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《直线与圆、圆与圆的位置关系》示范公开课教学PPT课件【高中数学必修2(北师大版)】

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2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)

2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)

(1＋m2)x2－2(m＋2)x＋1＝0. Δ＝4(4m＋3)． 3 ∴当Δ>0即m>－4时，直线与圆相交； 3 当Δ＝0即m＝－4时，直线与圆相切； 3 当Δ<0即m<－4时，直线与圆相离．
法二：将圆的方程化为(x－2)2＋y2＝4. 得圆心C(2,0)，半径r＝2， |2m－1| 圆心C到直线mx－y－1＝0的距离d＝ 2. 1＋m 2m－12 3 当d<2，即 <4，m>－4时，直线与圆相交； 1＋m2 3 当d＝2，即m＝－4时，直线与圆相切； 3 当d>2，即m<－4时，直线与圆相离．
要注意作图的准确性，分类讨论时要做到不重不 漏．
与直线y＝2x＋5相切的圆的方程．
解：法一：设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 3－a2＋2－b2＝r2， b＝2a， 依题意得 |2a－b＋5| 22＋－12＝r，
a＝2， 解这个方程组，得b＝4， r＝ 5， ∴所求的圆的方程为：
4 a＝5， 8 或 b＝5， r＝ 5.
2．已知直线l：3x＋y－6＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，
判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求出它们
交点的坐标．
解：法一：由直线与圆的方程得
3x＋y－6＝0， 2 x ＋y2－2y－4＝0.
消去y，得x2－3x＋2＝0.
∵Δ＝(－3)2－4×1×2＝1>0， ∴直线与圆相交，有两个交点．
3 5 B. 5 6 5 D. 5
(
)
解析：圆心为( 6 2－5＝5 5.
|2－0－1| 1 ＝ ，弦长l＝2 r2－d2＝2 5 5
答案：D
7．(2012· 安徽重点中学统考)设直线ax－y＋3＝0与圆 (x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的 长为2 3，则 a＝________.

高中数学第二章解析几何初步2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第二课时圆与圆的位置关系课件北师大版必修2

高中数学第二章解析几何初步2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第二课时圆与圆的位置关系课件北师大版必修2
第二课时 圆与圆的位置关系
[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法． 2.能利用直线与圆 的位置关系解决简单的实际问题． 3.体会用代数方法处理几何问题的思想.
课前自主学习
【主干自填】
圆与圆的位置关系及判定 已知两圆 C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r21，C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r22， 则圆心分别为 C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为 r1，r2，圆心距 d＝|C1C2|
答案
类题通法 求弦长的常用方法
(1)求圆的弦长，一般运用垂径定理构造直角三角形，利用半径、弦心距 先求半弦长，即得弦长．
(2)求两圆的公共弦长及公共弦所在直线方程一般不用求交点的方法，常 用如下方法：
[变式训练2] 判断两圆 C1：x2＋y2－2x＝0 与 C2：x2＋y2－4y＝0 的位 置关系．若相交，求其公共弦长．
答案
解析
答案
由圆 C1 的方程，易得 C1(1,0)，|AC1|＝1. 两圆的方程相减，得直线 OA 的方程为 x－2y＝0.
从而|C1M|＝ |112－＋2×－02|2＝ 15.
于是|OA|＝2|AM|＝2
|AC1|2－|C1M|2＝2

12－
152＝4
5
5 .
答案
易错点⊳两圆位置关系考虑不全面 [典例] 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 相切于点 A(4，－1)且半径为 1 的圆 的方程． [错解] 设所求圆的圆心为 C(a，b)，则 a－42＋b＋12＝1 ①，当 两圆相切时，有 a－22＋b＋12＝3②，由①②解得 a＝5，b＝－1. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1. [错因分析] 错解中误认为两圆相切就是两圆外切，而丢掉两圆内切时 的情况．

