平衡二叉树操作的演示

平衡二叉树操作的演示1.需求分析本程序是利用平衡二叉树，实现动态查找表的基本功能：创建表，查找、插入、删除。

具体功能：（1）初始，平衡二叉树为空树，操作界面给出创建、查找、插入、删除、合并、分裂六种操作供选择。

每种操作均提示输入关键字。

每次插入或删除一个结点后，更新平衡二叉树的显示。

（2）平衡二叉树的显示采用凹入表现形式。

（3）合并两棵平衡二叉树。

（4）把一棵二叉树分裂为两棵平衡二叉树，使得在一棵树中的所有关键字都小于或等于x，另一棵树中的任一关键字都大于x。

如下图：2．概要设计平衡二叉树是在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个新结点时，首先检查是否因插入新结点而破坏了二叉排序树的平衡性，若是则找出其中的最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。

具体步骤：（1）每当插入一个新结点，从该结点开始向上计算各结点的平衡因子，即计算该结点的祖先结点的平衡因子，若该结点的祖先结点的平衡因子的绝对值不超过1，则平衡二叉树没有失去平衡，继续插入结点；（2）若插入结点的某祖先结点的平衡因子的绝对值大于1，则找出其中最小不平衡子树的根结点；（3）判断新插入的结点与最小不平衡子树的根结点个关系，确定是那种类型的调整；（4）如果是LL型或RR型，只需应用扁担原理旋转一次，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；如果是LR型或RL型，则需应用扁担原理旋转两次，第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在子树，第二次再调整最小不平衡子树，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；（5）计算调整后的平衡二叉树中各结点的平衡因子，检验是否因为旋转而破坏其他结点的平衡因子，以及调整后平衡二叉树中是否存在平衡因子大于1的结点。

