范畴论初步
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§1范畴论简介1
“范畴论是数学的数学。
”
——尤金妮娅·程（Eugenia Cheng）一、范畴论是什么
从开始学习数学，我们就知道代数与几何有很强的关联：代数方程可以表示成图形和几何对象，几何特征可以用代数表达式刻画。
就好像有一座桥梁连接广阔的数学世界中的这两个领域，桥的两边互为镜像。
不仅如此，还有集合论、群论、线性代数、拓扑学等看上去没有关系的数学分支，实际上都存在深层次的关联。
这些关联不是浮于表面的印象，它们是数学，而且还有个名字：范畴论。
范畴论是一个关
于关系的理论，描述
并研究关系的所有可
能性质。
如果绘制一
幅数学地图，地面上
有代数、拓扑、分析
等不同领域，那么范
畴论则悬挂在天空
中，提供了一条贯穿
整个地图的共同的线
索，让我们看到在地
面看不到的各个领域
之间的关系，将各领
域统一到一起。
它为
数学提供了一个模
板，将不同内容输入
模板，就能重建一个数学领域。
当你在某个数学领域的边界处艰难跋涉，而没有合适的工具可以使用时，范畴论就会非常有用。
通过将问题转移到不同领域，换个角度看问题，说不定能发现新的工具，让问题变得更容易解决。
事实上，范畴论就是这样产生的。
它诞生于20世纪40年代，当时人们试图用更简单的代数方法来解决一个困难的拓扑问题。
范畴思维可以指引你，增强你的直觉，让你的洞察力更敏锐。
二、关系就是一切
范畴论的一个主要特点是它剥离了很多细节。
它并不具体关心集合中的某个具体元素，或者某个群是否可解等。
你可能会想：“范畴论太抽象了！这样做有什么好处吗?”其实，剥离细节能使我们的注意力从单个对象上转移开，转向它们之间存在的关系。
任何一个范畴论专家都会告诉你：关系就是一切。
1本节节选自返朴公众号。
原文为《范畴论：数学的数学|众妙之门》，由Tai-Danae Bradley 撰文，唐璐翻译。
（有改动）
如果你遇到两个人，他们有完全相同的朋友，他们在社交媒体上的互动也完全相同，他们在周五晚上和相同的人在一起，那么你可能会说：“你甚至分不清他们。
”事实上，范畴论的一个主要信条就是，一个数学对象完全由它与所有其他对象的关系决定。
换句话说，当且仅当两个对象以同样方式与范畴中的每个对象相关时，两个对象本质上是不可区分的。
范畴举例
范畴的名称对象态射
Set集合映射
Group群群同态
Top拓扑空间连续映射
Vect K覆盖域K的矢量空间线性变化
Meas可测空间可测映射
Poset偏序集保序映射
Man光滑流形光滑映射
R实数（全）序，≤
三、范畴论有什么用
以前为了描写对称性，群论走进了物理。
现在为了描写量子材料中的量子纠缠，范畴论也正在走进物理。
范畴论已经应用到了物理学领域来描写多体量子纠缠（也就是拓扑序）这种全新的自然现象。
范畴论尽管听起来很抽象，但这些构造组成了一个理论宝库，不仅涉及数学，还涵盖许多学科。
范畴论自诞生以来，已经在计算机科学、量子物理学、系统生物学、化学、动力系统和自然语言处理等领域找到了自然应用。
因为范畴论是关于关系的，而关系在我们所处的世界中无处不在！
§2.1范畴的定义2
一个范畴（category）包括：
1)一些对象（objects）的类3；
2)一些态射（morphisms）（也称为“箭头”）的类；
3)对于每个态射f，都有一个对象作为f的域（domain），另一个对象作为f
的陪域（codomain）；
2本部分翻译自多伦多大学幻灯片“An introduction to Category Theory for Software Engineers”（《给软件工程师们的范畴论简介》）©Steve Easterbrook,1999。
3类（class）是NBG公理系统中代替集合（set）而存在的概念。
有些对象对集合而言太大，必须以类来描述，如大的范畴和超实数的类体等。
这里的NBG公理系统是冯诺依曼等为解决朴素集合论中的一些悖论而提出的一种公理集合论。
当然，在另一种常用的公理系统——ZF（或ZFC）公理系统中没有类这个概念，这里是沿用原稿的表述。
4)对于每个对象A，都有一个恒等态射（identity morphism）ID A，使得A既为
其域，又为其陪域；
5)对于每对态射f：A→B和g：B→C(即cod(f)=dom(g)),都有一个复合态射
(composite morphism)，记做g∘f：A→C。
并满足以下公理：
1)恒等态射的交换律（Identity composition）：
对于每个态射f：A→B，都有
ID B∘f=f=f∘ID A
2)结合律（Associativity）：
对于每组态射f：A→B，g：B→C，h：C→D，都有
(h∘g)∘f=h∘(g∘f)
【例】集合上的态射
其中，对象是集合，态射就是集合间的映射。
E.g. E.g.
§2.2一些定义
定义一些范畴：
逆态射与同构：
1)若对态射f：A→B，存在态射g：B→A使得
f∘g=ID B，且g∘f=ID A
则称g为f的逆态射（inverse），且称f为一个同构（isomorphism），记为g=f-1。
显然，g也是一个同构，其逆为f；
2)若两个对象A、B之间有一个同构f：A→B，则称这两个对象为同构的
（isomorphic）；
3)f的逆态射最多只有一个。
§2.3高阶构造
1.考虑一个对象是范畴的（大）范畴，其中态射为范畴间的映射，则称该（大）
范畴中的态射为函子（functor）。
2.考虑一个对象是函子的范畴，我们称其中的态射为自然变换（natural
transformation）。
3.考虑一个函子的逆（也可以考虑同构范畴）。
通常地，我们使用一个比同构
更弱的概念——伴随函子（adjoint functor）。
