2018年全国高中数学联赛山东赛区预赛详解

2018年全国高中联赛湖北省预赛高三数学试题一、填空题1．若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______.【答案】4【解析】【详解】设，则.当时，可得.不等式，即，所以.当时，函数单调递减，可得.故实数的最小值为4.2．设数列满足：，则______.【答案】【解析】【详解】由可得.设，则有.又，故.一般地，有，于是，所以.3．设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【详解】由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有. 当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式，即，解得.故不等式的解集为.4．已知点在离心率为的双曲线上，为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆半径与外接圆半径之比为______.【答案】【解析】【详解】由，知.设，又，则可得，，①. ②设，则，即有. ③由①②③可得，所以，解得.5．设为的重心，若，则的最大值为______.【答案】【解析】【详解】设的中点为，因为，故是直角三角形，所以.又因为为的重心，所以.由三角形的中线长公式可得，所以.所以，当且仅当时等号成立.故的最大值为.6．一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______.【答案】【解析】【详解】设分别是四次投掷骰子得到的点数，那么共有种不同的情况.如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则.若的值都相等，则有种不同的情况；若恰好取两个不同的值，则有种不同的情况；若恰好取3个不同的值，则有种不同的情况；若恰好取4个不同的值，则有种不同的情况.因此，满足的情况共有（种）.故所求的概率为.7．设正实数满足，则的最小值为______.【答案】6【解析】【详解】由三元均值不等式，可得①. ②当且仅当时，①中等号成立；当且仅当时，②中等号成立.①+②，得.又已知，故，整理得.当且仅当时等号成立.所以，的最小值为6.8．设数列的通项公式为，将该数列中个位数字为0的项，按从小到大的顺序排列构成数列，则被7除所得的余数为______.【答案】4【解析】【详解】因为，于是可知当且仅当的个位数字为1、4、5、6、9、0时，的个位数字为0.所以，数列的连续10项中，个位数字为0的项有六个.而，余数2所对应的满足条件的项的个位数字为4，因此，.所以，被7除所得余数为4.二、解答题9．已知为坐标原点，，点为直线上的动点，的平分线与直线交于点，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点作斜率为的直线，若直线与曲线恰好有一个公共点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【详解】(1).设，易知.因为平分，所以，所以①. ②由①②可得，代入①得到，化简即得曲线的方程为.(2).记，则.直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得当直线与抛物线相切于点时，，解得.当时，，切点在曲线上；当时，，切点不在曲线上.若直线与曲线恰好有一个公共点，则有或，故所求的取值范围为.10．对任意正整数，定义函数如下：①；②；③.（1）求的解析式；（2）设是数列的前项和，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】(1). 由条件②可得：…….将上述个等式相加得而，所以由条件②可得：……将上述个等式相加得而，所以(2).因为，所以.所以两式相减得故，所以.11．已知正数满足，求的最小值.【答案】【解析】【详解】由柯西不等式可得，，所以，①取等号的条件分别为，②③当时，有，结合②③得又，所以，整理得，故④记，则，所以在上为增函数，故当时，于是，由④可得，从而代入②③求得代入①式，整理得，因此的最小值为.。

2018年全国高中数学联赛山东省预赛一、填空题1．若复数满足，则的最小值为______．【答案】1【解析】【详解】设，，，则点的轨迹为线段．因此为原点到的距离，即．2．在正四核锥中，已知二面角的正弦值为，则异面直线与所成的角为______．【答案】【解析】【详解】如图，设、的交点为，在上的射影为，则．又因为面，因此，所以面，则．因此即为二面角的平面角，从而．设，，则．在中，．由此得，因此，解得．从而四棱锥各侧面均为正三角形，则异面直线与所成的角为．3．函数的值域为______．（其中表示不超过实数的最大整数）．【答案】【解析】【详解】因为且，所以以为周期，且图象关于直线对称．所以只需讨论时，的取值即可．易得，当时，取得最大值2；当时，取得最小值，所以的值域为．4．在中，，的平分线交于，且有．若，则______．【答案】【解析】【详解】过点作交于点，交于点，由题设，所以，，．因此，所以，，因此．所以．由此得．5．甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；前一场的输者，则下一场先掷．若第一场甲先掷，则甲赢得第场的概率为______．【答案】,【解析】【详解】设甲赢得第场的概率为，在每一场先掷的人赢得的概率为，所以，，由此得，，因此，．6．若直线交椭圆（，且、为整数）于点、．设为椭圆的上顶点，而的重心为椭圆的右焦点，则椭圆的方程为______．【答案】【解析】【详解】设，，由题意的重心为椭圆的右焦点，整理得，．由，在直线上，得到．由，在椭圆上，得到，．两式相减并整理得，整理得．①因为，在直线上，所以有，．将，代入得，整理得．②联立①②，且注意到、为整数，解得，，．故所求的椭圆方程为．7．对任意的实数、，的最小值为______．【答案】【解析】【详解】设，则①＋②＋③得．解得．又当，，时，有解，．故当，时，取到最小值．8．已知，，且为方程的一个根，则的最大可能值为______．【答案】9【解析】【详解】由题设，则．因为，，则必为完全平方数．设，则，．所以或或或．解得，8，,0．所以的最大可能值为9.9．集合、满足，，若中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则满足条件的所有不同的集合的个数为______．【答案】186【解析】【详解】设中元素个数为，则中元素个数为，依题意，．，，此时满足题设要求的的个数为．其中，当时，不满足题意，故．所以的个数为．10．设为最接近的整数，则______．【答案】【解析】【详解】设，则，即．而，因此满足的有个．注意到，从而或7．由于，所以．因此．二、解答题11．已知圆与曲线，，，为曲线上的两点，使得圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，求的值．【答案】【解析】【详解】设为圆上任意一点，则由题意知．即，于是，整理得．因此点的轨迹是一个圆．因为为圆上任意一点，所以此圆与圆必为同一个圆，于是有，，，整理得，，所以．因为，，所以，，从而．又因为，所以，，．因此将，，代入，得．12．已知数列满足：，，．求证：．【答案】见解析【解析】【详解】设，则．从而在区间上单调递增，在上单调递减．当时，．下面用数学归纳法证明结论．当时，；当，3，4时，．假设当时结论成立，即有，则当时，．由在区间上单调递增，因此．下证．因为，所以，即．所以．从而结论对成立．由数学归纳法知，结论对任意正整数均成立．13．实数、、满足，试求的最大值．【答案】【解析】【详解】不妨设，令，，，，则由条件知，整理成关于的一元二次方程．因为方程有解，则，解得．上式关于、对称，不妨设，，又因为，所以．当且仅当，即，，时上式取到等号，因此．14．证明对所有的正整数，存在一个集合，满足如下条件：（1）由都小于的个正整数组成；（2）对的任意两个不同的非空子集、，集合中所有元素之和不等于集合中所有元素之和．【答案】见解析【解析】【详解】当时，取，则满足条件．其次，当时，令．下面证明这样的满足条件．事实上，设、是的两个不同的非空子集，令表示集合的所有元素之和，要证明的目标是．不妨设，注意到，对任意均有．所以，当，，都不属于时，均有．进一步，由于，所以当、、中恰有一个属于时，例如，将有，此时；类似地讨论、、中有两个或3个同时属于时，均可得出．综上所述，当时满足条件的都存在．。

