5 , ……，若此兩數列的第n項相同，則n為何？(A)198 (B)199 (C)200 (D)201《答案》D65. （ ）已知一等差數列的首項為－96，第4項為－78，則此數列第幾項開始為正數？(A)16 (B)17 (C)18 (D)19《答案》C66. （ ）設a1 , a2 , a3 , a4 四數成等差數列，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝28，則公差d＝？(A)1 (B)2 (C)3 (D)4《答案》C67. （ ）已知等差數列a1 ,a2 ,……,a15 中，a2＋a14＝0，則下列何者正確？(A)此數列各項值均為0(B)a3＞a13(C)a8＝0(D)a5＋a10＝0《答案》C68. （ ）若a , b,c ,d四數成等差數列，則下列何者不是等差數列？(A)d , c, b,a (B)a＋b,b＋c, c＋d(C)a－b ,b－c, c－d (D)ab, bc, cd《答案》D69. （ ）一等差數列的第3項和第 7項互為相反數，則此等差數列的第5項是多少？(A)0 (B)1 (C)3 (D)任意數《答案》A70. （ ）有一等差數列，若第3項是首項的兩倍，則第8項是第 2項的幾倍？(A)5 (B)4 (C) 7 2(D)3 《答案》D71. （ ）已知數列a , b ,c 為等差數列，若公差為3，且a ＋5 , b ＋10 , c ＋15也是等差數列，則此數列的公差為何？(A)3 (B)5 (C)8 (D)10《答案》C72. （ ）若一等差數列的第6項為17，第12項為35，則下列敘述何者正確？(A)首項為3 (B)公差為2 (C)第20項為61 (D)第9項為26《答案》D73. （ ）某班有40人，第一次段考數學成績依次成公差為2分的等差數列，且沒有同分現象，只知最高分為98分，則不及格的有多少人？(A)19 (B)20 (C)21 (D)22《答案》B74. （ ）等差數列a 1 ,a 2 ,……,a 20 其首項與公差不相等，若a 3＋a 9＝16，則下列何者錯誤？(A)a 6＝8 (B)a 4＋a 8＝16(C)a 14－a 2＝16 (D)a 1＋a 11＝16《答案》C75. （ ）已知一三角形，其三內角成等差數列，則當公差為多少度時，這個三角形是一個直角三角形？(A)60˚ (B)40˚ (C)30˚ (D)20˚《答案》C76. （ ）等差數列a 1，a 2，a 3，……，a n ，其公差為d (其中d ≠0 且a 1≠d )，則下列何者錯誤？(A)a 1＋a 3＋a 8＝2a 6(B)a 7－a 2＝5d(C)a 2＋a 10＝a 4＋a 8(D)a 7－a 4＝a 10－a 7《答案》A77. （ ）若a , b ,c ,d 成等差數列，且公差為2，則下列敘述何者正確？(A)a 2 , b 2 , c 2 成等差數列(B)ab ,bc , cd 成等差數列(C)2a ＋3 , 2b ＋3 , 2c ＋3成等差數列(D)a ＋b , b ＋2c , c ＋3d 成等差數列《答案》C78. （ ）如果等差數列第2項為4，末項為28，公差為6，設這個等差數列的首項為a ，項數為 n ，則a ＋n 之值為多少？(A)2 (B)4 (C)6 (D)8《答案》B79. （ ）若a , b ,c ,d 四個數成等差數列，其公差為2，則下列何者正確？(A)a 2 ,b 2 ,c 2 成等差數列(B)ac ,bc ,cd 成等差數列(C)3a ＋2 , 3b ＋2 , 3c ＋2成等差數列(D)a ＋b , b ＋2c , c ＋3d 成等差數列《答案》C80. （ ）有一數列12 , 9 , 6 , 3 , 0 , －3，則下列敘述何者錯誤？(A)此數列為等差數列(B)此數列公差為3(C)此數列首項為12(D)依此規則延續此數列，必有一項為－42《答案》B81. （ ）設一等差數列共有9項，若首、末兩項的和為60，則其餘的7項的和為多少？(A)420 (B)360 (C)240 (D)210《答案》D82. （ ）在坐標平面上，由點A 1(－52 , 47)向右移5個單位長，再向下移3個單位長到達A 2，繼續由A 2 同樣向右移5個單位長，再向下移3個單位長，到達A 3，如此繼續移動，依次可到 達A 4，A 5，A 6，A 7，……，則點A 12 在第幾象限？(A)一 (B)二 (C)三 (D)四《答案》A83. （ ）設a 1 ,a 2 ,……,a 79 為一等差數列，其總和為0，且a 55＝55，試問下列何者正確？(A)a 1＋a 79＞0(B)a 2＋a 78＜0(C)a 1,a 3 ,a 5 ,a 7 成等差數列(D)a 22＝2《答案》C84. （ ）有一等差數列的首項為50，第3項為38，若從第n 項開始出現負數，則 n 為多少？(A)8 (B)9 (C)10 (D)11《答案》C85. （ ）甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八個人由左而右依序坐成一列。

