2018届高考数学第九章解析几何课时规范练41点与直线、两条直线的位置关系文 新人教A版 Word版 含答案

课时规范练41 点与直线、两条直线的位置关系基础巩固组1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=02.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2017广东揭阳一模)若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.44.(2017浙江温州模拟)直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k=()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或35.已知平行四边形ABCD的一条对角线固定在A(3,-1),C(2,-3)两点,点D在直线3x-y+1=0上移动,则点B的轨迹方程为()A.3x-y-20=0B.3x-y-10=0C.3x-y-9=0D.3x-y-12=06.(2017广西南宁模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是()A.x+2y-1=0B.2x+y-1=0C.2x+y-3=0D.x+2y-3=07.若动点A,B分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.3B.2C.3D.48.如图所示,已知两点A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到点P,则光线所经过的路程是()A.2B.6C.3D.2〚导学号24190777〛9.经过两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点,且与直线x-3y-1=0平行的直线的一般式方程为.10.(2017宁夏银川模拟)点P(2,1)到直线l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是.11.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是.12.(2017江西八校联考)已知点P(x,y)到A(0,4)和B(-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为.〚导学号24190778〛综合提升组13.若向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则直线y=kx+b必经过定点()A.(1,-2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(-1,-2)14.(2017河北武邑中学一模,文5)若m∈R,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.-或-B.-或-C.-或-D.-或-〚导学号24190779〛16.(2017江苏淮安调研)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.创新应用组17.(2017浙江杭州月考)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是()A.无论k,P1,P2如何,总是无解B.无论k,P1,P2如何,总有唯一解C.存在k,P1,P2,使之恰有两解D.存在k,P1,P2,使之有无穷多解〚导学号24190780〛18.已知点A(3,1),在直线y=x和y=0上分别找一点M和N,使△AMN的周长最短,则最短周长为()A.4B.2C.2D.2答案：1.A设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.2.C直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直⇔1+1×(-a)=0,故选C.3.B∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.4.C若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.5.A设AC的中点为O,则O.设B(x,y)关于点O的对称点为(x0,y0),即D(x0,y0),则因为点D在直线3x-y+1=0上,所以3x0-y0+1=0,得点B的轨迹方程为3x-y-20=0.6.D设所求直线上任一点(x,y),则它关于直线x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,即2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0.7.A依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得⇒|m+7|=|m+5|⇒m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为=3.8.A易得AB所在的直线方程为x+y=4,由于点P关于直线AB对称的点为D(4,2),点P关于y轴对称的点为C(-2,0),则光线所经过的路程即D,C两点间的距离.于是|DC|==2.9.x-3y=0两条直线2x-3y+3=0,x-y+2=0的交点为(-3,-1),所以所求直线为y+1=(x+3),即x-3y=0.10.2直线l经过定点Q(0,-3),如图所示.由图知,当PQ⊥l时,点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|==2,所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.11.由题意得线段AB的中点在直线y=kx+b上,故解得所以直线方程为y=-x+.令y=0,即-x+=0,解得x=,故直线y=kx+b在x轴上的截距为.12.4由题意得,点P在线段AB的垂直平分线上,则易得点P的轨迹方程为x+2y=3,所以2x+4y ≥2=2=4,当且仅当x=2y=时等号成立,故2x+4y的最小值为4.13.A因为向量a=(k+2,1)与向量b=(-b,1)共线,则k+2=-b,即b=-2-k,于是直线方程化为y=kx-k-2,即y+2=k(x-1),故直线必过定点(1,-2).14.A由log6m=-1得m=,若l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行,则直线斜率相等或斜率不存在,解得m=0或m=,则“log6m=-1”是“直线l1:x+2my-1=0与l2:(3m-1)x-my-1=0平行”的充分不必要条件. 15.D如图,作出点P(-2,-3)关于y轴的对称点P0(2,-3).由题意知反射光线与圆相切,其反向延长线过点P0.故设反射光线为y=k(x-2)-3,即kx-y-2k-3=0.所以圆心到直线的距离d==1,解得k=-或k=-.16.6x-y-6=0设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以解得又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为,即6x-y-6=0.17.B由题意,直线y=kx+1一定不过原点O,P1,P2是直线y=kx+1上不同的两点,则不平行,因此a1b2-a2b1≠0,所以二元一次方程组一定有唯一解.18.B设点A关于直线y=x的对称点为B(x1,y1),依题意可得解得即B(1,3),同样可得点A关于y=0的对称点C(3,-1),如图所示,则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,当且仅当B,M,N,C共线时,△AMN的周长最短,即|BC|==2.故选B.。

基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题.直线＋＋＝和＋＋＝的位置关系是( ).平行.垂直.不能确定.相交但不垂直解析直线＋＋＝的斜率＝－，直线＋＋＝的斜率为＝－，则≠，且≠－.故选.答案.(·浙江名校协作体联考)“＝－”是“直线＋＋＝和直线＋(－)＋＝平行”的( ).必要不充分条件.充分不必要条件.既不充分也不必要条件.充要条件解析依题意得，直线＋＋＝和直线＋(－)＋＝平行的充要条件是解得＝－，因此选.答案.过两直线：－＋＝和：＋＋＝的交点和原点的直线方程为( )＋＝－＝＋＝－＝解析法一由得则所求直线方程为：＝＝－，即＋＝.法二设直线方程为－＋＋λ(＋＋)＝，即(＋λ)－(－λ)＋＋λ＝，又直线过点(，)，所以(＋λ)·－(－λ)·＋＋λ＝，解得λ＝－，故所求直线方程为＋＝.答案.直线－＋＝关于直线＝对称的直线方程是( )＋－＝＋－＝＋－＝＋＋＝解析设所求直线上任一点(，)，则它关于直线＝的对称点(－，)在直线－＋＝上，即－－＋＝，化简得＋－＝.答案.(·安庆模拟)若直线：＋＋＝(＞)与直线：＋－＝的距离为，则＝( )解析直线：＋＋＝(＞)，即＋＋＝，因为它与直线：＋－＝的距离为，所以＝，求得＝，故选.答案.平面直角坐标系中直线＝＋关于点(，)对称的直线方程是( )＝－＋＝－＝－＝－＋解析在直线＝＋上任取两个点(，)，(，)，则点关于点(，)对称的点为(，)，点关于点(，)对称的点为(，－).由两点式求出对称直线的方程为＝，即＝－，故选.答案.(·丽水调研)已知直线过点(－，)且倾斜角为°，直线过点(，)且与直线垂直，则直线与直线的交点坐标为( ).(，).(，).(，)解析直线的斜率为＝°＝，因为直线与直线垂直，所以＝－＝－，所以直线的方程为＝(＋)，直线的方程为＝－(－).两式联立，解得即直线与直线的交点坐标为(，).故选.答案.从点(，)射出的光线沿与向量＝(，)平行的直线射到轴上，则反射光线所在的直线方程为( )＋－＝＋－＝＋－＝＋－＝解析由直线与向量＝(，)平行知：过点(，)的直线的斜率＝，所以直线的方程为－＝(－)，其与轴的交点坐标为(，)，又点(，)关于轴的对称点为(－，)，所以反射光线过点(－，)与(，)，由两点式知正确.答案二、填空题.(·宁波月考)点(，)关于点(－，－)的对称点坐标为；关于直线－＋＝的对称点为.解析设点(，)关于点(－，－)的对称点为(，)，则∴即所求对称点为(－，－).设点(，)关于直线－＋＝的对称点为(，)，则解得故所求对称点为(，).答案(－，－) (，).若三条直线＝，＋＝，＋＋＝相交于同一点，则的值为.解析由得∴点(，)满足方程＋＋＝，即×＋×＋＝，∴＝－.答案－.(·余姚市检测)已知直线过点(，)且与点(－，)，(，－)等距离，则直线的方程为.解析显然直线的斜率不存在时，不满足题意；。

9．2 两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系(1)平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔____________，特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为____________．(2)垂直：如果两条直线l 1，l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔____________，特别地，若直线l 1：x ＝a ，直线l 2：y ＝b ，则l 1与l 2的关系为____________．2．两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0. 若方程组有唯一解，则两条直线__________，此解就是__________；若方程组无解，则两条直线____________，此时两条直线____________．3．距离公式(1)点到直线的距离：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝____________．(2)两条平行直线间的距离：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)间的距离d ＝____________________．4．过两直线交点的直线系方程若已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则方程A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ∈R ，这条直线可以是l 1，但不能是l 2)表示过l 1和l 2交点的直线系方程．自查自纠1．(1)k 1＝k 2 l 1∥l 2 (2)k 1k 2＝-1 l 1⊥l 2 2．相交 交点的坐标 无公共点 平行3．(1)||Ax 0＋By 0＋C A 2＋B 2(2)||C 1-C 2A 2＋B 2(2016·金华月考)直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定解：两直线的斜率分别为k 1＝-2和k 2＝-12，由k 1≠k 2知两直线不平行，由k 1k 2≠-1知两直线不垂直，因此两直线的位置关系为相交但不垂直．故选C .(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1：x ＋2y -1＝0与直线l 2：mx -y ＝0平行，则实数m 的值为( )A ．-12B ．12C ．2D ．-2解：因为直线l 1：x ＋2y -1＝0与直线l 2：mx -y ＝0平行，所以m 1＝-12≠0，解得m ＝-12.故选A .(2016·丽江月考)直线mx ＋4y -2＝0与直线2x -5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )A ．-12B ．-2C ．0D ．10解：因为两直线的斜率分别为-m 4和25，则-m 4×25＝-1，所以m ＝10，则直线mx ＋4y -2＝0可以写成5x ＋2y -1＝0，过点(1，p )，有5＋2p -1＝0，则p ＝-2，且点(1，-2)又在2x -5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0，所以n ＝-12.故选A .(2016·苍南月考)已知平行直线l 1：2x ＋y -1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1与l 2的距离是__________．解：利用两条平行直线间的距离公式得d ＝|C 1-C 2|A 2＋B2＝|-1-1|22＋12＝255.故填255.(2016·吉安月考)设直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a -1)y ＋a 2-1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝__________．解：l 1⊥l 2，则a ×1＋2×(a -1)＝0，解得a ＝23.故填23.