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论文：数列求和的基本方法和技巧

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专题复习讲座——数列求和的方法和技巧重庆市大足第二中学 欧国绪 402360 高中学段：数学数列在高考中的要求：1．等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。

所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。

2．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。

应弄清通项公式的意义——项数n 的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。

3．数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。

要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。

数列求和是高中数学的一个重点,也是高考的热点,纵观我市近几年的高考的最后一题，都是数列与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的压轴题。

一、公式法:利用以下公式求数列的和 1.d n n na a a n Sn n 2)1(2)(11-+=+=({}n a 为等差数列) 2.qqa a q q a Sn n n --=--=11)1(11 (1≠q )或)1(1==q na Sn({}n a 为等比数列)3.6)12)(1(3212222++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n n n n 23333]2)1([321+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++n n n 等公式例如:已知数列{}n a ，n n a n -=2，求前n 项和Sn解：)()33()22()11(2222n n Sn -+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-= )321()321(2222n n +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=2)1(6)12)(1((+-++=n n n n n 3)1()1(+-=n n n二、分组求和法对于数列{}n a ，若⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=n n n C b a 且数列{}n b 、{}n c ……都能求出其前n 项的和，则在求{}n a 前n 项和时，可采用该法例如：求和：999.09999.0999.099.09.0个n Sn ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++= 解：设n n n a --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=10199.09个 n a a a a a Sn +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++=∴4321)101()101()101()101()101(4321n ------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-+-= )1010101010()111(43211n n -----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=相加个 )101(91n n ---=三、倒序相加法（或倒序相乘法）1．倒序相加法在教材上推导等差数列{}n a 前n 项和Sn 的公式：2)(1n a a n Sn +=就使用的是该法，推导过程参看教材 例如：求和 89sin 3sin 2sin 1sin 2222+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=S解： 89sin 3sin 2sin 1sin 2222+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=S ……① 又 1sin 87sin 88sin 89sin 2222+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=S 89cos 3cos 2cos 1cos 2222+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=即 89cos 3cos 2cos 1cos 2222+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++=S ……② 由①+②得89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++=S 89= 289=∴S 2．倒序相乘法例如：已知a 、b 为两个不相等的正数，在a 、b 之间插入n 个正数，使它们构成以a 为首项，b 为末项的等比数列，求插入的这n 个正数的积n p解：设插入的这n 个正数为1a 、2a 、3a 、……n a 且数列a 、1a 、2a 、3a 、……n a 、b 成等比数列则⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅=-121n n a a a a abn n a a a a p ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=321……①又121a a a a p n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-- ……② 由①⨯②得21211()()()()n n n n n p a a a a a a ab -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=2)(nn ab p =∴四、错位相减法对于数列{}n a ，若n n n c b a ⋅=且数列{}n b 、{}n c 分别是等差数列、等比数列时，求该数列{}n a 前n 项和时，可用该方法例如：已知数列{}n a ：n n n a 3)12(⋅-=，求数列{}n a 前n 项和Sn解：n n n n Sn 3)12(3]1)1(2[3533311321⋅-+⋅--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯-⨯+⨯=- 在上式两边同乘以(或除以)等比数列{}n 3的公比3，得14323)12(3]1)1(2[3533313+-+--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n n Sn由①～②（两等式的右边错位相减）{}1332213)12(3]1)1(2[3)12()3335()3133(312+------+⋅⋅⋅+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯=n n n n n n Sn13213)12(32323231+--⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n13213)12()333(231+--+⋅⋅⋅+++⨯=n n n 113)12()93(3++⋅---+=n n n 63)22(1--=+n n ∴33)1(1+⋅-=+n n Sn 五、裂项相消法 常见的裂项方法有： 1．1111()()n n k k n n k=-++ 2．)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n3．])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n41k=例如：已知数列{}n a ：)2(21≥++=n n n a n ，求数列{}n a 前n 项和解：)2(2121n n n n a n -+=++=)2(21)35(21)24(21)13(21n n Sn -++⋅⋅⋅+-+-+-=∴)]2()35()24()13[(21n n -++⋅⋅⋅+-+-+-=11)2=六、并项法例如：已知n Sn n 2)1(121086421+-+⋅⋅⋅+-+---= 则=+502015~S S S解：3028261210864215+-+⋅⋅⋅+-+-+-=S 30)2826()1210()86()42(+-+⋅⋅⋅+-+-+-= 307)2(+⨯-= 16=40381210864220-+⋅⋅⋅+-+-+-=S)4038()1210()86()42(-+⋅⋅⋅+-+-+-=10)2(⨯-= 20-=同理 5025)2(50-=⨯-=S46)50()20(16502015=-+-+=-+∴S S S相应练习：【巩固练习】1：已知数列{}na 的通项公式为314n a n =-，n s 为{}na 的前n 项和，（1）求ns ； （2）求{}na 的前20项和。

【巩固练习】2：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设n n n S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①12n S = 231242(1)22222n n n n +-++⋅⋅⋅++………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴1224-+-=n n n S【巩固练习】3：求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和. 解：设kk k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得Sn ＝kk k nk n k n k ∑∑∑===++1213132 （分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n【巩固练习】4：在数列{an}中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{bn}的前n 项的和.解： ∵211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{bn}的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n＝ 0【巩固练习】5：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 qp n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质NM N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10【巩固练习】6： 已知数列{an}：118,(1)()(1)(3)nn n n k a n a a n n +==+-++∑求的值.解：∵])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组） ＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ 11111111(1)()4()8()2434nnn n n k k k n a a n n n n +===+-=-+-++++∑∑∑ （分组、裂项求和）。