【高中课件】北师大版必修2高中数学2.2.3第1课时 直线与圆的位置关系配套课件ppt.ppt

【高中课件】北师大版必修2高中数学2.2.3第1课时 直线与圆的位置关系配套课件ppt.ppt

置关系为( )
A．相切
B．相交
C．相切或相离
D．相交或相切
【解析】 圆 x2＋y2＝m 的圆心为(0,0)，圆心到直线 2(x ＋y)＋1＋m＝0 的距离 d＝1＋2 m(已知 m>0)．
因为圆 x2＋y2＝m 的半径 r＝ m， d－r＝1＋2 m－ m＝12(m－2 m＋1)＝12( m－1)2≥0，所 以直线与圆的位置关系是相切或相离． 【答案】 C
中小学精编教育课件
2．3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第 1 课时 直线与圆的位置关系
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解直线与圆的位置关系． (2)掌握用圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的比较，判断 直线与圆的位置关系．
2．过程与方法 通过判断直线与圆的位置关系，进一步培养学生用解析 法解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 通过探索直线与圆的位置关系，体验数学活动中的探索 与创造，使学生在学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困 难的意志，建立自信心．
●教学建议 学生在初中的学习中已了解了直线与圆的位置关系，并 知道可以利用直线与圆交点的个数以及圆心到直线距离 d 与 圆的半径 r 的关系判断直线与圆的位置关系，但是在初中学 习时，这两种方法却以结论性的形式呈现．在高一学习了解 析几何以后，要求学生掌握如何用直线和圆的方程判断直线 与圆的位置关系的方法，解决问题的方法主要是解析法．
其中一种判断方法是初中学习的基础上结合高中所学的 点到直线的距离公式，求出圆心的到直线的距离 d 后，与圆 的半径 r 比较，从而做出判断；另一种方法是类比求两条直 线交点的方法，联立直线与圆的方程，通过解方程组，根据 方程组解的个数判断直线与圆的位置关系．由于考虑到圆这 个图形性质的特殊性，以及渗透给学生解决问题尽力选择简 捷途径．师生应着力解决用圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的大小比较来判断直线与圆的位置关系．

2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系(二)课件(北师大版必修二)

2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系(二)课件(北师大版必修二)

自学导引 1．判断圆与圆的位置关系 (1)几何法： O1： 圆 (x－x1)2＋(y－y1)2＝r2(r1＞0)， O2： 圆 (x－x2)2 1 ＋ (y － y2)2 ＝ r 2 (r2 ＞ 0) ， 两 圆 的 圆 心 距 d ＝ |O1O2| ＝ 2 x1－x22＋y1－y22， d＞r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2 相离，如图①所示； d＝r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2外切 ，如图②所示； |r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔圆 O1 与圆 O2相交，如图③所示； d＝|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2内切，如图④所示； d＜|r1－r2|⇔圆 O1 与圆 O2 内含，如图⑤所示．
规律方法
判断两圆的位置关系有两种方法：一是解由两圆方
程组成的方程组，若方程组无实数解，则两圆相离；若方程组 有两组相同的实数解，则两圆相切；若方程组有两组不同的实 数解， 则两圆相交； 二是通过讨论两圆半径与圆心距的关系． 第 一种方法在计算上比较繁琐，因此一般采用第二种方法．
【变式 1】 当实数 k 为何值时，两圆 C1：x2＋y2＋4x－6y＋12 ＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0 相交、相切、相离？ 解 将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k， 圆 C1 的圆心为 C1(－2,3)，半径 r1＝1； 圆 C2 的圆心为 C2(1,7)，半径 r2＝ 50－k(k＜50)． 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5.
3．两圆相交时公共弦长的求法． (1)若两圆相交时， 把两圆的方程作差消去 x2 和 y2 就得到两圆的 公共弦所在的直线方程． (2)求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再 结合勾股定理求弦长．

2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系(二)课件(北师大版必修二)

2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系(二)课件(北师大版必修二)

【解题流程】
[规范解答] 两圆方程相减，得公共弦 AB 所在的直线方程为 2(m＋1)x＋2(n ＋1)y－m2－1＝0，(2 分) 由于 A、B 两点平分圆 N 的圆周， 所以 A、B 为圆 N 直径的两个端点， 即直线 AB 过圆 N 的圆心 N.(4 分)
而 N(－1，－1)，所以－2(m＋1)－2(n＋1)－m2－1＝0， 即 m2＋2m＋2n＋5＝0， 即(m＋1)2＝－2(n＋2)(n≤－2)， 由于圆 M 的圆心 M(m，n)， 从而可知圆 M 的圆心 M 的轨迹方程为(x＋1)2＝－2(y＋2)，(9 分) 又圆 M 的半径 r＝ n2＋1≥ 5，(n≤－2)， 当且仅当 n＝－2，m＝－1 时半径取得最小值， ∴圆 M 的方程为 x2＋y2＋2x＋4y＝0.(12 分)
想一想：已知两个圆：x2＋y2＝1①与 x2＋(y－3)2＝1②，则由① 式减去②式，可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线 仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而 已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广命题是什么？ 提示 设圆方程(x－a)2 ＋(x－b)2 ＝r2 ①与(x－c)2 ＋(y－d)2 ＝r2
规律方法
两圆外切时常用圆心距等于半径之和求解，圆与直
线相切时，该圆心到这条直线的距离等于圆的半径，若已知切 点坐标，也可以用切点与圆心间的距离得圆的半径．
【变式 2】 求经过点 A(－2，－4)且与直线 l：x＋3y－26＝0 相 切于点 B(8,6)的圆的方程． 解 设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则圆心
(2)代数法：圆 O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆 O2：x2＋y2＋ D2x＋E2y＋F2＝0， 两圆的方程联立得方程组，则有： 方程组有两组不同的解⇔圆 O1 与圆 O2 相交； 方程组仅有一组解⇔圆 O1 与圆 O2 外切或内切； 方程组无解⇔圆 O1 与圆 O2 相离或内含

