高中数学公式大全(最新整理版)(可编辑修改word版)

高中数学公式大全表1. 代数公式：方程的根：设方程ax² + bx + c = 0的根为x₁和x₂，则有：x₁ + x₂ = -b/ax₁ × x₂ = c/a二次方程的解：对于方程ax² + bx + c = 0，解可以用以下公式表示：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a二次函数的顶点坐标：设二次函数的表达式为y = ax² + bx + c，顶点坐标可以通过以下公式计算：x = -b / 2ay = c - b² / 4a二次函数的平移变换：设原二次函数的表达式为y = ax² + bx + c，经过平移变换后的函数的表达式为y = a(x - h)² + k。

其中(h, k)为平移的距离，代表二次函数的顶点坐标。

2. 几何公式：三角函数：常用的三角函数包括正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)。

它们的定义如下：sinθ = 对边 / 斜边cosθ = 邻边 / 斜边tanθ = 对边 / 邻边勾股定理：对于一直角三角形，较长的边称为斜边，其余两边称为直角边。

勾股定理可以表示为：斜边² = 直角边₁² + 直角边₂²正弦定理：对于任意三角形ABC，边长的比值与角度的正弦的比值之间有以下关系：a / sinA =b / sinB =c / sinC余弦定理：对于任意三角形ABC，边长的平方与另外两条边长的乘积和它们的夹角的余弦的乘积之间有以下关系：a² = b² + c² - 2bc cosA3. 概率公式：事件概率的计算：对于一个随机试验，事件A发生的概率可以用以下公式表示：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示随机试验的总次数。

加法原理：如果A和B是两个互不相容的事件，即A和B不能同时发生，那么A或B发生的概率可以用以下公式计算：P(A或B) = P(A) + P(B)乘法原理：如果A和B是两个相互独立的事件，即事件A发生与否不会影响事件B发生的概率，那么A和B同时发生的概率可以用以下公式计算：P(A和B) = P(A) × P(B|A)条件概率：对于事件A和B，条件概率可以表示为：P(B|A) = P(A和B) / P(A)4. 统计学公式：均值：一组数据的均值可以用以下公式计算：mean = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁、x₂、...、xn为每个数据点的值，n为数据点的个数。

完整版)高中数学公式大全完整版高中数学常用公式及常用结论1.包含关系若集合A包含于集合B，则AB=B；若AB=B，则A为B 的子集；若C为A和B的并集，则B包含于C；若A和B的交集为∅，则AB=∅；若AB=R，则A和B互为补集。

2.集合的子集集合{a1,a2,…,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个。

3.充要条件1）充分条件：若p→q，则p是q的充分条件。

2）必要条件：若q→p，则p是q的必要条件。

3）充要条件：若p→q，且q→p，则p是q的充要条件。

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。

4.函数的单调性1)设x1≠x2，且x1,x2∈[a,b]，则有：f(x1)−f(x2)>0 ⇔ f(x)在[a,b]上是增函数；f(x1)−f(x2)<0 ⇔ f(x)在[a,b]上是减函数。

2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数。

5.函数的性质如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是减函数；如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=f[g(x)]是增函数。

6.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。

7.函数的对称轴对于函数y=f(x)(x∈R)，若f(x+a)=f(b−x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x=a+b/2；函数y=f(x+a)与y=f(b−x)的图象关于直线x=a+b/2对称。

8.几个函数方程的周期(约定a>0)1）f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T=a；2）f(x+a)=−f(x)，或f(x+a)=f(−x)（f(x)≠0），则f(x)的周期T=2a。

⾼中数学公式⼤全（完整版）⾼中数学常⽤公式及常⽤结论1.包含关系A B A A B B =?=I U U U A B C B C A U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U2．集合12{,,,}n a a a L 的⼦集个数共有2n 个；真⼦集有2n –1个；⾮空⼦集有2n –1个；⾮空的真⼦集有2n –2个.3.充要条件（1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件.注：如果甲是⼄的充分条件，则⼄是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在?>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.6．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果⼀个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果⼀个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成⽴,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 8.⼏个函数⽅程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2），)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1mnm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.10．根式的性质（1）n a =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥?==?-11．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +?=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ，④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M Na a alog log log -=，幂的对数：M n M a n a log log =；b mnb a na m log log =13.对数的换底公式 log log log m a m NN a= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 15.11,1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).16.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 17.等⽐数列的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q-==?∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a qq q s na q -?≠?-=??=?.18.同⾓三⾓函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin 19正弦、余弦的诱导公式2(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-?-?+=??-?20和⾓与差⾓公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .sin cos a b αα+)α?+(辅助⾓?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan ba=). 21、⼆倍⾓的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-． 22.三⾓函数的周期公式函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 23.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 24.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.25.⾯积定理111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===（2）. 26.三⾓形内⾓和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+222C A Bπ+?=-222()C A B π?=-+. 27.实数与向量的积的运算律设λ、µ为实数，那么(1) 结合律：λ(µa )=(λµ)a ;(2)第⼀分配律：(λ+µ)a =λa +µa;(3)第⼆分配律：λ(a +b )=λa +λb . 28.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 30．向量平⾏的坐标表⽰设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a P b(b ≠0)12210x y x y ?-=. 31. a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．32.数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的⽅向上的投影|b |cos θ的乘积．33.平⾯向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.34.两向量的夹⾓公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).35.平⾯两点间的距离公式 ,A B d =||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).36.向量的平⾏与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=.37.三⾓形的重⼼坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重⼼的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 设O 为ABC ?所在平⾯上⼀点，⾓,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ?的外⼼222OA OB OC ?==u u u r u u u r u u u r .（2）O 为ABC ?的重⼼0OA OB OC ?++=u u u r u u u r u u u r r.（3）O 为ABC ?的垂⼼OA OB OB OC OC OA ??=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 38.常⽤不等式：（1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈?2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）b a b a b a +≤+≤-.39已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最⼩值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最⼤值241s . 40.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a22x a x a x a >?>?>或x a <-.41.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.42.直线的五种⽅程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）⼀般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).43.两条直线的平⾏和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ?=≠;②12121l l k k ⊥?=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ?=≠；②1212120l l A A B B ⊥?+=； (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹⾓是2π. 45.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).46. 圆的四种⽅程（1）圆的标准⽅程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的⼀般⽅程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). 47.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0相离r d ;0==相切r d ; 0><相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.48.两圆位置关系的判定⽅法设两圆圆⼼分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421??+>r r d ;条公切线外切321??+=r r d ;条公切线相交22121??+<<-r r d r r ;条公切线内切121??-=r r d ; ⽆公切线内含??-<<210r r d . 49.圆的切线⽅程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线⽅程为200x x y y r +=;50.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数⽅程是cos sin x a y b θθ=??=?.51.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21ca x e PF +=，)(22x c a e PF -=. 52．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b+>.53.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c=-.54.双曲线的⽅程与渐近线⽅程的关系(1）若双曲线⽅程为12222=-b y a x ?渐近线⽅程：22220x y a b -=?x a by ±=.(2)若渐近线⽅程为x aby ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.55. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由⽅程??=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0?>,α为直线AB 的倾斜⾓，k 为直线的斜率）.57(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )．(3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ． 59共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =u u u r u u u r ?(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r.60.向量的直⾓坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 61.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r= 212121(,,)x x y y z z ---. 62．空间的线线平⾏或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b ⊥r r ?0a b ?=r r ?1212120x x y y z z ++=.63.夹⾓公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.64．异⾯直线所成⾓cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ?=?r rr r （其中θ（090θ<≤o o）为异⾯直线a b ,所成⾓，,a b r r 分别表⽰异⾯直线a b ,的⽅向向量） 65.直线AB 与平⾯所成⾓sin ||||AB m arc AB m β?=u u u r u r u u u r u r (m u r 为平⾯α的法向量). 66.⼆⾯⾓l αβ--的平⾯⾓cos ||||m n arc m n θ?=u r r u r r 或cos ||||m narc m n π?-u r ru r r （m u r ，n r 为平⾯α，β的法向量）. 134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A B d=||AB =u u u r=67.球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表⾯积24S R π=． (3) 球与正四⾯体的组合体:棱长为a的正四⾯体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 6813V Sh =柱体（S 是柱体的底⾯积、h 是柱体的⾼）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底⾯积、h 是锥体的⾼）.69.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++L .70.排列数公式 mn A =)1()1(+--m n n n Λ=！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.71.组合数公式 mnC =m n m mA A =m m n n n +--ΛΛ21)1()1(=)(m n m n -?(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).72.组合数的两个性质(1)m n C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =m n C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11m m nn n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-;（3）11mm n n n C C m --=; （4）∑=nr r n C 0=n 2; 73.排列数与组合数的关系m mn n A m C =?！ .74．单条件排列以下各条的⼤前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在⼀起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常⽤捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在⼀起来作全排列，k 个的⼀组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个⼤球n 个⼩球排成⼀列，⼩球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，⽆解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.75．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个⼈，各得n 件，其分配⽅法数共有mn n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22==--Λ. （2）(平均分组⽆归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为⽆记号或⽆顺序的m 堆，其分配⽅法数共有 mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22==--.（3）(⾮平均分组有归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个⼈，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配⽅法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N mm==-.76.⼆项式定理 nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ;⼆项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=. 77.n 次独⽴重复试验中某事件恰好发⽣k 次的概率()(1).k k n kn n P k C P P -=-78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)i P i ≥=L ;（2）121P P ++=L . 79.数学期望1122n n E x P x P x Pξ=++++L L80..数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+.（2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. 81.⽅差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?++-?+L L 标准差σξ=ξD . 82.⽅差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. 83..)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx ''===00()()lim limx x y f x x f x x x→?→?+?-==??. 84.. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的⼏何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线⽅程是))((000x x x f y y -'=-.85..⼏种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.(4) x x sin )(cos -=' (5) x x 1)(ln ='；ax a xln 1)(log ='(6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 86..导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 87..复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=.89.复数的相等,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）90.复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +91.复数的四则运算法(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++(2)()()()()a bi c di a c b di +-+=-+-;(3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++;(4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di +-+÷+=++≠.图象定义域 R R,2x x k k ππ??≠+∈Z值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既⽆最⼤值也⽆最⼩值周期性2π 2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ?-+()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ?++()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ?-+()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中⼼()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中⼼(),02k k ππ?+∈Z 对称轴()x k k π=∈Z 对称中⼼(),02k k π??∈Z ⽆对称轴。

高中数学公式大全(完整版)高中数学公式大全(完整版)精选1、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2、乘法与因式分解a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) •a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)3、三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|4、正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径。

5、余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角。

6、圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标。

7、圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0。

8、倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^29、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))10、某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 51^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3高中数学的学习方法1、养成演算、校核的好习惯，提高计算能力。