类型一 两条直线平行、重合或相交 已知两条直线：l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m -2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合． 解：联立两直线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋my ＋6＝0，（m -2）x ＋3y ＋2m ＝0.当m ＝0或m ＝2时两直线相交；当m ≠0且m ≠2时，此时A 1A 2＝1m -2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m ，当A 1A 2＝B 1B 2时，即1m -2＝m3，解得m ＝-1或m ＝3； 当A 1A 2＝C 1C 2时，即1m -2＝62m，解得m ＝3. (1)当m ≠-1且m ≠3时，A 1A 2≠B 1B 2，方程组有唯一一组解．所以l 1与l 2相交．(2)当m ＝-1时，A 1A 2＝B 1B 2且A 1A 2≠C 1C 2，方程组无解． 所以l 1与l 2平行．(3)当m ＝3时，A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，方程组有无穷多组解．所以l 1与l 2重合．【点拨】由直线的一般式直接判断两条直线是否平行时，可直接应用本题的结论，即：若A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，则直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行，这是一个很实用的结论，但要注意分母不能为零．当实数m 为何值时，三条直线l 1：3x ＋my -1＝0，l 2：3x -2y -5＝0，l 3：6x ＋y -5＝0不能围成三角形．解：当m ＝0时，直线l 1，l 2，l 3可以围成三角形，要使直线l 1，l 2，l 3不能围成三角形，则m ≠0.记l 1，l 2，l 3三条直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3， 则k 1＝-3m ，k 2＝32，k 3＝-6.若l 1∥l 2，或l 1∥l 3，则k 1＝k 2＝32，或k 1＝k 3＝-6，解得m ＝-2或m ＝12；若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧3x -2y -5＝0，6x ＋y -5＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝-1， l 2与l 3交于点(1，-1)，将点(1，-1)代入3x ＋my -1＝0，得m ＝2.所以当m ＝±2或12时，l 1，l 2，l 3不能围成三角形．类型二 两条直线垂直(1)已知两条直线l 1：ax -by ＋4＝0和l 2：(a -1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1⊥l 2，且l 1过点(-3，-1)，求a ，b 的值；(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α-1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，若l 1⊥l 2，求α的值．解：(1)解法一：由已知可得l 2的斜率k 2存在，且k 2＝1-a .若k 2＝0，则1-a ＝0，a ＝1.因为l 1⊥l 2，所以直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又因为l 1过点(-3，-1)，所以-3a ＋4＝0，得a ＝43(矛盾)． 所以此种情况不存在，所以k 2≠0， 所以k 1，k 2都存在．因为k 2＝1-a ，k 1＝ab，l 1⊥l 2， 所以k 1k 2＝-1，即ab(1-a )＝-1.①又因为l 1过点(-3，-1)，所以-3a ＋b ＋4＝0.② 联立①②可得a ＝2，b ＝2.解法二：因为l 1⊥l 2，所以a (a -1)＋(-b )·1＝0， 即b ＝a 2-a .①又因为l 1过点(-3，-1)， 所以-3a ＋b ＋4＝0.②联立①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.经验证，符合题意．故a ＝2，b ＝2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件， 所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，α＝k π，k ∈Z .所以当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.【点拨】判定两直线垂直的方法：(1)判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k 1·k 2＝-1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两直线也垂直．(2)直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论．设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(3)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m -3)y ＋7-5m ＝0与直线l 2：(m -3)x ＋2y -5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解：由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m -3)＋2(m -3)＝0， 解得m ＝3或m ＝-2.所以m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．故选A .类型三 对称问题已知直线l ：2x -3y ＋1＝0，点A (-1，-2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； (2)直线m ：3x -2y -6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (-1，-2)对称的直线l ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝-1，2×x -12-3×y -22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-3313，y ＝413，所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-3313，413.(2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b -0a -2×23＝-1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y ＋1＝0，3x -2y -6＝0，得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x -46y ＋102＝0.(3)解法一：在l ：2x -3y ＋1＝0上任取两点，如P (1，1)，N (4，3)．则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(-3，-5)，N ′(-6，-7)，由两点式可得l ′的方程为2x -3y -9＝0.解法二：设Q (x ，y )为l ′上任意一点， 则Q (x ，y )关于点A (-1，-2)的对称点为Q ′(-2-x ，-4-y )，因为Q ′在直线l 上，所以2(-2-x )-3(-4-y )＋1＝0，即2x -3y -9＝0.【点拨】(1)关于中心对称问题的处理方法： ①若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a -x 1，y ＝2b -y 1.②求直线关于点的对称直线的方程，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存在．(2)关于轴对称问题的处理方法：①点关于直线的对称．若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则线段P 1P 2的中点在l 上，且连接P 1P 2的直线垂直于l ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2-y 1x 2-x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫-A B ＝-1，可得到点P 1关于l对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．②直线关于直线的对称．此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．已知直线l ：x ＋2y -2＝0，试求： (1)点P (-2，-1)关于直线l 的对称点坐标； (2)直线l 1：y ＝x -2关于直线l 对称的直线l 2的方程；(3)直线l 关于点A (1，1)对称的直线方程． 解：(1) 设点P 关于直线l 的对称点为P ′(x 0，y 0)，则线段PP ′的中点M 在对称轴l 上，且PP ′⊥l .所以⎩⎪⎨⎪⎧y 0＋1x 0＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12＝-1，x 0-22＋2·y 0-12-2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝25，y 0＝195，即P ′坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，195.(2)直线l 1：y ＝x -2关于直线l 对称的直线为l 2，则l 2上任一点P (x ，y )关于l 的对称点P ′(x ′，y ′)一定在直线l 1上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y -y ′x -x ′·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12＝-1，x ＋x ′2＋2·y ＋y ′2-2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x -4y ＋45，y ′＝-4x -3y ＋85.把(x ′，y ′)代入方程y ＝x -2并整理得7x -y -14＝0，即直线l 2的方程为7x -y -14＝0.(3)设直线l 关于点A (1，1)的对称直线为l ′，则直线l 上任一点P (x 1，y 1)关于点A 的对称点P ′(x ，y )一定在直线l ′上，反之也成立．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x12＝1，y ＋y 12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2-x ，y 1＝2-y ， 将(x 1，y 1)代入直线l 的方程得x ＋2y -4＝0. 所以直线l ′的方程为x ＋2y -4＝0.类型四 距离问题(1)已知点P (4，a )到直线4x -3y -1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是____________．(2)若两平行直线3x -2y -1＝0，6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是____________．解：(1)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4-3×a -1|5＝|15-3a |5.又|15-3a |5≤3，即|15-3a |≤15， 解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是．故填． (2)依题意知，63＝a -2≠c-1，解得a ＝-4，c ≠-2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x -2y ＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋（-2）2＝21313，解得c ＝2或-6. 故填2或-6.【点拨】距离的求法： (1)点到直线的距离．可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离．①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式d ＝|C 1-C 2|A 2＋B 2.直线l 经过点P (2，-5)且与点A (3，-2)和点B (-1，6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：当直线l 与x 轴垂直时，此时直线l 的方程为x ＝2，点A 到直线l 的距离为d 1＝1，点B 到直线l 的距离为d 2＝3，不符合题意，故直线l 的斜率必存在．设直线l 的方程为y ＋5＝k (x -2)，即kx -y -2k -5＝0，则点A (3，-2)到直线l 的距离d 1＝|3k -（-2）-2k -5|k 2＋1＝|k -3|k 2＋1，点B (-1，6)到直线l 的距离d 2＝|-k -6-2k -5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1，因为d 1∶d 2＝1∶2，所以|k -3||3k ＋11|＝12，解得k ＝-1或k ＝-17.所以所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y -29＝0.类型五 直线系及其应用求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m -m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R )恒过定点，并求出定点坐标．证法一：令m ＝0，则直线方程为3x ＋y ＋1＝0，①再令m ＝1时，直线方程为6x ＋y ＋4＝0，②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-1，y ＝2. 将点A (-1，2)代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m -m 2)y ＋3m 2＋1＝0中，(m 2＋2m ＋3)×(-1)＋(1＋m -m 2)×2＋3m 2＋1 ＝(3-1-2)m 2＋(-2＋2)m ＋2＋1-3＝0，故点A (-1，2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m -m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A .