中考数学规律探索题中考找规律题目有答案

2023中考数学真题汇编·29规律探究题一、单选题1.（2023·重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．542.（2023·重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A ．14B ．20C ．23D ．263.（2023·湖南常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b 的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．20234.（2023·云南）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB 1n C nD 1n5.（2023·四川内江）对于正数x ，规定2()1x f x x ，例如：224(2)213f，1212212312f，233(3)312f ，1211313213f，计算：11111(1)1011009932f f f f f f(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f （）A ．199B ．200C ．201D ．2026.（2023·山东）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ，，34131111nn na a a a a a，，，若12a ，则2023a 的值是（）A ．12B ．13C ．3D ．27.（2023·四川达州）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线11112DA B C D A 是由多段90 的圆心角的圆心为C ，半径为1CB ； 11C D 的圆心为D ，半径为 11111111,DC DA A B B C C D、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则 20232023A B 的长是（）A ．40452B ．2023C ．20234D ．20228.（2023·山东烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为 123,0,2,1,1,0P A A ， 32,1A ，则顶点100A 的坐标为（）A ．31.34B ．31,34C ． 32,35D ．32,09.（2023·山东日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点 ,i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y ，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A ，即231,(1,1)a A ，即30,a ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340aB ．202443a C ．2(21)26n a n D ．2(21)24n a n 二、填空题10.（2023·四川成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653 ，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n 进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．11.（2023·湖南岳阳）观察下列式子：21110 ；22221 ；23332 ；24443 ；25554 ；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．12.（2023·湖北随州）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．13.（2023·湖北恩施）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2 ，4，8 ，16，32 ，64，……①0，7，4 ，21，26 ，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．14.（2023·黑龙江绥化）在求123100 的值时，发现：1100101 ，299101 ，从而得到123100 101505050 ．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a ；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a ；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a ；按此方法继续下去，则123n a a a a．（结果用含n 的代数式表示）15.（2023·湖北十堰）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为（用含n 的式子表示）．16.（2023·山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）17.（2023·四川遂宁）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．18.（2023·湖南怀化）在平面直角坐标系中，AOB 为等边三角形，点A 的坐标为 1,0．把AOB 按如图所示的方式放置，并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60 ，同时边长扩大为AOB 边长的2倍，得到11A OB △；第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60 ，同时边长扩大为11A OB △，边长的2倍，得到22A OB △，…．依次类推，得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为，点2023A 的坐标为．19.（2023·山东枣庄）如图，在反比例函数8(0)y x x的图象上有1232024,,,P P P P 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S．20.（2023·湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC 是正方形，点A 的坐标为(1,1)， 1AA 是以点B 为圆心，BA 为半径的圆弧； 12A A 是以点O 为圆心，1OA 为半径的圆弧， 23A A 是以点C 为圆心，2CA 为半径的圆弧， 34A A 是以点A 为圆心，3AA 为半径的圆弧，继续以点B ，O ，C ，A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是．21.（2023·山东东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y x 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上，延长11C B 交直线l 于点2A ，以12C A 为边作正方形2221A B C C ，点2C 在y 轴上，以同样的方式依次作正方形3332A B C C ，…，正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是．22.（2023·山东泰安）已知，12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上，且2356891A A A A A A ，则点2023A 的坐标是．23.（2023·四川广安）在平面直角坐标系中，点1234A A A A 、、、在x 轴的正半轴上，点123B B B 、、在直线 03y x x上，若点1A 的坐标为 2,0，且112223334A B A A B A A B A △、△、△均为等边三角形．则点2023B 的纵坐标为．24.（2023·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点A 在直线1:3l y x上，顶点B 在x 轴上，AB 垂直x轴，且OB 顶点C 在直线2:l y 上，2BC l ；过点A 作直线2l 的垂线，垂足为1C ，交x 轴于1B ，过点1B 作11A B 垂直x 轴，交1l 于点1A ，连接11A C ，得到第一个111A B C △；过点1A 作直线2l 的垂线，垂足为2C ，交x 轴于2B ，过点2B 作22A B 垂直x 轴，交1l 于点2A ，连接22A C ，得到第二个222A B C △；如此下去，……，则202320232023A B C 的面积是．25.（2023·山东聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对： 3,5； 7,10； 13,17； 21,26； 31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【参考答案与解析】1.【答案】B【解析】解：第①个图案用了459根木棍，第②个图案用了45214根木棍，第③个图案用了45319根木棍，第④个图案用了45424根木棍，……，第⑧个图案用的木棍根数是45844根，故选：B．2.【答案】B【解析】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311；第②个图案中有5个圆圈，5321；第③个图案中有8个圆圈，8331；第④个图案中有11个圆圈，11341；…，所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120；故选：B.3.【答案】C【解析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b ；向前递推到第1列时，分数为201912023192042，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a ．∴2042202022.a b故选：C．4.【答案】C【解析】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n n，故选：C．5.【答案】C【解析】解：2 (1)1,11f∵12441212(2),,(2)2,112323212f f f f122331113(3),(3)2,113232313f f f f…2100200(100)1100101f ，1212100()11001011100f，1(100)()2100f f ，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f 21001 201故选：C ．6.【答案】A【解析】解：∵12a ，∴212312a ，3131132a ，411121312a，51132113a，…….；由此可得规律为按2、3 、12 、13四个数字一循环，∵20234505.....3 =，∴2023312a a ；故选A ．7.【答案】A【解析】解：由图可知，曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径12，112AD AA，111BA BB ，1132CB CC ，112DC DD ，12122AD AA，2221BA BB ，22322CB CC ，2222DC DD ， ，1114(1)22n n AD AA n ，14(1)12n n BA BB n ，故 20232023A B 的半径为 202320231420231140452BA BB ，20232023A B 的弧长90404540451802．故选A 8.【答案】A【解析】解：∵ 121A ，， 412A ，， 703A ，， 1014A ，，L ，∴ 323n A n n ，，∵1003342 ，则34n ，∴ 1003134A ，，故选：A ．9.【答案】B【解析】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a ；第2圈有8个点，即2A 到 91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到 252,2A ，；依次类推，第n 圈， 211,1n A n n ；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且 202522,22A ，则 202320,22A 即2023202242a ，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且 202421,22A ，即2024212243a ，故B 选项正确；第n 圈， 211,1n A n n ，所以2122n a n ，故C 、D 选项不正确；故选B ．10.【答案】1545【解析】解：依题意，当3m ，1n ，则第1个一个智慧优数为22318 当4m ，2n ，则第2个智慧优数为224214 当4m ，1n ，则第3个智慧优数为224115 ，当5m ，3n ，则第5个智慧优数为225316 当5m ，2n ，则第6个智慧优数为225221 当5m ，1n ，则第7个智慧优数为225324 ……6m 时有4个智慧优数，同理7m 时有5个，8m 时有6个，12345621第22个智慧优数，当9m 时，7n ，第22个智慧优数为2297814932 ，第23个智慧优数为9,6m n 时，2296813645 ，故答案为：15，45．11.【答案】21n n n n 【解析】解：∵21110 ；22221 ；23332 ；24443 ；25554 ；…∴第n （n 为正整数）个等式是 21n n n n ，故答案为： 21n n n n ．12.【答案】 111n n 【解析】解：∵21312 ；22413 ；23514 ；……∴ 2211n n n ，∴ 2111n n n ．故答案为： 111n n 13.【答案】10【解析】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；故答案为：10．14.【答案】1024202422024【解析】第一行数的规律为(2)n ，∴第①行数的第10个数为10(2)1024 ；第二行数的规律为(2)1n n ，∴第①行数的第2023个数为2023(2) ，第②行数的第2023个数为2023(2)2024 ，∴202422024 ，故答案为：1024；202422024 ．15.【答案】22n n /22n n 【解析】解：依题意， 1231,5,9,14143n a a a a n n ，，∴123n a a a a 21432122n n n n n n ，故答案为：22n n ．16.【答案】66n /66n【解析】解：当1n 时，有 2114 个三角形；当2n 时，有 2216 个三角形；当3n 时，有 2318 个三角形；第n 个图案有 2122n n 个三角形，每个三角形用三根，故第n 个图案需要火柴棍的根数为66n ．故答案为：66n ．17.【答案】22n 【解析】解：第1个图案中有4个白色圆片4221 ，第2个图案中有6个白色圆片6222 ，第3个图案中有8个白色圆片8223 ，第4个图案中有10个白色圆片10224 ，，∴第(1)n n 个图案中有 22n 个白色圆片．故答案为： 22n ．18.【答案】1226C H 【解析】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．19.【答案】20232202220222,2【解析】解：∵AOB 为等边三角形，点A 的坐标为 1,0，∴1OA ，∵每次旋转角度为60 ，∴6次旋转360 ，第一次旋转后，1A 在第四象限，12OA ，第二次旋转后，2A 在第三象限，222OA ，第三次旋转后，3A 在x 轴负半轴，332OA ，第四次旋转后，4A 在第二象限，442OA ，第五次旋转后，5A 在第一象限，552OA ，第六次旋转后，6A 在x 轴正半轴，662OA ，……如此循环，每旋转6次，点A 的对应点又回到x 轴正半轴，∵202363371 ，点2023A 在第四象限，且202320232OA ，如图，过点2023A 作2023A H x 轴于H ，在2023Rt OHA 中，202360HOA ，∴202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA ，20232022202320232023sin 22A H OA HOA，∴点2023A 的坐标为202220222,2．故答案为：20232，202220222,2．20.【答案】2023253【解析】当1x 时，1P 的纵坐标为8，当2x 时，2P 的纵坐标为4，当3x 时，3P 的纵坐标为83，当4x 时，4P 的纵坐标为2，当5x 时，5P 的纵坐标为85，…则11(84)84S ；2881(4)433S ；3881(2)233S ；481(22558S ； (881)n S n n；1238888888844228335111n nS S S S n n n n ，∴12320238202320242532023S S S S ．故答案为：2023253．21.【答案】2023,1 【解析】∵A 点坐标为 1,1，且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90 所得，∴1A 点坐标为 2,0，又∵2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90 所得，∴2A 点坐标为 0.2 ，又∵3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90 所得，∴3A 点坐标为 3,1 ，又∵4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90 所得，∴4A 点坐标为 1,5，由此可得出规律：n A 为绕B 、O 、C 、A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90 ，且半径为1、2、3、 、n ，每次增加1．∵202355053 ，故2023A 为以点C 为圆心，半径为2022的2022A 顺时针旋转90 所得，故2023A 点坐标为 2023,1 ．故答案为： 2023,1 ．22.【答案】20221【解析】解：当0y ，0 1x ，∴点 11,0A ,∵111A B C O 是正方形，∴11111OA A B OC ，∴点 11,1B ，∴点1B 的横坐标是1，当1y 时，1313x，∴点213A，∵2221A B C C 是正方形，∴2212211A B C C A C ∴点21,233B，即点2B 的横坐标是313，当2y时，2223x，∴点34,2333A，∵3332A B C C 是正方形，∴332332433A B C C A C ，∴点3B 2413，……以此类推，则点2023B 的横坐标是202213故答案为：202231323.【答案】 2023,【解析】解：由图形可得： 2356892,0,3,0,5,0,6,0,8,0,9,0,A A A A A A 如图：过1A 作1A B x 轴，∵12,OA A ∴111cos601,sin 60OB OA A B OA ∴ 1A ,同理： 4774,,,10,,A A A∴3133131,0,3,0,3n n n A n A n A n 31n 为偶数， 3131,n A n 为奇数；∵202336741 ，2023为奇数，∴ 20232023,A ．故答案为 2023,．24.【答案】2【解析】解：如图，过点1A 作1A M x轴，交直线 0y x x 于点M ，过点1B 作1B C x 轴于点C，12,0A ∵，12OA ，当2x 时，233y，即1,M A M111tan A M A OM A O 130A OM ，112A B A ∵ 是等边三角形，211121160,A A B A A A B ，11130O O A M B A ，1112A B OA，111sin 6022A B B C ，即点1B的纵坐标为22，同理可得：点2B的纵坐标为223B的纵坐标为324B的纵坐标为42归纳类推得：点n B的纵坐标为22n n （n 为正整数），则点2023B的纵坐标为202322故答案为：225.【答案】2【解析】解：∵OB∴B ，∵AB x 轴，∴点A的横坐标为∵1:3l y x ，∴点A的纵坐标为33 ，∴tan AB AOB OB ∴30AOB ，∵2:l y ，∴设 ,C C C x y，则C C y ，∴tan CCy BOC x ∴60BOC ，∴1cos602OC OB，3sin 602BC OB ∵130AOC BOC AOB ，∴1AOB AOC ，∴OA 平分BOC ，∵12AC l ，AB OB ，∴1263AC AB，∵1AB AC ，OA OA ，∴1Rt Rt OAB OAC ≌，∴1OC OB ，∴11CC OC OC∴12ABC OAB ACC BOCS S S S1112222∵2BC l ，∴90BCO ，∴906030CBO ，∵112B C l ，2BC l ，222B C l ，∴2112B B C C B C ∥∥，∴112230C B O C B O CBO ，∴1122C B O C B O CBO AOB ，∴1AO AB ，112AO A B ，∵AB x 轴，11A B x 轴，∴112OB OB ，1212OB OB ，∵AB x 轴，11A B x 轴，22A B x 轴，∴1122AB A B A B ∥∥，∴11112AB OB A B OB ，22214AB OB A B OB ，∵2112B B C C B C ∥∥，∴11112BC OB B C OB ，22214BC OB B C OB ，∴1111AB BCA B B C ，∵111903060ABC A B C ，∴111ABC A B C ∽△△，同理222ABC A B C ∽，∴1114A B C ABC S S ， 22222242A B C ABC ABC S S S ，∴ 2222n n n n n A B C ABC ABC S S S ，∴2023202320232202322A B C S故答案为：226.【答案】221,22n n n n 【解析】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121 ，231 ，341 ，451 ，561 ，…则第n 个数对的第一个数为： 2111n n n n ，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221 ；231 ；241 ；251 ；261 …，则第n 个数对的第二个位： 221122n n n ，∴第n 个数对为：221,22n n n n ，故答案为：221,22n n n n ．。

