北师大版-数学-八年级上册-7.5 里程碑上的数 作业1

5 里程碑上的数（1）一、目标导航知识目标：用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题．能力目标：让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，掌握列方程组解决实际问题的一般步骤． 二、基础过关1．甲、乙两支探险队同时向一座峡谷出发，如图：甲队出发地是距大本营1千米的A 处，每小时行进1.5千米；乙队出发地是距大本营4千米的B 处，每小时行进0.5千米，两队与大本营的距离和所用的时间关系如下表：大本营 A B 峡谷（1（2）t 小时后，甲离大本营的距离1S = ，乙离大本营的距离2S = ，当t =______时，甲、乙到大本营的距离相等，为 千米．（3）若大本营与峡谷距离为5千米，则 队先到达峡谷；若大本营与峡谷距离为10千米，则 队先到达峡谷．2．一条船在一条河上的顺流航行速度是逆流航行速度的3倍，这条船在静水中的航速与河水的流速之比是（ ）A ．3∶1B ．2∶1C ．1∶1D ．5∶23．一个两位数，数字之和为11，若原数加45，等于此两位数交换其数位上的数的位置后得到的新数，求原数是多少？若设原数十位数字为x ，个位数字为y ，根据题意列出的下列方程组中正确的是（ ）A ．1011104510x y x y y x +=⎧⎨++=+⎩B ．101145x y x y y x +=⎧⎨++=+⎩C ．11104510x y x y y x +=⎧⎨++=+⎩D ．以上都不对4．有一个两位数，个位数比十位数大5，如果把这两个数的数位上的数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143．求这个两位数．5．A、B两地相距20千米，甲从A地向B地前进，同时乙从B地向A地前进，2小时后二人在途中相遇．相遇后，甲返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙两人的速度？6．甲、乙两人在东西方向的公路上行走，甲在乙的西边300米，若甲、乙两人同时向东走30分钟后，甲正好追上乙；若甲、乙两人同时相向而行，2分钟相遇．问甲、乙两人的速度各是多少？7．已知某铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度？8．两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流航行了14小时，逆流航行了20小时，求这艘轮船在静水中的速度和水的流速？三、能力提升9．甲、乙两人练习跑步，如果甲让乙先跑10 米，甲跑5秒就追上乙；如果甲让乙先跑2秒，那么甲跑4秒就追上乙，若设甲、乙两人每秒分别跑x、y米，列出的方程组为（）．A．5105442x yx y+=⎧⎨-=⎩B．5510424x yx y=+⎧⎨-=⎩C．55104()2x yx y y-=⎧⎨-=⎩D．5()10 4()2x yx y x-=⎧⎨-=⎩10．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？11．甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行．如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人每小时各走多少千米？12．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地．如果他以50千米/小时的速度行驶，会迟到24分钟；如果以75千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离？13．甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时出发，相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙地到A地所剩路程的2倍．求甲、乙两人的速度？14．甲、乙两人都以不变的速度在环行路上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔2分相遇一次；如果同向而行，每隔6分相遇一次．已知甲比乙跑得快，甲、乙每分钟各跑多少圈？15．从小华家到姥姥家，有一段上坡路和一段下坡路．星期天，小华骑自行车去姥姥家，如果保持上坡每小时行3 km，下坡每小时行5 km，他到姥姥家需要行66分钟，从姥姥家回来时需要行78分钟才能到家．那么，从小华家到姥姥家上坡路和下坡路各有多少千米，姥姥家离小华家有多远？16．第一工程队承包甲工程，晴天需要12天完成，雨天工作效率下降40%；第二工程队承包乙工程，晴天需要15天完成，雨天工作效率下降10%．实际上两个工程队同时开工，同时完工．两个工程队各工作了多少天，在施工期间有多少天在下雨？四、聚沙成塔世界杯足球小组赛，每组四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，平局时两队各记1分，败队记0分．小组赛全赛完后，总积分数高的两个队出线进入下一轮比赛．如果总积分相同，则还要按净胜球多少来排序．问一个队至少要积多少分才能保证出线？5 里程碑上的数（1）1．（1）4，5.5，5，5.5；（2）1＋1.5t ，4＋0.5t 3，5.5；（3）乙，甲 2．B 3．C4．49 5．设甲乙二人的速度分别为x 千米/时、y 千米/时，2220 5.5222, 4.5x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩． 6、设甲、乙两人的速度分别是x 米/分，y 米/分，3030300,802()300.70x y x x y y -==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩得．7．设火车的速度为x 米/秒，火车的长度为y 米，601000,20401000.200x y x x y y =+=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩得．