高中数学必修一集合与集合的关系知识点总结与练习

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．集合M= x ∈N*| x (x －3)< 0}的子集个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D 详解：{}{*|(3)0}{*|03}1,2M x N x x x N x =∈-<=∈<<=所以集合的子集个数为224=个，故选D ．2．若集合{|11}M x x =∈-≤≤Z ，2{|,}P y y x x M ==∈，则集合M 与P 的关系是（ ） A ．M P = B ．M P C ．P MD ．M P ⋂=∅答案：C解析：根据集合M ，求出集合P ，进而可得集合M 与P 的关系． 详解：解：由题意可得{1,0,1}M ，{0,1}P =，所以P M ．故选：C ． 点睛：本题考查了集合包含关系的判断及应用，属基础题．3．已知集合{}12A x x =<≤，{}B x x a =<.若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．1a a ≥ B ．1a a ≤C ．{}2a a ≥D ．{}2a a >答案：D解析：利用数轴法，根据集合间的关系，即可得答案； 详解： 根据题意作图：易知2a >. 故选：D.点睛：本题考查根据集合间的关系求参数的取值，求解时注意等号成立的条件. 4．已知集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，若A B ⊆，则a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1答案：B解析：根据A B ⊆可得出关于a 的等式，解出即可. 详解：集合{}0,1A =，{}1,0,2B a =-+，A B ⊆，21a ∴+=，解得1a =-. 故选：B. 点睛：本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 5．集合（1，2）（3，4）}的子集个数为（ ） A ．3 B ．4C ．15D ．16答案：B解析：直接枚举求解即可. 详解：易得()(){}1,2,3,4的子集有∅,(){}1,2,(){}3,4,()(){}1,2,3,4. 故选：B 点睛：本题主要考查了集合的子集个数,属于基础题. 6．集合{1,0,1}-的非空真子集共有（ ） A ．5个 B ．6个C ．7个D ．8个答案：B解析：将集合的所有非空真子集列举出来，即可得解. 详解：集合{1,0,1}-，则其非空真子集为{}1-，{0}，{1}，{1,0}-，{0,1}，{1,1}-， 所以非空真子集共有6个， 故选：B. 点睛：本题考查了集合的真子集概念，真子集个数计算，属于基础题.7．已知集合{}0,1,2A =，则A 的子集共有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个答案：D解析：根据集合中元素的个数，以及集合子集的个数2n ，简单计算可得结果. 详解：集合A 的子集共有328=个. 故选：D. 点睛：本题考查集合子集个数的计算，识记常用结论，假设集合元素个数为n ，则该集合子集个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集个数为21n -，非空真子集个数为22n -，属基础题. 8．含有三个实数的集合表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a b +，则20092009a b +的值为 A ．0 B ．-1 C ．1 D ．答案：B解析：根据集合的相等，分别找到元素的对应关系，排除不可能的情况，再进行分类讨论，得到答案. 详解：含有三个实数的集合表示为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，也可表示为{}2,,0a a b + 所以可得0a =或者0ba=当0a =时，因有b a，所以不成立. 故只能0b a=，即0b =此时集合分别为{},0,1a 和{}2,,0a a所以有21a =，即1a =±而由集合的互异性可知，1a =时，不成立 故1a =- 故选B 项. 点睛：本题考查集合的相等，和集合的性质，属于简单题.9．集合P 具有性质“若x P ∈，则1P x∈”，就称集合P 是伙伴关系的集合，集合111,0,,,1,2,3,432A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为A ．3B ．7C ．15D ．31答案：C解析：首先分析集合A 中的哪些元素能是伙伴关系的集合里的元素，然后利用集合的子集个数公式求解. 详解：根据条件可知满足伙伴关系的集合里面有111,1,,3,,232-中的某些元素，13和3，12和2都以整体出现，13和3看成一个元素，12和2也看成一个元素，∴共有4个元素，集合是非空集合，∴有42115-=个.故选C 点睛：本题主要考查集合关系的判断，利用条件确定伙伴关系的元素是解决本题的关键，意在考查分析问题和解决问题的能力.10．设A=x|2≤x≤4}，B=x|2a≤x≤a+3}，若B 真包含于A ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,3 B ．(){}3,1∞+⋃ C ．{}1 D ．()3,∞+答案：C解析：由B 真包含于A ，讨论B ＝∅与B≠∅时，求出a 的取值范围． 详解：∵A＝x|2≤x≤4}，B ＝x|2a≤x≤a+3}，且B 真包含于A ； 当B ＝∅时，2a ＞a+3，解得a ＞3；当B≠∅时，232234a a a a ≤+⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩解得a ＝1；此时A=B.∴a 的取值范围是a|a ＞3} 故选C ． 点睛：本题考查了集合之间的基本运算，解题时容易忽略B ＝∅的情况，是易错题．11．集合{}1,2,3的真子集有（ ） A ．4个 B ．6个 C ．7个 D ．8个答案：C解析：根据集合真子集的个数公式求解即可. 详解：集合{}1,2,3的元素个数为3个， 故真子集的个数为3217-=， 故选：C 点睛：本题主要考查了集合子集，真子集的概念，考查了集合真子集个数公式，属于容易题.12．集合{}2|4,,A y y x x N y N ==-+∈∈的真子集的个数为A ．9B ．8C ．7D ．6答案：C 详解：{}0,3,4,A =故A 有7个真子集13．已知集合{}1,1A =-，{}|10B x ax =+=，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为 A ．{}1,0,1- B ．{}1,1- C ．{}1 D ．{}1-答案：A 详解：试题分析：B A ⊆，∴B=φ或B ＝－1}或B ＝1}，∴a=0,-1,1． 考点：子集关系点评：本题考查了子集关系，勿忘空集．14．下列四个集合中，空集是A ．{}2|20x R x ∈+=B ．0C ．{}|84x x x ><或D ．{}∅答案：A 详解：试题分析：A.因为方程2+2=0x 无解，所以{}2|20x R x ∈+= =φ；B.0中含有一个元素0，所以不是空集；C. {}|84x x x ><或含有很多元素，所以不是空集；D. {}∅含有一个元素φ，所以不是空集． 考点：集合的表示方法；空集的定义．点评：空集就是不含任何元素的集合．属于基础题型．15．下列四个关系中，正确的是（ ） A ．{},a a b ∈ B ．{}{},a a b ∈ C ．{}a a ∉D ．(){},a a b ∈答案：A解析：因为a 是集合{,}a b 中的元素，判断A 选项正确；因为{}a 与{},a b 是两个集合，判断B 选项错误；因为a 是集合{}a 中的元素，判断C 选项错误；因为数a 不在集合{(,)}a b 中，判断D 选项错误. 详解：解：A 选项：因为a 是集合{,}a b 中的元素，所以{},a a b ∈，故A 选项正确； B 选项：{}a 与{},a b 是两个集合，集合之间没有属于关系，故B 选项错误； C 选项：因为a 是集合{}a 中的元素，所以{}a a ∈，故C 选项错误；D 选项：因为集合{(,)}a b 中的元素是点(,)a b ，数a 不在集合{(,)}a b 中，故D 选项错误； 故选：A. 点睛：本题考查元素与集合的属于关系、集合之间的包含关系，是基础题 16．集合｛1，2，3｝的子集共有 A ．7个 B ．8个 C ．6个 D ．5个答案：B 详解：集合｛1，2，3｝中共三个元素，子集个数为：328=. 故选B.17．集合A ＝(x ，y)|y ＝x}和B ＝()21,|45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，则下列结论中正确的是 ( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．∅∈A答案：B解析：B ＝()21,|45x y x y x y ⎧⎫-=⎧⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭＝(1,1)}，而A ＝(x ，y)|y ＝x}，B 中的元素在A 中，所以B ⊆A故选B ．18．已知集合{}22,4,A a =，{}2,6B a =+，若B A ⊆，则a =（ ）A ．-3B ．-2C ．3D ．-2或3答案：C解析：因为B A ⊆得到64a +=或者26a a +=，但是算出a 的值后，要将a 值代回去检验是否满足集合的互异性的条件. 详解： 因为B A ⊆，若64a +=，则2a =-，24a =，集合A 中的元素不满足互异性，舍去； 若26a a +=，则3a =或-2，因为2a ≠-，所以3a =. 故选C. 点睛：根据集合之间的包含关系求解参数的值时，一定要记得将参数的值代回集合中检验是否会有重合的元素，如果有重合的情况就要舍掉这个参数的取值，切记集合的三要素：确定性，互异性，无序性.19．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤-或1a ≥ B ．21a -≤≤ C ．21a -<< D ．2a <-或1a >答案：B解析：{|32},[4,=4]S x x x T a a =-=-或 ，所以432142a a a -≤-⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩，选A. 点睛：形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a|＋|x －b|＞c(c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解.20．设集合{}|12A x x =<<,{}|B x x a =<,若A B ⊆,则a 的取值范围 A ．2a ≤ B ．1a ≤C ．1a <D ．2a ≥答案：D解析：结合数轴分析即可. 详解：画出数轴可得,若A B ⊆则2a ≥.故选：D点睛：本题主要考查了根据集合的关系求参数的问题,属于基础题型.。