证法二：将动直线方程按m 降幂排列整理得，m 2(x -y ＋3)＋m (2x ＋y )＋3x ＋y ＋1＝0，①不论m 为何实数，①式恒为零，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x -y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-1，y ＝2.故动直线恒过点(-1，2)．【点拨】此题属于数学中恒成立问题，所以证法一是先赋给m 两个特殊值得两条直线，那么这两条直线的交点就是那个定点，但m 只是取两个特殊值，是否m ∈R 时都成立，则要进行代入检验；证法二是将动直线方程按m 的降幂排列，由于∀m ∈R 恒成立，所以得关于x ，y 的方程组，解此方程组便得定点坐标．直线系也称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合．常见直线系方程有：(1)过定点(x 1，y 1)的直线系：y -y 1＝k (x -x 1)和x ＝x 1.(2)平行于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C )．(3)垂直于直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系：Bx -Ay ＋λ＝0.(4)过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不包括直线A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0)．(2016·湖南模拟改编)设直线系M ：x cos θ＋(y -2)sin θ＝1(0≤θ<2π)，对于下列四个命题：①当直线垂直y 轴时，θ＝0或π； ②当θ＝π6时，直线的倾斜角为120°；③M 中所有直线均经过一个定点；④存在定点P 不在M 中的任意一条直线上． 其中真命题的代号是____________．(写出所有真命题的代号)解：当直线垂直y 轴时，则cos θ＝0，解得θ＝π2或3π2，故①错；当θ＝π6时，直线方程为3x ＋y -4＝0，则直线的斜率为-3，所以直线的倾斜角为120°，故②正确；根据直线系M 知所有直线都为圆心为(0，2)，半径为1的圆的切线，所以没有过定点，故③错；存在定点(0，2)不在M 中的任意一条直线上，故④正确．故填②④.1．当直线的方程中含有字母参数时，不仅要考虑斜率存在与不存在的情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．两条直线的位置关系一般用斜率和截距来判定，但当直线方程用一般式给出且系数中有参数时，往往需要繁琐地讨论．但也可以这样避免：设两直线为A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则两直线垂直的条件为⎝ ⎛⎭⎪⎫-A 1B 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫-A 2B 2＝-1，由此得A 1A 2＋B 1B 2＝0，但后者适用性更强，因为当B 1＝0或B 2＝0时前者不适用但后者适用．3．运用直线系方程，有时会使解题更为简单快捷，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx -Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.4．运用公式d ＝||C 1-C 2A 2＋B 2求两平行直线间的距离时，一定要将两条直线方程中x ，y 的系数化成相等的系数，求两平行直线间的距离也可化归为点到直线的距离，即在一条直线上任取一点(如直线与坐标轴的交点)，求该点到另一条直线的距离即为两平行直线间的距离．这一方法体现了化归思想的应用．5．对称主要分为中心对称和轴对称两种，中心对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，所以根据线段的中点坐标公式和两条直线垂直的条件即可解决．1．过点A (2，3)且垂直于直线2x ＋y -5＝0的直线方程为( )A ．x -2y ＋4＝0B ．2x ＋y -7＝0C ．x -2y ＋3＝0D ．x -2y ＋5＝0解：由点斜式得所求直线方程为y -3＝12(x -2)，即x -2y ＋4＝0.故选A .2．过点(1，0)且与直线x -2y -2＝0平行的直线方程是( )A ．x -2y -1＝0B ．x -2y ＋1＝0C ．2x ＋y -2＝0D ．x ＋2y -1＝0解：设所求直线方程为x -2y ＋c ＝0，将(1，0)代入得c ＝-1.所以所求直线方程为x -2y -1＝0.故选A .3．两平行线3x ＋4y -9＝0和6x ＋my ＋2＝0之间的距离是( )A.85B ．2C.115D.75解：因为两直线平行，所以m ＝8，所以后一条直线方程可化为3x ＋4y ＋1＝0，由两平行直线间的距离公式得d ＝|1＋9|5＝2.故选B .4．(2015·武汉调研)直线x -2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y -1＝0B ．2x ＋y -1＝0C ．2x ＋y -3＝0D ．x ＋2y -3＝0解：设直线x -2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线为l 2，则l 2的斜率为-12，且过直线x -2y ＋1＝0与x＝1的交点(1，1)，则l 2的方程为y -1＝-12(x -1)，即x ＋2y -3＝0.故选D .5．(2015·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线解：因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P .又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行．故选D .6．(2016·宜春统考)已知直线l 过点P (3，4)且与点A (-2，2)，B (4，-2)等距离，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y -18＝0B ．2x -y -2＝0C ．3x -2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y -18＝0或2x -y -2＝0解：显然直线l 的斜率存在，依题意，设直线l ：y -4＝k (x -3)，即kx -y ＋4-3k ＝0，则有|-5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此-5k ＋2＝k ＋6或-5k ＋2＝-(k ＋6)， 解得k ＝-23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y -18＝0或2x -y -2＝0.故选D .7．(2016·山西模拟改编)已知a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点____________．解：由a ＋2b ＝1知ax ＋3y ＋b ＝0等价于(1-2b )x＋3y ＋b ＝0，即(x ＋3y )＋(1-2x )b ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，1-2x ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝-16，即定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，-16.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫12，-16.8．(2016·湖北模拟)设直线l 经过点A (-1，1)，则当点B (2，-1)与直线l 的距离最远时，直线l 的方程为__________．解：设点B 到直线l 的距离为d ，当d ＝|AB |时取得最大值，此时直线l 垂直于直线AB ，则k l ＝-1k AB ＝32，所以直线l 的方程为y -1＝32(x ＋1)，即3x -2y ＋5＝0.故填3x -2y ＋5＝0.9．已知两直线l 1：x ＋y sin θ-1＝0和l 2：2x sin θ＋y ＋1＝0，试求θ的值，使得：(1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解：(1)由12sin θ＝sin θ≠-11，得sin θ＝±22.由sin θ＝±22，得θ＝k π±π4(k ∈Z )． 所以当θ＝k π±π4(k ∈Z )时，l 1∥l 2.(2)由2sin θ＋sin θ＝0，得sin θ＝0，θ＝k π(k ∈Z )，所以当θ＝k π(k ∈Z )时，l 1⊥l 2.10．求直线l ：x -2y ＋6＝0关于点M (-1，1)对称的直线l ′的方程．解法一：取l 上的两点A (0，3)，B (-6，0)，求出它们关于点M 的对称点，A ′(-2，-1)，B ′(4，2)，再用两点式求出l ′的方程为x -2y ＝0.解法二：设点P ′(x ′，y ′)为所求直线l ′上的任意一点，则点P ′关于点M 在直线l 上的对称点为P (x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧-1＝x ＋x ′2，1＝y ＋y ′2得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝-2-x ′，y ＝2-y ′， 代入直线l的方程得(-2-x ′)-2(2-y ′)＋6＝0，得x ′-2y ′＝0，即x -2y ＝0为所求直线l ′的方程．11．设一直线l 经过点(-1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y -1＝0和l 2：x ＋2y -3＝0所截得线段的中点在直线x -y -1＝0上，求直线l 的方程．解法一：设直线x -y -1＝0与l 1，l 2的交点分别为C (x C ，y C )，D (x D ，y D )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y -1＝0，x -y -1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x C ＝1，y C＝0， 所以C (1，0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y -3＝0，x -y -1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x D＝53，y D＝23，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，23.所以CD 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13. 又l 过点(-1，1)，由两点式得l 的方程为： y -131-13＝x -43-1-43，即2x ＋7y -5＝0. 解法二：因为与l 1，l 2平行且与它们距离相等的直线方程为x ＋2y ＋-1-32＝0，即x ＋2y -2＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y -2＝0，x -y -1＝0 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.(以下同解法一)解法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y -2＝0，设所求方程为(x -y -1)＋λ(x ＋2y -2)＝0，① 因为(-1，1)在此直线上，所以-1-1-1＋λ(-1＋2-2)＝0，解得λ＝-3，代入①得2x ＋7y -5＝0.解法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋2y 1-1＝0，x 2＋2y 2-3＝0得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)-4＝0.①又AB 的中点在直线x -y -1＝0上， 所以x 1＋x 22-y 1＋y 22-1＝0.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝43，y 1＋y 22＝13.(以下同解法一)(2016·湖南模拟改编)已知抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线y ＝-kx ＋92对称，求实数k 的取值范围．解：设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)关于已知直线对称，显然k ≠0，所以x 21-x 22x 1-x 2＝1k ，即x 1＋x 2＝1k.又线段MN 的中点在直线y ＝-kx ＋92上，所以x 21＋x 222＝-k ·x 1＋x 22＋92＝-k ·12k ＋92＝4. 由于线段MN 的中点必在抛物线内，有x 21＋x 222>⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222，即4>⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2，所以k 2>116，解得k <-14或k >14.所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞，-14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.。

