中考数学冲刺：动手操作与运动变换型问题--考点例题讲解+练习(提高).doc

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. （2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2. （2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（ ）A ．1080°B ．360°C ．180°D ．900°3. 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B ′处.得到Rt △AB ′E （图乙），再延长EB ′交AD 于F ，所得到的△EAF 是（ ）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则CE 的长是（ ）A 、10315-B 、1053-C 、535-D 、20103-二、填空题5.如图(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形．对于图(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：．6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB=22,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是cm．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图(1)所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图(2)所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：(1)现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图(3)所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图(3)中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；(2)如图(4)，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图(4)中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．9. 如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．(1)如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；(2)“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；(3)如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；(4)已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究(1)图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；(2)再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；(3)请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；(4)有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11.在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE 在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：(1)正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)(2)类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. （2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．2.【答案】A；【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.【答案】3；【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=22，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH= 12∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×32=32，由垂径定理可知EF=2EH=3，故答案为：3 ．7.【答案】10；【解析】解：设OE 的解析式为y=kt ， ∵点M （4，5）， ∴k=，如图，当Q 运动到G 点时，点P 运动到A 点，BQ=t ，AB=，∵AG ⊥BC ，∴四边形ADCG 是矩形， ∴AG=DC=6， ∴AB 2=BG 2+AG 2， ∴（）2=t 2+62，解得：t=8，∴AB=×8=10（cm ）．三、解答题 8．【答案与解析】解：(1)拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．(2)正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ 的面积为25． 9．【答案与解析】解：(1)2，24a ，14a ． (2)相等，比值为2．(3)设DG ＝x ．在矩形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠90°． ∵∠HGF ＝90°，∴∠DHG ＝∠CGF ＝90°－∠DGH ， ∴△HDG ∽△GCF ， ∴12DG HG CF GF ==． ∴CF ＝2DG ＝2x ． 同理∠BEF ＝∠CFG ． ∵EF ＝FG ．∴△FBE ∽△GCF ， ∴BF ＝CG ＝14a x -． ∴12244x a x a +-=． 解得214x a -=，即214DG a -=． (4)2316a ，2271828a -．10．【答案与解析】(1)由对称性可证∠ECB ＝∠B ．(2)如图所示，有3种折法．(3)答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．(4)当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形． 11．【答案与解析】 解：实验探究 (1)22a b +(2)剪拼方法如图(1)(2)(3)．联想拓展能，剪拼方法如图(4)(图中BG ＝DH ＝b )．(注意；图(4)用其他剪拼方法能拼接成面积为22a b 的正方形均可) 12. 【答案与解析】解：（1）如图1中，∵CA=CB ，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF 是由△CAD 旋转逆时针α得到，α=90°， ∴CB 与CE 重合， ∴∠CBE=∠A=45°， ∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°， ∵BG=AD=BF ， ∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°， ∴GF ∥AC ．（2）①如图2中，∵CA=CE ，CD=CF ，∴∠CAE=∠CEA ，∠CDF=∠CFD ， ∵∠ACD=∠ECF ， ∴∠ACE=∠DCF ，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°， ∴∠CAE=∠CDF ，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．。

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为菱形，则t 的值为（ ）. A. 2 B. 2 C. 22 D.32．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC =60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t ＜3)，连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ）.A.47 B. 1 C. 47或1 D. 47或1或493. （2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD ，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点N 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B 的路径向点B 运动，当一个点到达点B 时，另一个点也随之停止运动，设△AMN 的面积为s ，运动时间为t 秒，则能大致反映s 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．二、填空题4．如图,已知点A （0,2）、B （23,2）、C (0,4),过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是射线上的动点,连结AP ,以AP 为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB 、BA .若四边形ABPQ 为梯形,则（1）当AB 为梯形的底时,点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 .5．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 .6. （2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是．三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；(2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA B''是何特殊四边形，并说明理由．8. (1)观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．(2)实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图(2)所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10. （2016•绵阳）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PP′⊥BC，CD＝12CQ=12（6-t），∴BD=6-12（6-t）=3+12t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=62-2t，而PB=2BD，∴62-2t=2（3+12t），解得：t=2，故选B.2.【答案】D；【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s 或3s ；由于0≤t＜3，故t=3s 不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s ；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm ，此时AE=AB-BE=3.5cm ；∴E 点运动的距离为：3.5cm 或4.5cm ，故t=1.75s 或2.25s ；综上所述，当t 的值为1、1.75或2.25s 时，△BEF 是直角三角形．故选D ． 3.【答案】D. 【解析】（1）如图1， 当点N 在AD 上运动时， s=AM•AN=×t×3t=t 2．（2）如图2，当点N 在CD 上运动时， s=AM•AD=t×1=t ．（3）如图3，当点N 在BC 上运动时，s=AM•BN=×t×（3﹣3t ）=﹣t 2+t综上可得，能大致反映s 与t 的函数关系的图象是选项D 中的图象．故选：D ． 二、填空题 4.【答案】（1）332；（2）0， 32；【解析】（1）由题意知，当AB 为梯形的底时，AB ∥PQ ，即PQ ⊥y 轴，又△APQ 为等边三角形，AC ＝2，由几何关系知，点P 的横坐标是332.（2）当AB 为梯形的腰时，当PB ∥y 轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P 的横坐标是32.5.