习题课——集合的概念、基本关系与基本运算课后训练巩固提升1.设集合A={x|x≤4},m=1,则下列关系中正确的是()B.m∉AC.{m}∈AD.m∈A1<4,所以m∈A,故选D.M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5,或x>5},则M∪N=()A.{x|x<-5,或x>-3}B.{x|-5<x<5}<x<5} D.{x|x<-3,或x>5}集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5,或x>5},N={x|x<-5,或x>-3},故选A.U=Z,A={1,3,5,7,9},B={1,2,3,4,5},则图中阴影部分表示的集合是()A.{1,3,5}B.{1,2,3,4,5}D.{2,4}(∁U A)∩B={2,4}.U={x|-2≤x≤1},A={x|-2<x<1},B={x|x2+x-2=0},C={x|-2≤x<1},则()B.C⊆∁U AC.∁U B=CD.∁U A=BB={-2,1},∴∁U A=B.A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠⌀,则a的取值范围是()B.a>-2C.a>-1D.-1<a≤2解析:在数轴上画出集合A={x|-1≤x<2},要使A∩B≠⌀,借助数轴可知a>-1.答案:C6.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P*Q={z|z=ab,a∈P,b∈Q},若P={-1,0,1},Q={-2,2},则集合P*Q中元素的个数是()B.3C.4D.5a=0时,无论b取何值,z=ab=0;当a=-1,b=-2时,z=12;当a=-1,b=2时,z=-12;当a=1,b=-2时,z=-12;当a=1,b=2时,z=12.故P*Q={0,12,-12},该集合中共有3个元素.A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},则用列举法表示B=.B={x|x=t2,t∈A},当t=-2和2时,x=4;当t=3时,x=9;当t=4时,x=16,用列举法表示.A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁U A)∩B=⌀,则实数m的取值范围为.A={x|x≥-m},得∁U A={x|x<-m}.∵B={x|-2<x<4},(∁U A )∩B=⌀, -2,即m ≥2,∴m 的取值范围是m ≥2.m|m ≥2}U={n|n 是小于9的正整数},A={n ∈U|n 是奇数},B={n ∈U|n 是3的倍数},则∁U (A ∪{1,2,3,4,5,6,7,8},.B={1,3,5,6,7},∴∁U (A ∪B )={2,4,8}.A={x|-2≤x ≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是 .B=⌀时,有m+1≥2m-1,则m ≤2.时,若B ⊆A ,如图,则{m +1≥-2,2m -1≤7,m +1<2m -1,解得2<m ≤4.的取值范围为m ≤4.≤4 A={-4,2a-1,a 2},B={a-5,1-a ,9},分别求适合下列条件的a 的值.(1)9∈(A ∩B );=A ∩B.∵9∈(A ∩B ),∴9∈A ,且9∈B.1=9或a 2=9.∴a=5或a=-3或a=3.经检验a=5或a=-3符合题意.∴a=5或a=-3.(2)∵{9}=A ∩B ,∴9∈A ,且9∈B ,由(1)知a=5或a=-3.当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},此时A ∩B={9};当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},此时A ∩B={-4,9},不合题意.∴a=-3.12.已知全集为R ,集合A={x|2≤x ≤6},B={x|3x-7≥8-2x }.(1)求A ∪B ;(2)求∁R (A ∩B );C={x|a-4≤x ≤a+4},且A ⊆∁R C ,求a 的取值范围.∵B={x|3x-7≥8-2x }={x|x ≥3},∪B={x|x ≥2}.(2)∵A ∩B={x|3≤x ≤6},∴∁R (A ∩B )={x|x<3,或x>6}.(3)由题意知C ≠⌀,则∁R C={x|x<a-4,或x>a+4}.∵A={x|2≤x ≤6},A ⊆∁R C ,∴a-4>6或a+4<2,解得a>10或a<-2.故a 的取值范围为a<-2或a>10.13.已知集合A={x|x 2+ax+12b=0}和B={x|x 2-ax+b=0},满足B ∩(∁U A )={2},A ∩(∁U B )={4},U=R ,求实数.B ∩(∁U A )={2},∴2∈B ,且2∉A.∩(∁U B )={4},∴4∈A ,且4∉B.∴{42+4a +12b =0,22-2a +b =0,解得{a =87,b =-127. ∴a ,b 的值为87,-127.。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．下列式子表示正确的是（ ）A ．∅{}0⊆B ．{}{}22,3∈C ．∅{}1,2∈D ．{}00,2,3⊆答案：A解析：根据空集的性质，集合与集合的关系，元素与集合的关系逐一判断可得答案. 详解：解：根据空集的性质，空集是任何集合的子集，{}0∅⊆，故A 正确；根据集合与集合关系的表示法，{}2{}2,3，故B 错误； ∅是任意非空集合的真子集，有∅{}1,2，但{}1,2∅∈表示方法不对，故C 错误；根据元素与集合关系的表示法，{}00,2,3∈，不是{}00,2,3⊆，故D 错误；故选：A.点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用，元素与集合关系的判断，集合的表示法.2．已知集合A=x|a≤x<3)，B=[1，+∞)，若A 是B 的子集，则实数a 取值范围为（ ）A ．[0，3)B ．[1，3)C ．[0，+∞)D ．[1，+∞)答案：D 解析：根据条件讨论A 是否为空集：A =∅时，3a ；A ≠∅时，31a a <⎧⎨⎩，解出a 的范围即可．详解：解：{|3}A x a x =<，[1B =，)+∞，且A B ⊆，∴①A =∅时，3a ；②A ≠∅时，31a a <⎧⎨⎩，解得13a <， ∴综上，实数a 的取值范围为[1，)+∞．故选：D ．点睛：本题考查了子集的定义，描述法、区间的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．3．已知集合{}1A x x =>，则下列判断正确的是（ ）A ．0A ∈B ．{}2A ⊆C ．2A ⊆D ．A ∅∈答案：B解析：先区分是集合还是元素，而后选用符合的符号．详解： 解：集合{|1}A x x =>，0A ∴∉，{2}A ⊆，2A ∈，A ∅⊆ 故选：B ．4．若{}6,7,8A =，则集合A 的真子集共有A ．3个B ．5个C ．7个D ．8个答案：C解析：根据n 元集合有2n ﹣1个真子集，结合集合6，7，8}共有3个元素，代入可得答案． 详解：因为A ＝6，7，8}共3个元素故集合A ＝6，7，8}共有23﹣1＝7个真子集故选C ．点睛：本题考查的知识点是子集与真子集，熟练掌握n 元集合有2n 个子集，有2n ﹣1个真子集，是解答的关键．5．已知集合A=2，3}，B=x|mx ﹣6=0}，若B ⊆A ，则实数m=A ．3B ．2C ．2或3D ．0或2或3答案：D详解：试题分析：：∵A=2，3}，B=x|mx-6=0}=6m }， ∵B ⊆A ， ∴2=6m ，或3=6m ，或6m 不存在， ∴m=2，或m=3，或m=0考点：集合关系中的参数取值问题6．已知集合{}{}0,2,2,0,A B a ==-,若A B ⊆,则实数a 的值为A ．2B ．1C ．0D ．2-答案：A详解：试题分析：因A B ⊆,故，应选A. 考点：子集包含关系的理解．7．已知集合，则下列式子表示正确的有 ① ② ③④ A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：C详解： 解：因为集合，则说明A=1,-1},因此利用元素与集合的关系，以及集合与集合的关系得到①,成立，③ ④也成立，选项C8．已知集合{}{}|1,|M x x N x x a =>=>，且M N ⊆，则（ ）A ．1a ≤B ．1a <C ．1a ≥D ．1a >答案：A解析：根据M N ⊆，在数轴上作出,M N ，可得结果.详解：根据M N ⊆，在数轴上作出集合,M N ，如图：可得：1a ≤，故选：A.点睛：本题考查集合间的包含关系，注意利用数轴，是基础题.9．已知集合{1,2}A =，{4,5,6}B =，:f A B →为集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域C 的不同情况有（ ）种.A ．2B ．3C ．6D ．7答案：C解析：函数的值域C 是集合B 的一个子集,分析可知B 的非空子集共有7个,除去{4,5,6}有3个元素不能作为值域,则值域C 的不同情况有6种.详解：由函数的定义可知,函数的值域C 是集合B 的一个子集.{4,5,6}B =,非空子集共有3217-=个；而定义域A 中至多有2个元素,所以值域C 中也至多有2个元素；所以集合B 的子集{4,5,6}不能作为值域C,值域C 的不同情况只能有6种.故选：C.点睛：本题考查了集合的子集个数和函数的定义,若函数的定义域和值域里的元素个数为有限个,则值域的元素个数不会超过定义域里的元素个数.本题属于中等题.10．已知a b 、为实数，若集合,1ba ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与{},0a 表示同一集合，则+a b 等于（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．±1答案：C 解析：由集合相等可得1,0b a a==，解出即可．详解： 解：集合相等可得1,0b a a ==，解得1,0a b ==．1a b ∴+=． 故选：C ．点睛：本题考查了集合相等，属于基础题．二、填空题1．集合{}1,0,1-的子集共有___________个.答案：8解析：将子集一一列出即可．详解：集合{1A =-，0，1}的子集有：∅，{}1-，{0}，{1}，{1-，0}，{0，1}，{1-，1}，{1-，0，1}共8个故答案为：8．2．已知全集U =R ，集合{|34}A x x =-≤≤，集合{|121}B x a x a =+<<-，且U A C B ⊆，则实数a 的取值范围是_________________.答案：a≥3或a≤2解析：对集合B 分类讨论B=∅与B ≠∅,结合U A C B ⊆得到关于a 的不等式组，从而得到结果. 详解：∵{|121}B x a x a =+<<-，且A ⊆∁U B ，2a ﹣1＞a+1，解得a ＞2，∁U B=x|x≤a+1，或x≥2a﹣1}，∴241a a ⎧⎨≤+⎩＞或2213a a ⎧⎨-≤-⎩＞， 解得a≥3或a∈∅．此时实数a 的取值范围为a≥3．当B=∅，∁U B=R ，满足A ⊆∁U B ，∴a+1≥2a﹣1，解得a≤2．综上可得：实数a 的取值范围为a≥3或a≤2．点睛：本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．角的集合{|,}2A x x k k ππ==+∈Z 与集合{|2,}2B x x k k ππ==±∈Z 之间的关系为________．答案：A B =解析：在集合A 中，分析k 的奇偶，可得出集合A 所表示的角的终边，与集合B 相比较，可得出结果.详解：解：集合{|,}2A x x k k ππ==+∈Z ，当k 为奇数时，假设21k n =-，则{|2,}2A x x n k πππ==-+∈Z ，即{|2,}2A x x n k ππ==-∈Z 表示终边在y 轴非正半轴上的角，当k为偶数时，假设2k n =，集合{|2,}2A x x n k ππ==+∈Z ，表示终边在y 轴非负半轴上的角； 集合{|2,}2B x x k k ππ==±∈Z ，则集合B 表示终边落在y 轴上的角的集合，所以A B =. 故答案为：A B =.4．集合∅和{0}的关系表示正确的有________.(把正确的序号都填上)①{0}=∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅{0}.答案：④解析：根据集合间的基本关系及定义，即可得答案；详解：∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然{0}∅≠，又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}.，所以④正确，①②③不正确.故答案为：④点睛：本题考查集合间的基本关系，考查对概念的理解，属于基础题.5．已知{}0,2,M b =，{}20,2,N b =，且M N ，则实数b 的值为____________.答案：1解析：根据集合相等以及集合元素的互异性可求得实数b 的值.详解：{}0,2,M b =，{}20,2,N b =且M N ，则202b b b b ⎧=⎪≠⎨⎪≠⎩，解得1b =. 故答案为：1.点睛：本题考查利用集合相等求参数，同时要注意集合的元素应满足互异性，考查计算能力，属于基础题.三、解答题1．设全集U =R ，集合{}5|4A x x =-<<，集合{6B x x =<-或}1x >，集合{}|0C x x m =-<，求实数m 的取值范围，使其同时满足下列两个条件.①()C A B ⊇⋂；②()()U U C A B ⊇.答案：{}|4m m ≥解析：求出A B 和()()U U A B ⋂，求出集合C ，由包含关系得m 的不等关系．详解：解：因为{}5|4A x x =-<<，{|6B x x =<-或1}x >，所以{}|14A B x x =<<.又{|5U A x x =≤-或4}x ≥，{}61|U B x x =-≤≤，所以()(){}65|U U A B x x =-≤≤-.而{}|C x x m =<，因为当()C A B ⊇⋂时，4m ≥，当()()U U C A B ⊇时，5m >-，所以4m ≥.即实数m 的取值范围为{}|4m m ≥.点睛：本题考查集合的综合运算，考查集合的包含关系，掌握包含关系是解题关键．2．已知M=x| -2≤x≤5}， N=x| a+1≤x≤2a -1}.（1）若M ⊆N ，求实数a 的取值范围；（2）若M ⊇N ，求实数a 的取值范围.答案：（1）空集；（2）{}3a a ≤.解析：（1）根据子集的性质进行求解即可；（2）根据子集的性质，结合N =∅和N ≠∅两种情况分类讨论进行求解即可.详解：（1）由M N ⊆得：12321531212a a a a a a a +≤-≤-⎧⎧⎪⎪⇒-≥≥⎨⎨⎪⎪+≤-≥⎩⎩无解； 故实数a 的取值范围为空集；（2）由M N ⊇得：当N =∅时，即1212a a a +>-⇒<；当N ≠∅时，12121232153a a a a a a a +≤-≥⎧⎧⎪⎪+≥-⇒≥-⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎩， 故23a ≤≤；综上实数a 的取值范围为{}3a a ≤.3．设f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意实数x ，有f （x ﹣2）＝x 2﹣3x+3． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若x|f （x ﹣2）＝﹣（a+2）x+3﹣b}＝a}，求a 和b 的值．答案：（Ⅰ）f （x ）＝x 2+x+1；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）采用换元法，令x ﹣2＝t ，即可求得解析式；（Ⅱ）先将表达式化简，再结合x|f （x ﹣2）＝﹣（a+2）x+3﹣b}＝a}可得，解方程可求a 和b 的值详解：（Ⅰ）依题意，令x ﹣2＝t ，则x ＝t+2，∴f （t ）＝（t+2）2﹣3（t+2）+3＝t 2+t+1， ∴f （x ）＝x 2+x+1；（Ⅱ）依题意，方程x 2﹣3x+3＝﹣（a+2）x+3﹣b 有唯一解a ，即方程x 2+（a ﹣1）x+b ＝0有唯一解a ， ∴，解得．点睛：本题考查换元法求解析式，根据集合相等求解参数，一元二次方程有唯一解的等价条件的转化，属于中档题4．已知集合{}25A x x =-≤≤，集合{}121B x p x p =+≤≤-，若A B B =，求实数p 的取值范围．答案：3p ≤解析：根据题意，由集合的性质，可得若满足A B B =，则B A ⊆，进而分：①121p p +>-，②121p p +=-，③121p p +<-，三种情况讨论，讨论时，先求出p 的取值范围，进而可得B ，讨论集合B 与A 的关系可得这种情况下p 的取值范围，对三种情况下求得的p 的范围求并集可得答案．详解：解：根据题意，若A B B =，则B A ⊆；分情况讨论：①当121p p +>-时，即2p <时，B =∅，此时B A ⊆，则A B B =，则2p <时，符合题意；②当121p p +=-时，即2p =时，{}{}333B x x =≤≤=，此时B A ⊆，则A B B =，则2p =时，符合题意；③当121p p +<-时，即2p >时，{}121B x p x p =+≤≤-，若B A ⊆，则有21512p p -≤⎧⎨+≥-⎩，解可得33p -≤≤， 又由2p >，则当23p <≤时，符合题意；综上所述，满足A B B =成立的p 的取值范围为3p ≤．点睛：本题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，易错点为遗漏B =∅的情况，考查了分类讨论的思想，属于中档题.5．已知全集U=R ，集合A=x∣-2≤x≤3}，B=x∣2a<x<a+3}，且U B A ⊆，求实数a 的取值集合.答案：a∣a≤-5或a≥32}解析：首先求出集合A 的补集，再根据U B A ⊆，对集合B 是否为空集分类讨论，得到不等式组，解得即可；详解：解：因为{}|23A x x =-≤≤，所以U {|2A x x =<-或3}x >因为U B A ⊆，当B =∅时23a a ≥+解得3a ≥；当B ≠∅时，由U B A ⊆所以23,23,a a a <+⎧⎨≥⎩或2332a a a <+⎧⎨+≤⎩－ 解得332a ≤<或5a ≤-.所以实数a 的取值集合为{|5a a -≤或3}2a ≥.点睛：本题考查集合的包含关系求参数的取值范围，一般需对集合是否为空集分类讨论，属于基础题.。

