高中数学中的八种构造对偶式解题方法

构造法在高中数学解题中的应用方法构造法是数学解题的一种常用方法，它通过构造一些合适的图形或者算式，从而得出问题的解。

下面将详细介绍在高中数学解题中的应用方法。

1.构造举例法构造举例法是指通过举例子来说明问题的性质和解法。

在解决问题时，可以先为问题中的某些元素赋予具体的值，然后通过计算和观察找出规律或者结论，进而解决问题。

在解决函数的性质或者图形的性质的问题时，可以通过构造一些特殊的函数或者图形来观察其特点，然后得出结论。

2.构造等价问题法构造等价问题法是指将原问题转化为一个与原问题性质类似但更易解决的等价问题，然后解决该等价问题，最后将等价问题的解转化为原问题的解。

在解决问题时，可以通过思考和变换，将原问题转化为一个已知的问题或者与已知问题相似的问题。

在解决几何证明问题时，可以通过构造一些辅助线或者引入一些辅助概念，将原问题转化为已知的几何定理或者性质，从而简化问题的解决过程。

3.构造反证法构造反证法是指通过假设原命题不成立，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。

在解决问题时，可以假设问题的反面或者与问题相反的情况，然后推导出矛盾的结论，从而证明问题的真实性。

在解决一些证明问题时，可以对问题做出一个取非的假设，然后通过逻辑推导得出一个矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。

4.构造递归法构造递归法是指通过递归地应用某一规则或者某一性质，依次构造解的方法。

在解决问题时，可以通过将问题分解为若干个子问题，并且将子问题的解合并为原问题的解，从而解决问题。

在解决数列的性质问题时，可以通过递归地应用数列的递推公式，依次计算出数列的各项值，从而得到数列的性质。

构造法在高中数学解题中具有很大的灵活性和实用性。

通过构造法，可以把抽象的问题转化为具体的问题，通过观察和计算得出结论，从而解决问题。

构造法还可以帮助学生培养创造力和逻辑思维能力，提高解题的效率和准确性。

在高中数学教学中，应该鼓励学生灵活运用构造法，积极参与解题，提高数学解决问题的能力。

十、构造法解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。

在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。

历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。

数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。

近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。

构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。

用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。

但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。

再现性题组 1、求证： 31091022≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则42511≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a（构造图形、复数）4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。

（构造向量） 5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当ca b 111+=时取等号。

构造对偶式对偶式是一种重要的数学工具，被广泛应用于许多数学问题的解答中。

其本质是将多个数学问题分解成一个等价的“对偶问题”，在求解对偶问题的过程中，更容易把握全局性的有用信息，随后可以利用这些信息，更有效地找出原有问题的解答。

构造对偶式，也就是将原有复杂问题转换为一个对偶问题，这是一种基本的数学方法。

换言之，就是把目标函数中的目标变量的函数值变成函数的极大或极小值，从而获得意义清楚、应用范围较广的独立极值问题。

以最优化问题为例，将原有问题转换为对偶问题的基本步骤如下：（1）构造拉格朗日函数：根据原有最优化问题，构造目标函数以及约束函数；（2）构建拉格朗日对偶函数：将原有最优化问题中的目标变量变换成拉格朗日乘子，将原有目标函数拉格朗日乘子四则运算后，消除原有目标变量，重组拉格朗日乘子，得到拉格朗日对偶函数；（3）处理拉格朗日对偶函数：将原有约束函数替换成拉格朗日乘子，然后将拉格朗日对偶函数的拉格朗日乘子进行四则运算，消除拉格朗日乘子，得到新的拉格朗日对偶函数；（4）解拉格朗日对偶函数：设定拉格朗日乘子的取值范围，然后用方程的解法求解拉格朗日对偶函数；（5）拆解拉格朗日函数：将原有目标函数中的拉格朗日乘子重新带入，将拉格朗日乘子拆解，求得原有问题的最优解。

构造对偶式在当今数学领域中占有重要位置，它可以将复杂的约束优化问题转换成一个简单的求解的问题，从而减少解决复杂优化问题的困难，并有助于求解规模大、精度要求高以及约束多的优化问题。