第九章⎪⎪⎪解析几何第一节 直线与方程突破点(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α≠π2，则斜率k ＝tan_α.(2)两点式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”直线的倾斜角与斜率1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率k k ＝tan α>0 k ＝0 k ＝tan α<0 不存在 倾斜角α锐角0°钝角90°本节主要包括3个知识点：1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系； 2．直线的方程；3.直线的交点、距离与对称问题.2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k ＝tan α的单调性，如图所示：当α取值在⎣⎡⎭⎫0，π2内，由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；当α取值在⎝⎛⎭⎫π2，π内，由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π (2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. [答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤－23，12 [易错提醒]直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．两直线的位置关系两直线平行或垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．(3)已知两直线的一般方程设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．[例2] (1)若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________. (2)已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．[解析] (1)因为两直线平行，所以有a (a －1)－2＝0，且2(a 2－1)＋6(a －1)≠0，即a 2－a －2＝0，且a 2＋3a －4≠0，解得a ＝2或a ＝－1.(2)l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] (1)2或－1 (2)1或0[易错提醒]当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．1.[考点一]直线2x cos α－y －3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3解析：选B 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， 所以12≤cos α≤32，因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.2.[考点一]直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.3.[考点二]若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C ∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋(2－m )＝0，m ＋2(2－m )≠0，解得m ＝1.故选C. 4.[考点二]已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( )A ．2或12B.13或－1 C.13D ．－1解析：选B 因为直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或a ＝－1.故选B.5.[考点一]直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：如图，∵k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， ∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)6.[考点二](2016·苏北四市一模)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)－2b ＝0， 即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1. 又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号， 故2a ＋3b 的最小值为25. 答案：25突破点(二) 直线的方程基础联通 抓主干知识的“源”与“流”直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x 0，y 0)，斜率k y －y 0＝k (x －x 0) 与x 轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b ，斜率k y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线 两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与x 轴、y 轴均不垂直的直线 截距式 横截距a ，纵截距bx a ＋y b ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面直角坐标系内所有直线考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求直线方程[例1] (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． (3)求过A (2,1)，B (m,3)两点的直线l 的方程．[解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (3)①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； ②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.[易错提醒](1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．与直线方程有关的最值问题[例2] 过点P (4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．(2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． [解] 设直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，因为直线l 经过点P (4,1)， 所以4a ＋1b ＝1. (1)4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，所以当a ＝8，b ＝2时，S △AOB ＝12ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2 a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y －6＝0.[方法技巧]1．给定条件求直线方程的思路(1)考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况． (2)在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程． (3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性． 2．与直线有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y . (2)将问题转化成关于x (或y )的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．1.[考点一]倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y＋1＝0.2.[考点一]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( )A ．4x －3y －3＝0B ．3x －4y －3＝0C ．3x －4y －4＝0D ．4x －3y －4＝0解析：选D 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.3.[考点二]若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.4.[考点二]若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0. 根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.答案：165.[考点一]△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程． 解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点， 由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.突破点(三) 直线的交点、距离与对称问题基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．两条直线的交点2．三种距离类型 条件距离公式两点间的距离点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2 点到直线的距离点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2两平行直线间的距离 两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”直线的交点问题[例1] (1)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)已知直线l 经过点P (3,1)，且被两条平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段长为5，则直线l 的方程为________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1，l 2的交点分别为A ′(3，－4)，B ′(3，－9)，截得的线段A ′B ′的长|A ′B ′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －3)＋1，x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. 由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋12＝52.解得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1.综上可知，所求直线l 的方程为x ＝3或y ＝1. [答案] (1)B (2)x ＝3或y ＝1 [方法技巧]1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．距离问题[例2] (1)若P ，Q 5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295(2)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________．[解析] (1)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设点P 的坐标为(a ，b )． ∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， ∴|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [答案] (1)C (2)(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 [易错提醒](1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．对称问题1．中心对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的两种类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称：①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．[例3] (1)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 为( ) A ．(1,6) B ．(6,1) C ．(1，－6)D ．(－1,6)(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0(3)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．[解析](1)设M (x ，y )，则⎩⎨⎧3＋x2＝1，2＋y2＝4，∴x ＝－1，y ＝6， ∴M (－1,6)．(2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.(3)设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.[答案] (1)D (2)A (3)6x －y －6＝0[方法技巧]解决两类对称问题的关键点解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．1.[考点三](2016·东城期末)如果平面直角坐标系内的两点A (a －1，a ＋1)，B (a ，a )关于直线l 对称，那么直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选A 因为直线AB 的斜率为a ＋1－aa －1－a＝－1，所以直线l 的斜率为1，设直线l的方程为y ＝x ＋b ，由题意知直线l 过点⎝⎛⎭⎫2a －12，2a ＋12，所以2a ＋12＝2a －12＋b ，解得b ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.选A.2.[考点二]若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：选A ∵直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，∴n ＝－2，m ＝2(负值舍去)．∴m ＋n ＝0.3.[考点一]已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫12，12B.⎝⎛⎭⎫22，22C.⎝⎛⎭⎫32，32D.⎝⎛⎭⎫52，52 解析：选A 因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，设直线AB 的方程为x ＋y ＋m ＝0，将A 点代入，解得m ＝－1，所以直线AB 的方程为x ＋y －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，12.4.[考点三]若m >0，n >0，点(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点在直线x －y ＋2＝0上，那么1m ＋4n 的最小值等于________．解析：由题意知(－m ，n )关于直线x ＋y －1＝0的对称点为(1－n,1＋m )．