2018年全国高中数学联赛甘肃省预赛一、填空题1．设满足若只在点处取得最小值，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】画出平面区域如下：由数形结合可得，即．2．在中，已知．如图所示，是边的垂直平分线上一点，则______．【答案】【解析】【详解】如图所示，设为的中点，．3．在复平面内，复数对应的点分别为．若，，则的取值范围是______．【答案】【解析】【详解】因为，所以，因为，所以，从而4．若正实数满足，则的最小值是______．【答案】4【解析】【详解】得，设（），则，当且仅当时等号成立，故的最小值是4．5．已知空间四点满足，且是三棱锥的外接球上的一个动点，则点到平面的最大距离是______．【答案】【解析】【详解】将三棱锥补全为正方体，则两者的外接球相同．球心就是正方体的中心，记为，半径为正方体对角线的一半，即为．在正方体里，可求得点到平面的距离为，则点到平面的最大距离是．6．某市公租房房源位于三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子．申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意4位申请人中，恰有2人申请小区房源的概率是______．【答案】【解析】【详解】本题为古典概型，．7．已知函数（），函数满足（），若函数恰有2019个零点，则所有这些零点之和为______．【答案】2019【解析】【详解】易知函数为奇函数，从而的图象关于点对称．函数，可知的图象也关于点对称．由此的图象关于点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称，由于是的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于点对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019．8．已知数列满足，则数列的通项公式是______．【答案】【解析】【详解】由可得，则．以下用累加法得，．得到，从而，．9．已知点为直线上一动点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为．当点运动时，直线过定点的坐标是______．【答案】【解析】【详解】 点的切点弦：，又因为，对比系数可知切点弦过定点．10．关于的方程有唯一实数解，则实数的取值范围是______． 【答案】【解析】【详解】 解法一原方程化为．（1）．（2）即时，的两根分别为1、3，不符合题意．（3）即时，的两根分别为2，．因此，符合题意要求． （4），即时，若，不符合要求；若，因此，符合要求．解法二，因为，所以．在上单调递增，在上单调递减．又，所以的取值范围是．二、解答题 11．已知函数()()2231cos sin 122f x x x x =---，x ∈R ，将函数f ()x 向左平移6π个单位后得函数g ()x ，设三角形△ABC 三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.(Ⅰ)若c ，f ()C ＝0，sin B ＝3sin A ，求a 、b 的值；(Ⅱ)若g ()B ＝0且()()cos ,cos ,1,sin cos tan m A B n A A B ==-，求m n ⋅的取值范围． 【答案】(Ⅰ) a ＝1，b ＝3；(Ⅱ) (0，1].【解析】试题分析：（1）利用二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式化简()f x 为216sin x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由()0f C =，求得3C π=，由余弦定理及正弦定理可得关于,a b 的方程解方程可得,a b 的值；（2）先求得()216g x sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由()0g B =，求得216sin B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故262B ππ+=，化简6m n sin A π⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，根据6A π+的范围，求得m n ⋅的取值范围.试题解析：（Ⅰ） ()()221cos sin 12f x x x x =---1cos21sin 2126x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭， ()sin 2106f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为112,666C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以262C ππ-=，所以3C π=， 由余弦定理知： 222cos73a b ab π+-=，因为sin 3sin B A =，由余弦定理知： 3b a =， 解得： 1,3a b ==.（Ⅱ）由条件知()sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()sin 2106g B B π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 所以sin 216B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为132,666B πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以262B ππ+=，即6B π=，()cos ,cos m A B =， 1,sin n A A ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，于是33cos sin cos 23m n A A A ⎛⎫⋅=+-= ⎪ ⎪⎝⎭ 13cos sin sin 226A A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴6B π=，∴50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得,66A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴(]0,16sin A π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即(]0,1m n ⋅∈. 12．设等比数列的前项和为，且（）．（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】【详解】 （1）由两式相减得，所以（）．因为等比，且，所以，所以．故．（2）由题设得，所以，所以，则，所以．13．已知四边形ABCD 满足1//,2AD BC BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将△BAE 沿AE 翻折成11,B AE B AE AECD ∆⊥使面面，F 为1B D 的中点．（1）求四棱锥1B AECD -的体积；（2）求面11ADB ECB 与面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）34a ；（2）35【解析】试题分析：（1）取AE 的中点M ，连结1B M ，因为BA=AD=DC=12BC=a ，△ABE 为等边三角形，则132B M a =，又因为面1B AE ⊥面AECD ，所以1B M ⊥面AECD ， 所以313sin 3234a V a a a π=⨯⨯⨯⨯= （2）连结MD ，则∠AMD=90°，分别以ME,MD,M 1B 为x,y,z 轴建系，则3,0,0,,,022a E C a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 133,0,0,,0,2a A D B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以133,0,,,222a a a a EB AD ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，132a a AB ⎛= ⎝⎭，设面EC 1B 的法向量为()302,,,302a x u x y z a x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩ ， 令x=1，331,33u ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭ ，同理面AD 1B 的法向量为331,33v ⎛=-- ⎝⎭ ，所以111333cos ,51111113333u v +-==++⨯++ ，故面1ADB 与面1ECB 所成锐二面角的余弦值为35．【考点】本题考查求棱锥的体积和二面角的求法点评：解决本题的关键是应用空间向量求二面角，建立合适的空间坐标系14．已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是.（1）求男生闯过四关的概率；（2）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望.【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（2）记女生四关都闯过为事件，则，的取值可能为0，1，2，3，4，利用相互独立事件的概率公式即可得出.详解：（1）记男生四关都闯过为事件，则；（2）记女生四关都闯过为事件，则，因为，，，，所以的分布如下：.点睛：本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力.15．已知椭圆过点，且右焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，交轴于点．若，求证：为定值；（3）在（2）的条件下，若点不在椭圆的内部，点是点关于原点的对称点，试求三角形面积的最小值．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以，椭圆C的方程为。