中考规律探索1以下为全部整理类型;规律探索共两套试题;供参考学习使用一．选择题1．观察下列等式：31＝3;32＝9;33＝27;34＝81;35＝243;36＝729;37＝2187… 解答下列问题：3＋32＋33＋34…＋32013的末位数字是 A ．0 B ．1 C ．3 D ．72. 把所有正奇数从小到大排列;并按如下规律分组：1;3;5;7;9;11;13;15;17;19;21;23;25;27;29;31;…;现用等式A M =i;j 表示正奇数M 是第i 组第j 个数从左往右数;如A 7=2;3;则A 2013= A ．45;77 B ．45;39 C ．32;46 D ．32;233.下表中的数字是按一定规律填写的;表中a 的值应是 ．4.下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成;其中第1个图形的面积为2cm 2;第2个图形的面积为8 cm 2;第3个图形的面积为18 cm 2;……;第10个图形的面积为 A ．196 cm 2B ．200 cm 2C ．216 cm 2D ． 256 cm 25．如图;动点P 从0;3出发;沿所示的方向运动;每当碰到矩形的边时反弹;反弹时反射角等于入射角;当点P 第2013次碰到矩形的边时;点P 的坐标为 A 、1;4 B 、5;0 C 、6;4 D 、8;36．如图;下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律;图形中M 与m 、n 的关系是A ． M=mnB ． M=nm+1C ．M=mn+1D ．M=mn+17．我们知道;一元二次方程12-=x 没有实数根;即不存在一个实数的平方等于-1;若我们规定一个新数“”;使其满足12-=i 即方程12-=x 有一个根为;并且进一步规定: 一切实数可以与新数进行四则运算;且原有的运算律和运算法则仍然成立;于是有,1i i =12-=i ;,).1(23i i i i i -=-=⋅=.1)1()(2224=-==i i 从而对任意正整数n;我们可得到,.)(.4414i i i i i i n n n ===+同理可得,1,,143424=-=-=++n n n i i i i 那么;20132012432i i i i i i +⋅⋅⋅++++的值为A ．0B ．1C ．-1D ．8．下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成;其中第①个图形有1颗棋子;第②个图形一共有6颗棋子;第③个图形一共有16颗棋子;…;则第⑥个图形中棋子的颗数为A ．51B ．70C ．76D ．81图① 图②图③···第8题图二．填空题1．观察下列图形中点的个数;若按其规律再画下去;可以得到第n个图形中所有的个数为用含n的代数式表示．2．如图;在直角坐标系中;已知点A﹣3;0、B0;4;对△OAB连续作旋转变换;依次得到△1、△2、△3、△4…;则△2013的直角顶点的坐标为．3．如图;正方形ABCD的边长为1;顺次连接正方形ABCD四边的中点得到第一个正方形A1B1C1D1;由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2…;以此类推;则第六个正方形A6B6C6D6周长是．4．直线上有2013个点;我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点;经过3次这样的操作后;直线上共有个点．5．如图;古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1;5;12;22…为五边形数;则第6个五边形数是．6 ．如图;是用火柴棒拼成的图形;则第n个图形需根火柴棒．7．观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…;则1+3+5+…+2013的值是．8．如图12;一段抛物线：y＝－xx－30≤x≤3;记为C1;它与x轴交于点O;A1；将C1绕点A1旋转180°得C2;交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3;交x 轴于点A3；……如此进行下去;直至得C13．若P37;m在第13段抛物线C13上;则m =_________．9.直线上有2013个点;我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点;经过3次这样的操作后;直线上共有个点. 10．观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25;15×15=1×2×100+25;25×25=2×3×100+25;35×35=3×4×100+25;…………请猜测;第n个算式n为正整数应表示为____________________________．11．将连续的正整数按以下规律排列;则位于第7行、第7列的数x是__ __．12、如下图;每一幅图中均含有若干个正方形;第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；……按这样的规律下去;则第6幅图中含有个正方形；••••••①②③13．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆; 第2个图形有10个小圆; 第3个图形有16个小圆; 第4个图形有24个小圆; ……;依次规律;第6个图形有 个小圆． 14.已知一组数2;4;8;16;32;…;按此规律;则第n 个数是 ． 15、我们知道;经过原点的抛物线的解析式可以是y ＝ax 2＋bxa ≠0 1对于这样的抛物线：当顶点坐标为1;1时;a ＝__________；当顶点坐标为m ;m ;m ≠0时;a 与m 之间的关系式是__________；2继续探究;如果b ≠0;且过原点的抛物线顶点在直线y ＝kxk ≠0上;请用含k 的代数式表示b ；3现有一组过原点的抛物线;顶点A 1;A 2;…;A n 在直线y ＝x 上;横坐标依次为1;2;…;n 为正整数;且n ≤12;分别过每个顶点作x 轴的垂线;垂足记为B 1;B 2;…;B n ;以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ;若这组抛物线中有一条经过D n ;求所有满足条件的正方形边长．16．如图;所有正三角形的一边平行于x 轴;一顶点在y 轴上;从内到外;它们的边长依次为2;4;6;8;…;顶点依次用1A 、2A 、3A 、4A 、…表示;其中12A A 与x 轴、底边12A A 与45A A 、45A A 与78A A 、…均相距一个单位;则顶点3A 的坐标是 ;22A 的坐标是 ．第16题图17．如图;已知直线l ：y=33x ;过点A 0;1作y 轴的垂线交直线l 于点B ;过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1;过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；……按此作法继续下去;则点A 2013的坐标为 ．18、如图;在平面直角坐标系中;一动点从原点O 出发;按向上;向右;向下;向右的方向不断地移动;每移动一个单位;得到点A 1 0;1;A 21;1;A 31;0;A 42;0;…那么点A 4n ＋1n 为自然数的坐标为 用n 表示19．当白色小正方形个数n 等于1;2;3…时;由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于_____________．用n 表示;n 是正整数20. 2013 衢州4分如图;在菱形ABCD 中;边长为10;∠A=60°．顺次连结菱形ABCD 各边中点;可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点;可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点;可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…．则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是 ；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 ．21.一组按规律排列的式子：ａ２;43a ;65a ;87a ;….则第n 个式子是________22.观察下面的单项式：a;﹣2a 2;4a 3;﹣8a 4;…根据你发现的规律;第8个式子是 ． 23.如图;已知直线l ：y=x;过点M2;0作x 轴的垂线交直线l 于点N;过点N 作直线l 的垂线交x 轴于点M 1；过点M 1作x轴的垂线交直线l 于N 1;过点N 1作直线l 的垂线交x 轴于点M 2;…；按此作法继续下去;则点M 10的坐标为 ．24.为庆祝“六一”儿童节;某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律;摆第n图;需用火柴棒的根数为．答案：选择题：1、C 2、C 3、21 4、B 5、D 6、D 7、D 8、 C填空题：1、n+12 2、8052;0 3、0.5 4、16097 5、51 6、2n+1 7、1014049 8、 2 9、16097 10、10n-1+52=100nn-1+25 11、85 12、91 13、46 14、2n 15、1－1；a ＝－1m或am ＋1＝0；2解：∵a ≠0 ∴y ＝ax 2＋bx ＝ax ＋2b a2－24b a ∴顶点坐标为－2ba;－24b a∵顶点在直线y ＝kx 上∴k －2ba＝－24b a∵b ≠0 ∴b ＝2k3解：∵顶点A n 在直线y ＝x 上 ∴可设A n 的坐标为n ;n ;点D n 所在的抛物线顶点坐标为t ;t由12可得;点D n 所在的抛物线解析式为y ＝－1tx 2＋2x∵四边形A n B n C n D n 是正方形 ∴点D n 的坐标为2n ;n∴－1t2n 2＋2×2n ＝n∴4n ＝3t∵t 、n 是正整数;且t ≤12;n ≤12∴n ＝3;6或9∴满足条件的正方形边长为3;6或916、0;31-;－8;－8. 17、()()201340260,40,2或注：以上两答案任选一个都对18、2n;1 19、n 2+4n 20、20；21、221na n n 为正整数22、-128a 8 23、884736;0 24、6n+2规律探索21、 我们平常用的数是十进制数;如2639=2×103+6×102+3×101+9×100;表示十进制的数要用10个数码又叫数字：0;1;2;3;4;5;6;7;8;9..在电子数字计算机中用的是二进制;只要两个数码：0和1..如二进制中101=1×22+0×21+1×20等于十进制的数5;10111=1×24+0×23＋1×22＋1×21＋1×20等于十进制中的数23;那么二进制中的1101等于十进制的数 ..2、 从1开始;将连续的奇数相加;和的情况有如下规律：1=1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；…按此规律请你猜想从1开始;将前10个奇数即当最后一个奇数是19时;它们的和是 .. 3、小王利用计算机设计了一个计算程序;输入和输出的数据如下表：输入 (1)2345… 输出……那么;当输入数据是8时;输出的数据是A 、618B 、638C 、658D 、6784、如下左图所示;摆第一个“小屋子”要5枚棋子;摆第二个要11枚棋子;摆第三个要17枚棋子;则摆第30个“小屋子”要 枚棋子.5、如下右图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子;观察图形的变化规律;写出第n 个小房子用了 块石子6、如下图是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去;那么通过观察;可以发现：1第四、第五个“上”字分别需用 和 枚棋子；2第n 个“上”字需用 枚棋子..7、如图一串有黑有白;其排列有一定规律的珠子;被盒子遮住一部分;则这串珠子被盒子遮住的部分有_______颗.(1)(2)(3)第4题第7题图⑴ ⑵ ⑶1 2 348、根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律：猜想第6个图形有 个点;第n 个图形中有 个点.. 9、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图2比图1多出2个“树枝”；图3比图2多出5个“树枝”；图4比图3多出10个“树枝”；照此规律;图7比图6多出 个“树枝”..10、观察下面的点阵图和相应的等式;探究其中的规律：1在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；2通过猜想写出与第n 个点阵相对应的等式_____________________..11、用边长为1cm 的小正方形搭成如下的塔状图形;则第n 次所搭图形的周长是_______________cm 用含n 的代数式表示..12、如图;都是由边长为1例如第1个图形的表面积为6个平方单位;第2个图形的表面积为18个平方单位;第3个图形的表面积是36..个图形的表面积 个平方单位13、图1是一个水平摆放的小正方体木块;图2、3是由这样的小正方体木块叠放而成;按照这样的规律继续叠放下去;至第七个叠放的图形中;小正方体木块总数应是A 25B 66C 91D 12014、如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体;图⑴中有1个立方体;图⑵中有4个立方体;图⑶中有9个立方体;……按这样的规律叠放下去;第8个图中小立方体个数是 .15、图1是棱长为a 的小正方体;图2、图3由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放;由上而下分别叫第一层、第二层、…、第n 层;第n 层的小正方体的个数为s ．解答下列问题：1按照要求填表：2写出当n =10时;s= ．16、如图用火柴摆去系列图案;按这种方式摆下去;当每边摆10根时即10 n 时;需要的火柴棒总数为 根；n1 2 3 4… s 1 3 6……………①1=12； ②1+3=22；③1+3+5=32； ④ ；⑤ ；第 ··· ···图1 图2 图3B 17、用火柴棒按如图的方式搭一行三角形;搭一个三角形需3支火柴棒;搭2个三角形需5支火柴棒;搭3个三角形需7支火柴棒;照这样的规律下去;搭n 个三角形需要S 支火柴棒;那么用n 的式子表示S 的式子是 _______ n 为正整数．18、;请观察下图：则第n 个图形中需用黑色瓷砖 ____ 19题图19、如图;用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面;观察图形并猜想填空：当黑色瓷砖为20块时;白色瓷砖为 块；当白色瓷砖为n 2n 为正整数块时;黑色瓷砖为 块．20、观察下列由棱长为1的小立方体摆成的图形;寻找规律：如图1中：共有1 个小立方体;其中1个看得见;0个看不见；如图2中：共有8个小立方体;其中7个看得见;1个看不见；如图3中：共有27个小立方体;其中有19个看得8个看不见；……;则第6个图中;看不见的小立方体有 个..21、下面的图形是由边长为l 的正方形按照某种规律排列而组成的． 1观察图形;填写下表：2推测第n 个图形中;正方形的个数为________;周长为______________都用含n 的代数式表示．22、观察下图;我们可以发现：图⑴中有1个正方形；图⑵中有5个正方形;图⑶中共有14个正方形;按照这种规律继续下去;图⑹中共有_______个正方形..23、某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的;现要在园地上建一个花坛阴影部分使花坛面积是园地面积的一半;以下图中设计不合要求．．．．的是 第22题图 24;25<1>、 <3>26、2次把第1次铺的完全围起来;如图2；第3次把第23；…依此方法;第n 次铺完后;用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块块数为 . n 为正整数27、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律;拼成若干个图案： ⑴ 第4个图案中有白色地面砖 块； ⑵ 第n 个图案中有白色地面砖 块..28、分析如下图①;②;④中阴影部分的分布规律;按此规律在图③中画出其中的阴影部分.29、将一圆形纸片对折后再对折;得到图2;然后沿着图中的虚线剪开;得到两部分;其中一部分展开后的平面图形是30．如图1;小强拿一张正方形的纸;沿虚线对折一次得图2;再对折一次得图3;然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角;再DCB打开后的形状是A B C D31、 用一条宽相等的足够长的纸条;打一个结;如图１所示;然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图２所示的正五边形ＡＢＣＤＥ;其中∠ＢＡＣ＝ 度.32、如图;一张长方形纸沿AB 对折;以AB 中点O 为顶点将平角五等分;并沿五等分的折线折叠;再沿CD 剪开;使展开后为正五角星正五边形对角线所构成的图形.则∠OCD 等于A ．108°B ．144°C ．126°D ．129°33、如图;把一个正方形三次对折后沿虚线剪下则得到的图形是A B C D 第35题图34、将一张长方形的纸对折;如图5所示可得到一条折痕图中虚线. 继续对折;对折时每次折痕与上次的折痕保持平行;连续对折三次后;可以得到7条折痕;那么对折四次可以得到 条折痕 .如果对折n 次;可以得到 _____________条折痕 ..35、观察图形：图中是边长为1;2;3 …的正方形：当边长n ＝1时;正方形被分成2个大小相等的小等腰直角三角形；当边长n ＝2时;正方形被分成8个大小相等的小等腰直角三角形；当边长n ＝3时;正方形被分成18个大小相等的小等腰直角三角形；以此类推：当边长为n 时;正方形被分成大小相等的小等腰直角三角形的个数是 ..36、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示.如右图;是一个正方体的平面展开图;若图中的“似”表示正方体的前面; “锦”表示右面; “程”表示下面.则“祝”、 “你”、“前”分别表示正方体的___________________.37、如图是一块长方形ABCD 的场地;长AB =102m;宽AD =51m;从A 、B 两处入口的中路宽都为1m;两小路汇合处路宽为2m;其余部分种植草坪;则草坪面积为A5050m 2 B4900m 2 Ｃ5000m 2Ｄ4998m 238、读一读;想一想;做一做：国际象棋、中国象棋和围棋号称为世界三大棋种.国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格;而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个4×4的小方格棋盘;图中的“皇后Q ”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.① 在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q ”;她所在的位置可用“2;3”来表示;请说明“皇后Q ”所在的位置“2;3”的意义;并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q ”所控制的四个位置.②如图丙也是一个4×4的小方格棋盘;请在这个棋盘中放入四个“皇后Q ”;使这四个“皇后Q ”之间互不受对方控制在图丙中的某四个小方格中标出字母Q 即可._沿虚线剪开 程前 你 祝 似 锦 AS D S CSB S 图１DEBA图２3 甲行乙3丙参考答案1、132、1003、C4、1795、 3n+1-3+nn+1或n+12+2n-16、118、22 24n+27、278、31;n2-n-19、8010、1+3+5+7=42；1+3+5+7+9=52；1+3+5+……+2n-1=n2 11、 4n 12、9013、C 14、64 5、110 21+2+3+……+n=nn+1/2 16、16517、s=2n+1 18、4n+6 19、16;4n+420、125 21、113、18；28、38； 25n+3;10n+8 22 、9123、B 24、B 25、A 26、8n-6 27、118 ；24n+228、29、C30、 C31、3632、A 33、C34、15 ；2n-1 35、 2n2 36、后面、上面、左面 37、C38、1 1;1;3;1;4;2;4;4；2。