流程图3.详细设计二叉树类型定义：typedef int Status;typedef int ElemType;typedef struct BSTNode{ElemType data;int bf;struct BSTNode *lchild ,*rchild;} BSTNode,* BSTree;Status SearchBST(BSTree T,ElemType e)//查找void R_Rotate(BSTree &p)//右旋void L_Rotate(BSTree &p)//左旋void LeftBalance(BSTree &T)//插入平衡调整void RightBalance(BSTree &T)//插入平衡调整Status InsertAVL(BSTree &T,ElemType e,int &taller)//插入void DELeftBalance(BSTree &T)//删除平衡调整void DERightBalance(BSTree &T)//删除平衡调整Status Delete(BSTree &T,int &shorter)//删除操作Status DeleteAVL(BSTree &T,ElemType e,int &shorter)//删除操作void merge(BSTree &T1,BSTree &T2)//合并操作void splitBSTree(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2)//分裂操作void PrintBSTree(BSTree &T,int lev)//凹入表显示附录源代码：#include<stdio.h>#include<stdlib.h>//#define TRUE 1//#define FALSE 0//#define OK 1//#define ERROR 0#define LH +1#define EH 0#define RH -1//二叉类型树的类型定义typedef int Status;typedef int ElemType;typedef struct BSTNode{ElemType data;int bf;//结点的平衡因子struct BSTNode *lchild ,*rchild;//左、右孩子指针} BSTNode,* BSTree;/*查找算法*/Status SearchBST(BSTree T,ElemType e){if(!T){return 0; //查找失败}else if(e == T->data ){return 1; //查找成功}else if (e < T->data){return SearchBST(T->lchild,e);}else{return SearchBST(T->rchild,e);}}//右旋void R_Rotate(BSTree &p){BSTree lc; //处理之前的左子树根结点lc = p->lchild; //lc指向的*p的左子树根结点p->lchild = lc->rchild; //lc的右子树挂接为*P的左子树lc->rchild = p;p = lc; //p指向新的根结点}//左旋void L_Rotate(BSTree &p){BSTree rc;rc = p->rchild; //rc指向的*p的右子树根结点p->rchild = rc->lchild; //rc的左子树挂接为*p的右子树rc->lchild = p;p = rc; //p指向新的根结点}//对以指针T所指结点为根结点的二叉树作左平衡旋转处理，//本算法结束时指针T指向新的根结点void LeftBalance(BSTree &T){BSTree lc,rd;lc=T->lchild;//lc指向*T的左子树根结点switch(lc->bf){ //检查*T的左子树的平衡度，并做相应的平衡处理case LH: //新结点插入在*T的左孩子的左子树，要做单右旋处理T->bf = lc->bf=EH;R_Rotate(T);break;case RH: //新结点插入在*T的左孩子的右子树上，做双旋处理rd=lc->rchild; //rd指向*T的左孩子的右子树根switch(rd->bf){ //修改*T及其左孩子的平衡因子case LH: T->bf=RH; lc->bf=EH;break;case EH: T->bf=lc->bf=EH;break;case RH: T->bf=EH; lc->bf=LH;break;}rd->bf=EH;L_Rotate(T->lchild); //对*T的左子树作左旋平衡处理R_Rotate(T); //对*T作右旋平衡处理}}//右平衡旋转处理void RightBalance(BSTree &T){BSTree rc,ld;rc=T->rchild;switch(rc->bf){case RH:T->bf= rc->bf=EH;L_Rotate(T);break;case LH:ld=rc->lchild;switch(ld->bf){case LH: T->bf=RH; rc->bf=EH;break;case EH: T->bf=rc->bf=EH;break;case RH: T->bf = EH; rc->bf=LH;break;}ld->bf=EH;R_Rotate(T->rchild);L_Rotate(T);}}//插入结点Status InsertAVL(BSTree &T,ElemType e,int &taller){//taller反应T长高与否if(!T){//插入新结点，树长高，置taller为trueT= (BSTree) malloc (sizeof(BSTNode));T->data = e;T->lchild = T->rchild = NULL;T->bf = EH;taller = 1;}else{if(e == T->data){taller = 0;return 0;}if(e < T->data){if(!InsertAVL(T->lchild,e,taller))//未插入return 0;if(taller)//已插入到*T的左子树中且左子树长高switch(T->bf){//检查*T的平衡度，作相应的平衡处理case LH:LeftBalance(T);taller = 0;break;case EH:T->bf = LH;taller = 1;break;case RH:T->bf = EH;taller = 0;break;}}else{if (!InsertAVL(T->rchild,e,taller)){return 0;}if(taller)//插入到*T的右子树且右子树增高switch(T->bf){//检查*T的平衡度case LH:T->bf = EH;taller = 0;break;case EH:T->bf = RH;taller = 1;break;case RH:RightBalance(T);taller = 0;break;}}}return 1;}void DELeftBalance(BSTree &T){//删除平衡调整BSTree lc,rd;lc=T->lchild;switch(lc->bf){case LH:T->bf = EH;//lc->bf= EH;R_Rotate(T);break;case EH:T->bf = EH;lc->bf= EH;R_Rotate(T);break;case RH:rd=lc->rchild;switch(rd->bf){case LH: T->bf=RH; lc->bf=EH;break;case EH: T->bf=lc->bf=EH;break;case RH: T->bf=EH; lc->bf=LH;break;}rd->bf=EH;L_Rotate(T->lchild);R_Rotate(T);}}void DERightBalance(BSTree &T) //删除平衡调整{BSTree rc,ld;rc=T->rchild;switch(rc->bf){case RH:T->bf= EH;//rc->bf= EH;L_Rotate(T);break;case EH:T->bf= EH;//rc->bf= EH;L_Rotate(T);break;case LH:ld=rc->lchild;switch(ld->bf){case LH: T->bf=RH; rc->bf=EH;break;case EH: T->bf=rc->bf=EH;break;case RH: T->bf = EH; rc->bf=LH;break;}ld->bf=EH;R_Rotate(T->rchild);L_Rotate(T);}}void SDelete(BSTree &T,BSTree &q,BSTree &s,int &shorter){if(s->rchild){SDelete(T,s,s->rchild,shorter);if(shorter)switch(s->bf){case EH:s->bf = LH;shorter = 0;break;case RH:s->bf = EH;shorter = 1;break;case LH:DELeftBalance(s);shorter = 0;break;}return;}T->data = s->data;if(q != T)q->rchild = s->lchild;elseq->lchild = s->lchild;shorter = 1;}//删除结点Status Delete(BSTree &T,int &shorter){ BSTree q;if(!T->rchild){q = T;T = T->lchild;free(q);shorter = 1;}else if(!T->lchild){q = T;T= T->rchild;free(q);shorter = 1;}else{SDelete(T,T,T->lchild,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = RH;shorter = 0;break;case LH:T->bf = EH;shorter = 1;break;case RH:DERightBalance(T);shorter = 0;break;}}return 1;}Status DeleteAVL(BSTree &T,ElemType e,int &shorter){ int sign = 0;if (!T){return sign;}else{if(e == T->data){sign = Delete(T,shorter);return sign;}else if(e < T->data){sign = DeleteAVL(T->lchild,e,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = RH;shorter = 0;break;case LH:T->bf = EH;shorter = 1;break;case RH:DERightBalance(T);shorter = 0;break;}return sign;}else{sign = DeleteAVL(T->rchild,e,shorter);if(shorter)switch(T->bf){case EH:T->bf = LH;shorter = 0;break;case RH:T->bf = EH;break;case LH:DELeftBalance(T);shorter = 0;break;}return sign;}}}//合并void merge(BSTree &T1,BSTree &T2){int taller = 0;if(!T2)return;merge(T1,T2->lchild);InsertAVL(T1,T2->data,taller);merge(T1,T2->rchild);}//分裂void split(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2){ int taller = 0;if(!T)return;split(T->lchild,e,T1,T2);if(T->data > e)InsertAVL(T2,T->data,taller);elseInsertAVL(T1,T->data,taller);split(T->rchild,e,T1,T2);}//分裂void splitBSTree(BSTree T,ElemType e,BSTree &T1,BSTree &T2){ BSTree t1 = NULL,t2 = NULL;split(T,e,t1,t2);T1 = t1;T2 = t2;return;}//构建void CreatBSTree(BSTree &T){int num,i,e,taller = 0;printf("输入结点个数:");scanf("%d",&num);printf("请顺序输入结点值\n");for(i = 0 ;i < num;i++){printf("第%d个结点的值",i+1);scanf("%d",&e);InsertAVL(T,e,taller) ;}printf("构建成功，输入任意字符返回\n");getchar();getchar();}//凹入表形式显示方法void PrintBSTree(BSTree &T,int lev){int i;if(T->rchild)PrintBSTree(T->rchild,lev+1);for(i = 0;i < lev;i++)printf(" ");printf("%d\n",T->data);if(T->lchild)PrintBSTree(T->lchild,lev+1);void Start(BSTree &T1,BSTree &T2){int cho,taller,e,k;taller = 0;k = 0;while(1){system("cls");printf(" 平衡二叉树操作的演示 \n\n");printf("********************************\n");printf(" 平衡二叉树显示区 \n");printf("T1树\n");if(!T1 )printf("\n 当前为空树\n");else{PrintBSTree(T1,1);}printf("T2树\n");if(!T2 )printf("\n 当前为空树\n");elsePrintBSTree(T2,1);printf("\n********************************************************************* *********\n");printf("T1操作：1.创建 2.插入 3.查找 4.删除 10.分裂\n");printf("T2操作：5.创建 6.插入 7.查找 8.删除 11.分裂\n");printf(" 9.合并 T1,T2 0.退出\n");printf("*********************************************************************** *******\n");printf("输入你要进行的操作：");scanf("%d",&cho);switch(cho){case 1:CreatBSTree(T1);break;case 2:printf("请输入要插入关键字的值");scanf("%d",&e);InsertAVL(T1,e,taller) ;break;case 3:printf("请输入要查找关键字的值");scanf("%d",&e);if(SearchBST(T1,e))printf("查找成功！\n");elseprintf("查找失败！\n");printf("按任意键返回87"); getchar();getchar();break;case 4:printf("请输入要删除关键字的值"); scanf("%d",&e);if(DeleteAVL(T1,e,k))printf("删除成功！\n");elseprintf("删除失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 5:CreatBSTree(T2);break;case 6:printf("请输入要插入关键字的值"); scanf("%d",&e);InsertAVL(T2,e,taller) ;break;case 7:printf("请输入要查找关键字的值"); scanf("%d",&e);if(SearchBST(T2,e))printf("查找成功！\n");elseprintf("查找失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 8:printf("请输入要删除关键字的值"); scanf("%d",&e);if(DeleteAVL(T2,e,k))printf("删除成功！\n");elseprintf("删除失败！\n");printf("按任意键返回");getchar();getchar();break;case 9:merge(T1,T2);T2 = NULL;printf("合并成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 10:printf("请输入要中间值字的值"); scanf("%d",&e);splitBSTree(T1,e,T1,T2) ;printf("分裂成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 11:printf("请输入要中间值字的值"); scanf("%d",&e);splitBSTree(T2,e,T1,T2) ;printf("分裂成功，按任意键返回"); getchar();getchar();break;case 0:system("cls");exit(0);}}}main(){BSTree T1 = NULL;BSTree T2 = NULL;Start(T1,T2);}。