则1－n －(1＋m )＋2＝0，即m ＋n ＝2.于是1m ＋4n ＝12(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝12×⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥12×(5＋2×2)＝92，当且仅当m ＝23，n ＝43时等号成立． 答案：925.[考点一]经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)． ∵l ⊥l 3，直线l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0. 答案：4x ＋3y －6＝0 6.[考点二]已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程．(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0. 由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，因为k OP ＝－12，所以k l ＝－1k OP ＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)， 即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－ba ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋ba ＋1<1，∴b <1.由⎩⎨⎧b 21－2b>b ，b21－2b >0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示．设MC ＝m ，NC ＝n ，则S △MCN＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1.设D 到AC ，BC 的距离为t ，则t m ＝DN MN ，t n ＝DM MN ，∴t m ＋t n ＝DN MN ＋DM MN ＝1.∴t ＝mn m ＋n ，∴1t＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m ⎝⎛⎭⎫22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322，即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13.综合(1)、(2)可得：1－22<b <12.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b.∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．3．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.4．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( ) A.1710 B.175C ．8D ．2解析：选D ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋8y ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.5．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0，即m ×1＋2×2＋5＝0，所以m ＝－9.答案：－9[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a .故a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.3．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.4．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.522 B ．5 2 C.1522D ．15 2解析：选B 由题意得P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，则原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝|－10|2＝52，即P 到原点距离的最小值为5 2. 5．已知A ，B 两点分别在两条互相垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为( ) A ．11 B ．10 C ．9D ．8解析：选B 依题意，a ＝2，P (0,5)，设A (x,2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎨⎧x －2y2＝0，2x ＋y2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，所以A (4,8)，B (－4,2)，∴|AB |＝(4＋4)2＋(8－2)2＝10. 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋y －7＝0解析：选D 由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，所以直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.二、填空题7．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________． 解析：因为l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，即直线l 2的斜率为12.答案：128．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是__________________．解析：当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1,1)，B(0，－1)，所以k AB＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－12，所以直线l1的方程是y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝09．设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________．解析：b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，当直线y＝－2x＋b过点A(－1，0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值．∴b的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]10.如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1,0)，F(1,0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A1(2,4)，∴kA1F＝4.又点E(－1,0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2,1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1,4)，此时直线E2F的斜率不存在，∴k FD>kA1F，即k FD∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)三、解答题11．正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0. 12．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)由已知可得l 2的斜率存在， ∴k 2＝1－a .若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1. ∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，∴b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在． ∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1， 即ab (1－a )＝－1.① 又∵l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②由①②联立，解得a ＝2，b ＝2. (2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在，k 1＝k 2，即ab ＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .④联立③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.第二节 圆的方程本节主要包括2个知识点： 1.圆的方程；突破点(一)圆的方程基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b) 半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径：r＝D2＋E2－4F22.点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求圆的方程1．求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的三种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[例1] (1)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．(2)已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．(3)经过三点(2，－1)，(5,0)，(6,1)的圆的一般方程为________________． [解析] (1)依题意，设圆心坐标为C (a,0)， 则|CA |＝|CB |，即(a －5)2＋(0－1)2＝(a －1)2＋(0－3)2，则a ＝2. 故圆心为(2,0)，半径为10， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(3)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧22＋(－1)2＋2D －E ＋F ＝0，52＋02＋5D ＋0＋F ＝0，62＋12＋6D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－8，F ＝－5，故所求圆的一般方程为x 2＋y 2－4x －8y －5＝0.[答案] (1)(x －2)2＋y 2＝10 (2)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 (3)x 2＋y 2－4x －8y －5＝0 [方法技巧]1．确定圆的方程必须有三个独立条件不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．3．A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以AB 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．[例2] 已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1[解析] 圆C 1的圆心坐标为(－1,1)，半径为1， 设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －12－b ＋12－1＝0，b －1a ＋1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1. [答案] B能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]已知点A (－1，3)，B (1，－3)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4解析：选D 由题意知，AB 的中点为(0,0)， 即所求圆的圆心坐标为(0,0)， 设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，因为|AB |＝[1－(－1)]2＋(－3－3)2＝4， 所以圆的半径为2， 所以圆的方程为x 2＋y 2＝4.2.[考点一]若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋()y －12＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.()x －32＋(y －1)2＝1解析：选A 由于圆心在第一象限且与x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a >0)，又由圆与直线4x －3y ＝0相切可得|4a －3|5＝1，解得a ＝2，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 3.[考点二]已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R)对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ 解析：选A 将圆的方程化成标准形式得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，故选A. 4.[考点二]若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．解析：根据题意得，点(1,0)关于直线y ＝x 对称的点(0,1)为圆心，又半径r ＝1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：x 2＋(y －1)2＝15.[考点二]若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上的相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为________．解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx ＋2y －4＝0过圆心，则k ×(－1)＋2×3－4＝0，解得k ＝2.答案：26.[考点一]求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程． 解：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，即(2a＋3－2)2＋(a＋3)2＝(2a＋3＋2)2＋(a＋5)2，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝10.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.突破点(二)与圆的方程有关的综合问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”与圆有关的轨迹问题[例1]已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.[方法技巧]求与圆有关的轨迹问题的四种方法。

