2016考研数学：定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分的联系和区别

定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。

定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。

最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。

定义可以用统一的形式给出：从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。

上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。

因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。

曲面积分的形式如下：\begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*}这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。

二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头{a}）上任何一点的分量向量。

最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。

求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。

换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。

在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。

根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积\超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi）如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。

定积分、曲线积分、重积分、曲面积分的几何意义(2014.1.25)一、定积分x d x f b a ⎰)(1、物理意义：变速直线运动的路程⎰21)(t t dt t v （或变力沿直线做功⎰ba dr r F )(） 2、几何意义：求以)(x f 为曲边的曲边梯形的面积当)(x f =1时，x d ba ⎰表示求直线段的长度二、曲线积分第一型曲线积分(对弧长) (,)L f x y ds ⎰（或(,,)Lf x y z ds ⎰） 1、物理意义 ：求曲线段的质量（()y x f ,表示线密度）2、几何意义：当()时，1,=y x f ()ds y x f l ,⎰表示求曲线段的长度 第二型曲线积分(对坐标)(,)(,)L P x y dx Q x y dy +⎰（或(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰） 物理意义：求变力做功 三、重积分二重积分(,)D f x y d σ⎰⎰1、物理意义：求平面薄板的质量（()y x f ,表示面密度）（或加在平面面积上压力（压强可变））2、几何意义：求以()y x f z ,=为曲顶的曲顶柱体的体积当()时，1,=y x f σd y x f D ),(⎰⎰表示求平面区域D 的面积 三重积分(,,)V f x y z dV ⎰⎰⎰1、物理意义：求空间物体的质量（),,(z y x f 表示体密度）2、几何意义：当),,(z y x f =1时，⎰⎰⎰VdV 表示求空间区域V 的体积四、曲面积分第一型曲面积分（对面积）(,,)S f x y z dS ⎰⎰1、物理意义：求曲面块的质量（),,(z y x f 表示面密度）2、几何意义：当),,(z y x f =1时，⎰⎰S dS 表示求曲面快的面积 第二型曲面积分（对坐标）(,,)(,,)(,,)S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰物理意义：求流经曲面流体的流量。

2016考研数学大纲之数二考试范围考研数学让每一个要看数学的同学畏惧，尤其是对数学不好的同学，或许这其中就有选择考数二的原因，为什么呢？那是因为考数学二的同学，不需要复习概率，可以让自己轻松一点，心里偷偷的在笑，不过复习数二仅仅开心这一点还不够，要是你知道2016年对数学二的要求后你会更开心，下面我就来看看数二的考试范围吧！数二不考的内容：三重积分，曲线曲面积分，无穷级数（包括傅里叶级数），向量代数与空间解析几何，多元函数微分学中方向导数和梯度、空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，导数的经济应用，定积分的经济应用，无界区域上简单的反常二重积分，常微分方程中的、全微分方程、欧拉方程、差分方程。

数二考的内容：导数应用中的曲率和曲率圆，导数的物理应用，定积分中有理函数的积分、三角函数的有理式积分、简单无理函数的积分，旋转体的侧面积与曲线弧长，平行截面积为已知的立体体积，定积分的物理应用（功，引力，压力，质心，形心等），可降阶的微分方程，高于二阶的某些常系数齐次线性方程，微分方程的物理应用。

这里没有提到的都是数学一二三共同考的，就不在赘述了，希望可以帮助到你。

2016年考研分析数学大纲之概率（一）佟庆英——数学教研室考研数学只有数学一和数学三还有我们的396经济联考会考察概率论与数理统计，下面凯程数学教研室带你一起来看看考研中的概率。

准确的说考研中概率分为概率论和数理统计两部分。

在这两部分之前我们必须认真研究概率的前沿——随机事件和概率。

在大纲中我们首先来研究一下数学一和数学三中前沿。

先来看看考试内容，主要考察随机事件与样本空间，事件的关系与运算，完备事件组，概率的概念，概率的基本性质。

古典型概率，几何型概率，条件概率，概率的基本公式，事件的独立性和独立重复试验。

对于上述内容并不是我们考研概率中的重点，只需要简单了解考试对这部分的要求即可，即1.了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算。