个11AA B △，第2个122B A B △，第3个233B A B △，……则第n 个等边三角形的边长等于3 B ．3的中点M 所经过的路线长为年香坊区一模)观察下列图形： :]它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个★年福州模拟卷)如图，∠AOB ＝30°，n 个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA 上并与射线、半圆C 2、半圆C 3、…、半圆C n 的半径分别是r 1、r 2、r 3、、r n ，则r 2012r 2011＝___________观察下列各式：(x －1) (x +1)＝x 2－1；(x －1)(x 2+x +1)＝x 3－1；年福建福州质量检查）如图，∠AOB ＝30°，n 个半圆依次外切，它们的圆心都在射线相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3、…、半圆C n 的半径分别是r 1、r 2、r 3、、r n ，则r 2012r 2011＝___________B从计算结果找规律，利用规律计算113445+++⨯⨯…＝_______________.温州市泰顺九校模拟)如图，已知菱形ABCD 的边AB=10， 34201120101⨯+它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第5个图形中共有个▲．18、（2012年浙江金华四模）图1是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,等.如图2将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图3所示的大正方形,其面积为8+4 AB问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是__________.7．对任意相邻的两个数，都用右边的数减去年，广东二模）有一数值转换器，原理如图2－5所示，若开始输入，第二次输出的结果是4，…，请你探索第2011次输出的结果是图2－5兴仁中学一模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1，0)，第3次接着运动到点(3，_ ．y(3,2) (7,2)+个图形共有个小五角星。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。

专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，…，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝________．2. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则第5个台阶上的数x ＝________，从下到上前35个台阶上数的和＝________．第2题图3. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如：位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是________．第3题图4. 如图，下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x 的值为________．第4题图5. 已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2018＝________(用含a 的代数式表示)．6. 观察下列等式：(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1；…根据以上规律，计算22020＋22019＋22018＋…＋23＋22＋2＋1的结果是________，个位数字是________．7. 人们把5－12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a ＝5－12，b ＝5＋12，得ab ＝1，记S 1＝11＋a ＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10.则S 1＋S 2＋…＋S 10＝________． 8.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．第8题图9.观察下列等式：x 1＝1＋112＋122＝32＝1＋11×2； x 2＝1＋122＋132＝76＝1＋12×3； x 3＝1＋132＋142＝1312＝1＋13×4； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝________.10.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法”中的________．类型二 图形变化规律1. 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝3x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去，则点A 6的坐标为________，点A2022的坐标为________．第1题图2. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2，…，按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2，…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3，…，按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．第3题图4. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．第4题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC 于C 1；以C 1A 、C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于C 2，交AC 于M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于C 3，交A 1C 1于M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于C 4，交A 2C 2于M 3；…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3，…，四边形A n －1O n C n ＋1M n 的面积为S n ，则S n ＝________．(结果用含正整数n 的式子表示)第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，且点C 的坐标为(2，0)，∠OCB ＝45°，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，…，依此方式，绕点O 连续旋转2021次后得到菱形OA 2021B 2021C 2021，则点A 2021的坐标为________．第6题图7. 如图，在平面直角坐标系中，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－34x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2也落在直线y ＝－34x 上，以此进行下去…，若点B 的坐标为(0，3)，则点B 21的纵坐标．．．为________．第7题图专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 6667 【解析】∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，a 5＝5，a 6＝6，a 7＝1，a 8＝6，a 9＝1，a 10＝0，…，即每10个数一循环，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，2021÷10＝202……1，∴33×202＋1＝6667.2. －5；18 【解析】第1个至第4个台阶上数的和为－5＋(－2)＋1＋9＝3，∵任意相邻四个台阶上数的和都相等，∴－2＋1＋9＋x ＝3，解得x ＝－5，则第5个台阶上的数x 是－5.由题意知，台阶上的数字每4个一循环，∵35÷4＝8……3，∴从下到上前35个台阶上数的和为8×3－5－2＋1＝18.3. 2023 【解析】观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数为2n (n －1)＋1，∴第32行，第32列的数为2×32×(32－1)＋1＝1985，根据排列规律，偶数行的数从右往左依次增加2，∴第32行，第13列的数为1985＋2×(32－13)＝2023.4. 170 【解析】分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1；∴18＝2b ，b ＝a ＋1.∴a ＝8，b ＝9.∵9＝2×4＋1，20＝3×6＋2，35＝4×8＋3，∴x ＝18b ＋a ＝18×9＋8＝170.5. －a ＋1a 【解析】S 1＝1a ，S 2＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝－a a ＋1，S 4＝－1a ＋1，S 5＝－(a ＋1)，S 6＝a ，S 7＝1a ，…，∴每6个数是一个循环，∵2018÷6＝336……2，∴S 2018＝S 2＝－a ＋1a .6. 22021－1 ；1 【解析】根据题意得：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1，∵(2－1)×(22020＋22019＋…＋2＋1)＝22020＋1－1，∴22020＋22019＋…＋2＋1＝22021－1，∵21＝2，个位数字是2，22＝4，个位数字是4，23＝8，个位数字是8，24＝16，个位数字是6，25＝32，个位数字是2，…，∵2021÷4＝505……1，∴22021的个位数字是2，∴22021－1的个位数字是1. 7. 10 【解析】∵a ＝5－12，b ＝5＋12，∴ab ＝5－12×5＋12＝1，∵S n ＝11＋a n ＋11＋b n ＝2＋a n ＋b n （1＋a n ）（1＋b n ）＝2＋a n ＋b n 1＋（ab ）n ＋a n ＋b n ＝2＋a n ＋b n2＋a n ＋b n ＝1，∴S 1＝S 2＝S 3＝…＝S n ＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10.8. 556个 【解析】∵前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区最后一排座位数为20＋2×(8－1)＝34，∴前区座位数为(20＋34)×8÷2＝216，∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，∴后区的座位数为10×34＝340，∴该礼堂的座位总数是216＋340＝556个．9. －12021 【解析】x 1＝1＋11×2＝1＋1－12，x 2＝1＋12×3＝1＋12－13，x 3＝1＋13×4＝1＋13－14，…，x n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n －1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝2020＋1－12021－2021＝－12021.10. 庚午年 【解析】公元纪年换算成干支纪年方法如下：天干算法：用公元纪年数减3，除以10(不管商数)所得余数，就是天干所对应的位数，地支算法：用公元纪年数减3，除以12(不管商数)所得余数，就是地支所对应的位数，2050－3＝2047，2047÷10余数为7，∴天干为“庚”，2047÷12余数为7，∴地支为“午”，∴2050年为“庚午”年．类型二 图形变化规律1. (－27，27)，(－31011，31011) 【解析】当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∴点A 1的坐标为(1，3)；当y ＝－x ＝3时，x ＝－3，∴点A 2的坐标为(－3，3)；同理可得A 3(－3，－9)，A 4(9，－9)，A 5(9，27)，A 6(－27，27)，A 7(－27，－81)，…，∴A 4n ＋1(32n ，32n ＋1)，A 4n ＋2(－32n ＋1，32n ＋1)，A 4n ＋3(－32n ＋1，－32n ＋2)，A 4n ＋4(32n ＋2，－32n ＋2)(n 为自然数)．∵2022＝505×4＋2，∴点A 2022的坐标为(－31011，31011)．2. 24038· 3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝1，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ADA 1＝∠BCD ＝60°，∵DA 1＝CD ，∴DA 1＝AD ，∴△ADA 1为等边三角形，同理可得△A 1D 1A 2，…，△A 2020D 2020A 2021都为等边三角形，如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∴BE ＝BC ·sin ∠BCD ＝32＝A 1D ，∴S 1＝12A 1D ·BE ＝34A 1D 2＝34，同理可得，S 2＝34A 2D 12＝34×22＝3，S 3＝34A 3D 22＝34×42＝43，…，∴由此规律可得，S n ＝3·22n －4，∴S 2021＝3×22×2021－4＝24038· 3.第2题解图3. 2021＋673 3 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴AB ＝2，BC ＝3，∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3，…，∵2020÷3＝673……1，∴AP 2020＝673×(3＋3)＋2＝2021＋673 3.4. (3n －1，0) 【解析】根据题意得△A 1B 1C 1是等边三角形，∴A 1C 1＝2，则点A 1的坐标是(1，0)，B 1O ＝3，在Rt △A 2OB 1中，tan30°＝B 1O A 2O ，得A 2O ＝3，则点A 2的坐标为(3，0)，同理求出点A 3的坐标是(9，0)，A 4的坐标是(27，0)，…，即点A 3(32，0)，A 4(33，0)，…，∴点A n 的坐标为(3n －1，0)5. 9×4n －15n ＋1 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝5，∵DC 1⊥AC ，∴DC 1＝AD ·CD AC ＝255，∴CC 1＝CD 2－DC 21＝12－（255）2＝55，∴AC 1＝455，∵四边形AA 1DC 1是矩形，∴AA 1＝DC 1＝255，∵DC 2⊥A 1C 1，∴∠AC 1A 1＝∠C 1DM 1，∴tan ∠AC 1A 1＝tan ∠C 1DM 1＝AA 1AC 1＝C 1C 2DC 2＝12，∴由勾股定理可得C 1C 2＝25，∴M 1C 2＝15，∵点O 1是矩形AA 1DC 1对角线的交点，∴点O 1到AC 1的距离＝12DC 1＝55，∴S 1＝S △AO 1C 1－S △C 1C 2M 1＝12×455×55－12×15×25＝925＝9×152；同理可得A 1C 2＝85，DC 2＝45，C 2C 3＝4525，M 2C 3＝2525，点O 2到A 1C 1的距离＝12DC 2＝25，∴S 2＝S △A 1O 2C 2－S △C 2C 3M 3＝12×85×25－12×4525×2525＝36125＝9×453；同理可得S 3＝9×4254，S 4＝9×4355，…，以此类推可得S n ＝9×4n －15n ＋1.6. (0，－2) 【解析】如解图，∵四边形OABC 是菱形，且OC ＝2，∴OA ＝2，又∵∠OCB ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴A (－1，1)，由旋转的性质得OA ＝OA 1＝OA 2＝…＝OA 7＝ 2.∵菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，相当于将线段OA 绕点O 顺时针旋转45°得到线段OA 1，易知点A 与A 2关于y 轴对称，点A 2与A 4关于x 轴对称，点A 与点A 6关于x 轴对称，其余点均在x 轴、y 轴上，∴A (－1，1)，A 1(0，2)，A 2(1，1)，A 3(2，0)，A 4(1，－1)，A 5(0，－2)，A 6(－1，－1)，A 7(－2，0)，….∵360°÷45°＝8，∴图形在旋转过程中每8次为一个循环，∵2021÷8＝252……5，∴点A 2021的坐标与点A 5的坐标相同，∴点A 2021的坐标为(0，－2)．第6题解图7. 3875 【解析】∵AB ⊥y 轴，点B (0，3)，∴OB ＝3，则点A 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－34x ，解得x ＝－4，即A (－4，3)，∴OB ＝3，AB ＝4，OA ＝32＋42＝5，由旋转可知：OB ＝O 1B 1＝O 2B 1＝O 2B 2＝...＝3，OA ＝O 1A ＝O 2A 1＝...＝5，AB ＝AB 1＝A 1B 1＝A 2B 2＝ (4)∴OB 1＝OA ＋AB 1＝5＋4＝9，B 1B 3＝3＋4＋5＝12，∴OB 21＝OB 1＋B 1B 21＝9＋(21－1)÷2×12＝129，设B 21(a ，－34a )，则OB 21＝a 2＋（－34a ）2＝129, 解得a ＝－5165或5165(舍)，则－34a ＝－34×(－5165)＝3875， 即点B 21的纵坐标为3875.。

中考数学专题训练：规律探索——数式规律（附参考答案）1．按一定规律排列的单项式：a，√2a2，√3a3，√4a4，√5a5，…，第n个单项式是( ) A．√n B．√n−1a n-1C．√n a n D．√n a n-12．在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12……则第2 023次输出的结果为( )A．6 B．3C．622 021D．322 0223．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是( )A．2 025 B．2 023C．2 021 D．2 0194．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为( )A．100 B．121C．144 D．1695．按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是( ) A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．(n＋1)2a n6．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a－b－c的值是( )A．62 B．64C．－66 D．－1907．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是______________．8．根据图中数字的规律，则x＋y的值是_______．.例9．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f(a)＝3a＋1；若a为偶数，则f(a)＝a2＝5.若a1＝8，a2＝f(a1)，a3＝f(a2)，a4＝f(a3)，…，如f(15)＝3×15＋1＝46，f(10)＝102依此规律进行下去，得到一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，…，(n为正整数)，a1＋a2＋a3＋…＋a2 022＝__________．参考答案1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．(10，18) 8．593 9．4 725。