【答案】4；【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE ，因为AE=EC 所以∠CAE=∠ACE ，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE ， 三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4. 6.【答案】①②③．【解析】①正确．因为AB=AD=AF ，AG=AG ，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG ≌△AFG ；②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x ，则CG=6﹣x ．在直角△ECG 中， 根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC ； ③正确．因为CG=BG=GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC=∠GCF ． 又∠AGB=∠AGF ，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF ， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，∴AG ∥CF ；④错误．过F 作FH ⊥DC ，∵BC ⊥DH ，∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ，∴=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH ∽△EGC ，∴相似比为：==，∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =×3×4﹣×4×（ ×3）=≠3．故答案为：①②③．三、解答题 7．【答案与解析】(1)如图所示建立平面直角坐标系．(2)如图画出点C ，C(-1，1)．△ABC 的周长是22210+． (3)如图画出△A ′B ′C ，四边形ABA ′B ′是矩形． 理由：∵CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∴四边形ABA ′B ′是平行四边形. 又∵CA ＝CB ，∴CA ＝CA ′＝CB ＝CB ′． ∴AA ′＝BB ′．∴四边形ABA ′B ′是矩形．8．【答案与解析】解：(1)同意．如图所示，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ． 又由折叠知，∠AGE ＝∠AGF ＝90°， 所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形ABFE 是正方形∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°．又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ， 所以∠DEG ＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°． 9．【答案与解析】解：(1)①连接DB ，利用△BMD ≌△CND 或△ADM ∽△BDN 即可证明DM ＝DN ．②由△BMD ≌△CND 知，BMD CND S S =△△，∴1124DBN DMB DBN DNC ABC DMBNS S S S S S=+=+==△△△△△四边形．即在直角三角板DEF旋转过程中，四边形DMBN的面积始终等于14，不发生变化．(2)连接DB，由△BMD≌△CND可证明DM＝DN，即DM＝DN仍然成立．(3)连接DB．由△BMD≌△CND，可证明DM＝ND仍成立．10．【答案与解析】解：由菱形的对称性可得，C（2，0），D（0，），∴OD=，OC=2，tan∠DCO==，∵DE⊥DC，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD∠=90°，∴∠EDO=∠DCO，∵tan∠EDO=tan∠DCO=，∴，∴OE=，∴E（﹣，0），∴D（0，），∴直线DE解析式为y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）设BP与AC相交于点Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4，∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此时CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为．当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．。

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（基础）：【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的折叠1．（2016•济南）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG= ．【思路点拨】如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，利用勾股定理求出x，再利用△DME∽△FEN，得=，求出EN，EM，求出tan∠AMN，再证明∠EHG=∠AMN即可解决问题．【答案】45°．【解析】解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，∵DE=EC，AB=CD=8，∴DE=CD=4，在RT△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴（4）2+x2=（10﹣x）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4，∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴=，∴=，∴EN=，∴AN=EN=，∴tan∠AMN==，如图3中，∵ME⊥EN，HG⊥EN，∴EM∥GH，∴∠NME=∠NHG，∵∠NME=∠AMN，∠EHG=∠NHG，∴∠AMN=∠EHG，∴tan∠EHG=tan∠AMN=．故答案为．【总结升华】本题考查翻折变换、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把问题转化，证明∠AMN=∠EHG是关键，属于中考填空题中的压轴题．举一反三：【变式】如图所示，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：________ (用“能”或“不能”填空)．若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由．【答案】解：能.如图所示，取四边形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，连接EG ，FH ，交点为O ．以EG ，FH 为裁剪线，EG ，FH 将四边形ABCD 分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，拼接时图中的Ⅰ不动，将Ⅱ，Ⅳ分别绕E ，H 旋转180°，将Ⅲ平移，拼成的四边形OO 1O 2O 3即为所求．沿CA 方向平移，将点C 平移到点A 位置．类型二、实践操作2．如图,在等腰梯形ABCD 中AB ∥CD,AB ＝高CE ＝对角线AC 、BD 交于H ，平行于线段BD 的两条直线MN 、RQ 同时从点A 出发沿AC 方向向点C 匀速平移，分别交等腰梯形ABCD 的边于M 、N 和R 、Q ，分别交对角线AC 于F 、G ；当直线RQ 到达点C 时，两直线同时停止移动.记等腰梯形ABCD 被直线MN 扫过的面积为1S ，被直线RQ 扫过的面积为2S ，若直线MN 平移的速度为1单位/秒,直线RQ 平移的速度为2单位/秒,设两直线移动的时间为x 秒.(1)填空:∠AHB ＝____________；AC ＝_____________；(2) 若213S S =,求x ；(3) 若21S mS =,求m 的变化范围.【思路点拨】(1) 如例2图-1所示,平移对角线DB,交AB的延长线于P.则四边形BPCD是平行四边形,BD＝PC,BP＝DC因为等腰梯形ABCD,AB∥CD,所以AC＝BD. 所以AC＝PC.又高CE＝＝所以AE＝EP＝所以∠AHB＝90°AC＝4；⑵直线移动有两种情况:32x<<及322x≤≤,需要分类讨论.①当32x<<时, 有2214S AGS AF⎛⎫==⎪⎝⎭. ∴213S S≠②当322x≤≤时,先用含有x的代数式分别表示1S,2S,然后由213S S=列出方程,解之可得x的值；(3) 分情况讨论:①当32x<<时, 214SmS==.②当322x≤≤时,由21S mS=,得()222188223xSmS x--==＝2123643x⎛⎫--+⎪⎝⎭.然后讨论这个函数的最值,确定m的变化范围. 【答案与解析】解： (1) 90°,4；(2)直线移动有两种情况:302x <<和322x ≤≤. ①当302x <<时,∵MN ∥BD,∴△AMN ∽△ARQ,△ANF ∽△AQG. 2214S AG S AF ⎛⎫== ⎪⎝⎭. ∴213S S ≠ ②当322x ≤≤时, 如例2图-2所示,CG ＝4－2x,CH ＝1,14122BCD S ∆=⨯⨯=. ()22422821CRQ x S x ∆-⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭ 2123S x =,()22882S x =-- 由213S S =,得方程()22288233x x --=⨯, 解得165x =(舍去),22x =. ∴x ＝2.(3) 当302x <<时,m ＝4 当322x ≤≤时, 由21S mS =,得()2288223x m x --=＝2364812x x -+-＝2123643x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭. M 是1x 的二次函数, 当322x ≤≤时, 即当11223x ≤≤时, M 随1x 的增大而增大. 当32x =时,最大值m ＝4. 当x ＝2时,最小值m ＝3. ∴3≤m ≤4.【总结升华】本题是一道几何代数综合压轴题,重点考查等腰梯形, 相似三角形的性质,二次函数的增减性和最值及分类讨论,由特殊到一般的数学思想等的综合应用.解题时,(1)小题,通过平移对角线,将等腰梯形转化为等腰三角形,从而使问题得以简化,是我们解决梯形问题常用的方法.(2) 小题直线移动有两种情况:302x <<及322x ≤≤,需要分类讨论.这点万不可忽略,解题时用到的知识点主要是相似三角形面积比等于相似比的平方.(3) 小题仍需要分情况讨论.对于函数2123643m x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,讨论它的增减性和最值是个难点. 讨论之前点明我们把这个函数看作“M 是1x的二次函数”对顺利作答至关重要.3．已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，DE ⊥BC 于点E ，过点G 作GF ⊥BC 于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG 、DE 、GF 按图①所示方式折叠．点A 、B 、C 分别落在A ′、B ′、C ′处．若点A ′、B ′、C ′在矩形DEFG 内或其边上．且互不重合，此时我们称A B C '''△ (即图中阴影部分)为“重叠三角形”．(1)若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格图中(图中每个小三角形都是边长为l 的等边三角形)，点A 、B 、C 、D 恰好落在网格图中的格点上，如图②所示，请直接写出此时重叠三角形A ′B ′C ′的面积；(2)实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A ′B ′C ′存在，试用含m 的代数式表示重叠三角形A ′B ′C ′的面积，并写出m 的取值范围(直接写出结果，备用图供实验探究使用)．【思路点拨】本题是折叠与对称类型操作题，折叠实质为对称变换，故轴对称的性质运用是解本类型题的关键．另外，本题对新概念“重叠三角形”的理解正确才能求得m 的取值范围．【答案与解析】解：(1)重叠三角形A ′B ′C理由：如题图，△A ′B ′C ′是边长为2的等边三角形．122⨯=(2)用含m 的代数式表示重叠三角形A ′B ′C 2)m -，m 的取值范围是83≤m ＜4． 