任意角的三角函数学案

4-04 §1.2.1 任意角的三角函数（1）姓名 1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2. 理解任意角的三角函数不同形式的定义方法；α的各三角函数值.一学案（一） 课前准备1预习：教材P 11～ P 13，找出疑惑之处。

2复习（1）：用弧度制写出终边在下列位置的角的集合.① 坐标轴上；②第二、四象限.复习（2）：锐角的三角函数的定义如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ，它与原点的距离0r >. 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b .则sin MP bOP r α==； cos α= = ； tan MPOMα== . （二） 新课导学1任意角的三角函数的定义问题1： 将点(,)P x y 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：sin MP OP α== ；cos OMOP α== ；tan MPOMα== .问题2：由上可知，锐角α的三角函数值可以用α终边上一点的坐标表示. 那么角的概念推广以后，任意角的三角函数能不能用其终边上一点的坐标来表示呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点(,)P x y ，使这个点到原点的距离为(0)r r >，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值.新知：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆. 问题3：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?单位圆定义任意角的三角函数定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：（1） 叫做α的正弦(sine)，记做sin α； （2） 叫做α的余弦(cossine)，记做cos α；（3）yx叫做α的正切(tangent)，记做tan α. 即：sin y α=，cos x α=，tan (0)yx xα=≠.试一试：角34π与单位圆的交点坐标为 ，则3sin 4π= ，3cos 4π= ，3tan 4π= .反思： ①当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于 ，所以 无意义.② 如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ，则：sin yrα=；cos α= ； tan α= . 2例题选讲 例1 求53π的正弦、余弦和正切值.例2已知角α的终边经过点P (2，－3)(如图)，的正弦、余弦和正切值.二练习案1. tan()4π-=（ ）.A. 1B. 1-C.D. 2. 7sin6π=（ ）.A. 12B. 12-3. 如果角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴重合，终边在函数5(0)y x x =<的图象上，那么tan α的值为（ ）. A. 5 B. －5 C. 15D. 15-4. cos(30)-︒= .5. 已知点(3,4)P a a -(0)a ≠在角α的终边上，则tan α= .6.角34π与单位圆的交点坐标为 ，则3s i n 4π= ，3cos 4π= ，3tan 4π= .7. 求下列各角的正弦、余弦和正切值.（1）0 ； （2）π ；. （3）32π； （4）2π8.求56π的正弦、余弦和正切值. 1. 求下列各角的正弦、余弦和正切值： （1）32π； (2) 56π;（3）73π； （4）－94π.9. 已知角α的终边过点0(3,4)P--，求角α的正弦、余弦和正切值.10.已知角α的终边经过P(4,-3)，求2sinα+cosα的值.11. 已知角α的终边在直线y＝2x上，求α的正弦、余弦和正切值.1. 单位圆定义任意角的三角函数；.知识拓展α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为r（1）xy叫做α的余切，记作cotα，即cotxyα=；（2）rx叫做α的正割，记作secα，即secrxα=；（3）ry叫做α的余割，记作cscα，即cscryα=．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差。

高中数学 任意角的三角函数第3课时学案新人教A 版必修4【学习目标】1.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；2.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小.【重点难点】 三角函数线 比较两个同名三角函数值的大小【学习内容】问题：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？【新授】【边描述边画】以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==. O xy a 角的终边 P T M A随着α在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴上时,以O为始点、M为终点，规定：当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有负值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有cosOM xα==.同理,当角α的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP 与y轴反向时，MP的方向为负向，且有负值y；其中y为P点的纵坐标.这样,无论那种情况都有sinMP yα==.像MP OM、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A作单位圆的切线,这条切线必然平行于y轴,设它与α的终边交于点T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT、,我们有tanyATxα==.我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====MP ，cos 1x x x OM r α====OM ，tan y MP AT x OM OAα====AT . 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。

§4.2任意角的三角函数一、学习要求：理解任意角的三角函数的定义，熟记三角函数在各个象限内的符号，了解各三角函数线，能作出已知角在单位圆中的三角函数线。

二、学习重点、难点：重点：任意角三角函数的定义；三角函数在各个象限内的符号；求三角函数值。

难点：三角函数线三、学时安排：共2学时第一学时：学习任意角饿三角函数定义，和三角函数在各个象限的符号，并理解和运用。

第二学时：学习三角函数线，通过三角函数线求三角函数值（不编写学案）。

四、学习过程：第一学时（一）课前尝试1、学习方法：认真阅读课本P.165-167内容，注意理解三角函数的定义，符号法则的推出过程及作用。

2、尝试练习：（1）已知P（1,-2）是角α终边上一点，求α的三个三角函数值。

（2）确定下列三角函数值的符号：sin(740)-︒19 tan()6π-（二）课堂探究：1、探究问题在初中，我们学习了锐角的三角函数值，当角的概念推广以后，对于一个任意角的三角函数，应该如何求呢？比如：sin120︒ 7cos()6π tan300︒ 等等 2、知识链接：回忆： （1）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A α∠=，则sin α= cos α= tan α=（2）把上述Rt ABC ∆放置在直角坐标中，如图所示：sin α= cos α= tan α=（3）任意角的三角函数定义：图4-2-1 图4-2-2 图4-2-3（4）三角函数在各个象限内的符号法则：y y yO x O x O xαsin αcos αtan图4-2-43、拓展练习：（1）P.166例2 P 点的坐标还可怎么取？（2）思考：为什么正弦函数、余弦函数的定义域为R ，正切函数的定义域不是R ？4、当堂训练：书本上P.167.课内练习1。