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（26题）一 、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．542．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案中有2个圆圈 第①个图案中有5个圆圈 第①个图案中有8个圆圈 第①个图案中有11个圆圈 … 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（ ）A ．14B ．20C ．23D ．263．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：23452345,a a a a a 第n 个单项式是（ ）A nB 11n n a --C n naD 1n na -4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中 每个网格小正方形的边长均为1个单位长度 以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,05．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．26．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004C ．2022D ．20238．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．2029．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a =以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为 ．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．25．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中 点1234A A A A 、、、在x 轴的正半轴上 点123B B B 、、在直线()0y x =≥上 若点1A 的坐标为()2,0 且112223334A B A A B A A B A △、△、△均为等边三角形．则点2023B 的纵坐标为 ．26．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上 顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴 且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线 垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴 交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线 垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴 交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是 ．参考答案一 单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律 由此即可得到答案． 【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍 第①个图案用了45214+⨯=根木棍 第①个图案用了45319+⨯=根木棍 第①个图案用了45424+⨯=根木棍 ……第①个图案用的木棍根数是45844+⨯=根 故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈… 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律即可求解.=⨯-【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈2311=⨯-第①个图案中有5个圆圈5321=⨯-第①个图案中有8个圆圈8331=⨯-第①个图案中有11个圆圈11341…⨯-=所以第①个图案中圆圈的个数为37120故选：B.n-是解题的【点睛】本题考查了图形类规律探究根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31关键.3．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a第n个单项式是（）B1n-C n D1n-A【答案】C字母为a指数为1开始的自然数据此即可求解．【分析】根据单项式的规律可得【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a第n n故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题找到单项式的变化规律是解题的关键．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,0【答案】A【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环 从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：①()121A -， ()412A -， ()703A ， ()1014A ，①()323n A n n --，①1003342=⨯-，则34n =①()1003134A ， 故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化 解答本题的关键是仔细观察图象 得到点的变化规律． 5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =- 413a = 52a =…… 由此可得规律求解．【详解】解：①12a =①212312a +==-- 3131132a -==-+ 411121312a -==+51132113a +==- ……. 由此可得规律为按2 3- 12- 13四个数字一循环①20234505.....3÷= ①2023312a a ==- 故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律 解题的关键是得到数字的一般规律．6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+ 得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+ 得出半径 再计算弧长即可．【详解】解：由图可知 曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+∴112AD AA ==111BA BB == 1132CB CC == 112DC DD ==12122AD AA ==+2221BA BB ==+ 22322CB CC ==+ 2222DC DD ==+ ⋯⋯1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+故20232023A B 的半径为()202320231420231140452BA BB ==⨯⨯-+=∴20232023A B 的弧长90404540451802ππ=⨯=． 故选A【点睛】此题主要考查了弧长的计算 弧长的计算公式：180n rl π= 找到每段弧的半径变化规律是解题关键． 7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致 故202023在第20列 即20b = 向前递推到第1列时 分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点 解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．8．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果． 【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ 122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ …2100200(100)1100101f ⨯==+ 1212100()11001011100f ⨯==+1(100)()2100f f += 11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+ 201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算 熟练掌握运算法则 找到数字变化规律是解本题的关键． 9．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点 即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点 即2A 到()91,1A 第3圈有16个点 即10A 到()252,2A 依次类推 第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上 且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上 且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确 故选B ．【点睛】本题考查图形与规律 利用所给的图形找到规律是解题的关键．二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ． 【答案】 15 45【分析】根据新定义 列举出前几个智慧优数 找到规律 进而即可求解．【详解】解：依题意 当3m = 1n =，则第1个一个智慧优数为22318-= 当4m = 2n =，则第2个智慧优数为224214-= 当4m = 1n =，则第3个智慧优数为224115-= 当5m = 3n =，则第5个智慧优数为225316-= 当5m = 2n =，则第6个智慧优数为225221-= 当5m = 1n =，则第7个智慧优数为225324-= ……6m =时有4个智慧优数 同理7m =时有5个 8m =时有6个12345621+++++=第22个智慧优数 当9m =时 7n = 第22个智慧优数为2297814932-=-= 第23个智慧优数为9,6m n ==时 2296813645-=-= 故答案为：15 45．【点睛】本题考查了新定义 平方差公式的应用 找到规律是解题的关键．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．【答案】1226C H【分析】根据碳原子的个数 氢原子的个数 找到规律 即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H ……碳原子的个数为序数 氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个十二烷的化学式为1226C H 故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题 找到规律是解题的关键． 12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数 等式的右边为这个数乘以这个数减1 即可求解． 【详解】解：①21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …①第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律 找到规律是解题的关键．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮” 确定1-100中 各个数因数的个数 完全平方数的因数为奇数个 从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮”因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数 1-100中 完全平方数为1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 有10个数 故有10盏灯被按奇数次 为“亮”的状态 故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解 完全平方数 理解因数的意义 完全平方数的概念是解题的关键． 14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．【答案】66n +/66n +【分析】当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根计算即可．【详解】解：当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根故第n 个图案需要火柴棍的根数为66n +． 故答案为：66n +．【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题 熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯ ⋯ 可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯⋯①第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片． 故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律 通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素 然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解． 【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律 找到规律是解题的关键．17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为 点2023A 的坐标为 ．【答案】 20232 ()202220222,2【分析】根据旋转角度为60︒ 可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上 故点2023A 在第四象限 且202320232OA = 即可求解．【详解】解：①AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0 ①1OA =①每次旋转角度为60︒ ①6次旋转360︒第一次旋转后 1A 在第四象限 12OA =第二次旋转后 2A 在第三象限 222OA =第三次旋转后 3A 在x 轴负半轴 332OA =第四次旋转后 4A 在第二象限 442OA =第五次旋转后 5A 在第一象限 552OA =第六次旋转后 6A 在x 轴正半轴 662OA =……如此循环 每旋转6次 点A 的对应点又回到x 轴正半轴①202363371÷=点2023A 在第四象限 且202320232OA =如图，过点2023A 作2023A H x ⊥轴于H在2023Rt OHA 中 202360HOA ∠=︒①202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =⋅∠=⨯︒=⨯=202320222023202320233sin 232A H OA HOA =⋅∠= ①点2023A 的坐标为()202220222,32．故答案为：20232 ()202220222,32．【点睛】本题考查图形的旋转 解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质 根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =． 【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子 抽象出相应的数字规律 进行作答即可． 【详解】解：①21312⨯+= 22413⨯+=23514⨯+=……①()()2211n n n ++=+①()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．【答案】2023253【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标 从而可计算出1234,,,S S S S …的高 进而求出1234,,,S S S S … 从而得出123n S S S S +++⋯+的值．【详解】当1x =时 1P 的纵坐标为8 当2x =时 2P 的纵坐标为4 当3x =时 3P 的纵坐标为83当4x =时 4P 的纵坐标为2当5x =时 5P 的纵坐标为85…则11(84)84S =⨯-=- 2881(4)433S =⨯-=-3881(2)233S =⨯-=-481(2)2558S =⨯-=- (881)n S n n =-+ 1238888888844228335111n n S S S S n n n n +++⋯+=-+-+-+-++-=-=+++ ①12320238202320242532023S S S S ⨯+++⋯+==． 故答案为：2023253． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用 解题的关键是求出881n S n n =-+． 20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++ 第n 个数对的第二个位：()211n ++ 即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3 7 13 21 31 … 即：121⨯+ 231⨯+ 341⨯+ 451⨯+ 561⨯+ … 则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++ 每个数对的第二个数分别为5 10 17 26 37 … 即：221+ 231+ 241+ 251+ 261+… 则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++①第n 个数对为：()221,22n n n n ++++ 故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律 找出数字之间的排列规律 利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心 半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得 故2023A 点坐标为()2023,1-． 故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索 通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．【答案】20221⎛ ⎝⎭【分析】分别求出点点1B 的横坐标是1 点2B 的横坐标是1 点3B 2413⎛+= ⎝⎭找到规律 得到答案见即可．【详解】解：当0y = 0= 解得1x = ①点()11,0A ,①111A B C O 是正方形 ①11111OA A B OC === ①点()11,1B ①点1B 的横坐标是1当1y =时 1 解得1x =+①点21A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭①2221A B C C 是正方形①2212211A B C C A C ===①点212B ⎛ ⎝⎭即点2B 的横坐标是1当2y =时 2= 解得)223x =①点34,23A ⎝⎭①3332A B C C 是正方形①33233243A B C C A C ===①点3B 2413⎛= ⎝⎭……以此类推，则点2023B 的横坐标是202231⎛ ⎝⎭故答案为：202231⎛ ⎝⎭【点睛】此题是点的坐标规律题 考查了二次函数的图象和性质 正方形的性质等知识 数形结合是是解题的关键．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．【答案】 1024 202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n - 第二行数的规律为(2)1n n -++ 代入数据即可. 【详解】第一行数的规律为(2)n - ①第①行数的第10个数为10(2)1024-= 第二行数的规律为(2)1n n -++①第①行数的第2023个数为2023(2)- 第①行数的第2023个数为2023(2)2024-+ ①202422024-+故答案为：1024 202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化 找其中的规律 是今年考试中常见的题型. 24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．。

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。

2023年九年级数学中考专题：规律探索题一、单选题1．将一些相同的“O”按如图所示摆放，观察每个图形中的“O”的个数，若第n个图形中“O”的个数是78，则n的值是（）……第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形A．11B．12C．13D．142．桌子上有8只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，经过n次翻转可使这8只杯子的杯口全部朝下，则n的最小值为（）．A．3B．4C．5D．63．如图所示，图（1）中含“○”的矩形有1个，图（2）中含“○”的矩形有7个，图（3）中含“○”的矩形有17个，按此规律，图（6）中含“○”的矩形有（）A．70B．71C．72D．734．如下表，从左到右在每一个小格中都填入一个整数，使任意三个相邻的格子所填的整数之和都相等，则第2017个格子中的整数是()A．-2B．6C．-4D．125．一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（）A．6 个B．7个C．8个D．9 个6．将正整数1至2016按一定规律排列如表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A．2000B．2019C．2100D．21487．把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100－x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{－1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（）A．23B．24C．24或25D．268．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，……，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，有理数-5 在“峰1”中D的位置．则有理数-2021在“峰”中A，B，C，D，E中的位置．题中两空分别代表（）A．403D B．404D C．403A D．404E二、填空题9．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a的值为____________．10．下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．11．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），…那么点A 2020的坐标为________________．12．在一次猜数字游戏中，小红写出如下一组数：1，69415,,,57311…，小军猜想出的第六个数字是1813，也是正确的，根据此规律，第n 个数是_____． 13．一列数按如下的规律排列：1213214321,,,,,,,,,1121231234，则从左边第一数开始数，34为第______个数. 14．下列单项式：-x 、2x 2、-3x 3、4x 4…-19x 19、20x 20…根据你发现的规律，第2015个单项式是___________.15．根据以下图形变化的规律，第2016个图形中黑色正方形的数量是______．16．如图，C 在直线BE 上，∠ABC 与∠ACE 的角平分线交于点1A ，∠A=m,若再作∠1A BE 、∠1A CE 的平分线，交于点2A ；再作∠2A BE 、∠2A CE 的平分线，交于点3A ；……；依次类推，则A n 为_______.三、解答题17．仔细观察下列等式：第1个：52﹣12=8×3第2个：92﹣52=8×7第3个：132﹣92=8×11第4个：172﹣132=8×15…（1）请你写出第6个等式：；（2）请写出第n个等式，并加以验证；（3）运用上述规律，计算：8×7+8×11+…+8×399+8×403．18．图∠是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图∠；再分别连接图∠中间小三角形三边的中点，得到图∠．（1）图∠有个三角形；图∠有个三角形；（2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有多少个三角形（用n的代数式表示结论）．19．如图，是用三角形(黑色)和六边形(白色)按一定规律拼成的图案．（1）图∠中六边形与三角形的个数各是多少？（2）如果按这样的规律继续拼下去，第n个图案中，六边形的个数是多少？三角形的个数又是多少？(用含n的代数式表示)（3）能否拼成一个同时含有108个六边形和228个三角形的图案？20．观察下列有规律的数：111111,,,,,2612203042⋯根据据规律可知：（1）第7个数，第n个数是（n是正整数）；（2）1132是第个数；（3）计算：1111111 261220304220182019+++++++⨯．参考答案：1．B2．B3．B4．C5．C6．D7．C8．D9．210．311．(1010,0)12．3 21n n+13．1914．-2015x201515．302416．2nm17．（1）252﹣212=8×23；（2）第n个等式是：（4n+1）2﹣（4n﹣3）2=8（4n﹣1），验证见解析；（3）164000．18．（1）5，9；（2）43n-19．（1）观察图形发现有3个六边形，8个三角形；（2）第n个图形有n个六边形，有(22n+)个三角形；（3）不能20．（1）156，1n(n1)+；（2）11；（3）20182019．答案第1页，共1页。

规律探索一.选择题1.（2015湖南邵阳第10题3分）如图.在矩形ABCD中.已知AB=4.BC=3.矩形在直线上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置.再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置.….以此类推.这样连续旋转2015次后.顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）考点：旋转的性质；弧长的计算．.专题：规律型．分析：首先求得每一次转动的路线的长.发现每4次循环.找到规律然后计算即可．解答：解：转动一次A的路线长是：.转动第二次的路线长是：.转动第三次的路线长是：.转动第四次的路线长是：0.转动五次A的路线长是：.以此类推.每四次循环.故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π.2015÷4=503余3顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选：D．点评：本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用.发现规律是解决问题的关键．2.（2015湖北荆州第10题3分）把所有正奇数从小到大排列.并按如下规律分组：（1）.（3.5.7）.（9.11.13.15.17）.（19.21.23.25.27.29.31）.….现有等式A m=（i.j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数）.如A7=（2.3）.则A2015=（）A．（31.50）B．（32.47）C．（33.46）D．（34.42）考点：规律型：数字的变化类．分析：先计算出2015是第1008个数.然后判断第1008个数在第几组.再判断是这一组的第几个数即可．解答：解：2015是第=1008个数.设2015在第n组.则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008.即≥1008.解得：n≥.当n=31时.1+3+5+7+…+61=961；当n=32时.1+3+5+7+…+63=1024；故第1008个数在第32组.第1024个数为：2×1024﹣1=2047.第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923.则2015是（+1）=47个数．故A2015=（32.47）．故选B．点评：此题考查数字的变化规律.找出数字之间的运算规律.利用规律解决问题．3.（2015湖北鄂州第10题3分）在平面直角坐标系中.正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置.其中点B1在y轴上.点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上.已知正方形A1B1C1D1 的边长为1.∠B1C1O=60°.B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（）A． B． C． D．【答案】D.考点：1.正方形的性质；2.解直角三角形．4. （2015•山东威海.第12 题3分）如图.正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2.正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切.正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切.…按这样的规律进行下去.A10B10C10D10E10F10的边长为（）A．B．C．D．考点：正多边形和圆．.专题：规律型．分析：连结OE1.OD1.OD2.如图.根据正六边形的性质得∠E1OD1=60°.则△E1OD1为等边三角形.再根据切线的性质得OD2⊥E1D1.于是可得OD2=E1D1=×2.利用正六边形的边长等于它的半径得到正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2.同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2.依此规律可得正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2.然后化简即可．解答：解：连结OE1.OD1.OD2.如图.∵六边形A1B1C1D1E1F1为正六边形.∴∠E1OD1=60°.∴△E1OD1为等边三角形.∵正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切.∴OD2⊥E1D1.∴OD2=E1D1=×2.∴正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=×2.同理可得正六边形A3B3C3D3E3F3的边长=（）2×2.则正六边形A10B10C10D10E10F10的边长=（）9×2=．故选D．点评：本题考查了正多边形与圆的关系：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份.依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.这个圆叫做这个正多边形的外接圆．记住正六边形的边长等于它的半径．5．（2015•山东日照 .第11题3分）观察下列各式及其展开式：（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（）A．36 B．45 C．55 D．66考点：完全平方公式．.专题：规律型．分析：归纳总结得到展开式中第三项系数即可．解答：解：解：（a+b）2=a22+2ab+b2；（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6；（a+b）7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7；第8个式子系数分别为：1.8.28.56.70.56.28.8.1；第9个式子系数分别为：1.9.36.84.126.126.84.36.9.1；第10个式子系数分别为：1.10.45.120.210.252.210.120.45.10.1.则（a+b）10的展开式第三项的系数为45．故选B．点：此题考查了完全平方公式.熟练掌握公式是解本题的关键6 , （2015•山东临沂,第11题3分）观察下列关于x 的单项式.探究其规律：x .3x 2.5x 3.7x 4.9x 5.11x 6.…. 按照上述规律.第2015个单项式是（ ） (A ) 2015x 2015. (B ) 4029x 2014. (C ) 4029x 2015. (D ) 4031x 2015.【答案】C 【解析】试题分析：根据这组数的系数可知它们都是连续奇数.即系数为（2n －1）.而后面因式x 的指数是连续自然数.因此关于x 的单项式是.所以第2015个单项式的系数为2×2015－1=4029.因此这个单项式为.故选C考点：探索规律7．(2015·河南.第8题3分)如图所示.在平面直角坐标系中.半径均为1个单位长度的半圆O 1.O 2.O 3.… 组成一条平滑的曲线.点P 从原点O 出发.沿这条曲线向右运动.速度为每秒2个单位长度.则第2015秒时.点P 的坐标是（ ）A .（2014,0）B .（2015.－1）C . （2015,1）D . （2016,0）B 【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索.∵半圆的半径r =1.∴半圆长度=π. ∴第2015秒点P 运动的路径长为：2π×2015. ∵2π×2015÷π=1007…1.∴点P 位于第1008个半圆的中点上.且这个半圆在x 轴的下方. ∴此时点P 的横坐标为：1008×2－1=2015.纵坐标为－1.∴点P (2015.－1) .第8题图”中的“○”的个数.若第n个“龟图”中有245个“○”.则n=（）A．14 B．15 C．16 D．17考点：规律型：图形的变化类．.分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．解答：解：第一个图形有：5个○.第二个图形有：2×1+5=7个○.第三个图形有：3×2+5=11个○.第四个图形有：4×3+5=17个○.由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○.则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245解得：n1=16.n2=﹣15（舍去）．故选：C．点评：此题主要考查了图形的规律以及数字规律.通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键.注意公式必须符合所有的图形．8. （2015•四川省宜宾市.第7题.3分）如图.以点O为圆心的20个同心圆.它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、20.阴影部分是由第l个圆和第2个圆.第3个圆和第4个圆.…….第l9个圆和第20个圆形成的所有圆环.则阴影部分的面积为（B）A.231πB.210πC.190πD.171π9. （2015•浙江宁波.第10题4分）如图.将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠.使点A 落在BC 边上的A 1处.称为第1次操作.折痕DE 到BC 的距离记为1h ；还原纸片后.再将△ADE 沿着过AD 中点D 1的直线折叠.使点A 落在DE 边上的A 2处.称为第2次操作.折痕D 1E 1到BC 的距离记为2h ；按上述方法不断操作下去.经过第2015次操作后得到的折痕D 2014E 2014到BC 的距离记为2015h .若1h =1.则2015h 的值为【 】A .201521 B .201421 C . 2015211-D . 2014212-【答案】D .【考点】探索规律题（图形的变化类）；折叠对称的性质；三角形中位线定理.【分析】根据题意和折叠对称的性质.DE 是△ABC 的中位线.D 1E 1是△A D 1E 1的中位线.D 2E 2是△A 2D 2E 1的中位线.… ∴21111122h =+=-. 32211111222h =++=-.42331111112222h =+++=-.…20152201420141111112222h =+++⋅⋅⋅+=-. 故选B二.填空题1．（2015•甘肃武威,第18题3分）古希腊数学家把数1.3.6.10.15.21.…叫做三角形数.其中1是第一个三角形数.3是第2个三角形数.6是第3个三角形数.…依此类推.那么第9个三角形数是 45 .2016是第 63 个三角形数．4. （2015•四川省内江市.第16题.5分）如图是由火柴棒搭成的几何图案.则第n个图案中有2n（n+1）根火柴棒．（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类．.专题：压轴题．分析：本题可分别写出n=1.2.3.….所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．解答：解：依题意得：n=1.根数为：4=2×1×（1+1）；n=2.根数为：12=2×2×（2+1）；n=3.根数为：24=2×3×（3+1）；n =n 时.根数为：2n （n +1）．点评： 本题是一道找规律的题目.这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化.是按照什么规律变化的．5．(2015·深圳.第15题 分)观察下列图形.它们是按一定规律排列的.依照此规律.第56个图形有 个太阳。