无穷级数练习题无穷级数题一、填空题1、设幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}ax^n$ 的收敛半径为3，则幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}na(x-1)^n(n+1)$ 的收敛区间为 $(-2,4)$。

2、幂级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n$ 的收敛域为 $(-1,1)$。

3、幂级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{( -3)^n}{n+2}(2n-1)x^n$ 的收敛半径 $R= \dfrac{1}{3}$。

4、幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{(n+1)(x-2)^{2n}}$ 的收敛域是 $(-\infty。

2) \cup (2.\infty)$。

5、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{n^4(\ln3)^n}$ 的收敛域为 $(0,4)$。

6、级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ 的和为 $\dfrac{\pi^2}{6}$。

7、级数 $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(n-1)}$ 的和为 $1$。

8、设函数 $f(x)=\pi x+x(-\pi<x<\pi)$ 的___级数展开式为$a_0+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$，则其系数 $b_3$ 的值为 $0$。

9、设函数 $f(x)=\begin{cases} -1.& -\pi<x\leq 0 \\ 1+x。

& 0<x\leq \pi \end{cases}$，则其以 $2\pi$ 为周期的___级数在点$x=\pi$ 处的收敛于 $1$。

级数练习题及答案一、选择题1. 下列级数中收敛的是：A. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...B. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...C. 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...D. 2 + 4 + 8 + 16 + ...答案：A2. 对于级数 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...，下列说法正确的是：A. 级数的和为1B. 级数的和为0C. 级数的和为2D. 级数为发散的答案：B3. 给定级数的前n项和Sn，当n趋向于无穷大时，若Sn趋向于一个有限的值，则称该级数为：A. 发散级数B. 收敛级数C. 无界级数D. 有界级数答案：B二、填空题1. 计算级数 2 + 4 + 8 + 16 + ... 的和。

答案：级数为等比数列，公比为2，根据等比数列求和公式，和为2^n - 2，其中^n表示累乘。

2. 求级数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 的和。

答案：级数为几何级数，首项为1，公比为1/2，根据几何级数求和公式，和为2。

三、计算题1. 计算级数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... 的和。

答案：级数为几何级数，首项为1/2，公比为1/2，根据几何级数求和公式，和为1。

2. 计算级数 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ... 的和。

答案：级数为几何级数，首项为1/3，公比为1/3，根据几何级数求和公式，和为1/2。

四、证明题证明级数 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 的和为2。

证明：我们可以通过求极限的方法证明。

设级数的部分和为Sn，则Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^n。

当n趋向于无穷大时，Sn趋向于一个有限值。

设该有限值为S，则有：S = lim(n->∞) Sn= lim(n->∞) (1 - 1/2^n) / (1 - 1/2)= 1 / (1 - 1/2)= 2所以级数的和为2。

