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温度应力问题的基本解法

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温度应力问题

温度应力问题
K Φ= r 2 (ln b − ln r + 1) ln b − ln a σ ′r = − σ′ = − θ 2GK (2 ln b − 2 ln r + 1) ln b − ln a
K=
1+ ν α∆T 4(1 − ν )
2GK (2 ln b − 2 ln r − 1) ln b − ln a
d 2 T 1 dT 1 d dT ∇ T= 2 + = r r dr r dr dr dr
2
=0
•
•
其通解为
T=C1lnr+C2 lnr+C
• 边界条件
(T )r =a = Ta′ − T0 = Ta
Tb − Ta C1 = ln (b a )
(T )r =b = Tb′ − T0 = Tb
• 不满足边界条件
(σ ′r )r = a
1 = −2GK 2 + = − q1 ln b − ln a
2GK = −q 2 ln b − ln a
(σ ′r )r =b = −
• 求齐次解：在圆筒内外壁分别受均匀拉力q1和q2 • 最终解为
2 αETa ln b − ln r b 2 − r 2 a σr = − − ln b − ln a b 2 − a 2 r 2(1 − ν )
∂v ∂u ∂v ∂v ∂v ∂w αE∆T λθl + G l + m + n + G l + m + n − m=0 ∂x ∂y ∂y ∂z ∂y ∂y 1 − 2ν
∂w ∂w ∂w ∂v ∂w αE∆T ∂u λθl + G l+ m+ n + G l + m + n − n=0 ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z ∂z 1 − 2ν

大体积混凝土温度应力实用计算方法及控制工程实例

大体积混凝土温度应力实用计算方法及控制工程实例

大体积混凝土温度应力实用计算方法及控制工程实例随着建筑工程的不断推进，大体积混凝土的使用越来越广泛。

然而，在大体积混凝土的施工过程中，其内部产生的温度差异会导致产生应力，从而影响混凝土的力学性能和使用寿命。

因此，如何控制大体积混凝土的温度应力，成为了工程师们研究的重点。

本文将围绕“大体积混凝土温度应力实用计算方法及控制工程实例”进行阐述，分步骤探究其实现方法。

步骤一：温度应力计算公式的推导大体积混凝土的温度应力可通过以下公式进行计算：σ =EαΔT，其中，σ表示温度应力，E表示混凝土的弹性模量，α表示混凝土的热膨胀系数，ΔT表示混凝土各处的温度差异。

在实际施工过程中，根据测量数据，可以计算出混凝土各部位的温差，进而根据上述公式计算出温度应力。

步骤二：温度应力控制的方法针对大体积混凝土的温度应力，可以采用以下措施进行控制：1.采用低热化水泥。

低热化水泥的热释放较低，可以减少混凝土内部的温度差异，从而降低温度应力。

2.增加混凝土中的纤维材料含量。

纤维材料可以改善混凝土的韧性和抗裂性能，从而有效地减小温度应力。

3.采取降温措施。

在混凝土浇注后，可以采用冷却设备等技术，将混凝土表面降温，从而减少混凝土内部的温度差异。

步骤三：大体积混凝土温度应力控制工程实例以某大规模混凝土建筑施工为例，为了控制混凝土的温度应力，采取了以下措施：1.采用低热化水泥，减少混凝土的热释放，降低温度应力。