AVL树自平衡的二叉搜索树AVL树是一种自平衡的二叉搜索树，它是根据其发明者 G.M. Adelson-Velsky 和 Evgenii Landis 的姓氏首字母而得名。

AVL树解决了传统二叉搜索树由于插入或删除操作导致树结构不平衡而引发的性能问题。

1. 什么是二叉搜索树？二叉搜索树，又称二叉排序树或二叉查找树，是一种特殊的二叉树结构。

在二叉搜索树中，每个节点都包含一个键值，并且节点的左子树中的键值小于节点的键值，右子树中的键值大于节点的键值。

2. 为什么需要自平衡？传统的二叉搜索树在执行插入或删除操作时，可能会导致树结构不平衡，使得树的高度远大于理想情况下的最小高度。

当树的高度增加后，查找、插入、删除等操作的时间复杂度也会增加，进而影响整体性能。

3. AVL树的自平衡特性AVL树通过保持树的平衡性来提高性能。

对于每一个节点，AVL 树通过计算其左右子树的高度差（平衡因子）来判断是否需要进行旋转操作来保持树的平衡。

当平衡因子超过一定阈值时，进行相应的旋转操作来维持平衡。

4. AVL树的旋转操作AVL树的旋转操作包括左旋和右旋。

左旋操作将当前节点的右子树变为新的根节点，而右旋操作则恰恰相反。

通过旋转操作，AVL树可以在保持二叉搜索树性质的同时，实现树的自平衡。

5. AVL树的插入操作在进行插入操作时，AVL树首先按照二叉搜索树的规则找到插入位置，并插入新的节点。

然后，从插入节点开始沿着路径向上逐层检查平衡因子，若遇到不平衡的节点，执行相应的旋转操作来恢复树的平衡。

6. AVL树的删除操作在进行删除操作时，AVL树首先按照二叉搜索树的规则找到待删除的节点，并执行删除操作。

然后，从删除节点的父节点开始沿着路径向上逐层检查平衡因子，若遇到不平衡的节点，执行相应的旋转操作来恢复树的平衡。

7. AVL树的平衡性保证AVL树的自平衡操作保证了树的高度始终保持在理想情况下的最小高度的常数倍。

通过对平衡因子的检查并执行旋转操作，AVL树能够有效地保持树的平衡性，使得查找、插入、删除等操作能够在较快的时间内完成。

平衡二叉树旋转例题摘要：I.平衡二叉树的概念及特点II.平衡二叉树旋转的定义和目的III.平衡二叉树旋转的实例解析IV.平衡二叉树旋转的操作步骤及要点V.平衡二叉树旋转的应用场景正文：I.平衡二叉树的概念及特点平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是一种特殊的二叉树结构，具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。

平衡二叉树的特点是每个节点的左右子树的高度差的绝对值不超过1，这使得树的高度保持在一个相对平衡的状态，从而保证了树的稳定性和查找效率。

II.平衡二叉树旋转的定义和目的平衡二叉树旋转是一种处理树不平衡问题的方法。

当二叉树的平衡条件被破坏时，需要通过旋转操作来重新平衡树。

旋转的目的是调整树的结构，使得树的左右子树的高度差的绝对值不超过1，从而保证树的稳定性和查找效率。

III.平衡二叉树旋转的实例解析假设有一棵平衡二叉树，其结构如下：```10/4 20/2 6 8```当插入一个新的节点14 后，树的结构变为：```10/4 20/2 6 8 14```由于树的平衡条件被破坏，需要进行旋转操作。

旋转后的树结构如下：```14/4 10/2 6 8```可以看到，通过旋转操作，树的平衡条件得到了恢复。

IV.平衡二叉树旋转的操作步骤及要点平衡二叉树旋转操作分为以下两种：左旋和右旋。

左旋操作：将当前节点的右子树旋转到左子树的左侧，即将右子树的根节点提升为当前节点的左子节点，原左子节点变为右子节点。

右旋操作：将当前节点的左子树旋转到右子树的右侧，即将左子树的根节点提升为当前节点的右子节点，原右子节点变为左子节点。

旋转操作的要点是选择好旋转的中心节点，以及注意旋转后子节点关系的调整。

V.平衡二叉树旋转的应用场景平衡二叉树旋转在实际应用中主要应用于二叉查找树（Binary Search Tree）的维护。

当二叉查找树中的节点不平衡时，通过旋转操作可以调整树的结构，使得树的查询效率保持在较高的水平。

平衡二叉树平衡因子
平衡二叉树，又称AVL树，是一种自平衡二叉搜索树。

它具有以下特点：任意节点的左右子树高度差不超过1。

为了实现这个特点，需要在插入和删除节点时进行相关操作，以保持树的平衡。

平衡因子是平衡二叉树中每个节点的一个属性，它表示该节点的左右子树高度差。

平衡因子可以为-1、0和1。

如果平衡因子为-1，表示该节点的左子树高度比右子树高1；如果平衡因子为0，表示该节点的左右子树高度相等；如果平衡因子为1，表示该节点的右子树高度比左子树高1。

在平衡二叉树中，任意节点的平衡因子必须在-1到1之间，否则该节点就不符合平衡条件，需要进行相应的平衡操作。

平衡因子的计算方法是该节点的右子树高度减去左子树高度。

例如，在下面这棵平衡二叉树中，节点7的平衡因子为1，节点6的平衡因子为-1。

```
5
/
3 7
/ /
1 4 6 8
```
在插入和删除节点时，需要根据节点的平衡因子来判断树是否需要进行平衡操作。