理由：如图(1)，AD ＝m ，则BD ＝GC ＝8-m ，由轴对称的性质知DB ′＝DB ＝8-m ．DA ′＝DA ＝m ．∴A ′B ′＝DB ′－DA ′＝8－m —m ＝2(4－m)，由△ABC 是等边三角形及折叠过程知AA ′B ′C ′是等边三角形．2(4))m m -=-．212(4)))2A B C S m m m '''=⨯--=-△． 以下求m 的取值范围：如图(1)，若B ′与F 重合，则C ′与E 重合．由折叠过程知BE ＝EB ′＝EF ．CF ＝FC ′＝FE ．∴BE ＝EF ＝FC ＝83． ∵∠B ＝60°，BD ＝2BE ＝163， 168833AD =-=，即83m =． 若83m <，如图(2)，点B ′、C ′落在矩形DEFG 外，不合题意．∴83m ≥． 又由A ′B ′＝2(4-m)＞0，得m ＜4． ∴m 的取值范围是843m ≤<． 【总结升华】亲自操作实验有助于突破难点．举一反三：【图形的设计与操作及运动变换型问题 例2 】【变式】阅读下面问题的解决过程：问题：已知△ABC 中，P 为BC 边上一定点，过点P 作一直线，使其等分△ABC 的面积．解决：情形1：如图①，若点P 恰为BC 的中点，作直线AP 即可．情形2：如图②，若点P 不是BC 的中点，则取BC 的中点D ，联结AP ，过点D 作DE ∥AP 交AC 于E ，作直线PE ，直线PE 即为所求直线．问题解决： 如图③，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，并证明．【答案】解：如图③，取对角线AC的中点O，联结BO、DO、BD,过点O作OE∥BD交CD于E,∴直线BE即为所求直线类型三、动态数学问题4．如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′.(1)如图②，将△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四边形A′BCD是形；（2）如图③，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为度；连接CC′，四边形CDBC′是形；（3）如图④，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由.【思路点拨】（1）利用平行四边形的判定，对角线互相平分的四边形是平行四边形得出即可；（2）利用旋转变换的性质以及直角梯形判定得出即可；（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CE，即可得出答案．【答案与解析】解：（1）平行四边形；证明：∵AD=AB，AA′=AC，∴A′C与BD互相平分，∴四边形A′BCD是平行四边形；（2）∵DA由垂直于AB，逆时针旋转到点D、A、B在同一直线上，∴旋转角为90度；证明：∵∠D=∠B=90°，A，D，B在一条直线上，∴CD∥BC′，∴四边形CDBC′是直角梯形；故答案为：90，直角梯；（3）四边形ADBC是等腰梯形；证明：过点B作BM⊥AC，过点D作DN⊥AC，垂足分别为M，N，∵有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′．∴△ACD≌△A′BC′，∴BM=ND，∴BD∥AC，∵AD=BC，∴四边形ADBC是等腰梯形．【总结升华】此题主要考查了图形的剪拼与平行四边形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知识，熟练掌握判定定理是解题关键．举一反三：【图形的设计与操作及运动变换型问题例1 】【变式】（2015秋•莘县期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（4，0），C（6，4）以原点为位似中心，将△ABC缩小，位似比为1：2，则线段AC中点P变换后对应点的坐标为．【答案】（322，）或（3-2-2，）.【解析】解：如图，∵A（2，2），C（6，4），∴点P的坐标为（4，3），∵以原点为位似中心将△ABC缩小位似比为1：2，∴线段AC的中点P变换后的对应点的坐标为（﹣2，﹣）或（2，）．故答案为：（2，）或（﹣2，﹣）．5．如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D 的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了秒（结果保留根号）．【思路点拨】根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度，计算即可得解．【答案】（4+2）．【解析】解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴AB=2cm，BC=2cm，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，则四边形BCFE是矩形，∴BE=CF，BC=EF=2cm，∵∠A=60°，∴BE=ABsin60°=2×=，AE=ABcos60°=2×=1，∴×AD×BE=3，即×AD×=3，解得AD=6cm，∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3，在Rt△CDF中，CD===2，所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2=4+2，∵动点P的运动速度是1cm/s，∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）÷1=4+2（秒）．故答案为：（4+2）．【总结升华】本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB、BC的长度是解题的关键，在梯形的问题中，作过梯形的上底边的两个顶点的高线是常见的辅助线．。

中考动手操作与运动变换型问题1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证类型一、图形的剪拼问题1．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下(如图所示)：请你用上面图示的方法，解答下列问题：（1）对下图中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；（2）对下图中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．答案与解析举一反三【思路点拨】对于三角形的分割重组，要想拼成一个矩形，则分割时必须构造出直角来，示例中通过作中位线的垂线段而分割出①③两个直角三角形．对于四边形的分割重组，可以先把四边形转化为三角形的问题，再利用三角形的分割重组方法进行．【答案与解析】解：（1）如图所示：（2）如图所示：【总结升华】按照三角形的剪拼方法，探索规律，将任意四边形先分割成三角形，再进行剪拼，使学生经历由简单到复杂的探索过程．【变式】如图所示，将一张正方形纸片经两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，得到的图形是( )．答案与解析【答案】裁剪之后，将最后折叠成的小正方形按原来对折相反的方向展开，折痕(虚线)所在直线即为对称轴，则剪出的菱形小洞会对称地出现在折痕的另一侧，见下图：故选D．类型二、实践操作2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．答案与解析【思路点拨】（1）要证APB=BPH，由内错角APB=PBC，即证PBC=BPH，折叠后EBP= EPB=90°，再由性质等角的余角相等即可得证．（2）△PHD的周长为PD+DH+PH.过B作BQ⊥PH构造直角三角形,再利用三角形全等：△ABP≌△QBP和△BCH≌△BQH证明AP=QP， CH=QH，可得其周长为定值．（3）,关键是用x来表示BE、CF.过F作FM⊥AB，垂足为M，先由边角关系得△EFM≌△BPA，得=x．在Rt△APE中可由勾股定理表示出BE，再由，很容易用x表示出S，再配方求最值．【答案与解析】解：（1）∵PE=BE，∴EBP=EPB．又∵EPH=EBC=90°，∴EPH-EPB=EBC-EBP．即PBC=BPH．又∵AD∥BC，∴APB=PBC．∴APB=BPH．（2）△PHD的周长不变，为定值 8．证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知APB=BPH，又∵A=BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP．∴AP=QP, AB=BQ．又∵ AB=BC，∴BC = BQ．又∵C=BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH．∴CH=QH．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. （3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则.又EF为折痕，∴EF⊥BP.∴，∴．又∵A=EMF=90°，∴△EFM≌△BPA．∴=x．∴在Rt△APE中，．解得，．∴．又四边形PEFG与四边形BEFC全等，∴．即：．配方得，，∴当x=2时，S有最小值6．【总结升华】本题将函数和几何知识较好的综合起来，对能力的要求较高．本题考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识．难度较大，是一道很好的压轴题，通过此题能够反映出学生的思维能力及数学知识的掌握程度，解答本题要学会将题目中的已知量与待求量联系起来．此题的关键是证明几组三角形的全等，以及用x来表示S．3．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B ＝90°，∠A＝，∠A＝30°，BC＝6 cm；图(参中，∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝4 cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐________．(填“不变”、“变大”或“变小”)（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行?问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD＝15°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．答案与解析举一反三【思路点拨】本题以动三角形为背景，考查特殊角的三角函数值、勾股定理．【答案与解析】解：（1）变小．（2）问题①：∵∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝6，∴AC＝12．∵∠FDE＝90°，∠DEF＝45°，DE＝4，∴DF＝4．连结FC，设FC∥AB，∴∠FCD＝∠A＝30°∴在Rt△FDC中，DC＝．∴AD＝AC－DC＝即AD＝cm时，FC∥AB．问题②：设AD＝x，在Rt△FDC中，FC2＝DC2+FD2＝(12-x)2+16．(i)当FC为斜边时，由AD2+BC2＝FC2得，．(ii)当AD为斜边时，由得，(不符合题意，舍去)．(iii)当BC为斜边时，由得，，△＝144－248＜0，∴方程无解．另解：BC不能为斜边．∵FC＞CD．∴FC+AD＞12．∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6．∴BC不能为斜边．∴由(i)、(ii)、(iii)得，当cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形．问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD＝15°．理由如下：假设∠FCD＝15°．由∠FED＝45°，得∠EFC＝30°．作∠EFC的平分线，交AC于点P，则∠EFP＝∠CFP＝∠FCP＝15°，∴PF＝PC．∠DFP＝∠DFE+∠EFP＝60°．∴PD＝，PC＝PF＝2FD＝8．∴PC+PD＝8+．∴不存在这样的位置，使得∠FCD＝15°．解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD＝15°．假设∠FCD＝15°，设AD＝x．由∠FED＝45°，得∠EFC＝30°．作EH⊥FC，垂足为H．∴HE＝EF＝，CE＝AC－AD－DE＝8-x，且．∵∠FDC＝∠EHC＝90°，∠DCF为公共角，∴△CHE∽△CDF．∴．又，∴．整理后，得到方程．∴(不符合题意，舍去)，(不符合题意，舍去)．∴不存在这样的位置，使得∠FCD＝15°．【总结升华】本题的突破点是将图形静止于所要求的特殊位置，根据题中条件得出相应的结论．