高中数学人教B版选修2-2精品课件 1.4.2微积分基本定理

1.6 微积分基本定理

一、教学目标

知识与技能目标

通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分

过程与方法

通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法

情感态度与价值观

通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二、教学重难点

重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点 了解微积分基本定理的含义

三、教学过程

1、复习：

定积分的概念及用定义计算

2、引入新课

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()vto），

则物体在时间间隔12[,]TT内经过的路程可用速度函数表示为21()TTvtdt。

另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在12[,]TT上的增量12()()STST来表达，即

21()TTvtdt=12()()STST

而()()Stvt。

对于一般函数()fx，设()()Fxfx，是否也有

()()()bafxdxFbFa

若上式成立，我们就找到了用()fx的原函数（即满足()()Fxfx）的数值差()()FbFa来计算()fx在[,]ab上的定积分的方法。

注：1：定理 如果函数()Fx是[,]ab上的连续函数()fx的任意一个原函数，则

()()()bafxdxFbFa

证明：因为()x=()xaftdt与()Fx都是()fx的原函数，故 ()Fx-()x=C（axb）

1．6 微积分基本定理

1．问题导航

(1)微积分基本定理的内容是什么？

(2)定积分的取值符号有哪些？

2．例题导读

通过P53例1，学会利用微积分基本定理求简单定积分的步骤和方法，通过P53例2的学习，理解定积分的几何意义和定积分的取值符号．

1．微积分基本定理

(1)内容：一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式．

(2)表示：为了方便，常常把F(b)－F(a)记成F(x)ba，即abf(x)dx＝F(x)ba＝F(b)－F(a)．

2．定积分的符号

由定积分的意义与微积分基本定理可知，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0．

(1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时(如图1)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积．

(2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时(如图2)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数．

(3)当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时(如图3)，定积分的值为0，且等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)微积分基本定理中，被积函数f(x)是原函数F(x)的导数．( )

(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )

(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )

答案：(1)√ (2)√ (3)√

2．若a＝01(x－2)dx，则被积函数的原函数为( )

A．f(x)＝x－2 B．f(x)＝x－2＋C

C．f(x)＝12x2－2x＋C D．f(x)＝x2－2x

答案：C 3.0πsin xdx＝________．

解析：0πsin xdx＝－cos xπ0＝(－cos π)－(－cos 0)＝2.

1 人教版高中选修(B版)2-21.4.2微积分基本定理课程设计

一、课程背景

微积分是数学的重要分支，对于学习自然科学和工程学科有着至关重要的作用。在高中阶段，微积分是数学必修内容，也是高考数学的重点和难点。而在选修课程中，微积分更是占据了很大的比重，且难度相对较高。本文设计了人教版高中选修(B版)2-21.4.2微积分基本定理课程，旨在帮助学生更好地掌握微积分的基本定理，提高其数学素养和解题能力。

二、课程目标

1. 理解微积分的基本知识和基本定理。

2. 掌握微积分基本定理的应用方法，解决实际问题。

3. 通过本课程的学习，提高学生的数学素养和解题能力。

三、课程内容

3.1 微积分基本概念回顾

通过复习微积分的基本概念，对微积分有一个整体的认识和理解。

3.2 微积分基本定理

理解微积分的基本定理，包括牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理，并通过例题进行讲解，让学生能够掌握其应用方法。

3.3 微积分基本公式

介绍微积分中的一些基本公式，如幂函数、指数函数、对数函数的积分公式等，并通过例题进行讲解，让学生掌握其应用方法。 2 3.4 微积分的应用

介绍微积分在实际问题中的应用，如曲线长度计算、定积分求解物体质心和重心、体积和表面积计算等，通过例题进行讲解，让学生掌握其应用方法。

四、课程重点

微积分基本定理是本课程的重点，学生需要理解其含义，并掌握其应用方法。同时，微积分的应用也是本课程的重点之一，学生需要掌握如何将微积分方法应用于实际问题的求解中。

五、课程难点

微积分基本定理的应用是本课程的难点，学生需要运用基本定理解决实际问题并进行综合运用。

六、教学方法

本课程采用讲解、例题演练和课堂讨论相结合的教学方法。首先进行知识点的讲解和概述，然后通过例题演示和讲解，让学生能够将所学知识运用到实际问题的求解中。最后通过课堂讨论和作业练习，巩固学生所学知识，提高其解题能力。

七、教学过程

7.1 微积分基本概念回顾

定积分与微积分基本定理

教学重点：定积分的概念、定积分的几何意义．求简单的定积分,微积分基本定理的应用

教学难点：定积分的概念、求曲边图形面积．

一．定积分的概念

回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程等问题的解决方法，这几个问题都有什么共同点呢？

分割→以直代曲→求和→取极限（逼近

一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，

分割 用分点0121iinaxxxxxxbLL

将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为x（baxn），

以直代曲 在每个小区间1,iixx上取一点1,2,,iinL，每份小曲边梯形的面积近似为()ifx

求和：11()()nnniiiibaSfxfn

取极限 如果x无限接近于0（亦即n）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分。记为：()baSfxdx

其中()fx成为被积函数，x叫做积分变量，[,]ab为积分区间，b积分上限，a积分下限。

思考 定积分()bafxdx是一个常数还是个函数？

即nS无限趋近的常数S（n时）称为()bafxdx，而不是nS．

常见定积分

曲边图形面积：baSfxdx；变速运动路程21()ttSvtdt；变力做功 ()baWFrdr

理解 本来 面积=底高 路程=速度时间 功=力位移

因为都是不规则的，所以都用先分割，再以直代曲，这样就可以相乘了，再求和 ，再取极限。

二．定积分的几何性质

定积分bafxdx表示由直线,(),0xaxbaby和曲线()yfx=所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，。

思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？