如果某个节点的平衡因子不符合要求，需要进行旋
转操作来调整节点的位置，以保持树的平衡。

具体的旋转操作包括左旋、右旋、左右旋和右左旋，可以根据节点的平衡因子和子节点的平衡因子来确定需要进行的操作。

维护平衡二叉树需要付出一定的时间和空间代价，但它的优点是可以保证树的查找、插入和删除操作的时间复杂度都是O(log n)，比普通的二叉搜索树更加高效。

因此，在需要频繁进行这些操作的场景下，平衡二叉树是一种非常有用的数据结构。

一、平衡二叉树的概念平衡二叉树(Balanced binary tree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)于1962年首先提出的，所以又称为AVL树。

定义：平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:（1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;（2）左右子树仍然为平衡二叉树.平衡因子BF=左子树深度－右子树深度.平衡二叉树每个结点的平衡因子只能是1，0，-1。

若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。

如图所示为平衡树和非平衡树示意图：二、平衡二叉树算法思想若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。

首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。

然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。

当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。

失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。

假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。

1）LL型平衡旋转法由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。

故需进行一次顺时针旋转操作。

即将A的左孩子B向右上旋转代替A作为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。

而原来B的右子树则变成A的左子树。

（2）RR型平衡旋转法由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。

故需进行一次逆时针旋转操作。

即将A的右孩子C向左上旋转代替A作为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。

而原来C的左子树则变成A的右子树。

（3）LR型平衡旋转法由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。

故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。

即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。

平衡二叉树用途平衡二叉树是一种特殊的二叉树结构，它具有良好的平衡性，能够提高二叉树的查找、插入和删除操作的效率。

平衡二叉树在计算机科学领域中广泛应用，特别是在数据结构和算法中。

下面将详细介绍平衡二叉树的用途。

1. 提高查找效率平衡二叉树的一个重要应用是提高查找效率。

在平衡二叉树中，每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1，这保证了树的高度相对较低。

相比于普通的二叉搜索树，平衡二叉树的查找操作更加高效。

在平衡二叉树中查找一个元素的平均时间复杂度为O(log n)，而在普通二叉搜索树中，最坏情况下的时间复杂度为O(n)。

因此，平衡二叉树适用于需要频繁进行查找操作的场景，如数据库索引、字典等。

2. 支持有序遍历平衡二叉树具有有序性的特点，可以支持有序遍历。

有序遍历是指按照节点的值从小到大或从大到小的顺序遍历二叉树。

平衡二叉树可以通过中序遍历实现有序遍历，这对于需要按照顺序获取数据的应用场景非常有用，比如按照字母顺序输出单词列表、按照时间顺序输出事件列表等。

3. 实现高效的插入和删除操作平衡二叉树对于插入和删除操作也具有很好的效率。

在普通的二叉搜索树中，如果插入或删除一个节点后导致树的不平衡，就需要通过旋转操作来重新调整树的结构，以保持平衡。

而平衡二叉树在插入和删除操作时会自动进行平衡调整，不需要额外的旋转操作。

这使得平衡二叉树在插入和删除操作上具有更好的性能表现。

4. 提供高效的范围查询平衡二叉树支持范围查询，即根据给定的范围查找满足条件的元素。

通过中序遍历平衡二叉树，可以按照节点值的顺序获取元素，然后根据范围进行筛选。

这对于需要根据范围查询数据的应用场景非常有用，比如查找某个时间段内的日程安排、查找某个价格区间内的商品等。

5. 实现高效的集合操作平衡二叉树可以用来实现高效的集合操作，如并集、交集、差集等。

通过遍历两个平衡二叉树，可以将它们的元素按照一定的规则进行合并或筛选，从而实现集合操作。

这对于需要对大量数据进行集合操作的应用场景非常有用，比如数据去重、数据合并等。

平衡二叉树实现代码平衡二叉树（Balanced Binary Tree），也叫 AVL 树，是一种特殊的二叉树，它的每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1、当插入或删除一个节点后，如果导致树的不平衡，就通过旋转操作来恢复平衡。