2.增加混凝土中的纤维材料含量，提高混凝土的韧性和抗裂性能。

3.在混凝土浇注后，采用冷却设备对混凝土表面进行降温处理，控制混凝土内部的温度差异。

通过实际施工效果的观察和测量，发现混凝土的温度应力得到了较好的控制，施工质量得到了有效保障。

综上所述，控制大体积混凝土的温度应力，是建筑工程中不可忽视的重要环节。

通过正确计算温度应力，选用合适的控制措施，可以有效地提高混凝土的力学性能和使用寿命。

第十五章工程结构温度应力计算方法

第十五章工程结构温度应力计算方法
15.1
第十五章 工程结构温度应力计算方法
本章内容
•砖混结构温度应力实用计算方法 •钢筋混凝土结构温度应力理论计算方法 •结 语
•思考题与习题
15.2
第十五章 工程结构温度应力计算方法
砖混结构温度应力实用计算方法
一. 砖混结构温度应力计算中存在的问题
因砖混结构构件组合的复杂性，加上材质不匀、力学性能和热工系数差 异，在温度作用下，热胀冷缩所产生的实际应力变化很大，故要寻求能 完全反映实际的理论计算方法，目前还有很多困难。在国外，有美国的 R.E.Copeland及以色列的S.Rosen-Haupt、A.Kofman、I.Rosenthaul的 方法；在国内，有1963年裂缝学术会议中所采用的方法和王铁梦所倡导 的略算法。这些计算方法均有较广泛的代表性，为砖混结构温度应力的 研究工作打下了基础。但近几十年来研究进展不大。在实际工程应用中， 还存在一些需要继续探讨的问题。 (1) 上述解法，都是采用差分法，按实体墙板来分析的，与留有大量门 窗洞口的实际墙体相比，应力值出入很大，因为洞口存在应力集中问题。 如图15.1所示，一块两端受有均匀拉应力σ0的墙板，在不开洞的情况下， 任何断面上的应力可认为是均匀分布的。如果在墙板面开一直径为d的 小圆孔，根据吉尔西方法求解离圆心距离为的任一点上的正应力，如图 2 4 15.1(a)所示，其值为 1 d 3 d r ＝ o (2＋ 2 ＋ 4 ) 4 r 16 r 2
15.8
第十五章 工程结构温度应力计算方法
砖混结构温度应力实用计算方法
顶板 y T1 墙板 T2 Q3 Q2 T3 Q2 Q2 Q2 (c) 底板 Q1 Q1 Q3 Q1 Q11 Q1 (b) 顶板 底板 Q2 Q2 Q1 Q1
δ

混凝土面层温度应力计算公式

混凝土面层温度应力计算公式

混凝土面层温度应力计算公式引言：混凝土是一种常用的建筑材料，具有良好的耐久性和承载能力。

然而，在使用过程中，混凝土受到温度变化的影响，可能会产生应力。

因此，了解混凝土面层温度应力的计算公式是非常重要的，可以帮助我们评估混凝土结构的安全性和稳定性。

一、混凝土面层温度应力的原因和影响因素混凝土面层的温度应力主要是由于温度变化引起的材料膨胀或收缩不均匀导致的。

温度的变化会导致混凝土发生体积变化，从而产生内部应力。

以下是影响混凝土面层温度应力的主要因素：1. 温度变化幅度：温度变化幅度越大，混凝土面层的温度应力就越大。

2. 混凝土材料的热膨胀系数：不同的混凝土材料具有不同的热膨胀系数，热膨胀系数越大，温度应力越大。

3. 混凝土的约束条件：混凝土的约束程度越大，温度应力越大。

4. 混凝土的几何形状和结构：不同的混凝土结构和几何形状对温度应力的分布和大小有影响。

二、混凝土面层温度应力的计算公式混凝土面层温度应力的计算公式可以通过考虑混凝土的热膨胀和约束情况来推导得出。

一种常用的计算公式是线膨胀系数法，其计算公式如下：ΔL = α × L × ΔT其中，ΔL为混凝土面层的长度变化，α为混凝土的线膨胀系数，L 为混凝土的初始长度，ΔT为温度变化。

温度应力可以通过以下公式计算：σ = E × ΔL / L其中，σ为混凝土面层的温度应力，E为混凝土的弹性模量，ΔL为混凝土面层的长度变化，L为混凝土的初始长度。

三、混凝土面层温度应力的计算实例为了更好地理解混凝土面层温度应力的计算过程，我们来看一个简单的实例。

假设一个混凝土面层的初始长度为10m，温度变化为50℃，混凝土的线膨胀系数为12×10^-6/℃，弹性模量为30 GPa。

根据线膨胀系数法计算混凝土面层的长度变化：ΔL = α × L × ΔT= 12×10^-6/℃ × 10m × 50℃= 0.006m然后，根据温度应力的计算公式计算混凝土面层的温度应力：σ = E × ΔL / L= 30 GPa × 0.006m / 10m= 18 MPa因此，根据以上计算，该混凝土面层在温度变化为50℃时，将产生18 MPa的温度应力。

大体积混凝土温度应力实用计算方法及控制工程实例

大体积混凝土温度应力实用计算方法及控制工程实例

大体积混凝土温度应力实用计算方法及控制
工程实例
大体积混凝土的温度应力主要由于混凝土内部温度梯度不均匀所
引起，温度应力大小与混凝土的水泥含量、骨料类型、孔隙结构以及
环境温度等因素有关。