（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2两条直线的位置关系教师用书1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.【知识拓展】1．一般地，与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )；与之垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋n ＝0.2．过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2. 3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件： (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.( √ )(4)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.( × ) (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ )(6)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上．( √ )1．(2016·天津模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 答案 A解析 直线x －2y －2＝0可化为y ＝12x －1，所以过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程可设为y ＝12x ＋b ，将点(1,0)代入得b ＝－12.所以所求直线方程为x －2y －1＝0.2．(教材改编)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A.2B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 答案 C解析 依题意得|a －2＋3|1＋1＝1.解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.3．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 答案 D解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)， 又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直， 所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.4．(2017·绍兴柯桥区质检)设直线l 1：(a ＋1)x ＋3y ＋2＝0，直线l 2：x ＋2y ＋1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝________，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 答案 12－7解析 若l 1∥l 2，则a ＋1＝32，∴a ＝12，若l 1⊥l 2，则(a ＋1)＋6＝0，∴a ＝－7.题型一 两条直线的平行与垂直例1 (1)(2016·杭州质检二)设不同直线l 1：2x －my －1＝0，l 2：(m －1)x －y ＋1＝0.则“m ＝2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 当m ＝2时，代入两直线方程中， 易知两直线平行，即充分性成立． 当l 1∥l 2时，显然m ≠0，从而有2m＝m －1，解得m ＝2或m ＝－1，但当m ＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.(2)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. ①试判断l 1与l 2是否平行； ②当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 ①方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a，－3≠－a ＋，解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2. 方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －－1×2＝0，a a 2－－1×6≠0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－⇒a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.②方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由(－a 2)·11－a ＝－1⇒a ＝23.方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0⇒a ＝23.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)方法一 当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sin α≠0时，k 1＝－1sin α，k 2＝－2sin α. 要使l 1∥l 2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±22.所以α＝k π±π4，k ∈Z ，此时两直线的斜率相等．故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得2sin 2α－1＝0， 所以sin α＝±22，所以α＝k π±π4，k ∈Z . 又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.(2)因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2. 题型二 两条直线的交点与距离问题例2 (1)(2016·长沙模拟)求经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，且与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为________________．(2)直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________________．答案 (1)x ＋2y －7＝0 (2)x ＋3y －5＝0或x ＝－1解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点坐标为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0垂直的直线方程为x ＋2y ＋c ＝0， 则1＋2×3＋c ＝0，∴c ＝－7. ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0.(2)方法一 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|， ∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 方法二 当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等．(1)如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．解 与l 1、l 2平行且距离相等的直线方程为x ＋2y －2＝0. 设所求直线方程为(x ＋2y －2)＋λ(x －y －1)＝0， 即(1＋λ)x ＋(2－λ)y －2－λ＝0.又直线过(－1,1)， ∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x ＋7y －5＝0.(2)(2016·济南模拟)若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( ) A.52 2 B ．5 2 C.1522 D ．15 2 答案 B解析 设P 1P 2的中点为P (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.∵x 1－y 1－5＝0，x 2－y 2－15＝0. ∴(x 1＋x 2)－(y 1＋y 2)＝20，即x －y ＝10. ∴y ＝x －10，∴P (x ，x －10)， ∴P 到原点的距离d ＝x 2＋x －2＝x －2＋50≥50＝5 2.题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 (2016·苏州模拟)过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 如图，已知A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．3 3B ．6C ．210D ．2 5 答案 C解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)．则光线经过的路程为|CD |＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题例5 (2016·泰安模拟)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求：(1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解 设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)， ∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95，③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l ：3x －y ＋3＝0上取点M (0,3)关于(1,2)的对称点M ′(x ′，y ′)，∴x′＋02＝1，x′＝2，y′＋32＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.22．妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．思想方法指导因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)．规范解答解依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.二、垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系．可以考虑用直线系方程求解．典例2 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．规范解答解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.三、过直线交点的直线系典例3 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y ＋5＝0垂直的直线l的方程．思想方法指导 可分别求出直线l 1与l 2的交点及直线l 的斜率k ，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．规范解答解 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3， 所以直线l 的斜率为－43， 由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2， 即4x ＋3y －6＝0.方法二 设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0.又∵l ⊥l 3，∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0，解得λ＝11.∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.1．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 (1)充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行；(2)必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1. 所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件，故选A.2．(2016·台州模拟)已知两条直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：3x ＋ay ＋2＝0且l 1⊥l 2，则a 等于( )A ．－13 B.13C ．－3D ．3 答案 C解析 由l 1⊥l 2，可得1×3＋1×a ＝0，∴a ＝－3.3．(2016·山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0答案 A解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．4．(2016·兰州模拟)一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是( ) A. 2 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 点O (0,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为|O ′A |＝＋2＋－2＝2.