下面是平衡二叉树的实现代码：```python#定义平衡二叉树的节点类class AVLNode:def __init__(self, key):self.key = keyself.left = Noneself.right = Noneself.height = 1#定义平衡二叉树类class AVLTree:def __init__(self):self.root = None#获取节点的高度def get_height(self, node):if node is None:return 0return node.height#计算平衡因子def get_balance(self, node):if node is None:return 0return self.get_height(node.left) -self.get_height(node.right)#左旋操作def left_rotate(self, z):y = z.rightT2 = y.lefty.left = zz.right = T2z.height = 1 + max(self.get_height(z.left), self.get_height(z.right))y.height = 1 + max(self.get_height(y.left), self.get_height(y.right))return y#右旋操作def right_rotate(self, z):y = z.leftT3 = y.righty.right = zz.left = T3z.height = 1 + max(self.get_height(z.left), self.get_height(z.right))y.height = 1 + max(self.get_height(y.left), self.get_height(y.right))return y#插入节点def insert(self, key):def insert_node(node, key):if node is None:return AVLNode(key)elif key < node.key:node.left = insert_node(node.left, key)else:node.right = insert_node(node.right, key)node.height = 1 + max(self.get_height(node.left), self.get_height(node.right))balance = self.get_balance(node)#如果节点不平衡，进行旋转操作来恢复平衡if balance > 1:if key < node.left.key:return self.right_rotate(node)else:node.left = self.left_rotate(node.left)return self.right_rotate(node)if balance < -1:if key > node.right.key:return self.left_rotate(node)else:node.right = self.right_rotate(node.right)return self.left_rotate(node)return nodeself.root = insert_node(self.root, key)#删除节点def delete(self, key):def delete_node(node, key):if node is None:return nodeelif key < node.key:node.left = delete_node(node.left, key) elif key > node.key:node.right = delete_node(node.right, key) else:if node.left is None:temp = node.rightnode = Nonereturn tempelif node.right is None:temp = node.leftnode = Nonereturn temptemp = self.get_min_value_node(node.right)node.key = temp.keynode.right = delete_node(node.right, temp.key)if node is None:return nodenode.height = 1 + max(self.get_height(node.left), self.get_height(node.right))balance = self.get_balance(node)#如果节点不平衡，进行旋转操作来恢复平衡if balance > 1:if self.get_balance(node.left) >= 0:return self.right_rotate(node)else:node.left = self.left_rotate(node.left)return self.right_rotate(node)if balance < -1:if self.get_balance(node.right) <= 0:return self.left_rotate(node)else:node.right = self.right_rotate(node.right)return self.left_rotate(node)return nodeself.root = delete_node(self.root, key) #获取以一些节点为根的子树中的最小值节点def get_min_value_node(self, node):if node is None or node.left is None: return nodereturn self.get_min_value_node(node.left) #中序遍历树def inorder_traversal(self):def inorder(node):if node is None:returninorder(node.left)print(node.key, end=" ")inorder(node.right)inorder(self.root)#测试代码if __name__ == '__main__':tree = AVLTreenodes = [50, 30, 70, 20, 40, 60, 80, 25, 10, 55]for node in nodes:tree.insert(node)print("平衡二叉树中序遍历结果：")tree.inorder_traversalprint("\n删除节点 40 后的平衡二叉树中序遍历结果：")tree.delete(40)tree.inorder_traversal```以上就是平衡二叉树的实现代码，代码中包含了平衡二叉树节点类的定义，以及插入节点、删除节点、左旋和右旋操作等方法的实现。

以二叉树或树作为表的组织形式，称为树表，它是一类动态查找表，不仅适合于数据查找，也适合于表插入和删除操作。

常见的树表：二叉排序树平衡二叉树B-树B+树9.3.1 二叉排序树二叉排序树（简称BST）又称二叉查找（搜索）树，其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质（BST性质）的二叉树：❶若它的左子树非空，则左子树上所有节点值（指关键字值）均小于根节点值；❷若它的右子树非空，则右子树上所有节点值均大于根节点值；❸左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。

注意：二叉排序树中没有相同关键字的节点。

二叉树结构满足BST性质：节点值约束二叉排序树503080209010854035252388例如:是二叉排序树。

66不试一试二叉排序树的中序遍历序列有什么特点？二叉排序树的节点类型如下：typedef struct node{KeyType key;//关键字项InfoType data;//其他数据域struct node*lchild,*rchild;//左右孩子指针}BSTNode;二叉排序树可看做是一个有序表，所以在二叉排序树上进行查找，和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。

1、二叉排序树上的查找Nk< bt->keybtk> bt->key 每一层只和一个节点进行关键字比较！∧∧p查找到p所指节点若k<p->data，并且p->lchild=NULL，查找失败。

若k>p->data，并且p->rchild=NULL，查找失败。

查找失败的情况加上外部节点一个外部节点对应某内部节点的一个NULL指针递归查找算法SearchBST()如下（在二叉排序树bt上查找关键字为k的记录，成功时返回该节点指针，否则返回NULL）：BSTNode*SearchBST(BSTNode*bt,KeyType k){if(bt==NULL||bt->key==k)//递归出口return bt;if(k<bt->key)return SearchBST(bt->lchild,k);//在左子树中递归查找elsereturn SearchBST(bt->rchild,k);//在右子树中递归查找}在二叉排序树中插入一个关键字为k的新节点，要保证插入后仍满足BST性质。

算法（平衡⼆叉树）科普⼆叉树⼆叉树⼆叉数是每个节点最多有两个⼦树,或者是空树(n=0),或者是由⼀个根节点及两个互不相交的,分别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成满⼆叉树有两个⾮空⼦树(⼆叉树中的每个结点恰好有两个孩⼦结点切所有叶⼦结点都在同⼀层)也就是⼀个结点要么是叶结点，要么是有两个⼦结点的中间结点。