8．设这艘轮船在静水中的速度和水的流速分别为x 千米/时，y 千米/时．14()2801720()2803x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩解得 9．C 10．设十位数为x ，个位数为y ，则103()235105()1,6x y x y x x y x y y +-+==⎧⎧⎨⎨+=++=⎩⎩．所以这个两位数是56． 11．解：设甲、乙两人每小时分别行走x 千米、y 千米．根据题意可得：4.5 2.5363536x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，解得64x y =⎧⎨=⎩． 12．设甲、乙两地间的距离为x 千米，从甲地到乙地的规定时间是y 小时，2120,5052 2.,755x y x x y y ⎧-=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪-=⎪⎩解得． 13．设甲、乙两人的速度分别为x 千米/小时，y 千米/小时，（1）如图1，甲、乙在相遇前相距3千米时，3330330(32)2[30(32)]x y x y +=-⎧⎨-+=-+⎩，45x y =⎧⎨=⎩；答：甲、乙两人的速度分别为4千米/小时，5千米/小时 （2）如图2，甲、乙在相遇后相距3千米时，3330330(32)2[30(32)]x y x y +=+⎧⎨-+=-+⎩，163173x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；答：甲、乙两人的速度分别为163千米/小时，173千米/小时．14．1136甲每分跑圈，乙每分跑圈．15．设小华到姥姥家上坡路有x km，下坡路有y km，那么小华从姥姥家回来，需要走上坡路y km，下坡路x km．根据题意得：663560783560x yy x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以，小华到姥姥家有1.5 km上坡路，3 km下坡路，姥姥家离小华家4.5 km．16．10天下雨，6天晴．。

北师大版八年级上册数学里程碑上的数课时练（附答案）一、单选题1.如图，面积为 900 的正方形 ABCD 由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中大长方形的长是小长方形长的 3 倍，若中间小正方形（阴影部分）的面积为 16 ，则小长方形的周长是（ ）A. 16B. 18C. 20D. 242.甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄是（ ）A. 10岁B. 15岁C. 20岁D. 30岁3.小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x 分钟，下坡用了y 分钟，根据题意可列方程组为（ ）A.{3x +5y =1200x +y =16)B.{360x +560y =1.2x +y =16)C.{3x +5y =1.2x +y =16)D.{360x +560y =1200x +y =16) 4.永川到成都路程全长288km ， 一辆小汽车和一辆客车同时从永川、成都两地相向而行，经过1小时50分钟相遇，相遇时小汽车比客车多行驶40km ．设小汽车和客车的平均速度为x km /h 和y km /h ， 则下列方程组正确的是（ ）A. {x +y =401.5(x +y)=288B. {x −y =401.5(x +y)=288C. {x −y =40116(x +y)=288D. {116(x −y)=40116(x +y)=288 5.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹（算筹是中国古代用来记数、列式和进行演算的一种工具）来记录的.在算筹记数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式.如图（1），从左到右列出的算筹数分别表示 x 、 y 的系数与相应的常数项，根据图（1）可列出方程组 {3x +y =177x +4y =23，则根据图（2）列出的方程组是（ ）A. {x +5y =32x +2y =14B. {x +5y =112x +4y =9C. {x +5y =212x +2y =9D. {x +5y =12x +2y =9二、填空题6.已知关于x 、y 的方程组 {3x +y =5x −2y =2，则2x+3y 的值是________. 7.某铁路桥长y 米，一列x 米长的火车，从上桥到过桥共用30秒，整列火车在桥上的时间为20秒，若火车的速度为20米∕秒，则桥长是________米．8.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2 头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为________9.一个两位数的各位数字之和为8，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数小18，则原来的两位数是________10.某班有30名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去690元，其中甲种票每张25元，乙种票每张20元，设购买了甲种票x 张，乙种票y 张，由此可列出方程组________．三、解答题11.阅读下列范例，按要求解答问题.例：已知实数a ，b ，c 满足： a +b +2c =1,a 2+b 2+6c +32=0 ，求a ，b ，c 的值.解：∵a+b+2c ＝1，∴a+b ＝1﹣2c ，设 a =1−2c 2+t,b =1−2c 2−t ① ∵ a 2+b 2+6c +32=0 ②将①代入②得： (1−2c 2+t)2+(1−2c 2−t)2+6c +32=0 整理得：t 2+（c 2+2c+1）＝0，即t 2+（c+1）2＝0，∴t ＝0，c ＝﹣1将t ，c 的值同时代入①得： a =32,b =32 .