必修一第一章：集合专题一、集合概念1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .4、集合的表示方法：列举法、描述法.二、集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、 若集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集，21n -个真子集.三、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A .2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且集合专题训练1. 设集合A ={1,2,3},B ={2,3,4},则A ∪B =( )A. {1,2,3,4}B. {1,2,3}C. {2,3,4}D. {1,3,4} 2. 设集合A ={x|x 2−4x +3<0},B ={x|2x −3>0},则A ∩B =( ) A. (−3,−32) B. (−3,32) C. (1,32) D. (32,3)3. 设集合A ={1,2,4},B ={x|x 2−4x +m =0},若A ∩B ={1},则B =( )A. {1,−3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5}4. 已知集合A ={1,2,3,4},B ={y|y =3x −2,x ∈A},则A ∩B =( )A. {1}B. {4}C. {1,3}D. {1,4}5. 已知集合A ={1,2,3,4},B ={2,4,6,8},则A ∩B 中元素的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知集合A ={x|1<2x <8},集合B ={x|0<log 2x <1},则A ∩B =( )A. {x|1<x <3}B. {x|1<x <2}C. {x|2<x <3}D. {x|0<x <2}7. 集合A ={0,1,2}的真子集的个数是______ ．8. 已知集合,,A ∪B =A ,则实数p 的取值范围是______．9. 若集合A ={x|ax 2+3x +2=0}中至多有一个元素,则a 的取值范围是_____________10. 如图,若集合A ={1,2,3,4,5},B ={2,4,6,8,10},则图中阴影部分表示的集合为______．11.已知全集U =R ,集合A ={x|x 2−4x ≤0},B ={x|m ≤x ≤m +2}．(1)若m =3,求∁U B 和A ∪B ；(2)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围；(3)若Φ=⋂B A ,求实数m 的取值范围．。

高中数学必修一知识点总结完整版高中数学必修一是整个高中数学学习的基础，涵盖了集合、函数的概念与性质、基本初等函数等重要内容。

以下是对这些知识点的详细总结。

一、集合1、集合的概念集合是由某些确定的对象所组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

2、集合的表示方法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，用花括号括起来。

（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合。

3、集合间的关系（1）子集：如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么称 A 是B 的子集，记作 A⊆B。

（2）真子集：如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于A，那么称 A 是 B 的真子集，记作 A⊂B。

（3）集合相等：如果 A⊆B 且 B⊆A，则 A ＝ B。

4、集合的运算（1）交集：由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，记作A∩B。

（2）并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，记作 A∪B。

（3）补集：设 U 是一个全集，A 是 U 的子集，由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 A 在 U 中的补集，记作∁UA。

二、函数的概念1、函数的定义设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y ＝f(x)，x∈A。

2、函数的三要素（1）定义域：函数中自变量 x 的取值范围。

（2）值域：函数值的集合。

（3）对应关系：函数的表达式或法则。

3、函数的表示方法（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

（2）图象法：用图象表示函数关系。

（3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

三、函数的基本性质1、单调性（1）增函数：设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1 ＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数。