高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系,.U x A x C A ∈⇔∉U x C A x A ∈⇔∉2.德摩根公式.();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == 3.包含关系A B A A B B =⇔= U U A B C B C A⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ U C A B R⇔= 4．集合的子集个数共有 个；真子集有–1个；12{,,,}n a a a 2n 2n 非空子集有 –1个；非空的真子集有–2个.2n 2n 5.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式;2()(0)f x ax bx c a =++≠(2)顶点式;2()()(0)f x a x h k a =-+≠(3)零点式.12()()()(0)f x a x x x x a =--≠6.闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处)0()(2≠++=a c bx ax x f []q p ,ab x 2-=及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若，则；[]q p a bx ,2∈-={}min max max ()(()(),()2b f x f f x f p f q a=-=若，，.[]q p abx ,2∉-={}max max ()(),()f x f p f q ={}min min ()(),()f x f p f q =(2)当a<0时，若，则，[]q p abx ,2∈-={}min ()min (),()f x f p f q =若，则，.[]q p a bx ,2∉-={}max ()max (),()f x f p f q ={}min ()min (),()f x f p f q =7.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要[]βα,(,)0f x t ≥t 条件是min (,)0()f x t x L ≥∉ (2)在给定区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要[]βα,(,)0f x t ≥t 条件是.(,)0()man f x t x L ≤∉ (3)恒成立的充要条件是或.0)(24>++=c bx ax x f 000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩2040a b ac <⎧⎨-<⎩8.四种命题的相互关系9.充要条件（1）充分条件：若，则是充分条件.p q ⇒p q （2）必要条件：若，则是必要条件.q p ⇒p q （3）充要条件：若，且，则是充要条件.p q ⇒q p ⇒p q 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.10.函数的单调性(1)设那么[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是减函数.[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<-- (2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果)(x f y =0)(>'x f )(x f ，则为减函数.0)(<'x f )(x f 11．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．12.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴)(x f y =R x ∈)()(x b f a x f -=+)(x f 是函数;两个函数与 的图象关于直线2b a x +=)(a x f y +=)(x b f y -=2ba x +=对称.13.两个函数图象的对称性(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.()y f x =()y f x =-0x =y (2)函数与函数的图象关于直线对称.()y f mx a =-()y f b mx =-2a bx m+=(3)函数和的图象关于直线y=x 对称.)(x f y =)(1x f y -=14.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的)(x f y =a b b a x f y +-=)(图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线0),(=y x f a b 的图象.0),(=--b y a x f 15.几个常见的函数方程(1)正比例函数,.()f x cx =()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=(2)指数函数,.()x f x a =()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠(3)对数函数,.()log a f x x =()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠(4)幂函数,.()f x x α='()()(),(1)f xy f x f y f α==16．有理指数幂的运算性质(1) .(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈(2) .()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈(3).()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.17.指数式与对数式的互化式.log b aN b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>18.对数的换底公式(,且,,且, ).log log log m a m NN a=0a >1a ≠0m >1m ≠0N >推论 (,且,,且,, ).log log m n a a nb b m=0a >1a >,0m n >1m ≠1n ≠0N >19．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1);log ()log log a a a MN M N =+(2) ;log log log a a a MM N N=-(3).log log ()n a a M n M n R =∈20.等差数列的通项公式；*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d-=+.211()22d n a d n =+-21.等比数列的通项公式；1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩22．常见三角不等式（1）若，则.(0,2x π∈sin tan x x x << (2) 若，则(0,2x π∈1sin cos x x <+≤ (3) .|sin ||cos |1x x +≥23.同角三角函数的基本关系式，=，.22sin cos 1θθ+=tan θθθcos sin tan 1cot θθ⋅=24.正弦、余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限25.和角与差角公式;sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=(辅助角所在象限由点的象限决定,sin cos a b αα+)αϕ+ϕ(,)a b ).tan baϕ=26.二倍角公式.sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.27.三角函数的周期公式函数，x ∈R 及函数，x ∈R(A,ω,为常数，sin()y x ωϕ=+cos()y x ωϕ=+ϕ且A ≠0，ω＞0)的周期；2T πω=函数，(A,ω,为常数，且A ≠0，ω＞0)的tan()y x ωϕ=+,2x k k Z ππ≠+∈ϕ周期.T πω=28.正弦定理.（R 是外接圆的半径）2sin sin sin a b cR A B C===29.余弦定理;2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-.2222cos c a b ab C =+-30.面积定理（1）（分别表示a 、b 、c 边上的高）.111222a b c S ah bh ch ===a b c h h h 、、（2）.111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===31.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+.222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+32.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（a ）·b= （a ·b ）=a ·b = a ·（b ）;λλλλ(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.33.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．34. a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影 |b |cos θ的乘积．35.平面向量的坐标运算(1)设a =,b =，则a+b=.11(,)x y 22(,)x y 1212(,)x x y y ++(2)设a =,b =，则a-b=.11(,)x y 22(,)x y 1212(,)x x y y -- (3)设A ，B ,则.11(,)x y 22(,)x y 2121(,)AB OB OA x x y y =-=--(4)设a =，则a=.(,),x y R λ∈λ(,)x y λλ(5)设a =,b =，则a ·b=.11(,)x y 22(,)x y 1212()x x y y +36.两向量的夹角公式(a =,b =).cos θ=11(,)x y 22(,)x y 37.平面两点间的距离公式=,A Bd ||AB = (A ，B).=11(,)x y 22(,)x y 38.向量的平行与垂直设a =,b =，且b 0，则11(,)x y 22(,)x y ≠a ||b b =λa .⇔12210x y x y ⇔-=a b(a 0)a ·b=0.⊥≠⇔12120x x y y ⇔+=39.线段的定比分点公式设，，是线段的分点,是实数，且，则111(,)P x y 222(,)P x y (,)P x y 12PP λ12PP PP λ=121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ （）.⇔12(1)OP tOP t OP =+- 11t λ=+40.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC 的重11A(x ,y )22B(x ,y )33C(x ,y )心的坐标是.123123(,)33x x x y y y G ++++为的重心.O ABC ∆0OA OB OC ⇔++=41.点的平移公式.''''x x h x x h y y k y y k ⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形上的对应点为，'F '''(,)P x y 且的坐标为.'PP(,)h k 42.“按向量平移”的几个结论（1）点按向量a =平移后得到点.(,)P x y (,)h k '(,)P x h y k ++(2) 函数的图象按向量a =平移后得到图象,则的函数()y f x =C (,)h k 'C 'C 解析式为.()y f x h k =-+(3) 图象按向量a =平移后得到图象,若的解析式,则'C (,)h k C C ()y f x ='C 的函数解析式为.()y f x h k =+-(4)曲线:按向量a =平移后得到图象,则的方程为C (,)0f x y =(,)h k 'C 'C.(,)0f x h y k --=(5) 向量m =按向量a =平移后得到的向量仍然为m =.(,)x y (,)h k (,)x y 43.常用不等式：（1）(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．,a b R ∈⇒222a b ab +≥（2）(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．,a b R +∈⇒2a b+≥（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式：22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）.b a b a b a +≤+≤-44.最值定理（积定和最小）已知都是正数，则有y x ,（1）若积是定值，则当时和有最小值；xy p y x =y x +p 2（2）若和是定值，则当时积有最大值.y x +s y x =xy 241s 推广 已知，则有R y x ∈,xyy x y x 2)()(22+-=+（1）若积是定值,则当最大时,最大；xy ||y x -||y x +当最小时,最小.||y x -||y x +（2）若和是定值,则当最大时, 最小；||y x +||y x -||xy 当最小时, 最大.||y x -||xy 45.指数不等式与对数不等式(1)当时,1a > ;()()()()f x g x a a f x g x >⇔> .()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩(2)当时,01a << ;()()()()f x g x a a f x g x >⇔< ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩46.斜率公式（、）.2121y yk x x -=-111(,)P x y 222(,)P x y 47.直线的五种方程（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．11()y y k x x -=-l 111(,)P x y k （2）斜截式 (b 为直线在y 轴上的截距).y kx b =+l （3）两点式 ()(、 ()).112121y y x x y y x x --=--12y y ≠111(,)P x y 222(,)P x y 12x x ≠(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)1x ya b+=a b 、0a b ≠、（5）一般式 (其中A 、B 不同时为0).0Ax By C ++=48.两条直线的平行和垂直若，111:l y k x b =+222:l y k x b =+①;121212||,l l k k b b ⇔=≠②.12121l l k k ⊥⇔=-49. 到的倒角公式1l 2l (1).2121tan 1k kk k α-=+(，,)111:l y k x b =+222:l y k x b =+121k k ≠-50．两种常用直线系方程(1)平行直线系方程：与直线平行的直线系方程是0Ax By C ++=()，λ是参变量．0Ax By λ++=0λ≠ (2)垂直直线系方程：与直线 (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方0Ax By C ++=程是,λ是参变量．0Bx Ay λ-+=51.点到直线的距离(点,直线：).d =00(,)P x y l 0Ax By C ++=52. 或所表示的平面区域0Ax By C ++>0<设直线，则或所表示的平面区域是：:0l Ax By C ++=0Ax By C ++>0<（1）若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与0B ≠B Ax By C ++l B 异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.Ax By C ++l （2）若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与0B =A Ax By C ++l A 异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.Ax By C ++l53. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .222()()x a y b r -+-=（2）圆的一般方程 (＞0).220x y Dx Ey F ++++=224D E F +-（3）圆的参数方程 .cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是1212()()()()0x x x x y y y y --+--=、).11(,)A x y 22(,)B x y 54.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:0=++C By Ax 222)()(r b y a x =-+-;0<∆⇔⇔>交交r d ;0=∆⇔⇔=交交r d .0>∆⇔⇔<交交r d 其中.22BA CBb Aa d +++=55.椭圆的参数方程是.22221(0)x y a b a b +=>>cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩椭圆焦半径公式22221(0)x y a b a b+=>>，.)(21c a x e PF +=)(22x c a e PF -= 椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.00(,)P x y 22221(0)x y a b a b +=>>2200221x y a b ⇔+<（2）点在椭圆的外部.00(,)P x y 22221(0)x y a b a b +=>>2200221x y a b⇔+> 56.双曲线的焦半径公式22221(0,0)x y a b a b-=>>，.21|()|a PF e x c =+22|()|a PF e x c=-双曲线的内外部(1)点在双曲线的内部.00(,)P x y 22221(0,0)x y a b a b -=>>2200221x y a b ⇔->(2)点在双曲线的外部.00(,)P x y 22221(0,0)x y a b a b-=>>2200221x y a b⇔-< 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.12222=-by a x ⇒22220x y a b -=⇔x a by ±= (2)若渐近线方程为双曲线可设为.x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒λ=-2222by a x (3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦12222=-b y a x λ=-2222by a x 0>λ点在x 轴上，，焦点在y 轴上）.0<λ57. 抛物线的焦半径公式px y 22=抛物线焦半径.22(0)y px p =>02p CF x =+过焦点弦长.p x x px p x CD ++=+++=21212258.直线与圆锥曲线相交的弦长公式1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ，由方程 消去y 得到，),(),,(2211y x B y x ⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 02=++c bx ax ,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.0∆>αAB k 59．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.60.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.61.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b 存在实数λ使a =λb ．⇔三点共线.P A B 、、⇔||AP AB ⇔AP t AB = ⇔(1)OP t OA tOB =-+ 、共线且不共线且不共线.||AB CD ⇔AB CD AB CD 、⇔AB tCD = AB CD 、62.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的存在实数对,使．⇔,x y p ax by =+推论:空间一点P 位于平面MAB 内的存在有序实数对,使⇔,x y ，或对空间任一定点O ，有序实数对，使MP xMA yMB =+ ,x y .OP OM xMA yMB =++ 63.对空间任一点和不共线的三点A 、B 、C ，满足（O OP xOA yOB zOC =++ ），则当时，对于空间任一点，总有P 、A 、B 、C 四点共面；x y z k ++=1k =O 当时，若平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若平面ABC ，则P 、A 、B 、C 1k ≠O ∈O ∉四点不共面．四点共面与、共面 C A B 、、、D ⇔AD AB AC ⇔AD xAB y AC =+ ⇔（平面ABC ）.(1)OD x y OA xOB yOC =--++ O ∉64.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使.OP xOA yOB zOC =++65.向量的直角坐标运算设a ＝，b ＝则123(,,)a a a 123(,,)b b b (1)a ＋b ＝；112233(,,)a b a b a b +++(2)a －b ＝；112233(,,)a b a b a b ---(3)λa ＝ (λ∈R)；123(,,)a a a λλλ(4)a ·b ＝；112233a b a b a b ++设A ，B ，则111(,,)x y z 222(,,)x y z = .AB OB OA =- 212121(,,)x x y y z z ---66．空间的线线平行或垂直设，，则111(,,)a x y z =r 222(,,)b x y z =r a ||b ；⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r ⇔1212120x x y y z z ++=67.夹角公式设a ＝，b ＝，则123(,,)a a a 123(,,)b b b cos 〈a ，b 〉.推论 ，此即三维柯西不等式.2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++68．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r r r r （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方θ090θ<≤o o a b ,,a b r r a b ,向向量）69.直线与平面所成角AB (为平面的法向量).sin ||||AB m arc AB m β⋅= m α70..二面角的平面角l αβ--或（，为平面，的法向量）.cos ||||m n arc m n θ⋅= cos ||||m n arc m n π⋅- m n αβ71.空间两点间的距离公式若A ，B ，则111(,,)x y z 222(,,)x y z=.,A B d ||AB = =72.点到直线距离Q l(点在直线上，直线的方向向量a =，向量b =h =P l l PA ).PQ 73.异面直线间的距离 (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一||||CD n d n ⋅= 12,l l n C D 、12,l l 点，为间的距离).d 12,l l 74.点到平面的距离 B α（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.||||AB n d n ⋅= n αAB αA α∈75.异面直线上两点距离公式d = (两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a 、b 上'AA 分别取两点E 、F ，,,).'A E m =AF n =EF d =76.三个向量和的平方公式 2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅ 2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a=+++⋅+⋅+⋅ 77. 面积射影定理.'cos S S θ=(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).S 'S θ78.欧拉定理(欧拉公式)(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).2V F E +-=（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面E n 数F 与棱数E 的关系：；12E nF =（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V 与棱数E 的关系：.m 12E mV =79.球的半径是R ，则其体积,343V R π=其表面积．24S R π= （是锥体的底面积、是锥体的高）.13V Sh =锥体S h .80.组合数公式 ===(∈N *，，且).m n C m n m m A A m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(！！！)(m n m n -⋅n m N ∈m n ≤性质：(1)= ;m n C m n n C - (2) +=.m n C 1-m n C m n C 1+ 注:规定.10=nC (3).n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ 81.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k n n P k C P P -=-82.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）;0(1,2,)i P i ≥= （2）.121P P ++= 83.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++数学期望的性质:（1）.()()E a b aE b ξξ+=+（2）若～,则.ξ(,)B n p E np ξ=(3) 若服从几何分布,且，则.ξ1()(,)k P k g k p q p ξ-===1E p ξ=84.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+ 标准差=.σξξD 方差的性质:(1)；()2D a b a D ξξ+= (2）若～，则.ξ(,)B n p (1)D np p ξ=- (3) 若服从几何分布,且，则.ξ1()(,)k P k g k p q p ξ-===2q D p ξ=方差与期望的关系:.()22D E E ξξξ=-85.在处的导数（或变化率）)(x f 0x .000000()()()lim lim x x x x f x x f x y f x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆ 函数在点处的导数的几何意义)(x f y =0x 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜)(x f y =0x )(x f y =))(,(00x f x P 率，相应的切线方程是.)(0x f '))((000x x x f y y -'=-86.几种常见函数的导数(1) （C 为常数）.0='C (2) .'1()()n n x nx n Q -=∈(3) .x x cos )(sin ='(4) .x x sin )(cos -=' (5) ；.x x 1)(ln ='e a x xa log 1)(log ='(6) ; .x x e e =')(a a a x x ln )(='87.导数的运算法则（1）.'''()u v u v ±=±（2）.'''()uv u v uv =+（3）.'''2((0)u u v uv v v v-=≠88.复合函数的求导法则设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U()u x ϕ=x ''()x u x ϕ=)(u f y =x 处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或''()u y f u =(())y f x ϕ=x '''x u x y y u =⋅写作.'''(())()()x f x f u x ϕϕ=89.判别是极大（小）值的方法)(0x f 当函数在点处连续时，)(x f 0x （1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；0x 0)(>'x f 0)(<'x f )(0x f （2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.0x 0)(<'x f 0)(>'x f )(0x f 90.复数的相等.（）,a bi c di a c b d +=+⇔==,,,a b c d R ∈复数的模（或绝对值）=.z a bi =+||z ||a bi +91.复数的四则运算法则(1);()()()()a bi c di a c b d i +++=+++(2);()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-(3);()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++(4).2222()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d+-+÷+=++≠++92.实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程，20ax bx c ++=①若,则240b ac ∆=->1,2x =②若,则;240b ac ∆=-=122b x x a==-③若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有240b ac ∆=-<R C两个共轭复数根.240)x b ac =-<。

高中三角函数公式大全sin30°=1/2sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据 sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用，即黄金分割的一半)正弦定理：在△ABC 中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中，R 为△ABC 的外接圆的半径。

)两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanA + tanB 1- tanAtanBtan(A-B) = tanA - tanB 1+ tanAtanBcot(A+B) = cotAcotB-1 cotB + c otAcot(A-B) = cotAcotB +1 cotB - cotA 倍角公式 tan2A =2tanA1- tan 2ASin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosATan3A= 3 t an 3A - (tan A )3 1- (tan A )2tan A t an( 3 A ) tan( 3 + A ) 半角公式= -sin( A )= 2 cos( A )= 2 tan( A )= 2 cot( A )= 2 tan( A )= 1- cos A =sin A2 sin A 和差化积 1+ cos Asina+sinb=2sin a + b cos a - b2 2 sina-sinb=2cos a + b sin a - b22cosa+cosb = 2cos a + b cos a - b2 2cosa-cosb = -2sin a + b sin a - b2 2tana+tanb= sin(a + b )cos a cos b积化和差1sinasinb = - [cos(a+b)-cos(a-b)]2 cosacosb = sinacosb = cosasinb = 诱导公式1 [cos(a+b)+cos(a-b)]21 [sin(a+b)+sin(a-b)]21 [sin(a+b)-sin(a-b)]2sin(-a) = -sinacos(-a) = cosasin( -a) = cosa2cos( -a) = sina2sin( +a) = cosa2 1- cos A 2 1+ cos A 2 1- cos A 1+ cos A 1+ cos A1- cos A(a 2 + b 2 ) (a 2 + b 2 ) cos( +a) = -sina 2sin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosa tgA=tanA = sin acos a万能公式 2 tan a sina=2 1+ (tan a )2 21- (tan a )2cosa=2 1+ (tan a )2 2 2 tan a tana=2 1- (tan a )2 2其它公式 a•sina+b•cosa= ×sin(a+c) [其中b tanc= ] aa•sin(a)-b•cos(a) = ×cos(a-c) [其中 a tan(c)= ] b a a 2 1+sin(a) =(sin +cos )2 2 a a 2 1-sin(a) = (sin -cos ) 2 2其他非重点三角函数csc(a) = sec(a) = 1 sin a 1 cos a公式一：设 α 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα公式二：设 α 为任意角，π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinαA 2 +B 2 + 2A B c os(⋅) t + arcsin[(Asin + Bsin ) A 2 + B 2 + 2 A B c os(⋅)cos （π＋α）= -cosαtan （π＋α）= tanαcot （π＋α）= cotα公式三：任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sinαcos （-α）= cosαtan （-α）= -tanαcot （-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinαcos （π-α）= -cosαtan （π-α）= -tanαcot （π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinαcos （2π-α）= cosαtan （2π-α）= -tanαcot （2π-α）= -cotαA•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) = ×sin。

