《工程数学》教学大纲

四川广播电视大学 土木工程专业（开放本科） 《工程数学》教学大纲

责任教师：吴润民

第一部分 大纲说明

一、课程的性质和任务

《工程数学》课程是中央广播电视大学土木工程专业“专升本”的一门重要的基础必修课，它是为培养适应社会主义现代化经济发展和科学进步需要的本科工程技术和工程管理应用型人才服务的，也是学习专业理论课程知识不可缺少的基础课程。

本课程是在学生完成高等数学基本知识、基本理论和基本方法的学习基础上，介绍线性代数、概率论和数理统计等内容。这些内容的设置是为学生学习后继的专业课程和今后的实际工作提供数学基础的知识和方法。

二、先修课要求

前修课程：高等数学

三、课程教学基本要求

本课程的教学目的是使学生在高等数学学习的基础上，进一步扩充在后续课程的学习和今后实际工作中必须具备的数学学科的基本知识、基本理论和基本方法，使学生初步掌握线性代数、概率论和数理统计的基本概念和基本方法，培养学生具有一定的抽象思维和概括能力，提高学生综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力以及自学能力，使学生具有较高的学习专业理论的素质。因此，通过本课程的学习，要求学生：

1.熟悉线性代数处理问题方法和特点，掌握矩阵、向量、线性方程组、二次型等方面的基本理论和基本运算，提高抽象思维、逻辑推理和基本运算的能力。

2.理解概率论和数理统计是研究随机现象数量规律性的科学，掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，以及处理随机现象的基本思想和基本方法，具有运用概率统计方法分析和解决实际问题的一定能力。

四、教学方法和教学形式建议

本课程是由文字教材和IP课件等多种媒体组成的一体化教材，要求学时正确使用，充分利用本课程的多种媒体一体化教材。本课程的教学将采用多种媒体、多种方式进行，使学生通过多种方法获得知识和技能。

五、课程教学要求的层次

教学要求中，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容要求，由低到高分“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容要求，由低到高分“会、掌握、熟练掌握”三个层次。

第二部分 学时分配

课程教学总学时数72（其中课程学时××，实验××），4学分。 序号 教学内容 课内学时 实验学时

1 线性代数 第1章行列式 4

第2章矩阵 12

第3章线性方程组 12

第4章 矩阵的特征值及二次型 8

2 概率论与

数理统计 第5章随机事件与概率 8

第6章随机变量的分布和数字特征 12

第7章 统计推断 16

3 合计 72

第三部分 教学内容和教学要求

线性代数部分

第1章 行列式（4学时）

(一)教学内容

1．行列式的递归定义

2．行列式的性质

3．克莱姆法则

重点：行列式的性质与计算。

（二）教学要求

1.理解n阶行列式的递归定义

2.掌握利用性质计算行列式的方法；

3.知道克莱姆法则。

（三）教学建议

用例证说明行列式性质，不作证明，数字行列式计算以三、四阶为主，文字行列式计算不超过三阶。

第2章 矩阵 （12学时）

（一）教学内容

1. 矩阵概念

矩阵的概念，零矩阵，单位矩阵, 数量矩阵，对角矩阵，上(下)三角矩阵，对称矩阵。

2．矩阵的运算

矩阵的加法，数乘矩阵，矩阵的乘法，矩阵的转置。

3．方阵的行列式

方阵乘积行列式定理。

4．逆矩阵

可逆矩阵与逆矩阵的定义、性质。矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，初等矩阵，矩阵的初等行变换，逆矩阵的求法。

5. 矩阵的秩

矩阵的秩的概念，矩阵的秩的求法。

6. 分块矩阵

分块矩阵及其运算，准对角矩阵。

重点：矩阵的乘法，用矩阵初等行变换法求逆矩阵。

难点：求逆矩阵。

（二）教学要求

1.熟练掌握矩阵的相等、加法、数乘矩阵、乘法、转置等运算。

2.了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上(下)三角矩阵，对称矩阵的定义，了解初等矩阵的定义，掌握定理的运用。