深度为k且含有2^k-1个结点的⼆叉树完全⼆叉树从左到右依次填充从根结点开始，依次从左到右填充树结点。

除最后⼀层外，每⼀层上的所有节点都有两个⼦节点，最后⼀层都是叶⼦节点。

平衡⼆叉树AVL树[3,1,2,5,9,7]⾸先科普下⼆叉排序树⼜称⼆叉查找树,议程⼆叉搜索树⼆叉排序树的规则⽐本⾝⼤放右边,⽐本⾝⼩放左边平衡⼆叉数⾸先是⼀个⼆叉排序树左右两个⼦树的⾼度差不⼤于1下⾯图中是平衡的情况下⾯是不平衡的情况引⼊公式(LL)右旋function toateRight(AvlNode){let node=AvlNode.left;//保存左节点 AvlNode.left=node.right;node.right=AvlNode;}(RR)左旋function roateLeft(AvlNode){let node=AvlNode.right;//保存右⼦节点AvlNode.right=node.left;node.left=AvlNode;return node;}左右旋⼤图判断⼆叉树是不是平衡树⼆叉树任意结点的左右⼦树的深度不超过1深度计算定义⼀个初始化的⼆叉树var nodes = {node: 6,left: {node: 5,left: {node: 4},right: {node: 3}},right: {node: 2,right: {node: 1}}}//计算⾼度const treeDepth = (root) => {if (root == null) {return 0;}let left = treeDepth(root.left)let right = treeDepth(root.right)return 1+(left>right?left:right)}//判断深度const isTree=(root)=>{if (root == null) {return true;}let left=treeDepth(root.left)let right=treeDepth(root.right)let diff=left-right;if (diff > 1 || diff < -1) {return false}return isTree(root.left)&&isTree(root.right) }console.log(isTree(nodes))判断⼆叉数是不是搜索⼆叉树//第⼀种 //中序遍历let last=-Infinity;const isValidBST=(root)=>{if (root == null) {return true;}//先从左节点开始if (isValidBST(root.left)) {if (last < root.node) {last=root.node;return isValidBST(root.right)}}return false}console.log(isValidBST(nodes))//第⼆种const isValidBST = root => {if (root == null) {return true}return dfs(root, -Infinity, Infinity)}const dfs = (root, min, max) => {if (root == null) {return true}if (root.node <= min || root.node >= max) {return false}return dfs(root.left, min, root.node) && dfs(root.right, root.node, max)}console.log(isValidBST(nodes))实现⼀个⼆叉树实现了⼆叉树的添加,删除,查找,排序//⼆叉树结点class TreeNode {constructor(n, left, right){this.n = n;this.left = left;this.right = right;}}//⼆叉树class BinaryTree {constructor(){this.length = 0;this.root = null;this.arr = [];}//添加对外⼊⼝，⾸个参数是数组，要求数组⾥都是数字，如果有不是数字则试图转成数字，如果有任何⼀个⽆法强制转成数字，则本操作⽆效 addNode(){let arr = arguments[0];if(arr.length == 0) return false;return this.judgeData('_addNode', arr)}//删除结点deleteNode(){let arr = arguments[0];if(arr.length == 0) return false;return this.judgeData('_deleteNode', arr)}//传值判断，如果全部正确，则全部加⼊叉树judgeData(func, arr){let flag = false;//任何⼀个⽆法转成数字，都会失败if(arr.every(n => !Number.isNaN(n))){let _this = this;arr.map(n => _this[func](n));flag = true;}return flag;}//添加的真实实现_addNode(n){n = Number(n);let current = this.root;let treeNode = new TreeNode(n, null, null);if(this.root === null){this.root = treeNode;}else {current = this.root;while(current){let parent = current;if(n < current.n){current = current.left;if(current === null){parent.left = treeNode;}}else {current = current.right;if(current === null){parent.right = treeNode;}}}}this.length++;return treeNode;}//删除节点的真实实现_deleteNode(n){n = Number(n);if(this.root === null){return;}//查找该节点，删除节点操作⽐较复杂，为排除找不到被删除的节点的情况，简化代码，先保证该节点是存在的，虽然这样做其实重复了⼀次查询了，但⼆叉树的查找效率很⾼，这是可接受的let deleteNode = this.findNode(n);if(!deleteNode){return;}//如果删除的是根节点if(deleteNode === this.root){if(this.root.left === null && this.root.right === null){this.root = null;}else if(this.root.left === null){this.root = this.root.right;}else if(this.root.right === null){this.root = this.root.left;}else {let [replaceNode, replacePNode, rp] = this.findLeftTreeMax(deleteNode);replacePNode[rp] = null;replaceNode.left = this.root.left;replaceNode.right = this.root.right;this.root = replaceNode;}}else {//被删除的⽗节点，⼦节点在⽗节点的位置p，有left,right两种可能let [deleteParent, p] = this.findParentNode(deleteNode);if(deleteNode.left === null && deleteNode.right === null){deleteParent[p] = null;}else if(deleteNode.left === null){deleteParent[p] = deleteNode.right;}else if(deleteNode.right === null){deleteParent[p] = deleteNode.left;}else {//⽤来替换被删除的节点，⽗节点，节点在⽗节点的位置let [replaceNode, replacePNode, rp] = this.findLeftTreeMax(deleteNode);if(replacePNode === deleteNode){deleteParent[p] = replaceNode;}else {deleteParent[p] = replaceNode;replacePNode.right = null;}replacePNode[rp] = null;replaceNode.left = deleteNode.left;replaceNode.right = deleteNode.right;}}this.length--;}//查找findNode(n){let result = null;let current = this.root;while(current){if(n === current.n){result = current;break;}else if(n < current.n){current = current.left;}else {current = current.right;}}return result;}//查找⽗节点findParentNode(node){let [parent, child, p] = [null, null, null];if(this.root !== node){parent = this.root;if(node.n < parent.n){child = parent.left;p = 'left';}else {child = parent.right;p = 'right';}while(child){if(node.n === child.n){break;}else if(node.n < child.n){parent = child;child = parent.left;p = 'left';}else {parent = child;child = parent.right;p = 'right';}}}return [parent, p];}//查找当前有左⼦树的节点的最⼤值的节点M，如有A个节点被删除，M是最接近A点之⼀（还有⼀个是右⼦树节点的最⼩值） findLeftTreeMax(topNode){let [node, parent, p] = [null, null, null];if(this.root === null || topNode.left === null){return [node, parent, p];}parent = topNode;node = topNode.left;p = 'left';while(node.right){parent = node;node = node.right;p = 'right';}return [node, parent, p];}//查找最⼤值maxValue(){if(this.root !== null){return this._findLimit('right');}}//查找最⼩值minValue(){if(this.root !== null){return this._findLimit('left');}}//实现查找特殊值_findLimit(pro){let n = this.root.n;let current = this.root;while(current[pro]){current = current[pro];n = current.n;}return n;}//中序排序,并⽤数组的形式显⽰sortMiddleToArr(){this._sortMiddleToArr(this.root);return this.arr;}//中序⽅法_sortMiddleToArr(node){if(node !== null){this._sortMiddleToArr(node.left);this.arr.push(node.n);this._sortMiddleToArr(node.right);}}//打印⼆叉树对象printNode(){console.log(JSON.parse(JSON.stringify(this.root)));}}//测试var binaryTree = new BinaryTree();binaryTree.addNode([50, 24, 18, 65, 4, 80, 75, 20, 37, 40, 60]);binaryTree.printNode();//{n: 50, left: {…}, right: {…}}console.log(binaryTree.maxValue());//80console.log(binaryTree.minValue());//4console.log(binaryTree.sortMiddleToArr());// [4, 18, 20, 24, 37, 40, 50, 60, 65, 75, 80] binaryTree.deleteNode([50]);binaryTree.printNode();//{n: 40, left: {…}, right: {…}}排序复习function ArrayList() {this.array = [];}ArrayList.prototype = {constructor: ArrayList,insert: function(item) {this.array.push(item);},toString: function() {return this.array.join();},swap: function(index1, index2) {var aux = this.array[index2];this.array[index2] = this.array[index1];this.array[index1] = aux;},//冒泡排序bubbleSort: function() {var length = this.array.length;for (var i = 0; i < length; i++) {for (var j = 0; j < length - 1 - i; j++) {if (this.array[j] > this.array[j + 1]) {this.swap(j, j + 1);}}}},//选择排序selectionSort: function() {var length = this.array.length;var indexMin;for (var i = 0; i < length - 1; i++) {indexMin = i;for (var j = i; j < length; j++) {if (this.array[indexMin] > this.array[j]) {indexMin = j;}}if (indexMin !== i) {this.swap(indexMin, i);}}},//插⼊排序insertionSort: function() {var length = this.array.length;var j;var temp;for (var i = 1; i < length; i++) {temp = this.array[i];j = i;while (j > 0 && this.array[j - 1] > temp) {this.array[j] = this.array[j - 1];j--;}this.array[j] = temp;}},//归并排序mergeSort: function() {function mergeSortRec(array) {var length = array.length;if (length === 1) {return array;}var mid = Math.floor(length / 2);var left = array.slice(0, mid);var right = array.slice(mid, length);return merge(mergeSortRec(left), mergeSortRec(right)); }function merge(left, right) {var result = [];var il = 0;var ir = 0;while (il < left.length && ir < right.length) {if (left[il] < right[ir]) {result.push(left[il++]);} else {result.push(right[ir++]);}}while (il < left.length) {result.push(left[il++]);}while (ir < right.length) {result.push(right[ir++]);}return result;}this.array = mergeSortRec(this.array);},//快速排序quickSort:function(){function sort(array){if (array.length <= 1) {return array;}var pivotIndex = Math.floor(array.length/2);var pivot = array.splice(pivotIndex,1)[0];var left = [];var right = [];for(var i = 0; i < array.length; i++){if (array[i] < pivot) {left.push(array[i]);}else{right.push(array[i]);}}return sort(left).concat([pivot],sort(right));}this.array = sort(this.array);}};...................................................................................................................############################################################################ ###################################################################################。