二重积分第一类曲面积分第二类曲线
二重积分（第一类）和曲面积分（第二类）是数学中的两个重要概念，分别与曲线和曲面上的函数相关。

1. 二重积分（第一类）：
二重积分是对平面上的函数进行积分的一种方法。

它用于计算平面区域内函数在该区域上的总体积、质量、重心等物理量。

第一类表示积分变量是平面上的面积元素，通常用两个变量表示。

例如，对于函数f(x, y)，在平面区域D 上的二重积分可以表示为∬D f(x, y) dA。

2. 曲面积分（第二类）：
曲面积分是对曲面上的函数进行积分的一种方法。

它用于计算曲面上的流量、电荷、质量等物理量。

第二类表示积分变量是曲面上的面积元素，通常用参数方程表示。

例如，对于函数f(x, y, z)，在曲面S 上的曲面积分可以表示为∬S f(x, y, z) dS。

3. 第一类曲线积分：
第一类曲线积分是对曲线上的函数进行积分的一种方法。

它用于计算曲线上的长度、质量、功等物理量。

第一类表示积分变量是曲线上的弧长元素，通常用参数方程表示。

例如，对于函数f(x, y, z)，在曲线C 上的第一类曲线积分可以表示为∮C f(x, y, z) ds。

总之，二重积分（第一类）和曲面积分（第二类）分别应用于平面和曲面上的函数积分，而第一类曲线积分用于曲线上的函数积分。

它们在数学和物理学等领域具有广泛的应用。

补充内容 一．二重积分定义：设D 为xy 平面上的有界闭区域，(,)f x y 为定义在D 上的函数。

用任意的曲线把D 分成n 个小区域12,,.n σσσ 以i σ∆表示小区域的面积，这些小区域构成D 的一个分割T , 以i d 表示小区域i σ的直径，称1max i i nT d ≤≤=为分割T 的细度。

在每个i σ上任取一点(,)i i ξη，作和式1(,)ni i i i f ξησ=∆∑，称它为函数(,)f x y 在D 上属于分割T 的一个积分和。

如果1l i m (,)ni i i T i f ξησ→=∆∑存在，则称(,)f x y 在D 上可积，此极限值就称为(,)f x y 在D 上的积分，记为(,)Df x y d σ⎰⎰，即1(,)l i m(,)ni i i DT i f x y d f σξησ→==∆∑⎰⎰。

定理：有界闭区域上的连续函数必可积。

性质：1. 若(,)f x y 在区域D 上可积，k 为常数，则(,)kf x y 在D 上也可积，且(,)(,)DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰2. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，则(,)(,)f x y g x y ±在D 上也可积，且[(,)(,)](,)(,DDDfx y g x y d f x y dg x y dσσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰3. 若(,)f x y 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则(,)f x y 在12D D ⋃上也可积，且1212(,)(,)(,).D D D D f x y d f x y dg x y d σσσ⋃=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 若(,),(,)f x y g x y 在D 上都可积，且(,)(,)f x y g x y ≤，(,),x y D ∈ 则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰5. 若(,)f x y 在区域D 上可积，则函数(,)f x y 在区域D 上也可积，且(,)(,).DDf x y d f x y d σσ≤⎰⎰⎰⎰6. 若(,)f x y 在区域D 上可积，且(,),(,),m f x y M x y D ≤≤∈ 则 (,),D D DmS f x y d M S σ≤≤⎰⎰这里D S 是积分区域D 的面积。