2007年全国高中数学联赛及山东省数学竞赛济南赛区通报2007年全国高中数学联赛预赛和决赛已分别于2007年9月16日上午和2007年10月14日上午分别进行.我市有11081人参加了预赛,有227人参加了决赛.在此次竞赛中，我市选手取得了十分优异成绩,获全国一等奖人数和全国一、二、三等奖人数均列全省各参赛单位前列,其中全省获全国一等奖的43人中就有我市的15人，达到全省的近30%.有4人进入全国冬令营，达到最高水平，现将此次竞赛的情况通报如下：一、全国奖(共63人)1.全国一等奖共15人韦东奕(240分,山师附中) 王颖婓（206分，实验中学）安传恺(201分,山师附中)王储(190分,实验中学) 刘青阳 (177分, 山师附中) 鲁悦(172分,山师附中)冯龙(152分,实验中学) 禹泽西(150分, 实验中学) 方延博(150分,实验中学)路若洲(143分,实验中学) 刘宁(141分, 实验中学) 高茉人(130分,实验中学)楚天翔(124分,实验中学) 孙晨正(123分, 山师附中) 姜晖(122分,山师附中)2.全国二等奖共 27人梅潇(119分, 实验中学) 隋春宁（117分，山师附中）贺兆印（116分，历城一中）丁寰宇（114分,实验中学）刘光强（110分，山师附中）王哲（110分,实验中学）王振中(105分,山师附中) 徐硕（105分，实验中学）申晓斌（104分，实验中学）丛亚（103分，实验中学）李凤麟 (103分,山师附中) 曲焜 (101分, 实验中学)宋超逸(101分, 实验中学) 窦欣元(101分, 实验中学) 韩谡越（ 99分，章丘四中）牟象禹（97分，山师附中）胡颖凯（96分，山师附中）马万里 ( 94分, 实验中学)王飞（94分，山师附中）孔陆洋（94分，山师附中）孟庆迪 ( 93分, 实验中学)丁晋（93分，实验中学）翟晓辉（138分，山师附中）张赛峥（92分，实验中学）顾然（92分，山师附中）刘筱宁（92分，外语学校）杨晓婉（92分，实验中学）3.全国三等奖共 21人孙振宇（91分，实验中学）陈邦锐（91分，实验中学）王越（91分，实验中学）李鑫业（89分，山师附中）秦立煜（88分，实验中学）刘毅（87分，实验中学）岑昊（86分，山师附中）栾义龙 (86分, 实验中学) 石敬玉（86分，章丘四中）张天宇（86分，实验中学）姜怡然（86分，山师附中）吕林超（85分，实验中学）陈诚（85分，济南中学）孙染（84分，实验中学）王元（84分，实验中学）张棋（84分，山师附中）郝克（83分，外语学校）黄杨（83分，山师附中）王雨（82分，外语学校）王梁（82分，实验中学）杨云钊（81分，山师附中）二、此次竞赛的预赛也是山东省数学竞赛,根据竞赛成绩,学生获奖情况如下:（注：根据济南市数学竞委会规定，获全国二等奖以上不在给予省级奖励）1.省一等奖共158人（排名不分先后）实验中学（6人）：夏靓116分王晓熙113分王冬雨111分刘毅110分钟睿106分梁健102分，山师附中（9人）：董跃振111分刘苏方108分李鑫业102分曲士眹 99分黄杨 96分韩蕾 94分刘海 93分罗荣钧 90分姜怡然90分济南一中（1 人）：陈双 94分济南二中（ 5人）：宫庆凯 76分于昌灏 70分郭晓宁 64分姜玉玺 63分李祺龙58分济南三中（ 6人）：蒋丽 84分孙新利 71分张虎 67分卫成林 66分商和宁 66分张婷婷 66分济南七中（2人）: 肖玉淼 49分陈晨 45分济南九中（2人）：鞠佳 69分王紫辉 66分济十一中（2人）：李中华 70分王春喜 63分济南52中（1人）：赵芳亮 57分济南中学（13人）：王瑞 90分邹世俊83分外语学校（ 2人）：杨金龙100分郝克 98分英才高中（ 6人）：孟宇 73分张译文 56分王路 54分高建辉50分陈徭 50分济钢中学（ 7人）：李泳江 90分陈琛 88分李霖 85分刘一畅 83分刘梦晨 82分马长琳 81分秦汉唐 79分三职高中（4人）：王阿冉53分李强51分徐桂亮 49分王珂 49分历城区（14人）：历城一中：曹芳106分贺兆印97分胡春晖93分王超 90分陈磊 90分历城二中：李双江102分高昊鸥99分张广乐96分刘红霞95分李延龙 93分历城四中：蔡荣峰 94分刘振83分历城五中：马业兴84分洪楼高中：张金花98分章丘市（32人）：章丘一中：赵蕾蕾87分徐帅 81分刘波80分章丘四中：李喆 140分马宪进104分王增辉97分陈成成96分朱福兴 94分索金召 93分党灿93分柏杨93分许昊93分章丘五中：郭乐田104分田春钊108分李虎100分刘杰100分张方瑞96分韩成龙 90分靳丰晨 89分刘洋槐84分王海景 83分郭红 80分郑伟 80分鲁家刚80分章丘七中：高兵孟娜袭苗苗姜树浩章丘中学：王俊荣99分宁纪森95分宋涛93分甄爱香93分平阴县（ 8人）：张文选119分刘聪102分许昌斌98分孙朝阳96分张明达96分张子键 93分路文高 93分马世杰81分，长清区（16人）：李娇102分安玮100分孟强97分钟涵94分朱有云93分焦裕龙 88分段学苇87分张越86分赵鹏85分朱存良85分段益雪100分张毓胜98分兰英新87分齐本明87分田德洲83分杨洪伟83分商河县（ 4人）：王光龙87分于和善86分李良金85分周祥政83分济阳县（18人）：王钊114分盛华英110分郭富明101分周亚凡 99分胥燕燕 95分菅秀峰 95分冯涛 93分李超119分齐震112分卢乾坤101分李国栋100分韩涛104分闫宁101分李晓阳106分菅庆圣102分崔月 98分霍纯森 96分华震 96分2.省二等奖共202人实验中学（13人）：祁海洋100分秦立煜101分李骥100分韩祥冬100分李文硕98分王越 98分栾义龙 98分李可扬96分孙棋 96分孙振宇96分叶梦醒 96分邹宗航 96分栗榛96分山师附中（13人）：杜宏 87分宋建浩 87分张志浩 86分付强 85分曹旭 85分赵玉祯 84分杨云钊 82分宋晓楠 81分刘青华 79分王聪 79分李丹蕾 78分陈飞 78分刘雯 78分济南二中（9人）：韩长龙 57分李丽丽 57分李征 56分丘化凯 55分姚运华 55分吕诚哲 54分杨霖 54分崔然旭 54分孙波 54分济南三中（4人）：孙志超 64分朱婷婷 60分王振坤 60分龙玉梅60分济南七中（ 3人）：胡勇超 44分崔燕 43分孙彬 43分济南九中（ 3人）：周淑灿 60分隋宏远 60分马宝强60分济十一中（ 2人）：唐智55分宋怀杰 54分济52中（ 2人）：王淑芬 53分朱婷婷53分济南中学（ 3人）：杨晓煜 82分吴凌雪81 分王芯 81分外语学校（ 5人）：万伟 90分宋瑞雪 89分袁心 88分罗丁 85分张庆辰 85分济钢高中（ 9人）：冯博宇 78分赵晓丹 78分朱鑫鹏 77分潘红 76分金岩76分王智飞 75分周婷婷75分李璐 75分宿波75分英才高中（ 8人）：韩晓松 48分肖剑辉 48分赵院 48分张天佑 48分薛桐 48分李晓 47分李晓明 44分苏志勇 44分三职高中（ 4人）：赵殿龙 48分毛文靓 45分季淑玉 45分王梅梅44分历城区（17人）：历城一中：金增奇89分陈荣荣89分柴柏晓87分杨小龙85分张强84分历城二中：颜庆87分杜文帅85分翟凤婷85分靳若安85分杨登平85分历城四中：孙光军64分李明64分钱宇63分历城五中：王兴英78分苏志南78分洪楼高中：赵志勇88分王金振78分章丘市（41人）：章丘一中：孙月红77分蒋全芝75分刘乃龙72分张永亮71分张强70分刘凤翔70分章丘四中：石敬玉92分张学超92分蔡云云92分陈龙桥92分李娜 88分李臣88分陈光鹏88分刘敏87分徐家昌86分董彤阳85分孙广帅85分高云逸85分章丘五中：冯业飞79分张瑞谦79分黄立臣78分胡继伟78分徐昭萌78分孙盟 78分于巍巍78分柳庆娓78分吴鹏77分韩福芸77分范士凯 76分韩春超76分刘延清76分章丘七中：程宗越孟超高玲刘娇龙杨兵贾超章丘中学：张硕90分董晓越90分曹林丽87分侯东明86分巩敏86分李鹏86分平阴县（8人）：乔珂欣91分王文华90分沙宗国90分张德水88分陈涛87分刘德福86分苏本民80分杜言铭75分长清区（26人）：王帅84分杜杰84分李君朋83分王华83分于晓菲82分卢婧82分王岩81分戴伟81分宋丙亮81分庄卫卫81分马晓81分杨仁俊80分韩传刚80分李珊80分邢庆涛80分孟维昌81分周恒80分王斌80分李修源78分孙传海78分段好新77分赵婷婷77分贾丹78分王倩74分蒋艳66分范升涛66分商河县（5人）：展长伟81分卢培义81分王伟81分孙发鲁79分张旭78分济阳县（27人）：罗宾甲 90分牛法富 90分牛佳瑞 90分裴建梁 89分张刚峰 89分李道通 87分艾杰 87分陈新斌 86分孙云飞 86分刘文静 95分王莉 93分刘超 93分杨骁 93分温明强 92分张元炜 91分李振 90分王彬 90分张蕊88分徐春花 88分李凯 88分吴鹏 87分张龙87分秦婷婷 87分张勇87分刘贵奇87分张滨 87分徐囡 87分3.省三等奖218人实验中学（5人）：孙染 95分王梁 95分李翔宇 94分陈邦锐 94分陈茜茜94分山师附中（13人）：杨晓星 76分翟毅 76分冯君淑 77分袁源 76分夏冰 75分孙晴川 75分张河慧 75分王睿 75分崔赛飞 75分陈琛 74分王尧 74分王迪 74分赵越 74分济南一中（ 1人）：李晨光 78分济南二中（5人）：陶然 51分赵元圆 50分孙吉隆 50分王越50分陈安 50分济南三中（ 6人）：崔丙伟 59分王官玲 57分李璐 57分刘海洋 57分商广义 57分杨润蕊56 分济南七中（ 2人）：胡尊飞 42分成龙 42分济南九中（ 5人）：史良 58分王明 58分刘讳58分刘帅帅 57分贾杰 57分济十一中（3人）：董丽君 51分牛邦龙 51分徐永龙 49分济南中学（2人）：陈栋 80分张望80分外语学校（5人）：于东宁 81分欧阳82分李千81分黄一成 81分郦龙 81分钢厂高中（13人）：彭高飞 74分赵冲 74分李辉73分耿浩 72分杨紫娇 71分李延文 71分张楠 72分柴宝臣 72分郭琦 72分林尧 72分刘爽 73分蒋薇 71分徐涛 70分英才高中（ 9人）：王华琳 42分金传铭 42分李超42分陈娜 42分李佳倩42分张鹏 42分王翰林 42分段晨彤42分玉叶 41分三职高中（5人）：付磊 43分于鸿 43分王硕 42分叶鑫42分宋晓艳 42分历城区（20人）：历城一中：王俊国83分刘丹82分张凤82分陈哲81分马超81分历城二中：张良82分韩豹81分杜磊81分李洪燕81分侯程广81分，李敏81分王曰儒81分历城四中：周晓琼59分彭延杰59分韩娟59分历城五中：陈世军76分赵成75分范圣男75分洪楼高中：刘玉娟70分卢长瑞68分章丘市（47人）：章丘一中：韩超69分张帅69分孙秀婷69分郭盼69分丁帅69分李豪杰69分宁建69分章丘四中：董道江84分李广84分马永岩84分鹿苗苗84分陈慧颖84分赵春雷84分程彬84分卢国华84分张晓彤84分韩继雷84分韩慧梅83分宁超众83分吕素华82章丘五中：王福荣75分牛凯峰75分韩强75分吕晓萌75分王沛阳75分孙方杰75分李中雨75分宋梅玲75分杨志敏75分李杰74分张运涛74分黄文娟74分郑兴花74分闫广霞74分冯业芝74分章丘七中：赵静刘群陈样高娟柏文王瑶章丘中学：党义鹏85分彭绍辉85分赵静84分郭嘉宾81分李跃81分刘元康80分平阴县（13人）：杨其资84分李霞84分丁姗姗84分李浩84分白哲84分刘兵83分高璇82分陈阳82分王蒙82分刘涛82分吴庆存82分王超82分王龙江72分长清区（28人）：于海龙78分苏军78分张晓旭78分刘天燕78分庄庆鹏78分田娜78分邵继美78分刘文雪78分李柱杰77分王佳77分韩聪77分李照垒76分张伟76分张其昌76分孔令燕76分杨崭76分薛德宝74分王东东74分李婷婷74分刘东73分孟凡荣73分赵双73分李善刚73分韩胜涛73分王元腾69分柴茂青72分张双双63分赵玉芹63分商河县（6人）：金冉78分芮法莹77分车召堂75分赵富燕75分赵华安75分徐超74分济阳县（30人）：王闯 85分高迪 85分呼燕 85分周讯 85分李三九 84分徐小青 84分孙志凌 84分李方吉 84分杜学知 84分王浩 84分刘志远 84分刘喆 84分袁新超 84分姚麒麟86分高帅 86分张强 86分杨吉伟 86分高扬 86分张震 84分高翠萍 85分王忠华 84分张传凯 84分朱学亮84分高荣祥 84分张红梅84分江继宽 84分李连玉84分陈国良84分常超 84分刘非84分注: 1.获山东省一、二、三等奖的学生如获全国奖的奖次高于或等于省奖,则不再发省奖。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ． 根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x ≤−,则2()24f x x x =−,在这一区间上的最小值为(116f −=+；2.若(13x ∈−−，则()88f x x =−+，在这一区间上的最小值为(316f =−+…………15分3.若31x ∈− ，则2()24f x x x =−+，在这一区间上的最小值为((3116f f =−+=−+；4.若13x ∈− ，则()88f x x =−，在这一区间上的最小值为(116f −+=−+；5.若3x ≥+，则2()24f x x x =−，在这一区间上的最小值为(316f =+.综上所述，所求最小值为((3116f f =−+=−.…………20分。