高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。

3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.*二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+- 4、几种常见函数的导数①'C 0=；②1')(-=n n nxx ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=；⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-==（0,,a m n N *>∈，且1n >）.根式的性质（1）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.有理指数幂的运算性质(1) r sa a⋅=(2) ()r s rsa a=(3)()r rab a b=注：若a＞0，指数幂都适用..(0,1,0)a a N>≠>..1a≠,0m>,且1m≠,0N>).对数恒等式：).推论logmnab).常见的函数图象822sin cosθθ+9απ±kα看成锐角时该函数的符号；αππ±+2kα看成锐角时该函数的符号。

高中数学公式大全完整版1.代数公式：a)二次方程求根公式：对于二次方程ax²+bx+c=0，其解为：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)b)平方差公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²c)三次方差公式：(a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³d)和差化积公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A±B) = (tanA± tanB)/(1 ∓ tanAtanB) e)二项式定理：(a+b)ⁿ=nC₀aⁿb⁰+nC₁aⁿ⁻¹b¹+nC₂aⁿ⁻²b²+...+nCₙa⁰bⁿ2.几何公式：a)三角形：面积公式：S=1/2*底边*高正弦定理：sinA/a = sinB/b = sinC/c余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosCb)圆：周长公式：C=2πr面积公式：A=πr²弧长公式：L=2πr(θ/360)c)立体图形：容积公式：立方体：V=a³正方体：V=a³圆柱体：V=πr²h圆锥体：V=1/3πr²h球体：V=4/3πr³d)平移、旋转、缩放公式：平移：(x,y)→(x+a,y+b)旋转：逆时针旋转θ度：(x,y) → (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)缩放：横向缩放k倍，纵向缩放k倍：(x,y) → (kx, ky)3.概率公式：a)排列组合公式：排列：A(n,m)=n!/(n-m)!组合：C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)b)期望公式：对于离散型随机变量X，期望值E(X)=Σ(x*p(x))，其中x为X的可能取值，p(x)为对应x的概率对于连续型随机变量X，期望值E(X) = ∫(x*f(x))dx，其中f(x)表示X的概率密度函数c)标准差公式：方差σ²=Σ(x-μ)²*p(x)，其中μ为随机变量X的期望值标准差σ=√σ²d)独立事件公式：P(A∩B)=P(A)P(B)4.数列与级数公式：a)等差数列通项公式：aₙ=a₁+(n-1)db)等比数列通项公式：aₙ=a₁*r^(n-1)c)等差数列求和公式：Sn=(n/2)(a₁+aₙ)d)等比数列求和公式：Sn=a₁*(rⁿ-1)/(r-1)以上是高中数学公式的一个完整版，涵盖了代数、几何、概率、数列与级数等多个方面的公式。

⾼中数学公式⼤全（完整版）⾼中数学常⽤公式及常⽤结论1.元素与集合的关系,.2.德摩根公式.3.包含关系4.容斥原理.5．集合的⼦集个数共有个；真⼦集有–1个；⾮空⼦集有–1个；⾮空的真⼦集有–2个.6.⼆次函数的解析式的三种形式(1)⼀般式;(2)顶点式;(3)零点式.7.解连不等式常有以下转化形式.8.⽅程在上有且只有⼀个实根,与不等价,前者是后者的⼀个必要⽽不是充分条件.特别地,⽅程有且只有⼀个实根在内,等价于,或且,或且.9.闭区间上的⼆次函数的最值⼆次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若，则；，，.(2)当a<0时，若，则，若，则，.10.⼀元⼆次⽅程的实根分布依据：若，则⽅程在区间内⾄少有⼀个实根.设，则（1）⽅程在区间内有根的充要条件为或；（2）⽅程在区间内有根的充要条件为或或或；（3）⽅程在区间内有根的充要条件为或.11.定区间上含参数的⼆次不等式恒成⽴的条件依据(1)在给定区间的⼦区间（形如，，不同）上含参数的⼆次不等式(为参数)恒成⽴的充要条件是.(2)在给定区间的⼦区间上含参数的⼆次不等式(为参数)恒成⽴的充要条件是.(3)恒成⽴的充要条件是或.12.真值表ｐｑ⾮ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假 13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是⾄少有⼀个⼀个也没有都是不都是⾄多有⼀个⾄少有两个⼤于不⼤于⾄少有个⾄多有（）个⼩于不⼩于⾄多有个⾄少有（）个对所有，成⽴存在某，不成⽴或且对任何，不成⽴存在某，成⽴且或14.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若⾮ｐ则⾮ｑ互逆若⾮ｑ则⾮ｐ15.充要条件（1）充分条件：若，则是2）必要条件：若是.（3）充要条件：若，则是.注：如果甲是⼄的充分条件，则⼄是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.17.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数;如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果⼀个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果⼀个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.20.对于函数(),恒成⽴,则函数的对称轴是函数;两个函数与的图象关于直线对称.21.若,则函数的图象关于点对称;若,则函数为周期为的周期函数.22．多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数的图象的对称性(1)函数的图象关于直线对称.(2)函数的图象关于直线对称.24.两个函数图象的对称性(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.(2)函数与函数的图象关于直线对称.(3)函数和的图象关于直线y=x对称.25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.26．互为反函数的两个函数的关系.27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,⽽函数是的反函数.28.⼏个常见的函数⽅程(1)正⽐例函数,.(2)指数函数,.(3)对数函数,.(4)幂函数,.(5)余弦函数,正弦函数，，.29.⼏个函数⽅程的周期(约定a>0)（1），则的周期T=a；（2），或，或,或,则的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；(4)且，则的周期T=4a；(5),则的周期T=5a；(6)，则的周期T=6a.30.分数指数幂(1)（，且）.(2)（，且）.31．根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.32．有理指数幂的运算性质(1).(2).(3).注：若a＞0，p是⼀个⽆理数，则ap表⽰⼀个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于⽆理数指数幂都适⽤.33.指数式与对数式的互化式.34.对数的换底公式(,且,,且,).推论(,且,,且,,).35．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1);(2);(3).36.设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推⼴若,,,,则函数(1)当时,在和上为增函数.，(2)当时,在和上为减函数.推论:设，，，且，则（1）.（2）.38.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.39.数列的同项公式与前n项的和的关系(数列的前n项的和为).40.等差数列的通项公式；其前n项和公式为.41.等⽐数列的通项公式；其前n项的和公式为或.42.等⽐差数列:的通项公式为；其前n项和公式为.43.分期付款(按揭贷款)每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为). 44．常见三⾓不等式（1）若，则.(2)若，则.(3).45.同⾓三⾓函数的基本关系式，=，.46.正弦、余弦的诱导公式47.和⾓与差⾓公式;;.(平⽅正弦公式);.=(辅助⾓所在象限由点的象限决定,).48.⼆倍⾓公式...49.三倍⾓公式...50.三⾓函数的周期公式函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.51.正弦定理?.52.余弦定理;;.53.⾯积定理（1）（分别表⽰a、b、c边上的⾼）.（2）.(3).54.三⾓形内⾓和定理在△ABC中，有.55.简单的三⾓⽅程的通解...特别地,有...56.最简单的三⾓不等式及其解集......57.实数与向量的积的运算律设λ、µ为实数，那么(1)结合律：λ(µa)=(λµ)a;(2)第⼀分配律：(λ+µ)a=λa+µa;(3)第⼆分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的数量积的运算律：(1)a·b=b·a（交换律）;(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.59.平⾯向量基本定理?如果e1、e2是同⼀平⾯内的两个不共线向量，那么对于这⼀平⾯内的任⼀向量，有且只有⼀对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表⽰这⼀平⾯内所有向量的⼀组基底．60．向量平⾏的坐标表⽰??设a=,b=，且b0，则ab(b0).53.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．61.a·b的⼏何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的⽅向上的投影|b|cosθ的乘积．62.平⾯向量的坐标运算(1)设a=,b=，则a+b=.(2)设a=,b=，则a-b=.(3)设A，B,则.(4)设a=，则a=.(5)设a=,b=，则a·b=.63.两向量的夹⾓公式(a=,b=).64.平⾯两点间的距离公式=(A，B).65.向量的平⾏与垂直设a=,b=，且b0，则A||bb=λa.ab(a0)a·b=0.66.线段的定⽐分公式?设，，是线段的分点,是实数，且，则（）.67.三⾓形的重⼼坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重⼼的坐标是.68.点的平移公式.注:图形F上的任意⼀点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.69.“按向量平移”的⼏个结论（1）点按向量a=平移后得到点.(2)函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.(3)图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的⽅程为.(5)向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.70.三⾓形五“⼼”向量形式的充要条件设为所在平⾯上⼀点，⾓所对边长分别为，则（1）为的外⼼.（2）为的重⼼.（3）为的垂⼼.（4）为的内⼼.（5）为的的旁⼼.71.常⽤不等式：（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．(当且仅当a＝b时取“=”号)．（4）柯西不等式（5）.72.极值定理已知都是正数，则有（1）若积是定值，则当时和有最⼩值；（2）若和是定值，则当时积有最⼤值.推⼴已知，则有（1）若积是定值,则当最⼤时,最⼤；当最⼩时,最⼩.（2）若和是定值,则当最⼤时,最⼩；当最⼩时,最⼤.73.⼀元⼆次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简⾔之：同号两根之外，异号两根之间.；.74.含有绝对值的不等式a>0时，有.或.75.⽆理不等式（1）.（2）.（3）.76.指数不等式与对数不等式(1)当时,;.(2)当时,;77.斜率公式（、.78.直线的五种⽅程（1）点斜式直线过点，且斜率为．斜截式b为直线在y轴上的截距.（3）两点式)(、()(分别为直线的横、纵截距，)（5）⼀般式(其中A、B不同时为0)平⾏和垂直，①;②.(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,①；②；80.夹⾓公式(1).(，,)(2).(,,).直线时，直线l1与l2的夹⾓是.到的⾓公式(1).(，,)(2).(,,).直线时，直线l1l2的⾓是.(1)定点直线系⽅程：经过定点的直线系⽅程为(除直线),其中是待定的系数;经过定点的直线系⽅程为,其中是待定的系数．(2)共点直线系⽅程：经过两直线,的交点的直线系⽅程为(除)，其中λ是待定的系数．(3)平⾏直线系⽅程：直线中当斜率k⼀定⽽b变动时，表⽰平⾏直线系⽅程．与直线平⾏的直线系⽅程是()，λ是参变量．(4)垂直直线系⽅程：与直线(A≠0，B≠0)垂直的直线系⽅程是,λ是参变量．83.点到直线的距离(点,直线).时，表⽰直线的下⽅的区域，当与同号时，表⽰直线的右⽅的区域与异号时，表⽰直线的左⽅的区域或所表⽰的平⾯区域（），则或所表⽰的平⾯区域所表⽰的平⾯区域所表⽰的平⾯区域.圆的⽅程圆的标准⽅程（2）圆的⼀般⽅程(＞0).圆的.（4）圆的⽅程(圆的直径的端点是、).,的圆系⽅程是,其中是直线的⽅程,λ是待定的系数．(2)过直线:与圆:的交点的圆系⽅程是,λ是待定的系数．(3)过圆:与圆:的交点的圆系⽅程是,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.89.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:;;.其中.90.两圆位置关系的判定⽅法设两圆圆⼼分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，;;;;.91.圆的切线⽅程(1)已知圆．①若已知切点在圆上，则切线只有⼀条，其⽅程是.当圆外时,表⽰过两个切点的切点弦⽅程．于y轴的切线．③斜率为k的切线⽅程可设为，再利⽤相切条件求b，必有两条切线．(2)已知圆．①过圆上的点的切线⽅程为;②斜率为的圆的切线⽅程为.92.椭圆.93.椭圆，.94．椭圆的在椭圆.（2）点在椭圆.95.椭圆上⼀点处的切线⽅程是.（2）过椭圆外⼀点所引两条切线的切点弦⽅程是.（3）椭圆与直线相切的条件是.96.双曲线的焦半径公式，.97.双曲线在双曲线的内部.(2)点在双曲线的外部.98.双曲线渐近线⽅程：.(2)若渐近线⽅程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.99.双曲线的切线⽅程(1)双曲线上⼀点处的切线⽅程是.（2）过双曲线外⼀点所引两条切线的切点弦⽅程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.100.抛物线的焦半径公式抛物线焦半径.过焦点弦长.101.抛物线上的动点可设为P或P，其中.102.⼆次函数的图象是抛物线；（2）焦点的坐标为；（3）准线⽅程是. 103.抛物线的内外部(1)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(2)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(3)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(4)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.104.抛物线的切线⽅程(1)抛物线上⼀点处的切线⽅程是.（2）过抛物线外⼀点所引两条切线的切点弦⽅程是.（3）抛物线与直线相切的条件是.105.两个常见的曲线系⽅程(1)过曲线,的交点的曲线系⽅程是(为参数).(2)共焦点的有⼼圆锥曲线系⽅程,其中.当时,表⽰椭圆;当时,表⽰双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或（弦端点A，由⽅程消去y得到，,为直线的倾斜⾓，为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中⼼对称的曲线是.（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是.108.“四线”⼀⽅程对于⼀般的⼆次曲线，⽤代，⽤代，⽤代，⽤代，⽤代即得⽅程，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点⽅程均是此⽅程得到. 109．证明直线与直线的平⾏的思考途径（1）转化为判定共⾯⼆直线⽆交点；（2）转化为⼆直线同与第三条直线平⾏；（3）转化为线⾯平⾏；（4）转化为线⾯垂直；（5）转化为⾯⾯平⾏.110．证明直线与平⾯的平⾏的思考途径（1）转化为直线与平⾯⽆公共点；（2）转化为线线平⾏；（3）转化为⾯⾯平⾏.111．证明平⾯与平⾯平⾏的思考途径（1）转化为判定⼆平⾯⽆公共点；（2）转化为线⾯平⾏；（3）转化为线⾯垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线⾯垂直；（3）转化为线与另⼀线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平⾯垂直的思考途径（1）转化为该直线与平⾯内任⼀直线垂直；（2）转化为该直线与平⾯内相交⼆直线垂直；（3）转化为该直线与平⾯的⼀条垂线平⾏；（4）转化为该直线垂直于另⼀个平⾏平⾯；（5）转化为该直线与两个垂直平⾯的交线垂直.114．证明平⾯与平⾯的垂直的思考途径（1）转化为判断⼆⾯⾓是直⼆⾯⾓；（2）转化为线⾯垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．116.平⾯向量加法的平⾏四边形法则向空间的推⼴始点相同且不在同⼀个平⾯内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平⾏六⾯体的以公共始点为始点的对⾓线所表⽰的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．、共线且不共线且不共线.118.共⾯向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共⾯的存在实数对,使．推论空间⼀点P位于平⾯MAB内的存在有序实数对,使，或对空间任⼀定点O，有序实数对，使.119.对空间任⼀点和不共线的三点A、B、C，满⾜（），则当时，对于空间任⼀点，总有P、A、B、C四点共⾯；当时，若平⾯ABC，则P、A、B、C四点共⾯；若平⾯ABC，则P、A、B、C四点不共⾯．四点共⾯与、共⾯（平⾯ABC）.120.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共⾯，那么对空间任⼀向量p，存在⼀个唯⼀的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．推论设O、A、B、C是不共⾯的四点，则对空间任⼀点P，都存在唯⼀的三个有序实数x，y，z，使.121.射影公式已知向量=a和轴，e是上与同⽅向的单位向量.作A点在上的射影，作B点在上的射影，则〈a，e〉=a·e122.向量的直⾓坐标运算设a＝，b＝则(1)a＋b＝；(2)a－b＝；(3)λa＝(λ∈R)；(4)a·b＝；123.设A，B，则=.124．空间的线线平⾏或垂直设，，则；.125.夹⾓公式设a＝，b＝，则推论，此即三维柯西不等式.126.四⾯体的对棱所成的⾓四⾯体中,与所成的⾓为,则.127．异⾯直线所成⾓=（其中（）为异⾯直线所成⾓，分别表⽰异⾯直线的⽅向向量）128.直线与平⾯所成⾓(为平⾯的法向量).129.若所在平⾯若与过若的平⾯成的⾓,另两边,与平⾯成的⾓分别是、,为的两个内⾓，则.特别地,当时,有.130.若所在平⾯若与过若的平⾯成的⾓,另两边,与平⾯成的⾓分别是、,为的两个内⾓，则.特别地,当时,有.131.⼆⾯⾓的平⾯⾓或（，为平⾯，的法向量）.132.三余弦定理设AC是α内的任⼀条直线，且BC⊥AC，垂⾜为C，⼜设AO与AB所成的⾓为，AB与AC所成的⾓为，AO与AC所成的⾓为．则.133.三射线定理若夹在平⾯⾓为的⼆⾯⾓间的线段与⼆⾯⾓的两个半平⾯所成的⾓是,,与⼆⾯⾓的棱所成的⾓是θ，则有;(当且仅当时等号成⽴).134.空间两点间的距离公式若A，B，则=.135.点到直线距离136.异⾯直线间的距离(是两异⾯直线，其公垂向量为，分别是上任⼀点，为间的距离).137.点到平⾯的距离（为平⾯的法向量，是经过⾯的⼀条斜线，）.138.异⾯直线上两点距离公式..（）.(两条异⾯直线a、b所成的⾓为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,,). 139.三个向量和的平⽅公式140.长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹⾓分别为,则有.（⽴体⼏何中长⽅体对⾓线长的公式是其特例）.141.⾯积射影定理.(平⾯多边形及其射影的⾯积分别是、，它们所在平⾯所成锐⼆⾯⾓的为).142.斜棱柱的直截⾯已知斜棱柱的侧棱长是,侧⾯积和体积分别是和,它的直截⾯的周长和⾯积分别是和,则①.②.143．作截⾯的依据三个平⾯两两相交，有三条交线，则这三条交线交于⼀点或互相平⾏.144．棱锥的平⾏截⾯的性质如果棱锥被平⾏于底⾯的平⾯所截，那么所得的截⾯与底⾯相似，截⾯⾯积与底⾯⾯积的⽐等于顶点到截⾯距离与棱锥⾼的平⽅⽐（对应⾓相等，对应边对应成⽐例的多边形是相似多边形，相似多边形⾯积的⽐等于对应边的⽐的平⽅）；相应⼩棱锥与⼩棱锥的侧⾯积的⽐等于顶点到截⾯距离与棱锥⾼的平⽅⽐．145.欧拉定理(欧拉公式)(简单多⾯体的顶点数V、棱数E和⾯数F).（1）=各⾯多边形边数和的⼀半.特别地,若每个⾯的边数为的多边形，则⾯数F与棱数E的关（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：. 146.球的半径是R，则其体积,其表⾯积．的正四⾯体的内切球的半径为,外接球的半径为. 148．柱体、锥体的体积（是柱体的底⾯积、是柱体的⾼）.（是锥体的底⾯积、是锥体的⾼）.149.分类计数原理（加法原理）.150.分步计数原理（乘法原理）.151.排列数公式==.(，∈N，且)．注:规定.152.排列恒等式(1）;（2）;（3）;（4）;（5）.(6).153.组合数公式===(∈N，，且).154.组合数的两个性质(1)=;(2)+=.注:规定.155.组合恒等式（1）;（2）;（4）=;（5）.(6).(7).(8).(9).(10).156.排列数与组合数的关系.157．单条件排列以下各条的⼤前提是从个元素中取个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在⼀起的排法有种.注：此类问题常⽤捆绑法；③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在⼀起来作全排列，k个的⼀组互不能挨近的所有排列数有种.（3）两组元素各相同的插空个⼤球个⼩球排成⼀列，⼩球必分开，问有多少种排法？当时，⽆解；当时，有种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个⼈，各得件，其分配⽅法数共有.（2）(平均分组⽆归属问题)将相异的·个物体等分为⽆记号或⽆顺序的堆，其分配⽅法数共有.（3）(⾮平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个⼈，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配⽅法数共有.（4）(⾮完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个⼈，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配⽅法数有.（5）(⾮平均分组⽆归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件⽆记号的堆，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配⽅法数有.（6）(⾮完全平均分组⽆归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件⽆记号的堆，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配⽅法数有.（7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、⼄、丙，……等个⼈，物体必须被分完，如果指定甲得件，⼄得件，丙得件，…时，则⽆论，，…，等个数是否全相异或不全相异其分配⽅法数恒有.159．“错位问题”及其推⼴贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为.推⼴:个元素与个位置,其中⾄少有个元素错位的不同组合总数为.160．不定⽅程的解的个数(1)⽅程（）的正整数解有个.(2)⽅程（）的⾮负整数解有个.(3)⽅程（）满⾜条件(,)的⾮负整数解有个.(4)⽅程（）满⾜条件(,)的正整数解有个.161.⼆项式定理;⼆项展开式的通项公式.162.等可能性事件的概率.163.互斥事件A，B分别发⽣的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．164.个互斥事件分别发⽣的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．165.独⽴事件A，B同时发⽣的概率P(A·B)=P(A)·P(B).166.n个独⽴事件同时发⽣的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．167.n次独⽴重复试验中某事件恰好发⽣k次的概率168.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）;（2）.169.数学期望170.数学期望的性质（1）.（2）若～,则.(3)若服从⼏何分布,且，则.171.⽅差172.标准差=.173.⽅差的性质(1)；）～，则.(3)若服从⼏何分布,且，则.174.⽅差与期望的关系.175.正态分布密度函数，式中的实数µ，（>0）是参数，分别表⽰个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数.177.对于，取值⼩于x的概率..178.回归直线⽅程，其中.179.相关系数.|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越⼤；|r|越接近于0，相关程度越⼩.180.特殊数列的极限（1）.（2）.（3）（⽆穷等⽐数列()的和）.181.函数的极限定理.182.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满⾜：（1）;（2）（常数）,则.本定理对于单侧极限和的情况仍然成⽴. 183.⼏个常⽤极限（1），（）；（2），.184.两个重要的极限（1）；（2）(e=2.718281845…).185.函数极限的四则运算法则若，，则(1)；(2);(3).186.数列极限的四则运算法则若，则(1)；(2)；(3)(4)(c是常数).187.在处的导数（或变化率或微商）.188.瞬时速度.189.瞬时加速度.190.在的导数.191.函数在点处的导数的⼏何意义函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线⽅程是.192.⼏种常见函数的导数(1)（C为常数）.(2).(3).(4).(5)；.(6);.193.导数的运算法则（1）.（2）.（3）.194.复合函数的求导法则设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.195.常⽤的近似计算公式（当充⼩时）(1);；(2)；；(3)；(4)；(5)（为弧度）；(6)（为弧度）；(7)（为弧度）196.判别是极⼤（⼩）值的⽅法当函数在点处连续时，（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极⼤值；（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极⼩值.197.复数的相等.（）198.复数的模（或绝对值）==.199.复数的四则运算法则(1);(2);(3);(4).200.复数的乘法的运算律对于任何，有交换律:.结合律:.分配律:.201.复平⾯上的两点间的距离公式（，）.202.向量的垂直⾮零复数，对应的向量分别是，，则的实部为零为纯虚数(λ为⾮零实数).203.实系数⼀元⼆次⽅程的解实系数⼀元⼆次⽅程，①若,则;②若,则;③若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根. (n为偶数)(n为奇数) (n为偶数) (n为奇数)。