计算温度应力可采用以下公式：σ=αEΔT+(1-ν)αmΔT，其中，σ为温度应力，α为混凝土的线膨胀系数，E为混凝土的弹性模量，
ν为混凝土的泊松比，αm为混凝土的平均线膨胀系数，ΔT为混凝土内部温度差。

控制大体积混凝土的温度应力，可采取以下措施：
1. 使用高性能混凝土材料，降低混凝土线膨胀系数；
2. 对混凝土的成分、配合比等进行优化设计，降低混凝土内部温度梯度；
3. 控制施工环境的温度和湿度，提高混凝土的早期强度和抗裂性能；
4. 采用降温措施，如水帘喷淋、冷却剂等，降低混凝土的温度。

实际工程中，可通过对混凝土施工过程进行监控和管控，以及采
用温度预应力技术等措施，有效控制大体积混凝土的温度应力。

例如，在某大型桥梁工程中，采用了温度预应力技术，并通过建立温度控制
模型对施工过程进行精细化监控，成功地控制了混凝土的温度应力，
确保了施工质量和结构安全。

温度应力分析

温度应力分析
（2）横向温差应力
箱型桥墩横向约束应力的计算同箱梁一样，即分为 箱壁板非线性温差的自约束应力和横向框架约束应 力： 第一部分自约束应力计算方法同上部结构
第二部分横向框架约束应力也可用结构力学方法
或有限单元法计算
§6.2.2 温度应力分析
4、关于桥墩温差荷载效应的讨论 在采用固定支座传递的柔性墩体系中，简支墩的日照 温差应力数值，一般超过号混凝土的容许拉应力，而 接近20号混凝土的极限拉应力；且拉应力的分布区域 很宽，达到整个截面厚度的。
§6.2.3 温度效应分析示例
箱外、内温差 10~0º 时的横向应力（t/m2=1/100MPa） C
§6.2.3 温度效应分析示例
箱外、内温差 10~0º 时的横向应力（t/m2=1/100MPa） C
§6.2.3 温度效应分析示例
箱外、内温差 10~0º 时的横向应力（t/m2=1/100MPa） C
4、关于桥墩温差荷载效应的讨论 温差荷载在箱型墩横向产生温差约束应力，其影响往 往超过活载效应，尤其在角隅附近因实际结构应力集
中的影响，可能会发生温度裂缝。
在箱型桥墩的设计中，应充分考虑温差应力的影响， 并在构造处理上减少不必要自约束作用。
§6.2.2 温度应力分析
从温差应力角度考虑，即使墩顶设置活动支座也总
§6.2.2 温度应力分析
以上应变差产生的自约束应变为：
( y) T ( y) ( y) T ( y) ( 0 y)
自约束应力为：
( y) E ( y) ET ( y) ( 0 y)
截面自约束应力处于自平衡状态 利用 N 0 ， M 0 可解得
§6.2.3 温度效应分析示例
顶板升温 0~10º 时的腹板应力（t/m2=1/100MPa） C

温度应力问题


T ij = Tij
y
S
z x E E y z x y E E
S xy
1 xy G
zS
S yz
1 yz G
x
S
x y z E E
2 2
2 xy 2G xy
2 yz 2G yz
2 2 z 2G x 2 y 2
2 zx 2G zx
特解并不满足边界条件
平面应力问题在极坐标下的解
r 1 r T E ur r 1 r T E u 1 r r 21 r E
平衡微分方程解法
• 可分两步求解： （1）找出任意一组特解，这组特解并不一定满足边界条件； （2）找出齐次方程（T=0）的解，即等温下无体力作用的弹性问解，
这组解与特解叠加后所得的解能满足边界条件。
非齐次方程特解
u x 2 1 T x 1 x
2 1 T
2 1 1 2 r 2 r r r 2 2
2
E 1 1 2 r 2 2 1 r r r
E 2 1 r 2
K r 2 ln b ln r 1 ln b ln a r 2GK 2 ln b 2 ln r 1 ln b ln a
K 1 T 41
2GK 2 ln b 2 ln r 1 ln b ln a
热传导基本概念
• 对于不同物体，从高温物体向低温物体传递
• 对于同一物体，热量从温度较高的部位向较低的部位传递