2015年全国高中数学联赛 山东赛区预赛试题详解2015年9月6日 一、填空题（本题共10小题，每小题8分，共80分）1．复数z 满足5z =，且()34i z +是纯虚数，则z =_________________________________________________． 解析：由已知得：()343425i z i z +=+= ，故()3425i z i +=±， 于是()25253443343434i i iz i i i i±-==±=±+++- ，因此()43z i =±-． 2．方程44sin cos 1x x -=的解为_________________________________________________．解析：由于()()44222222sin cos sin cos sin cos sin cos cos 2x x x x x x x x x -=+-=-=-，故cos 21x =-，∴()22x k k Z ππ=+∈，因此()2x k k Z ππ=+∈．法二：由己知得：44sin 1cos 1x x =+≥，又4sin 1x ≤，∴44sin 1,cos 0x x ==， ∴sin 1,cos 0x x =±=，因此()2x k k Z ππ=+∈．3．设函数()()221sin 1x xf x x ++=+的最大值是M ，最小值是N ，则M N += _________________________．解析：由已知得：()22sin 11x xf x x +-=+是奇函数，最大值与最小值是相反数，故()()110M N -+-=，∴2M N +=． 4．如图，O 是半径为1 的球的球心， 点,,A B C 在球面上，,,OA OB OC 两两垂直，,E F 分别是,AOB AOC ∠∠对应的 ,AB AC 的中点，则点,E F 在该球面上球面距离是_________________________． 解析：由已知得：面OAB ⊥面OAC ，作EM ⊥OA 于M ，连接MF ，则EM ⊥MF 且MF ⊥OA ，由已知得：∠EOM=∠FOM=4π，∴EF=1，故EOF ∆是等边三角形，因此∠EOF=3π，从而点,E F 在该球面上球面距离是3π． 5．已知[),0,x y ∈+∞且满足331x y xy ++3=，则2x y 的最大值是_________________________________________________． 解析：∵ ()()()()233333x y xy x y x y xy xy x y xy x y ⎡⎤++3=++-+3=+-+⎣⎦，∴()()3131x y xy x y +-=+-，∴()()()()21131x y x y x y xy x y ⎡⎤+-++++=+-⎣⎦，∴()()()21130x y x y x y xy ⎡⎤+-++++-=⎣⎦，∵()()()()213413110x y x y xy xy x y xy xy x y ++++-≥+++-=+++≥>， ∴10x y +-=，∴1y x =-，于是()()32142241422327x x x x x x y x ⎡⎤++-⎢⎥=-≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 当且仅当12x x =-即21,33x y ==时等号成立，因此2x y 的最大值是427． 6．将正整数列{}1,2,3, 中的所有完全平方数去掉后仍按原顺序构成数列{}n a ， 则2015a = _________________________________________________．解析：依题意知：若()()221*n k a k k N <<+∈，则n a n k =+，由()()2220151*k k k k N <+<+∈解得：45k =，因此20152060a =．7．把1，2，3，4，5，6这六个数随机排成一列组成一外数列，要求该数列恰好先增后减，这样的数列共有_________________________________________________个． 解析：按此数列中在数字6两边的个数可分为：6右边1个数时符合条件的数列有15C 个，6右边2个数时符合条件的数列有25C 个， 6右边3个数时符合条件的数列有35C 个，6右边4个数时符合条件的数列有45C 个， 因此符合条件的数列共有1234555530C C C C +++=个．8．设1a >，若关于x 的方程x a x =无实根，则实数a 的取值范围为_________________________．解析：由x y a =和y x =的图象可知：若()1xa x a =>无实根，则0x a x ->恒成立，设()xf x a x =-，则()'ln 1xf x a a =-，由()'0f x <得：log ln a x a <-，由()'0f x >得：log ln a x a >-， 于是()f x 在(),log ln a a -∞-上递减，在()log ln ,a a -+∞上递增， ∴()f x 在log ln a x a =-处取得最小值()()1log ln log ln log ln ln a a a f a a e a a-=+=， 因此只须()min 0f x >，即()log ln 0a e a >，∴ln 1e a >，∴1ln a e>，∴1e a e >． 9．在ABC ∆中，角,,A B C 满足A B C <<且sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B ∠= _________________________________________________．（培优教程一试三角函数最后一节的习题8）解析：原式可化为：()()()sin sin sin 0A A B B C C ++-=，∵()()()sin sin sin A A B B C C ++2sin 2sin 2sin 333A B C πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2sin 2sin 2sin 3333A B A B ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦33334sin cos 22A B A B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=33334sin cos22A B A B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-3333334sin cos cos 222A B A B A B ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3338sinsinsin222C A B πππ---=-∴333sinsinsin0222C A B πππ---=，故角,,A B C 中必有一个角为3π，又A B C <<，因此3B π=．10．已知集合{}1,2,,99M = ，现随机选取集合M 中9个元素做成子集，记该子集中的最小数为ξ，则E ξ= _________________________________________________．解析：集合M 中以正整数()199k k ≤≤为最小数的9元子集有899k C -个，故E ξ=88888989796958999999999999999123491C C C C C C C C C C +++++()()()888888888898979689796896889991C C C C C C C C C C C ⎡⎤=+++++++++++++⎣⎦ ()1099991009998979999999110C C C C C C C =++++== ． 二、解答题（本大题共4个小题，共70分，需写出详细的解答过程）11．（本小题满分15分）求证：不存在这样的函数{}:1,2,3f z →满足对任意的整数,x y ，若{}2,3,5x y -∈，则()()f x f y ≠．解析：假设存在这样的函数{}:1,2,3f z →，则对任意正整数n ，()f n 与()()()2,3,5f n f n f n +++均不相同，…………（*） 由于函数值域中只有三个值，且()f n 占用了一个值， 因此()()()2,3,5f n f n f n +++中至少有两个是相同的，若()()23f n f n +=+，则()f n 为常数函数，函数值只有一个，与（*）式矛盾； 若()()25f n f n +=+，则()()3f n f n =+，与（*）式矛盾； 若()()35f n f n +=+，则()()2f n f n =+，与（*）式矛盾； 因此假设不成立，即不存在这样的函数f ． 法二：假设存在这样的函数{}:1,2,3f z →，则对任意正整数n ，()f n 与()()()2,3,5f n f n f n +++均不相同，…………（*） 由于函数值域中只有三个值，因此()()()(),2,3,5f n f n f n f n +++中至少有两个是相同的， ∵()()2f n f n ≠+∴()()35f n f n +≠+， ∵()()3f n f n ≠+∴()()25f n f n +≠+，又()()5f n f n ≠+，故必有()()23f n f n +=+，由此得：()()34f n f n +=+， ∴()()()222f n fn +=++，与（*）式矛盾，因此假设不成立，即不存在这样的函数f ．12．（本小题满分15分）对任意的实数x 和自然数n ，试比较2sin n x 和sin sin x nx 的大小．解析：下面先证明()2sin sin sin sin sin sin 0n x x nx x n x nx -=-≥．当sin 0x =时，结论显然成立； 当sin 0x ≠时，下面用数学归纳法证明sin sin nxn x≤成立； 当1n =时，结论显然成立；假设当n k =时，结论成立，即sin sin kxk x≤成立， 那么当1n k =+时，()sin 1sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin k x kx x kx x kxkx x x x x++==+sin cos cos 1sin kxkx x k x≤+≤+，因此当1n k =+时结论成立； 由数学归纳法可知：sin sin nxn x≤，对任意自然数n 都成立， ∴2sin sin sin x nx n x ≤即2sin sin sin x nx n x≤，∴2sin sin sin sin sin 0n x x nx x nx ≥≥≥， 综上所述，对任意的实数x 和自然数n ，都 有2sin sin sin n x x nx ≥成立．13．（本小题满分20分）已知椭圆22122:1x y C a b+=，不过原点的直线l 和椭圆相交于两点A ，B ，⑴求△AOB 面积的最大值；⑵是否存在椭圆2C ，使得对于2C 的每一条切线和椭圆1C 均相交，设交于A ，B 两点，且△AOB 的面积恰取最大值？若存在，给出该椭圆，若不存在，说明理由．解析：⑴若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入到椭圆方程得：()22222222220a kb x a kmx a m a b +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则有2222212122222222,a km a m a b x x x x a k b a k b-+=-=++，故2222abAB a k b==+ 原点O 到直线l的距离为d =，于是△AOB 的面积为()222222222221222AOBm a k b m ab abab S AB d a k b a k b ∆++-===++ 因此对任意的k ，都有2AOB abS ∆≤，等号成立当且仅当22222a k b m +=；若直线l 斜率不存在，设l 的方程为0x x =，则A 、B两点的坐标为0,x ⎛ ⎝， 于是△AOB 的面积为()2220022AOBx a x b ab S a ∆+-=≤= ，等号成立当且仅当2202a x =； 综上所述，△AOB 面积的最大值是2ab； ⑵设满足条件的椭圆2C 的方程为2222222:1x y C a b +=，过椭圆2C 上任一点()00,P x y 的切线方程为0022221x x y ya b +=，该切线与椭圆1C 相交于A ，B 两点， ①当切线的斜率不存在时，00y =，2202x a =，切线方程为0x x =，由⑴知△AOB 面积取得最大值2ab 的充要条件是2202a x =， 可得：2222a a =，解得：22212a a =； ②当切线的斜率存在时，222002221y x a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，切线的斜率220220b x k a y =-，纵截距220b m y =，∴()2242222220242242222222202224242220200222a a b b y a b x b b a k b b b b b a y a y y -+=+=+=-+ ，由⑴知△AOB 面积取得最大值2ab的充要条件是22222a k b m +=， 可得：44222222200222b b b b y y -+=，解得：22212b b =； 综上所述，存在椭圆222221:2x y C a b +=符合题意，满足对于椭圆2C 的每一条切线和椭圆1C 都相交，设交点为A ，B ，这时△AOB 的面积恰取最大值2ab． 14．（本小题满分20分）已知数列{}n a 满足()11211,*n n n a a a n N a +==+∈， ⑴求证：当2n ≥时，33n a n >；⑵当4n ≥时，求39n a 的整数部分39n a ⎡⎤⎣⎦． 解析：由11211,0n n n a a a a +=-=>可知：数列{}n a 是正项递增数列，⑴当2n =时，3222,8a a ==，满足33n a n >，假设当()2,*n k k k N =≥∈时命题成立，即33k a k >，则当1n k =+时，()33331236131333331k k k k k k k a a a a k k a a a +⎛⎫=+=+++>+>+=+ ⎪⎝⎭，故当1n k =+时命题成立，由数学归纳法知：对任意正整数2n ≥，33n a n >都成立； ⑵由⑴知当2n ≥时，()333393927na n n >⨯=，故393n a n >，……………………（*）当4n ≥时，3113n a n<且n ≥> 由33136313n n n n a a a a +-=++，依次代入1,2,3,,n ，然后累加可得： 331133333366661234512311111111113n n n a a n a a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫=++3+++++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31333333666612345123111*********n n a n a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++3+++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221111111111312345923n n n ⎛⎫⎛⎫<++3++++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11111113123912231n n n ⎛⎫<++3++++++++ ⎪ ⎪⨯⨯-⎝⎭1111131135239n n n ⎛⎫=++3+++++-<+ ⎪⎝⎭∴33135n n a a n +<<+，()3333232927352739131n a n n n n n n <++<+++=+，∴3931n a n <+，………………………………………………………………………（**） 因此由（*）与（**）两式可得：393n a n ⎡⎤=⎣⎦．。

