复习课变式教学一例
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: 筹
生 良好的认知结构 , 促使学生 能力 的提高 的有 效途径. 倘若在复习课 中合理引入变式教学 , 能 有效地克服" 知识疏理+例题选讲 +归纳小结" 套路 的不足.下面是笔者在高二年级一节复 习
课的教学过程及其评述.
P / E > N/平面 C E N/B =P / B 同理, /平面 C E > MP/ B -平面MN ‖平面 C E = P B MN/平面 C E / B. MP / B A j B A jMP, /C , B _ C B_ 同理 AB _ P jN
面面的垂直 , 只涉及立几 中的位置关 系, 而来 涉 及其数量关系 , 所以我们提出这样的问题 : 变式 1 若两正方形所在平 面互相垂直 , : 则
当 M, 到达何处 时使 MN 最短?并求这 个最 N
小值.
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上 海 中 学数 学 · 0 5年 第 1期 20
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面角 的平面角, 易求得 ac s r o ÷. c
0
[ 评注]三个变式尽管 由教师提 出, 这些 但
问题一环扣一环 , 且建立在 直线与 平面 的知 识 结构及学生原有 的知识 基础 上, 激起学生 的 易
经过独立解题学生提供了以下解法: 设动线 段 A 的长为 z 则 F A M , N= M=z 如图 3 ( )
[ 评注]以上证法均 由学生提供 , 这里既复 习了线面平行与垂 直的有关知识 , 又强化 了线
面平行与垂直证明的有关技能和方法.
, l , E
( )问题的变式与解 决 二
师: 上述解答涉及 了线线 , 面, 面平行 线 面
图1
图2
A /B = F/ E >
上任意两点间的最短 距离, M 到 F 点 B各点 的
最短距离 , M 与它在直线 F 上的射影之间 是 B 的距离 , 为此过点 M 作 MP_A l B于 P 点, P _ 过
点作 P l B于 N , 接 MN, MN_F 设 N_F _ 连 则 l B, _ AM=z,4 贝 AP=MP=%5 1 z, L
效 益.
距离引申到求角 , 联想到 20 年全国高考题 : 02
变式 3 变式 2中当 MN= 口时, : 求二面 角A —MN-B的大小. 生: 由于AA MN 与 AB MN 是边 长为 口
�
总能 保 持 MN 平 行 于 平 面 C E, 有 MN_ B 且 l _
: 匾
图3 图4
A , B 证明你的结论.
[ 评注] 这是高中数学课本( 华师大版) 高二
第一学期数学 练习部分 A组 1 5改编的一个开
证法三( 图 4 略证 ) 见 , 分别 过 M, 引 A N B 平行线交 B B C, E于 H, , MH 与 NG 同时 G则
[ 评注]由教师变式转换为让学生 变式 , 可
进一步确立学生在教学中的主体地位.同时 , 变 式是一种创造性 的工作 , 是一 种培养学生 想象 力与创新意识 的手段 , 学生一旦 掌握变式 的方 法, 就为他们提供 了更为广阔的学 习空间.
( 四)小结
B n zN B (-z P 一 ,= P ) = P = a1,
则z 一
A C与 B F之间的最小距离 , 即异面直线 A , F CB
间 的距 离 .
师: 变式 2是由式 1 推广而得 , 推广是对问 题进行变式处理 的另一 种常用手法.由此从求
[ 注]本案例 由浅入深 , 评 纵横交错 地对既
有常规问题进行变式处理 , 能源 源不断地 得到 各种各样的问题 , 其中不乏具有挑战性的问题 , 满足 了各个层次学生 的需求 , 这样既有 助于学 生学好" 三基" 有且于培养学 生分析解决 问题 , 的能力及创新能力 , 还可 以解 决传统 复习课可 能产生的一些 弊端 , 更好地 发挥复 习课的教学
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放性问题 , 能激发学生探求 的欲望. 学生探讨 后提供结论 并证 明: 能保持 MN
‖ 面 C E, MNjAB B 且 I
平行且等于寺A . B,.MN H 为平行四边形, . G
厶
' . .