【数学】2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)

【数学】2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
0个
1个
2个
例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x 2 y 2 2 y 4 0，判断直线L与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标。
分析：方法一，判
断直线L与圆的位置关 系，就是看由它们的方 程组成的方程有无实数 解 ； 方法二 ， 可 以 依据圆心到直线的距离 与半径长的关系，判断 直线与圆的位置关系。
小结： 圆与圆的 五 种 位置关系
两圆无公共点
R O1 r O2 O1 O
R r
2
外离 |O1O2|>R+r 内含 |O1O2|<R-r
两圆一有公共点
R
R O1
r O2
O1 O r 2
内切 |O1O2|=R-r 外切 |O1O2|=R+r
两圆有两公共点
R O1 r O2
相交 R-r<|O1O2|<R+r
2 6
C.5
D. 5.5
2、M(3.0)是圆x2+y2-8x-2y+10=0内一点，则过点M最长的弦 所在的直线方程是( C )
A.x+y-3=0
A.相交
D.2x+y-6=0 3、直线l: x sina+y cosa=1与圆x2+y2=1的关系是（B ）
B.相切 C. 相离 D.不能确定
B. 2x-y-6=0
两圆相交时，相交弦 所在直线方程为两圆方程 相减的一次方程
例2
已知圆的方程为 2 y 2 2 x 2 y 1 0, 则过圆外 x 一点P（3,4）作圆的两条切线，切 点分别是A, B, 求 直线AB的方程。

高中数学第二章解析几何初步2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系课件北师大版必修2


答案 D 解析 设圆心为(x0,0)，则由题意知圆心到直线 x＋2y＝0 的距离为 5， 故有 1|2x＋0| 22＝ 5，∴|x0|＝5.又圆心在 y 轴左侧，故 x0＝－5.∴圆的方程为(x ＋5)2＋y2＝5，选 D.
答案
解析
3．若点 P(2，－1)为圆 C：(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为( )
答案
解法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为 C(2,1)，半径
r＝2.
圆心
C(2,1)到直线
mx－y－m－1＝0
的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2.
当 d<2 时，即 m>0 或 m<－34时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当 d＝2 时，即 m＝0 或 m＝－34时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个 公共点；
答案
例 2 过点 A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，求此切线的方程． [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点 A 在圆外． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y＋3＝k(x－ 4)．因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1，所以|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，即|k ＋4|＝ k2＋1，所以 k2＋8k＋16＝k2＋1.解得 k＝－185. 所以切线方程为 y＋3＝－185(x－4)，即 15x＋8y－36＝0.
答案 D
解 析 圆 心 (1 ， － 1) 到 直 线 3x ＋ 4y ＋ 12 ＝ 0 的 距 离 d ＝ |3×1＋43×2＋－421＋12|＝151<r.
答案