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题06基本初等函数第二缉1．【2019年重庆预赛】函数f (x )=(√1+x +√1−x −3)(√1−x 2+1)的最小值为m ，最大值为M ，则M m=________.【答案】3−√22【解析】设t =√1+x +√1−x ,则t ≥0且t 2=2+2√1−x 2，∴t ∈[√2,2]. f (x )=(t −3)·t 22，令g (t )=12t 2(t −3)，t ∈[√2,2].令g ′(t )=0得t =2，g(√2)=√2−3，g (2)=−2， ∴M =g (t )max =√2−3，m =g (t )min =−2，∴Mm =3−√22.2．【2019年重庆预赛】设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，对任意x >0有f(x)>−4x ，f(f(x)+4x )=3，则f(8)=. 【答案】72【解析】由题意存在x 0>0使f(x 0)=3。

又因f(x)是(0,+∞)上的单调函数，这样的x 0>0是唯一的，再由f(f(x 0)+4x 0)=3得x 0=f(x 0)+4x 0=3+4x 0解得x 0=4或x 0=−1（舍）。

所以f(x)=4−4x，f(8)=4−48=72。

3．【2019年北京预赛】函数f (x )满足f (1)=1,且f (n )=f (n −1)+1n (n−1),其中n ≥2,n ∈N +,那么f (2019)=. 【答案】40372019.【解析】因为f(n)−f(n −1)=1n(n−1)=1n−1−1n ,所以 f(2)−f(1)=1−12, f(3)−f(2)=12−13,f(4)−f(3)=13−14,⋯⋯f(2018)−f(2017)=12017−12018,f(2019)−f(2018)=12018−12019,将以上各式等号两边分别相加得f(2019)−f(1)=1−12019,进而有 f(2019)=2−12019=120182019.4．【2019年福建预赛】函数f(x)=√2x −x 2+x 的值域为 .【答案】[0,√2+1]【解析】解法一:f(x)=√1−(x −1)2+x .设x −1=sinα (−π2≤α≤π2)，则f(x)=cosα+(1+sinα)=√2sin (α+π4)+1.由−π2≤α≤π2，得−π4≤α+π4≤3π4, −√22≤sin (α+π4)≤1.∴f (x )值域为[0,√2+1]. 解法二:f ′(x)=√2+1=√21 (0<x <2).∵ 0<x <1+√22时，f ′(x)>0;1+√22<x <2时，f ′(x)<0.∴f (x )在区间[0,1+√22]上为增函数，在区间[1+√22,2]上为减函数. ∴f (x )值域为[0,√2+1].5．【2019年福建预赛】已知f(x)=x 3+ax 2+bx +2的图象关于点(2，0)对称，则f (1)=.【答案】4【解析】解法一:由f (x )的图象关于点(2，0)对称，知：f(x +2)=(x +2)3+a(x +2)2+b(x +2)+2=x 3+(a +6)x 2+(b +4a +12)x +4a +2b +10为奇函数.∴{a +6=04a +2b +10=0,{a =−6b =7∴ f(1)=1+a +b +2=1−6+7+2=4. 解法二:由f (x )的图象关于点(2，0)对称，知 对任意x ∈R ，f (2+x )+f (2-x )=0于是，对任意x ∈R ，(2+x)3+a(2+x)2+b(2+x)+2+(2−x)3+a(2−x)2+b(2−x)+2=0. 即(2a +12)x 2+(8a +2b +20)=0恒成立. ∴{2a +12=08a +4b +20=0,{a =−6b =7.∴ f(1)=1+a +b +2=1−6+7+2=4.解法三:依题意，有f (x )=(x -2)3+m (x -2). 利用f (0)=-8-2m =2，得m =-5.于是，f (x )=(x -2)3-5(x -2)，f (1)=-1-(-5)=4.6．【2019年福建预赛】已知f(x)=x 5−10x 3+ax 2+bx +c ，若方程f (x )=0的根均为实数，m 为这5个实根中最大的根，则m 的最大值为 .【答案】4【解析】设f (x )=0的5个实根为x 1≤x 2≤x 3≤x 4≤m ，则由韦达定理，得m +x 1+x 2+x 3+x 4=0. m (x 1+x 2+x 3+x 4)+(x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4)=−10. 于是，x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4=−10+m 2.∴ x 12+x 22+x 32+x 42=(x 1+x 2+x 3+x 4)2−2(x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4)=m 2−2(−10+m 2)=20−m 2.另一方面，由柯西不等式，知(x 1+x 2+x 3+x 4)2≤4(x 12+x 22+x 32+x 42)于是，m 2≤4(20−m 2),m 2≤16,m ≤4.又对f(x)=(x −4)(x +1)4=x 5−10x 3−20x 2−15x −4，方程f (x )=0的根均为实数，且5个实根中最大的根m =4. ∴m 的最大值为4.7．【2019年广西预赛】已知xyz +y +z =12,则log 4x +log 2y +log 2z 的最大值为 .【答案】3【解析】log 4x +log 2y +log 2z =log 2x 2+log 2y +log 2z =log 2(xyz⋅y⋅z)2⩽log 2(xyz+y+z 3)32=3.当xyz=y=z=4取到等号.8．【2019年贵州预赛】已知方程x 5−x 2+5=0的五个根分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,f(x)=x 2+1.则∏s i=1f (x i )=.【答案】37【解析】设g(x)=x 5−x 2+5,则g(x)=∏(x −x k )5k=1,又f(x)=x 2+1=(x-i)(x+i),所以∏5i=1f (x k )=∏(x k −i )5i=1⋅∏(x k +i )5i=1=g(i)⋅g(−i)=(i 5−i 2+5)⋅[(−i)5−(−i)2+5]=(6+i)(6−i)=37.9．【2019年吉林预赛】已知函数f(x)=-x 2+x+m+2,若关于x 的不等式f(x)≥|x|的解集中有且仅有1个整数,则实数m 的取值范围为.【答案】[-2,-1)【解析】f(x)≥|x|⇔2−|x|≥x 2−x −m . 令g(x)=2−|x|,h(x)=x 2−x −m . 在同一直角坐标系内作出两个函数的图象, 由图象可知,整数解为x=0,故{f(0)≥0−0−m f(1)<1−1−m.解得−2≤m <−1.10．【2019年吉林预赛】已知函数f(x)=a +x −b x 的零点x 0∈(n,n +1)(n ∈Z),其中常数a 、b 满足条件2019a =2020, 2020b =2019,则n 的值为 .【答案】-1【解析】因为2019°=2020,2020b =2019,所以1<a<2,0<b<1,故函数f(x)在R 上为増函数,又f(0)=a −1>0, f(−1)=a −1−1b <a −1−1<0,故由零点定理可知,函数f(x)在区间(1,0)有唯ー的零点,则n 的值是-1. 11．【2019高中数学联赛A 卷（第01试）】已知正实数a 满足a a =(9a)8a ，则log a (3a)的值为.【答案】916【解析】由条件知9a =a 18，故3a =√9a ⋅a =a 916，所以log a (3a)=916.12．【2018年山西预赛】函数y =√1−x 22+x的值域为________.【答案】[0,√33] 【解析】由条件知x ∈[−1,1]. 令x =cosα(α∈[0,π]).则 y =sinα2+cosα(y ≥0)，⇒2y =sinα−ycosα=√1+y 2sin (α+θ)≤√1+y 2， ⇒1+y 2≥4y 2⇒y 2≤13， 因为y ≥0，所以，y ∈[0,√33]. 13．【2018年福建预赛】函数f(x)=[log 3(13√x)]⋅[log √3(3x 2)]的最小值为________. 【答案】−258【解析】设log 3x =t ，则log 3(13√x)=−1+12t ，log √3(3x 2)=32log √3=2(1+2t).∴f(x)=g(t)=(−1+12t)⋅2(1+2t)=2t 2−3t −2=2(t −34)2−258.∴当t =34，log 3x =34，x =334时，f (x )取最小值−258.14．【2018年福建预赛】若函数f (x )=x 2－2ax +a 2－4在区间[a －2，a 2](a >0)上的值域为[－4，0]，则实数a 的取值范围为________. 【答案】[1，2] 【解析】∵f (x )=x 2－2ax +a 2－4=(x －a )2－4，f (a )=－4，f (a －2)=0，f (x )在区间[a －2，a 2]上的值域为[－4，0]，f (x )的图像为开口向上的拋物线.∴{a −2≤a ≤a 2a ≥a−2+a 22 ，解得－1≤a ≤0或1≤a ≤2.结合a >0，得1≤a ≤2. ∴a 的取值范围为[1，2].15．【2018年江苏预赛】设g(n)=∑(k,n)nk=1，期中n ∈N *，(k,n)表示k 与n 的最大公约数，则g(100)的值为________. 【答案】520 【解析】如果(m,n)=1，则g(mn)=g(m)g(n)，所以g(100)=g(4)g(25). 又g(4)=1+2+1+4=8.g(25)=5×4+25+(25−5)=65， 所以g(100)=8×65=520. 故答案为：52016．【2018年贵州预赛】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是_______．【答案】牛得亨先生的女儿 【解析】由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相同；由①，最佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人．因此，四个人中有三个人的年龄相同．由于牛得亨先生的年龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞．因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手．由①，最佳选手的孪生同胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿． 故答案为：牛得亨先生的女儿17．【2018年贵州预赛】函数z =√2x 2−2x +1+√2x 2−10x +13的最小值是______． 【答案】√10 【解析】因为z =√2x 2−2x +1+√2x 2−10x +13=√(x −0)2+(x −1)2+√(x −2)2+(x −3)2此即为直线y =x 上的点（x ，y ）到点（0，1）与到点（2，3）的距离之和，根据镜像原理，z 的最小值应为点（1，0）到点（2，3）的距离√10． 故答案为：√1018．【2018年贵州预赛】若方程a x >x （a >0，a ≠1）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】1<a <e 1e 【解析】由a x >x 知x >0，故x ⋅lna −lnx =0⇒lna =lnx x，令f(x)=lnx x（x >0），则f ′(x)=1−lnx x 2．当x ∈(0，e)时，f ′(x)>0；当x ∈(e ，+∞)时，f ′(x)<0．所以f(x)在(0，e )上递增，在(e ，+∞)上递减．故0<lna <f(e)=1e，即1<a <e 1e ． 故答案为：1<a <e 1e19．【2018年浙江预赛】已知a 为正实数，且f(x)=1a −1a x +1是奇函数，则f(x)的值域为________.【答案】(−12，12) 【解析】由f(x)为奇函数可知1a −1a x +1=−1a +1a −x +1，解得a = 2，即f(x)=12−12x +1， 由此得f(x)的值域为(−12，12).20．【2018年北京预赛】已知实数a,b,c,d 满足5a =4,4b =3,3c =2,2d =5，则(abcd )2018=________. 【答案】1 【解析】化5a =4,4b =3,3c =2,2d =5为对数，有a =log 54=ln4ln5,b =ln3ln4,c =ln2ln3,d =ln5ln2，所以(abcd )2018=(ln4ln5×ln3ln4×ln2ln3×ln5ln2)2018=12018=1.21．【2018年北京预赛】已知函数f (x )满足f (x +1x )=x 2+1x 2，那么f (x )的值域为_______.【答案】[2,+∞) 【解析】设函数y =f (x )满足f (t +1t )=t 2+1t 2，{x =t +1t (|x |≥2)y =t 2+1t 2(y ≥2)，y =t 2+1t 2=(t +1t)2−2=x 2−2.所以所求函数是f (x )=x 2−2(|x |≥2)，其图像如图，易知f (x )=x 2−2(|x |≥2)的值域是[2,+∞).22．【2018年湖南预赛】函数f(x)=√4−x 2+ln(2x −1)的定义城为_________. 【答案】[−2,12)【解析】由{4−x 2≥02x −1>0得-2≤x <12，所以函数f(x)=√4−x 2+ln(2x −1)的定义城为[−2,12). 故答案为[−2,12)23．【2018年湖南预赛】已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x +6)=f(x)，且当−3≤x <−1时，f(x)=−(x +2)2，当−1≤x <3时，f(x)=x ，则y =f(x)象与y =lg |1x |的图象的交点个数为___________。