本题涉及分类讨论思想、方程思想，有一定的难度．【变式】如图，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6,CD=BC=4，BC⊥OB于B,以O为坐标原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处.为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在求出直线的解析式,若不存在，请说明理由.答案与解析【答案】解：如图③，存在符合条件的直线，过点D作DA⊥OB于点A，则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心∴过点P的直线只要平分的面积即可.易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将面积平分，从而，直线PH平分梯形OBCD的面积.即直线PH为所求直线设直线PH的表达式为且过点∵直线OD的表达式为解之，得∴点H的坐标为∴PH与线段AD的交点F的坐标为∴解之，得∴直线的表达式为类型三、平移旋转型操作题4．两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC 不动，将△DEF进行如下操作：（1）如图所示，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积．（2）如图所示，当D点移动到．AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．（3）如图所示，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时，点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值．【思路点拨】平移时，CF AD，AD＝BE，根据等底等高的特征，将求梯形面积转化为求，旋转时需知道∠ABE＝90°，BE＝CB，运用相似等知识解答．【答案与解析】【解析】（1）过C点作CG⊥AB于G，如图．在Rt△AGC中，∵，∴．∵AB＝2，∴．（2）菱形．∵CD∥BF，FC∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形∵DF∥AC，∠ACB＝90°，∴CB⊥DF，∴四边形CDBF是菱形．（3）解法一：过D点作DH ⊥AE于H，如图，则，又，．∴在Rt△DHE中，．解法二：∵△ADH∽△AEB，∴，即，∴，∴．【总结升华】本题是平移和旋转类型的操作题，需知道平移和旋转的性质，这两种变换都是全等变换. 类型四、动态数学问题5．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段AB．过点B作轴的垂线，垂足为E，过点C作轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为秒．（1）当点B与点D重合时，求的值；（2）设△BCD的面积为S，当为何值时，；（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．答案与解析举一反三【思路点拨】（1）易证Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，可得AO、BE的比例关系，由此求得t的值．（2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt △CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE 的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上．（3）通过配方法，可得抛物线的顶点坐标，将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中，可得抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标，根据这两个坐标即可判定出a的取值范围．【答案与解析】解：（1）∵，，∴．∴Rt△CAO∽Rt△ABE．∴，∴，∴．（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：，．当0＜＜8时，．∴．当＞8时，．∴，（为负数，舍去）．当或时，．（3）如图，过M作MN⊥轴于N，则．当MB∥OA时，，．抛物线的顶点坐标为（5，）．它的顶点在直线上移动．直线交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）．∴1＜＜2．∴＜＜．【总结升华】本题是二次函数综合题，属于图形的动点问题，前两问的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．最后一问中，先得到抛物线的顶点坐标是简化解题的关键．【变式】如图，平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P从点A出发沿折线AB-BC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当P与C重合时停止运动，过点P作AB的垂线PQ交AD或DC于Q．设P运动时间为t秒，直线PQ扫过平行四边形ABCD的面积为S．求S关于t的函数解析式．答案与解析【答案】解：（1）；（2）；（3）.综上，S关于t的函数解析式为：一、选择题1. 将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，将纸片展开，得到的图形是（）2. 如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形3. 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的B′处.得到Rt△AB′E（图乙），再延长EB′交AD于F，所得到的△EAF是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（）A、B、C、D、二、填空题5. 如图（1）是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图（2）所示的一个菱形．对于图（1）中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：______．6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB= ,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________7．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE—ED—DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△BPQ的面积为y cm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD＝BE＝5；②cos∠ABE＝；③当0＜t≤5时，y＝t2；④当t＝秒时，△ABE ∽△QBP；其中正确的结论是____(填序号)．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图（1）所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图（2）所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图（3）所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图（3）中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；（2）如图（4），在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图（4）中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．9. 如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．（1）如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；（3）如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究（1）图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；（2）再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；（3）请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11. 在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：（1）正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. 在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.（1）求证：MA=MB；（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】本题是折叠、裁剪问题，折叠会体现对称，可以动手操作验证.2.【答案】D；【解析】本题一方面考查学生的空间想象能力，另一方面还考查学生的动手操作能力.当学生的空间想象受到影响时，可借助动手实践，直接折纸、剪纸，得到答案.答案为D.3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.【答案】；【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE.sin∠EOH=1×=，由垂径定理可知EF=2EH=，故答案为：．7.【答案】①③④；【解析】首先，分析函数的图象两个坐标轴表示的实际意义及函数的图象的增减情况.横轴表示时间t，纵轴表示△BPQ的面积y.当0＜t≤5时，图象为抛物线，图象过原点，且关于y轴对称，y随的t增大而增大，t=5的时候，△BPQ的面积最大，5＜t＜7时，y是常函数，△BPQ的面积不变，为10.从而得到结论：t=5的时候，点Q运动到点C，点P运动到点E，所以BE＝BC=AD＝5×1=5cm，5＜t＜7时，点P从E→D，所以ED=2×1=2cm，AE=3cm，AB=4cm.cos∠ABE＝.设抛物线OM的函数关系式为（0＜t≤5),把（5,10）代入得到，所以，所以当0＜t≤5时，y＝t2当t＞5时，点P位于线段CD上，点Q与点C重合.当t＝秒，点P位于P′处，C P′=CD－DP′=4－（－7）=cm.在△ABE和△Q′BP′中，,∠A＝Q′=90°，所以△ABE∽△Q′BP′.三、解答题8.【答案与解析】解：（1）拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．（2）正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ的面积为．9.【答案与解析】解：（1），，．（2）相等，比值为．（3）设DG＝x．在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝∠90°．∵∠HGF＝90°，∴∠DHG＝∠CGF＝90°－∠DGH，∴△HDG∽△GCF，∴．∴CF＝2DG＝2x．同理∠BEF＝∠CFG．∵EF＝FG．∴△FBE∽△GCF，∴BF＝CG＝．∴．解得，即．（4），．10.【答案与解析】（1）由对称性可证∠ECB＝∠B．（2）如图所示，有3种折法．（3）答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．11.【答案与解析】解：实验探究（1）（2）剪拼方法如图（1）（2）（3）．联想拓展能，剪拼方法如图（4）(图中BG＝DH＝b)．(注意；图（4）用其他剪拼方法能拼接成面积为的正方形均可)12.【答案与解析】（1）证明：连接OM.∵⊿PQR是等腰之间三角形且M是斜边PQ的中点，∴MO=MQ，∠MOA=∠MOAMQB=450.∵∠AMO+∠OMB=900，∠OMB+∠AMO =900.∴∠AMO =∠AMO.∴⊿AMO ≌⊿AMO.∴MA=MB.（2）解：由（1）中⊿AMO ≌⊿AMO得AO=BQ.设AO=x，则OB=4-x.在Rt⊿OAB中，.∴当x=2时，AB的最小值为，∴⊿AOB的周长的最小值为.。