1.2 集合间的基本关系一、单选题1．已知集合A ＝40,?1x xx Z x ⎧⎫-<∈⎨⎬-⎩⎭，B ＝m ，2，8}，若A B ＝B ，则m ＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．5答案：C解析：先求出集合A, 由A B ＝B ，即A B ⊆，即可求出参数m 的值.详解： 由401x x -<-，得14x << 所以集合A ＝{}40,2,31x x x Z x ⎧⎫-<∈=⎨⎬-⎩⎭由A B ＝B ，即A B ⊆，又B ＝m ，2，8}，所以3m =故选：C点睛：本题考查分式不等式的求解，根据集合间的关系求参数的值，属于基础题.2．已知集合A =x x 是三角形}，B =x x 是等腰三角形}，C =x x 是等腰直角三角形}，D x x 是等边三角形}，则A ．AB ⊆B ．C B ⊆ C ．D C ⊆D ．A D ⊆答案：B解析：根据各集合中三角形的特征可判断它们之间的相互关系.详解：∵等腰直角三角形必为等腰三角形，∴C B ⊆.故选B.点睛：本题考查集合间的包含关系，弄清楚集合中元素的属性是关键，此类问题是基础题.3．集合{}52,Z M x x k k ==-∈，{}|53,P x x n n Z ==+∈，{}103,Z S x x m m ==+∈之间的关系是A ．S P MB ．S P MC ．S P MD ．P M S答案：C 解析：先算出集合S ，用列举法表示各集合后可得各集合之间的关系.详解：∵{|52,},{|53,}Mx x k k P x x n n Z Z ，{|103,}S x x m m Z ，∴{,7,2,3,8,13,18,}M，{,7,2,3,8,13,18,}P ， {,7,3,13,23,}S ，故S P M ， 故选C.点睛：集合的表示方法有列举法和描述法，当用描述法表示的集合时，如果集合中的元素不太明晰，可用列举法表示集合，从而明确集合中的元素.4．已知集合{}1,2A =，()(){}|10,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．-2答案：A解析：由题意可知集合{}1,2B =，解出集合B 即可求出a 的值.详解：因为A B =，所以集合B 为双元素集，即()(){}{}{}|10,1,1,2B x x x a a R a =--=∈==所以2a =.故选：A.5．集合{|1}P x y x ==-，集合{|1}Q y y x ==-，则P 与Q 的关系是A ．P ＝QB ．P QC ．P QD ．P∩Q＝Æ 答案：C详解：试题分析：∵，{}{}|1|0Q y y x y y ==-=≥，所以P Q . 考点：集合之间的基本关系与运算.6．已知集合{}21P x x =≤，{}M a =，若P M M =，则实数a 的取值范围是A ．(],1-∞-B ．[]1,1-C ．[)1,∞D ．(][),11,-∞-⋃∞详解：分析：化简集合，由P M M ⋂=，可得M P ⊆，由此列不等式求得实数a 的取值范围. 详解：集合{}{}[]2|10|111,1P x x x x =-≤=-≤≤=-，{},M a =P M M ⋂=，[],1,1M P a ∴⊆∴∈-，故选B.点睛：本题主要考查集合中参数的取值范围问题，两个集合的交集的定义，判断M P ⊆是解题的关键，属于简单题.7．下列各式:①{}{}a a ⊆②∅ 0③{}00⊆④{1,3} {3,4}，其中正确的有（ ）A ．②B ．①②C ．①②③D ．①③④答案：B解析：根据集合间的包含关系求解即可.详解：任何集合是它本身的子集，则①正确；空集是任何非空集合的真子集，则②正确； 0表示元素，应为{}00∈，则③错误； 1{}3,4∉，∴{}1,3不是{}3,4的真子集，∴④错误；∴正确的为①②.故选：B点睛：本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题.8．已知{}24410M x x x =-+=，{}1P x ax ==，若P M ⊆，则a 的取值集合为（ ）A ．{}2B ．{}0C ．{}0,4D ．{}0,2答案：D解析：先求解集合,M N ，再根据集合之间的关系，确定参数的值.详解：因为24410x x -+=，解得12x =，故集合12M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.当0a =时，1ax =没有实数根，故P =∅，满足P M ⊆；当0a ≠时，1ax =，解得1x a =，故集合1P a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若满足P M ⊆，则112a =，解得2a =.综上所述，{}0,2a ∈.点睛：本题考查由集合之间的关系，求参数值的问题，属基础题.9．已知集合{0}M x Rx =∈∣，N M ⊆，则在下列集合中符合条件的集合N 可能是（ ） A ．{0,1}B ．{}21x x =∣C ．{}20x x >∣D ．R答案：A解析：根据集合间的包含关系进行判断即可.详解：因为N M ⊆，所以集合N 是集合M 的子集对A 项，{0,1}{0}x Rx ⊆∈∣，故A 正确； 对B 项，{}21{1,1}N xx ===-∣，由于1{0}x R x -∉∈∣，则{}21x x =∣不是{0}x R x ∈∣的子集，故B 错误；对C 项，由于{}210,1{0}xx x R x -∈>-∉∈∣∣，则{}20x x >∣不是{0}x R x ∈∣的子集，故C 错误； 对D 项，由于1,1{0}R x Rx -∈-∉∈∣，则R 不是{0}x R x ∈∣的子集，故D 错误； 故选：A点睛：本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础题.10．{}1,2,3,4,5A =，(){},,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 的非空子集的个数为（ ）A ．10B ．9C ．1024D ．1023答案：D解析：利用列举法表示集合B ，确定集合B 的元素个数，然后利用非空子集个数公式可得出集合B 的非空子集个数.详解：由题意可得()()()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,3,2,4,2,5,2,4,3,5,3,5,4B =，集合B 中共10个元素，因此，集合B 的非空子集的个数为10211023-=.故选D.点睛：本题考查集合非空子集个数的计算，解题的关键就是确定集合元素的个数，考查计算能力，属于基础题.二、填空题1．已知集合11{012}33,,,,A =-，集合A 的所有非空子集依次记为：1231,,,A A A ，设1231,,,m m m 分別是上述每一个子集内所有元素的乘积，(如果A 的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么1231m m m +++=_________．答案：133 解析：根据集合A 的子集的元素中是否含0分类，再写出所有不含0元素的子集的元素积，然后计算求解．详解：i A 中，含有元素0的集合中所有元素的积等于0，不含有元素0的非空子集有15个， 123111111111()12()()1()2121233333333m m m +++=-++++-⋅+-⋅+-⋅+⋅+⋅+⋅ 1111111113()1()2()1212()12333333333+-⋅⋅+-⋅⋅+-⋅⋅+⋅⋅+-⋅⋅⋅= 故答案是：1332．设集合{}3|7M x x -=≤<，{}|20N x x k =+≤，若MN ≠∅，则k 的取值范围是________．答案：{}6|k k ≤解析：求出集合N 中x 的取值范围，根据MN ≠∅，即可求出k 的取值范围 详解：因为{}||202k N x x k x x ⎧⎫=+≤=≤-⎨⎬⎩⎭，且MN ≠∅，所以362k k -≥-⇒≤．所以k 的取值范围是{}6|k k ≤故答案为：{}6|k k ≤ 3．集合A ，B 的并集A∪B＝｛1，2｝，当且仅当A≠B 时，（A ，B ）与（B ，A ）视为不同的对，则这样的（A ，B ）对的个数有__________.答案：8解析：根据条件列举，即得结果.详解：由题意得满足题意的（A ，B ）为：A=φ，B ＝｛1，2｝；A=｛1｝，B ＝｛2｝；A=｛1｝，B ＝｛1，2｝；A=｛2｝，B ＝｛1｝；A=｛2｝，B ＝｛1，2｝；A=｛1，2｝，B ＝φ；A=｛1，2｝，B ＝｛1｝；A=｛1，2｝，B ＝｛2｝；共8个.点睛：本题考查集合子集与并集，考查基本分析求解能力.4．含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成a 2，a+b ，0}，则a 2013+b 2014＝_____.答案：﹣1解析：根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果. 详解： 因为,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=a 2，a+b ，0}， 显然0a ≠，故0b a=，则0b =；此时两集合分别是{}{}2,1,0,,,0a a a ， 则21a =，解得1a =或1-.当1a =时，不满足互异性，故舍去；当1a =-时，满足题意.故答案为：1-.点睛：本题考查利用集合相等求参数值，属简单题，注意本题的细节讨论.5．用适当的符号填空：∅ _____ 0； 0 _____ ∅； ∅______ {}∅； 0______{}∅答案：∉ ∈或 ≠ 解析：根据集合与集合关系、元素与集合关系直接判断填空. 详解：∅0； 0 ∉∅； ∅{}∈∅或∅{}∅； 0{}∅故答案为：，∉，∈或，≠点睛： 本题考查判断集合与集合关系、元素与集合关系，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题1．设{1,2,3,4}A =，{1,2}B =，试求集合C ，使得C A ，且B C ⊆．答案：{1,2}C =，或{1,2,3}，或{1,2,4}．解析：突破口在于理解C A ，且B C ⊆．由B C ⊆，可得C 中至少有元素1,2，再由C A 即可得解.详解：解：∵{1,2,3,4}A =，{1,2}B =，B C ⊆，∴C 中至少有元素1,2．又∵C A ，∴{1,2}C =，或{1,2,3}，或{1,2,4}．点睛：本题主要考查子集、真子集的概念及运算，本题解题的关键是看清题目中出现的三个集合之间的关系，属于基础题．2．设集合{}1,2,A a =，{}21,B a a =-，若B A ⊆，求实数a 的值．答案：1-或0解析：依题意22a a -=或a ，再分类讨论得解.详解：依题意22a a -=或a ，当22a a -=时，解得1a =-或2；当2a a a -=时，解得0a =或2，当2a =时，集合A 与集合元素的互异性相矛盾，所以舍去.1a ∴=-或0．点睛：本题主要考查根据集合的关系求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知集合，，且，求实数的范围答案：解析：集合B 的真子集有,,,按照,,分三种情况分类讨论. 详解： 因为且的真子集有,,, 所以,,, 当时,无实根,所以,解得;当时, 有两个相等的实根1, 所以且,解得; 当时, 有两个相等的实根4, 所以,此方程组无解.综上所述: 实数的范围是.点睛：本题考查了集合之间的关系,分类讨论思想,着重考查了分类讨论思想,分类讨论时,要做到不重不漏,本题容易遗漏空集情况,属于中档题.4．已知集合,集合. （1）若,求实数的取值范围; （2）是否存在实数,使?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.答案：见解析解析：（1）因为,所以集合可以分为或两种情况来讨论： 当时,； 当时,得.综上,实数的取值范围是.（2）若存在实数,使,则必有,无解. 故不存在实数,使. 5．已知集合{}13A x x =＜＜，集合{}21B x m x m =-＜＜.（1）若1m =-，求A B ；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围.答案：（1）{}|12x x <<（2）(,2]-∞-解析：试题分析：（1）利用数轴求两个集合的交集；（2）由A B⊆知21,13,mm≤⎧⎨-≥⎩从而得到实数m的取值范围.试题解析：（1）A B＝；（2）由A B⊆知21,13,mm≤⎧⎨-≥⎩，解得2m≤-，即实数m的取值范围为(],2-∞-.。