高中数学公式大全（最整理新版）一、代数1. 一元一次方程：ax + b = 0，其中a ≠ 0。

解为 x = b/a。

2. 一元二次方程：ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0。

解为 x =[b ± sqrt(b^2 4ac)] / 2a。

3. 一元三次方程：ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a ≠ 0。

解为x = [b ± sqrt(b^2 3ac)] / 3a。

4. 一元四次方程：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中 a≠ 0。

解为x = [b ± sqrt(b^2 4ac)] / 2a。

5. 分式方程：分子和分母均为多项式。

解法为将方程两边乘以分母的乘积，得到一个等价的整式方程，然后求解。

6. 二元一次方程组：由两个一元一次方程组成的方程组。

解法为消元法或代入法。

7. 二元二次方程组：由两个一元二次方程组成的方程组。

解法为消元法或代入法。

8. 三元一次方程组：由三个一元一次方程组成的方程组。

解法为消元法或代入法。

9. 等差数列：首项为 a1，公差为 d。

第 n 项为 an = a1 + (n 1)d。

前 n 项和为 Sn = n/2(a1 + an)。

10. 等比数列：首项为 a1，公比为 q。

第 n 项为 an = a1q^(n 1)。

前 n 项和为 Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)，其中q ≠ 1。

二、几何1. 平面几何（1）直线：两点确定一条直线，直线方程为 y = mx + b，其中m 是斜率，b 是截距。

（2）圆：圆心为 (a, b)，半径为 r。

圆的方程为 (x a)^2 +(y b)^2 = r^2。

（3）椭圆：中心为 (a, b)，长轴为 2a，短轴为 2b。

椭圆的方程为 (x a)^2 / a^2 + (y b)^2 / b^2 = 1。

（4）双曲线：中心为 (a, b)，实轴为 2a，虚轴为 2b。

高中数学公式大全（最全面，最详细）高中数学公式大全抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上bx再加上ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆：体积=4/3(pi）(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10) ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝√[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2?sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=（a+b）÷2 s=l×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

高中数学公式抛物线:y = ax *+ bx + c就是 y 等于 ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为 y 轴还有顶点式 y = a(x+h * + k就是 y 等于 a 乘以(x+h的平方 +k-h是顶点坐标的 xk是顶点坐标的 y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程 :y^2=2px它表示抛物线的焦点在 x 的正半轴上 , 焦点坐标为 (p/2,0 准线方程为 x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴 , 故共有标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积 =4/3(pi (r^3面积 =(pi(r^2周长 =2(pir圆的标准方程 (x-a2+(y-b2=r2 注:(a,b 是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0(一椭圆周长计算公式椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb 加上四倍的该椭圆长半轴长(a 与短半轴长(b 的差。

(二椭圆面积计算公式椭圆面积公式: S=πab椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π乘该椭圆长半轴长(a 与短半轴长(b 的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率 T ,但这两个公式都是通过椭圆周率 T 推导演变而来。

常数为体,公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径 *短半径 *PAI*高三角函数:两角和公式sin(A+B=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B=(tanA+tanB/(1-tanAtanB tan(A-B=(tanA-tanB/(1+tanAtanBcot(A+B=(cotAcotB-1/(cotB+cotA cot(A-B=(cotAcotB+1/(cotB-cotA倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A cot2A=(cot2A-1/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n+sin(α+2π*2/n+sin(α+2π*3/n+…… +sin[α+2π*(n-1/n]=0 cosα+cos(α+2π/n+cos(α+2π*2/n+cos(α+2π*3/n+…… +cos[α+2π*(n-1/n]=0 以及sin^2(α+sin^2(α-2π/3+sin^2(α+2π/3=3/2tanAtanBtan(A+B+tanA+tanB-tan(A+B=0²万能公式:sinα=2tan(α/2/[1+tan^2(α/2]cosα=[1-tan^2(α/2]/[1+tan^2(α/2]tanα=2tan(α/2/[1-tan^2(α/2]半角公式sin(A/2=√ ((1-cosA/2 sin(A/2=-√ ((1-cosA/2cos(A/2=√ ((1+cosA/2 cos(A/2=-√ ((1+cosA/2tan(A/2=√ ((1-cosA/((1+cosA tan(A/2=-√ ((1-cosA/((1+cosAcot(A/2=√ ((1+cosA/((1-cosA cot(A/2=-√ ((1+cosA/((1-cosA和差化积2sinAcosB=sin(A+B+sin(A-B 2cosAsinB=sin(A+B-sin(A-B2cosAcosB=cos(A+B-sin(A-B -2sinAsinB=cos(A+B-cos(A-BsinA+sinB=2sin((A+B/2cos((A-B/2 cosA+cosB=2cos((A+B/2sin((A-B/2 tanA+tanB=sin(A+B/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B/sinAsinB某些数列前 n 项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+… +n=n(n+1/2 1+3+5+7+9+11+13+15+… +(2n-1=n22+4+6+8+10+12+14+… +(2n=n(n+1 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1(2n+1/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+… n^3=(n(n+1/2^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+… +n(n+1=n(n+1(n+2/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角乘法与因式分 a2-b2=(a+b(a-b a3+b3=(a+b(a2-ab+b2 a3-b3=(a-b(a2+ab+b2 三角不等式|a+b|≤ |a|+|b| |a-b|≤ |a|+|b| |a|≤ b<=>-b≤ a ≤ b|a-b|≥ |a|-|b| -|a|≤ a ≤ |a|一元二次方程的解 -b+√ (b2-4ac/2a -b-√ (b2-4ac/2a根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注:韦达定理判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根b2-4ac>0 注:方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程 (x-a2+(y-b2=r2 注:(a,b 是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c'h'圆台侧面积 S=1/2(c+c'l=pi(R+rl 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S'L 注:其中 ,S' 是直截面面积, L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长 =(长 +宽³2正方形的周长 =边长³4长方形的面积 =长³宽正方形的面积 =边长³边长三角形的面积已知三角形底 a ,高 h ,则 S =ah/2已知三角形三边 a,b,c, 半周长 p, 则S =√ [p(p - a(p - b(p - c] (海伦公式(p=(a+b+c/2和:(a+b+c*(a+b-c*1/4已知三角形两边 a,b, 这两边夹角 C ,则 S =absinC/2设三角形三边分别为 a 、 b 、 c ,内切圆半径为 r则三角形面积 =(a+b+cr/2设三角形三边分别为 a 、 b 、 c ,外接圆半径为 r则三角形面积 =abc/4r已知三角形三边 a 、 b 、 c, 则S =√ {1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2/2^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶| a b 1 |S△ =1/2 * | c d 1 || e f 1 |【 | a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式 , 此三角形 ABC 在平面直角坐标系内 A(a,b,B(c,d, C(e,f,这里 ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取,因为这样取得出的结果一般都为正值,如果不按这个规则取,可能会得到负值,但不要紧,只要取绝对值就可以了,不会影响三角形面积的大小! 】秦九韶三角形中线面积公式 :S=√ [(Ma+Mb+Mc*(Mb+Mc-Ma*(Mc+Ma-Mb*(Ma+Mb-Mc]/3其中 Ma,Mb,Mc 为三角形的中线长 .平行四边形的面积 =底³高梯形的面积 =(上底 +下底³高÷2直径 =半径³2 半径 =直径÷2圆的周长 =圆周率³直径 =圆周率³半径³2圆的面积 =圆周率³半径³半径长方体的表面积 =(长³宽 +长³高+宽³高³2长方体的体积 =长³宽³高正方体的表面积 =棱长³棱长³6正方体的体积 =棱长³棱长³棱长圆柱的侧面积 =底面圆的周长³高圆柱的表面积 =上下底面面积 +侧面积圆柱的体积 =底面积³高圆锥的体积 =底面积³高÷3长方体(正方体、圆柱体的体积 =底面积³高平面图形名称符号周长 C 和面积 S正方形 a—边长 C=4aS=a2长方形 a和 b -边长 C=2(a+bS=ab三角形 a,b,c-三边长h-a 边上的高s-周长的一半A,B,C-内角其中 s =(a+b+c/2 S=ah/2=ab/2?sinC=[s(s-a(s-b(s-c]1/2=a2sinBsinC/(2sinA1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行9 同位角相等,两直线平行10 内错角相等,两直线平行11 同旁内角互补,两直线平行12两直线平行,同位角相等13 两直线平行,内错角相等14 两直线平行,同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于 180°18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理 (sas 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理 ( asa有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论 (aas 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理 (sss 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理 (hl 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 (等角对等边35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理 3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于 360°49四边形的外角和等于 360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2³180°51推论任意多边的外角和等于 360°52平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理 2 矩形的对角线相等62矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积 =对角线乘积的一半,即 s=(a ³b ÷267菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理 2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等76 等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边 81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l ³h 83 (1比例的基本性质如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么a:b=c:d 84 (2合比性质如果 a／b=c／d,那么(a±b／b=(c±d／d 85 (3等比性质如果 a ／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0,那么(a+c+…+m／(b+d+… +n=a／b 86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例， 88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等，两三角形相似（asa） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas） 94 判定定理 3 三边对应成比例，两三角形相似（sss） 95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109 定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