中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习类型一 数式规律1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺． 12n2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________．第2题图41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴第8行最后一个数为8×92＝36＝6，则第9行从左至右第5个数是36＋5＝41.3. 观察下列关于自然数的式子：第一个式子：4×12－12 ① 第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ …根据上述规律，则第2019个式子的值是______．8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列：1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝12，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________．63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个13的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×164＝63364. 类型二 图形规律5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，…，已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点A n 的坐标是________．第5题图(2n，3)【解析】∵A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，…，∴纵坐标不变，为3，横坐标都和2有关，为2n，即点An的坐标是(2n，3)．6. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P的坐标为________．第6题图(6058，1)【解析】∵铁片OABC为正方形，A(3，0)，P(1，2)，∴正方形铁片OABC 的边长为3，如解图第一个循环周期内的点P1，P2，P3，P4的坐标分别为(5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一个循环，对应的点的横坐标就增加12.而2019÷4＝504……3，即504个循环周期后点P2016的横坐标为504×12＋1＝6049，纵坐标为2，所以点P2019的横坐标为6049＋9＝6058，纵坐标为1.故P2019(6058，1)．第6题解图7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标是________．第7题图(2019，－1) 【解析】∵圆的半径都为1，∴半圆的周长＝π，以时间为点P 的下标．观察发现规律：P 0(0，0)，P 1(1，1)，P 2(2，0)，P 3(3，－1)，P 4(4，0)，P 5(5，1)，…，∴P 4n (4n ，0)，P 4n ＋1(4n ＋1，1)，P 4n ＋2(4n ＋2，0)，P 4n ＋3(4n ＋3，－1)．∵2019÷4＝504……3，∴第2019秒时，点P 的坐标为(2019，－1)．8. 如图，已知菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为________．第8题图(－1，－1) 【解析】∵菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．9. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是________．第9题图3n－13【解析】由题可知，∠MON＝60°，设B n到ON的距离为h n，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×32＝3，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×32＝33，同理可得：OB3＝18，则h3＝18×32＝93，…，依此可得OB n＝2×3n－1，则h n＝2×3n －1×32＝3n －1 3.∴B n 到ON 的距离h n ＝ 3n －1 3.10. 如图，正方形AOBO 2的顶点A 的坐标为A (0，2)，O 1为正方形AOBO 2的中心；以正方形AOBO 2的对角线AB 为边，在AB 的右侧作正方形ABO 3A 1，O 2为正方形ABO 3A 1的中心；再以正方形ABO 3A 1的对角线A 1B 为边，在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4，O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心；再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边，在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2，O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心；…；按照此规律继续下去，则点O 2018的坐标为________．第10题图(21010－2，21009) 【解析】由A (0，2)和A 1(2，4)可知直线AA 1的解析式为y ＝x ＋2，由图可知点A 1，A 2，…，A n 的纵坐标分别为22，23，…，2n ＋1，将y ＝2n ＋1代入y ＝x ＋2，得2n ＋1＝x ＋2，∴x ＝2n ＋1－2，∴点A n 的坐标为(2n ＋1－2，2n ＋1)，由图可知O 2n 横坐标与A n 的横坐标相同，O 2n 纵坐标是A n 的纵坐标的12，∴O 2n 的坐标为(2n ＋1－2，2n)，∴当n ＝1009时，O 2018的坐标为(21010－2，21009)． 真题反馈：1. 观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．2. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为( )A．671 B．672 C．673 D．6743. 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )A．43 B．45 C．51 D．534. 请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是( ).A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n5. 如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2019次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)6. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．7. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．8. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B6的坐标是．9. 如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.10. 如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n 次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 019的坐标是.11.观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5 ①52-4×22=9 ②72-4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．12.(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)(2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2) (3)。

专题29规律探究题（26题）一、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A．39B．44C．49D．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．+=根木棍，【详解】解：第①个图案用了459+⨯=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311A ．()31.34B ．()31,34-【答案】A【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：∵()121A -，，()412A -，，()703A ，，()1014A ，，L ，∴()323n A n n --，，∵1003342=⨯-，则34n =，∴()1003134A ，，故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，，34131111nn na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C ，半径为1CB ； 11C D 的圆心为D ，半径为 11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B的长是（）A ．40452πB ．2023【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+，n BAA ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．8．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1x f x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+A ．202340a =B ．2024a 【答案】B【分析】利用图形寻找规律2n A 【详解】解：第1圈有1个点，即第2圈有8个点，即2A 到(91,1A第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．二、填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃C H【答案】1226【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．CH，【详解】解：甲烷的化学式为4设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为（用含n 的式子表示）．【答案】66n +/66n+【分析】当1n =时，有()2114+=个三角形；当2n =时，有()2216+=个三角形；当3n =时，有()2318+=个三角形；第n 个图案有()2122n n +=+个三角形，每个三角形用三根计算即可．【详解】解：当1n =时，有()2114+=个三角形；【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片62=分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++=．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，AOB 为等边三角形，点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置，并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒，同时边长扩大为AOB 边长的2倍，得到11A OB △；第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒，同时边长扩大为11A OB △，边长的2倍，得到22A OB △，…．依次类推，得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为，点2023A 的坐标为．【答案】20232()202220222,32-⨯【分析】根据旋转角度为60︒，可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上，故点2023A 在第四象限，且202320232OA =，即可求解．在2023Rt OHA 中，2023HOA ∠∴202320232023cos 2OH OA HOA =⋅∠=2023202320232023sin 2A H OA HOA =⋅∠=∴点2023A 的坐标为()202220222,32-⨯．故答案为：20232，()202220222,32-⨯．【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．【答案】2023253【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标，从而可计算出123n S S S S +++⋯+的值．【详解】当1x =时，1P 的纵坐标为8当2x =时，2P 的纵坐标为4，当3x =时，3P 的纵坐标为83，∴12320238202320242532023S S S S ⨯+++⋯+==．故答案为：2023253．【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出881n S n n =-+．20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 律即可．【详解】∵A 点坐标为()1,1，且A ∴1A 点坐标为()2,0，又∵2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转故2023A 为以点C 为圆心，半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得故2023A 点坐标为()2023,1-．故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：33y x =-与x 轴交于点1A ，以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上，延长11C B 交直线l 于点2A ，以12C A 为边作正方形2221A B C C ，点2C 在y 轴上，以同样的方式依次作正方形3332A B C C ，…，正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是．【答案】2022313⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】分别求出点点1B 的横坐标是1，点2B 的横坐标是313+，点3B 的横坐标是223431333⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，找到规律，得到答案见即可．【详解】解：当0y =，033x =-，解得1x =，∴点()11,0A ,∵111A B C O 是正方形，∴11111OA A B OC ===，∴点()11,1B ，和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知，12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上，且2356891A A A A A A ==== ，则点2023A 的坐标是．【答案】()2023,3-【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．【详解】解：由图形可得：()()()()()()2356892,0,3,0,5,0,6,0,8,0,9,0,A A A A A A 如图：过1A 作1A B x ⊥轴，【答案】202223【分析】过点1A作1A M x⊥轴，交直线130AOM∠=︒，再根据等边三角形的性质、()12,0A ，12OA ∴=，当2x =时，233y =，即123232,,33M A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1113tan 3A M A OM A O ∴∠==，130A OM ∴∠=︒，112A B A 是等边三角形，211121160,A A B A A A B ∠=︒=∴，11130O O A M B A ∴∠=︒∠=，1112A B OA ==∴，1113sin 6022A B B C ∴=⋅︒=⨯，即点1B 的纵坐标为322⨯，同理可得：点2B 的纵坐标为2322⨯，点3B 的纵坐标为3322⨯，点4B 的纵坐标为4322⨯，归纳类推得：点n B 的纵坐标为132232n n -⨯=（n 为正整数），则点2023B 的纵坐标为2023120222323-=，故答案为：202223．【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三角形等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键．【答案】404623【分析】解直角三角形得出AOB ∠222ABC A B C ∽，得出111A B C S = ()2222n n n n n A B C ABC ABC S S S == ，从而得出【详解】解：∵22OB =，∴设(),C C C x y ，则3C C y x =，∴tan 3C Cy BOC x ∠==，∴60BOC ∠=︒，∴1cos602222OC OB =⨯︒=⨯=，3sin 602262BC OB =⨯︒=⨯=，∵130AOC BOC AOB ∠=∠-∠=︒，∴1AOB AOC ∠=∠，∴OA 平分BOC ∠，∵12AC l ⊥，AB OB ⊥，∴1263AC AB ==，∵1AB AC =，OA OA =，∴1Rt Rt OAB OAC ≌，∴122OC OB ==，∴112222CC OC OC =-=-=，∴12ABC OAB ACC BOCS S S S =-- 126126122222623232=⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯3=，∵2BC l ⊥，∴90BCO ∠=︒，∴906030CBO ∠=︒-︒=︒，∵112B C l ⊥，2BC l ⊥，222B C l ⊥，∴2112B B C C B C ∥∥，∴112230C B O C B O CBO ∠=∠=∠=︒，。

类型一数字规律探索1.(2016.济宁)按一定规律排列的一列数：，1，1，□，，，，…请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为.2.观察下列等式：71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649，...则71+72+73+ (72017)末位数是——————。

3.观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，试猜想，32017的个位数字是4.（2015•孝感）观察下列等式：1 2 =1，1+3=2 2 ，1+3+5=3 2 ，1+3+5+7=4 2 ，…，则1+3+5+7+…+2015=____________．5.（2016.南宁）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第层．类型二数式规律探索．6.古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，······叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为______7.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21……叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，……，第个三角形数记为，计算……，由此推算，____________，__________.8.（2015•武威）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是，2016是第个三角形数．类型三图形规律探索9. （2016.重庆）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A ．43B ．45C ．51D ．5310. 如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为（ ）A ．（）6B ．（）7C ．（）6 D ．（）711. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，那么第4个图形中的x= ，一般地，用含有m ，n 的代数式表示y ，即y=12．（2015.河南）在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1,O 2,O 3…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则2015秒时，点P 的坐标是（ ）A.（2014，0）B.（2015，-1）C.（2015，1）D.（2015，0）13.（2015•宜宾）如图，以点O 为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ ）A．231πB．210πC．190πD．171π类型四坐标中的规律探索14. （2016•聊城）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是14题图15题图15. 如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1（3，0），A3（1，0），A5（4，0），A7（0，0），A9（5，0），依据图形所反映的规律，则A100的坐标为．16.（2015•丹东，）如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△AnAn+1Bn均为等边三角形，点A1、A2、A3…An+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3…Bn在直线OD上依次排列，那么点Bn的坐标为.答案1.【解答】解：把整数1化为，得，，，（），，，…可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，所以，第4个数的分子是2，分母是3，故答案为：．2.答案73.观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，试猜想，32017的个位数字是3.【解答】解：设n为自然数，∵34n+1的个位数字是3，与31的个位数字相同，34n+2的个位数字是9，与32的个位数字相同，34n+3的个位数字是7，与33的个位数字相同，34n的个位数字是1，与34的个位数字相同，∴32016=3504×4的个位数字与34的个位数字相同，应为1，故答案为：34.（2015•孝感）观察下列等式：1 2 =1，1+3=2 2 ，1+3+5=3 2 ，1+3+5+7=4 2 ，…，则1+3+5+7+…+2015= ——————————．4.解答：解：因为 1=1 2 ；1+3=2 2 ；1+3+5=3 2 ；1+3+5+7=4 2 ；…，所以 1+3+5+…+2015=1+3+5+…+（2×1008﹣1）=1008 2=1016064故答案为：1016064．【解答】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，第二层：第一个数为22=4，最后一个数为23﹣1=8，第三层：第一个数为32=9，最后一个数为24﹣1=15，∵442=1936，452=2025，又∵1936＜2016＜2025，∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，故答案为：44类型二数式规律探索．由三角数规律可知，可知三角数的每一项中后一项比前一项多的点数为后一项最底层的点数，因而可知第30项比第29个项点数多30个，而第29项比第28项多29个，故可求出第30个三角数比第28个三角数多的点数59个7.解答：解：a 2-a1=3-1=2；a 3-a2=6-3=3；a 4-a3=10-6=4；…；a n -an-1=n．所以a100-a99=100．∵（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）=2+3+4+…+n=-1=an -a1，∴a100==5050．类型三图形规律探索9.【解答】解：设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，…，∴a n=2+．令n=8，则a8=2+=51．10.【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE=CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=22=4，S 2=S 1=2，S 3=S 2=1，S 4=S 3=，…，∴S n =（）n ﹣3．当n=9时，S 9=（）9﹣3=（）6， 故选：A ．11.【解答】解：观察，发现规律：3=1×（2+1），15=3×（4+1），35=5×（6+1）， ∴x=7×（8+1）=63，y=m （n +1）． 故答案为：63；m （n +1）． 12.【解析】：一个半圆的周长是πr=π，速度×时间=2π×2015， 设点P 走了n 个半圆，则有2π×2015=n π，所以n=20152个2，即100712个2，1007个2时正好是上半圆弧，还有12半圆弧，正好在下半圆弧的中点，因此的P 在（2015，-1）处。