§ 2多重积分、曲线积分与曲面积分、多重积分 1.二重积分 连续函数f （x,y ）在有限可求积的平面区域Q 内的二重积分 jj f （x,y ）dxdy =烏忖迟迟f 区孑）冷列）O max|gjT ' j 式中.iX ' =x 4 -x 「y 二y j 打-、、',二二 是对Q 中的所有（x, yj 的下标i , j 求和.j ［特定区域内二重积分的计算公式］ 积分区域Q I I f （x, y ）dxd y 计算公式（积分限应从小到大）° b ：2 (x) a dX'x) f(x,y )dy 9 = a 『■ J(y ) • ：dy i (y) f(x,y )dx O 设 x =『cos ，二『sin ::，贝U dxd y = * d 「d .討鳥"（「cosjsin 「）心「 （极在区域外） （极在区域内） 2 — I .M . ■) d 「 f('cos 「sin J 廿 弋0 峪0 ［二重积分的变量替换（雅可比式）］若连续可微分的函数 ；x = x （u,叭 廿 y （u^）'把平面Oxy 上的有界闭区域Q 单值映射到平面Ou 上的闭区域Q '，其雅可比式为cX J = £(x,y) _ 茄 c (u ^)滅 cv 则 例 则 所以 !! f (x, y)dxdy = f [x(u, ), y(u, )] J | dud Q Q ”X = P cos® 』=Psi n®cos -「sin sin "cos !! f (x, y)dxdy = f ( 'cos ,「sin J 、d : Q Q 2.三重积分 [直角坐标下的三重积分]假设有界区域V 由下列不等式 a <x <b, y i (x) <y < y 2(x) , Z i (x,y) <z < Z 2(x,y) 确定，其中yjx), y 2(x),乙(£ y), Z 2(x, y)都是连续函数，且函数f(x,y,z)在 V 上是连续的，贝U 函数f(x,y,z)在有界区域V 上的三重积分b y 2(x) Z 2 (x,y) HI f (x,y ,z )dxd Y d ^f a dx f y(x) d vf z(x ,y) f (x,y ,z )dzV 1 1 有时采用下面公式计算： b 川 f(x,y,z)dxdydz =J a dx JJ f(x,y,z)dydz aV S x 式中S x 二S x (y,z)是用平行于Oyz 的平面截区域V 所得的截断面(图6.3).例设V 表示在第一卦限中由曲面f f f ^1和坐标平面所围成的封闭区域, 切常数都是正的时候，有 !!!x ：4y ：4z 4dxdydz V a p Tr □ P Y a b c (—)( — )(—) P q r a P Vpqr- (1 ) P q r 这种类型的积分称为狄利克莱积分，它在计算重积分时经常用到 图 6* 5 0 > —■ 图6.3［圆柱坐标下的三重积分］(图6.4)I I I f （x, y, z ）d xd y d z 二 f （ cos : J sin : ,z ） d 「d zVV - （一般地，2n ） 式中V 为直角坐标中的有界区域，V 是区域V 在圆柱坐标系中的表达式.［球面坐标下的三重积分］（图6.5）2I IIf （x, y, z ） d x d y d = f （r si n v cos , r si n v sin : ,r cosRr si n v d r dv d : V V ' （一般地，0W W 2 n ,0W 0 W n ） 式中V 是区域V 在球面坐标系中的表达式.［三重积分的变量替换（雅可比式）］若连续可微函数X =x （u,： ,w ）“ y = y （u,u,w ）z = z （u,u ,w ）把Oxyz 空间的有界三维闭区域双方单值地映射到 O'u w 空间的闭区域V',并且当（u, ： ,w ） € V'时其雅可比式则! ! ! f （x, y,z ）d xd y d z 二 f ［x （u, , w ）, y （u, , w ）, z （u, , w ）］ | J | d u d d wV V ' 3.多重积分［直接计算多重积分］若函数f （X 1,X 2，…，X n ）在由下列不等式所确定的有界闭区域 Q 内是连续的：a w X 1 W bX 2(xj w X 2 w X 2 (xjX （X i ,X 2，...，X n4）W X n W x ："必， (X)式中a,b 为常数，X 2（X i ），X 2（X i ），…，X n （X i ,X 2, ,X n 」），X n （洛风，X J ）为连续函数，则对应的多重积分可按下面公式计算：□….f （X i ,X 2,...X n ）dX ! dX 2…dX n mf dX i .：（：；） ［多重积分的变量替换（雅可比式）］若连续可微函数 XL% （J J,…，匕 n ）, i=1,2，…,n 把OX 1X2…X n 空间内的有界闭区域Q 双方单值地映射成O' 1 2空间内的有界闭区域Q ', 并且在闭区域Q '内雅可比式 j J (X l ,X 2, ,X n ) = 0 "1, 2，…,n )则"X, y,z):(u, ,w) ex 今 dzcu cu du ex £y cz 花 丰0CX 绍 czcw cw cw , (X ,X 2”..X ” 1) 、，dX f (X ,X ,...X )dX门….f (X i,X2,...X n) dX i dX2...dX n 门....f( ：1, 2,... ：n)| J |d \d 2...d n特别，根据公式Q QX! = r cos 1X2 二r sin 1 cos :2 x n4 = r sin 詹sin ®2...sin ®n/ cos®n_ix n= r s in [sin 2...s in「n/S in n」变换成极坐标(r, \, \,…,-:nJ)时，有：$(X1,X2，…,X n) njL •心①•心①…•①J r sin in 2sin n 2"匚「2,二「) 1 2二、曲线积分[对弧长的曲线积分]若函数f(x,y,z)在光滑曲线C:x = X(t)ds T」y = y(t)z = z(t)(t° 兰t 兰T)的各点上有定义并且连续(图 6.6)则c f(x, y,z)ds 二：f[x(t), y(t), Z(t)] x2(t) y2(t) z2(t) dt式中ds为弧的微分，：t)d x(t)等.这个积分与曲线C的方向X⑴一寸无关.[对坐标的曲线积分]若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在光滑曲线C: ‘X =x(t)y = y(t)[z = z(t) (t。