（完整word版）高中数学公式一览表.docx公式分类乘法与因式分解集合三角不等式一元二次方程的解二次函数顶点坐标及开口方向根与系数的关系判别式三角函数公式高中所用重点公式汇总公式表达式2233223322a b(a b)( a b) a b(a b)(a ab b ) a b(a b)(a ab b )如果集合 A 有 n 个元素，则 A 的子集的个数为2n个，A的真子集的个数为2n1个；A 的非空真子集为2n 2 个。

如果 p q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。

若p、q 都为集合，则p q；若 p q，则p q。

|a+b| ≤|a|+|b||a- b| ≤|a|+|b||a| ≤b- b≤a≤b|a- b| ≥|a| -|b|- |a| ≤a≤|a|b b 24acx1, 22a二次函数y ax2bx c( a0) 顶点为 b , 4ac b2，对称轴xb； a 02a4a2a时，图像开口向上，a0 时，图像开口向下。

x1 x2=-b/a x1 ? x2=c/a注：韦达定理b24ac0注：方程有两个相等的实根b24ac0注：方程有两个不等的实根b24ac0注：方程有两个共轭复数根总口诀为：奇变偶不变，符号看象限。

其中“奇、偶”式指数“诱导公式奇偶；“符号”是把任意角看做锐角时，原函数值的符号。

k ?”（k Z ）中 k 的2sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 两角和公式tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2 tan Acot 2 A 1tan 2Acot 2A2 cot A倍角公式1 tan2 Acos2cos 2sin 22cos 21 12 sin 2半角公式和差化积三角函数值的最值1 cos Asin( A / 2)1 cos Asin( A / 2)221 cos Acos( A / 2) 1 cos Acos( A / 2)221 cos Atan( A / 2)1 cos Atan( A / 2)cos A1 cos A12sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB22bb 2, cosaa sinb cos a b sin()其中 sina2a 2b 2通向公式： a n a 1 (n 1) d 等差数列前 n 和： S nn(a 1 2 a n ) na 1n( n 1) dna n n( n 1) d22等差中： Aa b2通向公式： a na 1 q n1等比数列na 1.................................(q 1) 前 n 和： S na (1 q n ) a a q ........(q 1)1 1 q 1n1 q某些数列前 n 1+2+3+4+5+6+7+8+9+? +n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+? +(2n-1)= n 2项和2+4+6+8+10+12+? +（ 2n ） =n （ n+1）122 2 n 2 n(n 1)( 2n1) / 61323 33n 3n 2 (n 1)2 / 41 2 2 3 3 4n( n 1) n(n 1)(n 2) / 3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接半径余弦定理b 2a 2 c 22accosB注：角 B 是 a 和 c 的角向量基本公式特殊情况线段定比分点公式中点公式三角形重心公式圆的标准方程圆的一般方程椭圆的相关重点内容双曲线设a ( x1 , y1 )b (x2 , y2 )，为实数a b ( x1x2 , y1 y2 )a( x1 , y1 )a? b x1 x2y1 y2| a |x12y12a// b(x1 , y1 )( x2 , y2 )x1 y2x2 y10a b a? b x1x2y1 y20xx1x2点 P x, y的坐标为：1yy1y21xx1x22yy1y22xx1x2x33yy1y2y33(x a)2( y b)2r 2注：（ a,b ）是圆心坐标x2y2Dx Ey F0注： D 2 E 24F 01. 标准方程：x 2y2b0 ）2.准线： x2b21（其中 aca3. 离心率：ec( 0e1) 4.左焦距： a ex ；右焦距：a exa1. 标准方程：x2y21(0,0,222) 2.准线： x a2c a ba2b2a b c3. 离心率：ec(e1) 4.左焦距： | a ex| ；右焦距： | a ex | a5.通径： 2b26.渐近线： y b xa ax a sec7.参数方程：为参数y b tan1.标准方程： y 2= 2 px 2.准线： xp 3. 焦点： ( p,0)2p 4.焦半径： |PF|= x22抛物线2 p6. 焦点弦： |AB|= x 1 x 2 p 5. 通径长度：x 1x 2p 2 , y 1 y 2 p 24直棱柱侧面积圆柱侧面积S c ?h弧长公式l =a ? r锥体体积公式V1Sh3柱体体积公式V ShS c ?h （ c 为底面周长）圆锥侧面积S1c ?l （ l 为母线长）2a 是圆心角的弧度数 r >0扇形面积公式s= 1l ? r2圆锥体体积公式V = 1 r 2h3圆柱体V = r 2 h（ 1）正整数指数幂： a n a aa(nN * ) （ 2）零指数幂： a 01(a 0)（ 3）负整数指数幂： a n 1n (a 0,n N * )a指数幂的运算mnm1a m, an(a 0,)（ 4）分数指数幂： a n法则na m（ 5） a m a na m n ； a m a na m n（ 6） (a m ) na m?nnnnaa n（7）(a b)a b； ( ) n , (b 0)bb n设 a >0， a1 ， m 0, n 0 则①负数和零没有对数②log a 1 0 ，即 1 的对数恒等于零； log a a 1 ，即底数的对数恒等于 1对数性质及运算法则③ a logaNN④log a (m n) log a m log a n⑤log aM log a M log a NN⑥logan bmmlog a bn⑦log n blog a b， log a b ? log b a1 log n a 1.A m n(n1)( n2)( n m 1)(mn排列公式n!( m n)(n m)!2.A n n( n1)(n2) 3 2 1n1.m n!A n m(m n) Cn m!(n m)!A m m组合公式C n m C n n m(m n)2.3.C n m1 C n m C n m 1( m n)(a b) n C n0 a n C n1 a n 1b C n2a n 2b2二项式定理其中第 r 1 项为：T r 1C n r a n r b r1.C'02.3.(sin x)'cosx4.常用导数公式1log a e5.(log a x)'6.x7.( a x )' a x ln a8.1.(u v)' u'v'2.导数的运算( u)'u' v u v'3.（ v0 ）4.v v2公式口诀：一、《集合与函数》n)C n n b n( x n )' n x n 1( x Q)(cos x)'sin x(e x )' e x(ln x)'1xu v 'u' v u v'复合函数的导数：y x y u ' u x '内容子交并补集，还有幂指对函数。