2024中考数学复习专题规律探索题类型一数式规律1. (2023鄂州)生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n 来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22023的个位数字是()A. 8B. 6C. 4D. 22. (2023泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：…若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是________．3. (2022怀化)观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23＋24＝25－2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是________．4. (2023张家界)有一组数据：a1＝31×2×3，a2＝52×3×4，a3＝73×4×5，…，a n＝2n＋1n（n＋1）（n＋2）.记S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，则S12＝________．5. (2023达州)人们把5－12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝5－12，b＝5＋12，记S1＝11＋a＋11＋b，S2＝21＋a2＋2 1＋b2，…，S100＝1001＋a100＋1001＋b100，则S1＋S2＋…＋S100＝________．6. (2023安徽)观察以下等式：第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：____________________；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明．类型二图形规律考向1累加型7. (2023重庆B卷)把菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第①个图案中有3个菱形，第①个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中菱形的个数为()第7题图A. 15B. 13C. 11D. 98. (2023济宁)如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点…按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是()第8题图A. 297B. 301C. 303D. 4009. (2023青海省卷)木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料________根．第9题图源自人教七上P70第10题10. (2022常德)如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为________．(用含n的代数式表示)第10题图11. (2023遂宁)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为________．第11题图12. (2023德阳)古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：第12题图其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，…图①的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1＋3＝4，第三个正方形数是1＋3＋5＝9，……由此类推，图①中第五个正六边形数是________．考向2成倍递变型13. (2023威海)由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，①AOB ＝①BOC ＝①COD ＝…＝①LOM ＝30°.若S ①AOB ＝1，则图中与①AOB 位似的三角形的面积为( )第13题图A. (43 )3B. (43 )7C. (43 )6D. (34)6 14. (2023荆州)如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；第二次，顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形A n B n C n D n 的面积是( )A. ab 2nB. ab 2n －1C. ab 2n ＋1 D. ab22n第14题图15. (2023烟台)如图，正方形ABCD 边长为1，以AC 为边作第2个正方形ACEF ，再以CF 为边作第3个正方形FCGH ，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为( ) A. (22 )5 B. (22 )6 C. (2 )5 D. (2 )6第15题图16. (2023广安)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA 1的圆心为A ，半径为AD ；弧A 1B 1的圆心为B ，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1….弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2023D2023的长是________(结果保留π).第16题图17. (2023绥化)如图，①AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1①OA 交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2①OA交射线OB 于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2；…；按照此规律，线段P2023K2023的长为________.第17题图考向3周期变化型18. (2023玉林)如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2023秒钟后，两枚跳棋之间的距离是()A. 4B. 23C. 2D. 0第18题图19. (2023河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O 重合，AB①x轴，交y轴于点P.将①OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为()A. (3，－1)B. (－1，－3)C. (－3，－1)D. (1，3)第19题图20. (2023毕节)如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1，1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(－1，3)；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(－4，0)；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4(0，－4)；…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为________．第20题图类型三与函数图象结合21. (2023龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝3x交于点B1，B2，B3，B4…记①OA1B1，①OA2B2，①OA3B3，①OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2023＝________．第21题图22. (2022菏泽)如图，一次函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象交于点A ，过点A 作AB ①OA ，交x 轴于点B ；作BA 1①OA ，交反比例函数图象于点A 1；过点A 1作A 1B 1①A 1B 交x 轴于点B 1；再作B 1A 2①BA 1，交反比例函数图象于点A 2，依次进行下去…，则点A 2022的横坐标为________．第22题图23. (2023盐城)《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线l 1：y ＝12x ＋1与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交直线l 2：y ＝x 于点O 1，过点O 1作y 轴的平行线交直线l 1于点A 1，以此类推，令OA ＝a 1，O 1A 1＝a 2，…，O n －1A n －1＝a n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ≤S 对任意大于1的整数n 恒成立，则S 的最小值为________．第23题图类型四 与实际问题结合24. (2022安徽)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图①)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块(如图①)；以此类推．第24题图【规律总结】(1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；(2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为______(用含n的代数式表示)；【问题解决】(3)现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？参考答案与解析1. C 【解析】21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，则2的1，2，3，4次方的个位上的数分别为2，4，8，6，每4个一次循环，而22022中2022÷4＝550……2，∴个位上的数为4.2. (10，18) 【解析】按照规律可得每一行的最后一个数为行数的平方，第n 行有(2n －1)个数．∵92＝81，102＝100，∴99是第10行，第18个数，∴表示99的有序数对是(10，18).3. m 2－m4.201182 【解析】∵a n ＝2n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝n ＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝n n （n ＋1）（n ＋2） ＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2） ＝1（n ＋1）（n ＋2） ＋1n （n ＋2） ＝1n ＋1 －1n ＋2 ＋12 (1n －1n ＋2)，∴S 12＝12 －13 ＋13 －14 ＋…＋113 －114 ＋12 ×(1－13 ＋12 －14 ＋…＋112 －114 )＝12 －114 ＋12 ×(1＋12 －113 －114 )＝12 ＋12 ＋14 －126 －114 －128 ＝201182. 5. 5050 【解析】∵a ＝5－12 ，b ＝5＋12 ，∴ab ＝1，∵S 1＝11＋a ＋11＋b ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋ab ＝2＋a ＋b 2＋a ＋b ＝1，S 2＝21＋a 2 ＋21＋b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）1＋a 2＋b 2＋a 2b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）2＋a 2＋b 2＝2，…，S 100＝1001＋a 100 ＋1001＋b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）1＋a 100＋b 100＋a 100b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）2＋a 100＋b 100＝100，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝1＋2＋…＋100＝100×（100＋1）2＝5050. 6. 解：(1)(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2；(2)(2n ＋1)2＝[2n (n ＋1)＋1]2－[2n (n ＋1)]2.证明：等式左边＝4n 2＋4n ＋1，等式右边＝4n 2(n ＋1)2＋1＋4n (n ＋1)－4n 2(n ＋1)2＝4n (n ＋1)＋1＝4n 2＋4n ＋1，∴左边＝右边，∴等式成立．7. C 【解析】经分析可得，第个图案的菱形个数为2n －1，∴第⑥个图案中菱形个数为2×6－1＝11(个).8. B 【解析】第一幅图中圆点的个数是4＝1×3＋1；第二幅图中圆点的个数是7＝2×3＋1；第三幅图中圆点的个数是10＝3×3＋1；第四幅图中圆点的个数是13＝4×3＋1；…；按照此规律，第n 幅图中圆点的个数是3n ＋1，∴第一百幅图中圆点的个数是3×100＋1＝301.9. n （n ＋1）2【解析】∵第1个图中有木料1根，第2个图中有木料1＋2＝3根，第3个图中有木料1＋2＋3＝6根，第4个图中有木料1＋2＋3＋4＝10根，…，∴第n 个图中有木料1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2根． 10. 2n 2＋2n 【解析】观察图形可知：第一个图形由1个小正方形组成，所有线段的和为4×1＝2×2×1, 第二个图形由4个小正方形组成，所有线段的和为6×2＝2×3×2, 第三个图形由9个小正方形组成，所有线段的和为8×3＝2×4×3, 第4个图形由16个小正方形组成，所有线段的和为10×4＝2×5×4，…由此发现规律是：第n 个图形由n 2个小正方形组成，所有线段的和为2(n ＋1)·n ＝2n 2＋2n .11. 127 【解析】第一代勾股树中正方形个数＝20＋21；第二代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22；第三代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23；第四代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24，…，∴第六代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24＋25＋26＝127.12. 45 【解析】由题图可知，题图④前三层点数分别是：1＝4×1－3，5＝4×2－3，9＝4×3－3，…，∴第n 层的点数是4n －3，∴第n 个正六边形数是1＋5＋9＋…＋4n －3＝4×1－3＋4×2－3＋4×3－3＋…＋4n －3＝2n 2－n ，∴题图④中第五个正六边形数是2×52－5＝45.13. C 【解析】在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，∵cos ∠AOB ＝OA OB ，∴OB ＝23OA .同理可得OC ＝23 OB ，∴OC ＝(23 )2OA ，…，∴OG ＝(23)6OA ，由题图可知△GOH 与△AOB 位似且位似比为(23 )6.∵S △AOB ＝1，∴S △GOH ＝[(23 )6]2＝(43 )6. 14. A 【解析】第一次操作后S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 S 矩形ABCD ＝12ab ，第二次操作后S 四边形A 2B 2C 2D 2＝12 S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 ×12 ab ＝ab 22 ，第三次操作后S 四边形A 3B 3C 3D 3＝12S 四边形A 2B 2C 2D 2＝ab 23 ，…，第n 次操作后S 四边形A n B n C n D n ＝ab 2n . 15. C 【解析】∵正方形ABCD 边长为1，∴AB ＝BC ＝1，∴AC ＝2 ，∴以AC 为边作第2个正方形ACEF 的边长为2 ；∵CF 是正方形ACEF 的对角线，∴CF ＝2 ×2 ＝(2 )2＝2，∴以CF 为边作第3个正方形FCGH 的边长为2；又∵GF 是正方形FCGH 的对角线，∴GF ＝2 ×2 ×2 ＝(2 )3＝22 ，以GF 为边作第4个正方形FGMN 的边长为22 ，…∴依此规律可知下一个正方形的边长是原来正方形边长的2 倍，即第n 个正方形的边长为(2 )n －1，∴第6个正方形的边长为(2 )5.16. 2022π 【解析】由题图可知，题图中由一段90°的弧组成的，弧所在圆的半径每次增加12 ，则弧C 1D 1的半径＝12 ×4＝12 ×4×1，弧C 2D 2的半径＝12 ×8＝12×4×2，弧C 3D 3的半径＝12 ×12＝12 ×4×3…，弧C 2022D 2022的半径＝12×4×2022＝4044，∴弧C 2022D 2022的长＝90π180×4044＝2022π. 17. 3 (1＋3 )2022 【解析】∵∠AOB ＝60°，OP 1＝1，∴P 1K 1＝3 OP 1＝3 ，∴P 1P 2＝P 1K 1＝3 ，∴OP 2＝1＋3 .∵P 2K 2＝3 OP 2，∴P 2K 2＝3 (1＋3 )，∴OP 3＝(1＋3 )2，∴P 3K 3＝3 OP 3＝3 (1＋3 )2，…，∴依此规律可得P 2023K 2023＝3 (1＋3 )2022.18. B 【解析】根据两枚跳棋跳动规则可知，红跳棋每过6秒钟跳动回顶点A ，黑跳棋每过18秒钟跳动回顶点A ，∵2022÷6＝337，∴经过2022秒后，红跳棋在顶点A 处；∵2022÷18＝112……6，6÷3＝2，∴经过2022秒钟后，黑跳棋在顶点E 处．如解图，连接AE ，过点F 作FG ⊥AE 于点G ，∵六边形ABCDEF 是边长为2的正六边形，∴∠AFE ＝120°，FE ＝AF ，∴∠F AE ＝30°，∴AG ＝EG ＝AF ·cos 30°＝2×32 ＝3 ，∴AE ＝23 ，即两枚跳棋之间的距离是23 .第18题解图19. B 【解析】如解图，连接OB ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∵六边形ABCDEF 是正六边形，点O 是中心，∴OB ＝OA ，∠AOB ＝60°，∴∠AOP ＝30°，AP ＝12AB ＝1，∴OP ＝3 ，∴点A (1，3 )，将△AOP 绕点O 顺时针每次旋转90°，则第1次结束点A 的坐标为(3 ，－1)，第2次结束点A 的坐标为(－1，－3 )，第3次结束点A 的坐标为(－3 ，1)，第4次结束点A 的坐标为(1，3 )，…，∴每4次一个循环，∵2022＝4×505＋2，∴第2022次旋转结束时，相当于第2次结束，∴点A 的坐标为(－1，－3 ).第19题解图20. (－1，11) 【解析】由图象可知，A 5(5，1)，将点A 5向左平移6个单位，再向上平移6个单位，可得A 6(－1，7)，将点A 6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A 7(－8，0)，将点A 7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A 8(0，－8)，将点A 8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A 9(9，1)，将点A 9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A 10(－1，11).21. 240433 【解析】∵S 1＝1×32 ＝ 20×32 ，S 2＝2×232 ＝ 22×32，… ，依此规律可得S n ＝ 22(n －1)×32 ，∴S 2023＝ 22×(2023－1)×32＝ 240433 . 22. 2021 ＋2022 【解析】∵点A 是函数y ＝x 与y ＝1x的图象在第一象限的交点，∴点A 的坐标为(1，1)，又∵AB 垂直于直线y ＝x ，∴点B 坐标为(2，0)，又∵BA 1∥OA ，∴BA 1的解析式为y ＝x －2，与y ＝1x 联立，解得x ＝1＋2 (负值已舍)，即点A 1的横坐标为1＋2 ；同理可得B 1的横坐标为22 ，∵B 1A 2∥BA 1，∴B 1A 2的解析式为y ＝x －22 ，与y ＝1x 联立，解得A 2的横坐标为2 ＋3 (负值已舍)；…；依此按规律可得A 2021的横坐标为2021 ＋2022 .23. 2 【解析】由题可得a 1＝OA ＝1，而y ＝x 与y 轴的正方向的夹角是45°，O 1A ⊥y 轴，∴O 1A ＝OA ＝1，∴ 点O 1的横坐标是1，对于y ＝12 x ＋1，当x ＝1时，y ＝32，∴a 2＝O 1A 1＝12 ，∴tan ∠A 1AO 1＝O 1A 1O 1A ＝12 ，依次得出A 1O 2＝A 1O 1＝12 ，a 3＝A 2O 2＝12 A 1O 2＝(12)2，…，可以得出A n －1O n －1＝(12 )n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝1＋12 ＋…＋(12 )n －2＋(12)n －1①，①×2得2×(a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n )＝2＋1＋12 ＋…＋(12 )n －3＋(12)n －2②，②－①得a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2－(12 )n －1，∴S ≥2－(12)n －1，∴S 的最小值是2. 24. 解：(1)2；【解法提示】观察题图②与题图③，每增加1块正方形地砖，则增加2块等腰直角三角形地砖．(2)2n ＋4；【解法提示】在题图②中，正方形地砖1块，等腰直角三角形地砖(4＋2)块；在题图③中，正方形地砖2块，等腰直角三角形地砖(4＋2×2)块；正方形地砖若有3块，则等腰直角三角形地砖(4＋2×3)块；…；依此按规律可得正方形地砖若有n 块，则等腰直角三角形地砖有(4＋2n )块．(3)设需要正方形地砖n块，∴2n＋4≤2021，解得n≤1008.5，∵n为正整数，∴n最大取1008，答：需要正方形地砖1008块．。