温度应力问题的基本解法


） s
m（1
）T
（2）
这是按位移求解温度应力平面应力问题的应力边界条件。
位移边界条件仍然为：
us u，vs v
将式(1)、(2)与第二章§2-8中式(1)、(2)对比，可见
第十九页
E T 及 E T 1 x 1 y
代替了体力分量 X 及 Y ，而：
l ET 及m ET
1
1
代替了面力分量X 及 Y 。
r r
第二十九页
几何方程简化为
r
dur dr
,
ur r
x
1 E
[
x
(
y
z )] T
y
1 E
[
y
( z
x )] T
z
1 E
[ z
( x
y )] T
第十四页
yz
2(1 E
)
yz
zx
2(1 E
) zx
xy
2(1 E
)
xy
对于平面应力的变温问题，上式简化为
x
1 E
[ x
y ] T
y
1 E
[
y
x ] T
xy
2(1 E
y2 ） b2
b
o
b
x
其中的T0 是常量。若 a》b ，试求其温
度应力。
y
解：位移势函数 所应满足的微分方程为
2
（1
）T（0 1
y2 b2
）
取
Ay2 By2
代入上式，得
2A 12By 2
（1
）T（0 1
y2 b2
）
比较两边系数，得 A （1 ）T0 ，B （1 ）T0

温度应力计算公式

温度应力计算公式
温度应力计算公式是一种用于计算热源变化过程中温度变化所引起的材料应力的公式。

它的基本原理是利用材料的热膨胀系数来计算材料温度变化引起的应力。

一般来讲，温度应力计算公式可以表示为：
σ=α*(ΔT)*E，其中，σ表示材料的应力，α表示热膨胀系数，ΔT表示温度变化量，E表示材料的弹性模量。

根据上述温度应力计算公式，当温度发生变化时，材料的应力将会发生变化。

若在此情况下材料的温度变化比较大，材料的应力也将会变化比较大，需要注意材料的热膨胀系数α和材料弹性模量E的选择和计算，以便更准确的计算出材料的应力。

混凝土结构温度应力计算技术规程

混凝土结构温度应力计算技术规程一、引言混凝土结构在使用过程中受到外部环境和内部荷载的影响，会产生温度应力。

温度应力是混凝土结构设计中必须考虑的因素。

本文将详细介绍混凝土结构温度应力的计算方法和技术规程。

二、温度应力的计算温度应力的计算可以通过以下公式进行：$$\sigma_t = \alpha(T - T_0)$$其中，$\sigma_t$表示温度应力，$\alpha$表示混凝土线膨胀系数，$T$表示混凝土温度，$T_0$表示混凝土的参考温度，一般为20℃。

在实际计算中，需要考虑混凝土的温度分布，因此需要将混凝土分成若干个部分进行计算。

具体计算方法如下：1. 将混凝土结构分成若干块，每块的尺寸要足够小，以保证温度分布的准确性。

2. 对于每块混凝土，计算其所受到的温度变化量，即$\Delta T = T - T_0$。

3. 计算每块混凝土的温度应力，即$\sigma_t = \alpha \Delta T$。

4. 将每块混凝土的温度应力合并，得到整个结构的温度应力。

合并时需要考虑混凝土的相互作用，具体方法见下文。

三、温度应力的调整在实际计算中，由于混凝土的温度分布不均匀，可能会产生一些局部的过大应力。

为了避免这种情况的发生，需要对温度应力进行调整。

具体方法如下：1. 对于局部应力过大的区域，可以采用降温的方法进行调整。

降温的方法包括增加通风、喷水等。

2. 对于整体应力过大的情况，可以采用结构的增强措施进行调整。

增强措施包括增加钢筋、增加混凝土厚度等。

四、温度应力的合并在实际计算中，需要将每块混凝土的温度应力合并，得到整个结构的温度应力。

合并时需要考虑混凝土的相互作用，具体方法如下：1. 对于相邻的混凝土块，应力的合并可以采用叠加原理进行。

即将相邻块的应力相加，得到它们合并后的应力。

2. 对于不相邻的混凝土块，应力的合并需要考虑它们之间的相互作用。

一般采用有限元分析等方法进行计算。

五、温度应力的设计在设计混凝土结构时，需要考虑温度应力的影响。

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2u 1 2 2 x 2 v 1 2 y 2 2u 1 2 v T （ 1 ） 0 2 y 2 xy x 2 v 1 2u T （ 1 ） 0 2 x 2 xy y
q △T
(3)
称为导热系数。由（1）、（2）、（3）式得