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为菱形，则t 的值为（ ） A. 2 B. 2 C. 22 D.32．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC =60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t ＜3)，连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ）A.47 B. 1 C. 47或1 D. 47或1或493. 如图，正方形ABCD 的边长为4cm,动点P 、Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度分别沿A →B →C 和A →D →C 的路径向点C 运动，设运动时间为x （单位：s ），四边形PBDQ 的面积为y （单位：cm 2）,则y 与x （0≤x ≤8）之间的函数关系可用图象表示为（ ）二、填空题4．如图,已知点A（0,2）、B（23,2）、C(0,4),过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连结AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB、BA.若四边形ABPQ为梯形,则（1）当AB为梯形的底时,点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 .5．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 .6.如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 .三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；(2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA B''是何特殊四边形，并说明理由．8. (1)观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．(2)实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图(2)所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10. 如图所示，在边长为4的正方形ABCD 中，点P 在AB 上从A 向B 运动，连接DP 交AC 于点Q ． (1)试证明：无论点．P 运动到AB 上何处时，都有△ADQ ≌△ABQ ； (2)当点P 在AB 上运动到什么位置时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的16? (3)若点P 从点A 运动到点B ，再继续在BC 上运动到点C ，在整个运动过程中，当点P 运动到什么位置时，△ADQ 恰为等腰三角形?【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B ；【解析】连接PP ′交BC 于点D ，若四边形QPCP 为菱形，则PP ′⊥BC ，CD ＝12CQ=12（6-t ）， ∴BD=6-12（6-t ）=3+12t.在Rt △BPD 中，PB=AB-AP=62-2t ，而PB=2BD ， ∴62-2t=2（3+12t ），解得：t=2，故选B.2.【答案】D ；【解析】∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC 中，BC=2，∠ABC=60°； ∴AB=2BC=4cm .①当∠BFE=90°时；Rt△BEF 中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm ；故此时AE=AB-BE=2cm ；∴E 点运动的距离为：2cm 或6cm ，故t=1s 或3s ；由于0≤t＜3，故t=3s 不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s ；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm ，此时AE=AB-BE=3.5cm ；∴E 点运动的距离为：3.5cm 或4.5cm ，故t=1.75s 或2.25s ；综上所述，当t 的值为1、1.75或2.25s 时，△BEF 是直角三角形．故选D ．3.【答案】B.【解析】在0≤x ≤4时,y 随x 的增大而减小，在4≤x ≤8时,y 随x 的增大而增大；且y 与x 的函数关系是二次函数，故选B.二、填空题 4.【答案】（1）332；（2）0， 32； 【解析】（1）由题意知，当AB 为梯形的底时，AB ∥PQ ，即PQ ⊥y 轴，又△APQ 为等边三角形，AC ＝2，由几何关系知，点P 的横坐标是332.（2）当AB 为梯形的腰时，当PB ∥y 轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P 的横坐标是32.5.【答案】4；【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE ，因为AE=EC 所以∠CAE=∠ACE ，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE ， 三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4. 6.【答案】①④⑤．【解析】由折叠知：∠ADG =∠GD O 根据外角定理∠AGD=∠GD O+∠G OD 而∠G OD=90°， ∠GD O =21∠AD O=22.5°得∠AGD=112.5°所以①正确. 由折叠知△AGD≌△FGD 得S △AGD =S △FGD 所以③错误.∠A ED=90°-22.5°=67.5°，∠AG E=45°+22.5°=67.5°故∠A ED=∠AG E 可得AE=AG ， 易证AG=FG ，AE=EF ，从而得AG=FG=AE=EF.所以④正确. BE=2EF ，EF= FG=2OG ，故BE=2OG 所以⑤正确.AE= FG=2OG ，AD= AB=AE+ BE=（2+2）OG ，在Rt △AED 中tan∠AED=AE AD =222 ，所以②错误.三、解答题 7．【答案与解析】(1)如图所示建立平面直角坐标系．(2)如图画出点C ，C(-1，1)．△ABC 的周长是22210+． (3)如图画出△A ′B ′C ，四边形ABA ′B ′是矩形． 理由：∵CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∴四边形ABA ′B ′是平行四边形. 又∵CA ＝CB ，∴CA ＝CA ′＝CB ＝CB ′． ∴AA ′＝BB ′．∴四边形ABA ′B ′是矩形．8．【答案与解析】解：(1)同意．如图所示，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ． 又由折叠知，∠AGE ＝∠AGF ＝90°， 所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形ABFE 是正方形∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°．又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ， 所以∠DEG ＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°． 9．【答案与解析】解：(1)①连接DB ，利用△BMD ≌△CND 或△ADM ∽△BDN 即可证明DM ＝DN ．②由△BMD ≌△CND 知，BMD CND S S =△△， ∴1124DBN DMB DBN DNC ABC DMBN S S S S S S =+=+==△△△△△四边形．即在直角三角板DEF 旋转过程中，四边形DMBN 的面积始终等于14，不发生变化．(2)连接DB ，由△BMD ≌△CND 可证明DM ＝DN ，即DM ＝DN 仍然成立． (3)连接DB ．由△BMD ≌△CND ，可证明DM ＝ND 仍成立． 10．【答案与解析】解：(1)证明：在正方形ABCD 中，无论点P 运动到AB 上何处时， 都有AD ＝AB ，∠DAQ ＝∠BAQ ，AQ ＝AQ ，∴△ADQ ≌△ABQ ．(2)解：假设下图中△ADQ 的面积恰好是正方形ABCD 面积的16．过点Q 作QE ⊥AD 于E ，QF ⊥AB 于F ，则QE ＝QF ，118263ABCD AD QE S ⨯==正方形． ∴43QE =．由△DEQ ∽△DAP 得QE DEAP DA=，解得AP ＝2． ∴AP ＝2时，△ADQ 的面积是正方形ABCD 面积的16． (3)若△ADQ 是等腰三角形，则有DQ ＝QA 或DA ＝DQ 或AQ ＝AD ．①当点P 运动到与点B 重合时，由四边形ABCD 是正方形知QD ＝QA ，此时△ADQ 是等腰三角形． ②当点P 与点C 重合时，点Q 与点C 也重合，此时DA ＝DQ ，△ADQ 是等腰三角形．③如图所示，设点P 在BC 边上运动到CP ＝x 时，有AD ＝AQ ．∵AD ∥BC ，∴∠ADQ ＝∠CPQ ．又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD，∴∠CQP＝∠CPQ．∴CQ＝CP＝x．∵AC＝42，AQ＝QD＝4，-，∴x＝CQ＝AC－AQ＝424-时，△ADQ是等腰三角形．即当CP＝424。

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】中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为菱形，则t 的值为（ ）. A. 2 B. 2 C. 22 D.32．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC =60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t ＜3)，连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ）.A.47 B. 1 C. 47或1 D. 47或1或493. （2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD ，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点N 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B 的路径向点B 运动，当一个点到达点B 时，另一个点也随之停止运动，设△AMN 的面积为s ，运动时间为t 秒，则能大致反映s 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．二、填空题4．如图,已知点A （0,2）、B （3）、C (0,4),过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是射线上的动点,连结AP,以AP为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB、BA.若四边形ABPQ为梯形,则（1）当AB为梯形的底时,点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 .5．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 .6. （2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是．三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；(2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA B''是何特殊四边形，并说明理由．8. (1)观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．(2)实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图(2)所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10. （2016•绵阳）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PP′⊥BC，CD＝12CQ=12（6-t），∴BD=6-12（6-t）=3+12t.在Rt△BPD中，22，而2，∴2223+12t），解得：t=2，故选B.2.