高中数学必备的289个公式 第1章集合、命题、不等式、复数1. 有限集合子集个数: 子集个数: 2n 个,真子集个数: 2n ⋅1 个2. 集合里面重要结论:(1) A ∩B =A ⇒A ⊆B ; (2) A ∪B =A ⇒B ⊆A ; (3) A ⇒B ⇔A ⊆B ; (4) A ⇔B ⇔A =B .3. 同时满足求交集, 分类讨论求并集.4. 集合元素个数公式: n (A ∪B )=n (A )+n (B )−n (A ∩B ) .5. 常见的数集: Z : 整数集; R : 实数集; Q : 有理数集; N : 自然数集; C : 复数集; 其中正整数集: Z ∗=N ∗={1,2,3,⋯⋯} .6. 均值不等式: 若 a,b >0 时,则 a +b ≥2√ab ; 若 a,b <0 时,则 a +b ≤−2√ab .7. 均值不等式变形形式: a +b ≥2√ab (a,b ∈R );b a +a b ≥2(ab >0);b a +ab ≤−2(ab <0) .8. 积定和最小: 若 ab =p (p >0) 时,则 a +b ≥2√ab =2√p . 9. 和定积最大: 若 a +b =k 时,则 ab ≤(a+b )24=k 24.10. 基本不等式: 21a +1b≤√ab ≤a+b 2≤√a 2+b 22当且仅当 a =b 时取等号.11. 一元二次不等式的解法: 大于取两边, 小于取中间. 12. 含参数一元二次不等式讨论步骤: (1) 二次项系数 a ; (2) 判别式 Δ ;(3) 两根 x 1,x 2 大小比较;(4) x 1,x 2 与定义域的端点值作比较 (常用韦达定理).13. 一元二次不等式恒成立: (1) 若 ax 2+bx +c >0 恒成立 ⇔{a >0Δ<0(2) 若 ax 2+bx +c ≤0 恒成立 ⇔{a <0Δ≤0.14. 任意性问题: (1)∀x∈I,a>f(x)⇒a>f(x)max ; (2)∀x∈I,a≤f(x)⇒a≤f(x)min .15. 存在性问题: (1) ∃x∈I,a>f(x)⇒a>f(x)min;(2)∃x∈I,a>f(x)⇒a>f(x)min .16. 不等式相同性: 任意x∈D ,证明: f(x)>g(x)⇔ℎ(x)=f(x)−g(x)>0⇔ℎ(x)min>0 ;存在x∈D ,证明: f(x)≤g(x)⇔ℎ(x)=f(x)−g(x)≤0⇔ℎ(x)min≤0 .17. 不等式相异性: 任意x1、x2∈D ,证明: f(x1)<g(x2)⇔x∈D,f(x)max<g(x)min ;存在x1、x2∈D ,证明: f(x1)>g(x2)⇔x∈D,f(x)max>g(x)min .18. 距离型目标函数: d=√(x−a)2+(y−b)2可行域内的点(x,y)到定点(a,b)的距离.19. 斜率型目标函数: k=y−bx−a可行域内的点(x,y)到定点(a,b)的斜率.20. 线性型目标函数: z=ax+by过可行域内的点(x,y)且体率为−ab 截距为zb的直线.21. p是q充分不必要条件: p⇒q,q≠p ; 则集合关系是: p⊆q .22. p是q必要不充分条件: q⇒p,p⇏q ; 则集合关系是: q⊆p .23. p是q既不充分也不必要条件: p⇏q,q⇏p ; 则集合关系是: p、q无包含关系.24. p是q充要条件: p⇒q,q⇒p ; 则集合关系是: p=q .25. 全称命题及否定形式: P:∀x∈M,p(x);¬P:∃x0∈M,¬p(x0) .26. 特称命题及否定形式: P:∃x0∈M,p(x0);¬P:∀x∈M,¬p(x) .27. 命题否定形式的书写方法: 任意变存在, 存在变任意, 条件不变, 结论否定.28. 共轭复数: z‾=a−bi : (共轭复数与本身的复数实部相同,虚部互为相反数);共轭复数的性质: z×z‾=a2+b2 .29. 复数模长: |z|=|a+bi|=√a2+b2 .30. 复数的除法: z1z2=1⋅z2z⋅z(分子、分母同乘分母的共轭复数).第2章函数31. 几个近似值: √2≈1.414,√3≈1.732,√5≈2.236 ,π≈3.142,e ≈2.718,e 2≈7.389, ln3≈1.0986,ln2≈0.693.32. 指数公式: (1)a n m=√a n m; (2)√a n n={|a |,n 为偶数a,n 为奇数.33. 对数公式:(1) a x =N ⇔x =log a N ; (2) a log a N =N ;(3) log a (MN )=log a M +log a N ; (4) log a (MN )=log a M −log a N ; (5) log a M n =nlog a M ; (6) log a a n =n ; (7) log a a =1 ; (8) log a 1=0 ;(9) log a m b n =n m log a b ; (10)log a b =log c blog ca ;(11) log a b =1log ba ; (12) log ab ⋅log bc ⋅log c a =1 .34. 函数定义域的求法: (1) 分式的分母 ≠0 ; (2) 偶次方根的被开方数 ≥0 ; (3) 对数函数的真数 >0 ; (4) 0 次幂的底数 ≠0 ;(5) 正切函数的自变量 x ≠π2+kπ(k ∈Z ) ; (6) 满足几个条件时列不等式组求交集.35. 增函数的标志: (1) 任意 x 1<x 2⇔f (x 1)<f (x 2) ; (2) 导函数 f ′(x )≥0 ; (3)f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0 .36. 减函数的标志: (1) 任意 x 1<x 2⇔f (x 1)>f (x 2) ; (2) 导函数 f ′(x )≤0 ; (3)f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0 .37. 单调性的快速法: (1) 增 + 增 → 增,增 - 减 → 增; (2) 减 + 减 → 减,减 - 增 → 减; (3) 乘正加常, 单调不变; (4) 乘负取倒, 单调改变.38. 奇偶性的快速法: (1) 奇±奇→奇; 偶±偶→偶;(2) 奇×(÷)奇→偶; 偶×(÷)偶→偶; 奇×(÷)偶→奇.39. 常见的奇函数: y=kx,y=kx,y=sinx,y=tanx,y=x奇数,y=±(e x−e−x);y=ln(√x2+1−x) .40. 常见的偶函数: y=c,y=x2,y=cosx,y=x偶数,y=e x+e−x,y=f(|x|) .41. 函数的周期性: ∀x∈D⇒f(x+T)=f(x) ,则称f(x)为周期函数,其中T为函数的一个周期.42. 周期性标志: (1)f(x+a)=f(x+b)⇒T=|a−b| ;(2) f(x+a)=−f(x)⇒T=2a ;(3) f(x+a)=±1f(x)⇒T=2a43. 对称轴标志: f(x+a)=−f(b−x)⇒对称中心为(a+b2,0) ;如常见的对称中心有: f(x+a)=−f(a−x)⇒对称中心为(a,0);f(x+1)=−f(1−x)⇒对称中心为(1,0) .44. 奇函数的周期性是对称轴的 4 倍: 以y=sinx为例.45. 偶函数的周期性是对称轴的 2 倍: 以y=cosx为例.46. 函数图像平移规则: 横向: 左加右减; 纵向: 上加下减.47. 函数图像翻折变换:f(|x|) : 偶函数, y轴右边图象不变, y轴左边图象由右边图象翻折得到 (偶函数,右不变,右翻左);|f(x)|:x轴上方图象不变, x轴下方图象由上方图象翻折得到 (上不变,下翻上).48. 函数图像伸缩变换: f(wx) : 纵不变,横为原来的1w 倍; Af(x) : 横不变,纵为原来的A倍;49. 零点存在性定理: 函数y=f(x)在区间(a,b)有零点⇔(1)函数y=f(x)在区间(a,b)连续;⇔(2)f(a)f(b)<0.50. 解与零点的关系: 方程f(x)=0的解⇔函数y=f(x)的解.51. 零点与交点的关系: 函数y=f(x)−g(x)的零点个数:⇔方程f(x)−g(x)=0的解的个数;⇔方程f(x)=g(x)的解的个数;⇔函数y1=f(x),y2=g(x)图象交点的个数.注意: 两个函数y1=f(x),y2=g(x)图象可画,两函数为常见函数.52. 常函数的导数: f(x)=C ,则f′(x)=0 ;53. 幂函数的导数: f(x)=xα(α∈Q) ,则f′(x)=αxα−1 ;54. 正弦函数的导数: f(x)=sinx ,则f′(x)=cosx ;55. 余弦函数的导数: f(x)=cosx ,则f′(x)=−sinx ;56. 指数函数的导数: f(x)=a x ,则f′(x)=a x lnx (特别地f(x)=e x ,则f′(x)=e x );57. 对数函数的导数: f(x)=log a x ,则f′(x)=1xlna (特别地f(x)=lnx ,则f′(x)=1x);58. 和差求导数法则: [f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x) ;59. 乘法求导数法则: [f(x)⋅g(x)]′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x) ;60. 商的求导数法则: [f(x)g(x)]′=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)[g(x)]2.61. 复合函数求导数法则: 若y=f[g(x)] ,令t=g(x) ,则y=f(t)⇒y′=f′(t)t′= f′[g(x)]⋅g′(x) .62. 切线l的方程: y−f(x0)=f′(x0)(x−x0) ,其中切点: P(x0,y0) ; 斜率: k=f′(x0) .63. 切点的三大性质:(1) 切点的斜率等于该点的导函数值; 即k=f′(x0) ;(2) 切点在曲线y=f(x)上;(3) 切点在切线l上.64. 常见的不定积分表:65. 积分的性质:(1) ∫kf (x )dx =k∫f (x )dx(2) ∫[f (x )+g (x )]dx =∫f (x )dx +∫g (x )dx . 66. 积分的几何意义: 面积就是积分值.定义在 [a,b ] 上的函数 f (x ) 与 x 轴, x =a,x =b,y =f (x ) 构成曲边梯形的面积就为 f (x ) 在 [a,b ] 的定积分值.S =∫f ba (x )dx67. 求积分的三种思路: (1) 牛莱公式 (牛顿 - 莱布尼兹公式); (2) 奇偶性质; (3) 转圆求面积.68. 奇偶函数求积分: (1) 奇函数对称区间上积分为 0 ; (2) 偶函数对称区间上积分为 [0,a ] 的 2 倍.69. 转圆求积分: (1) ∫√a 2−x 2a−a dx =12πa 2 (半圆); (2) ∫√42−x 220dx =14π22=π (四分之一圆).70. 牛顿 - 莱布尼兹公式: ∫f ba (x )dx =F (x )|ab =F (b )−F (a ) . 其作用: 计算曲边梯形的面积.71. 函数有零点: f (x )max ≥0 且 f (x )min ≤0⇔{f (x )min ≤0f (x )max ≥0 .72. 函数无零点: f (x )max ≤0 或 f (x )min ≥0 .73. 抽象函数具体化: 若构造一个具体的特殊函数满足所有的已知条件, 那么这个具体函数一定是符合所求问题的一个函数.74. 抽象函数对数型: 若 f (xy )=f (x )+f (y ) ,则 f (x )=log a x . 75. 抽象函数指数型: 若 f (x +y )=f (x )f (y ) ,则 f (x )=a x . 76. 抽象函数正比型: 若 f (x +y )=f (x )+f (y ) ,则 f (x )=kx . 77. 抽象函数一次型: 若 f ′(x )=c ,则 f (x )=cx +b .78. 抽象函数导数型: 若 f ′(x )=f (x ) ,则 f (x )=ke x 或 f (x )=0 . 79. 指数不等式: e x ≥x +1 (当且仅当 x =0 时 “ = ” 成立). 80. 对数不等式: lnx ≤x −1 (当且仅当 x =1 时 “ = ” 成立).81. 指对综合不等式: {e x ≥x +1lnx ≤x −1⇒ln (x +1)≤x ≤e x −1 (当且仅当 x =0 时 “ = ”成立).82. 绝对值不等式: |a |−|b |≤|a ±b |≤|a |+|b | .83. 函数绝对值不等式: |f (x 1)−f (x 2)|≤a ⇔f (x )max −f (x )min ≤a .84. 柯西不等式: (1) 向量模型: |a ⃗||b ⃗⃗|≥|a ⃗⋅b ⃗⃗| ; (2) 数字模型: √x 12+y 12√x 22+y 22≥x 1x 2+y 1y 2 .85. 伯努利不等式: {(1+x )n ≥x n +nx;n ≥1(1+x )n ≤1+nx;0≤n ≤186. 洛必达法则: lim x→af (x )g (x )=lim x→af ′(x )g ′(x ) (当 f (x )g (x )→00 或 ∞∞ 时使用)87. 恒成立问题: (1)a ≥f (x )⇔a ≥f (x )max ;(2)a <f (x )⇔a <f (x )min 88. 证明 f (x )>g (x ) 思路: 思路 1:ℎ(x )=f (x )−g (x )⇔ℎ(x )>0 (常规首选方法) 思路 2:f (x )min >g (x )max (思路 1 无法完成)第3章数列89. 等差数列通项公式: a n =a 1+(n −1)d =kn +b (一次函数模型) 90. 等差数列前 n 项和公式: S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n−1)2d =An 2+Bn (二次函数模型)91. 等比数列通项公式: a n =a 1q n−1 92. 等比数列前 n 项和公式: S n =a 1(1−q n )1−q=a 1−a n q 1−q=A −Aq n93. 等差数列的性质: 若 m +n =p +q ,则 a m +a n =a p +a q 94. 等比数列的性质: 若 m +n =p +q ,则 a m a n =a p a q 95. 等差中项: 若 a,A,b 成等差数列,则 2A =a +b 96. 等比中项: 若 a,G,b 成等比数列,则 G 2=ab97. 裂项相消法 1: 若 1n (n+1)=1n −1n+1 ,则有 Tn =1−1n+1=nn+198. 裂项相消法 2: 若 1n (n+2)=12(1n −1n+2) ,则有 Tn =12(1+12−1n+1−1n+2)=3n 2+5n4(n+1)(n+2)99. 裂项相消法 3: 若 1an+1a n=1d (1a n−1an+1) ,则有 T n =1d (1a 1−1an+1)100. 裂项相消法 4: 若 1(2n+1)(2n−1)=12(12n−1−12n+1) ,则有 T n =12(1−12n+1) 101. 分组求和法: S n =(1+12)+(3+14)+(5+16)+⋯⋯+[(2n −1)+12n ]=(1+3+⋯⋯+2n −1)+(12+14+16+⋯⋯+12n )102. 错位相减法求和通式: 当 c n =a n ⋅b n (a n 与 b n 其中一个是等差数列一个是等比数列) 时,使用错位相减法,此时T n =a 1b 11−q +dp (b 1−b n )(1−q )2−a n b n q1−q103. 自然数的平方和: 12+22+32+⋯⋯+n 2=n (n+1)(2n+1)6104. 自然数立方和: 13+23+33+⋯⋯+n 3=n 2(n+1)24105. 去 S n 留 a n 思想: S n =f (a n )⇒{S n =f (a n )S n+1=f (a n+1)⇒a n+1=f (a n+1)−f (a n )106. 去 a n 留 S n 思想: a n =f (S n )⇒a n+1=S n+1−S n ⇒S n+1−S n =f (S n )第4章三角函数107. 三角函数的定义: 正弦: sinα=yr ; 余弦: cosα=xr ; 正切: tanα=yx ; 其中: r =√x 2+y 2 .108. 诱导公式: π 倍加减名不变,符号只需看象限; 半 π 加减名要变,符号还是看象限 109. 和差公式: (1)sin (α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ ( 伞科科伞,符号不反 ) (2) cos (α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ ( 科科伞伞,符号相反 ); (3) tan (α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ (上同下相反). 110. 二倍角公式: (1)sin2α=2sinαcosα ;(2) cos2α=cos2α−sin2α=1−2sin2α=2cos2α−1 ;(3) tan2α=2tanα1−tan2α.111. 平方关系: (1)sin2α+cos2α=1 ; (2)(sinα±cosα)2=1±sin2α .112. 降幂公式: (1) sinαcosα=sin2α2 ; (2) sin2α=1−cos2α2; (3) cos2α=1+cos2α2.113. 齐次式求值: (1) sinα+2cosα3sinα−cosα=tanα+23tanα−1; (2) sinαcosα=sinαcosαsin2α+cos2α=tanαtan2α+1.114. 辅助角公式: asinwx+bcoswx=√a2+b2sin(wx±φ) . (tanφ=ba,a,b>0) .115. 三角函数不等式: sinx≤x≤tanx在x∈(0,π2)时恒成立.116. y=sinx单调性: 增区间: [−π2+2kπ,π2+2kπ] ; 减区间: [π2+2kπ,3π2+2kπ](k∈Z) .117. y=cosx单调性: 增区间: [−π+2kπ,2kπ] ; 减区间: [2kπ,π+2kπ](k∈Z) .118. y=tanx单调性: 增区间: (−π2+kπ,π2+kπ)(k∈Z) .119. 对称轴方程: (1)y=sinx对称轴方程: x=π2+kπ(k∈Z) ; (2)y=cosx对称轴方程: x=kπ(k∈Z) .120. 对称中心: (1)y=sinx的对称中心: (kπ,0)(k∈Z) ;(2) y=cosx的对称中心: (π2+kπ,0)(k∈Z) ;(3) y=tanx的对称中心: (kπ2,0)(k∈Z) .121. 周期性: (1) y=sinwx的周期: T=2πw ; (2) y=coswx的周期: T=2πw; (3) y=tanwx的周期: T=πw.122. 正弦定理: asinA =bsinB=csinC=2R123. 余弦定理: (1)cosA=b2+c2−a22bc⇔a2=b2+c2−2bccosA ;(2) cosB=a2+c2−b22ac⇔b2=a2+c2−2accosB ;(3) cosC=a2+b2−c22ab⇔c2=a2+b2−2abcosC .124. 射影定理: acosB+bcosA=c,acosC+ccosA=b,bcosC+ccosB=a . 125. 边大角大思想: 大角对大边,大边对大角. a>b⇔sinA>sinB⇔A>B .126. 边变角思想:(1) 根据正弦定理: a =2RsinA,b =2RsinB,c =2RsinC ; (2) “ = ”两边为边、角 (正弦) 同次式; (3) 正余弦的混合组. 127. 角变边思想:(1) 根据正弦定理: sinA =a2R ,sinB =b2R ,sinC =c2R ; (2) “ = ”两边为边、角 (正弦) 同次式; (3) 只有一个余弦 (cos).128. 正弦定理使用情况: 已知条件为: AAS 、ASA 、边角同次式、角多用正弦. 129. 余弦定理使用情况: 已知条件为: SSS 、SAS 、边的二次式、边多用余弦. 130. 三角形两角和关系: sin (A +B )=sinC;cos (A +B )=−cosC;tan (A +B )=−tanC .131. 正弦值双相等: 若 sinA =sinB ⇒A =B ⇒ 等腰三角形. 132. 正余弦值相等: sinA =cosB ⇔A +B =π2⇒ 直角三角形;⇔A −B =π2⇒A =π2+B >π2⇒钝角三角形.133. 余弦值双相等: cosA =cosB ⇔A =B ⇒ 等腰三角形. 134. 二倍正弦值相等: sin2A =sin2B ⇔2A =2B ⇒ 等腰三角形;⇔2A +2B =π⇒A +B =π2⇒直角三角形.135. 余弦值正负号: cosA >0⇔ 锐角三角形; cosA =0⇔ 直角三角形; cosA <0⇔ 钝角三角形.136. 三角形最值原理: 三角形中一个角及其对边已知时, 另外两边或两角相等时周长取得最小值, 面积取得最大值.第5章向量137. 向量加法的作图: 上起下终,中间消去: AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 138. 向量减法的作图: 起点相同,倒回来读: AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .139. 向量平行的判定: (1) 向量法: a ⃗//b ⃗⃗⇔b ⃗⃗=λa ⃗ ; (2) 向量法: a ⃗//b⃗⃗⇔x 1y 2−x 2y 1=0 .140. 向量垂直的判定: (1) 向量法: a ⃗⊥b ⃗⃗⇔a ⃗⋅b ⃗⃗=0 ; (2) 坐标法: a ⃗⊥b⃗⃗⇔x 1x 2+y 1y 2=0 .141. 向量的数量积公式: (1) 向量法: a ⃗⋅b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ ;(2) 坐标法: a ⃗⋅b⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2 .142. 向量的模长公式: (1) 向量法: |a ⃗+2b ⃗⃗|=√(a ⃗+2b⃗⃗)2(先平方,再开方); (2) 坐标法: |a ⃗|=√x 12+y 12.143. 向量的投影: (1) a ⃗ 与 b ⃗⃗ 方向的投影: |a ⃗|cosθ=a⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗| ; (2) b ⃗⃗ 与 a ⃗ 方向的投影: |b ⃗⃗|cosθ=a ⃗⃗⋅b⃗⃗|a ⃗⃗|. 144. 向量的夹角公式: (1) 向量法: cosθ=a⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗|⋅|b ⃗⃗| ; (2) 坐标法: cosθ=1212√x 1+y 1⋅√x 2+y 2145. a ⃗ 方向上的单位向量: (1) 向量法: e ⃗⃗=a ⃗⃗|a ⃗⃗| ; (2) 坐标法: e ⃗⃗=a⃗⃗|a ⃗⃗|=(1√x 1+y 11√x 1+y 1) .146. 证明 A.B.C 三点共线两种方法: (1) 两个向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线且有一个公共点 A ; (2) PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=xPB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+yPC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(x +y =1) . 第6章立体几何147. 线线平行三方法:(1) 线面平行的性质: 一条直线和一个平面平行, 过这条直线的平面和已知平面相交的交线和已知直线平行;(2) 面面平行的性质: 第三个平面与两个平行平面相交, 则两条交线平行; (3) 线面垂直的性质: 垂直于同一平面的两条直线互相平行.148. 