《2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第一课时》课件-优质公开课-北师大必修2精品


． 圆心O到直线L的距离d
半径r
L
o
(3)直线L和⊙O相交，此时d与r大小关系为__d_<__r ____
思考:
(1)当d>r时，能否得出直线和圆的位置关系为相离？ (2)当d=r时，能否得出直线和圆的位置关系为相切？ (3)当d<r时，能否得出直线和圆的位置关系为相交？ (d为圆心O到直线L的距离，r为圆O的半径)
大家都知道:点和圆的位置关系可以用圆心到点之间的距离 这一数量关系来刻画；那么直线和圆的位置关系是否也可以 用数量关系来刻画呢？下面我们一起来研究一下！
L
． 圆心O到直线L的距离d
半径r
o
(1)直线L和⊙O相离，此时d与r大小关系为_d>_r___
L
． 圆心O到直线L的距离d
半径r
o
(2)直线L和⊙O相切，此时d与r大小关系为_d_=_r___
Ax+By+C=0
x2+y2+Dx+Ey+F=0 有如下结论：
直线与圆的位置关系的判断方法
相离 d>r
相切 d=r
相交 d<r
方程组无解
方程组仅有一组解
方程组有两组不同 的解
例1:判断下列直线与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系 (1)x-y-2=0； (2)x+2y-1=0
解：已知圆的圆心为C(1，1)，半径r=1. (1)点C到直线x-y-2=0的距离为
d1
|11 2 | 12 (1)2
2
又r=1，所以d1>r，可知直线与圆相离.
(2)建立方程组
x 2y 1 0 (x 1)2 ( y 1)2

高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系课件

A 21 B 19 C 9 D -11
【能力提升】
(2016·山东高考)已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截 直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2 ,则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
课时小结：
一.知识：
两圆同心是两圆内含的一种特例.
圆与圆的五种位置关系：
相离 内切
外切
相交
内含
想一想： 视察五种位置关系下的交 点个数，类比直线与圆的 位置关系，你能根据“公共 点个数”对这几种位置进行 分类吗？
没
相离
圆பைடு நூலகம்
和
内含
有 公 共 点
圆
的 位
外切
一 个 公
置
关
内切
共 点
系
两
个
相交
公
共
点
1.代数法判断圆与圆的位置关系
思考2：两圆的位置关系怎样来判断？ 2.几何方法：
O1 R
r O2
两圆相离
d
d>R+r
反之，成立吗？
O1
T O2
R d
两圆外切
r
d=R+r
O1 R r O2 d
注意半径 的大小
两圆相交
R-r<d<R+r (R>r)
O2 O1
T
r
R
d 两圆内切
(R>r)
d=R-r
O1 O2
O
dr R
两圆内含 d<R-r (R>r)
标. 解：(1) 变为标准方程：C1：(x－1)2+y2=4;

2.3 第一课时 直线和圆的位置关系课件(北师大版数学必修2)