平衡二叉树的平衡因子
平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1，以保证树的平衡性和高效性。

平衡二叉树的平衡因子指的是左子树高度和右子树高度的差值，即：
平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
当平衡因子为0、1或-1时，树是平衡的；当平衡因子大于1或小于-1时，树就不再平衡，需要通过旋转等操作来重新平衡。

平衡因子的计算可以通过递归的方式来实现：对于每个节点，先递归计算左子树的高度和右子树的高度，再计算平衡因子。

如果平衡因子不满足平衡条件，就需要进行旋转操作。

平衡因子是平衡二叉树中非常重要的概念，它影响着树的平衡性和插入、删除等操作的效率。

因此，在进行平衡二叉树相关的算法设计和实现时，平衡因子的计算和维护是一个必须要考虑的问题。

- 1 -。

#include<stdio.h>#include<malloc.h>typedef int KeyType; //定义关键字类型typedef struct node //记录类型{KeyType key; //关键字项int bf; //平衡因子struct node *lchild,*rchild; //左右孩子指针}BSTNode;void LeftProcess(BSTNode *&p,int &taller){//对以指针p所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理，本算法结束时，//指针p指向新的根结点BSTNode *p1,*p2;if(p->bf==0) //原本左右子树等高，现因左子树增高而使树增高{p->bf=1;taller=1;}else if(p->bf==-1) //原本右子树比左子树高，现左右子树等高{p->bf=0;taller=0;}else //原本左子树比右子树高，须作左子树的平衡处理{p1=p->lchild; //p指向*p的左子树根节点if(p1->bf==1) //新结点插入在*p的左孩子的左子树上，要做LL 调整{p->lchild=p1->rchild;p1->rchild=p;p->bf=p1->bf=0;p=p1;}else if(p1->bf==-1) //新结点插入在*p的左孩子的右子树上，要做LR调整{p2=p1->rchild;p1->rchild=p2->lchild;p2->lchild=p1;p->lchild=p2->rchild;p2->rchild=p;if(p2->bf==0) //新结点插入在*p2处作为叶子结点的情况p->bf=p1->bf=0;else if(p2->bf==1) //新结点插在*p2的左子树上的情况{p1->bf=0;p->bf=-1;}else //新结点插在*p2的右子树上的情况{p1->bf=1;p->bf=0;}p=p2;p->bf=0; //仍将p指向新的根结点，并置其bf值为0}taller=0;}}void RightProcess(BSTNode *&p,int &taller){//对以指针p所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理，本算法结束时，//指针p指向新的根结点BSTNode *p1,*p2;if(p->bf==0) //原本左右子树等高，现因右子树增高而使树增高{p->bf=-1;taller=1;}else if(p->bf==1) //原本左子树比右子树高，现左右子树等高{p->bf=0;taller=0;}else //原本右子树比左子树高，须作右子树的平衡处理{p1=p->rchild; //p指向*p的右子树根结点if(p1->bf==-1) //新结点插入在*p的右孩子的左子树上，要做RR 调整{p->rchild=p1->lchild;p1->lchild=p;p->bf=p1->bf=0;p=p1;}else if(p1->bf==1) //新结点插入在*p的右孩子的左子树上，要做RL 调整{p2=p1->lchild;p1->lchild=p2->rchild;p2->rchild=p1;p->rchild=p2->lchild;p2->lchild=p;if(p2->bf==0) //新结点插在*p2处作为叶子结点的情况p->bf=p1->bf=0;else if(p2->bf==-1) //新结点插在*p2的右子树上的情况{p1->bf=0;p->bf=1;}else //新结点插在*p2的左子树上的情况{p1->bf=-1;p->bf=0;}p=p2;p->bf=0; //仍将p指向新的结点，并置其bf值为0}taller=0;}}int InsertA VL(BSTNode*&b,KeyType e,int &taller){//若在平衡二叉排序树b中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个数据元素为e的新结点，//并返回1，否则返回0。