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题01集合第一缉1．【2021年江西预赛】集合M 是集合A={1，2，…，100}的子集，且M 中至少含有一个平方数或者立方数，则这种子集M 的个数是.【答案】288(212‒1).【解析】集合 中的平方或者立方数构成集合 ,100},A ={1,2,⋯,100}B ={1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81其中有12个元素,从 中挖去集合 后剩下的元索构成集合 ,则 中有88个元索,A B C C 由于 的子集有 个, 的非空子集有 个,C 288B 212‒1集 可表示为 形式,其中 是 的任一非空子集, 是 的任一子集,因此 的个数为M M =B 0∪C 0B 0B C 0C M 288(212‒1).2．【2021年浙江预赛】给定实数集合A,B,定义运算 .设A ⊗B ={x∣x =ab +a +b,a ∈A,b ∈B} ,则 中的所有元素之和为.A ={0,2,4,⋯,18},B ={98,99,100}A ⊗B 【答案】29970【解析】由 ,x =(a +1)(b +1)‒1则可知所有元素之和为 .(1+3+⋯+19)×300‒3×10=299703．【2021年广西预赛】集合 的所有子集的元素的和等于 .M ={1,2,3,4,5,6}【答案】672【解析】所有子集的元素的和为 .25(1+2+3+4+5+6)=6724．【2021年新疆预赛】若实数集合 的最大元素与最小元素之积等于该集合的所有元素之和，则{3,6,9,x}x 的值为 .【答案】94【解析】若 是最大元素，则 ,解得 ,不合题意；x 3x =18+x x =9若 是最小元素，则 ,解得 ；x 9x =18+x x =94若 既不是最大元素也不是最小元素，则 ,解得 ,不合题意；x 27=18+x x =9所以 .x =945．【2021年全国高中数学联赛A 卷一试】设集合,其中为实数.令.若的A ={1,2,m }mB ={a 2∣a ∈A },C =A ∪B C 所有元素之和为6,则的所有元素之积为 .C【答案】‒8【解析】由条件知(允许有重复）为的全部元素.1,2,4,m ,m 2C 注意到,当为实数时,,故只可能是,且m 1+2+4+m +m 2>6,1+2+4+m 2>6C ={1,2,4,m }1+2+4+m =6.于是(经检验符合题意),此时的所有元素之积为.m =‒1C 1×2×4×(‒1)=‒86．【2020高中数学联赛B 卷（第01试）】设集合,A 是X 的子集,A 的元素个数至少是2,且A X ={1,2,⋯,20}的所有元素可排成连续的正整数,则这样的集合A 的个数为 .【答案】190【解析】每个满足条件的集合A 可由其最小元素a 与最大元素b 唯一确定,其中a ,b ∈X ,a <b ,这样的的(a,b)取法共有种,所以这样的集合A 的个数为190.C 220=1907．【2020年福建预赛】已知[x]表示不超过实数的最大整数,集合,x A ={x∣x 2‒x ‒6<0}B =则.{x∣2x 2‒3[x]‒5=0}.A ∩B =【答案】{‒1,222}【解析】易知, .若 ,则A =(‒2,3)x ∈A [x]=‒2,‒1,0,1,2.当 时,若 ,则 ,[x]=‒2x ∈B 2x 2+6‒5=0 不存在.x 当 时,若 ,则[x]=‒1x ∈B 2x 2+3‒5=0⇒x =±1.经检验, 不符合要求, 符合要求.x =1x =‒1当 时,若 ,则 ，[x]=0x ∈B 2x 2‒0‒5=0⇒x =±102均不符合要求.当 时,若 ,则 ,[x]=1x ∈B 2x 2‒3‒5=0⇒x =±2均不符合要求.当 时,若 ,则 .[x]=2x ∈B 2x 2‒6‒5=0⇒x =±222经检验, 符合要求, 不符合要求.故 .x =222x =‒222A ∩B ={‒1,222}8．【2020年甘肃预赛】设集合: , 若 ,则 的取值范A ={(x,y)∣log a x +log a y >0}B =|(x,y)|x +y <a}.A ∩B =∅a 围是.【答案】(1,2]【解析】若 ,则 a >1A ={(x,y)∣xy >1}.而当 与 相切时，x +y =a xy =1.x +1x =a⇒x 2‒ax +1=0⇒a =2于是,当 时, .若 ,则 ,此时， .a ∈(1,2]A ∩B =∅a <1A ={(x,y)∣xy <1}A ∩B ≠∅综上, .a ∈(1,2]9．【2020年广西预赛】已知集合 ,对 的任意非空子集 为集合 中最大数与最小数的M ={1,2,⋯,2020}M A,λA A 和.则所有这样的 的算术平均数为 .λA 【答案】2021【解析】考虑 的子集 若 ,则 若 ,设 中最大数为 ,最小M A '={2021‒x∣x ∈A}.A '=A λA'=λA =2021.A '≠A A a 数为 ,则 '中最大数为 ,最小数为2021- ，此时,b A 2021‒b a λA'+λA2=2021.故所求算术平均数为2021.10．【2020年广西预赛】设集合 ,且对集合 中的任意元素 则集合 的元索M ={1,2,⋯,2020},A ⊆M A x,4x ∉A.A 个数的最大值为 .【答案】1616【解析】首先,构造404个集合 ,其中，{k,4k}k =1;8,9,⋯,31;127,128,⋯,505.其次,集合 中的数除前述已提到的808个外,剩下的每个数 单独构成一个集合 ,有1212个.M x {x}共 个集合.404+1212=1616据抽臣原理,知若集合 中有多于1616个数,则必有两个数取自上述同一集合.从而,存在 ,矛盾.A x,4x ∈A 故集合 中至多有1616个数,满足条件的一个集合是A .A ={2,3,⋯,7,32;33,⋯,126,506,507,⋯,2020}11．【2020年吉林预赛】已知集合 若 ,则 的取值范围是 .A ={x∣log a (ax ‒1)>1}.2∈A a 【答案】(12,1)∪(1,+∞).【解析】由题意,得log 则 或a (2a ‒1)>1.{0<a <1,0<2a ‒1<a {a >1,2a ‒1>a.解得 或12<a <1a >1.12．【2020年浙江预赛】一个正整数若能写成形式,就称其为“好数".则集合20a +8b +27c (a ,b ,c ∈N) 中好数的个数为.{1,2,⋯,200}【答案】153【解析】先考虑 20a +8b =4(5a +2b). 可取5a +2b 2,4,5,6,⋯,50.则 可取 .20a +8b 8,16,20,24,⋯,200故当 时共有48个非零好数 型）；c =0(4k 时共有42个好数 型),此时好数为 ;c =1(4k +327,35,43,47,⋯,199 时共有35个好数 型),此时好数为 c =2(4k +254,62,70,74,⋯,198; 时共有28个好数 型),此时好数为c =3(4k +181,89,97,101,⋯,197.综上,共有 个好数.48+42+35+28=15313．【2020年新疆预赛】已知集合 ,对于集合 的每一个非空子集的所有元素，计算它们A ={1,2,3,⋯,2020}A 乘积的倒数.则所有这些倒数的和为 .【答案】2020【解析】集合的 个非空子集中，每一个集合的所有元素之积分别为：1，2，…，2020,1×2,1A 22020‒1 ,它们的倒数和为×3⋯,2019×2020,⋯,1×2×⋯×2020 1+12+…+12020+11×2+11×3+…+12019×2020+⋯+11×2×⋯×2020 .=(1+1)(1+12)⋯(1+12020)‒1=2×32×⋯×20212020‒1=202014．【2019年全国】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值{1,2,3,x }为.【答案】‒32【解析】由题意知，x 为负值，.∴3‒x =1+2+3+x⇒x =‒3215．【2019年江苏预赛】已知集合，，且，则实数A ={x|x 2‒3x +2≥0}B ={x|x ‒a ≥1}A ∩B ={x|x ≥3}a 的值是 .【答案】2【解析】，.又，故，解得.A ={x|x ≥2或x ≤1}B ={x|x ≥a +1}A ∩B ={x|x ≥3}a +1=3a =216．【2019年江西预赛】将集合中每两个互异的数作乘积,所有这种乘积的和为 .{1,2,⋯,19}【答案】16815【解析】所求的和为12[(1+2+⋯+19)2‒(12+22+⋯+192)]=12[36100‒2470]=1681517．【2019年新疆预赛】已知集合，，，则是集合的子集但U ={1,2,3,4,5,6,7,8}A ={1,2,3,4,5}B ={4,5,6,7,8}U 不是集合的子集，也不是集合B 的子集的集合个数为 .A B 【答案】196【解析】解法一:因为，且，所以满足题意的集合所含的元素至少在中取一个A ∪B =U A ∩B ={4,5}{1,2,3}且至少在中取一个，集合中的元素可取或不取，于是满足题意的集合共有{6,7,8}{4,5}(23‒1)(23‒1)×22个.=196解法二:集合的子集个数为，其中是集合或集合的子集个数为.所以满足条件的集合个数为U 28A B 25+25‒22个.28‒(25+25‒22)=19618．【2019年浙江预赛】已知集合为正整数，若集合中所有元素之和为，A ={k +1,k +2,⋯,k +n },k,n A 2019则当取最大值时，集合A =.n 【答案】A ={334,335,336,337,338,339}【解析】由已知.2k +n +12⋅n =3×673当时，得到;n =2m (2k +2m +1)m =3×673⇒m =3,n =6,k =333当时，得到.n =2m +1(k +m +1)(2m +1)=3×673⇒m =1,n =3所以的最大值为，此时集合.n 6A ={334,335,336,337,338,339}19．【2019年重庆预赛】设为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合，若A B ={x +y|x,y ∈A, x ≠y}，则集合________.B ={log 26, log 210, log 215}A =【答案】{1, log 23, log 25}【解析】设，其中A ={log 2a, log 2b, log 2c}0<a <b <c.则解得，从而。