由于构造对偶式把复杂优化问题分解成一系列相互连接的子问题，这些子问题本身都是相对容易求解的，因此构造对偶式有助于解决多变量函数最优化问题。

此外，构造对偶式还可以有效地求解非凸优化问题，即在优化函数具有显著非凸特征时，能够高效地得出较优解。

总而言之，构造对偶式是一种十分重要的数学工具，可以有效求解多变量函数最优化问题，以及非凸优化问题，是许多应用层面的数学设计中经常用到的好方法。

巧用对偶式解题
求解对偶式是解决一定机器学习问题的常用方法。

首先，定义原始问题，即要求的最优解的函数（最小化或最大化），以及可变量，然后用数
学技巧将原始问题变换为其对偶式。

对偶式是原始问题的函数的另一种形式，可以用更简单的方式描述原始问题，同时允许有效地算出最优解。

例如，设计一个模型，试图最大化一个变量x的目标函数f(x)，其中x是
一系列约束条件之间的决策变量。

这时可以将f(x)变换为其对偶式f*(y)，其中y是由变量x的约束条件生成的拉格朗日乘子。

然后使用拉格朗日乘
子来最大化f*(y)，以获得最优解x。

构造“对偶式”，巧解数学问题在解答某些数学问题时，针对已知式M 的结构特征，构造一个或几个与之相关联的式子N ，使M 与N 经过相加、相减、相乘、相除等运算之后，所需解答的问题得到合理的转化和解决。

这种解题方法称之为构造“对偶式”解题，是一种极其巧妙的解题方法。

通过构造对偶式可以巧妙地解决多项式求值、恒等式证明、求函数的最值、解方程(组以及求解析式等，当然难点在于如何构造解题所需要的“对偶式”。

典型例题1求证:2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ≤5。

【分析】本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的方法，构造对偶式，则比较容易证明【解析】【证明】设A =2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ，B =2cos 4x +3cos 2x sin 2x +5sin 4x ，则 A +B =7sin 4x +cos 4x +6sin 2x cos 2x =7sin 2x +cos 2x 2-8sin 2x cos 2x=7-2sin 22x =5+2cos 22x ，①A -B =3cos 4x -sin 4x =3cos2x ，②①+②，得 2A =5+2cos 22x +3cos2x =5+2cos2x +342-916 ≤5+21+34 2-916=10所以A ≤5，命题得证2已知α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，且α>β，不解方程，求2α+3β2的值。

【分析】 若要不解方程求2α+3β2的值, 因为2α+3β2是非对称式, 无法化为αβ及α+β的形式,所以需要构造2α+3β2相应的对偶式2β+3α2，两者结合就可以化为αβ及α+β的形式，然后运用韦达定理,从而求出2α+3β2的值.【解析】设A =2α+3β2，构造对偶式B =2β+3α2。