∴ a =b =32,c =−1 .以上解法是采用“均值换元”解决问题.一般地，若实数x ，y 满足x+y ＝m x =m 2+t,y =m 2−t ，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题.现请你根据上述方法试解决下面问题：已知实数a ，b ，c 满足：a+b+c ＝6，a 2+b 2+c 2＝12，求a ，b ，c 的值.12.已知方程组 {ax −by =4,ax +by =6与方程组 {3x −y =5,4x −7y =1 的解相同，求 a ， b 的值． 四、综合题13.放学后，小君和小颖分别带有30元钱，到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本.这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元；一次购买的卡通笔记本达到5本及以上，可以享受9折优惠.小君要买4支笔芯，3本笔记本，共需花30元；小颖要买6支笔芯，2本笔记本，也需30元.（1）如果单独购买，一支笔芯的价格和一本笔记本的价格各是多少元?（2）小君和小颖都还想再买一件单价为3.5元的小工艺品，他们要怎样做才能在现有钱的条件下，既买到各自需要买的文具，又能买到小工艺品呢?请通过计算说明.14.为奖励表现优秀的学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元；购买2个文具袋和3个圆规需39元.（1）求文具袋和圆规的单价.（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干.文具店给出两种优惠方案：方案一；购买一个文具袋送1个圆规.方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折.若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由.答 案一、单选题1. B2. C3. B4. D5. C二、填空题6. 37. 5008. {5x +2y =102x +5y =89. 53 10. {x +y =3025x +20y =690三、解答题11. 解：∵ a+b+c ＝6， ∴a+b=6-c ，设a =6−c 2+t ， b =6−c 2−t ①∵ a 2+b 2+c 2＝12②， 将①代入②得： (6−c 2+t)2+(6−c 2−t)2+c 2=12 ， 整理得： 3c 2-12c+4t 2+12=0，即3（c-2）2+4t 2=0，∴c=2，t=0， 将t ，c 的值同时代入①得： a=2，b=2，∴a=b=c=2.12. 解：解方程组 {3x −y =5,4x −7y =1.得 {x =2,y =1. 把 {x =2,y =1. 代入方程组 {ax −by =4,ax +by =6. 得 {2a −b =4,2a +b =6.解这个方程组，得 {a =2.5,b =1.四、综合题13. （1）若单独购买，设一支笔芯x 元，一本笔记本y 元，根据题意，可得{4x +3y =306x +2y =30，解得 {x =3y =6 ，所以，一支笔芯3元，一本笔记本6元； （2）为能买到工艺品，两人可合起来买，享受优惠，两人合起来，需要支付的总价钱为：(6+4)×(3−0.5)+(3+2)×6×0.9=52 （元），小君买笔芯和笔记本需要付的钱为：4×2.5+3×6×0.9=26.2 （元），剩余的钱为3.8元；小颖买笔芯和笔记本需要付的钱为：6×2.5+2×6×0.9=25.8 （元），剩余的钱为4.2元；所以，小君和小颖合起来买后，两人即可以买到笔芯和笔记本，也可以分别买到一件3.5元的工艺品. 14. （1）解：设文具袋的单价为x 元/个，圆规的单价为y 元/个，依题意，得： {x +2y =212x +3y =39 ，解得： {x =15y =3. 答：文具袋的单价为15元/个，圆规的单价为3元/个。

北师大版八年级数学上册第五章《5.应用二元一次方程组-里程碑上的数》课时练习题（含答案）一、单选题1．一个两位数，十位数字比个位数字大4；将这个两位数的十位数字与个位数字对调后，比原数减少了36，求原两位数．若设原两位数十位数字是x ，个位数字是y ，则列出方程组为（ ）A ．4101036x y x y y x -=⎧⎨+=+-⎩B ．4101036x y x y y x +=⎧⎨+=+-⎩C ．4103610x y x y y x-=⎧⎨+-=+⎩D ．4103610y x x y y x-=⎧⎨+-=+⎩2．如图，AB ⊥BC ，∠ABC 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x °，y °，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）．A ．9015x y x y +=⎧⎨=-⎩B ．90215x y x y +=⎧⎨=+⎩C ．90152x y x y +=⎧⎨=-⎩D ．90215x y x y +=⎧⎨=-⎩3．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了min x ，下坡用了min y ，根据题意可列方程组（ ）A ．35120016x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．35 1.2606016x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩C ．35 1.216x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．351200606016x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩4．