线线垂直两方法: 线面垂直的性质: 一条直线垂直一个平面, 这条直线垂直这个平面内的所有直线. 149. 线面平行两方法:(1) 线面平行的判定: 线线平行 ⇒ 线面平行 (一内一外一平行);(2) 面面平行的性质: 两个平面平行, 一个平面内任意直线平行第二个平面. 150. 面面平行两方法:(1) 面面平行的判定: 线面平行 ⇒ 面面平行 (两内一交两平行);(2) 面面平行的推论: 两个平面内两组相交直线分别对应平行, 则这两个平面平行. 151. 线面垂直两方法:(1) 线面垂直的判定: 线线垂直 ⇒ 线面平行 (两内一交两垂直);(2) 面面垂直的性质: 两个平面垂直, 一个平面内垂直于交线的直线必垂直第二个平面.152. 面面垂直一方法:(1) 面面垂直的定义: 两个平面的二面角为 90∘ ;(2) 面面垂直的判定: 线面垂直 ⇒ 线面平行 (一内一垂直) 153. 证明四点共面三方法: (1) 两平行条线确定一个平面; (2) 两条相交直线确定一个平面; (3) 直线及直线外一点确定一个平面.154. 证明三点共线原理: 两个平面有一个公共点, 那么两个平面有且仅有一条过该点的直线.155. 证明三点共线方法:(1) A 分别属于两个平面 a,β:A ∈a,A ∈β ; (2) B,C 在平面 α,β 的交线 l 上: a ∩β=l,B,C ∈l ; (3) A ∈l 即: A,B,C ∈l . 即 A,B,C 三点共线.156. 法向量行列式公式: m ⃗⃗⃗=(|y 1z 1y 2z 2|,−|x 1z 1x 2z 2|,|x 1y 1x 2y 2|) . 其中 |abc d|=ad −bc . 157. 线线角向量法公式: cosθ=|a ⃗⃗⋅b⃗⃗||a ⃗⃗|⋅|b⃗⃗| ,其中 θ∈(0,π2] .158. 线面角: (1) 向量法公式: sinθ=|a ⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗||a ⃗⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗| ; (2) 几何法公式: sinθ=ℎx a其中 θ∈[0,π2] .159. 二面角: (1) 向量法公式: cosθ=±|n ⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗| ; (2) 几何法公式: cosθ=S 射影S原图; 其中θ∈(0,π] .160. 点面距: (1) 向量法公式: ℎx =|m ⃗⃗⃗⃗⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗|; (2) 几何法公式: ℎx =S 1ℎ1S 2.161. 不定点设法: (1)P 在线段 AB 上: AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(t ∈[0,1]) ; (2)P 在直线 AB 上: AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=tAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(t ∈R ) . 162. 多面体的内切球半径: r =3VS表=3VS1+S 2+⋯⋯+S n.163. 长方体的外接球半径: 2R =√a 2+b 2+c 2 . 164. 直棱锥的外接球半径: {R 2=r 2+(ℎ2)22r =asinA(直棱柱,圆柱也满足).165. 正棱锥的外接球半径: {R 2=r 2+(ℎ−R )22r =a sinA (正四面体,圆锥也满足). 166. 正三角形的性质: 高: ℎ=√32a ,面积: S =√34a 2 . 167. 正三角形与圆: 内切圆半径: r =√36a ,外接圆半径: R =√33a ,且 R r=21 .168. 正四面体的高: 斜高: ℎ斜 =√32a ,正高: ℎ正 =√63a . 169. 正四面体与球: 内切球半径 r ,外接球半径 R ,且 Rr =31 且 r +R =ℎ正 .第7章解析几何170. 圆的定义: 若 AB 为定长, PA ⊥PB ,则 P 的轨迹为以 AB 为直径的圆.171. 椭圆的定义: 若 |PF 1|+|PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|) ,则 P 的轨迹为以 F 1F 2 为焦点, 2a 为长轴的椭圆.172. 双曲线的定义: 若 ∥PF 1∥−|PF 2|=2a (2a <|F 1F 2|) ,则 P 的轨迹为以 F 1F 2 为焦点, 2a 为实轴的双曲线.173. 抛物线的定义: 到定点F(p2,0)和到定直线: x=−p2的距离相等的点P的轨迹为抛物线.174. 求曲线方程常见的方法: (1) 直接法; (2) 代入法; (3) 定义法; (4) 待定系数法. 175. 直线的斜率存在时可设方程: y=kx+b ; 直线过y轴上点为B(0,b)且不垂直于x轴.176. 不需讨论斜率是否存在可直接设直线方程: x=my+a ; 直线过x轴上点为A(a,0)且不平行于x轴.177. 直线平行: l1//l2⇔k1=k2(b1≠b2) ; 或A1B2−A2B1=0 .178. 直线垂直: l1⊥l2⇔k1k2=−1 ; 或A1A2+B1B2=0 .179. 点到点的距离公式: |AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2 .180. 点到直线的距离公式: d=00√A2+B2.181. 平行直线与平行直线之间的距离公式: d=12√A2+B2.182. 直线方程:(1) 斜截式: y=kx+b ; (2) 点斜式: −y0=k(x−x0) ; (3) 截距式: xa +yb=1 ;(4) 两点式: y−y1y2−y1=x−x1x2−x1(x1≠x2,y1≠y2) ; (5) 一般式: Ax+By+C=0 .183. 平行直线系方程: 原直线方程为Ax+By+C=0 ;平行直线可设为: Ax+By+λ=0(λ≠C)(A,B相同,C不相同) . 184. 垂直直线系方程: 原直线方程为Ax+By+C=0 ;垂直直线可设为: Bx−Ay+λ=0(A,B互换,符号变反).185. 交点直线系方程: A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 .186. 直线一般式与斜截式的互换: k=−AB ,b=−CB.187. 直线的斜率公式: k=tanα,k=y2−y1x2−x1.188. 斜率取值范围确定: 过定点,作垂线; 有交点,两k外; 无交点,两k间. 189. 圆与圆的位置关系:(1) 相离: 公切线条数 4 条, d>R+r ; (2) 外切: 公切线条数 3 条, d=R+r ;(3) 相交: 公切线条数 2 条, R −r <d <R +r ; (4) 内切: 公切线条数 1 条, d =R −r ;(5) 内含: 无公切线, 0≤d <R −r .190. 通用弦长公式: l =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2,l =√(1+1k 2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2] .191. 圆的弦长公式: l =2√r 2−d 2 .192. 圆的切线长公式: 圆外一点 P 引圆的切线,其中一个切点为 C,|PC |=√|PO|2−r 2 .193. 椭圆的离心率公式: e =c a=√1−b 2a 2∈(0,1) .194. 双曲线的离心率公式: e =ca=√1+b 2a 2=√1+k 渐2∈(1,+∞) . 195. 离心率范围: (1) 椭圆 e ∈(0,1) ; (2) 双曲线 e ∈(1,+∞) ; (3) 抛物线 e =1 . 196. 双曲线的渐近线方程: y =±ba x . 197. 双曲线的焦渐距为:b (虚半轴). 198. 通径公式 2t:(1) 椭圆、双曲线: 2t =2b 2a 2; (2) 抛物线: 2t =2p .199. 焦半径公式 (带坐标): 圆锥曲线上点 M (x 0,y 0) 到焦点 F 的距离:(1) 椭圆中: |MF |=a ±ex 0 ; (2) 双曲线: |MF |=ex 0±a ; (3) 抛物线: |MF |=x 0+p 2. 200. 焦半径公式 (倾斜角): t(1±ecosα)(1) 椭圆中: b 2a (1±ecosα) ; (2) 双曲线: b 2a (1±ecosα) ; (3) 抛物线: p1±cosα .201. 焦点弦公式 (倾斜角): 2t(1−e 2cos 2α)(t: 半通径; α : 焦点弦倾斜角; e : 离心率) (1) 椭圆中: 2b 2a (1−e 2cos 2α) ; (2) 双曲线: 2b 2|a (1−e 2cos 2α)| ; (3) 抛物线: 2psin 2α .202. 切线方程: (1) 椭圆: x 0xa 2+y 0yb 2=1 ; (2) 双曲线: x 0xa 2−y 0y b 2=1 ; (3) 抛物线: y 0y =p (x 0+x ) .203. 抛物线的焦点弦长: l =x 1+x 2+p =k 2p+2p k 2+p =2k 2p+2pk 2=2k 2+2k 2p =2psin 2α .204. 焦点三角形面积: (1) 椭圆中: S △F 1MF 2=b 2tan θ2 ; (2) 双曲线: S △F 1MF 2=b 2cot θ2 ; (3) 通用面积: S △F 1MF 2=12d 1d 2sinθ . 205. 过圆锥曲线焦点的直线的倾斜角公式:(1) 椭圆中过焦点的直线的倾斜角公式: λ=|AF 1||BF 1|,|ecosθ|=|λ−1λ+1| .(2) 双曲线中过焦点的直线的倾斜角公式: λ=|AF 1||BF 1|,|ecosθ|=|λ−1λ+1|(A 、B 在同一支上时);λ=|AF 1||BF 1|,|ecosθ|=|λ+1λ−1|(A 、B 分别在两支上时). (3) 抛物线中过焦点的直线的倾斜角公式: λ=|AF ||BF |,|cosθ|=|λ−1λ+1| . 206. 抛物线焦点弦圆: 以抛物线焦点弦为直径的圆必与准线相切. 207. 抛物线焦点弦性质: 1|AF |+1|BF |=2p . 208. 抛物线焦点直线的韦达定理: {y =k (x −p2)y 2=2px,x 1x 2=p 24,x 1+x 2=k 2+2k 2p,y 1y 2=−p 2,y 1+y 2=2p k.209. 点差法的斜率公式: k 椭 =−b 2x 0a 2y 0,k 双 =b 2x 0a 2y 0,k 抛 =py 0.210. 解析几何中的向量问题: OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 1+x 2,y 1+y 2) . 211. 向量与夹角问题:(1) ∠AOB 钝角 ⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗<0 ,(注意排除夹角为 180∘ 时两向量的数量积也是小于 0 的);(2) ∠AOB 锐角 ⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗>0 ,(注意排除夹角为 0∘ 时两向量的数量积也是大于 0 的);(3) ∠AOB 直角 (OA ⊥OB )⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 . 212. 向量与圆的问题: P 与以 AB 为直径的圆的位置关系: (1) P 在圆内: ∠APB 钝角或 P 在 AB 之间时 ⇔PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗<0 ;(2) P 在圆上: ∠APB 直角 ⇔PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0 ; (3) P 在圆外: ∠APB 锐角 ⇔PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗>0 . 213. 坐标轴平分角问题: k 1=−k 2⇔k 1+k 2=0 .214. 定点与定值问题: 特殊位置, 锁定答案; 设而不求, 再作验证; 215. 均值思想:当两个正数变量的和或积为定值时求另一个量的最值, 当这两个正数变量相等时, 则所求变量取得最值.第8章概率统计216. 简单随机抽样: 随机数表法、抽签法 (抓阄法).217. 系统抽样: 按等差数列通项抽取,其中第 i 个编号为 a i =a 1+(i −1)d . 218. 分层抽样: 按比例抽取 n N =n 1N 1=n 2N 2=n3N 3=⋯⋯ .219. 频率分布直方图的频率 = 小矩形面积: f i =S i =y i ×d =ni N ; 频率 = 频数 / 总数.220. 频率分布直方图的频率之和: f 1+f 2+⋯⋯+f n =1 ; 同时 S 1+S 2+⋯⋯+S n =1 .221. 频率分布直方图的众数: 最高小矩形底边的中点. 222. 频率分布直方图的平均数:x ―=x 441f 1+x 4⋅2f 2+x 443f 3+⋯⋯+x 4⋅n f n ; x―=x 4⋅1S 1+x 4⋅2S 2+x 4⋅3S 3+⋯⋯+x 4⋅n S n .223. 频率分布直方图的中位数: 从左到右或者从右到左累加,面积等于 0.5 时 x 的值. 224. 频率分布直方图的方差: s 2=(x +1−x ‾)2f 1+(x +2−x ‾)2f 2+⋯⋯+(x +n n −x ‾)2f n .225. 线性回归方程: y ̂=b ̂x +a ̂,b ̂=∑(x i −x ‾)ni=1(y i −y ‾)∑(x i−x ‾)2n i=1=∑x i ni=1y i −nx ‾⋅y ‾∑x i2n i=1−nx ‾2,a ̂=y ‾−b ̂x ‾ . 226. 线性回归直线方程必过样本中心点: (x ‾,y ‾) . 227. 斜率 b̂ 的意义: b ̂>0 : 正相关; b ̂<0 : 负相关. 228. 残差: êi =y i −y ̂i (残差 = 真实值 - 预报值),分析: |êi | 越小拟合效果越好.229. 残差平方和: ∑(y i −y ̂i )2n i=1=(y 1−y ̂1)2+(y 2−y ̂2)2+⋯⋯+(y n −y ̂n )2 ,分析: 越小拟合效果越好.230. 拟合度 (相关指数): R 2=1−∑(y i −y ̂i )2n i=1∑(y i −y‾)2n i=1 ,分析: (1)R 2∈(0,1];(2)R 2 越接近 1,拟合效果越好. 231. 线性相关系数 r :r =∑()n i=1()√∑(x i −x ‾)2n i=1∑(y i −y ‾)2n i=1=∑(x y −x y‾−x ‾y +x ‾⋅y ‾)n √∑(x i 2−2x i ⋅x ‾+x ‾2)n i=1∑(y i 2−2y i ⋅y‾+y ‾2)n i=1=∑x i n i=1y i −(x 1+x 2+⋯⋯+x n )y 1+y 2+⋯⋯+y n n −x 1+x 2+⋯⋯+x nn(y 1+y 2+⋯⋯+y n )+√[∑x i 2n i=1−2n x 1+x 2+⋯⋯+x n n ⋅x +nx 2][∑y i 2n i=1−2n y 1+y 2+⋯⋯+y n n⋅y +ny 2]=∑x i n i=1y i −n(x 1+x 2+⋯⋯+x n )n ×y 1+y 2+⋯⋯+y n n −x 1+x 2+⋯⋯+x n n ×(y 1+y 2+⋯⋯+n√[∑x i 2n i=1−2nx ⋅x +nx 2][∑y i 2n i=1−2ny ⋅y +ny 2]=∑x n y −nx‾⋅y ‾−nx ‾⋅y ‾+nx ‾⋅y ‾√(∑x i 2n i=1−nx ‾2)(∑y i 2n i=1−ny‾2)=∑x n y −nx‾⋅y ‾√(∑x i 2n i=1−nx ‾2)(∑y i 2n i=1−ny‾2)232. 相关系数 r 分析: (1)r ∈[−1,1] 的常数;(2)r >0 : 正相关; r <0 : 负相关;(3) |r |∈[0,0.25] ,相关性很弱; |r |∈(0.25,0.75) ,相关性一般; |r |∈[0.75,1] ,相关性很强.233. 独立性检验 2×2 列联表:234. 独立性检验公式: k 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ). 235. 独立性检验步骤: (1) 计算观察值 k 2 ; (2) 查找临界值 k 0 ; (3) 下结论.236. 常见的排列问题: 任职问题、数字问题、排队照相问题、逐个抽取问题. 237. 排列公式: A n m =n!(n−m )!=n (n −1)⋯⋯(n −m +1),(0!=1) .238. 排列数性质: 性质 1:A n m =nA n−1m−1 ; 性质 2:A n m =mA n−1m−1+A n−1m .239. 常见的组合问题: 产品抽查问题、一次性抽取问题240. 组合公式: C nm =A nm A mm =n!m!(n−m )!=n (n−1)⋯⋯(n−m+1)m (m−1)⋯⋯3×2×1,(C n 0=1,C n n=1) .241. 组合数的性质: C n m =C n n−m ,C n+1m =C n m +C n m−1. 242. 常见排列组合顺口溜:特殊元素先考虑, 特殊位置先安排; 分类讨论找特殊, 分类复杂对立法; 相邻问题捆绑法, 间隔问题插空法; 定序问题除阶乘, 定序限制乘比例; 染色问题多到少, 对角之时须讨论; 平均分组除阶乘, 非平分组即组合; 先分后排须谨记, 后排即乘全排列. 243. 古典概型公式: P (A )=n A n Ω.244. 几何概型公式: P (A )=lA l Ω=S A S Ω=V A V Ω=αA αΩ.245. 几何概型中面积问题: 积分问题、双变量问题、线性规划问题. 246. 任意事件概率公式: P (A ∪B )=P (A )+P (B )−P (A ∩B ) . 247. 互斥事件概率公式: P (A +B )=P (A )+P (B ) .248. 对立事件概率公式: P (A‾)=1−P (A ) (题目含有“至多、至少等关键词”). 249. 条件概率公式: P (B ∣A )=P (ABA )=n AB n A.250. 独立事件概率公式: P (AB )=P (A )P (B ) .251. 独立事件的性质: 若 A 与 B 独立,则 A 与 B‾、A ‾ 与 B 、A ‾ 与 B ‾ 也独立. 252. 独立事件至少有一个发生概率公式: P (A ∪B )=1−P (A ‾⋅B ‾) . 253. 超几何分布的概率公式: P (x =k )=C M k C N−Mn−kC Nn .254. 超几何分布的均值公式: E (X )=n MN .255. 无放回抽取: ①一次性抽取 ⇒ 超几何分布; ② 逐一抽取 ⇒ 独立事件. 256. 有放过抽取: 等可能性 ⇒ 二项分布.257. 二项分布的概率公式: P (x =k )=C n k p k (1−p )n−k .258. 二项分布的性质: 有限性、等可能性、独立性.259. 二项分布的均值与方差: E (X )=np ; 方差: D (X )=np (1−p ) . 260. 均值公式: E (X )=x 1p 1+x 2p 2+⋯⋯+x n p n261. 方差公式: D (X )=[x 1−E (x )]2p 1+[x 2−E (x )]2p 2+⋯⋯+[x n −E (x )]2p n . 262. 正态分布 X ∼N (μ,σ2):μ : 期望 E (X );σ : 标准差 √D (X ) . 263. 正态分布对称性: 图像关于直线 x =μ 成对称轴. 264. 正态分布全区间概率: P (x ∈R )=∫φ+∞−∞(x )dx =1 265. 正态分布半区间概率: P (x ≤μ)=∫φμ−∞(x )dx =0.5 266. 正态分布 3σ 区间概率: P (μ−σ<x <μ+σ)=0.6826 ;P (μ−2σ<x <μ+2σ)=0.9545; P (μ−3σ<x <μ+3σ)=0.9973.267. 二项式定理展开式: (ax +b )n =C n 0(ax )n b 0+C n 1(ax )n−1b +⋯⋯+C n k (ax )n−k b k +⋯⋯+C n n b n . 268. 两个系数: 其中 (ax +b )n 展开式中第 r +1 项为: T r+1=C n r (ax )n−r b r =C n r a n−r b r x n−r . (1) 二项式系数: C n r ; (2) 项的系数: C n r a n−r b r .269. 所有二项式系数为 2n :C n 0+C n 1+C n 2+⋯⋯+C n n =2n .270. 所有奇数项、偶数项二项式系数为 2n−1:C n 0+C n 2+C n 4+⋯⋯=2n−1;C n 1+C n 3+C n 5+⋯⋯=2n−1 .271. 展开式系数和:(ax +b )n =a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+⋯⋯+a n x n ,若求系数和时,令 x =1 代入二项式中可得系数和为 (a +b )n . 272. (ax +b )n 奇偶项系数和: 令 x =1 时, a 0+a 1+⋯⋯+a n =(a +b )n ①令 x =−1 时, a 0−a 1+a 2−a 3+⋯⋯=(−a +b )n ② (将①、②相加减即可得到). 273. 其他赋值: 令 x =12 时, a 0+a 12+a 24+a 38+⋯⋯+a n2n =(12a +b)n.274. 系数提前: 求导后令 x =1 时, a 1+2a 2+3a 3+⋯⋯+na n =an (a +b )n−1 .第9章极坐标与参数方程275. 极坐标方程与直角坐标方程互换: {ρ=√x 2+y 2,tanθ=y x (x ≠0)x =ρcosθ,y =ρsinθ,x 2+y 2=ρ2 .276. 极坐标点 M (ρ,θ) 的意义: ρ=|OM |,θ=∠xOM .277. 过原点且倾斜角为 α 的直线极坐标方程: θ=α(ρ∈R ) .278. 过原点且倾斜角为 α 的射线极坐标方程: θ=α 或 θ=α(ρ≥0) . 279. 极坐标方程为 θ=α(ρ∈R ) 的直线上两点的距离公式: |AB |=|ρ1−ρ2|,|OA |=ρ1,|OB |=ρ2 .280. 直线的参数方程: {x =a +tcosαy =b +tsinα(t 为参数).281. 圆的参数方程: {x =a +rcosθy =b +rsinθ(θ 为参数). 282. 椭圆的参数方程: 焦点在 x 轴上时: {x =acosθy =bsinθ ( θ 为参数); 焦点在 y 轴上时: {x =bcosθy =asinθ( θ 为参数). 283. 双曲线的参数方程: 焦点在 x 轴上时: {x =asecθy =btanθ(θ 为参数); 焦点在 y 轴上时: {x =bcotθy =acscθ(θ 为参数). 284. 抛物线的参数方程:焦点在 x 轴上时 y 2=±2px:{x =±2pt 2y =2pt (t 为参数 ); 焦点在 y 轴上时 x 2=±2py:{x =2pt y =±2pt 2 ( t 为参数). 285. 参数方程的意义: {x =f (θ)y =g (θ)(θ 为参数 ) 上的任意点 P 的坐标可表示成: P(f (θ),g (θ)) . 286. 直线参数 t 的意义 1: |PA |=|t 1|,|PB |=|t 2| .287. 直线参数 t 的意义 2: |PA ||PB |=|t 1t 2| .288. 直线参数 t 的意义 3: |AB |=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2 .|t1+t2|t1、t2同号|t1−t2|t1、t2异号 .289. 直线参数t的意义 4: |PA|+|PB|=|t1|+|t2|={。