∵α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，∴α+β=7，αβ=8。

!巧构对偶式!妙解数学题"重庆市璧山中学!杨帆对偶!在语文中是一种修辞手法!如岳飞"满江红#中的诗句'三十功名尘与土!八千里路云和月(就是对偶句!殊不知!数学中也有对偶!处处可见给人以美感的对偶关系!有加便有减!有乘便有除!有几何就有代数!诸如此类!无不体现出数学中的对偶关系!然而!本文要讲的是另外一种对偶!一种隐藏在解题过程中的对偶式!要求解题者为了便于解题有意识去发现去构造的对偶式!这样的对偶式该如何构造呢+本文举例说明!!和差对偶 水到渠成和与差是一种对偶关系!如果我们遇到表达式O)&*L P)&*!那么可尝试构造表达式O)&*=P)&*来作为它的对偶关系式!利用这种关系来解题!可谓棋高一招!例!!)#*若"%$%'!!且,@56$*&21@$$/!求<:6$的值!)!*已知7!H!8!C5+!且7!*H!*8!*C!4#!求证%)7*H*&*)7*8*&*)7*C*&*)H*8*&*)H*C*&*)8*C*&4+!解 )#*由,@56$*&21@$$/想到构造,@56$"&21@$$%!于是由,@56$*&21@$$/!,@56$"&21@$$%!3得@56$$/*%+!21@$$/"%-!./再根据@56!$*21@!$$#!就可求得%$"$/!所以<:6$$,&!)!*证明%设D$)7*H*&*)7*8*&*)7*C*&*)H*8*&*)H*C*&*)8*C*&!则构造E$)7"H*&*)7"8*&*)7"C*&*)H"8*&*)H"C*&*)8"C*&!于是D*E$+)7&*H&*8&*C&*!7!H!*!7!8!*!7!C!*!H!8!*!H!C!*!8!C!*$+)7!*H!*8!*C!*!4+!又E,"!所以D4+!这样原不等式就成立了!"互倒对偶 由此及彼互倒对偶!就是指分子分母互换!由一个式子变出另一个式子!将它们相乘或建立方程组!往往会出现一些数学中的'奇特(现象!使数学解题更方便!更简捷!令人拍案叫绝!例"!)#*若&!%!@5)"!#*!求证%##"&*%*##"%*@*##"@*&,,!)!*已知对任意实数&5)"H!"*7)"!*H*总有/)&**!/#&)**&$"成立!试求函数%$/)&*的表达式!解 )#*证明%令D$##"&*%*##"%*@*##"@*&!构造对偶式!再令E$)#"&*%**)#"%*@**)#"@*&*$,!于是D*E$##"&*%*)#"&*%**##"%*@*)#"%*@**##"@*&*)#"@*&**##"%*@,!*!*!$+!而E$,!故D,,!即##"&*%*##"%*@*##"@*&,,!原不等式成立!)!*由于/)&**!/#&)**&$"!!!只需用#&替代上式中的&!便可构造对偶式/#&)**!/)&**#&$"!!"由!""2!!得/)&**&"&/)&*"!&$"!故/)&*$&!"!&,&)&$"*!#倒序对偶 配对成双在数列求和问题中!出现了一种倒序相加的求和"#备习备考解法探究!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.!方法!像当初数学小王子高斯就是用了倒序相加法求出了#*!*,*//*#""$/"/"的结果!其实高斯就是利用倒序构造对偶式!这种方法不仅对数列求和有用!对组合数求和问题也有立竿见影的效果!例#!)#*求和%A $4#:*!4!:*,4,:*&4&:*//*:4::&)!*在正项等比数列37:4中!Q $7#07!07,0//07:!A $7#*7!*7,*//*7:!试用A !Q 表示,$#7#*#7!*/*#7:!解析 )#*因为4#:$4:"#:!"4#4:!:5,8!故想到倒序构造对偶式%由A $"04":*4#:*!4!:*//*:4::!构造对偶式%A $:4":*):"#*4#:*):"!*4!:*//*"4::"把"化为%A $"04":*4#:*!4!:*//*:4::#!*#!得:4":*:4#:*//*:4:"#:*:4::!所以!A $:4":*:4#:*//*:4:"#:*:4::$:)4":*4#:*//*4:"#:*4::*!所以!A $:0!:!所以A $:0!:"#!)!*本题若用传统解法!需对I $#和I $#两种情形讨论!会陷入漫漫无期的运算绝境!而构造倒序对偶式!却能'柳暗花明又一村(!根据题意!得Q $7#07!07,0//07:!构造倒序对偶式%Q $7:07:"#07:"!0//07#"!2"!得Q !$)7#07:*0)7!07:"#*0//0)7:07#*$)7#07:*!!即Q $)7#07:*!再看%,$#7#*#7!*//*#7:#构造倒序对偶式%,$#7:*#7:"#*//*#7#$#*$!得!,$#7#*#7:)**#7!*#7:"#)**//*#7:*#7#)*!即!,$7#*7:7#07:*7!*7:"#7!07:"#*//*7:*7#7:07#!根据等比数列性质!右边的分母都是7#07:!故!,$)7#*7:**)7!*7:"#**//*)7:*7#*7#07:!即!,$!A 7#7:!所以,$A7#7:!又因为7#7:$Q !所以,$A Q$A:Q 槡!!$互余对偶独领风骚三角函数中的正弦与余弦!也是对偶元素!@56!&*21@!&$#!体现了它们之间的内在联系!正弦可以变成余弦!余弦也可以变成正弦!我们利用对偶函数来构造对偶式!同样也能解决一些看似不能解决的三角问题!例$!)#*已知&5"!'!12!解方程%21@!&*21@!!&*21@!,&$#&)!*试求@56!#"G *21@!&"G *@56#"G 21@&"G 的值!解析 )#*令D $21@!&*21@!!&*21@!,&!则可构造对偶式%E $@56!&*@56!!&*@56!,&!于是D *E $,!D "E $21@!&*21@&&*21@+&$!21@&21@,&*!21@!,&"#$!21@,&)21@&*21@,&*"#$&21@&21@!&21@,&"#!所以D "E $&21@&21@!&21@,&"#"!*"!得21@&21@!&21@,&$#&)!D "!*!又因为D $#!所以21@&21@!&21@,&$"!所以21@&$"或21@!&$"或21@,&$"!&5"!'!12!所以&$'+或&$'&或&$'!!)!*令D $@56!#"G *21@!&"G *@56#"G 21@&"G !根据正余弦平方和为#!构造对偶式%E $21@!#"G*@56!&"G "21@#"G @56&"G !于是D *E $!*@56#"G 21@&"G *21@#"G @56&"G $!*@56/"G!D "E $"21@!"G *21@-"G *@56#"G 21@&"G "21@#"G @56&"G $"!@56/"G @56,"G "@56,"G $"#!"@56/"G !所以D *E $!*@56/"G !D "E $"#!"@56/"G!./0所以D $,&!当然数学解题中的对偶式的构造远不止以上四种!比如!还有利用奇偶构造!利用轮换式构造!利用共轭关系构造!利用和为定值构造!利用积为定值构造等等!构造对偶式的目的只有一个!即优化解题过程!提高解题速度!发展数学思维能力!同时!我们也欣赏到了数学的内在美!激发了学习数学的兴趣!去追求数学解题的最高境界,,,简捷!-##!"!!年!月上半月解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

