高考数学应用性问题的求解

n 1
3 320 2
2 720 3
n 1
960
当且仅当 n=2时，即98年总利润最少为y=960万元。
故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温饱问题。
（ 2） 2005年时，n=9此时y= 320 1.5
8
2 720 3
演 文
示
稿 1 2 后
3
等
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略解：（1）设从星沙调运x台至湘潭，则由题意可得： y= 40（10-x）+ 30（x-4）+80x+ 50（12-x） 得：y=20x+880
4 x 10 x N
y 1000即 20 x 880 1000 得： x6 （ 2） 而 4 x 10 故x=4、5、6 所以有三种调配方案总运费不超过1000元。
1.读懂题目。
应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、 领悟实质。 “整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象； “局部理解”是指抓住题目中的关键字句，正确把握其含义； “分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系； “领悟实质”是指抓住题目中的主要问题、正确识别其类型。
2. 建立数学模型。
（ 3）最（极）值问题：工农业生产、建设及实际生活中的 极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值； （ 4）等量关系问题：建立“方程模模型”利用几何知识解决。
（ 6）风险分析决策问题：可设计函数或概率型问题解决。
例 2、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、 乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获 得利润 720万元。以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递 2 增，而乙企业则为上一年利润的 3 。根据测算，该乡从两个企业获 得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到 小康水平 . （ 1）若以 1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少 的一年是那一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？ （ 2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？
（3）显然x取最小时，y值最小。 即x=4时，y最小为960元。
例4、一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、
2、……、100，共101站，一枚棋子开始在第0站（即
P0=1），由棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次.若 硬币出现正面则棋子向前跳动一站，出现反面则向前
跳动两站。直到棋子跳到第 99站（获胜）或第100站 （失败）时，游戏结束。已知硬币出现正、反面的概
8
=8201.25+28.9
8200
即2005年底该乡能达到小康水平。
例 3、长沙市某电脑公司在市区和星沙各有一分公司，市区分公 司现有电脑6台，星沙分公司有同一型号电脑12台，湘潭某单位 向该公司购买该型号电脑10台，株洲某单位向该公司购买该型 号电脑 8台，已知市区运往湘潭和株洲每台电脑的运费分别是40 元和 30元，星沙运往湘潭和株洲每台电脑的运费分别是80元和 50元． （ 1）设从星沙调运x台至湘潭，该公司运往湘潭和株洲的总运 费为 y元，求 y关于x的函数关系式； （ 2）若总运费不超过1000元，问能有几种调运方案？ （ 3） 求总运费最低的调运方案及最低运费．
污染物含量 库容总量
）；
（2）当P0=0时，求水质最差的月份及此月份的含污比.
将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审 题的最后阶段从各种关系中找出最关键的数量关系，将此 关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问 题的数学模型。
3. 求解数学模型。
根据所建立的数学模型，选择合适的数学方法， 设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其 中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约 束条件。
湘潭（要 10台） 长沙 有 6台
40元 /台 80元 /台
公司
购买 单位
数量
湘潭 株洲 长沙 株洲 （要 8台）
50元 /台
10-x
30元 /台
x-4
x 12-x
星沙
有 12台
星沙 株洲
湘潭
注： x 取值 范围 40（ 10-x） 是什 30（ x-4） 么？ 4 x 10 80x xN 50（ 12-x） 运费
率相同，设棋子跳到第 n站时的概率为 Pn。
（1）求P1，P2，P3； （2）设 an Pn Pn1 (1 n 100) ，求证：数列
an 是等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率。
5、如图所示，是树形图形．第一层是一条与水平线垂 直的线段，长度为 1；第二层在第一层线段的前端作两 条与该段均成1350的线段，长度为其一半；第三层按 第二层的方法在每一线段的前端生成两条线段；重复 前面的作法作图至第n层．设树形图的第n层的最高点 到水平线的距离为第n层树形图的高度。
解决应用性问题的思路和方法：
实际问题
分析、联系、抽象、转化
建立数学模型（列 数学关系式）
数学方法
回答问题
实际结果
反馈
数学结果
解决应用性问题的关键是:
读题——懂题——建立数学关系式
例1、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售 出，能卖出50个.如果零售价在 50元的基础上每上涨1 元，其销售量就减少一个，问零售价上涨到多少元时， 这批货物能取得最高利润.
分析：利润=（零售价—进货单价）*销售量
零售价
销售量
50 51 52 53 …. 50+x 50 49 48 47 …. 50-x
故有：设利润为 y元，零售价上涨x元 y=（ 50+x-40） *（ 50-x） （其中 0〈 x〈 50） y=-x2 +40x+500 2 y x 20 900 900当且仅当 x 20时等号成立 即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润. 最高利润为900元.
4. 检验。
既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评 判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问 题作出合乎实际意义的回答。
中学数学中常见应用问题与数学模型
（ 1）最优化问题：实际问题中的“优选”、“控制”等 问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决； （ 2）预测问题：经济计划、市场预测这类问题通常设计 成“数列模型”来解决；
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n 1
320 1.52
2 720 3
2
320 1.53
2 720 3
略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。
y=320 1.5 +
2
n 1
2 720 3
n 1
分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。
该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润
年份
甲企业 乙企业 总利润
97 （ n=1）
320
720
320 720
98 99 2000 （ n=2） （ n=3） （ n=4）
320 1.5
2 720 3
…
3
（第 n年）
320 1.5n1
1)求第三层及第四层树形图的高度H3，H4； 2)求第n层树形图的高度Hn； 3)若树形图的高度大于2，则称树形图为“高大”， 否则称为“矮小”。是否存在 m Z 使得当 n m 时，该树形图是“高大”的 ?
6、某水库年初的存水量为a（a≥10000），其中污染 物的含量为P0，该年每月降入水库的水量与月份x的 关系是 f ( x) 20 | x 7 |（1≤x≤12，x∈N）， 且每月流入水库的污水量r，其中污染物的含量为P（P ＜r），又每月库水的蒸发量也为r（假设水与污染物能 充分混合，且污染物不蒸发，该年水库中的水不作它 用）. （1）求第x个月水库含污比g(x)的表达式（含污比