高中数学必修一复习练习（一）班号姓名集合的含义与表示1．下面的结论正确的是( )A ．a∈Q ，则a∈NB ．a∈Z，则a∈NC．x2 －1＝0 的解集是{ －1，1} D ．以上结论均不正确2．下列说法正确的是( )A ．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B ．由1，2，3 和9，1，4组成的集合不相等C．不超过20 的非负数组成一个集合D ．方程x2－4＝0 和方程|x－1|＝1 的解构成了一个四元集3．用列举法表示{( x，y)|x∈N＋，y∈N＋，x＋y＝4} 应为( )A ．{(1 ，3)，(3，1)}B ．{(2 ，2)}C．{(1 ，3)，(3，1)，(2，2)} D ．{(4 ，0)，(0，4)}4. 下列命题：(1) 方程x－2＋|y＋2|＝0 的解集为{2 ，－2} ；(2) 集合{ y|y＝x2－1，x∈R} 与{ y|y＝x－1，x∈R} 的公共元素所组成的集合是{0 ，1} ；(3) 集合{ x|x－1<0} 与集合{ x|x>a，a∈R} 没有公共元素．其中正确的个数为( )A ．0B ．1 C．2 D．35. 对于集合A＝{ 2，4，6，8}，若a∈A，则8－a∈A，则a 的取值构成的集合是．6．定义集合A*B＝{ x|x＝a－b，a∈A，b∈B} ，若A＝{1 ，2} ，B＝{0 ，2} ，则A* B 中所有元素之和为．7.若集合A＝{ －1，2} ，集合B＝{ x|x2＋ax＋b＝0} ，且A＝B，则求实数a，b 的值．8．已知集合A＝{ a－3，2a－1，a2＋1} ，a∈R .(1) 若－3∈A，求实数 a 的值；(2) 当a 为何值时，集合 A 的表示不正确．集合间的基本关系1．下列关系中正确的个数为( )①0∈{0} ；②? {0} ；③{(0 ，1)} ? {(0 ，1)} ；④{( a，b)} ＝{( b，a)} ．A ．1B ．2 C．3 D ．42．已知集合A＝{ x|－1<x<2} ，B＝{ x|0<x<1} ，则( )A ．A>B B ．A B C．B A D．A? B3．已知{1 ，2} ? M {1 ，2，3，4} ，则符合条件的集合M 的个数是( )A ．3 B．4 C．6 D ．84．集合M＝{1 ，2，a，a2－3a－1} ，N＝{ －1，3} ，若3∈M 且N M，则 a 的取值为( )A ．－1B ．4 C．－1 或－4 D．－ 4 或15. 集合 A 中有m 个元素，若在 A 中增加一个元素，则它的子集增加的个数是．6．已知M＝{ y|y＝x2－2x－1，x∈R} ，N＝{ x|－2≤x≤4} ，则集合M 与N 之间的关系是．7．若集合M＝{ x|x2＋x－6＝0} ，N＝{ x|(x－2)( x－a)＝0} ，且N? M，求实数 a 的值．8．设集合A＝{ x|a－2＜x＜a＋2} ，B＝{ x|－2＜x＜3} ，(1) 若A B，求实数 a 的取值范围；(2)是否存在实数 a 使B? A?并集与交集1．A∩B＝A，B∪C＝C，则A，C 之间的关系必有( )A ．A? CB ．C? A C．A＝CD ．以上都不对2．A＝{0 ，2，a} ，B＝{1 ，a2} ，A∪B＝{0 ，1，2，4，16} ，则 a 的值为( )A ．0B ．1 C．2 D ．43．已知全集U ＝R ，集合M＝{ x|－2≤x－1≤2}和N＝{ x|x＝2k－1，k∈N*} 的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．2 个B ．3 个C．1 个 D ．无穷多个4．设集合M＝{ x|－3≤x＜7} ，N＝{ x|2x＋k≤0} ，若M∩N≠?，则k 的取值范围是( )A ．k≤3B ．k≥－3 C．k＞6 D．k≤65．已知集合M＝{ x|－3<x≤5} ，N＝{ x|－5< x<－2 或x>5} ，则M∪N＝，M∩N＝．6．已知集合A＝{( x，y)|y＝x2，x∈R} ，B＝{( x，y)|y＝x，x∈R } ，则A∩B 中的元素个数为．7．已知集合A＝{ x|x2＋px＋q＝0} ，B＝{ x|x2－px－2q＝0} ，且A∩B＝{ －1} ，求A∪B.8．已知A＝{ x|x<－2 或x>3} ，B＝{ x|4x＋m<0 ，m∈R} ，当A∩B＝B 时，求m 的取值范围．集合的补集运算1．已知全集U ＝{1 ，2，3，4，5，6，7，8} ，M＝{1 ，3，5，7} ，N＝{5 ，6，7} ，则?U (M∪N)＝( )A ．{5 ，7}B ．{2 ，4} C．{2 ，4，8} D．{1 ，3，5，6，7}2．已知全集U ＝{2 ，3，5} ，集合A＝{2 ，|a－5|} ，若?U A＝{3} ，则 a 的值为( )A ．0B ．10 C．0 或10 D ．0 或－103．已知全集U ＝R ，集合A＝{ x|－2≤x≤3} ，B＝{ x|x＜－1 或x>4} ，那么集合A∩(?U B)等于( )A ．{ x|－2≤x＜4} B．{ x|x≤3 或x≥4}C．{ x|－2≤x＜－1} D．{ x|－1≤x≤3}4．如图所示，U 是全集，A，B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A ．A∩B B ．A∪B C．B∩(?U A) D ．A∩(?U B)5．已知全集S＝R，A＝{ x|x≤1} ，B＝{ x|0≤x≤5} ，则(?S A)∩B＝．6．定义集合A*B＝{ x|x∈A，且x?B} ，若A＝{1 ，2，3，4，5} ，B＝{2 ，4，5} ，则A* B 的子集的个数是．5} ，7．已知全集U ＝R ，A＝{ x|－4≤x≤2} ，B＝{ x|－1< x≤3} ，P＝{ x|x≤0 或x≥2(1) 求A∩B；(2)求(?U B)∪P；(3)求(A∩B)∩(?U P)．8．已知集合A＝{ x|2a－2<x<a} ，B＝{ x|1<x<2} ，且 A ?R B，求a 的取值范围．参考答案集合的含义与表示1.选 C 对于 A ，a 属于有理数，则 a 属于自然数，显然是错误的，对于B，a 属于整数，则a 属于自然数当然也是错的，对于 C 的解集用列举法可用它来表示．故 C 正确．2.选 C A 项中元素不确定； B 项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等； D 项中两个方程的解分别是±2，0，2，由互异性知，可构成一个三元集．3．选 C x＝1 时，y＝3；x＝2 时，y＝2；x＝3 时，y＝1.4．选 A (1)?x－2＝0，?x＝2，故解集为{(2 ，－2)} ，而不是{2 ，－2} ；|y＋2|＝0 y＝－2.(2) 集合{ y|y＝x2－1，x∈R} 表示使y＝x2－1 有意义的因变量y 的范围，而y＝x2－1≥－1，故{ y|y＝x2－1，x∈R} ＝{ y|y≥－1} ．同理集合{ y|y＝x－1，x∈R} ＝R .结合数轴(图1)知，两个集合的公共元素所组成的集合为{ y|y≥－1} ；(3) 集合{ x|x－1<0} 表示不等式x－1<0 的解集，即{ x|x<1} ．而{ x|x>a，a∈R } 就是x>a 的解集．结合图2，当a≥1时两个集合没有公共元素；当a＜1 时，两个集合有公共元素，形成的集合为{ x|a<x<1} ．5．解析：当a＝2 时，8－a＝6∈A ；a＝4 时，8－a＝4∈A ；a＝6 时，8－a＝2∈A；a＝8 时，8－a＝0? A.∴所求集合为{2 ，4，6} ．答案：{2 ，4，6}6．解析：A*B ＝{1 ，－1，2，0} ，∴A*B 中所有元素之和为1－1＋2＋0＝2. 答案：27.解：由题意知－1，2 是方程2＋ax＋b＝0 的两个根，由根与系数的关系可知有1－a＋b＝0，4＋2a＋b＝0，故有a＝－1，b＝－2.8.解：(1)由题意知， A 中的任意一个元素都有等于－ 3 的可能，所以需要讨论．当a－3＝－3 时，a＝0，集合A＝{ －3，－1，1} ，满足题意；当2a－1＝－3 时，a＝－1，集合A＝{ －4，－3，2} ，满足题意；x当a2＋1＝－3 时，a 无解．综上所述，a＝0 或a＝－1.(2)若元素不互异，则集合 A 的表示不正确若a－3＝2a－1，则a＝－2；若a－3＝a2＋1，则方程无解；若2a－1＝a2＋1，则方程无解．综上所述，a＝－2.集合间的基本关系1.选 C ①、②、③均正确；④不正确．a≠b时，(a，b)与( b，a)是不同的元素．2. C3．选 A 符合条件的集合M 有{1 ，2} ，{1 ，2，3} ，{1 ，2，4} 共3 个．4．选 B (1) 若a＝3，则a2－3a－1＝－1，即M＝{1 ，2，3，－1} ，显然N? M ，不合题意．(2)若a2－3a－1＝3，即a＝4 或a＝－1(舍去)，当a＝4 时，M＝{1 ，2，4，3} ，满足要求．5．解析：由2m＋1－2m＝2·2m－2m＝2m. 答案：2m6．解析：∵y＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y|y ≥－2} ，∴N M. 答案：N M7．解：由x2＋x－6＝0，得x＝2 或x＝－3. 因此，M ＝{2 ，－3} ．若a＝2，则N＝{2} ，此时N? M；若a＝－3，则N＝{2 ，－3} ，此时N＝M；若a≠2且a≠－3，则N＝{2 ，a} ，此时N 不是M 的子集，故所求实数 a 的值为 2 或－3.8．解：(1)借助数轴可得， a 应满足的条件为a－2 >－2，或a＋2 ≤3，a－2 ≥－2，a＋2 < 3，解得0≤a ≤1.(2)同理可得 a 应满足的条件为a－2 ≤－2，a＋2 ≥3，得a 无解，所以不存在实数 a 使B? A.并集与交集1．选 A A ∩B＝ A ? A ? B ，B ∪ C ＝ C? B ? C ，∴ A ? C.2．选 D ∵ A ＝ {0 ， 2， a} ， B ＝ {1 ，a 2} ， A ∪ B ＝{0 ，1， 2， 4， 16} ，则a ＝4，∴ a ＝ 4. a 2＝ 16. 3．选 A M ＝ {x| － 1≤ x ≤ ，3} N ＝ {x|x ＝ 2k －1， k ∈N*} ，∴ M ∩N ＝{1 ， 3} ．4．选 D 因为 N ＝ {x|2x ＋ k ≤ 0＝} {x|x ≤－ k } ，且 M ∩ N ≠? ，所以－ k≥－ 3? k ≤6. 2 25.解析：借助数轴可知： M ∪N ＝ {x|x> － 5} ，M ∩N ＝ { x |－ 3<x<－ 2} ．答案： { x|x>－5}{ x|－ 3<x<－2}6.解析：由 y ＝ x2， 得 y ＝ x ， x ＝ 0， 或 y ＝ 0x ＝ 1， y ＝1.答案： 27.解：因为 A ∩B＝ { － 1} ，所以－ 1∈A 且－ 1∈ B ，将 x ＝－ 1 分别代入两个方程，得1－p ＋ q ＝ 01＋p － 2q ＝0，解得 p ＝ 3. 所以 A ＝{ x|x 2＋3x ＋ 2＝0} ＝{ － 1，－ 2} ， q ＝ 2B ＝ { x|x 2－ 3x － 4＝0} ＝{ － 1， 4} ，所以 A ∪ B ＝ { －1，－ 2， 4} ．m8. 解：由题知， B ＝ {x|x< － 4，m ∈ R} ，因为 A ∩B＝ B ，所以 A ? B ，所以由数轴 (如图 )可得－ m42，所以 m ≥8，即 m 的取值范围是 m ≥ 8.集合的补集运算≤－21．选 C M ∪ N ＝ {1 ，3， 5， 6， 7} ．∴ ?U (M ∪ N) ＝ {2 ，4， 8} ．2．选 C 由?U A ＝ {3} ，知 3? A ， 3∈ U. ∴ |a － 5|＝ 5，∴ a ＝0 或 a ＝ 10.3．选 D 由题意可得， ?U B ＝ {x| － 1≤x ≤ 4}，A ＝{ x|－ 2≤x ≤ 3，}所以 A ∩(? U B)＝ { x|－ 1≤x ≤3} ．端点处的取舍易出错．4．选 C 阴影部分表示集合 B 与集合 A 的补集的交集．因此，阴影部分所表示的集合为B ∩(? U A)．5．解析：由已知可得 ?S A ＝ { x|x>1} ，∴ (?S A) ∩B ＝ { x|x>1} ∩{x|0 ≤x ≤ 5＝} { x|1<x ≤ 5．}答案： { x|1<x ≤5}6.解析：由题意知 A*B ＝ {1 ， 3} ．则 A*B 的子集有 22＝ 4 个．答案： 47.解：借助数轴，如图．(1) A ∩B ＝ { x|－ 1< x ≤2} ，5(2) ∵ ?U B ＝ { x|x ≤－ 1 或 x>3} ， ∴ (?U B)∪P ＝ { x|x ≤0 或 x ≥ } ．5 (3) ?U P ＝ { x|0<x<2} ． (A ∩B) ∩?(U P)＝ { x|－ 1<x ≤ 2} ∩x {|0＜ x ＜ 5} ＝ { x|0<x ≤2} ．8．解： ?R B ＝ {x|x ≤或1 x ≥ 2} ?≠，∵ A ?R B ，∴分 A ＝? 和 A ≠? 两种情况讨论．(1)若 A ＝ ?，此时有 2a － 2≥a ， ∴ a ≥2.2(2)若A≠?，则有2a－2<a或a≤12a－2＜a2a－2≥2. ∴a≤1.综上所述，a≤1 或a≥2.。