最新-2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案精品2018年全国⾼中数学联赛试题及参考答案试题⼀、选择题（本题满分36分，每⼩题6分）1、函数f (x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是（）。

（A）（－∞,－1）（B）（－∞,1）（C）（1,＋∞）（D）（3, ＋∞）2、若实数x，y满⾜(x+5)2+(y-12)2=142，则x2+y2的最⼩值为（）。

（A）2 （B）1 （C）√3（D）√23、函数f(x)=x/1-2x-x/2（）（A）是偶函数但不是奇函数（B）是奇函数但不是偶函数（C）既是偶函数⼜是奇函数（D）既不是偶函数也不是奇函数4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB⾯积等于3，这样的点P共有（）。

（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个5、已知两个实数集合A＝｛a1,a2,…,a100｝与B＝｛b1,b2,…,b50｝，若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有（）。

（A）C50100（B）C4899（C）C49100（D）C49996、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V1；满⾜x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点（x,y）组成的图形绕y轴旋转⼀周所得旋转体的体积为V2，则（）。

（A）V1=（1/2）V2 (B)V1=（2/3）V2 (C)V1=V2 (D)V1=2V2⼆、填空题（本题满分54分，每⼩题9分）7、已知复数Z1,Z2满⾜∣Z1∣＝2,∣Z2∣＝3,若它们所对应向量的夹⾓为60°,则∣(Z1＋Z2)/(Z1＋Z2)∣=。

