高考数学一轮复习：33 基本不等式

微专题8 运用基本不等式求多元变量的最值问题

方法指导·识技巧

多元变量求最值或范围问题是各地调研考试和高考中的热点、难点，通过涉及多元变量的填空题把关题处理中的解法探究、思路剖析和策略思考，窥探学生在处理多元变量求范围(最值)过程中所要具备的解题感、认识观和心理机制，不难发现，求解多元变量问题的关键是减少变量的个数(减元)，通过对自身条件的化简、变形、换元、配凑、拆分、性质等减元策略，可以把分散的条件联系起来，使隐含的条件显露出来，将问题转化成ax＋bx型结构，再利用基本不等式解决问题．

典型示例·提能力

一、换元减元

例1

(16江苏高考)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．

·变式训练·

在△ABC中，若sinA＝13sinBsinC，cosA＝13cosBcosC，则tanA＋tanB＋tanC的值是________．

二、配凑、拆分减元

例2

(16苏州调研)已知ab＝14，a，b∈()0，1，则11－a＋21－b的最小值为________．

例3

已知函数f(x)＝3x＋a与g(x)＝3x＋2a在(b，c)上都有零点，则a2＋2ab＋2ac＋4bcb2－2bc＋c2的最小值为________．

三、齐次减元

例4

若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．

四、性质减元

例5

(16南通调研)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则lgz4lgx＋lgzlgy的最小值为________．

题组训练·试身手

1.若a，b，c都是正数，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－23，则2a＋b＋c的最小值为________．

2．(17如皋调研)已知x，y，z∈(0，＋∞)，且x2＋5y2＋4z2＝1，则xy＋yz的最大值为________．

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2.2 基本不等式-2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)

一、单选题(共13题；共65分)

1．（5分）若𝑎>0，𝑏>0，则“

𝑎+𝑏=1”

是“1𝑎+1𝑏≥4”

的（ ）

A

．充分不必要条件 B

．必要不充分条件

C

．充分必要条件 D

．既不充分也不必要条件

2．（5分）已知直线𝑎𝑥+𝑏𝑦−1=0(𝑎𝑏>0)过圆

(𝑥−1)2

+(𝑦−2)2

=2022的圆心，则1𝑎+1𝑏的最小

值为（ ）

A

．

3+2

√2 B

．

3−2

√

2 C

．6

D

．9

3．（5分）已知正实数a

、b

满足𝑎+𝑏=2，则4𝑏+1𝑎的最小值是（ ）

A

．72 B

．92 C

．5

D

．9

4．（5分）已知𝑚>0，𝑛>0，命题

𝑝：2𝑚+𝑛=𝑚𝑛，命题

𝑞：𝑚+𝑛≥3+2

√

2，则p

是q

的

（ ）．

A

．充分不必要条件 B

．必要不充分条件

C

．充要条件 D

．既不充分也不必要条件

5．（5分）小李从甲地到乙地的平均速度为

𝑎

，从乙地到甲地的平均速度为

𝑏(𝑎>𝑏>0)

，他往

返甲乙两地的平均速度为

𝑣

，则（ ）

A

．

𝑣=𝑎+𝑏

2 B

．

𝑣=

√

𝑎𝑏 C

．

√

𝑎𝑏<𝑣<𝑎+𝑏2 D

．

𝑏<𝑣<

√

𝑎𝑏

6．（5分）设

𝑎>0

，

𝑏>0

，则“

𝑎+𝑏≤4 ”

是“ 1𝑎+1𝑏≥1 ”

的（ ）

A

．充分不必要条件 B

．必要不充分条件

C

．充要条件 D

．既不充分又不必要条件

7．（5分）已知点E

是△ABC

的中线BD

上的一点（不包括端点）.

若

𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+𝑦𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

，则2𝑥+1𝑦的最

小值为（ ）

A

．4

B

．6

C

．8

D

．9

8．（5分）已知二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2

+2𝑥+𝑐（𝑥∈𝑅）的值域为

[0，+∞)，则1𝑐+4𝑎的最小值为

（ ）

A

．-4

B

．4

C

．8

D

．-8

2 / 17 9．（5分）已知直线

基本不等式

应用一：求最值

例：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋12x 2 （2）y＝x＋1x

解：(1)y＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝6 ∴值域为[6 ，+∞）

(2)当x＞0时，y＝x＋1x ≥2x·1x ＝2；

当x＜0时， y＝x＋1x = －（－ x－1x ）≤－2x·1x =－2

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

 解题技巧

技巧一：凑项

例 已知54x，求函数14245yxx的最大值。

解：因450x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，

5,5404xx，11425434554yxxxx231

当且仅当15454xx，即1x时，上式等号成立，故当1x时，max1y。

技巧二：凑系数

例：

当时，求(82)yxx的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需将(82)yxx凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，(82)yxx的最大值为8。

变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。

解：∵230x∴023x∴2922322)23(22)23(42xxxxxxy

当且仅当,232xx即23,043x时等号成立。

技巧三： 分离、换元

例：求2710(1)1xxyxx的值域。

解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,421)591yxx（（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

161 课题：基本不等式

考纲要求：①了解基本不等式的证明过程.

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

教材复习

1.两个数的均值不等式：若,abR，则2ab≥ab（等号仅当ab时成立）；

三个数的均值不等式：若,,abcR，则abc≥33abc（等号仅当abc时成立）

2.几个重要的不等式：

① ab≤22ab≤222ab ②abc≤33abc；

③如果,abR，则222ab≥2ab≥ab≥211ab

3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和

有最小值。

基本知识方法

1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.

2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.

典例分析．

问题1．求下列函数的最值：

113yxx3x；2121yxx1x；3241yxx0x；

323yxx0x；4 21yxx01x；5 21yxx01x

621yxx 7 已知,,,abxyR（,ab为常数），1abxy，求xy的最小值

162

问题2．已知0x，0y，且1xy，求 2121xy的最大值.

问题3．求最小值1231()1xxfxx1x；2 223sinsinyxx

问题4．1设0x，0y，且()1xyxy，则

.A222xy.B222xy .C 221xy.D 221xy

2已知x≥0，y≥0，且2212yx，求证：21xy≤324

163

3若0ab, 求216()abab的最小值