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数列求和方法

数列求和方法

数列求和方法数列是高中数学的重要组成部分，在高考和各类数学竞赛中发挥着重要作用。

级数求和是级数的重要内容之一。

除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

今天学姐就简单介绍一下数列求和的基本方法和技巧。

第一类：公式法用以下几种常见的求和公式求和，是数列求和最基本也是最重要的方法。

第二类：乘公比错项相减（等差×等比）这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列。

解析：数列{cn}是由数列{an}与{bn}对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。

第三类：裂项相消法这就是分解组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：分析:第一，要观察通项的类型。

在对拆分项求和时，我们应该特别注意第一项和第二项是否像例2那样被保留，或者像例3那样被保留四项。

第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）。

解析:这种类型的关键是抓住距离数列首尾等距离的两项之和相等这一特征进行逆序相加。

这个例子不仅使用了逆序加法，还使用了拆分项的消去法。

在数列问题中，要学会灵活运用不同的方法去解决。

第五类：分组求和法有一种数列，既不是等差数列，也不是等比数列。

这类数列如果适当分解，可以分解成几个等差、等比例或常见的数列，然后分别求和，再组合。

第六类：拆项求和法同学们如果想知道更多解题技巧，可以到（）领一份《逆向学习法》，包含高中九大科目高分技巧与答题模板，例如“十分钟搞定数学选择题”、“玩转物理电磁场”等等，已经帮助很多同学考上了理想的大学，感兴趣的同学们抓紧领取吧！。

中国古代数学家求数列和的方法论文

中国古代数学家求数列和的方法论文

中国古代数学家求数列和的方法论文一、倒序相加法如果一个数列{an},与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

倒序相加法是数列求和当中应用最广的一种解题方法，它的基本类型可以用公式表示为：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3…具体解法见下面的例题。

例：设等差数列{an},公差为d,求证：{an}的前n项和Sn=n（a1+an）/2 解：Sn=a1+a2+a3+…+an①倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+…+（an+a1）又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n（a2+an）Sn=n（a1+an）/2倒序相加法的解题关键就是要能够看到首项和末项之间的关系，这就需学生要有一定的敏感度，一眼就能找准解题的方法，然后就是要细心地做。

()因此，做数列题除了要注意总结和归纳解题方法外，大量的习题训练也是十分必要的。

二、用公式法对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。

等差数列的基本求和公式为：Sn=（a1+an）n/2;变形公式为Sn=na1+n（n-1）d/2（d为公差）。

等比数列的求和公式为：Sn=na1（q=1）；Sn=a1（1-qn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q≠1）（q为公比，n为项数）。

利用公式来求数列之和是一种比较基本的题型，它的难度不大，只要掌握基本公式，并且具有一定的敏感度就能做对这类型的题。

三、裂项相消法裂项相消法是数列求和中比较难的一类题型，因为它不好看出数列之间的规律。

如果裂项不对，也不能将问题解出。

裂项相消法的`解题原理是：将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

数列求和的8种常用方法(最全)

数列求和的8种常用方法(最全)

求数列前n 项和的8种常用方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+⋅，即前n 项和为中间项乘以项数。

这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，()111nn a q S q-=-，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+L ；（2）21nk k ==∑222211631123(1)(21)()(1)2n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=L ；（4）1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L .例1 已知3log 1log 23-=x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即8n =时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。

数列求和方法总结

数列求和方法总结

数列求和方法总结数列求和是数学中一个非常常见且重要的问题，它出现在各个领域的数学问题中，并且在高中数学及以上的学习中经常遇到。

在解决数列求和问题时，我们可以通过多种方法，其中包括代入法、消元法、几何法、差分法、数学归纳法等等。

下面我将对这些方法进行详细的总结与说明。

1. 代入法：代入法是一种常见的求和方法。

我们可以通过代入来求和项的个数和具体数值。

首先，我们需要确定数列的通项公式，然后将要求和的项数具体代入到通项公式中，求出每一项的数值，最后再将这些数值相加即可得到所求的数列的和。

例如，要求等差数列1、3、5、7、9的前n项和，我们可以先找到通项公式为an=2n-1，然后代入每一项的数值，得到1、3、5、7、9，最后相加得到的和为(1+9)*5/2=25。

2. 消元法：消元法是一种常用的数学方法，在求和问题中也有广泛应用。

通过对求和式进行变形，我们可以通过消除多项式的常数项、控制变量项或者引入新的变量来简化求和的步骤，从而得到更简单的表达式。

例如，要求等差数列1、2、3、4、5的前n项和，我们可以通过对求和式进行变形，得到Sn=(n+1)*n/2。

3. 几何法：几何法是一种求解数列求和的常见方法，它通常适用于等比数列求和问题。

当数列的各项之间的比值存在规律时，我们可以通过将数列的各项代入到几何模型中来计算求和的方法。

例如，要求等比数列1、2、4、8、16的前n项和，我们可以将这些数列代入等比数列的几何模型中，即1、2、2^2、2^3、2^4，可见，这是一个以2为公比的等比数列。

根据等比数列的求和公式Sn=a1*(r^n-1)/(r-1)，代入数值可得到所求的和。

4. 差分法：差分法是一种通过对数列进行差分来求和的方法。

它通常适用于数列之间的差为常数或规律的数列，通过对数列进行差分可以简化求和的过程。

例如，要求等差数列1、3、5、7、9的前n项和，我们可以通过差分法来解决，即将数列进行差分得到2、2、2、2，可以发现这是一个公差为2的等差数列。