8、将⼆项式（√x+1/（24√x））n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有个。

2018年全国高中数学联赛山东预赛试题解析一、填空题(每小题8分，共80分)1.若复数z 满足|z －1|+|z －3－2i|=22，则|z |的最小值为 . 【解析】答案：1.设z =x +y i ，则|z －1|+|z －3－2i|=22的几何意义为点P (x ，y )到点A (1，0)，B (3，2)的距离之和为22，因为|AB |=22，从而点P 在线段AB 上，从而：|OP |≥1.即当z =1时有最小值|z |=1. 2.在正三棱锥S —ABCD 中，已知二面角A —SB —D 的正弦值为63，则异面直线SA 与BC 所成的角为 . 【解析】答案：60°.A —SB —D 的二面角等于A —SD —B 的二面角，设底面的中心为O ，取AD 的中点M ，连接SO 、SM 、OM ，过点O 作OE ⊥SM 于E ，易证OE ⊥平面SAD ，过点E 作EP ⊥SD 于点P ，连接OP ，从而：A —SD —B 的二面角为∠EPO .设底面边长为2a ，侧棱长为2b ，于是：OM =a ，SO =4b 2－2a 2，OD =2a ， 所以：OE =a 4b 2－2a 24b 2－a 2，OP =2a ·4b 2－2a 22b ，所以：sin ∠OPE =OE OP =2b 4b 2－a 2=63，解得：a =b .于是：△SAD 为正三角形，从而：直线SA 与BC 所成的角为60°.OP MDEC SA3.函数f (x )=[2sin x ·cos x ]+[sin x +cos x ]的值域为 (其中[x ]表示不超过x 的最大整数). 答案：{－1，0，1，2}.【解析】 f (x )=[sin2x ]+⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4，当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=1； 当x =π4时，[sin2x ]=1，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=2； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=1； 当x =π2时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=1； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0，此时f (x )=0； 当x =3π4时，[sin2x ]=－1，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0，此时f (x )=－1； 当x ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0，此时f (x )=0； 当x =π时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=－1；此时f (x )=－1； 其他区间按此方法讨论.4.在△ABC 中，∠BAC =60°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，且有AD →=14AC →+tAB →，若AB =8，则AD = . 答案：6 3.【解析】易知t =34，从而：AC =24，AD 2=116×242+916×82+316×8×24=108，从而：AD =6 3.5.甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢：前一场输者，则下一场先掷，若第一场甲先掷，则甲赢得第n 场的概率为 . 【解析】答案：P n =12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n . 设甲赢得第n 场的概率为P n ，则P n +1=23(1－P n )+13P n ，P 1=23，解得：P n =12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n . 6.若直线6x －5y －28=0交椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0，且a ，b 为整数)于A 、C ，设B (0，b )为椭圆的上顶点，而△ABC 的重心为椭圆的右焦点F 2，则椭圆的方程为 . 【解析】设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，依题意知：⎩⎨⎧x 1+x 2=3c ，y 1+y 2+b =0，联立椭圆方程和直线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1，6x －5y －28=0，得：⎩⎨⎧x 1+x 2=336a 236a 2+25b 2=3c ①，y 1+y 2=－280b 236a 2+25b 2=－b ②，①÷②可得：2a 25b 2=c b， 即：2a 2=5bc ，两边平方，并有c 2=a 2－b 2可得：4a 4－25a 2b 2+25b 4=0，解得：a 2=5b 2或者a 2=54b 2，7.设a 、b ∈R ，则max{|a +b |，|a －b |，|1－b |}的最小值为 . 【解析】答案：12.max{|a +b |，|a －b |，|1－b |}=max{|a |+|b |，|1－b |}≥|a |+|b |+|1－b |2≥|a |+12≥12. 当且仅当a =0，b =12时等号成立.8.已知a 、b ∈Z ，且a +b 是方程x 2+ax +b =0的一个根，则b 的最大可能值为 . 【解析】答案：9.将a +b 代入方程可得：(a +b )2+a (a +b )+b =0，整理可得：b 2+(3a +1)b +2a 2=0，显然a 、b 中至少有一个为负数，欲求b 的最大值，则a <0，b >0. 视b 为主元，解得：b =－(3a +1)－(3a +1)2－8a 22=－(3a +1)－a 2+6a +12，其中：a ≥22－3或者a ≤－(22+3)，因为b ∈Z ，从而：a 2+6a +1=m 2，m ∈Z ， 即：a 2+6a +1－m 2=0有整数解.=36－4(1－m 2)=4(m 2+8)为完全平方数，令m 2+8=n 2，其中：n ∈Z ，所以：(n +m )(n －m )=8=2×4=(－2)×(－4)，解得：⎩⎨⎧n =±3，m =±1，a =0或－6，b =－1或9，于是b max = 9，此时a =－6.9.设集合A 、B 满足A ∪B ={1，2，…，10}，若A ∩B = ，若集合A 的元素个数不是集合A 的元素，集合B 元素个数不是集合B 的元素，则满足条件的所有集合A 的个数为 . 【解析】令|A |=k ，则|B |=10－k ，k ≠5，否则5∈A ∩B ，从而由题意可知：k ∈B ，10－k ∈A ，此时A 中剩余的k －1个元素有C k －18种选择，且剩余的9－k 个元素必定属于集合B .于是，满足题意的集合A 的个数为m =∑k =19C k －18－C 5－18=28－70=256－70=186个.10.设f (n )为最接近4n 的整数，则∑k =120181f (k )= . 【解析】答案：28867.用[n ]表示与4n 最接近的整数，则：当n ∈[1，8]时，[n ]=1，f (n )=1，其中n =1，2，…，8；故∑k =181f (k )=8， 当n ∈[9，48]时，[n ]=2，f (n )=2，其中n =9，10，…，48，故∑k =9481f (k )=20；当n ∈[49，168]时，[n ]=3，f (n )=3，其中：n =49，50，…，168，故∑k =491681f (k )=40； 当n ∈[169，440]时，[n ]=4，f (n )=4，其中n =169，170，…，440，故∑k =1694401f (k )=68； 当n ∈[441，960]时，[n ]=5，f (n )=5，其中：n =441，…，960，故∑k =4419601f (k )=104； 当n ∈[961，1848]时，[n ]=6，f (n )=6，其中n =961，…，1848，故∑k =96118481f (k )=148. 当n ∈[1849，2018]时，[n ]=7，其中n =1849，…，2018，故∑k =184920181f (k )=1707， 综上：∑k =120181f (k )=8+20+40+68+104+148+1707=28867. 事实上，当k ≤4n ≤k +1时，若n 4∈[k 4，k 4+2k 3+3k 2+2k ]时，[n ]=k ，当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4]时，[n ]=k +1. 因为当n 4∈[k 4，k 4+2k 3+3k 2+2k ]，则n 4－k 4∈[0，2k 3+3k 2+2k ]<(k +1)4－n 4∈[2k 3+3k 2+2k +1，4k 3+6k 2+4k +1]； 而当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4]时，(k +1)4－n 4∈[0，2k 3+3k 2+2k ]<n 4－k 4∈[2k 3+3k 2+2k +1，4k 3+6k 2+4k +1]； 于是：当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4]时，[n ]=k +1； 当n 4∈[(k +1)4，(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)]时，[n ]=k +1，即当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)]时，[n ]=k +1，此时共有(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)－(k 4+2k 3+3k 2+2k )=4k 3+12k 2+16k +8=4(k +1)(k 2+2k +2)个数，于是：∑k 4－2k 3+3k 2－2k +1k 4+2k 3+3k +2+2k1f (k )=4(k 2+1)， 所以：∑k =120181f (k )=∑k =164(k 2+1)+∑i =184920181f (i )=388+1707=28867. 二、解答题(本大题共4小题，共70分)11.已知圆O ：x 2+y 2=4与曲线C ：y =3|x －t |，A (m ，n )，B (s ，p )(m ，n ，s ，p ∈N*)为曲线C 上的两点，使得圆O 上的任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值k (k >1)，求t 的值.【解析】答案：t =43.取圆上的点C (2，0)，D (－2，0)，E (0，2)，F (0，－2)，依题意有：⎩⎨⎧(2－m )2+n 2(2－s )2+p 2=(2+m )2+n 2(2+s )2+p 2=ms，m 2+(2－n )2s 2+(p －2)2=m 2+(2+n )2s 2+(2+p )2=np，于是：OA →=tOB →，所以，点A 、B 、O 三点共线.由阿波罗尼斯圆的性质：OA ·OB =R 2=4，且OA =Rλ，OB =Rλ，其中λ>1，则OA <OB ，所以：OA <2；因为：m 2+n 2=OA 2=4λ2，又m 、n ∈N*，从而：OA 2=4λ2∈N*，(1)若OA 2=4λ2=1，则λ=2，此时：m 2+n 2=1，必有mn =0，因为m 、n ∈N*，不符合题意；(2)若OA 2=4λ2=2，则λ=2，此时：m 2+n 2=2，得：m =n =1，s =p =2，直线AB 的方程为y=x ，则点A (1，1)，B (2，2)在曲线C 上，代入解得：t =43.(3)若OA 2=4λ2=3，此时：m 2+n 2=3，无正整数解，不合题意.综上：t =43.12.已知数列{a n }满足：a 1=π3，0<a n <π3，sin a n +1≤13sin3a n (n ≥2)， 求证：sin a n <1n. 证明：由于0<a n <π3，于是：sin a n ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 当n =1时，有sin a 1=12<1；当n =2时，sin a 2∈⎝⎛⎭⎫0，12<12成立； 设当n =k 时，有sin a k <1k， 则当n =k +1时，sin a k +1≤13sin3a k =13(3sin a k －4sin 3a k )，令f (x )=3x －4x 3，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则f ′(x )=3－12x 2>0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12单调递增， 于是：sin a k +1≤13sin3a k =13(3sin a k －4sin 3a k )≤1k －43k k，所以只需证明：1k －43k k <1k +1(k ≥2) 即可. 即证明：3k －43k<k k +1， 平分后整理可得：15k 2+8k －16>0，即证明对任意k ≥2有：(3k +4)(5k －4)>0，显然成立.于是：对任意n ∈N*，有sin a n <1n. 13.实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=λ(λ>0)，试求f =min{(a －b )2，(b －c )2，(c －a )2}的最大值.【解析】由i 对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 从而：a －b >a －c >0，于是有：f =min{(a －b )2，(b －c )2，(c －a )2}=min{(a －b )2，(b －c )2}≤(a －b )(b －c )≤⎣⎡⎦⎤(a －b )+(b －c )22=(a －c )24≤λ2.当且仅当b =0，a =－c =2λ2时等号成立. 14.证明对所有的正整数n ≥4，存在一个集合S ，满足如下条件： (1)S 由都小于2n－1的n 个正整数组成；(2)对S 的任意两个不同非空子集A 、B ，集合A 中所有元素之和不等于集合B 中所有元素之和.【解析】当S ={20，21，22，…，2n －1}时满足题意.法一、证明：用|T |表示集合T 中的元素个数，M (A )表示集合A 中的元素之和. 当n =4时，若|A |=1，则M (A )={1，2，4，8}； 若|A |=2，则M (A )={3，5，9，6，10，12}， 若|A |=3，则M (A )={7，11，13，14}， 若|A |=4，则M (A )={15}，即集合S 的15个子集，其和值也有15个，每个子集的和值各不相同， 所以：当A ≠B 时，总有M (A )≠M (B ). 故：当n =4时，S ={1，2，4，8}满足题意；假设当n =k 时，集合S ={20，21，22，…，2k －1}满足题意， 此时集合S 的2k －1个非空子集有2k －1个不同的值，其集合为{1，2，…，2k －1}，则当n =k +1时，集合S 的2k 个子集的和值组成的集合为{1，2，3，…，2k －1，2k ，2k +1，…，2k +2k －1}，即：{1，2，3，…，2k －1，2k ，…，2k +1－1}，所以当n =k +1时，集合S 的2k +1－1个子集有2k +1－1个不同的值. 综上：集合S ={20，21，22，…，2n －1}总是满足题意.法二、不妨假设a 1<a 2<…<a m ，b 1<b 2<…<b t ，且对任意的i ，j ，a i ≠b j ，b t <a m ， 根据题意只需证明：∑i =1m 2a i≠∑j =1t2b j即可.若不然，设∑i =1m2a i=∑j =1t2bj ，则：2a m<∑i =1m2a i=∑j =1t 2bj ，所以：1<2b 1－a m+2b 2－a m+…+2b t －a m≤12+122+…+12t －m =1－12t －m +1<1，矛盾. 从而：集合S ={20，21，…，2n －1}的任意的两个子集之和不同. 所以：存在满足题意的集合S ={20，21，…，2n －1}.。