一些经典的对偶问题解决原问题的例子摘要：1.引言2.对偶问题的定义和性质3.解决对偶问题的方法4.对偶问题解决原问题的例子5.结论正文：【引言】在数学和计算机科学中，对偶问题是一种常见的问题形式。

对偶问题通常与原问题相对应，并且它们的解可以相互转换。

解决对偶问题往往比解决原问题更加容易，因此，研究对偶问题解决原问题的方法具有一定的理论意义和实际价值。

本文将通过一些经典的例子，介绍对偶问题解决原问题的方法。

【对偶问题的定义和性质】对偶问题是指在数学规划中，给定一个原始问题（原问题），通过对原问题进行一定的变换，得到一个新的问题（对偶问题），使得原问题和对偶问题的解在某种意义上具有一致性。

对偶问题的性质包括：对偶性、稳定性、互补性、弱对偶性等。

【解决对偶问题的方法】解决对偶问题的方法有很多，主要包括以下几种：1.拉格朗日对偶法：拉格朗日对偶法是一种基于拉格朗日乘子法的对偶问题解决方法，通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为对偶问题，进而求解。

2.内点法：内点法是一种基于预测- 校正策略的原始- 对偶路径跟踪算法，通过在每次迭代中预测对偶变量，然后校正预测值，最终收敛到对偶问题的最优解。

3.第一次约束松弛法：第一次约束松弛法是一种启发式方法，通过在每次迭代中松弛原问题的约束，从而加速对偶问题的求解。

【对偶问题解决原问题的例子】以下通过两个经典的例子，介绍对偶问题解决原问题的方法：例子1：线性规划问题给定原问题：max c^T xs.t.A x ≤ b其中，c 和b 分别为常数向量，A 为系数矩阵，x 为变量向量。

对偶问题：min b^T ys.t.y ≤ A^T x其中，y 为对偶变量。

通过拉格朗日对偶法，可以将原问题转化为对偶问题，进而求解。

例子2：运输问题给定原问题：min cs.t.∑ a_ij x_ij = c其中，a_ij 为运输成本矩阵，x_ij 为运输量。

对偶问题：max b_ijs.t.∑ a_ij y_ij ≤ b_ij其中，b_ij 为对偶变量。

逻辑函数对偶式的求法1.引言1.1 概述逻辑函数是数学中重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。

在逻辑电路设计、布尔代数和计算机科学等领域中，逻辑函数被广泛应用。

本文旨在讨论逻辑函数的一个重要的求解方法——对偶式。

对偶式是指通过改变逻辑函数的输入变量和结果的真值，得到的一个新的函数。

它在逻辑设计和优化中具有重要的意义，可以帮助我们简化逻辑电路的复杂性和提高系统的性能。

在本文中，我们将首先介绍逻辑函数的定义和性质，包括函数的输入和输出变量，真值表和逻辑表达式等基本概念。

然后，我们将详细讨论逻辑函数对偶式的定义和作用，以及相关的求解方法。

通过具体的例子和推导过程，我们将帮助读者理解如何通过对偶式来简化逻辑函数和提高逻辑电路的性能。

本文的目的是帮助读者掌握逻辑函数对偶式的求解方法，从而在逻辑电路设计和优化中能够灵活应用。

通过深入理解逻辑函数和对偶式的相关概念和原理，读者将能够更好地理解和应用逻辑电路设计中的技术，提高系统的性能和效率。

在下一节的正文中，我们将介绍逻辑函数的定义和性质，为后续讨论逻辑函数对偶式的方法做准备。

请继续阅读下一节。

1.2 文章结构本篇文章主要包括引言、正文和结论三个部分。

首先，引言部分将对文章的主题进行概述，介绍逻辑函数对偶式的背景和意义，并阐述文章的目的，即探讨逻辑函数对偶式的求法。

接下来，正文部分将分为两个小节展开讨论。

首先，我们将介绍逻辑函数的定义和性质，包括逻辑函数的基本概念、逻辑运算和逻辑函数的性质，为读者提供必要的基础知识。

其次，我们将探讨逻辑函数的真值表和逻辑表达式，介绍它们的作用和应用，并给出一些实际例子进行解析。

通过对逻辑函数的真值表和逻辑表达式的分析，读者可以更好地理解逻辑函数的运算规律和逻辑关系。

最后，结论部分将对逻辑函数对偶式的定义和作用进行解释，并介绍一些求解逻辑函数对偶式的方法。

我们将通过详细的步骤和示例演示如何将给定的逻辑函数转化为对偶式，并给出一些注意事项和技巧。

构造函数法证明不等式的七种方法（其实高考中证明不等式时十有八九都需要构造函数，因此下面的前四种方法必须掌握）1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。

【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。