【答案】D；【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s 或3s ；由于0≤t＜3，故t=3s 不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s ；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm ，此时AE=AB-BE=3.5cm ；∴E 点运动的距离为：3.5cm 或4.5cm ，故t=1.75s 或2.25s ；综上所述，当t 的值为1、1.75或2.25s 时，△BEF 是直角三角形．故选D ． 3.【答案】D. 【解析】（1）如图1， 当点N 在AD 上运动时， s=AM•AN=×t×3t=t 2．（2）如图2，当点N 在CD 上运动时， s=AM•AD=t×1=t ．（3）如图3，当点N 在BC 上运动时，s=AM•BN=×t×（3﹣3t ）=﹣t 2+t综上可得，能大致反映s 与t 的函数关系的图象是选项D 中的图象．故选：D ． 二、填空题 4.【答案】（1）332；（2）0， 32；【解析】（1）由题意知，当AB 为梯形的底时，AB ∥PQ ，即PQ ⊥y 轴，又△APQ 为等边三角形，AC ＝2，由几何关系知，点P 的横坐标是332.（2）当AB 为梯形的腰时，当PB ∥y 轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P 的横坐标是32.5.【答案】4；【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE ，因为AE=EC 所以∠CAE=∠ACE ，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE ， 三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4. 6.【答案】①②③．【解析】①正确．因为AB=AD=AF ，AG=AG ，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG ≌△AFG ；②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x ，则CG=6﹣x ．在直角△ECG 中， 根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC ； ③正确．因为CG=BG=GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC=∠GCF ． 又∠AGB=∠AGF ，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF ， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，∴AG ∥CF ；④错误．过F 作FH ⊥DC ，∵BC ⊥DH ，∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ，∴=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH ∽△EGC ，∴相似比为：==，∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =×3×4﹣×4×（ ×3）=≠3．故答案为：①②③．三、解答题 7．【答案与解析】(1)如图所示建立平面直角坐标系．(2)如图画出点C ，C(-1，1)．△ABC 的周长是22210+． (3)如图画出△A ′B ′C ，四边形ABA ′B ′是矩形． 理由：∵CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∴四边形ABA ′B ′是平行四边形. 又∵CA ＝CB ，∴CA ＝CA ′＝CB ＝CB ′． ∴AA ′＝BB ′．∴四边形ABA ′B ′是矩形．8．【答案与解析】解：(1)同意．如图所示，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ． 又由折叠知，∠AGE ＝∠AGF ＝90°， 所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形ABFE 是正方形∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°．又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ， 所以∠DEG ＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°． 9．【答案与解析】解：(1)①连接DB ，利用△BMD ≌△CND 或△ADM ∽△BDN 即可证明DM ＝DN ．②由△BMD ≌△CND 知，BMD CND S S =△△，∴1124DBN DMB DBN DNC ABC DMBNS S S S S S=+=+==△△△△△四边形．即在直角三角板DEF旋转过程中，四边形DMBN的面积始终等于14，不发生变化．(2)连接DB，由△BMD≌△CND可证明DM＝DN，即DM＝DN仍然成立．(3)连接DB．由△BMD≌△CND，可证明DM＝ND仍成立．10．【答案与解析】解：由菱形的对称性可得，C（2，0），D（0，），∴OD=，OC=2，tan∠DCO==，∵DE⊥DC，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD∠=90°，∴∠EDO=∠DCO，∵tan∠EDO=tan∠DCO=，∴，∴OE=，∴E（﹣，0），∴D（0，），∴直线DE解析式为y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）设BP与AC相交于点Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4，∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此时CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为．当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题(基础) 一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为菱形，则t 的值为（ ）A. B. 2 C.D. 32．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC=60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A →B →A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t ＜3)，连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ）A. B. 1 C. 或1 D. 或1或3. （2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD ，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点N 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A →D →C →B 的路径向点B 运动，当一个点到达点B 时，另一个点也随之停止运动，设△AMN 的面积为s ，运动时间为t 秒，则能大致反映s 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．二、填空题4．如图,已知点A（0,2）、B（,2）、C(0,4),过点C向右作平行于x轴的射线,点P是射线上的动点,连结AP以AP为边在其左侧作等边△APQ连结PB、BA.若四边形ABPQ 为梯形,则（1）当AB为梯形的底时,点P的横坐标是 ___；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 ______.5．如图,矩形纸片ABCD,AB=2，点E在BC上,且AE=EC．若将纸片沿AE折叠,点B恰好落在AC上，则AC的长是______.6. （2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是______．三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；（3）画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形是何特殊四边形，并说明理由．8. （1）观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图（1），已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．（1）在图（1）中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；（2）继续旋转至如图（2）所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图（3）所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10. （2016•绵阳）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PP′⊥BC，CD＝CQ=（6-t），∴BD=6-（6-t）=3+t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=6-t，而PB=BD，∴6-t=（3+t），解得：t=2，故选B.2.【答案】D；【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s或3s；由于0≤t＜3，故t=3s不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm，此时AE=AB-BE=3.5cm；∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s；综上所述，当t的值为1、1.75或2.25s时，△BEF是直角三角形．故选D．3.【答案】D.【解析】（1）如图1，当点N在AD上运动时，s=AM•AN=×t×3t=t2．（2）如图2，当点N在CD上运动时，s=AM•AD=t×1=t．（3）如图3，当点N在BC上运动时，s=AM•BN=×t×（3﹣3t）=﹣t2+t综上可得，能大致反映s与t的函数关系的图象是选项D中的图象．故选：D．二、填空题4.【答案】（1）；（2）0，；【解析】（1）由题意知，当AB为梯形的底时，AB∥PQ，即PQ⊥y轴，又△APQ为等边三角形，AC＝2，由几何关系知，点P的横坐标是.（2）当AB为梯形的腰时，当PB∥y轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P的横坐标是.5.【答案】4；【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE，因为AE=EC所以∠CAE=∠ACE，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE，三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4.6.【答案】①②③．【解析】①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：==，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）=≠3．故答案为：①②③．三、解答题7.【答案与解析】（1）如图所示建立平面直角坐标系．（2）如图画出点C，C(-1，1)．△ABC的周长是．（3）如图画出△A′B′C，四边形ABA′B′是矩形．理由：∵CA＝CA′，CB＝CB′，∴四边形ABA′B′是平行四边形.又∵CA＝CB，∴CA＝CA′＝CB＝CB′．∴AA′＝BB′．∴四边形ABA′B′是矩形．8.【答案与解析】解：（1）同意．如图所示，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD．又由折叠知，∠AGE＝∠AGF＝90°，所以∠AEF＝∠AFE，所以AE＝AF，即△AEF为等腰三角形．（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形∠AEB＝45°，所以∠BED＝135°．又由折叠知，∠BEG＝∠DEG，所以∠DEG＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°．