二重积分与三重积分在数学中，积分是一种重要的计算方法，用于求解曲线、曲面以及空间中的各种量，二重积分与三重积分是其中的两个重要分支。

本文将详细介绍二重积分与三重积分的基本概念、计算方法以及应用场景。

一、二重积分二重积分是对平面区域上的函数进行积分运算的方法。

首先，我们来介绍二重积分的定义。

设有平面区域D，函数f(x,y)在D上有界，将D在x轴上的投影记为[a,b]，在y轴上的投影记为[c,d]，则二重积分的定义如下：∬Df(x,y)dxdy = limΔx,Δy→0∑∑f(ξi,ηi)ΔxΔy其中，Δx、Δy分别表示划分x轴和y轴的小区间的长度，ξi、ηi分别是该小区间内的取点。

需要注意的是，二重积分的计算需要满足一些条件，如函数有界且在有限区域上连续等。

计算二重积分可以采用多种方法，最常用的是直角坐标系下的面积法和极坐标系下的面积法。

具体计算步骤略。

二、三重积分三重积分是对空间区域上的函数进行积分运算的方法。

类似于二重积分，我们来介绍三重积分的定义。

设有空间区域Ω，函数f(x,y,z)在Ω上有界，将Ω在x轴、y轴、z轴上的投影分别记为[a,b]、[c,d]、[e,f]，则三重积分的定义如下：∭Ωf(x,y,z)dxdydz = limΔx,Δy,Δz→0∑∑∑f(ξi,ηi,ζi)ΔxΔyΔz其中，Δx、Δy、Δz分别表示划分x轴、y轴、z轴的小区间的长度，ξi、ηi、ζi分别是该小区间内的取点。

同样，三重积分的计算也需要满足一些条件，如函数有界且在有限区域上连续等。

与二重积分类似，计算三重积分也可以采用多种方法，如直角坐标系下的体积法和柱坐标系、球坐标系下的面积法等。

具体计算步骤略。

三、二重积分与三重积分的应用二重积分与三重积分在实际问题中有广泛的应用。

下面介绍其中的一些典型应用场景：1. 面积、体积的计算：利用二重积分和三重积分可以准确计算曲线、曲面以及各种形状的面积和体积。

例如计算圆的面积、球的体积等。

曲线积分与曲面积分知识点【篇一：曲线积分与曲面积分知识点】曲线积分与曲面积分是考研数一考生要求掌握的内容，数二数三考生不要求掌握，老师以高数教程为例，分章节归纳所要求掌握的内容要点，希望对2016 考研人有所帮助。