⼆叉查找树（BST）、平衡⼆叉树（AVL树）⼆叉查找树(BST) 特殊的⼆叉树，⼜称为排序⼆叉树、⼆叉搜索树、⼆叉排序树。

⼆叉查找树实际上是数据域有序的⼆叉树，即对树上的每个结点，都满⾜其左⼦树上所有结点的数据域均⼩于或等于根结点的数据域，右⼦树上所有结点的数据域均⼤于根结点的数据域。

如下图所⽰：⼆叉查找树通常包含查找、插⼊、建树和删除操作。

⼆叉查找树的创建对于⼀棵⼆叉查找树，其创建与⼆叉树的创建很类似，略有不同的是，⼆叉查找树，为了保证整棵树都关于根结点的⼤⼩呈左⼩右⼤的特征，在创建时，需要根据当前结点的⼤⼩来判断插⼊位置，给出如下代码：template<typename T>void BSTree<T>::createBSTreeByFile(ifstream &f){T e;queue<BSNode<T>*> q;while(!f.eof()){InputFromFile(f, e);Insert(root, e);}}template<typename T>void BSTree<T>::Insert(BSNode<T>* &t, T x){//得⽤指针的引⽤，不然传参时由于形参实例化，并不能成功创建⼆叉树if(t==NULL){t = new BSNode<T>;t->data = x;t->lchild = t->rchild = NULL;return;}if(x<=t->data){Insert(t->lchild, x);}else{Insert(t->rchild, x);}}⼆叉查找树的查找⼆叉查找树的查找有递归和⾮递归两种，对于递归⽅式，其递归边界为树的终⽌结点，⾮递归⽅式则采取对树中所有结点采取BFS或者DFS进⾏遍历的⽅式。

平衡二叉树的旋转操作平衡二叉树（AVL树）是一种自平衡的二叉搜索树，它的左子树和右子树的高度差（平衡因子）最多为1。

当插入或删除操作导致树的平衡被破坏时，需要进行旋转操作来恢复平衡。

本文将介绍平衡二叉树的旋转操作以及其实现原理。

1. 左旋操作左旋操作是一种将树向左偏移的操作，它可以用来处理右子树高度过高的情况。

具体步骤如下：(1). 将当前节点的右子节点作为新的根节点。

(2). 将新的根节点的左子节点作为当前节点的右子节点。

(3). 将当前节点作为新的根节点的左子节点。

左旋操作示意图如下：A B/ \ / \T1 B ---> A T3/ \ / \T2 T3 T1 T2在这个示例中，节点A的右子树过高，通过左旋操作将节点B作为新的根节点，节点A成为节点B的左子节点，节点T2成为节点A的右子节点。

2. 右旋操作右旋操作是一种将树向右偏移的操作，它可以用来处理左子树高度过高的情况。

具体步骤如下：(1). 将当前节点的左子节点作为新的根节点。

(2). 将新的根节点的右子节点作为当前节点的左子节点。

(3). 将当前节点作为新的根节点的右子节点。

右旋操作示意图如下：A C/ \ / \C T1 ---> T3 A/ \ / \T3 T2 T2 T1在这个示例中，节点A的左子树过高，通过右旋操作将节点C作为新的根节点，节点A成为节点C的右子节点，节点T2成为节点A的左子节点。

3. 左右旋和右左旋操作有时候仅通过单次旋转操作无法恢复平衡，需要进行左右旋或右左旋操作。

左右旋操作是先对当前节点的左子节点进行左旋，再对当前节点进行右旋。

右左旋操作是先对当前节点的右子节点进行右旋，再对当前节点进行左旋。

左右旋和右左旋操作的示意图如下：左右旋操作：A A C/ \ / \ / \B T4 --->C T4 ---> B A/ \ / \ / \ / \T1 C B T3 T1 T2 T3 T4/ \ / \T2 T3 T1 T2右左旋操作：A A B/ \ / \ / \T1 B ---> T1 C ---> A C/ \ / \ / \ / \C T4 T2 B T1 T2 T3 T4/ \ / \T2 T3 T3 T4通过左右旋和右左旋操作可以处理各种情况下的树平衡问题。

平衡二叉树AVL树与红黑树平衡二叉树(AVL树)与红黑树概述：平衡二叉树与红黑树是常见的自平衡二叉搜索树，用于解决传统二叉搜索树在频繁插入、删除等操作下出现的性能问题。

本文将介绍平衡二叉树(AVL树)与红黑树的原理、特点以及应用场景。

一、平衡二叉树（AVL树）：1.1 原理：平衡二叉树，又称AVL树，是一种特殊的二叉搜索树。

它通过在每个节点上记录一个平衡因子来保持树的平衡。

平衡因子为左子树的高度减去右子树的高度，平衡因子的绝对值不超过1。

当平衡二叉树失去平衡时，通过旋转操作来恢复平衡。

1.2 特点：1) 每个节点的平衡因子只能为-1、0、1；2) 左右子树的高度差不超过1；3) 插入、删除操作可能导致平衡因子失衡，需要进行旋转操作；4) 查询、插入、删除时间复杂度为O(logn)。

1.3 应用场景：平衡二叉树适用于插入、删除频繁的情况下的搜索、排序操作。

由于其严格的平衡性，适合用于对数据集的高效维护和查找。

二、红黑树：2.1 原理：红黑树是另一种自平衡的二叉搜索树结构。

每个节点都有一个颜色属性，红色或黑色，用来确保树的平衡。

红黑树通过一些额外的性质来保持平衡，包括：1) 节点是红色或黑色；2) 根节点是黑色；3) 所有叶子节点（NULL节点）是黑色；4) 不能有相邻的两个红色节点；5) 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

2.2 特点：1) 相对于平衡二叉树，红黑树的平衡性更宽松，插入、删除操作后的调整更灵活；2) 查询、插入、删除时间复杂度为O(logn)；3) 可用于范围查询和有序输出。

2.3 应用场景：红黑树广泛应用于各种编程语言的标准库中，如C++的STL中的map、set等数据结构。

其平衡性和高效性使其在高性能的存储系统中得到广泛应用。

三、平衡二叉树（AVL树）与红黑树的比较：在性能方面，平衡二叉树(AVL树)和红黑树的查询、插入、删除操作的时间复杂度都为O(logn)。