dQ T / S dt n
可见，导热系数表示“在单位温度梯度下通过等温面单位面积 的热流速度”。 由（1）和（3）可见，热流密度的大小
q T n
热流密度在坐标轴上的投影
q x qy qz T x T y T z
第三类边界条件 已知物体边界上任意一点在所有瞬时 的运流（对流）放热情况。按照热量的运流定理，在单位时 间内从物体表面传向周围介质的热流密度，是和两者的温差 成正比的，即
(qn ) s (Ts Te )
其中Te是周围介质的温度； 称为运流放热系数，或简称热 系数。 第四类边界条件 式进行热交换。即 已知两物体完全接触，并以热传导方
2 （ 1 ） x 2 （ 1 ） y T x T y
由于 和 都是常量，所以取： 2 （ 1 ）T 时， （x，y）满足微分方程。因此 u ' ， v ' 可以作为微分方程 , v' 的一组特解。将u ' 以及 T 1 2
t
t
在同一段时间dt内，由六面体左面传入热量qxdydzdt， 由右面传出热量 (qx qx dx )dydzdt 。因此，传入的净热量为
x
将 q x
T 代入可见： x
q x dxdydzdt x
2T 2 dxdydzdt x 2T dydzdxdt 2
x
这就是平面应力问题热弹性力学的物理方程。
将应力分量用形变分量和变温T表示的物理方程为：
E ET ( ) x y 1 2 1 E ET y ( y x ) 2 1 1 E xy xy 2(1 )
x
几何方程仍然为：
初始条件： (T )t 0
f ( x, y, z)
边界条件分四种形式：
第一类边界条件 已知物体表面上任意一点在所有瞬时的温度，即
Ts f (t ) (qn ) s f (t )
向。
其中Ts 是物体表面温度。 其中角码 s 表示“表面”，角码n 表示法
第二类边界条件 已知物体表面上任意一点的法向热流密度，即
0 2 2 2 y 2 xy x 2 2 2 v " 1 v " 1 u" 0 2 2 2 x 2 xy y
相应于位移补充解的应力分量为（注意不计变温，即T=0）：
E u" v" x " 1 2 ( x y ) E v" u" ( ) y " 2 1 y x E v" u" " ( ) xy 2(1 ) x y
代替了面力分量X 及 Y 。
对于温度应力的平面应变问题，只须将温度应力的平面 应力问题的
E换成 E 1 2
换成

1
换成（ 1 ）
则得到在平面应变条件下的相应方程。
§6-5
位移势函数的引用
由上一节知：在平面应力的情况下按位移求解温度应力 问题时，须使位移分量u 和v 满足微分方程：
Ts Te
§6-4
按位移求解温度应力的平面问题
设弹性体内各点的温变为T。对于各向同性体，若不受约束，则弹性体 内各点的微小长度，都将产生正应变 T （ 是弹性体的膨胀系数），这样， 弹性体内各点的形变分量为
x y z T , yz zx xy 0
可见：热流密度在任一方向的分量，等于导热系数乘以 温度在该方向的递减率。
§6-2 热传导微分方程
热量平衡原理：在任意一段时间内，物体的任一微小部 分所积蓄的热量，等于传入该微小部分的热量加上内部热源 所供给的热量。 y
qx
qx q x dx x
z
x
取图示微小六面体dxdydz。假定该六面体的温度在dt时 间内由T 升高到T T dt 。由温度所积蓄的热量是 Cdxdydz T dt ， 其中 是物体的密度，C 是单位质量的物体升高一度时所需 的热量——比热容。
y 2T dzdxdydt z 2
由左右两面传入的净热量为： 由上下两面传入的净热量为： 由前后两面传入的净热量为：
2T 2T 2T 因此，传入六面体的总净热量为： ( x 2 y 2 z 2 )dxdydzdt
简记为：
2Tdxdydzdt
假定物体内部有正热源供热，在单位时间、单位体积供 热为W，则该热源在时间dt内所供热量为Wdxdydzdt。
（2）
这是按位移求解温度应力平面应力问题的应力边界条件。 位移边界条件仍然为：
us u，vs v
将式(1)、(2)与第二章§2-8中式(1)、(2)对比，可见