故选B.5．(2016·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|PQ |的最小值为2910，故选C.6．(2016·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323答案 A解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345，故选A. 7．(2016·舟山训练)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________.答案 0或83解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b a －＝0，4a 2＋－b2＝|b |a －2＋1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝2.经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83. 8．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________． 答案 －1 1 2 2解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－－1＋1＝2 2.9．点P (2,1)到直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________．答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示，由图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |＝－2＋＋2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.10．(2016·重庆模拟)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案 (2,4)解析 如图，设平面直角坐标系中任一点P ，P 到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和为|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|PB |＋|PD |＋|PA |＋|PC |≥|BD |＋|AC |＝|QA |＋|QB |＋|QC |＋|QD |，故四边形ABCD 对角线的交点Q 即为所求距离之和最小的点．∵A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝x －，y －5＝－x －，得Q (2,4)．11．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解 (1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0，又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在．∴k 1＝k 2，即a b ＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b . 故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 12．(2016·北京朝阳区模拟)已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程． 解 依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4,3)． 设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.*13.已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件：①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12； ③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋－2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)． 若点P 满足条件②，则点P 在与l 1， l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上， 且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116， 所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0； 若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0； 由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－3，y 0＝12(舍去)；联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．。

§9.2 两直线的位置关系考纲展示►1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．考点1 两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔________；②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为________．(2)两条直线垂直①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔________；②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为________．答案：(1)①k1＝k2②平行(2)①k1k2＝－1 ②垂直2．两条直线的交点答案：唯一解无解无穷多解(1)[教材习题改编]若直线l过点(－1,2)，且与直线y＝x垂直，则直线l的方程是________．答案：x＋y－1＝0解析：由条件知，直线l的斜率k＝－1，则其方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)[教材习题改编]过点A (4，a )和B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝________.答案： 2解析：依题意有b －a5－4＝1，即b －a ＝1，则|AB |＝b －a2＋－2＝ 2.两直线位置关系的重点：平行和垂直．(1)若直线l 1：2x ＋my ＋1＝0与直线l 2：y ＝3x －1平行，则m ＝________. 答案：－23解析：若l 1∥l 2，则需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧－2m＝3，1m ≠1，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－23，m ≠1，所以m 的值是－23.(2)[2016·辽宁锦州模拟]若直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝________.答案：－3或1解析：由k (k －1)＋(1－k )(2k ＋3)＝0，得k ＝1或k ＝－3.[典题1] (1)[2017·重庆巴蜀中学模拟]若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于( )A ．1B ．－13C ．－23 D ．－2[答案] D[解析] 由a ·1＋2·1＝0，得a ＝－2，故选D.(2)[2017·浙江金华十校模拟]“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行，得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．(3)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0[答案] A[解析] 依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.(4)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．[答案] 4x ＋3y －6＝0 [解析] 解法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．∵l ⊥l 3，∴直线l 的斜率k ＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.解法二：∵直线l 过直线l 1和l 2的交点，∴可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. ∵l 与l 3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0. [点石成金] 1.由一般式确定两直线位置关系的方法在判断两直线位置关系时，比例式1A 2与1B 2，1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．2．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点．3．常见的三大直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )．(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.考点2 距离公式的应用三种距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12距离问题中的易错点：平行线间的距离．两平行直线3x －4y －1＝0与6x －8y ＋18＝0间的距离是________． 答案：2解析：两平行直线的方程分别是3x －4y －1＝0和3x －4y ＋9＝0， 由两平行线间的距离公式得， 所求距离d ＝|－1－9|32＋－2＝2.两平行直线l 1，l 2分别过点A (1,0)，B (0,5)，若l 1与l 2间的距离为5，则l 1与l 2的方程分别为________．答案：y ＝0与y ＝5或5x －12y －5＝0与5x －12y ＋60＝0 解析：依题意，两条直线的斜率必存在．设所求直线方程为l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝kx ＋5. ∵两条平行直线间的距离为5， ∴|5＋k |1＋k2＝5，解得k ＝0或k ＝512，∴所求直线方程为l 1：y ＝0，l 2：y ＝5或l 1：5x －12y －5＝0，l 2：5x －12y ＋60＝0.[典题2] 直线l 经过点P (2，－5)且与点A (3，－2)和点B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．[解] 当直线l 与x 轴垂直时，此时直线l 的方程为x ＝2，点A 到直线l 的距离为d 1＝1，点B 到直线l 的距离为d 2＝3，不符合题意， 故直线l 的斜率必存在，设为k ， ∵直线l 过点P (2，－5)，∴设直线l 的方程为y ＋5＝k (x －2)， 即kx －y －2k －5＝0.∴点A (3，－2)到直线l 的距离d 1＝|3k －－－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1，点B (－1,6)到直线l 的距离d 2＝|－k －6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1.∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12，∴k 2＋18k ＋17＝0，∴k 1＝－1，k 2＝－17. ∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0和17x ＋y －29＝0. [点石成金] 利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数化为相等.1.[2017·四川绵阳一诊]若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 答案：C解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知，|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 2．直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1解析：解法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则它的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知，|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 综上知，所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.解法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)， ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.考点3 对称问题[考情聚焦] 对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 主要有以下几个命题角度： 角度一点关于点的中心对称问题[典题3] 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．[答案] x ＋4y －4＝0[解析] 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4， 即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 角度二点关于直线的对称问题[典题4] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 [解析] 设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.角度三直线关于直线的对称问题[典题5] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．