9.1 第一类曲线积分内容要点：(1)第一类曲线积分的概念和性质；(2)第一类曲线积分计算测试点：计算第一类曲线积分(包含平面曲线和空间曲线)9.2 第二类曲线积分内容要点：(1)第二类曲线积分的概念和性质；(2)第二类曲线积分计算；(3)两类曲线积分之间的关系测试点：计算第二类曲线积分9.3 格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件内容要点：(1)格林公式；(2)平面曲线积分与路径无关的条件；(3)全微分法则；(4)全微分方程测试点：(1)格林公式；(2)计算曲线积分；(3)全微分方程的求解9.4 第一类曲面积分内容要点：(1)第一类曲面积分的概念和性质；(2)第一类曲面积分计算测试点：计算第一类曲面积分9.5 第二类曲面积分内容要点：(1)第二类曲面积分的概念和性质；(2)第二类曲面积分计算；(3)两类曲面积分之间的关系测试点：(1)直接计算第二类曲面积分(2)通过两类曲面积分之间的关系计算第二类曲面积分9.6 高斯公式与散度内容要点：(1)高斯公式；(2)散度测试点：(1)高斯公式(熟练掌握)；(2)散度(记住公式即可)9.7 斯托克斯公式与旋度内容要点：(1)斯托克斯公式；(2)旋度测试点：(1)斯托克斯公式(熟练掌握)；(2)旋度(记住公式即可)9.8 综合例题针对本章所学内容复习巩固，每个例题独立求解，然和和答案对比，对自己所学情况进行简单的测评。

老师以高数教程为基础，把曲线积分和曲面积分所要求掌握的知识点落实到每一章的某一节，希望考生在复习的过程中复习全面，不要出现遗漏知识点的现象。

【篇二：曲线积分与曲面积分知识点】第十章曲线积分与曲面积分一、一、重点两类曲面积分及两类曲面积分的计算和格林公式、高斯公式的应用二、二、难点对曲面侧的理解，把对坐标的曲面积分化成二重积分，利用格林公式求非闭曲线上的第二类曲线积分，及利用高斯公式计算非闭曲面上的第二类曲面积分。

曲线积分和二重积分的区别
一般从几何意义上说，二重积分求的是曲面下方和xy平面围成的区域的代数体积。

就如同一元的定积分是曲线和坐标轴围成的曲边梯形的代数面积一样。

而曲面积分，顾名思义，曲面上的积分，不论第一型第二型，都是曲面上做的积分，具体的说，曲面本身就是一个“弯曲的”空间，在这个空间上有他的标架，你在这里面求积分。

这个曲面你“拉直”一些（数学上是做适当的参数变换，表示成适当的参数形式），变成“平直”的空间（也就是变成regular form），最后可以化成一个重积分进行计算。

其实这样看过来，重积分就是一种特别的第一型曲面积分，这个曲面是“平直”的欧式空间而已。

题主问二重积分，那就想象一块平直的板子，每一点处的密度由题主所说的二元函数决定，这个函数就是这块板子的密度函数，这个二重积分就是这块板子的重量。

第一型曲面积分那就是更一般，在一块儿弯弯曲曲的板子上做积分。

第二型曲面积分，那是对向量值函数的积分了。

曲面积分和二重积分的关系1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个可能听起来有点“高深莫测”的数学话题：曲面积分和二重积分之间的关系。