第十四章 幂级数（2021.1）一、单选题1、21∞=∑nn x n 的收敛域为( ). AA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]2、级数21∞=∑nn x n的收敛域为( ). DA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]3、级数1∞=∑nn x n的收敛域为( ). CA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1] 4、∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（ ）. C A 、 (-1，1) B 、 (0，2] C 、 [0，2） D 、 [-1，1）5、nx n)1(+∑的收敛域为( ). CA. )1,1[-B. ]0,2[-C. )0,2[-D. )2,0[6、若nn n a x∞=∑在00≠x 收敛，则在区间00(,)-x x 内nn n a x∞=∑ （ ）． AA ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．不能确定 7、若()01nn n a x ∞=-∑在3x =处收敛，在1x =-处发散，则该级数的收敛半径R （ ）． A A ．等于2 B ．小于2 C ．大于2 D ．不能确定 8、已知1∞=∑nn n a x在2x =处收敛, 则在32x =-处此级数（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 9、若nn x a )1(+∑在3-=x 处收敛，则该级数在0=x 处（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 10、若nn x a )1(-∑在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（ ）. BA. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 不能确定 11、若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a （ ）． BA ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ． 不能确定12、级数211(1)(1)nn n n x ∞=+-∑的收敛半径R =（ ）. CA 、1B 、eC 、1e -D 、2e -13、幂级数212-∑n n x 的收敛半径是 ( ). BA.21B. 2C. 21D. 214、22∑n nx的收敛半径是 ( ). AA.21B. 2C. 21D. 215、若n nn a x∞=∑收敛半径为1R ，nn n b x∞=∑ 的收敛半径为2R （1R <2R ）则()0nn nn ab x ∞=+∑的收敛半径为（ ）. DA ．1R ＋2RB ．12R R +C ．2RD ．1R16、级数)32(n nnnx x +∑的收敛半径是 ( ) AA.21 B. 31C. 2D. 3 17、)35(n nn n x x +∑的收敛半径是( ) DA.51 B. 31C. 5D. 3 18、幂级数n n x n)1211(1+++∑∞= 的收敛域是（ ）． A A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[]1,1-19、幂级数nn n x ∑∞=--21)2(，（2<x ）的和函数为 ( ). AA. x x 2122+-B. x x 2122+C. x x 21+D. xx21-20、幂级数∑∞=--112)1(n nnn x ，（2<x ）的和函数为（ ）. C A.x -22 B. x +22 C. x x +2 D. xx -2 21、幂级数∑∞=02n n nx ，（2<x ）的和函数为 （ ）. AA.x-22B. x 211-C. x +22D. x 211+22、幂级数1(1)2nnn n x ∞=-∑，（2<x ）的和函数为（ ）. CA ．2x x + B. x -22 C. 2x x-+ D. x x -223、幂级数∑∞=-02)1(n n nnx ，（2<x ）的和函数为（ ）. CA.x 211+ B. x 211- C. x +22 D. x -2224、下述展开式正确的是( ) . CA 、212nx x x e x n-=+++++x R ∈B 、21(1)2n xn x x e x n-=-+-+-+ x R ∈C 、21(1)2!!nx nx x e x n -=-+-+-+x R ∈D 、212!!n xx x ex n -=+++++ x R ∈25、函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数为( ). DA 、2312!3!x x x ++++ x R ∈B 、2312!3!x x x -+-+ x R ∈C 、46212!3!x x x ++++ x R ∈D 、46212!3!x x x -+-+ x R ∈26、函数()2x f x xe =展成x 的幂级数是（ ）． AA ．210!n n x n +∞=∑B ．10!n n x n +∞=∑C ．20!nn x n ∞=∑ D ．()21021!n n x n +∞=+∑ 27、函数()()ln 1f x x =+展成x 的幂级数是（ ）． BA ．()()1011!+∞=-+∑n nn x n ； (1,1)∈-x B ．()1011n n n xn +∞=-+∑； (1,1)∈-xC ．()11∞=-∑nn xn ； (1,1)∈-x D ．1∞=∑n n x n ． (1,1)∈-x28、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为（ ）． B A ．03(1)()(06)3nnn x x ∞=--<<∑ B ．013(1)()(06)33n nn x x ∞=--<<∑C ．(1)(3)(24)nnn x x ∞=--<<∑ D ．01(1)(3) (24)3n n n x x ∞=--<<∑29、设()()20(0,1)2!n nn a x f x a n ∞==≠-∑，则()f x ''＝（ ）. AA ．()af xB ．()2a f x C ．()1f x aD ．()f x30、幂级数1nn x n∞=∑在1x <的和函数()S x ＝（ ）. BA ．()ln 1x -B ．ln(1)x --C ．11x -D ．11x -二 填空题1、设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛区间()3,3-，则幂级数()∑∞=--011n n n x na 的收敛区间为_________.答案：()4,2-. 2、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(+∑的收敛区间为_________.答案：R R +---2,2(）3、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(-∑的收敛区间为_________.答案：)2,2(R R +-4、 幂级数2nx n∑的收敛域是_________.答案： ]1,1[- 5、 幂级数n nx n ∑的收敛域是_________.答案： )1,1(-6、 幂级数nnx ∑的收敛域是_________.答案：)1,1(-7、 幂级数nx n∑的收敛域是 _________.答案：)1,1[-8、 幂级数nx n)1(+∑的收敛域为_________.答案：[2,0)-9、 幂级数()∑∞=-151n nn x 的收敛域是_________.答案： (4,6)-10、 幂级数()n n x n 2112-∑∞=的收敛域是_________. 答案：[1,3]11、级数()∑∞=--111n n n x n的收敛域是_________.答案：(1,1]-12、幂级数11nn n x ∞=-的收敛域是_________.答案：(3,3]-13、幂级数∑∞=++02)1()1(n nnn x 收敛域是_________. 答案：[3,1)-14、幂级数2021nn n x ∞=+∑的收敛域是_________.答案：(15、幂级数的()nn nx n ∑∞=-+113收敛半径为=R _________.答案：1.16、幂级数∑∞=-+0)3(2n nn nnx 的收敛半径为=R _________. 答案：3=R .17、幂级数023n n nn x n ∞=+∑的收敛域是_________. 答案：11[,)33-18、幂级数21(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为=R _________. 答案：14=R 19、幂级数∑∞=+152n n nx 的收敛半径是=R _________.答案：2=R20、若幂级数()1∞=-∑nnn a x 的收敛半径0R =，则此幂级数只在_________收敛．答案：1=x21、幂级数∑∞=0n nnx a与11∞-=∑n n n na x 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ___ 2r ．答案：等于22、幂级数∑∞=0n nn x a 与101+∞=+∑n n n a x n 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ____ 2r ．答案：等于 23、幂级数()01∞=-∑nn n a x 在3=x 处条件收敛，则该级数的收敛半径R ＝_________.答案：2=R 24、幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为_________.答案：[0,2]25、若1lim 3nn n a a →∞+=，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛区间是_________.答案：(26、若1lim 3+→∞=n n na a ，则幂级数20∞=∑n n n a x 的收敛区间是_________.答案：( 27、函数x2的麦克劳林展开式为=x2__________________________________. 答案：()∑∞=0!2ln n n nx n ， (,)∈-∞+∞x28、函数)(21x xe e -+的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案： +++++)!2(!4!21242n x x x n， (,)∈-∞+∞x 29、函数)(21x xe e --的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=--112)!12(k k k x ， (,)∈-∞+∞x30、函数2x e的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：∑+∞=02!n nn x . ， (,)∈-∞+∞x31、函数xe2的幂级数展开式为__________________________________.答案：nn n xx n e∑+∞==02!2 ， (,)∈-∞+∞x32、函数x 2sin 的幂级数展开式为__________________________________.答案：12012)!12(2)1(2sin ++∞=+∑+-=n n n nx n x ， (,)∈-∞+∞x33、函数)21ln(x +的幂级数展开式__________________________________.答案：n n n n x n x 2)1()21ln(11∑+∞=--=+ ， 12<x 34、函数)2ln(x +在)2,2-（内的麦克劳林展开式为________________________________.答案： nnn n x 2)1(2ln 1⋅-+∑-， 2<x 35、函数21xx-在)1,1(-内的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+012n n x， 1<x36、函数xx +13的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：+-++-=++-21433)1(1n n x x x xx ， 1<x 37、函数()21-=x x f 在0=x 的幂级数展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+-012n n nx ， 2<x38、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为__________________________________. 答案：．013(1)(),0633∞=--<<∑n nn x x39、把()1f x a bx=+展成x 的幂级数（其中a b ⋅≠0）时，其收敛半径R ＝___________. 答案：ab解析：()011111∞=⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭+∑nn bx f x bx a bx a a a a当1,-<bx a 即<a x b 时收敛，当1,->bx a 即>a x b时发散 从而收敛半径为ab40、幂级数nn x n )1211(1+++∑∞= 的收敛域是___________.答案：(1,1)-三 计算题1、函数21()32f x x x =-+ 展开成x 的幂级数,并确定收敛域。