MN/ H / G . MN/平面 C E . . ) / B. 由 A _面 B E得 A j HG 'A jMN Bl _ C B I _. B I .
=
及线线 , 线面垂直等立几 的重点 问题 , 尚未 涉及
MN/C = MN/平面 C E / G> / B. A j B , jB A j平面 C E B I C AB I E BI B A jC MN/C = A / _MN. B I G, / G > B/l _ 证法二( 图 3 过 M 作 MP/ C MP交 见 ) / B, A B于 P, 连接 P N.
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盼 5
复习课变式教学一例
208 上海市北郊 高级 中学 杜 平 001
复习课是 中学数学课堂教学的一种重要课 型, 是深化和提高学生对" 三基" 的认识 , 构建学
M/ = PC> / 一 B
= P / F, F / E ; N/A A B .
t
证法一( 见图 2 根据条件可知 A ) M=F N得
MC =NB, 连接 A N交 B 于 G, E 连接 C 在正 G,
方形 AB EF中 ,
,
师: 在证法一, 中, 三 平行 的论证 用线 面平
行 的判定定理 , 在证 法二 中平行 的论 证用 了线 面平行转化为面面平行 的方法 , 而垂 直 的证 明 用了线线垂直转化为线 面垂直的方法.
[ 评注]立几有两部分 内容 , 一是 直线与平
面, 二是简单几何体. 前者主要涉及对线面的定 性研究( 如线面平行与垂直的讨论) 和对线 面的 定量研究( 如距离 与角 的计算) .教师 的这一引
发 , 举 两得 . 一
的等边 三角形 , MN 中点 R, AR 取 则 B为 二
与 AE 成 6. . O角
生 3 变式 3改为 : AC上是否存在 一点 : 在
M, 使二面角 A —MN—B的大小为 6 . O. 师: 大家提 出了很好的问题 , 请课 后 自行解
变式 2变式 1 : 所得 MN 的最短长度是不是 A C与 B F两直线上任意两点之间韵最短距离 ? 若是 , 给出证明, 若不是, 请求出最短距离 ? 生 : 的最短长度不是 A MN C与 B F两直线 答.这里生 1 的问题实际上由变式 3 引申而得 , 由二面角引申到异面直线所 成 的角 ; 2的问 生 题是由生 1 问题 中条件与结论倒置而得 ; 而生 3 的问题也是变式 3的一种倒置变式.
平面 AB D 平 面 AB F, AB MP C E MP
共鸣与兴趣 , 促使学生积极主动地参与.
'
( ) 三 学生进行变式
j平面A _ B
MP _ N, M 一 M +p 2 jP 则 . N N.
| |
师: 请学生尝试进行变式
生 1变式 2 : 改为求 异面直线 AC与 F B所
AB l 面 MNP > l _平 _ =AB_MN. _
( )问题 的提 出与解决 一
已知正 方形 A C 与 A E BD B F所 在平面 相 交于 A A =1 M, 分 别为对角 线 A F B, B 2 N , C, B 上的动点 , 且以同样 的速度同时分别 由 A, F出 发 向 C B移动, , 试判 断在整个移动过程 中是否
=
由学生小结 , 教师归纳整理. 师: 通过对一个习题 的一题多证( , 解) 一题
M ( .( ) N ) 一z. +
时, d有最小值 z 一 , 这就 是
多变, 使我们对线面平行 , 垂直 的论 证 ,角" " 与
" 距离" 的计算 , 以及 函数 思想求解立几 最值 问 题进行 了系统的复 习与训练.一题多变 常采 用 " 引申" " ,推广" 改变条件 与结论等方 法 , 今 , 在 后的学习中我们将不断地加以丰富.
成 角.
而 AP= P = z PN= P M , B= 口 z 一 .
得 N z 专 . ≤ M ( ) ≤ 一 + z
则当 z 口 即 M, 一 , N分别在 A F C, B中点
时, MN达最小值 n .
生 2生 1 : 问题 改为求点 M 在何处 时 , MN