听起来有点像是数学界的“八卦”，其实没那么复杂，咱们慢慢来捋一捋。

首先，别紧张，这不是要让你们背公式，而是想让大家对这些概念有个直观的理解，顺便加点乐趣，免得觉得数学是个“天书”。

2. 二重积分是什么2.1 二重积分的基本概念好，我们先从二重积分说起。

简单来说，二重积分就是在一个平面区域内，对某个函数进行“加法”的过程。

就像是在一片美丽的草地上，我们每一步都在“量”一下这个地方的高度，然后把所有高度加起来，最后得出一个总和。

这就有点像是在收集花蜜的蜜蜂，每次飞到一个花朵上，就采一点，最终满满一瓶都是花蜜。

2.2 二重积分的应用二重积分的应用非常广泛，可以用来计算面积、体积，甚至还有一些物理量，比如质量和电荷分布。

想象一下，如果你要在一块土地上播种，你可能会想知道这块土地的面积，这时候二重积分就派上用场了。

就像你在做一道菜，调料的分量得掌握得当，二重积分就是让你调出完美味道的秘诀！3. 曲面积分的登场3.1 曲面积分的基本概念接下来，我们转到曲面积分。

顾名思义，曲面积分是对曲面上的函数进行积分。

这里的“曲面”可不是随便的曲线，而是一些有形状的表面，像是球的表面、柱子的侧面等等。

想象一下，你正在制作一个巨大的蛋糕，而这个蛋糕的表面就需要用曲面积分来计算，才能知道涂上奶油的量。

3.2 曲面积分的应用曲面积分在物理学中也是大有作为，比如计算流体流过一个表面的流量。

这就像在河边捞鱼，水流在不同的地方，流速和流向也各不相同，你需要知道水流经过的总量，才能捞到更多的鱼。

曲面积分就像是你的“鱼网”，把所有流量都网住了，确保你不会空手而归。

4. 二重积分与曲面积分的关系4.1 关系的理解好了，话说回来，二重积分和曲面积分到底有什么关系呢？这就好比两个好朋友，各有各的特长，但又能互相配合。

二重积分与三重积分区别都是递进关系，从一重积分开始，只说几何意义吧。

一重积分(定积分)：只有一个自变量y = f(x)当被积函数为1时，就是直线的长度(自由度较大)∫(a→b) dx = L(直线长度)被积函数不为1时，就是图形的面积(规则)∫(a→b) f(x) dx = A(平面面积)另外，定积分也可以求规则的旋转体体积，分别是盘旋法(Disc Method)：V = π∫(a→b) f2(x) dx圆壳法(Shell Method)：V = 2π∫(a→b) xf(x) dx计算方法有换元积分法，极坐标法等，定积分接触得多，不详说了∫(α→β) (1/2)[A(θ)]2 dθ = A(极坐标下的平面面积)二重积分：有两个自变量z = f(x，y)当被积函数为1时，就是面积(自由度较大)∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = A(平面面积)当被积函数不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = V(旋转体体积)计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等极坐标变换：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ三重积分：有三个自变量u = f(x，y，z)被积函数为1时，就是体积、旋转体体积(自由度最大)∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = V(旋转体体积)当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ{ y = rsinθ{ z = z{ h ≤ r ≤ k{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z?→z?) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ{ y = rsinφsinθ{ z = rcosφ{ h ≤ r ≤ k{ a ≤φ≤ b、最大范围：0 ≤φ≤π{ α≤θ≤β、最大范围：0 ≤θ≤ 2π∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) r2sin2φ drdφdθ所以越上一级，能求得的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而且限制比上面两个都少，对空间想象力提高了。

二重积分和曲线曲面的关系
在数学中，二重积分和曲线曲面之间存在着密切的关系。

二重积分是曲线或曲面上函数的平均值的推广，而曲线曲面则是在三维空间中描述函数变化的对象。

对于一个平面曲线，可以使用一重积分来计算其长度、弧长等性质。

一重积分是对曲线上函数的积分，表示函数在曲线上的加权累积。

例如，如果要计算曲线上一段距离为Δs的弧长，可以将弧长元素ds表示为函数f(x)对x的积分：
Δs = ∫ ds = ∫ √(1 + (dy/dx)²) dx
其中，dy/dx表示曲线的斜率。

而对于一个曲面，如一个闭合曲面或一个简单曲面，可以使用二重积分来计算其面积、体积等性质。

二重积分是对曲面上函数的积分，表示函数在曲面上的加权累积。

例如，如果要计算曲面上一片面积为ΔA的面积，可以将面积元素dA表示为函数f(x, y)对x和y的积分：
ΔA = ∬ dA = ∬ √(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²) dx dy
其中，(∂z/∂x)和(∂z/∂y)表示曲面在x和y方向的斜率。

因此，可以看出二重积分和曲线曲面之间存在着紧密的联系，二者都是对函数在一定区域上的累积性质的描述。

同时，通过二重积分可以计算曲线和曲面的长度、面积、体积等性质。

2016考研数学：定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分的
联系和区别
定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的重点内容，下面文都考研数学老师帮大家总结一下各种积分的概念和计算方法，便于大家复习时深刻理解它们之间的联系和区别。

