第九章 差分方法

1 差分方程模型的理论和方法

青岛建筑工程学院 胡京爽

引言

1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。

差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。

2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。

3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程 2 或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。

差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。

第一节 差分方程的基本知识

一、 概念

1、差分算子

设数列nx，定义差分算子nnnxxx1:为nx在n处的向前差分。

而1nnnxxx为nx在n处的向后差分。

以后我们都是指向前差分。

可见nx是n的函数。从而可以进一步定义nx的差分：nnxx2)(

称之为在n处的二阶差分，它反映的是增量的增量。

类似可定义在n处的k阶差分为：

))((1nknkxx

2、差分算子 、不变算子、平移算子

记nnnnxIxxEx,1，称E为平移算子，I为不变算子。

则有：nnnnxIEIxExx)(

IE

由上述关系可得：

inkiikiknikiikiknknkxCxECxIEx00)1()1()( （1）

这表明nx在n处的k阶差分由nx在knnn....1,，处的取值所线性决定。

反之，

由 nnnxxx1 得 nnnxxx1：

nnnnxxxx1222，得：nnnnxxxx2122, 3 这个关系表明：第n+2项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k+1 项增量的增量的增量来表现和计算。

由（1）式得到： ,)1(10kninkiikiknkxxCx得：

nkinkiikikknxxCx10)1( （2）

可以看出：

knx可以由nknnxxx,...,,的线性组合表示出来。

3、差分方程

由nx以及它的差分所构成的方程

),...,,,(1nknnnkxxxnfx （3）

称之为k阶差分方程。

由（1）式可知（3）式可化为

),...,,,(11knnnknxxxnFx （4）

故（4）也称为k阶差分方程（反映的是未知数列nx任意一项与其前面k项之间的关系）。

由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。

我们经常用的差分方程的形式是（4）式。

4、差分方程的解与有关概念

（1） 如果nx使k阶差分方程（4）对所有的n成立，则称nx 为方程（4）的解。

（2） 如果xxn（x为常数）是（4）的解，即

),...,,(xxnFx

则称xxn为（4）的平衡解或叫平衡点。平衡解可能不只一个。平衡解的基本意义是：设nx是（4）的解，考虑nx的变化性态，其中之一是极限状况，如果xxnnlim，则方程（4）两边取极限（x就存在在这里面），应当有 ),...,,(xxnFx

（3） 如果（4）的解nx使得xxn既不是最终正的，也不是最终负的，则称nx为关于平衡点x是振动解。

（4） 如果令：xxynn，则方程（4）会变成 4 ),...,,(1knnknyynGy （5）

则 0y成为（5）的平衡点。

（5） 如果（5）的所有解是关于0y振动的，则称k阶差分方程 （5）是振动方程。如果（5）的所有解是关于0y非振动的，则称k阶差分方程（5）是非振动方程。

（6） 如果（5）有解ny，使得对任意大的yN有 0nNnySupy

则称ny为正则解。（即不会从某项后全为零）

（7） 如果方程（4）的解nx使得xxLimnn，则称nx为稳定解。

5、差分算子的若干性质

（1）nnnnyxyx)(.)(

（2）)(1)(1nnnnnnnnyxxyyyyx

（3）nnnnnnyxxyyx1)(

（4）bakkkabakabbkkyxyxyxxy111

（5）niiinnnnxCxIxEx0000)(

6、Z变换

定义：对于数列nx，定义复数级数

0)()(kkknzxxZzX （6）

这是关于z洛朗级数。它的收敛域是：21RzR，其中2R可以为，1R可以为0。 称)(nxZ为nx的z-变换。

由复变函数展开成洛朗级数的唯一性可知：z变换是一一对应的，从而有逆变换，记为：

))((1zXZxn （7）

z变换是研究数列的有效工具 。

z变换的若干重要性质：

（1）线性性质 )()()(nnnnyZxZyxZ

（2）平移性质 ])([)(10NkkkNNnzxzXzxZ 5

z变换举例：

（1）0,00,)(nnn, 则001)1()())((kkkkzzknZ

（2）0,00,1)(kknu，则00,1,1)())((kkkkzzzzzkunuZ

（3）设,)(nanf则0,0,,)(kkknaazazzzaaZ

（4）设,!1)(nnf则0,!1)!1(01zezknZkzk

第二节 差分方程常用解法与性质分析

1、常系数线性差分方程的解

方程)(...110nbxaxaxankknkn （ 8）

其中kaaa,...,,10为常数，称方程（8）为常系数线性方程。

又称方程0...110nkknknxaxaxa （9）

为方程（8）对应的齐次方程。

如果（9）有形如nnx的解，带入方程中可得：

0...1110kkkkaaaa （10）

称方程（10）为方程（8）、（9）的特征方程。

显然，如果能求出（10）的根，则可以得到（9）的解。

基本结果如下：

（1） 若（10）有k个不同的实根，则（9）有通解：

nkknnncccx...2211，

（2） 若（10）有m重实根，则通解中有构成项：

nmmncncc)...(121 6 （3）若（10）有一对单复根 i，令：ie，arctan,22，则（9）的通解中有构成项：

ncncnnsincos21

（4） 若有m 重复根：i，ie，则（9）的通项中有构成项：

nncnccnncnccnmmmmnmmsin)...(cos)...(1221121

综上所述，由于方程（10）恰有k 个根，从而构成方程（9）的通解中必有k个独立的任意常数。将其通解可记为：nx，又设方程（8）的一个特解为：*nx，则（8）必有通解：

nxnx+*nx （11）