电路分析—二阶电路34页PPT

| duC
dt
t=0 = – 2K1 – 4K2 = –iLC—(0)= 4
2 0
联立 K1 + K2 = 2 – 2K1 – 4K2 = 4
解得 K1 = 6，K2 = – 4
uC(t) = 6e -2t – 4e - 4t V t≥0
-4 iL
4
iL(t)
=
iC(t)
=
C
duC dt
1 0
= – 3e -2t + 4e - 4t t≥0
1. 列出 RLC电路的微分方程
VCR：
i=
C
duC dt
uL
=
L
di dt
KVL： uL + uR+ uC = uS
有
L
di dt
+ Ri + uC = uS
iR +
uS
-
L
+
C u- C
整理
LC
d2uC dt 2
+ RC
duC dt
+ uC =
uS
两个初始条件 uC(0) = ?
求零输入响应 uS = 0
-3
uC(0) = 2V iL(0) = 1A
t
t
例1：已知图示电路中t ≥ 0时1 u1S = 0 R = 3 L = 2 H
C = 4 F uC(0) = 2V iL(0) = 1A 求: uC(t)及iL(t) t≥0
iR +
uS
-
L
+
C u- C
解:（2）不列微分方程
阻尼电阻 Rd＝2
L = 2.828 C
R ＞ Rd 过阻尼情况

A sin U 0
， arctan
ω0
，0，间的关系:
sin 0
0 A U0

δ
ω
duC U 0 t i C e sin t dt L
uL L
0 uC U 0e t sin( t )
di 0 U 0e t sin( t ) dt
整理得 解答形式为
di 2( 2 i ) 2i1 6 i1dt 2i dt
d2i di 8 12i 12 2 dt dt
二阶非齐次常微分方程
i i i
第二步，求通解 i ： p2 8 p 12 0 特征根为 p1= 2 ，p2 = 6
临界阻尼 （critically damped case） 欠阻尼 （under damped case）
L R2 C
(一) R 2
L C
不等的实根 p1，p2 解答形式为 L
S uC + C i
R
uC A1e p1t A2e p2t
uC (0 ) uC (0 )U 0 duC C i (0 ) i (0 )0 dt t 0
(natural frequency) 解答形式
uC Ae
t
sin(t )
其中A ， 为待定系数。
由起始始值
uC (0 ) U 0 duC i (0 ) C dt
0
t 0
定系数。
A( )sin A cos 0
解得
U0 A sin
d 2 u1 3 K du1 1 ( ) 2 2 0 2 dt RC dt R C

+
R
-C
L
(2) R 2 L C
P R ( R )2 1 2L 2L LC
特徵根為一對共軛複根
令： R (衰减系数)
2L
0
1 (谐振角频率) LC
则
2 0
2
(固有振荡角频率)
P j
uc的解答形式： uc A1e p1t A2e p2t e (t)( A1e jt A2e jt )
1 ，
LC
2
uc U0 sin(t 900 ) uL
i U0 sint L
+
-C
t
等幅振盪
L
(3) R 2 L C
P1
P2
R 2L
uc A1e t A2te t
由初始条件duc dt
uc (0 ) U0 A1 U0
(0 ) 0 A1( ) A2
0
解出：
A1 A2
(4)定常數
1 Asin 2
iL (0 )
100 A cos
100Asin
0
uL (0 )
45
A 2
iL 1 2e100t sin(100 t 45 )
50 W
50 V
R iR
0.5H L C
100 μF
iL
iC
(5)求iR
iR iL iC
iL
LC
d2iL dt 2
或設解答形式為： iR 1 Ae100t sin(100t )
A
2
小結：
(1)二階電路含兩個動態元件，用二階常微分方程描述。
(2)二階電路的性質取決於特徵根，特徵根取決於電路 的結構和參數，與激勵和初值無關。

图9－12
运行符号网络分析程序SNAP，读入图9－12(b)所示 电路数据，得到电容电压和电感电流的频域表达式。
----- 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 -----
RUs-rUs U5 (S)= --------------------------------
duC dt
(0
)

2K1

5K2

27

4
联立求解以上两个代数方程可以得到
44 K1 3
1 K2 3
最后得到电容电压uC(t)的全响应表达式
uC (t )


44 3
e2t

1 3
e5t

9e3t
V
(t 0)
从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程
变换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程
dt (Ls 2R)iL RCsuC uS (r R)iL (2RCs rCs 1)uC 0
用克莱姆法则求得
uC

( Ls

(r 2R)(2RCs
R)uS rCs 1)