|a－2＋3| |a＋1| 解析：圆心到直线的距离d＝ ＝ 2 ， 2 a ＋1 a ＋1 由 3＝ 4－d2，得a＝0.
答案：0
8．过点P(4，－4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－20 ＝
解：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝52， 0截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程． ∴圆心C(1,2)，半径r＝5. 由圆的性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三 角形， ∴圆心到直线的距离d＝ |AB| 2 r － 2 ＝ 52－42＝3.
[精解详析]
过A(2,1)与两直线垂直的直线方程为
1 1 y－1＝2(x－2)，即y＝2x. 1 x＝－6， y＝ x， 2 由 解得 y＝－3. 2x＋y＋15＝0， 则A(2,1)，B(－6，－3)是圆C的直径的两个端 1 点，于是圆心为(－2，－1)，半径r＝2|AB|＝2 ∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20. 5.
＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系怎样？ 提示：相交．
1．直线与圆的位置关系有三种，分别是直线与
圆 相交、相切 、 相离 ． 2．直线与圆位置关系的判定 方法 条件 位置关系 相交 0≤d< r 几何法 代数法： 联立直线与圆的方程得 一元二次方程，判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
相切
相离
D＝ r
D>r
要注意作图的准确性，分类讨论时要做到不重不 漏．
1．已知P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2内，试判断直线x0x＋
y0y
＝R2与圆的位置关系． 解：∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2的内部，
2 ∴x2＋y0<R2. 0
又圆心O(0,0)到直线x0x＋y0y＝R2的距离为 |R2| R2 d＝ 2＝R， 2 2 > R x0 ＋y0 ∴直线x0x＋y0y＝R2与圆 x2＋y2＝R2相离．
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r2
d2
l 2
2
，这也是求弦长最常用的方法．
⑵ 利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．
⑶ 利用弦长公式：设直线 l : y kx b ，与圆的两交点 x1, y1 , x2, y2 ，将直线方程代入圆的方程，消元后利
用根与系数关系得弦长： l
新课学习
二、知识应用： 题型一 判断直线与圆的位置关系
例 1.已知直线 y=2x+1 和圆 x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系.
解：法一：∵x2+y2=4，∴圆心为（0，0），半径 r=2.
又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为
d
|
2 0 0 1| 22 12
5 2r.
5
∴直线与圆相交.
34
新课学习
二、知识应用： 题型二 切线问题
例 3．过点 P(7,1) 作圆 x2 y2 25 的切线,求切线的方程．
（2）几何法：
设 O1的半径为 r1 ， O2 的半径为 r2 ，两圆的圆心距为 d .
当 r1 r2 d r1 r2 时，两圆相交；当 r1 r2 d 时，两圆外切； 当 r1 r2 d 时，两圆外离；当 r1 r2 d 时，两圆内切； 当 r1 r2 d 时，两圆内含.
新课学习
法二：∵
y x
2x 1, 2 y 2 4,
∴（2x+1）2+x2=4，即 5x2+4x-3=0.
判别式 Δ=42-4×5×（-3）=76＞0.∴直线与圆相交.
新课学习
二、知识应用： 题型一 判断直线与圆的位置关系
例 2．已知直线方程 mx―y―m―1=0，圆的方程 x2+y2―4x―2y+1=0． 当 m 为何值时，圆与直线（1）有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点．
北师大版·统编教材高中数学必修2
第二章·第二节
直线与圆、圆与圆的 位置关系
新课学习
一、新课讲授：
1.直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点.
新课学习
一、新课讲授：
2.直线与圆的位置关系的判定：
（1）代数法： 判断直线l 与圆 C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆 C 有公共点. 有两组实数解时，直线 l 与圆 C 相交； 有一组实数解时，直线 l 与圆 C 相切； 无实数解时，直线 l 与圆 C 相离.
法二：圆心 O 到直线 l 的距离等于半径 r ．
⑵ 点 x0, y0 在圆外，则设切线方程： y y0 k(x x0 ) ，变成一般式：
kx y y0 kx0 0 ，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 k ．
新课学习
一、新课讲授：
4.求直线被圆截得的弦长的方法
⑴ 应用圆中直角三角形：半径 r ，圆心到直线的距离 d ，弦长 l 具有的关系
1 k 2 | x1 x2 | =
1 k2
x1
x2
2
4x1x2
．
新课学习
一、新课讲授：
5. 圆与圆的位置关系：
（1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点.
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一、新课讲授：
6.圆与圆的位置关系的判定：
（1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离.
（2）几何法：
由圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d 与圆的半径 r 的关系判断：
当 d r 时，直线 l 与圆 C 相交； 当 d r 时，直线 l 与圆 C 相切； 当 d r 时，直线 l 与圆 C 相离.
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一、新课讲授：
3. 圆的切线方程的求法
⑴ 点 M 在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率 kl 与圆心和该点连线的斜率 kOM 的乘积等于 1，即 kOM kl 1．
Δ＜时，即
4 3
m
0
时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
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二、知识应用： 题型一 判断直线与圆的位置关系
法二：已知圆的方程可化为（x―2）2+（y―1）2=4，即圆心为 C（2，1），
半径 r=2．圆心 C（2，1）到直线 mx―y―m―1=0 的距离
d | 2m 1 m 1| | m 2 | ．
1 m2
1 m2
当
d＜2
时，即
m＞0
或
m
4 3
时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当 d=2 时，即 m=0 或 m 4 时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
3
当
d＞2
时，即
4 3
m
0
时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．
.
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二、知识应用： 题型二 切线问题
例 3．过点 P(7,1) 作圆 x2 y2 25 的切线,求切线的方程．
一、新课讲授：
7. 两圆公共弦长的求法有两种：
方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
8．两圆公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有 2 条外公切线和 2 条内公切线，共 4 条； （2）两圆外切时，有 2 条外公切线和 1 条内公切线，共 3 条； （3）两圆相交时，只有 2 条外公切线； （4）两圆内切时，只有 1 条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线．
解：法一：将直线 mx―y―m―1=0 代入圆的方程化简整理得，
（1+m2）x2―2（m2+2m+2）x+m2+4m+4=0．∵Δ=4m（3m+4），
∴当
Δ＞0
时，即
m＞0
或即直线与圆有两个公共点；
当
Δ=0
时，即
m=0
或
m
4 3
时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当
解：因为 72 12 50 25 ，所以点在圆外．
法一：设过点 P(7,1) 与圆相切的直线为 l : y 1 k(x 7) ,即 kx y 7k 1 0 ．
因为圆心 (0, 0)
到 l 的距离 d
| 7k k2
1| 1
，则
d
r
5
,即
|
7k k2
1| 1
5．
解得 k 4 或 3 ．从而，切线方程为 4x 3y 25 0 或 3x 4 y 25 0 ．