规律探索与定义新运算一、规律探索1.图形的变化2.数字的变化3.与代数知识相结合4.与几何知识相结合5.综合问题二、定义新运算一、规律探索1.图形的变化1.【易】（初二数学期末）如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）【答案】B2.【易】（2010深圳外国语初一上联合测）如图，一串有趣的图案按一定规律排列，请仔细观察，按此规律第2010个图案是（）A．B．C．D．【答案】B3.【易】（北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷）把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律，从2010到2012，箭头的方向应为（）A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓．【答案】C4. 【易】（2012届九年级第一模拟试题）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有________个小圆．【答案】465. 【易】（哈尔滨中考）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有________个★【答案】206. 【易】(河南郑州市2009-2010年初一上期末)用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星个．【答案】1507. 【易】(2009-2010年辽宁沈阳崇文中学初一上期末)一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图所示），则这串珠子被盒子遮住的部分有________颗．【答案】278. 【易】（密云区一模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形…小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（ ） A ．669 B ．670 C ．671 D ．672【答案】B9. 【易】（武汉二中广雅中学下学期期中七年级数学）如图，要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少要钉上1根木条；使五边形木架不变形，至少要钉上2根木条，使六边形木架不变形，至少要钉上3根木条；……，若要使十边形木架不变形，至少要钉上________根木条．【答案】710. 【易】（2012深圳外国语初三月考）如图，用小棒摆下面的图形，图形⑴需要3根小棒，图形⑵需要7根小棒……照这样的规律继续摆下去，第个图形需要________根小棒（用含的代数式表示）．【答案】41n －11. 【易】（漳州）用形状和大小相同的黑色棋子按下图所示的方式排列，按照这样的规律，第n 个图形需要棋子________枚．（用含n 的代数式表示）【答案】31n12. 【易】（2011-2012太原市七年级第二次测评）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n 个图案由（ ）个基础图形组成（n 为正整数）nn (3)(2)(1)……【答案】31n +找规律发现基础图形的个数是4710，，，总结出第n 个图案中基础图形的个数是31n +13. 【易】（广州中考）如图7-①，7-②，7-③，7-④，……是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________．【答案】15,25n +14. 【易】（2011深圳中学初一期末）如图是用棋子摆成的“T”字．⑴摆成第一个“T”字需要________个棋子，第二个需________个棋子．⑵按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要________个棋子，第n 个需________个棋子．⑶是否存在这样的情况，使得其中一个图形的棋子是另一个图形棋子的k 倍，其中2011k =．若存在，请指出来，若不存在，请说明理由．【答案】⑴5，8⑵32，32n +⑶存在．设一个图形的棋子数为32n +，另一个图形的棋子数为32m +，（n m ＞）20111340n m =+．15. 【易】（2010年北京西城区期末）下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n 个图形中★的个数为________．（n 为正整数）n 图7-① 图7-② 图7-③ 图7-④……【答案】3n16. 【易】（2011罗湖外国语初一下期中）用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第个“口”字需用棋了（ ）A ．枚B ．枚C ．枚D ．枚【答案】A17. 【易】（2009-2010武汉洪山去初一下期末）则当输入的下面是用棋子摆成的“上”字：第1个“上”字第2个“上”字第3个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： ⑴第四、第五个“上”字分别需用________和________枚棋子； ⑵第n 个“上”字需用________枚棋子． 【答案】⑴18，22⑵42n +18. 【易】已知一个面积为S 的等边三角形，现将其各边n （n 为大于2的整数）等分，并以相邻等分点为顶点向外作小等边三角形（如图所示）．当8n =时，共向外作出了________个小等边三角形；当n k =时，共向外作出了________个小等边三角形，这些小等边三角形的面积和是________（用含k 的式子表示）．【答案】18，36k -，236k S k -⋅ …第5个图形第4个图形第3个图形第2个图形第1个图形★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★n 4n ()44n -()44n +2n n =3n =5……n=419. 【易】（2012河南中招模拟试卷）用边长为1cm 的小正方形搭如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是________cm （用含n 的代数式表示）．【答案】4n20. 【易】（2011-2012北京十四中初一下期中）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是________．【答案】4n21. 【易】（北京东直门七年级下期中）规律探索：连结图⑴中的三角形三边的中点得图⑵，再连结图⑵中间的三角形三边的中点得图，如此继续下去，那么在第n 个图形中共有多少个三角形？【答案】43n －22. 【易】（2011深圳中学初一上期中）用棋子摆出下列一组图形：⑴个图形棋子的枚数为________．⑶如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？ 【答案】⑴36n(1) (2) (3)第1次 第2次 第3次 第4次······⑶3223. 【易】（郑州一中教育集团2010-2011学年上期期中考试）为参加“第十届中国开封菊展”，某单位想在步行街设计一座三角形展台，要求园林工人把它的每条边上摆放相等盆数的盆栽小菊花（如图所示的每个小圆圈表示一盆小菊花）．如果每条边上摆两盆小菊花，共需要3盆小菊花；如果每条边上摆3盆小菊花，共需要6盆小菊花；……，按此要求摆放下去：⑴________．⑶请你帮园林工人参考一下，能否用2003盆小菊花作出符合要求的摆放？如果能，请计算出每条边上应摆小菊花的盆数；如果不能，请简要说明理由．【答案】⑴⑵⑶不能．令332003n -=，解得26683n =，n 不是整数．24. 【易】（通州二模）根据如图所示的⑴，⑵，⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（ ）A ．3nB ．()31n n +C ．6nD ．()61n n +【答案】B25. 【易】（2011山西中考）如图是用相同长度的小棒摆戍的一组有规律的图案，图案⑴需要4根小棒，图案⑵需要10根小棒……，按此规律摆下去，第n 个图案需要小棒________根(用含有n 的代数式表示)．……【答案】62n －26. 【易】（2010深圳外国语初一上联合测）用棋子按下列方式摆图案，依照此规律，第n 个图形比第()1n -个图形多________枚棋子．【答案】32n -27. 【易】（武汉二中初一下期中）某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面，第1次铺2块，如图，第2次把第1次铺的完全围起来，如图，第3次把第2次铺的完全围起来，如图；…．依此方法，第n 次铺完后，用字母n 表示第n 次镶嵌所使用的木块数________．【答案】86n －根据图形得到一列数2、10、18、26、…，这一个列数，从第二项起，每一项与它前面紧邻的一项的差，都等于一个常数8． 第2个数=第一个数+（2﹣1）个8； 第3个数=第一个数+（3﹣1）个8； 第4个数=第一个数+（4﹣1）个8； …由此猜想：第n 个数=第一个数+()1n －个8； 即第n 个数=2+8×()1n －=86n －；一般规律：()11n a a n d =+－，其中1a 为首项（第一个）、n a 为这一列数的第n 个，d 为每相邻两个数的差．28. 【易】（南平中考）观察下列各图形中小正方形的个数，依此规律，第（11）个图形中小正方形的个数为________第2个第1个……A ．78B ．66C ．55D ．50【答案】B29. 【易】（2012贵州毕节中考）在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有________个小正方形．【答案】10030. 【易】（2011深圳中学初一上期末）小卫搭积木块，开始时用2块积木搭拼（第1步），然后用更多的积木块完全包围原来的积木块（第2步），如图反映提前3步的田径赛案，当第10步结束后，组成图案的积木块数为________．【答案】380（规律为242n n －）31. 【易】（2010初一期末）探索规律图⑴是一个正方形，依次连结这个正方形各边中点得到图⑵，再依次连结图⑵中间小正方形各边的中点得到图⑶，按以上的方法继续下去……①第1步第2步第3步（3）（2）（1）②按上面的方法继续下去，小明说：第101个图形中有100个正方形；小颖说：第101个图形中有401个三角形．请判断他们的说法是否正确，并说明理由． 【答案】①小颖的说法错误，第101个图形中有400个三角形．32. 【易】（天津市河西区2010-2011学年度第一学期七年级期中质量调查数学试卷）如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究问题在第n 个图中，共有白色瓷砖________块．【答案】2n n +33. 【易】（2010年初一下两部联考）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从右图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中符合这一规律的是（ ）A ．13310=+ B ．25916=+ C ．361521=+ D ．491831=+ 【答案】C34.【易】（徐州市中考）如图，每个图案都由若干个棋子摆成．依照此规律，第n 个图案中棋子的总个数可用含n 的代数式表示为________．【答案】2n n +4=1+39=3+616=6+10…第1第2第3第435.【易】（2011•达州）用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆________个（用含n的代数式表示）．【答案】()12 n n+36.【易】（2009-2010年太原市七年级第二次测评）根据下列五个图形及对应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．【答案】21n n-+如果没有公共交点，那么一共是n条线段，每条线上n个点，现在n条线有一个公共交点，所以总点数为21n n-+．37.【易】（郑州外国语中学第三次质量检测数学卷）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是________．【答案】22n n+38.【易】（南山初一统考）如图，是用三角形摆成的图案，摆第一层图需要1个三角形，摆第二层图需要3个三角形，摆第三层图需要7个三角形，摆第四层图需要13个三角形，摆第五层图需要21个三角形摆第n层图需要________个三角形．……第1个图第2个图第3个图第4个图【答案】21n n +－观察可得，第1层三角形的个数为1， 第2层三角形的个数为22213+=－， 第3层三角形的个数为33317+=－， 第四层图需要244113+=－个三角形， 摆第五层图需要255121+=－．那么摆第n 层图需要21n n +－个三角形．39. 【易】（怀柔区一模）观察下列图形及所对应的算式，根据你发现的规律计算1816248n ++++⋅⋅⋅+(n 是正整数)的结果为（ ）A ．()221n +B ．18n +C ．18(1)n +-D ．244n n +【答案】A40. 【易】（2012年青羊区初一下期末）下图是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S ，则S =________．（用n 的代数式表示S ）【答案】()21n n +41. 【易】（2010年北京怀柔区期末）小明在阅览时发现这样一个问题“在某次聚会中，共有6人参加，如果每两个人都握一次手，共握几次手？”小明通过努力得出了答案，同时为了解决的方法更具有一般性，小明设计了以下图表进行探究．n =1 n =2 n=3请你在图表右下角的横线上填上你归纳出的一般结论． 【答案】()12n n -42. 【易】（郑州一中教育集团2010-2011学年上期期中考试）图中是一幅“苹果排列图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，第四行有8个，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有________个苹果； 第n 行有________个苹果．（可用乘方形式表示）【答案】92，12n -43. 【易】（2010深圳外国语初一上联合测）在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结构的方法，如图，一层二叉树的结点总数为1，二层二叉树的结点总数为3，三层二叉树的结点总数为7······照此规律，七层二叉树的结点总数为（ ）A ．63B ．64C ．127D ．128【答案】C （规律为21n -）44. 【易】（福建三明市中考）如图，直线l 上有2个圆点A ，B ．我们进行如下操作：第1次操作，在A ，B 两圆点间插入一个圆点C ，这时直线l 上有（2＋1）个圆点；第2次操作，在A ，C 和C ，B 间再分别插入一个圆点，这时直线l 上有（3＋2）个圆点；第3次操作，在每相邻的两圆点间再插入一个圆点，这时直线l 上有（5＋4）个圆点；…第n 次操作后，这时直线l 上有________个圆点．……三层二叉树二层二叉树一层二叉树【答案】21n +45. 【易】（2010年九年级第三次质量预测试题）观察下列图形（每幅图中最小的三角形都是全等的），请写出第n个图中最小的三角形的个数有________个．【答案】14n -46.【中】（2012广西桂林中考）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是________．【答案】22n n ++47. 【中】（2011年天津市河北区初中毕业生学业考试模拟试卷（三））如图，第1个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为3a ，且312a =；第2个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为4a ，且420a =；…；依此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为()3n a n ≥，则当3451111n a a a a ++++的结果是6702013时，n 的值为________．【解析】()1n a n n =+，则()111111n a n n n n ==++－， （第16题）l l l lA B A B C A B C 第1个图第2个图第3个图第4个图（第14题图）所以34511111131n a a a a n ++++=+－，则2012n =． 【答案】201248. 【中】（武汉）如图的图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成，拼搭第一个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，……，依此提出，拼搭第8个图案需小木棒________根．【答案】8849. 【中】（2011-2012年铁二中初一下期中）如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个22⨯的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个33⨯的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个44⨯的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个1010⨯的正方形图案，则其中完整的圆共有________个．【答案】18150. 【中】（荆州市中考）图①是一瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，图②铺成了一个2×2的近似正方形，其中完整菱形共有5个；若铺成3×3的近似正方形图案③，其中完整的菱形有13个；铺成4×4的近似正方形图案④，其中完整的菱形有25个；如此下去，可铺成一个n n ⨯的近似正方形图案．当得到完整的菱形共181个时，n 的值为（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】D51. 【中】按照如图所示的式样画下去，则第15个图形有________个黑方块．【解析】由已知所画图形，可得：依次图形的方块数是：1，9，25，49，…又：1=129=3225=5249=72…左边乘方的底数依次是：1，3，5，7，…1=1+2×（1﹣1）3=1+2×（2﹣1）5=1+2×（3﹣1）7=1+2×（4﹣1）…那么第15项可表示为：1+2×（15﹣1）=29．所以第15个图形的方块数为：292．又从图形上得知，所以黑方块数为22914212+=个．【答案】42152.【中】（武汉二中广雅七年级下期末模拟试卷）如图，是由同型号黑白两种颜色的正三角形瓷砖按一定规律铺设的图形，仔细观察图形可知：图⑴中黑色瓷砖与白色瓷砖块数之比为1:3；图⑵中黑色瓷砖与白色瓷砖块数之比为3:6；图⑶中黑色瓷砖与白色瓷砖块数之比为6:10；···；那么按这样的规律铺设，第6个图形黑色瓷砖与白色瓷砖块数之比为________．【答案】3:453.【中】（2013年安徽省初中毕业学业考试数学）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图（1）所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图（2）、图（3），……．⑴猜想：在图（）中，特征点的个数为（用表示）⑵ 如图，将图（n ）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心1O 的坐标为()12x ，，则1x =________；图（2013）的对称中心的横坐标为___________【答案】⑴22；52n +⑵1x =；54. 【中】（2012年安徽省初中毕业学业考试数学）在由()1m n m n ⨯⨯＞个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f ，⑴当m 、n 互质（m 、n 除1外无其他公因数）时，观察下列图形并完成下表：图(3)图(2)图(1)……图(n )x⑵猜想：当m 、n 互质时，在m n ⨯的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m 、n 的关系式是________（不需要证明）；⑶当m 、n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立； 根据题意，画出当m 、n 不互质时，结论不成立的反例即可． 【答案】⑴如表：⑵1f m n =+－⑶m 、n 不互质时，上述结论不成立，例如2×4，如下图：55. 【中】（初二上题型训练一）如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第8层中含有正三角形个数是（ ） A ．54个 B ．90个 C ．102个 D ．114个【答案】B56. 【中】（2011年南山二外初一下测试）观察下图，我们可以发现：第1个图中有1个正方形，第2个图中共有5个正方形，第3个图中共有14个正方形，按照这种规律下去的第5个图形共有________个正方形．【答案】5557. 【中】（2011深圳外国语分校初一下期末）某种树木的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年时，树木的分枝数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D58. 【中】(2009年初一上期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和、现以这组数中的各个数作为正方形的边长值构造如下正方形：再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个…正方形拼成如下长方形并记为①、②、③、④、…相应长方形的周长如下表所示：________，________若按此规律继续作长方形，则序号为⑧的长方形周长是________ 【答案】16x =，26y =，周长是17859. 【中】（2012黑龙江绥化中考）长为20，宽为a 的矩形纸片（1020a ＜＜），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；……第3个图第2个图第1个图如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当3n =时，a 的值为________．【答案】12或152．数字的变化60. 【易】（2010-2011太原市七年级第二次测评）下面的正方形中都填有4个数，这些数之间有一定的规律，根据此规律，m 的值是（ ）A ．38B ．52C ．66D ．74【答案】D本题考察类似于“行列式”的交叉相乘规律： 24084622268444810674m⨯-=⨯-=⨯-=⨯-==61. 【易】（武汉二中广雅中学2010-2011下学期期末七年级数学）如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同规律，根据此规律，n 的值是（ ）A ．36B ．49C ．63D ．64【答案】B62. 【易】（2013年福建省泉州市初中毕业、升学考试）有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是7，可发现第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，第3次输出的结果是________，依次继续下去，第2013次输出的结果是_______．【答案】3；363. 【易】（2013年三明市初中毕业暨高级中等学校招生统一考试）观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n 个数是_______．12，34，78，1516，3132，【答案】212n n -64. 【易】(2013年山东日照初中学业考试)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M 与m 、n 的关系是（ ）A ．M mn =B ．()1M n m =+C ．1M mn =+D ．()1M m n =+【答案】D65. 【易】（2013年南宁市初中毕业升学考试数学试卷）陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，起球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为：A ．19B ．18C ．16D ．15【答案】C66. 【易】(山西省2013中考数学试卷)一组按规律排列的式子：2a ，43a ，65a ，87a ，…，则第n 个式子是__________（n 为正整数）．【答案】221na n -67. 【易】（2010深圳外国语分校初一上期中）有若干个数，第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，···，第n 个数记为n a ．若112a =-，从第二个数起，每个数都等于“1与…mnM 56353415321它前面那个数的差的倒数”．试计算：2a =________，3a =________，4a =________，6a =________．你发现这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计算2004a 是多少？【答案】223a =，33a =，412a =-，63a =．规律：每三个数一循环 20043a =68. 【易】（2011深圳外国语分校初一上期中）读题填空：等边ABC △在数轴上的位置如图所示，点A 、C 对应的数字分别是0和1-，若△ABC 绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为1，则连续翻转2012次后，点B 对应的数字为________．【答案】201169. 【易】（2011深圳育才二中初一上期中）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2011个格子中的数70. 【易】（2011耀华实验初三四模）在很小的时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2010时对应的指头是________（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）．【答案】无名指71. 【易】（杭州翠苑中学初一2011第一学期期中）让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数12n =，计算211n +得1a ；第二步：算出1a 的各位数字之和得2n ，计算221n +得2a ； 第三步：算出2a 的各位数字之和得3n ，计算231n +得3a ； B…………以此类推则2011a =________． 【答案】12272. 【易】（石景山二模）有一列数1a ，2a ，3a ，，n a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若12a =，则2009a 为（ ） A ．2009B ．2C ．12D ．1-【答案】C73. 【易】（2011•南京）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需拍手的次数为________． 【答案】4解：∵甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6…按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1．当报到的数是50时，报数结束； ∴504=122÷⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴甲共报数13次，分别为1，5，9，13，17，21，25，29，33，37，41，45，49，∴报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．在此过程中，甲同学需拍手的次数为：9，21，33，45时， 所以一共有4次．74. 【中】（2011深圳外国语分校初一下期末）“抢30”游戏的规则是：第一个人先说“1”或“1、2”，第二个人要接着往下说一个或两个数，然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数，这样两人反复轮流，每次每人说一个或两个数都可以，但是不可以连说三个数，谁先抢到30谁就获胜，那么采取适当策略，其结果是（ ） A ．先报数者胜 B ．后报数者胜 C ．两者都可能胜 D ．很难预料 【答案】B为了抢到30，那就必须抢到27，这样无论对方叫“28”或“29”，你都获胜．游戏的关键是报数先后顺序，并且每次报的个数和对方合起来是三个，即对方报a ()12a ≤≤个数字，你就报()3a －个数．抢数游戏，它的本质是一个是否被“3”整除的问题．75. 【中】（辽宁省中考题）计算：1234531431103128318231244+=+=+=+=+=，，；，，…归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测200931+的个位数字是（ ）． A ．0 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C76. 【易】（2011年初一上期中）观察下列算式：122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，······根据上述算式中的规律，你认为302的个位数字是________． 【答案】477. 【易】（2010深圳外国语初一下期末）已知122=，224=，328=，，则20112的末位数字是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】D78. 【易】（2010深圳外国语分校初一下期中）已知122=，224=，328=，4216=，5232=，6264=，72128=，82256=，……结合计算估计一下：()()()()()24322121212121-++++的个位数字是________．【答案】579. 【易】（郑州四中2010-2011学年下期初三年级第五次月考）观察算式：133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=，836561=，···通过观察，用你所发现的规律确定32011的个位数字是（ ） A ．3 B ．9 C ．7 D ．1 【答案】C80. 【易】（2010-2011武汉青山区初一上期末）己知：41=4，42=16，43=64，44=256，45=1024…以上算式结果的个位数字分别为4，6，4，6…，按照上面的研究方法确定20062007+20072006的个位数字为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】C81. 【易】（2011深圳中学初一上期中）QQ 空间一个展示自我和沟通交流的网络平台，它既是网络日记本，又可以上传图片、视频等，QQ 空间等级是用户资料和身份的象征，按照空间积分划分不同的等级，当用户在10级以上，每个等级与对应的积分有一定的关系，现在知道第10级的积分是90，第11级的积分是160，第12级的积分是250，第13级的积分是360，第14级的积分是490······，若某用户的空间积分达到1000，则他的等级是（ ） A ．18 B ．17 C ．16 D ．15 【答案】B解：第10级到第11级，12级，13级，14级积分分别增加的值是70，90，110，130，15级增加150，16级增加170，17级增加190，18级增加210，则15级积分是640，16级积分是810，17级积分是1000，18级积分是1210， 所以他的等级是17级．82. 【易】（眉山市中考）一组按规律排列的多项式：，，，，···，其中第10个式子是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B83. 【易】（初一下期中）观察下列单项式：、、、、…，按此规律写出第13个单项式是________． 【答案】84. 【易】（石景山一模）一组按规律排列的式子：3579234,,,,x x x x y y y y--（0xy ≠），其中第6个式子是________，第n 个式子是________（n 为正整数）．【答案】136x y-，211(1)n n n xy ++-85. 【易】（怀柔一模）一组按规律排列的式子：52a b ，84a b -，118a b ，1416a b-，……（0ab ≠），其中第6个式子是________，第n 个式子是________（n 为正整数）．【答案】2064a b -；()32121n n n a b ++-⋅或()32121n n n ab+--⋅86. 【易】（2010年门头沟二模）一组按一定规律排列的式子：2a -，52a ，83a -，114a ，…，()0a ≠，则第n 个式子是________（n 为正整数）． 【答案】87. 【易】（门头沟初二上期末）一组按规律排列的分式：3b a ，522b a-，733b a ，944b a-，…（0b ≠），其中第8个分式是________，第n 个分式是________（n 为正整数）．a b +23a b -35a b +47a b -1019a b +1019a b -1017a b -1021a b -23x 38x 415x 524x 14195x 31(1)n na n--。