(r

R)RCs

(2R

r ) LCs2
(R (L
r )uS 3R2C
2uC uS 将变为一个代数方程了。
由此分析可见，假如能够写出电路参数(R、L、C、 r…)用符号表示的电路微分方程，就容易看出电路参数对 电路响应的影响，这对电路的分析和设计是十分有益的。
用笔算方法列出高阶动态电路的n阶微分方程比较困 难，我们可以利用计算机程序SNAP来列出微分方程，将 图9－11各结点编号，如图9－12(a)所示。

详细描述
由于二阶电路具有丰富的动态特性，它被广 泛应用于各种工程领域，如电子、通信和控 制工程。例如，在通信系统中，二阶电路可 以用于滤波、信号处理和振荡器设计；在控 制工程中，二阶电路可以用于模拟控制系统 和自动控制装置。此外，二阶电路还在音频 处理、图像处理和生物医学工程等领域有所
应用。
03
阶电路和二阶电路的比较
阶电路实例分析
01
RC电路的时间常数决定了输出信号达到稳态值的时 间。
02
实例二：RL电路
03
RL电路是阶电路的另一种，由电阻R和电感L组成。
阶电路实例分析
01
当输入信号加在RL电路时，输出 信号同样会随着时间的变化而变 化，最终达到稳态值。
02
RL电路的时间常数决定了输出信 号达到稳态值的时间。
阶电路与二阶电路的未来发展
交叉融合
随着科技的不断发展，阶电路和 二阶电路之间的界限逐渐模糊， 两者之间的交叉融合将成为一个
重要的发展趋势。
绿色环保
随着环保意识的不断提高，未来的 电路将更加注重绿色环保，采用更 加环保的材料和工艺，减少对环境 的负面影响。
智能化升级
随着人工智能和物联网技术的不断 发展，未来的电路将更加智能化， 能够实现更加复杂的功能和应用。
二阶电路实例分析
当输入信号加在RLC并联电路时，输 出信号同样会产生振荡，振荡的频率 和幅度由电路参数决定。
RLC并联电路的阻尼比和自然频率同 样决定了振荡的幅度和频率。
阶电路与二阶电路的实例比较
相同点
阶电路和二阶电路都会对输入信号进行时间上的处理，使输出信号随时间变化而 变化。
不同点
阶电路的输出信号最终会达到稳态值，而二阶电路的输出信号会产生振荡。此外 ，二阶电路具有两个特征频率，分别是自然频率和阻尼比，这些参数决定了振荡 的幅度和频率。

p2e p2t )
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5
湖北工业大学
可以看出电容电压是衰减的指数函数，且因为 p1 ， 所p2以随
着时间的增长，uc中第一项比第二项衰减慢， uc一直为正。图 9-2画出了电容电压、电流和电感电压随时间变化规律的波形。
图9-2 变化波形
动画演示：二阶电路的零 输入响应(RLC串联) 1
duc iL (0 ) I0
dt t0
C
C
对于线性常系数的二阶齐次微分方程，解为二阶电路的零输
入响应，令 uc ，A得e p特t 征方程为
LCp2 RCp 1 0
特征方程的根为
p1,2
R 2L
R
2
1
2L LC
2 2
方程的通解为 uc A1e p1t A2e p2t p1 p2
RLC电路在单位冲激信号作用下的零状态响应叫做冲激响应。 串联电路的冲激响应的求解方法：
方法一 直接利用描述电路的二阶常系数线性非齐次微分方程 求解，即从冲激信号的定义出发，直接计算冲激响应。 t=0瞬 间冲激施加于电路，在t=0＋时建立了初始值，而冲激信号消失， 求零状态响应转换为求零输入响应。
图9-7 二阶阶跃响应电路
根据波形可知，电容电压从单调地衰减为零，说明电容一直 处于放电状态。故这种情况下为非振荡放电过程，或过阻尼情 况。
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i在变化的过程中具有一个极大值imax，设出现在t=tm,时刻， 令
di dt
0,即uL
0
p1e p1tm
p e p2tm 2
0
tm
ln( p2 / p1 ) p1 p2
解 （1） 换路前电路已达稳态，则有

K闭合前，电容已充电 uC(0-)=U0
t=0时K合上,则： uc(0)uc(0)U0
t 0有 uc(t)uR(t)0
uR(t)RCdudct(t)
RCdudct(t)uc(t)0
k (t=0) C+
uC
-
i
+
uR R
-
方程的通解为：
k (t=0)
uC Aept
i
特征方程为： RCp10 C +
uCU0et
6e333tV 3mA
1k 1 2 i
i
U0
t
e
6 e333t
R
3
2k
+
1 F -uC
3k
2e333tmA
例2：在t=0时将开关K合上，求uC(t), iC(t), i1(t), i2(t)。
解：u C (0 ) u C (0 ) 1 2 6 3 3 3 V U 0 2 i1
29
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例1：图示电路，开关K合在位置1已久，在t=0
时将K合向2。求电容电压uC(t)及放电电流i(t).
解：u C ( 0 ) u C ( 0 ) 3 1 0 3 2 1 0 3 6 V U 0
R C 3 1 0 3 1 1 0 6 0 . 0 0 3 S
电路参数变化
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能
量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时 间来完成。
p ΔW Δt0 p
Δt
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二、 动态电路的方程 例 RC电路
应用KVL和电容的VCR得：
(t >0) R i