[解] 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式，得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度四 对称问题的应用[典题6] 在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于________．[答案] 43[解析] 以AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43， 设AP ＝x ，则P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的反射定理知，点P 关于直线BC ，AC 的对称点P 1(4,4－x )，P 2(－x,0)，与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线， 所以4343＋x ＝43－－x 43－4，解得x ＝43，AP ＝43.[点石成金] 1.点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .2．解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直．3．若直线l 1，l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上．4．解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.[方法技巧] 1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1，l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；(2)平行：Ax ＋By ＋n ＝0.3．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)，则： (1)l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0；(2)l 1∥l 2⇔A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)； (3)l 1与l 2相交⇔A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)； (4)l 1与l 2重合⇔A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)．4．对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．[易错防范] 1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A2＋B 2的前提是将两方程中的x ，y 的系数化为对应相等．真题演练集训1．[2016·四川卷]设直线l 1，l 2分别是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x >1图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)答案：A解析：不妨设P 1(x 1，ln x 1)，P 2(x 2，－ln x 2)， 由于l 1⊥l 2，所以1x 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＝－1，则x 1＝1x 2.又切线l 1：y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，l 2：y ＋ln x 2＝－1x 2(x －x 2)，于是A (0，ln x 1－1)，B (0,1＋ln x 1)，所以|AB |＝2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y －ln x 1＝1x 1x －x 1，y ＋ln x 2＝－1x2x －x 2，解得x P ＝2x 1＋1x 1.所以S △PAB ＝12×2×x P ＝2x 1＋1x 1，因为x 1>1，所以x 1＋1x 1>2，所以S △PAB 的取值范围是(0,1)，故选A.2．[2013·新课标全国卷Ⅱ]已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A. (0,1)B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C. ⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12 答案：B解析：如图①所示，点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a，0在线段AB 上时，可求得E ⎝⎛⎭⎪⎫1－b a ＋1，a ＋b a ＋1， 则S △EFB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝12S △ABC ＝12，整理得a ＝b 21－2b， 由⎩⎪⎨⎪⎧－1≤－ba <0，a ＝b21－2b >0，可解得13≤b <12；①②如图②所示，当点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ba，0在点A 左侧时，可求得E ⎝⎛⎭⎪⎫1－b a ＋1，a ＋b a ＋1，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b a －1，a －b a －1， 则S 四边形ABEG ＝S △BEF －S △AFG ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋b a ·a －b a －1＝12S △ABC ＝12，整理可得a 2＝－2b 2＋4b －1，由⎩⎪⎨⎪⎧－b a <－1，a 2＝－2b 2＋4b －1>0，可解得1－22<b <13或1<b <1＋22(舍去)． 综上可得，b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12，故选B. 3．[2014·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．答案：－3解析：由曲线y ＝ax 2＋b x过点P (2，－5)可得 －5＝4a ＋b2.①又y ′＝2ax －b x2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72.②由①②解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.4．[2014·四川卷]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．答案：5解析：∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ， ∴A (0,0)，B (1,3)．当点P 与点A (或B )重合时，|PA |·|PB |为零；当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，∴△APB 为直角三角形， ∴|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，∴|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|PA |＝|PB |时，上式等号成立．课外拓展阅读直线过定点及直线的距离最值问题专题一 直线过定点问题直线l 的方程中除去x ，y 还有其他字母(称为参数)，若直线l 过一个定点P ，求定点P 的坐标时，通常对参数分别取两个具体的值，将所得的两个方程联立得方程组，由方程组的解可得定点P 的坐标．[典例1] 已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点为P (2,3)，求过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)(a 1≠a 2)的直线方程．[思路分析] 由两直线过定点得出系数之间的关系，从而得出直线方程． [解] 因为点P (2,3)在已知直线上， 所以2a 1＋3b 1＋1＝0,2a 2＋3b 2＋1＝0， 所以2(a 1－a 2)＋3(b 1－b 2)＝0， 即b 1－b 2a 1－a 2＝－23， 所以所求直线方程为y －b 1＝－23(x －a 1)．所以2x ＋3y －(2a 1＋3b 1)＝0，即2x ＋3y ＋1＝0.[典例2] 点P (2,1)到直线mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是________． [思路分析][解析] 解法一：点P (2,1)到直线mx －y －3＝0(m ∈R )的距离d ＝|2m －1－3|m 2＋1＝|2m －4|m 2＋1，则设f (m )＝d 2＝m －2m 2＋1＝4×m 2－4m ＋4m 2＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3－4m m 2＋1， 下面求3－4m m 2＋1(m ∈R )的最大值．设3－4m ＝t ，则m ＝3－t4.当m <34时，t >0，则3－4m m 2＋1＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－t 42＋1＝16t t 2＋25－6t ＝16t ＋25t －6 ≤16225－6＝4，当且仅当t ＝25t，即t ＝5时等号成立；当m ＝34时，3－4m m 2＋1＝0；当m >34时，t <0，则0>3－4m m 2＋1＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－t 42＋1＝16tt 2＋25－6t＝16t ＋25t－6≥16－225－6＝－1， 当且仅当t ＝25t，即t ＝－5时等号成立．综上可得，3－4mm 2＋1(m ∈R )的最大值为4，所以点P (2,1)到直线mx －y －3＝0(m ∈R )的最大距离是＋＝2 5.解法二：对于直线l ：mx －y －3＝0(m ∈R )， 令m ＝0，则有－y －3＝0； 令m ＝1，则有x －y －3＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－y －3＝0，x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3，则直线l 经过定点Q (0，－3)，如图所示．由原题答图知，当PQ ⊥l 时，点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值，此时|PQ |＝－2＋＋2＝25，所以点P (2,1)到直线l 的最大距离是2 5. [答案] 2 5 方法探究受思维定式的影响，很容易想到解法一，这种方法看起来可行，但是在具体求解时很繁琐，解法二应用数形结合的思想，方便简捷，是最优解法，值得学习和借鉴．专题二 有关直线的距离最值问题[典例3] 已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)． (1)在直线l 上求一点P ，使|PA |＋|PB |最小；(2)在直线l 上求一点P ，使||PB |－|PA ||最大． [思路分析][解] (1)设A 关于直线l 的对称点A ′(m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2＝－2，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8，故A ′(－2,8)．P 为直线l 上的一点，则|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |≥|A ′B |，当且仅当B ，P ，A ′三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值，为|A ′B |， 则点P 就是直线A ′B 与直线l 的交点，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，故所求的点P 的坐标为(－2,3)．(2)A ，B 两点在直线l 的同侧，P 是直线l 上的一点，则||PB |－|PA ||≤|AB |， 当且仅当A ，B ，P 三点共线时，||PB |－|PA ||取得最大值，为|AB |， 则点P 就是直线AB 与直线l 的交点， 又直线AB 的方程为y ＝x －2，解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x －2y ＋8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝10，故所求的点P 的坐标为(12,10)．[典例4] 已知点A (3,1)，在直线y ＝x 和y ＝0上各找一点M 和N ，使△AMN 的周长最短，并求出最短周长．[思路分析][解] 由点A (3,1)及直线y ＝x ，可求得点A 关于y ＝x 的对称点为点B (1,3)，同样可求得点A 关于y ＝0的对称点为点C (3，－1)，如图所示．则|AM |＋|AN |＋|MN |＝|BM |＋|CN |＋|MN |≥|BC |，当且仅当B ，M ，N ，C 四点共线时，△AMN 的周长最短，为|BC |＝2 5. 由B (1,3)，C (3，－1)可得，直线BC 的方程为2x ＋y －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝53，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，53.对于2x ＋y －5＝0，令y ＝0，得x ＝52，故点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0. 故在直线y ＝x 上找一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，53，在y ＝0上找一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，可使△AMN 的周长最短，最短周长为2 5.领悟整合在直线l 上找一点P 到两定点A ，B 的距离之和最小，则点P 必在线段AB ′上，故将l 同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点P 到两定点A ，B 的距离之差最大，则点P 必在AB ′的延长线或BA ′的延长线上，故将l 异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A ′，B ′为点A ，B 关于l 的对称点)．提醒 完成课时跟踪检测(四十八)。