1.2 集合间的基本关系知识题型总结1．子集的概念2．真子集的概念3．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.4．空集的概念【题型1 子集、真子集的概念】【方法点拨】①集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．②不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．③在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.【例1】（2020秋•宁县校级月考）对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是（）A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A【分析】“A⊆B”不成立，是对命题的否定，任何的反面是至少，即可得到结论．【解答】解：∵“A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，∴不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选：C．【点评】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．【变式1-1】（2020秋•海淀区期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是（）A．{2，4，5}B．{1，2，5}C．{1，6}D．{1，3}【分析】根据Venn图表达集合的关系可得集合A与集合B的关系，然后根据选项找符号条件的即可．【解答】解：由图可知B⊆A，而{1，3}⊆{1，2，3}．故选：D．【点评】本题主要考查了集合之间的关系，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系是解题的关键．【变式1-2】（2020秋•东湖区校级期中）下列各式：①{a}⊆{a}②Ø⊊{0}③0⊆{0}④{1，3}⊊{3，4}，其中正确的有（）A．②B．①②C．①②③D．①③④【分析】根据子集，真子集的定义，以及元素与集合的关系即可判断每个式子的正误，从而找到正确选项．【解答】解：任何集合是它本身的子集，∴①正确；空集是任何非空集合的真子集，∴②正确；0表示元素，应为0∈{0∈}，∴③错误；1∉{3，4}，∴{1，3}不是{3，4}的真子集，∴④错误；∴正确的为①②．故选：B．【点评】考查任何集合和它本身的关系，空集和任何非空集合的关系，以及元素与集合的关系，真子集的定义．【变式1-3】[多选题]下列命题中，正确的有（）A．空集是任何集合的真子集；B．若A⫋B，B⫋C，则A⫋C；C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；D．如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B【分析】根据集合的相关知识，可以进行判断．【解答】解：空集是不是空集的真子集，A错；真子集具有传递性，B对；空集没有真子集，C错；如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B，D对，故选：BD．【点评】本题考查集合的相关知识，属于基础题．【题型2 集合的相等与空集】【方法点拨】①利用集合相等的定义和集合中的元素的性质去解题．②利用空集的定义去解题.【例2】（2020秋•雨花区校级月考）[多选题]下列选项中的两个集合相等的有（）A．P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n+1），n∈Z}B．P＝{x|x＝2n﹣1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n+1，n∈N+}C．P＝{x|x2﹣x＝0}，Q＝{x|x=1+(−1)n2，n∈Z}D．P＝{x|y＝x+1}，Q＝{（x，y）|y＝x+1}【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．【解答】解：选项A ：因为集合P ，Q 表示的都是所有偶数组成的集合，所以P ＝Q ； 选项B ：集合P 中的元素是由1，3，5，…，所有正奇数组成的集合，集合Q 是由3，5，7…，所有大于1的正奇数组成的集合，即1∉Q ，所以P ≠Q ；选项C ：集合P ＝{0，1}，集合Q 中：当n 为奇数时，x ＝0，当n 为偶数时，x ＝1，所以Q ＝{0，1}，则P ＝Q ；选项D ：集合P 表示的是数集，集合Q 表示的是点集，所以P ≠Q ； 综上，选项AC 表示的集合相等， 故选：AC ．【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于基础题．【变式2-1】（2020秋•五华区校级期中）已知集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a 2，a ，ab }，若A ＝B ，则a 2021+b 2020＝（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【分析】根据集合元素的互异性得到关于a 的方程组{1=ab b =a 2或{1=a 2b =ab ，通过解方程组求得a 、b 的值，则易求a 2021+b 2020的值．【解答】解：由题意得①组{1=ab b =a 2或②{1=a 2b =ab，由②得a ＝±1，当a ＝1时，A ＝{1，1，b }，不符合，舍去； 当a ＝﹣1时，b ＝0，A ＝{1，﹣1，0}，B ＝{﹣1，1，0}，符合题意． 由①得a ＝1，舍去， 所以a ＝﹣1，b ＝0． ∴a 2021+b 2020＝﹣1． 故选：A ．【点评】本题考查了集合相等的应用，注意要验证集合中元素的互异性，属于基础题． 【变式2-2】（2020秋•武邑县校级期末）下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{x |x +3＝3} B ．{（x ，y ）|y 2＝﹣x 2，x ，y ∈R } C ．{x |x 2≤0}D ．{x |x 2﹣x +1＝0，x ∈R }【分析】根据空集的定义，分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A ，x ＝0； 对于选项B ，（0，0）是集合中的元素；对于选项C，由于x＝0成立；对于选项D，方程无解．故选：D．【点评】本题考查了集合的概念，是一道基础题．【变式2-3】（2020春•保定期中）如果A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，则实数a的取值范围为（）A．0＜a＜4B．0≤a＜4C．0＜a≤4D．0≤a≤4【分析】由A＝∅得不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解．【解答】解：因为A＝{x|ax2﹣ax+1＜0}＝∅，所以不等式ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，当a＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a＝0成立．当a≠0时，要使ax2﹣ax+1＜0的解集是空集，则{a＞0△=a2−4a≤0，解得0＜a≤4．综上实数a的取值范围0≤a≤4．故选：D．【点评】本题主要考查一元二次不等式的应用，将集合关系转化为一元二次不等式是解决本题的关键．【题型3 集合间关系的判断】【方法点拨】①列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．②元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．③图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．【例3】（2021春•江油市校级期末）在下列选项中，能正确表示集合A＝{﹣2，0，2}和B＝{x|x2+2x＝0}关系的是（）A．A＝B B．A⊆B C．A⊋B D．A⊊B【分析】先求出集合B，然后利用两个集合之间的关系进行判断即可．【解答】解：解方程x2+2x＝0，得x＝0或x＝﹣2，所以B＝{﹣2，0}，又A＝{1﹣2，0，2}，所以A⊋B．故选：C ．【点评】本题考查了集合之间关系的判断，属于基础题．【变式3-1】（2021•市中区校级模拟）设集合P ＝{y |y ＝x 2+1），M ＝{x |y ＝x 2+1}，则集合M 与集合P 的关系是（ ） A ．M ＝PB ．P ∈MC ．M ⫋PD ．P ⫋M【分析】由函数得：P ＝{y |y ≥1}，M ＝R ，即P ⫋M ，得解 【解答】解：因为y ＝x 2+1≥1， 即P ＝{y |y ≥1}， M ＝{x |y ＝x 2+1}＝R ， 所以P ⫋M ， 故选：D ．【点评】本题考查了集合的表示及函数，属简单题.【变式3-2】（2020春•九龙坡区校级期中）已知集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，集合B ＝{x ||x ﹣1|≤3}，集合C ={x|x−4x+5≤0}，则集合A ，B ，C 的关系为（ ） A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．C ⊆BD ．A ⊆C【分析】解出不等式，从而得出集合A ，B ，C ，再根据子集的定义判断A ，B ，C 的关系． 【解答】解：∵x 2﹣2x ﹣3≤0，即（x ﹣3）（x +1）≤0， ∴﹣1≤x ≤3，则A ＝[﹣1，3]， 又|x ﹣1|≤3，即﹣3≤x ﹣1≤3， ∴﹣2≤x ≤4，则B ＝[﹣2，4]， ∵x−4x+5≤0⇔{(x −4)(x +5)≤0x +5≠0， ∴﹣5＜x ≤4，则C ＝（﹣5，4]， ∴A ⊆C ，B ⊆C ， 故选：D ．【点评】本题主要考查集合间的基本关系的判断，考查一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解法，属于基础题．【变式3-3】（2020秋•湖北期中）[多选题]集合M ＝{x |x ＝2k ﹣1，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n +1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m +1，m ∈Z }之间的关系表述正确的有（ ）A．S⊆P B．S⊆M C．M⊆S D．P⊆S【分析】根据题意判断集合M，P，S表示的意义，进行判断．【解答】解：M＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}表示被2整除余1的数的集合；P＝{y|y＝3n+1，n∈Z}表示被3整除余1的数的集合；S＝{z|z＝6m+1，m∈Z}＝{z|z＝3×（2m）+1，m∈Z}＝{z|z＝2×（3m）+1，m∈Z}，表示被6整除余1的集合；故S⫋P，S⫋M．故S⊆P，S⊆M，正确，即AB正确．故选：AB．【点评】本题考查了集合的交集、补集问题，属于基础题．【题型4 有限集合子集、真子集的确定】【方法点拨】①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．【例4】（2020秋•南昌县校级月考）已知集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，则集合P的子集个数为（）A．4B．6C．16D．63【分析】由集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，求出集合P，由此能求出集合P的子集个数．【解答】解：集合M＝{2，4，8}，N＝{1，2}，P＝{x|x=ab，a∈M，b∈N}，∴P＝{1，2，4，8}，∴集合P的子集个数为：24＝16．故选：C．【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式4-1】（2020秋•南沙区校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．4B．8C．7D．16【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⊆C⊆B的集合C的个数．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∴满足A⊆C⊆B的集合C有：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共8个．故选：B．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．【变式4-2】（2020秋•临猗县校级月考）已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}，则满足A⫋C⊆B的集合C的个数为（）A．4B．7C．8D．16【分析】求出集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，由此利用列举法能求出满足A⫋C⊆B的集合C的个数．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，B＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，∴满足A⫋C⊆B的集合C有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．故选：B．【点评】本题考查满足条件的集合的个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义、列举法的合理运用．【变式4-3】（2020秋•海曙区校级期中）已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}，若A的子集个数为2个，则实数a＝．【分析】推导出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数解，当a﹣1＝0时，a＝1，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0即3x﹣2＝0，当a﹣1≠0时，（a﹣1）x2+3x﹣2＝0只有一个实数根，△＝9+8（a﹣1）＝0，由此能求出实数a 的值．【解答】解：∵集合A ＝{x |（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0}，且A 的子集个数为2个， ∴（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0只有一个实数解，当a ﹣1＝0时，a ＝1，（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0即3x ﹣2＝0，解得x =23， 当a ﹣1≠0时，（a ﹣1）x 2+3x ﹣2＝0只有一个实数根， △＝9+8（a ﹣1）＝0，解得a =−18． ∴实数a 的值为1或−18． 故答案为：1或−18．【点评】本题考查实数值的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【题型5 利用集合间的关系求参数】 【方法点拨】①当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．②当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用． 【例5】（2020秋•南开区校级月考）设集合A ＝{x |﹣1≤x +1≤6}，B ＝{x |m ﹣1＜x ＜2m +1}，若A ⊇B ，则m 的取值范围是 ．【分析】B ⊆A ，则说明B 是A 的子集，然后分m ≤﹣2和m ＞﹣2两种情况求出m 的取值范围． 【解答】解：∵A ＝{x |﹣1≤x +1≤6}＝{x |﹣2≤x ≤5}， 当m ﹣1≥2m +1，即m ≤﹣2时，B ＝∅满足B ⊆A ． 当m ﹣1＜2m +1，即m ＞﹣2时，要使B ⊆A 成立， 需 {m −1≥−22m +1≤5，可得﹣1≤m ≤2，即﹣1≤m ≤2，综上，m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2时有B ⊆A ． 故答案为：{m |m ≤﹣2或﹣1≤m ≤2}．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理运用． 【变式5-1】（2020秋•武汉期中）已知关于x 不等式x 2﹣2mx +m +2≤0（m ∈R ）的解集为M ． （1）[1，2]⊆M ，求实数m 的取值范围；（2）当M 不为空集，且M ⊆[1，4]时，求实数m 的取值范围．【分析】（1）由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定实数m 的取值范围即可； （2）由题意分类讨论即可求得实数m 的取值范围．【解答】解：（1）由题意[1，2]⊆M 可知，令 f （x ）＝x 2﹣2mx +m +2，则{f(1)≤0f(2)≤0△＞0，解得：m ≥3．（2）∵M 不为空集，且M ⊆[1，4]，当△＞0 时，则{ f(1)≥0f(4)≥0△＞01≤m ≤4，解得：2≤m ≤187，当△＝0 时，m ＝2也符合题目要求： 综上：2≤m ≤187． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，分类讨论的数学思想，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．【变式5-2】（2020秋•南阳期中）集合A ＝{x |﹣3≤x ≤7}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}． （1）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈R 时，没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）根据B ⊆A 可讨论B 是否为空集：B ＝∅时，m +1＞2m ﹣1；B ≠∅时，{m +1≤2m −1m +1≥−32m −1≤7，解出m 的范围即可；（2）根据题意可知A ∩B ＝∅，讨论B 是否为空集：B ＝∅时，m ＜2；B ≠∅时，{m ≥2m +1＞7或{m ≥22m −1＜−3，然后解出m 的范围即可． 【解答】解：（1）∵B ⊆A ，∴①B ＝∅时，m +1＞2m ﹣1，解得m ＜2； ②B ≠∅时，{m ≥2m +1≥−32m −1≤7，解得2≤m ≤4，综上，实数m 的取值范围为（﹣∞，4]； （2）由题意知，A ∩B ＝∅， ①B ＝∅时，m ＜2；②B ≠∅时，{m ≥2m +1＞7或{m ≥22m −1＜−3，解得m ＞6，∴实数m 的取值范围为（﹣∞，2）∪（6，+∞）．【点评】本题考查了描述法的定义，子集的定义，空集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．【变式5-3】（2020春•荔湾区校级期中）已知不等式x2﹣（a+1）x+a≤0的解集为A．（1）若a＝2，求集合A；（2）若集合A是集合{x|﹣4≤x≤2}的真子集，求实数a的取值范围．【分析】（1）代入a的值，根据一元二次不等式的解法即可求解；（2）对a分类讨论，进而可以确定集合A，再根据集合的子集关系即可求解．【解答】解：（1）由题意，当a＝2时，不等式x2﹣（a+1）x+a≤0，即x2﹣3x+2≤0，解得1≤x≤2，所以集合A＝{x|1≤x≤2}；（2）设集合B＝{x|﹣4≤x≤2}，由x2﹣（a+1）x+a≤0，可得（x﹣1）（x﹣a）≤0，当a＜1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|a≤x≤1}，由已知A⊆B可得a≥﹣4，所以﹣4≤a＜1；当a＝1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|x＝1}，满足题意；当a＞1时，不等式（x﹣1）（x﹣a）≤0的解集{x|1≤x≤a}，由A⊆B可得a≤2，所以1＜a≤2；综上可得﹣4≤a≤2，即实数a的取值范围为[﹣4，2]．【点评】本题考查了求解一元二次不等式以及子集的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．【题型6 集合间关系中的新定义问题】【例6】（2020秋•沭阳县期中）已知非空集合A，若对于任意x∈A，都有4x∈A，则称集合A具有“反射性”．则在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为．【分析】利用列举法能求出在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数．【解答】解：在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合有：{1，4}，{2}，{1，2，4}，∴在集合{1，2，4，8}的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为3．故答案为：3．【点评】本题考查集合的子集中具有“反射性”的集合个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式6-1】（2020秋•山东期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|ax2＝2，a ≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为 ． 【分析】讨论a ＝0和a ＞0，求得集合B ，再由新定义，得到a 的方程，即可解得a 的值． 【解答】解：集合A ＝{﹣1，2}， B ＝{x |ax 2＝2，a ≥0}， 若a ＝0，则B ＝∅， 即有B ⊆A ；若a ＞0，可得B ＝{−√2a ，√2a }，不满足B ⊆A ；若A ，B 两个集合有公共元素，但互不为对方子集，可得√2a =2或−√2a =−1，解得a =12或a ＝2．综上可得，a ＝0或12或2；故答案为：{0，12，2}．【点评】本题考查集合的运算以及包含关系，考查新定义的理解和运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，属于中档题．【变式6-2】（2020秋•南昌县校级月考）若x ∈A ，则1x∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝{﹣1，0，12，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A ．1B ．3C ．7D ．31【分析】由定义求出集合A 中的元素可为﹣1，2与12必然同时出现，然后利用n 集合的非空子集个数为2n ﹣1．【解答】解：∵﹣1∈A ，1−1=−12∈A 则12∈A12∈A 则2∈A∴A ＝{﹣1}或A ＝{2，12}或A ＝{﹣1，2，12} 故选：B ．【点评】本题考查集合与元素的关系，注意运用列举法，属于基础题．【变式6-3】（2021春•如皋市校级月考）对于任意两个数x ，y （x ，y ∈N *），定义某种运算“◎”如下：①当{x =2m ，m ∈N ∗y =2n ，n ∈N ∗或{x =2m −1，m ∈N ∗y =2n −1，n ∈N ∗时，x ◎y ＝x +y ；②当{x =2m ，m ∈N ∗y =2n −1，n ∈N ∗时，x ◎y ＝xy ．则集合A ＝{（x ，y ）|x ◎y ＝10}的子集个数是（ ） A ．214个B ．213个C ．211个D ．27个【分析】利用列举法分别针对两种情况列出A 中对应的元素即可求解． 【解答】解：①若x ，y 同为奇数或偶数时； ∵x ◎y ＝x +y ＝10，∴同时为偶数时：（2，8），（4，6），（6，4），（8，2）；同时为奇数时：（1，9），（3，7），（5，5），（7，3），（9，1）； ②当x 为偶数，y 为奇数时； ∵x ◎y ＝xy ．∴（2，5），（10，1）∴综上所诉：集合A 中共含有11个元素，故其子集个数为：211个． 故选：C ．【点评】本题考查了集合子集的个数问题，考查学生的分析能力，属于基础题．。