定积分、二重积分、三重积分以及曲线、曲面积分它们的定义都是经过分割、近似、求和、去极限四步最后归结为一个特定结构和式的极限值，定义可以用统一形式给出：。

二重积分什么是二重积分？在数学中，二重积分是对一个平面区域上的函数进行求和的一种方法。

这个平面区域可以由直线、曲线或者其他形状所围成。

二重积分可以用来计算平面上的面积、质心、质量等物理量。

二重积分的定义设有一个函数f (x,y )定义在一个闭区域D 上，闭区域D 可以用x =a 和x =b 两条垂直于x 轴的直线以及曲线y =g 1(x )和y =g 2(x )来围成。

那么，函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分可以表示为：∬f D(x,y )dA其中，dA =dxdy 表示微元面积。

二重积分的计算迭代法我们可以通过迭代法来计算二重积分。

具体步骤如下：1. 首先确定x 的取值范围，即确定x =a 和x =b 。

2. 对于每个固定的x 值，在该范围内确定y =g 1(x )和y =g 2(x )。

3. 将函数f (x,y )进行展开，并将其乘以微元面积dA =dxdy 。

4. 对于每个x 值，将得到的函数表达式进行积分，即计算∫f g 2(x )g 1(x )(x,y )dy 。

5. 将上一步得到的结果进行积分，即计算∫∫f g 2(x )g 1(x )b a (x,y )dydx 。

极坐标法在某些情况下，使用极坐标法可以简化二重积分的计算。

具体步骤如下： 1.将x =rcosθ和y =rsinθ代入函数f (x,y )。

2.将微元面积dA =dxdy =rdrdθ代入函数f (r,θ)。

3.确定r 的取值范围和θ的取值范围。

4.将函数f (r,θ)乘以微元面积dA =rdrdθ。

5. 对r 和θ进行相应的积分。

计算平面区域的面积二重积分可以用来计算平面区域的面积。

设有一个闭区域D，则该区域的面积可以表示为：S=∬dDA其中，dA=dxdy表示微元面积。

计算质心质心是一个物体在空间中平衡的位置。

对于一个平面区域，质心可以通过二重积分来计算。

设有一个闭区域D，则该区域的质心可以表示为：x‾=1S∬xDdAy‾=1S∬yDdA其中，S=∬dDA表示区域D的面积。

§ 2多重积分、曲线积分与曲面积分、多重积分 1.二重积分 连续函数f （x,y ）在有限可求积的平面区域Q 内的二重积分 jj f （x,y ）dxdy =烏忖迟迟f 区孑）冷列）O max|gjT ' j 式中.iX ' =x 4 -x 「y 二y j 打-、、',二二 是对Q 中的所有（x, yj 的下标i , j 求和.j ［特定区域内二重积分的计算公式］ 积分区域Q I I f （x, y ）dxd y 计算公式（积分限应从小到大）° b ：2 (x) a dX'x) f(x,y )dy 9 = a 『■ J(y ) • ：dy i (y) f(x,y )dx O 设 x =『cos ，二『sin ::，贝U dxd y = * d 「d .討鳥"（「cosjsin 「）心「 （极在区域外） （极在区域内） 2 — I .M . ■) d 「 f('cos 「sin J 廿 弋0 峪0 ［二重积分的变量替换（雅可比式）］若连续可微分的函数 ；x = x （u,叭 廿 y （u^）'把平面Oxy 上的有界闭区域Q 单值映射到平面Ou 上的闭区域Q '，其雅可比式为cX J = £(x,y) _ 茄 c (u ^)滅 cv 则 例 则 所以 !! f (x, y)dxdy = f [x(u, ), y(u, )] J | dud Q Q ”X = P cos® 』=Psi n®cos -「sin sin "cos !! f (x, y)dxdy = f ( 'cos ,「sin J 、d : Q Q 2.三重积分 [直角坐标下的三重积分]假设有界区域V 由下列不等式 a <x <b, y i (x) <y < y 2(x) , Z i (x,y) <z < Z 2(x,y) 确定，其中yjx), y 2(x),乙(£ y), Z 2(x, y)都是连续函数，且函数f(x,y,z)在 V 上是连续的，贝U 函数f(x,y,z)在有界区域V 上的三重积分b y 2(x) Z 2 (x,y) HI f (x,y ,z )dxd Y d ^f a dx f y(x) d vf z(x ,y) f (x,y ,z )dzV 1 1 有时采用下面公式计算： b 川 f(x,y,z)dxdydz =J a dx JJ f(x,y,z)dydz aV S x 式中S x 二S x (y,z)是用平行于Oyz 的平面截区域V 所得的截断面(图6.3).