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（）A．()929,99.x yy x⎧-=+⎨+=-⎩B．()929,99.x yy x⎧+=-⎨+=-⎩C．92,9.x yy x+=⎧⎨+=⎩D．92,99.x yy x-=⎧⎨+=-⎩5．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（）A．8374x yx y-=⎧⎨+=⎩B．8374x yx y+=⎧⎨-=⎩C．8374y xy x-=⎧⎨-=⎩D．8374x yx y-=⎧⎨-=⎩6．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）A．9 B．10 C．11 D．127．某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（）A．3201036x yx y-=⎧⎨+=⎩B．3201036x yx y+=⎧⎨+=⎩C．3201036y xx y-=⎧⎨+=⎩D．3102036x yx y+=⎧⎨+=⎩8．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（）A．9天B．11天C．13天D．22天二、填空题9．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x 斛、1个小桶可以盛酒y 斛．根据题意，可列方程组为__________．10．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的12，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的23，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x 钱，乙持钱数为y 钱，列出关于x ，y 的二元一次方程组是______． 11．某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出3.2万元利息．已知甲种贷款每年的利率为4.5%，乙种贷款每年的利率为5%，则该公司申请的甲种贷款的数额为_____万元．12．小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件和第一个方程，并求解这道应用题．应用题：小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，空调两台，共花费7200元，求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？解：设“五一”的同样的电视每台x 元，空调每台y 元，根据题意，得()0.824007200x y ⎧⎪⎨+-=⎪⎩■■■■①②． 被墨水污染的条件是：_________________；被墨水污染的第一个方程是：___________． 三、解答题13．2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委官方也推出了许多与吉祥物相关的商品，其中有A 型冰墩墩和B 型雪容融两种商品．已知购买1个A 型商品和1个B 型商品共需要220元，购买3个A 型商吕和2个B 型商品共需要560元，求每个A 型商品的售价．14．根据市场调查，某厂某种消毒液的大瓶装(500g) 和小瓶装(250g) 两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2：5．该厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应分装大、小瓶两种产品各多少瓶？15．如图，在33⨯的方格内，填写了一些代数式和数．(1)在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x ，y 的值； (2)把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内．16．5月19日是“中国旅游日”，为拓宽学生视野，某校组织去井冈山开展研学旅行活动．在此次活动中，小明、小亮等同学随家长一同到某游乐园游玩．已知成人票每张35元，学生票按成人票五折优惠．他们一共12人，门票共需350元． (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？(2)如果团体票（16人或16人以上）按成人票六折优惠，请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？17．如果一个自然数N 的个位数字不为0，且能分解成A ×B ，其中A 与B 都是两位数，A 的十位数字比B 的十位数字大2，A 、B 的个位数字之和为10，则称数N 为“美好数”，并把数N 分解成N A B =⨯的过程，称为“美好分解”．例如：∵2989 6149=⨯，61的十位数字比49的十位数字大2，且61、49的个位数字之和为10，∴2989是“美好数”；又如：∵6053519=⨯，35的十位数字比19的十位数字大2，但个位数字之和不等于10，∴605不是“美好数”．(1)判断525，1148是否是“美好数”？并说明理由；(2)把一个大于4000的四位“美好数”N 进行“美好分解”，即分解成N A B =⨯，A 的各个数位数字之和的2倍与B 的各个数位数字之和的和能被7整除，求出所有满足条件的N ．18．如图，在数轴上有A ，B 两点，其中点A 在点B 的左侧，已知点B 对应的数为4，点A 对应的数为a ．(1)若7113372663145a ⎛⎫=⨯-⨯÷⨯ ⎪⎝⎭，则线段AB 的长为______（直接写出结果）；(2)若点C 在射线AB 上（不与A ，B 重合），且236AC BC -=，求点C 对应的数；（结果用含a 的式子表示）(3)若点M 在线段AB 之间，点N 在点A 的左侧（M 、N 均不与A 、B 重合），且2AM BM -=，当3AMAN =，6BN BM =时，求a 的值。