E T E T 及 1 x 1 y
代替了体力分量 X 及 Y ，而： ET ET l 及m 1 1
2 2 2
（1）
这就是按位移求解温度应力平面应力问题的微分方程。 同理，将应力分量代入无面力的应力边界条件
s m（ yx） s 0 l（ x） s l（ xy） s 0 m（ y）
简化后得：
v 1 u v u l （ ） m （ ） 1 ）T s s l（ x y 2 y x v u m（ v u ） l 1 （ ） 1 ）T s s m（ y x 2 x y
将上式代入不计体力的平衡微分方程
yx x 0 y x y xv 0 x y
简化得：
2u 1 2u 1 2 v T （1 ） 0 2 2 x 2 y 2 xy x v 1 v 1 u T （1 ） 0 2 2 y 2 x 2 xy y
第六章 温度应力问题的基本解法
§6-1 §6-2 §6-3 §6-4 §6-5 §6-6 温度场和热传导的基本概念 热传导微分方程 温度场的边界条件 按位移求解温度应力的平面问题 位移势函数的引用 轴对称温度场平面热应力问题
§6-1 温度场和热传导的基本概念
1.温度场：在任一瞬时，弹性体内所有各点的温度值的总体。用T表示。
u v v u x , y , xy x y x y
将几何方程代入物理方程，得用位移分量和变温T 表示的应 力分量
E u v E T （ ） x 1 2 x y 1 E v u E T （ ） y 2 1 y x 1 E v u （ ） xy （ 2 1 ） x y
x ) yz E 2(1 ) zx E 2(1 ) xy E
对于平面应力的变温问题，上式简化为
1 [ x y ] T E 1 y [ y x ] T E 2(1 ) xy xy E
当弹性体的温度变化时，其体积将趋于膨胀和收缩，若 外部的约束或内部的变形协调要求而使膨胀或收缩不能自由 发生时，结构中就会出现附加的应力。这种因温度变化而引 起的应力称为热应力，或温度应力。 忽略变温对材料性能的影响，为了求得温度应力，需要 进行两方面的计算：（1）由问题的初始条件、边界条件， 按热传导方程求解弹性体的温度场，而前后两个温度场之差 就是弹性体的变温。（2）按热弹性力学的基本方程求解弹 性体的温度应力。本章将对这两方面的计算进行简单的介绍。
x y
1
代入位移分量和变温T表示的应力分量表达式
E u v ET ( ) 2 1 x y 1 E v u ET y ( ) 2 1 y x 1 E v u xy ( ) 2(1 ) x y
取 n0 为等温面法线方向且指向增温方向的单位矢量，则有
△T n0
T n
（1）
4.热流速度：在单位时间内通过等温面面积S 表示。
dQ 的热量。用 dt
热流密度：通过等温面单位面积的热流速度。用 q 表示， 则有
q n0 dQ /S dt
(2)
其大小为
q dQ /S dt
5.热传导基本定理：热流密度与温度梯度成正比而方向相反。 即
x
可得相应位移特解的应力分量是： E 2 x ' 2 1 y E 2 y ' 2 1 x E 2 xy 1 xy
设 u" ， v" 为位移的补充解，则 u" ， v" 需满足齐次微 分方程： 2u" 1 2u" 1 2 v"
但是，由于弹性体所受的外在约束以及体内各部分之间的相互约束，上 述形变并不能自由发生，于是就产生了应力，即所谓温度应力。这个温度应 力又将由于物体的弹性而引起附加的形变，如虎克定理所示。因此，弹性体 总的形变分量是：
1 [ x ( y z )] T E 1 y [ y ( z x )] T E 1 z [ z ( x y )] T E
并在边界上满足位移边界条件和应力边界条件。实际求解时， 宜分两步进行：（1）求出上述微分的任意一组特解，它只需 满足微分方程，而不一定要满足边界条件。（2）不计变温T， 求出微分方程的一组补充解，使它和特解叠加以后，能满足 边界条件。
引用一个函数 （x，y） ，将位移特解取为： ' ' u ,v x y 函数 称为位移势函数。以 u 和 v 分别作为u和v代入微分 方程，简化后得：