第 12 章无穷级数练习题一、填空题∞∞1. 已知级数∑u 收敛，而级数∑nn=1 n=1∞u 发散，则称级数∑u 为收敛。

n nn=1∞2. 如果幂级数∑n=0a n x 在点n1x =处收敛，那么它在点21x =−处的收敛性是。

3x x x2 3 n3. 幂级数1+x +++++（−∞<x <+∞) 的和函数是。

2! 3! n!∞4. 设常数k > 0,则级数∑(−1)nn=1 k+n2n的收敛性为。

∞15. 若级数∑n n α+1=1nnα+1收敛，则α的取值范围是。

∑∑∞−1 ( 1)∞n6. =n=0 n 0 n !!n=。

∞7．已知级数∑u 的前n 项部分和为nn=13nsn =(n = 1,2,,n) ，则此级数的通项n +1u =。

n∞n28．级数∑=0 n!n的收敛和为。

二、判断题∞1．如果∑n=1 a 收敛，则部分和nS 有界。

（）n∞2．如果lim = 0 a 收敛。

（）a ，则∑→nnn ∞n=13．设f (x) = 1− cos x ，那么( 1) (1)∞−n−1f 绝对收敛。

（）∑nn=1∞a4．设> 0 a 收敛，那么lim +1 =ρ< 1a ，如果∑n。

（）n nn→∞a n=1n∞∞5. 如果∑ a 的收敛区间是(−R, R) ，那么∑n 3n+ln x a （l 是某自然数）的收敛区间是n xn=0 n=0(−3 R,3 R) 。

（）∞6．如果∑n=0∞a 的收敛半径是R，则∑n xa 的收敛半径是R，则∑n(n n x 的收敛半径也为 R。

（）1)an −−n 2n=2三、选择题1．下列级数中，收敛的是。

1 1 1A．++++；1⋅ 3 3⋅ 5 (2n −1)(2n +1)1 1 1B．1+++++1+ 2 1+ 4 1+ 2(n −1)；1 1 1 1C．+++++2 4 6 2n；+1 1 1 +11+1D ．++++。