9.【答案与解析】解：（1）①连接DB，利用△BMD≌△CND或△ADM∽△BDN即可证明DM＝DN．②由△BMD≌△CND知，，∴．即在直角三角板DEF旋转过程中，四边形DMBN的面积始终等于，不发生变化．（2）连接DB，由△BMD≌△CND可证明DM＝DN，即DM＝DN仍然成立．（3）连接DB．由△BMD≌△CND，可证明DM＝ND仍成立．10.【答案与解析】解：由菱形的对称性可得，C（2，0），D（0，），∴OD=，OC=2，tan∠DCO==，∵DE⊥DC，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD∠=90°，∴∠EDO=∠DCO，∵tan∠EDO=tan∠DCO=，∴，∴OE=，∴E（﹣，0），∴D（0，），∴直线DE解析式为y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）设BP与AC相交于点Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使用 ∴AQ=，∴OQ=OA ﹣AQ=，在Rt △OBQ 中，tan ∠OQB===，当点P 在DC 上运动时，如图4，∵∠EPD=∠ADE ，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP ∽△EFD ，∴，∴DP===， ∴2t=AD ﹣DP=5+， ∴t=，此时CP=DC ﹣DP=5﹣=， ∵PC ∥AB ，∴△CPQ ∽△ABQ ，∴， ∴， ∴， ∴CQ=，∴OQ=OC ﹣CQ=2﹣=，在Rt △OBD 中，tan ∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP 与直线AC 所夹锐角的正切值为． 当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP 与直线AC 所夹锐角的正切值为1．。

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（基础）【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的折叠1．如图所示，一个平行四边形纸片ABCD中，E，F分别为BC，CD边上的点，将纸片沿AE，EF折叠，使B，C的对应点B′，C′及点E在同一直线上，则∠AEF＝________．【思路点拨】纸片沿AE折叠，折叠前后的两个图形关于直线AE对称，所以△AEB与△AEB′全等，对应角相等．同理沿EF折叠的两个三角形的对应角也相等．【答案】∠AEF＝90°．【解析】解: 由轴对称的性质，知∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，而∠AEB＋∠AEB′＋∠CEF＋∠C′EF=180°．所以∠AEF－∠AEB′+∠C′EF＝90°．【总结升华】图形的折叠实质上就是轴对称的一种变形应用．解题时应抓住折叠前后的图形全等找出对应关系．举一反三：【变式】如图所示，已知四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：________ (用“能”或“不能”填空)．若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由．。

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒2cm 的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P ′.设Q 点运动的时间t 秒，若四边形QPCP 为菱形，则t 的值为（ ）. A. 2 B. 2 C. 22 D.32．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC =60°.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着A→B→A 的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t ＜3)，连接EF ，当△BEF 是直角三角形时，t 的值为（ ）.A.47 B. 1 C. 47或1 D. 47或1或493. （2015•盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD ，点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度向点B 运动，点N 从点A 出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B 的路径向点B 运动，当一个点到达点B 时，另一个点也随之停止运动，设△AMN 的面积为s ，运动时间为t 秒，则能大致反映s 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．二、填空题4．如图,已知点A （0,2）、B （23,2）、C (0,4),过点C 向右作平行于x 轴的射线,点P 是射线上的动点,连结AP ,以AP 为边在其左侧作等边△APQ ,连结PB 、BA .若四边形ABPQ 为梯形,则（1）当AB 为梯形的底时,点P的横坐标是；（2）当AB为梯形的腰时,点P的横坐标是 .5．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 .6. （2016•东河区二模）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的是．三、解答题7．如图所示是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中，按下列要求操作：(1)请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2，4)，B点坐标为(-4，2)；(2)在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则C点的坐标是________，△ABC的周长是________ (结果保留根号)；(3)画出△ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的△A′B′C，连接AB′和A′B，试说出四边形ABA B''是何特殊四边形，并说明理由．8. (1)观察与发现小明将三角形纸片ABC(AB＞AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片(如图①)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图②)．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．(2)实践与运用将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE(如图③)；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG(如图④)；再展平纸片(如图⑤)．求图⑤中∠α的大小．9. 如图(1)，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角形板DEF绕D点按逆时针方向旋转．(1)在图(1)中，DE交AB于M，DF交BC于N．①证明：DM＝ND；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图(2)所示的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图(3)所示的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立?若成立，请写出结论，不用证明．10. （2016•绵阳）如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→C的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】连接PP′交BC于点D，若四边形QPCP为菱形，则PP′⊥BC，CD＝12CQ=12（6-t），∴BD=6-12（6-t）=3+12t.在Rt△BPD中，PB=AB-AP=62-2t，而PB=2BD，∴62-2t=2（3+12t），解得：t=2，故选B.2.【答案】D；【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm.①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故此时AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s 或3s ；由于0≤t＜3，故t=3s 不合题意，舍去；所以当∠BFE=90°时，t=1s ；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm ，此时AE=AB-BE=3.5cm ；∴E 点运动的距离为：3.5cm 或4.5cm ，故t=1.75s 或2.25s ；综上所述，当t 的值为1、1.75或2.25s 时，△BEF 是直角三角形．故选D ． 3.【答案】D. 【解析】（1）如图1， 当点N 在AD 上运动时， s=AM•AN=×t×3t=t 2．（2）如图2，当点N 在CD 上运动时， s=AM•AD=t×1=t ．（3）如图3，当点N 在BC 上运动时，s=AM•BN=×t×（3﹣3t ）=﹣t 2+t综上可得，能大致反映s 与t 的函数关系的图象是选项D 中的图象．故选：D ． 二、填空题 4.【答案】（1）332；（2）0， 32；【解析】（1）由题意知，当AB 为梯形的底时，AB ∥PQ ，即PQ ⊥y 轴，又△APQ 为等边三角形，AC ＝2，由几何关系知，点P 的横坐标是332.（2）当AB 为梯形的腰时，当PB ∥y 轴时，满足题意，此时AQ=4，由几何关系得，点P 的横坐标是32.5.【答案】4；【解析】由折叠可知∠BAE=∠CAE ，因为AE=EC 所以∠CAE=∠ACE ，所以∠BAE=∠CAE=∠ACE ， 三角的和为90°，所以∠ACE=30°，所以AC=2AB=4. 6.【答案】①②③．【解析】①正确．因为AB=AD=AF ，AG=AG ，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG ≌△AFG ；②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x ，则CG=6﹣x ．在直角△ECG 中， 根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC ； ③正确．因为CG=BG=GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC=∠GCF ． 又∠AGB=∠AGF ，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF ， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，∴AG ∥CF ；④错误．过F 作FH ⊥DC ，∵BC ⊥DH ，∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ，∴=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH ∽△EGC ，∴相似比为：==，∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =×3×4﹣×4×（ ×3）=≠3．故答案为：①②③．三、解答题 7．【答案与解析】(1)如图所示建立平面直角坐标系．(2)如图画出点C ，C(-1，1)．△ABC 的周长是22210+． (3)如图画出△A ′B ′C ，四边形ABA ′B ′是矩形． 理由：∵CA ＝CA ′，CB ＝CB ′，∴四边形ABA ′B ′是平行四边形. 又∵CA ＝CB ，∴CA ＝CA ′＝CB ＝CB ′． ∴AA ′＝BB ′．∴四边形ABA ′B ′是矩形．8．【答案与解析】解：(1)同意．如图所示，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD ． 又由折叠知，∠AGE ＝∠AGF ＝90°， 所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形．(2)由折叠知，四边形ABFE 是正方形∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°．