例7-3 电路如图7-1所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流
的零输入响应。
图7－1 RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
s1，2
R 2L
R
2
1
3
2L LC
32 52 3 j4
uC
0
其特征方程为
LCs2 RCs 1 0
其特征根为
s1，2
R 2L
R 2L
2
1 LC
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当
R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况
1.
R2
L C
时， s1, s2
为不相等的实根。过阻尼情况。
2.
R2
L C
时， s1, s2
为两个相等的实根。临界阻
uC (t) K1est K2test
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。 t=0得到
uC (0) K1
求导，再令得到
duC (t) dt
t 0
K1s K2
iL (0) C
联立求解以上两个方程，可以得到
K1 uC (0)
K2
iL (0) C
s1uC (0)
将 K1, K2的计算结果，代入得到电容电压的零输入
3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出 现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的 正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越快。衰减振荡的角频率d 越大，振荡周 期越小，振荡越快。
图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅 的变化范围。

为了突出这一重要特点，本章首先从物理概念上阐明LC 电路的零输入响应具有正弦震荡的形式，然后通过RLC串联电 路说明二阶电路的一般分析方法以及固有频率（特征根）与固 有响应形式的关系。
二阶电路的分析问题是求解二阶微分方程或一阶联立微分 方程的问题。学习时应注意：电路微分方程的建立，特征根的 重要意义，微分方程解答的物理含义等方面的内容。
电流再增长：di/dt由于U0的存在而≠0，因此，电容
又开始放电，只是电流方向和上一次电容放电的方 C 向相反，即电流又开始反向增长，达到最大时，电
L I
感短路，电压又等于零，能量又全部储于电感中。
电压再增长：虽然此刻电压等于0，但du/dt由于I 的存在而≠0。电容又在电流的作用下充电，从而
U0 +
§7－1 LC电路中的正弦振荡
上章讨论过的一阶电路中只涉及一种储能——电场能量或
磁场能量，如果一个电路既能储存电能，又能储存磁能，这样
的电路会有什么特点呢？为了突出问题的实质，我们研究一个
只由电容和电感组成的电路的零输入响应。设电容的初始电压
为U0，电感的初始电流为零。
开始：在初始时刻，能量全部储存于电容中，电感中是没有储
电压又开始反向增加，随着电压的增加，电流开始 C –
L
减小，当电压达到最大值并稳定时，电容开路，电
流等于零，能量全部返回到电容，电容电压的大小
和极性又和初始时刻一样。
注意：此刻电压已经过两次反向，已经与一开始的电压极性相
同，意味着“电能——磁能”交换已完成了一次循环——周期。
U0 +
C– L
C
I
U0 –
( ) s1, 2 = –
R 2L
±
R

2
称为衰减谐振角频率
三者组成一个直角三角形。
0
d
齐次微分方程的解为：(用欧拉公式)
uC (t) et (K1 cosdt K2 sin dt) (6 9)
Ket cos(dt )
(6 10)
式中
K
K12

K
2 2
arctg K2
K1
由初始条件iL(0+)和uC(0+)确定常数K1,K2 后，得到电容电压的零输入响应，再利
例 4 已 知 R =0,L=1H, C=0.04F, uC(0+)=3V, iL(0+)=0.28A ， 求 电 容 电 压 和电感电流的零输入响应。
解：固有频率:
R s1，2 2L
R 2 1 2L LC
52 j5
则：uC (t) (K1 cos 5t K2 sin 5t) (t 0)
二、临界情况 R 2 L 固有频率s1, s2相同的C实数s1=s2=-。
齐次解 uC (t ) K1et K 2tet
式中常数K1, K2由初始条件iL(0+)和 uC(0+) 确定。令t=0+得到 vC(0 ) K1
对uC(t)求导，再令t=0+,得到
duC (t) dt
iL (t )
C
duC dt

0.04e3t (7 cos 4t
24sin
4t)
e3t cos(4t 73.74 )A
(t 0)
下图为欠阻尼情况
(a) 衰减系数 =3的电容电压波形 (b) =3的电感波形(c) =0.5的电容电 压的波形（d) =0.5的电感电流的波形