2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第一部分 集合1、集合与元素的关系2、集合与集合的关系3、集合的交并补运算4、不等式的解集1．集合与元素的关系1．已知集合{}23,,02+-=m m m A 且A ∈2，则实数m 的值为（ ）A ．3B ．2C ．0或3D ．0,2,3均可 2．已知实数{}21,3,a a ∈，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1或3C ．0或3D ．0或12．集合与集合的关系1．满足条件{}{},,a A a b c ⊆⊆的所有集合A 的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．【教材12】已知集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2AB =，则集合B 有_______个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 4．设集合{}|35A x x =<<，{}|12B x a x a =-≤≤+，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．34a <≤B ．34a ≤<C ．34a ≤≤D ．∅3．集合的交并补运算基本策略：有限集——列举法；无限集——画数轴 1．设集合}7,5,3,1{=U ，}5,1{=M ，则=M C U _________ 2．设全集U ＝{1，2，3，4}，集合S ＝{1，3}，T ＝{4}，则等于( )A ．{2，4}B ．{4}C ．ΦD ．{1，3，4} 3．已知集合{}|lg(2)A x y x ==-，集合{}|22B x x =-≤≤，则AB =（ ）A ．{}|2x x ≥-B ．{}|22x x -<<C ．{}|22x x -≤<D ．{}|2x x <4．设集合}421{，，＝A ，集合},,|{A b A a b a x xB ∈∈+=＝，则集合B 中有( )个元素 A ．4 B ．5C ．6D ．7 5．设a ，b 都是非零实数，y ＝a a ＋b b ＋abab可能取的值组成的集合是________．4．不等式的解集（1）一元二次不等式1．不等式21x >的解集为_________________2．不等式22320x x -->的解集为_________________ （2）分数不等式(除化为乘，注意分母不为0）1．不等式101xx +>-解集为__________________ 2．不等式121xx+>-解集为__________________（3）指数不等式（利用单调性）1．不等式3121x +>解集为__________________ 2．不等式2339x x-+>解集为__________________3．若213211()(),22a a +-<则实数a 的取值范围是____________ （4）对数不等式（利用单调性，注意真数>0)1．已知集合{}|lg(2)A x y x ==-，集合{}|22B x x =-≤≤，则A B =________ 2．已知集合{}|10x M x e =-≥，{}3|log (1)1N x x =-≥，则M N =_____________3．已知集合1{2},{lg 0}2xA xB x x =>=>，则()R A B =____________5．含参数集合问题1．已知集合}012|{2=+-=x ax x A 有且只有一个元素，则a 的值的是 . 2．含有三个实数的集合既可表示成a {，ab ，}1，又可表示成2{a ，b a +，}0，则20162015b a += . 3．已知集合}121{+≤≤+=a x a x P ，集合}52{≤≤-=x x Q（1）若3a =，求集合()R C P Q ；（2）若P Q ⊆，求实数a 的取值范围2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第一部分 集合1、集合与元素的关系2、集合与集合的关系3、集合的交并补运算4、不等式的解集1．集合与元素的关系1．已知集合{}23,,02+-=m m m A 且A ∈2，则实数m 的值为（ A ）A ．3B ．2C ．0或3D ．0,2,3均可 2．已知实数{}21,3,a a ∈，则实数a 的值为（ C ）A ．1B ．1或3C ．0或3D ．0或12．集合与集合的关系1．满足条件{}{},,a A a b c ⊆⊆的所有集合A 的个数是 （ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．【教材12】已知集合{}1,2A =，集合B 满足{}1,2AB =，则集合B 有（ D ）个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是1[1,]2- 4．设集合{}|35A x x =<<，{}|12B x a x a =-≤≤+，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ C ）A ．34a <≤B ．34a ≤<C ．34a ≤≤D ．∅3．集合的交并补运算基本策略：有限集——列举法；无限集——画数轴1．设集合}7,5,3,1{=U ，}5,1{=M ，则=M C U __{3,7}_______ 2．设全集U ＝{1，2，3，4}，集合S ＝{1，3}，T ＝{4}，则等于( A )A ．{2，4}B ．{4}C ．ΦD ．{1，3，4} 3．已知集合{}|lg(2)A x y x ==-，集合{}|22B x x =-≤≤，则AB =（C ）A ．{}|2x x ≥-B ．{}|22x x -<<C ．{}|22x x -≤<D ．{}|2x x <4．设集合}421{，，＝A ，集合},,|{A b A a b a x xB ∈∈+=＝，则集合B 中有(C )个元素 A ．4 B ．5 C ．6D ．75．设a ，b 都是非零实数，y ＝a a ＋b b ＋ab ab可能取的值组成的集合是_{1,3}-___． 4．不等式的解集（1）一元二次不等式1．不等式21x >的解集为____{|1,1}x x x <->或_____________ 2．不等式22320x x -->的解集为__1{|,2}2x x x <->或________ （2）分数不等式(除化为乘，注意分母不为0）1．不等式101xx +>-解集为__(1,1)-_______ 2．不等式121x x +>-解集为____1(,1)3____（3）指数不等式（利用单调性） 1．不等式3121x +>解集为_____1(,)3-+∞______2．不等式2339x x-+>解集为_____(1,2)____3．若213211()(),22a a +-<则实数a 的取值范围是___1(,)2+∞__ （4）对数不等式（利用单调性，注意真数>0)1．已知集合{}|lg(2)A x y x ==-，集合{}|22B x x =-≤≤，则A B =__[2,2)-_ 2．已知集合{}|10x M x e =-≥，{}3|log (1)1N x x =-≥，则M N =___[4,)+∞___3．已知集合1{2},{lg 0}2xA xB x x =>=>，则()R A B =__(1,1]-___5．含参数集合问题1．已知集合}012|{2=+-=x ax x A 有且只有一个元素，则a 的值的是 01或 . 2．含有三个实数的集合既可表示成a {，ab ，}1，又可表示成2{a ，b a +，}0，则20162015b a += 1- . 3．已知集合}121{+≤≤+=a x a x P ，集合}52{≤≤-=x x Q（1）若3a =，求集合()R C P Q ；（2）若P Q ⊆，求实数a 的取值范围解：（1）若3a =，{47}P x x =≤≤，{47}R x x C x P <>=或，所以{(2})7R x x C P Q -≤<=（2）若P =∅，则1210a a a +>+⇒<；若02102215a P a a a ≥⎧⎪≠∅⇒-≤+⇒≤≤⎨⎪+≤⎩．a∈-∞．综上(,2]。

高中数学必修一知识点总结集合间的基本关系1.“包含”关系—子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：（或BA）注意：有两种可能（1）A是B的一部分，;（2）A与B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2.“相等”关系：A=B（5≥5，且5≤5，则5=5）即：①任何一个集合是它本身的子集。

AA②真子集：如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）或若集合AB，存在____B且____A，则称集合A是集合B的真子集。

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同时BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集高中数学必修一知识点总结（二）函数的解析表达式，及函数定义域的求法1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4）拼凑法：2.定义域：能使函数式有意义的实数____的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（1）分式的分母不等于零;（2）偶次方根的被开方数不小于零;（3）对数式的真数必须大于零;（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的____的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零，（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）;②定义域一致（两点必须同时具备）4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示高中数学必修一知识点总结（三）1.分段函数（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

高中数学必修一集合知识点总结高中数学必修一集合知识点总结一、集合有关概念1.集合的含义:将一些指定的对象集合在一起形成一个集合，每个对象称为一个元素。

2、集合的中元素的三个特性：①.元素的确定性; ②.元素的互异性; ③.元素的无序性描述:(1)对于给定的集合，集合中的元素是确定的，任何对象要么是给定集合的元素，要么不是。

(2)在任何给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象。

当同一对象包含在一个集合中时，它只是一个元素。

(3)集合中的元素相等，没有顺序。

所以判断两个集合是否相同，只需要比较它们的元素是否相同，而不需要考察排列顺序是否相同。

(4)集合元素的三个特征使得集合本身具有确定性和整体性。

3、集合的分类：1.有限集含有有限个元素的集合2.无限集含有无限个元素的集合3.空集不含任何元素的集合例：{xx2=-5｝4、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋大西洋印度洋北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}B={12345}2.集合的表示方法:枚举和描述。