又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ， 所以∠DEG ＝67.5°．从而∠α＝90°-67.5°＝22.5°． 9．【答案与解析】解：(1)①连接DB ，利用△BMD ≌△CND 或△ADM ∽△BDN 即可证明DM ＝DN ．②由△BMD ≌△CND 知，BMD CND S S =△△，∴1124DBN DMB DBN DNC ABC DMBNS S S S S S=+=+==△△△△△四边形．即在直角三角板DEF旋转过程中，四边形DMBN的面积始终等于14，不发生变化．(2)连接DB，由△BMD≌△CND可证明DM＝DN，即DM＝DN仍然成立．(3)连接DB．由△BMD≌△CND，可证明DM＝ND仍成立．10．【答案与解析】解：由菱形的对称性可得，C（2，0），D（0，），∴OD=，OC=2，tan∠DCO==，∵DE⊥DC，∴∠EDO+∠CDO=90°，∵∠DCO+∠CD∠=90°，∴∠EDO=∠DCO，∵tan∠EDO=tan∠DCO=，∴，∴OE=，∴E（﹣，0），∴D（0，），∴直线DE解析式为y=2x+，（2）由（1）得E（﹣，0），∴AE=AO﹣OE=2﹣=，根据勾股定理得，DE==，∴菱形的边长为5，如图1，过点E作EF⊥AD，∴sin∠DAO=，∴EF==，当点P在AD边上运动，即0≤t＜，S=PD×EF=×（5﹣2t）×=﹣t+，如图2，点P在DC边上运动时，即＜t≤5时，S=PD×DE=×（2t﹣5）×=t﹣；∴S=，（3）设BP与AC相交于点Q，在菱形ABCD中，∠DAB=∠DCB，DE⊥DC，∴DE⊥AB，∴∠DAB+∠ADE=90°，∴∠DCB+∠ADE=90°，∴要使∠EPD+∠DCB=90°，∴∠EPD=∠ADE，当点P在AD上运动时，如图3，∵∠EPD=∠ADE，∴EF垂直平分线PD，∴AP=AD﹣2DF=AD﹣2，∴2t=5﹣，∴t=，此时AP=1，∵AP∥BC，∴△APQ∽△CBQ，∴，∴，∴，∴AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=，在Rt△OBQ中，tan∠OQB===，当点P在DC上运动时，如图4，精品初中数学讲义（带详细答案）∵∠EPD=∠ADE，∠EDP=∠EFD=90°∴△EDP∽△EFD，∴，∴DP===，∴2t=AD﹣DP=5+，∴t=，此时CP=DC﹣DP=5﹣=，∵PC∥AB，∴△CPQ∽△ABQ，∴，∴，∴，∴CQ=，∴OQ=OC﹣CQ=2﹣=，在Rt△OBD中，tan∠OQB===1，即：当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为．当t=时，∠EPD+∠DCB=90°．此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值为1．。

中考冲刺：动手操作与运动变换型问题(提高)一、选择题1. （2015春•抚州期末）将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个圆形小洞后展开铺平得到的图形是（）A．B． C． D．2. （2016•邢台校级三模）一张正方形的纸片，如图1进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是多少度？（）A．1080° B．360° C．180° D．900°3. 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的B′处.得到Rt△AB′E（图乙），再延长EB′交AD于F，所得到的△EAF是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是（）A、B、C、D、二、填空题5. 如图（1）是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图（2）所示的一个菱形．对于图（1）中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：______．6．如图,△ABC中,∠BAC=600,∠ABC=450,AB= ,D是线段BC上的一个动点,以AD 为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F ,连接EF,则线段EF长度的最小值为___________7．（2015•太仓市模拟）如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm．动点Q从点B出发，以1cm/S的速度沿BC运动到点C停止，同时，动点P也从B点出发，沿折线B→A→D运动到点D停止，且PQ⊥BC．设运动时间为t（s），点P运动的路程为y（cm），在直角坐标系中画出y关于t的函数图象为折线段OE和EF（如图②）．已知点M（4，5）在线段OE上，则图①中AB的长是______cm．三、解答题8．阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图（1）所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图（2）所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点D旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图（3）所示．请将其分割后拼接成一个平行四边形．要求：在图（3）中画出并指明拼接成的平行四边形(画出一个符合条件的平行四边形即可)；（2）如图（4），在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ．请在图（4）中探究平行四边形MNPQ面积的大小(画图并直接写出结果)．9. 如图(a)，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸……．已知标准纸的短边长为a．（1）如图(b)，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B′处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF；则AD:AB的值是________，AD，AB的长分别是________，________；（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值；（3）如图(c)，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的4个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长；（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M＝90°，MN＝MQ＝2PQ，且四个顶点M，N，P，Q 都在“4开”纸的边上，请直接写出两个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．10. 操作与探究（1）图(a)是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按图中方法折叠，点A与点C重合，DE为折痕．试证明△CBE是等腰三角形；（2）再将图(b)中的△CBE沿对称轴EF折叠(如图(b))．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图(c)中的△ABC折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图(c)中画出折痕；（3）请你在图(d)的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足什么条件时，一定能折成组合矩形?11. 在图1至图5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．操作示例：当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CGB 并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上，连接CH．由剪拼方法可得DH＝BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH(如图所示)，过点F作FM⊥AE于点M(图略)，利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH＝HC ＝GC＝FG，∠FHC＝90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．实践探究：（1）正方形FGCH的面积是________；(用含a、b的式子表示)（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2至图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时，如图所示的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．12. （2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B 两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】由折叠可知，得到的四个圆形小洞一定不在一条直线上，故D不正确；四个圆形小洞不靠近原正方形的四个角，所以A不正确；选项C的位置也不符合原题意的要求，故只有B是按要求得到的．故选B．2.【答案】A；【解析】展开图的这个图形是八边形，故内角和为：（8﹣2）×180°=1080°．3.【答案】B；【解析】证明AE=AF，∠EAF=60°，得△EAF为等边三角形.4.【答案】D.二、填空题5.【答案】答案不唯一．可供参考的有：①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半．【解析】拼图注意研究重叠的边和有公共点的角，由图可以看出三个下底上的角拼成一个平角，上底和腰相等.6.【答案】；【解析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=12∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH= ∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE.sin∠EOH=1×=，由垂径定理可知EF=2EH=，故答案为：．7.【答案】10；【解析】解：设OE的解析式为y=kt，∵点M（4，5），∴k=，如图，当Q运动到G点时，点P运动到A点，BQ=t，AB=，∵AG⊥BC，∴四边形ADCG是矩形，∴AG=DC=6，∴AB2=BG2+AG2，∴（）2=t2+62，解得：t=8，∴AB=×8=10（cm）．三、解答题8.【答案与解析】解：（1）拼接成的平行四边形是ABCD(如图所示)．（2）正确画出图形(如图所示)．平行四边形MNPQ的面积为．9.【答案与解析】解：（1），，．（2）相等，比值为．（3）设DG＝x．在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝∠D＝∠90°．∵∠HGF＝90°，∴∠DHG＝∠CGF＝90°－∠DGH，∴△HDG∽△GCF，∴．∴CF＝2DG＝2x．同理∠BEF＝∠CFG．∵EF＝FG．∴△FBE∽△GCF，∴BF＝CG＝．∴．解得，即．（4），．10.【答案与解析】（1）由对称性可证∠ECB＝∠B．（2）如图所示，有3种折法．（3）答案不唯一．只要有一条边与该边上的高相等即可．（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形．11.【答案与解析】解：实验探究（1）（2）剪拼方法如图（1）（2）（3）．联想拓展能，剪拼方法如图（4）(图中BG＝DH＝b)．(注意；图（4）用其他剪拼方法能拼接成面积为的正方形均可)12.【答案与解析】解：（1）如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，∴CB与CE重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF∥AC．（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，∵∠ACD=∠ECF，精品初中数学讲义（带详细答案）∴∠ACE=∠DCF，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，∴A、D、M、C四点共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．。