高中数学公式大全(最新整理版) 高中数学公式大全（最新整理版）1、二次函数的解析式的三种形式：2f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)；1) 一般式：2f(x) = a(x - h)^2 + k (a ≠ 0)；2) 顶点式：f(x) = a(x - x0)(x - x1) (a ≠ 0)；3) 零点式。

2、四种命题的相互关系：原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否。

函数1、若 f(x) = -f(-x + a)，则函数 y = f(x) 的图象关于点(a/2.0) 对称；若 f(x) = -f(x + a)，则函数 y = f(x) 为周期为 2a 的周期函数。

2、函数 y = f(x) 的图象的对称性：1) 函数 y = f(x) 的图象关于直线 x = a 对称⇔ f(a + x) = f(a - x) ⇔ f(2a - x) = f(x)。

2) 函数 y = f(x) 的图象关于直线 x = (a + b)/2 对称⇔ f(a + mx) = f(b - mx) ⇔ f(a + b - mx) = f(mx)。

3、两个函数图象的对称性：1) 函数 y = f(x) 与函数 y = f(-x) 的图象关于直线 y 轴对称。

2) 函数 y = f(mx - a) 与函数 y = f(b - mx) 的图象关于直线x = (a + b)/2m 对称。

3) 函数 y = f(x) 和 y = f^(-1)(x) 的图象关于直线 y = x 对称。

4、若将函数 y = f(x) 的图象右移 a、上移 b 个单位，得到函数 y = f(x - a) + b 的图象；若将曲线 f(x,y) = 0 的图象右移 a、上移 b 个单位，得到曲线 f(x - a。

高中数学公式表一、代数公式1. 四则运算公式：- 加法公式：a + b = b + a- 减法公式：a - b ≠ b - a- 乘法公式：a × b = b × a- 除法公式：a ÷ b ≠ b ÷ a2. 幂运算公式：- 正整数幂公式：aⁿ × aᵐ= aⁿ⁺ᵐ- 负整数幂公式：a⁻ⁿ = 1/aⁿ- 幂的乘法公式：(aⁿ)ᵐ= aⁿᵐ- 幂的除法公式：(aⁿ)÷(aᵐ) = aⁿ⁻ᵐ3. 因式分解公式：- 平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)- 完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)² - 平方和公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²4. 根式公式：- 同底数幂相乘取根公式：√(aⁿ × bⁿ) = √(aⁿ) × √(bⁿ) = a√(b) - 同底数幂相除取根公式：√(aⁿ÷ bⁿ) = √(aⁿ) ÷ √(bⁿ) = aⁿ√(b)二、几何公式1. 平面图形公式：- 长方形的面积公式：A = l × w- 正方形的面积公式：A = a²- 三角形的面积公式：A = 1/2 × b × h- 圆的面积公式：A = πr²2. 空间图形公式：- 立方体的体积公式：V = l × w × h- 正方体的体积公式：V = a³- 圆柱体的体积公式：V = πr²h- 圆锥体的体积公式：V = 1/3 × πr²h三、三角函数公式1. 基本三角函数公式：- 正弦函数的定义：sinθ = 对边/斜边- 余弦函数的定义：cosθ = 邻边/斜边- 正切函数的定义：tanθ = 对边/邻边2. 三角函数的基本关系：- 正弦函数与余弦函数的关系：sin²θ + cos²θ = 1- 正切函数与余切函数的关系：tanθ = 1/cotθ3. 三角函数的和差公式：- 正弦函数的和差公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ - 余弦函数的和差公式：cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ- 正切函数的和差公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓tanαtanβ)四、概率与统计公式1. 概率公式：- 加法法则：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)- 乘法法则：P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)2. 统计公式：- 平均值公式：平均值 = (数据之和) ÷ (数据的个数)- 方差公式：方差 = [(每个数据与平均值之差的平方之和) ÷ (数据的个数)]五、数列与数学归纳法公式1. 等差数列公式：- 第n项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d- 前n项和公式：Sₙ = n/2(a₁ + aₙ)2. 等比数列公式：- 第n项公式：bₙ = b₁ × rⁿ⁻¹- 前n项和公式：Sₙ = b₁ × (1 - rⁿ)/(1 - r)以上是高中数学公式表的一部分，这些公式涵盖了代数、几何、三角函数、概率与统计、数列与数学归纳法等各个方面。

高中数学公式大全（最新整理版）1、二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.2、四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否； 逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否； 否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆； 逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否§ 函数1、若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.2、函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图x a =象关于直线对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.3、两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m +=对称.(3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.4、若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.5、互为反函数的两个函数的关系：a b f b a f =⇔=-)()(1.6、若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f k y -=的反函数.7、几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，§ 数 列1、数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n ns a a a =+++).2、等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-.3、等比数列的通项公式1*11()n n n aa a q q n N q -==⋅∈；其前n 项的和公式为 11(1),11,1n n a q q s qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.4、等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q dq q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩.§ 三角函数1、同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩3、和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-. sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan ba ϕ=).4、二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.5、三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+. 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.6、三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.7、正弦定理 2sin sin sin a b cRA B C ===.8、余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.9、面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B===. (3)22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅.§平面向量1、两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).2、平面两点间的距离公式,A Bd =||AB AB AB =⋅=A11(,)x y ，B 22(,)x y ).3、向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ||b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0)⇔a ·b =012120x x y y ⇔+=.4、线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PPPP λ=，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 5、三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.6、 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.§直线和圆的方程1、斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.2、直线的五种方程 （1）点斜式11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).3、两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；4、点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).5、圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).6、直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22B A CBb Aa d +++=.7、圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()22D x x E y y x x y y F ++++++=.当00(,)x y 圆外时,0000()()22D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±.§圆锥曲线方程1、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 2、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(22x c a e PF -=.3、椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. (2)过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.(3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=. 4、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c =-.5、双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.6、 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=. （2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.7、抛物线px y 22=的焦半径公式：抛物线22(0)y px p =>焦半径02pCF x =+.过焦点弦长px x px p x CD ++=+++=212122. 8、二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a --=.9、 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. （2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 1、球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表面积24S R π=．2、柱体、锥体的体积13V Sh=柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 13V Sh=锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.3、回归直线方程y a bx =+，其中()()()1122211n ni i i i i i n ni i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑.§极 限1、几个常用极限（1）1lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x→=. （3）0sin lim 1x x x →=；（4）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…). §导 数1、几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）.(2)'1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='.(5) x x 1)(ln ='；eax x a log 1)(log ='.(6)x x e e =')(; a a a xx ln )(='. 2、导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠.3、复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u xy y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.§复 数1、复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +2、复数的四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++;(4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++.3、复数的乘法的运算律 交换律:1221z z z z ⋅=⋅.结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅.分配律:1231213()z z z z z z z⋅+=⋅+⋅ . 4、复平面上的两点间的距离公式12||d z z =-=（111z x y i=+，222z x y i=+）.5、向量的垂直 非零复数1z a bi=+，2z c di=+对应的向量分别是1OZ ，2OZ ，则12OZ OZ ⊥⇔12z z ⋅的实部为零⇔21z z 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).6、实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ∆=->,则1,22b x a -±=;②若240b ac ∆=-=,则122bx x a ==-; ③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.。

高中数学常用公式大全一、集合。

1. 集合的基本运算。

- 交集：A∩ B={xx∈ A且x∈ B}- 并集：A∪ B ={xx∈ A或x∈ B}- 补集：∁_U A={xx∈ U且x∉ A}（U为全集）2. 集合间的关系。

- 若A⊆ B，则A中的元素都在B中。

- n个元素的集合的子集个数为2^n个，真子集个数为2^n - 1个。

二、函数。

1. 函数的定义域。

- 分式函数y=(f(x))/(g(x))，g(x)≠0。

- 偶次根式函数y = √(f(x))，f(x)≥slant0。

2. 函数的单调性。

- 设x_1,x_2∈[a,b]且x_1 < x_2，对于函数y = f(x)。

- 若f(x_1)，则y = f(x)在[a,b]上单调递增。

- 若f(x_1)>f(x_2)，则y = f(x)在[a,b]上单调递减。

3. 函数的奇偶性。

- 对于函数y = f(x)，定义域关于原点对称。

- 若f(-x)=f(x)，则y = f(x)是偶函数。

- 若f(-x)= - f(x)，则y = f(x)是奇函数。

4. 一次函数y=kx + b(k≠0)- 斜率k=(y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)。

5. 二次函数y=ax^2+bx + c(a≠0)- 对称轴x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 当a>0时，函数开口向上，在x =-(b)/(2a)处取得最小值frac{4ac -b^2}{4a}；当a < 0时，函数开口向下，在x=-(b)/(2a)处取得最大值frac{4ac -b^2}{4a}。

6. 指数函数y = a^x(a>0,a≠1)- 当a>1时，函数在R上单调递增；当0 < a < 1时，函数在R上单调递减。

7. 对数函数y=log_a x(a>0,a≠1,x>0)- 当a>1时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0 < a < 1时，函数在(0,+∞)上单调递减。