注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N高考数学一轮复习知识点二轮专题性复习目前所有学校都已结束第一轮，进入第二轮。

第一轮一般以技能技巧逐点扫描梳理为主，综合运用为辅，第二轮以专题复习为主。

这个阶段涉及的问题大多是综合题，提高综合题是提高数学成绩的根本保证。

解决好综合题，对于那些想考一等，对数学成绩期望很高的学生来说，是一条救命稻草，而他们在小何那里往往是不及格的。

对于那些二流的人来说，这是一个尝试的好地方。

一、综合题在高考中的位置与作用数学综合往往是大卷中的重点和最后一道题。

它在高考中起着重要的作用，高考的分类等级和选拔任务主要依靠这类题型来完成预设的目标。

现在的高考综合题，已经从单纯的知识叠加，转变为知识、方法、能力，尤其是创新能力的综合。

综合题是NMET数学的精华，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高等特点，突出数学思维方法的应用，要求考生具有一定的创新意识和创新能力。

升高一数学精选精讲第一讲A A =∅=∅ B A ⊆A A = A ∅=B A ⊇()U A =∅ð 2()U A U =ð()()()U U A B A B =痧?()()()U U A B A B =痧?NM．B)=(∪（; (2)B)=(（(A A求且A 求(B)={1,5},((课后测试卷考试说明：1、本试卷完成时间为 分钟；2、本试卷满分为 100 分；3、考试中考生必须遵守考试规则，独立完成；4、考生草稿纸要求规范使用，考试结束后上交。

一、选择题（每小题4分，共48分）1．设A={x|x ≤4}， ）（A ）{a} A （B ）a ⊆A （C ）{a}∈A （D ）a ∉A 2．若{1，2} A ⊆{1，2，3，4，5}，则集合A 的个数是（ ）（A ）8 （B ）7 （C ）4 （D ）33．下面表示同一集合的是（ ）（A ）M={（1，2）}，N={（2，1）} （B ）M={1，2}，N={（1，2）} （C ）M=Φ，N={Φ} （D ）M={x|2210}x x -+=,N={1}4．若P ⊆U ，Q ⊆U ，且x ∈C U （P ∩Q ），则（ ）（A ）x ∉P 且x ∉Q （B ）x ∉P 或x ∉Q （C ）x ∈C U (P ∪Q) （D ）x ∈C U P 5． 若M ⊆U ，N ⊆U ，且M ⊆N ，则（ ）（A ）M ∩N=N （B ）M ∪N=M （C ）C U N ⊆C U M （D ）C U M ⊆C U N 6．已知集合M={y|y=－x 2+1,x ∈R}，N={y|y=x 2,x ∈R},全集I=R ，则M ∪N 等于（ ）（A ）{(x,y)|x=1,,}22y x y R ±=∈ （B ）{(x,y)|x 1,,}22y x y R ≠±≠∈（C ）{y|y ≤0,或y ≥1} （D ）{y|y<0, 或y>1}7．50名学生参加跳远和铅球两项测试,跳远和铅球测试成绩分别及格40人和31人,两项测试均不及格的有4人,则两项测试成≠ ≠绩都及格的人数是( )（A ）35 （B ）25 （C ）28 （D ）15 8．设x,y ∈R,A={}(,)x y y x =,B= {}(,)1y x y x=,则A 、B 间的关系为（ ）（A ）AB （B ）BA （C ）A=B （D ）A ∩B=Φ9． 设全集为R ，若M={}1x x ≥ ，N= {}05x x ≤<，则（C U M ）∪（C U N ）是（ ）（A ）{}0x x ≥ （B ） {}15x x x <≥或 （C ）{}15x x x ≤>或 （D ） {}05x x x <≥或10．已知集合{|31,},{|32,}M x x m m Z N y y n n Z ==+∈==+∈，若00,,x M y N ∈∈ 则00y x 与集合,M N 的关系是 （ ）（A ）00y x M ∈但N ∉（B ）00y x N ∈但M ∉（C ）00y x M ∉且N ∉（D ）00y x M ∈且N ∈ 11．集合U ，M ，N ，P 如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） （A ）M ∩（N ∪P ） （B ）M ∩C U （N ∪P ） （C ）M ∪C U （N ∩P ） （D ）M ∪C U （N ∪P ） 12．设I 为全集，A ⊆I,B A,则下列结论错误的是（ ）（A ）C I AC I B （B ）A ∩B=B （C ）A ∩C I B =Φ （D ） C I A ∩B=Φ二、填空题（每题3分，共12分）13．已知x ∈{1，2，x 2}，则实数x=__________．14．已知集合M={a,0}，N={1，2}，且M ∩N={1}，那么M ∪N 的真子集有 个． 15．已知A={－1，2，3，4}；B={y|y=x 2－2x+2,x ∈A},若用列举法表示集合B ，则B= ． 16．设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}2,3A B =，则称(,)A B 为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是 ．（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”） 三、解答题（40分）17．（5分）已知全集U={0，1，2，…，9}，若(C U A)∩(C U B)={0，4，5}，A ∩(C U B)={1，2，8}，A ∩B={9}， 试求A ∪B ．18．（6分）设全集U=R,集合A={}14x x -<<,B={}1,y y x x A =+∈,试求C U B, A ∪B, A ∩B,A ∩(C U B), ( C U A) ∩(C U B)． 19．（6分）设集合A={x|2x 2+3px+2=0}；B={x|2x 2+x+q=0}，其中p ，q ，x ∈R ，当A ∩B={}12时，求p 的值和A ∪B ．20．（7分）设集合A={2(,)462x y y x x a=++,B={}(,)2x y y x a =+,问：(1) a 为何值时,集合A ∩B 有两个元素； (2) a 为何值时,集合A ∩B 至多有一个元素．21．（7分）已知集合A={}1234,,,a a a a ，B={}22221234,,,a a a a ，其中1234,,,a a a a 均为正整数，且1234a a a a <<<，A ∩B={a 1,a 4},a 1+a 4=10, A ∪B 的所有元素之和为124,求集合A 和B ．22．（7分）已知集合A={x|x 2－3x+2=0},B={x|x 2－ax+3a －5},若A ∩B=B ，求实数a 的值．。

高中数学必修一第一章集合一、集合的概念1、集合的含义：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。

注意：在集合中，通常用小写字母表示点（元素），用大写字母表示点（元素）的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别。

2、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为Ø。

3、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。

（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。

集合中的元素互不相同。

例如：集合A={1，a}，则a不能等于1。

（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。

例{0，1，2}有其它{0，2，1}、{1，0，2}、{1，2，0}、{2，0，1}、{2，1，0}等共六种表示方法。

4、元素与集合之间只能用“∈”或“∉”符号连接。

5、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合。

（2）无限集：含有无限个元素的集合。

（3）空集：不含任何元素的集合。

6、常见的特殊集合：；（1）非负整数集（即自然数集）N（包括零）；（2）正整数集N*或N+（3）整数集Z（包括负整数、零和正整数）；（4）实数集R（包括所有有理数和无理数）；（5）有理数集Q（包括整数集Z和分数集→正负有限小数或无限循环小数）；（6）复数集C，虚数可以指不实的数字或并非表明具体数量的数字。

在数学中，虚数就是形如a+b*i 的数，其中a，b是任意实数，且b≠0，i²=-1。

二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，然后用一个花括号全部括上。

高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型高中数学必修一第一章知识点及题型一、第一章第一单元集合---知识点总结知识点一：集合的概念集合是研究对象的统称，用小写拉丁字母a，b，c等表示元素，一些元素的集合称为集合或集，用大写拉丁字母A，B，C等表示，不含任何元素的集合称为空集，记为∅。

知识点二：集合与元素的关系如果a是集合A的元素，就称a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就称a不属于集合A，记作a∉A。

知识点三：集合的特性及分类集合元素具有唯一性、无序性和互异性。

集合可分为有限集和无限集，有限集含有有限个元素，无限集含有无限个元素。

知识点四：集合的表示方法集合的表示方法有列举法和描述法。

列举法是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法；描述法是用集合所含元素的特征表示集合的方法。

知识点五：集合与集合的关系集合A中的所有元素都是集合B中的元素时，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B；如果A是B的子集，但存在元素不属于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。

子集的性质包括空集是任意集合的子集、任何集合都是它本身的子集、如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

知识点六：集合的运算集合的运算包括交集和并集。

集合A与B的并集是由A 和B中所有元素组成的集合，记作A∪B；集合A与B的交集是A和B中共有的元素组成的集合，记作A∩B。

3.交集与并集的性质交集的运算性质：A∩B = B∩A （交换律）A∩A = A （恒等律）A∩∅ = ∅（零律）A⊆B ⇔ A∩B = A （吸收律）并集的运算性质：A∪B = B∪A （交换律）A∪A = A （恒等律）A∪∅ = A （零律）A⊆B ⇔ A∪B = B （吸收律）A∪B = B∪A = {x | x∈A或x∈B} （定义）符号语言、图形语言和自然语言都可以用来表示集合的交集和并集。

4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

(每日一练)高中数学必修一集合知识点总结归纳完整版单选题1、设A={x|2≤x≤8}，B={x|2a≤x≤a+4}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．{a|1≤a≤4}B．{a|a>4}C．{a|a≥1}D．{a|1<a<4}答案：C解析：根据集合的包含关系，讨论B=∅、B≠∅列不等式组，求参数a的范围.当B=∅时，2a>a+4，有a>4符合题设；当B≠∅时，{2a≥2 a+4≤82a≤a+4，有1≤a≤4符合题设；综上，a≥1.故选：C2、已知集合A={x|x2−2x−3<0}，集合B={x|x−1≥0}，则∁R(A∩B)=（）. A．(−∞,1)∪[3,+∞)B．(−∞,1]∪[3,+∞)C．(−∞,1)∪(3,+∞)D．(1,3)答案：A解析：算出集合A、B及A∩B，再求补集即可.由x2−2x−3<0，得−1<x<3，所以A={x|−1<x<3}，又B={x|x≥1}，所以A∩B={x|1≤x<3}，故∁R(A∩B)={x|x<1或x≥3}.故选：A.小提示：本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.3、设集合A={x|3x−1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是（）A．2<m<5B．2≤m<5C．2<m≤5D．2≤m≤5答案：C解析：直接根据元素和集合之间的关系，列式求解即可．因为集合A={x|3x−1<m}，而1∈A且2∉A，∴3×1−1<m且3×2−1≥m，解得2<m≤5．故选：C．小提示：本题主要考查元素与集合的关系，对描述法表示集合的理解，属于基础题．4、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A解析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.5、已知全集U={x∈N|−1<x≤9}，集合A={0,1,3,4}，B={y|y=2x,x∈A}，则(∁U A)∩(∁U B)=（）A．{5,7}B．{7,9}C．{5,7,9}D．{1,2,3,4,5,6,7,8,9}答案：C解析：根据给定条件用列举法表示全集U，求出集合B，再按给定运算即可作答.因为U={x∈N|−1<x≤9}，于是得U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，又集合A={0,1,3,4}，B={y|y=2x,x∈A}，则B={0,2,6,8}，从而得∁U A={2,5,6,7,8,9}，∁U B={1,3,4,5,7,9}，所以(∁U A)∩(∁U B)={5,7,9}.故选：C。