例设V 表示在第一卦限中由曲面f f f ^1和坐标平面所围成的封闭区域, 切常数都是正的时候，有 !!!x ：4y ：4z 4dxdydz V a p Tr □ P Y a b c (—)( — )(—) P q r a P Vpqr- (1 ) P q r 这种类型的积分称为狄利克莱积分，它在计算重积分时经常用到 图 6* 5 0 > —■ 图6.3［圆柱坐标下的三重积分］(图6.4)I I I f （x, y, z ）d xd y d z 二 f （ cos : J sin : ,z ） d 「d zVV - （一般地，2n ） 式中V 为直角坐标中的有界区域，V 是区域V 在圆柱坐标系中的表达式.［球面坐标下的三重积分］（图6.5）2I IIf （x, y, z ） d x d y d = f （r si n v cos , r si n v sin : ,r cosRr si n v d r dv d : V V ' （一般地，0W W 2 n ,0W 0 W n ） 式中V 是区域V 在球面坐标系中的表达式.［三重积分的变量替换（雅可比式）］若连续可微函数X =x （u,： ,w ）“ y = y （u,u,w ）z = z （u,u ,w ）把Oxyz 空间的有界三维闭区域双方单值地映射到 O'u w 空间的闭区域V',并且当（u, ： ,w ） € V'时其雅可比式则! ! ! f （x, y,z ）d xd y d z 二 f ［x （u, , w ）, y （u, , w ）, z （u, , w ）］ | J | d u d d wV V ' 3.多重积分［直接计算多重积分］若函数f （X 1,X 2，…，X n ）在由下列不等式所确定的有界闭区域 Q 内是连续的：a w X 1 W bX 2(xj w X 2 w X 2 (xjX （X i ,X 2，...，X n4）W X n W x ："必， (X)式中a,b 为常数，X 2（X i ），X 2（X i ），…，X n （X i ,X 2, ,X n 」），X n （洛风，X J ）为连续函数，则对应的多重积分可按下面公式计算：□….f （X i ,X 2,...X n ）dX ! dX 2…dX n mf dX i .：（：；） ［多重积分的变量替换（雅可比式）］若连续可微函数 XL% （J J,…，匕 n ）, i=1,2，…,n 把OX 1X2…X n 空间内的有界闭区域Q 双方单值地映射成O' 1 2空间内的有界闭区域Q ', 并且在闭区域Q '内雅可比式 j J (X l ,X 2, ,X n ) = 0 "1, 2，…,n )则"X, y,z):(u, ,w) ex 今 dzcu cu du ex £y cz 花 丰0CX 绍 czcw cw cw , (X ,X 2”..X ” 1) 、，dX f (X ,X ,...X )dX门….f (X i,X2,...X n) dX i dX2...dX n 门....f( ：1, 2,... ：n)| J |d \d 2...d n特别，根据公式Q QX! = r cos 1X2 二r sin 1 cos :2 x n4 = r sin 詹sin ®2...sin ®n/ cos®n_ix n= r s in [sin 2...s in「n/S in n」变换成极坐标(r, \, \,…,-:nJ)时，有：$(X1,X2，…,X n) njL •心①•心①…•①J r sin in 2sin n 2"匚「2,二「) 1 2二、曲线积分[对弧长的曲线积分]若函数f(x,y,z)在光滑曲线C:x = X(t)ds T」y = y(t)z = z(t)(t° 兰t 兰T)的各点上有定义并且连续(图 6.6)则c f(x, y,z)ds 二：f[x(t), y(t), Z(t)] x2(t) y2(t) z2(t) dt式中ds为弧的微分，：t)d x(t)等.这个积分与曲线C的方向X⑴一寸无关.[对坐标的曲线积分]若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在光滑曲线C: ‘X =x(t)y = y(t)[z = z(t) (t。