3.掌握方阵乘积行列式定理。

4.理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。

5.熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。

6.理解矩阵秩的概念，掌握矩阵秩的求法。

7.会分块矩阵的运算。

（三）教学建议

可做一些利用矩阵性质的简单证明题。

第3章 线性方程组（12学时）

（一）教学内容

1.高斯消元法解线性方程组

线性方程组的系数矩阵、增广矩阵，线性方程组解的几种情况。

2.线性方程组的相容性

线性方程组的相容性定理，解的情况讨论，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。

3.n维向量 n维向量定义，线性组合、线性表出，向量组的线性相关性。

4.向量组的秩

极大线性无关组，向量组的秩。

5.线性方程组解的结构

齐次线性方程组解的性质，基础解系，非齐次线性方程组解的性质及解的结构。

重点：线性方程组相容性定理，求线性方程组的通解。

难点：向量组线性相关性。

（二）教学要求

1.掌握向量的线性组合与线性表出的方法，了解向量组线性相关与线性无关的概念，会判别向量组的相关性。

2.会求向量组的极大线性无关组，了解向量组和矩阵的秩的概念，掌握求向量组的秩和矩阵的秩的方法。

3.理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。熟练掌握用矩阵初等行变换方法判断齐次与非齐次线性方程组解的情况。

4.熟练掌握齐次线性方程组基础解和通解的求法。

5.了解非齐次线性方程组解的结构，掌握求非齐次线性方程组通解的方法。

（三）教学建议

可将初等行变换法作为主要工具，讲解各种判别方法和计算方法。

从方程的多余解性引出线性相关的概念。

第4章 矩阵的特征值及二次型（8学时）

（一）教学内容

1.矩阵的特征值与特征向量

矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，特征值与特征向量的求法。

2.相似矩阵

两个矩阵相似的定义，相似矩阵的性质。

3.实对称矩阵对角化的方法

正交矩阵、实对称矩阵对角化的方法。

4.二次型

二次型定义，二次型的矩阵表示，二次型的标准形的矩阵描述，用配方法化二次型为标准形。

5.正定矩阵

正定矩阵的概念，正定矩阵的判定。

重点：矩阵的特征值与特征向量向量的概念，配方法化二次型为标准形的方法。

（二）教学要求

1.理解矩阵特征值、特征多项式及特征向量的定义，掌握特征值与特征向量的求法。

2.了解矩阵相似的定义，相似矩阵的性质。

3.了解正交矩阵的定义和性质，掌握实对称矩阵对角化的方法

4.理解二次型定义、二次型的矩阵表示、二次型的标准形的矩阵描述，掌握用配方法化二次型为标准形的方法

5.正定矩阵

了解正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的判定。

（三）教学建议

以不同特征值的实对称矩阵为例讲解对角化问题。

概率论与数理统计部分

第5章 随机事件与概率 （8 学时）

(一)教学内容

1.随机事件

随机事件的关系与运算。

2.随机事件的概率

随机事件的频率、概率，古典概型及其简单计算，概率的基本性质。

3.概率的运算法则

概率的加法公式，条件概率与乘法公式，事件的独立性。完备事件组概念，全概公式。

4.贝努里概型

n重贝努里试验与二项概型。

重点：加法公式，乘法公式，事件独立性。

难点：古典概型问题的计算，条件概率及其计算。

（二）教学要求

1.了解随机事件、频率、概率等概念。

2.掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质。

3.了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题。

4.熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概公式。

5.理解事件独立性概念。

6.掌握二项概型。

（三）教学建议

1.随机事件的概率只要求统计定义。

2.通过实例介绍条件概率。

第6章 随机变量的分布和数字特征（12 学时）

(一)教学内容

1.随机变量及其分布

随机变量的概念及分类，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量的分布函数。离散型随机变量函数的分布。

2.随机变量的数字特征

数学期望、方差与标准差的概念，期望与方差的性质。随机变量函数的期望公式。矩的概念。

3.几种重要的分布及数字特征

两点分布、二项分布、泊松分布和它们的数字特征。均匀分布、指数分布、正态分布和它们的数字特征。

4.二维随机变量

二维随机变量的联合分布、边缘分布、独立性。二维随机变量的期望、方差与协方差的性质。

5.中心极限定理

切比雪夫不等式，大数定律，中心极限定理

重点：二项分布、正态分布，随机变量的期望与方差。

难点：联合分布与边缘分布的关系。

（二）教学要求

1.理解随机变量的概率分布、概率密度概念，了解分布函数的概念，掌握有关随机变量的概率计算。

2.理解期望、方差与标准差等概念，掌握求期望、方差与标准差的方法。

3.熟练掌握几种常用离散型和连续型随机变量的分布以及它们的期望与方差。会查正态分布表。

4.知道二维随机变量的概念，了解随机变量独立性概念。

5.知道中心极限定理。

（三）教学建议

只给随机变量的描述定义，不给严格定义。

第7章 数理统计基础（16学时）

(一)教学内容

1.数理统计的基本概念

总体与样本，样本函数与统计量，样本矩。抽样分布（t分布，2分布，F分布）。

2.点估计

点估计概念，期望与方差的点估计（矩法与最大似然法）。