中考数学找规律练习题（20道，后附答案）一：数式问题1.已知22223322333388+=⨯+=⨯，，244441515+=⨯，……，若288a ab b+=⨯（a 、b 为正整数）则a b +=．2.有一列数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，…，a n ，其中a 1＝5×2＋1，a 2＝5×3＋2，a 3＝5×4＋3，a 4＝5×5＋4，a 5＝5×6＋5，…，当a n ＝2009时，n 的值等于（）A．2010B．2009C．401D．3343.有一组单项式：a 2，－a 32，a 43，－a 54，…．观察它们构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为．4.有一列数1234251017--，，，…，那么第7个数是．5.观察下列等式：111122⨯=-，222233⨯=-，333344⨯=-，……（1）猜想并写出第n 个等式；（2）证明你写出的等式的正确性．6.将正整数依次按下表规律排成四列，则根据表中的排列规律，数2009应排的位置是第行第列．第1列第2列第3列第4列第1行123第2行654第3行789第4行121110……7.将正整数1，2，3，…从小到大按下面规律排列．若第4行第2列的数为32，则①n=；②第i行第j列的数为（用i，j表示）．第1列第2列第3列…第n列第1行123…n第2行1+n2+n3+n…n2第3行12+n22+n32+n…n3………………二：定义运算问题8、有一列数1a，2a，3a， ，n a，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若12a=，则2007a为（）Ａ．2007Ｂ．2Ｃ．12Ｄ．1-三：剪纸问题9．如图（9），把一个正方形三次对折后沿虚线剪下则得到的图形是（）10题图四：数形结合问题10、已知,A、B、C、D、E 是反比例函数16y x=（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）11、阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a.根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则21x x +12x x 的值为．12、如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为．四:图形问题13.如图所示，已知：点(00)A ，，3B ，，(01)C ，在ABC △内依次作yxO P 1P 2P 3P4P 5A 1A 2A 3A 4A 5（第12题图）2y x=第14题图C 2D 2C 1D 1CD AB等边三角形，使一边在x 轴上，另一个顶点在BC 边上，作出的等边三角形分别是第1个11AA B △，第2个122B A B △，第3个233B A B △，…，则第n 个等边三角形的边长等于（）14.如图，边长为1的菱形ABCD 中，︒=∠60DAB ．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形11D ACC ，使︒=∠601AC D ；连结1AC ，再以1AC 为边作第三个菱形221D C AC ，使︒=∠6012AC D ；……，按此规律所作的第n 个菱形的边长为．15.如图，已知Rt ABC △，1D 是斜边AB 的中点，过1D 作11D E AC ⊥于E 1，连结1BE 交1CD 于2D ；过2D 作22D E AC ⊥于2E ，连结2BE 交1CD 于3D ；过3D 作33D E AC ⊥于3E ，…，如此继续，可以依次得到点45D D ，，…，n D ，分别记112233BD E BD E BD E △，△，△，…，n n BD E △的面积为123S S S ，，，…n S .则n S =________ABC S △（用含n 的代数式表示）.16.用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角O yx(A )A 1C112B A 2A 3B 3B 2B 1第13题图BCAE 1E 2E 3D 4D 1D 2D 3（第15题）（第16题）形，则第n个图案中正三角形的个数为（用含n 的代数式表示）.17.如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第100个图案需棋子枚．18.观察下列图形（每幅图中最小．．的三角形都是全等的），请写出第n 个图中最小．．的三角形的个数有个．19.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有个★．五：对称问题20.在平面直角坐标系中，已知3个点的坐标分别为1(11)A ，、2(02)A ，、3(11)A ，.一只电子蛙位于坐标原点处，第1次电子蛙由原点第1个图第2个图第3个图第4个图（第18题图）第17题图图案1图案2图案3……跳到以A为对称中心的对称点1P，第2次电子蛙由1P点跳到以2A为对1称中心的对称点P，第3次电子蛙由2P点跳到以3A为对称中心的对称2点P，…，按此规律，电子蛙分别以1A、2A、3A为对称中心继续跳下3去．问当电子蛙跳了2009次后，电子蛙落点的坐标是P（_______，2009_______）.参考答案1、8+63=712、D3、－a11104、－7505、（1）n×=n-；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）等号左边第一个因数为整数，与第二个因数的分子相同，第二个因数的分母比分子多1；等号右边为等号左边的第一个数式-第二个因数，即n×=n-；（2）把左边进行整式乘法，右边进行通分．试题解析：（1）猜想：n×=n-；（2）证：右边==左边，即n×=n-考点：规律型：数字的变化类．6、670，第三列7、1010（i-1）+j8、D 9、C 10、13π-2611、1012、1/513、14、15、16、2n+217、30218、19、4920、（2，2）。

精心整理探索规律题类型一数字规律1、下面是按一定规律排列的一列数：??，那么第n个数??、观察下列等式：，，，，，，猜想，的个位数字是__观察等式：，，，，，可得，位数字是，次方的个位数字是，，，次方的个位数字是，个位数字的变化是以、、、为周期，即周期为又因为，所以的个位数字相同为故本题正确答案为律性,若把第一个三角形数记为,第二个三角形数记为,第n个三角形数记为,则．答案解:,═,,═,═,…,则,:,,,,,即、,然后计算可得、按一定规律排列的一列数：，，，，，察，按照此规律对应的数字应为解析将中间两个化为分数之后为：，，，，，，，，观察可知分子是从开始不断递增的奇数，分母是从开始不断递增的质数，那么根据这个规律即可得到。

故本题正确答案为。

考点规律探索。

5、如图,下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律,依此规律,那么第4个图形中的?,一般地,用含有m,n的代数式表示y,即?.?,,,?,:63;右上数字(，，，，，，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第个数据是由数据，，，，，数个数据为正数，所以数据中带有这个因式，将化成，则这组数据变成，，，母的平方再加，所以这组数据中第个分数为，将代入可得出分数。

故本题正确答案为。

7、“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可用下列哪个式子来表示示（）A.C n H2n+2B.C n H2nC.C n H2n-2D.C n H n+3答案此题答案为：A.解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为a n，“①,③,④(2)由(1)可以猜测与?(n为正整数)的大小关系:当n时,;当n时,;????(3)根据上面的猜想,可以知道:(填“”、“”或“=”).答案＜＜＞＞≤2≥3＞解:(1)①,,故;③,,④,,①②④当时,当时,.:;.(3),.由,1、（11·曲靖）将一列整式按某种规律排成x，－2x2，4x3，－8x4，16x 5…则排在第六个位置的整式为________．答案－32解析符号的规律：n为奇数时，单项式为正号，n为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第n个对应的系数的绝对值是2n-1．指数的规律：第n个对应的指数是n．解：根据分析的规律，得：第六个位置的整式为：-25x6=-32x6．故答案为：-32x6．、已知，，，，（为正整数，且，），则，，可以整除，所以。

中考数学复习《探索规律问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解探索规律问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或填空题中的压轴题形式出现，主要命题方向有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等．基本解题思路为：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，最后验证结论的正确性．即“从特殊情形入手→探索发现规律→猜想结论→验证”．类型一数式规律这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．例1 (2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an ，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝．【分析】首先计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4的值，然后总结规律根据规律得出结论，进而求出a399＋a400的值．【自主解答】∵a1＋a2＝1＋3＝4＝22，a2＋a3＝3＋6＝9＝32，a3＋a4＝6＋10＝16＝42，…，∴an ＋an＋1＝(n＋1)2.∴a399＋a400＝4002＝160 000.故答案为160 000.变式训练：1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．2．(2017年黄石)观察下列格式：=1﹣=+=1﹣+﹣=++=1﹣+﹣+﹣=…请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数）．（写出最简计算结果即可）类型二图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．例2 (2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A．64 B．77 C．80 D．85【分析】观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．【自主解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：+12=4，第二个图形为：+22=6，第三个图形为：+32=10，第四个图形为：+42=15 …，所以第n个图形为：+n2，当n=7时，+72=85，故选D．变式训练：3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为( )A．84株 B．88株 C．92株 D．121株4．(2015·德州)如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠A＝60°.取AB的中点A1，连接A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连接D1C1，得到四边形A1BC1D1.如图2，同样方法操作得到四边形A2BC2D2，如图3，…，如此进行下去，则四边形An BCnDn的面积为_______类型三点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．例3 (2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．21433an【分析】先根据直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标．【自主解答】解：由直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（﹣，0），∴OB1=1，∠OB1D=30°，如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=OB1=，即A1的横坐标为=，由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B=A1B2=1，即A2的横坐标为+1==，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，即A3的横坐标为+1+2==，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4==，由此可得，An的横坐标为，∴点A2017的横坐标是，故答案为：．变式训练5．(2016·德州)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2 017的坐标为__6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形An Bn－1Bn顶点Bn的横坐标为___。