5、归纳总结：（三）课后拓展：1.已知角α终边经过点(3,4),(0)P t t t <，求sin ,cos ,tan ααα的值。

2013高中数学会考复习（八）任意角的三角函数【知识回顾】1、 任意角：(1)正角：____ ____、负角____ _____、零角_________ (2)象限角：__________________________________(3)终边相同的角：与α终边相同的角β可以表示为_____________________ 2、弧度制：（1）角度与弧度的转化：_____________，故得︒1=______rad ；1 rad=______；（2）弧长公式：___________(弧度制)或______________(角度制)；（3）扇形面积公式：________________(弧度制)或______________(角度制) 3、任意角的三角函数：（1）定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则 ______tan _____cos _____sin ===ααα （2）定义应用：三角函数值在各象限内的符号及三角函数的定义域45（1）平方关系：___________________；(2) 商的关系：____________； 6、三角函数的诱导公式：（注意规律？）公式一：()sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． 公式二：()sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． 公式三：()sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．公式四：()sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 公式五：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．公式六：sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 以上六组公式可统一记为：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.如：=-)23sin(απ___________，=+)3tan(απ____________，cos ()α-=__________【题组自测】考点1：任意角与弧度制1．下列说法正确的是 （ ）(A)终边相同的角一定相等 (B)锐角是第一象限角(C)第二象限角为钝角 (D)小于︒90的角一定为锐角 2. （1）已知角︒=45α；在区间]0,720[︒︒-内找出所有与角α有相同终边的角β .（2）终边在y 轴上角的集合可以表示为________________________.（3）终边在第三象限的角可以表示为________________________.（4）已知角x 的终边与角︒30的终边关于y 轴对称，则角x 的集合可以表示为___ _____. （5）已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad, 则该扇形的面积 。

1．2．1 任意角的三角函数（1）【学习目标】1.能举例说明任意角的三角函数的定义；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；能记住三角函数的定义域、值域和各种函数值在各象限的符号；2.通过对三角函数定义的探究，使同学们认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角 度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式，明白三角函数又是以实数为自变量的函数；3.通过探究，明白方程与函数的思想、数形结合的思想、转化的思想在三角函数的运用；提高同学们分析、探究、解决问题的能力，培养同学们严谨治学、一丝不苟的科学精神.【学习重点】任意角的正弦、余弦、正切的定义及函数的定义域、函数值在各象限的符号【难点提示】对用角的终边上的点的坐标（比值）来刻画三角函数的理解.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1118P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】 一、学习准备在前面我们学习了函数的概念、性质，一些特殊函数（包括初中的锐角三角函数、三角形、圆等知识）的概念、性质，任意角的概念等，请同学们回顾后完成下列填空：（1）函数的概念是 ； （2）在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，则sinA= 、CosA= ；tanA= ；（3）任意角指的是 ；象限角指的是 ； （4）与α同终边的角的集合S 为 ； （5）两个三角形相似如何判定、有哪些性质与结论？（6）圆的概念怎样？圆的圆心可为原点吗？圆的半径可以取一个单位吗？在（2）中显然是锐角的三角函数的定义，怎样将锐角的三角函数推广到任意角呢？这就是我们本节课要研究的问题！二、学习探究 （一）三角函数定义思考猜想 我们对上面（2）中的锐角三角函数的定义作深入的思考，这个函数的定义域是什么？值域是什么？对应法则是什么？其中最为核心的什么？那么在平面坐标系中确定一个任意角α的大小与什么联系的最为紧密？是不是这个角的终边？终边又是什么构成的呢？是不是点？点是不是用坐标表示？请同学们大胆猜想，能不能用任意角α上任意一点P 的坐标来定义α的三角函数！ 归纳概括 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(),x y ，P 到原点的距离为PO =(0)r r ==>，过点P作X 轴的垂线，设垂足为M ，构造出Rt POM ∆.那么，我们类比锐角三角函数，可得：（1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=（3）比值(0)y x x ≠叫做α的正切，记作tan α，即tan yxα=（请同学们用函数的概念判定上面三个式子能不能构成角α的函数呢？链接1）任意角三角函数定义：对于确定的值α，在α终边上取任意一点P （除了原点）的坐标为(),x y ，设P 到原点的距离为PO =(0)r r ==>，则比值yr、x r 、y x 分别角α的正弦、余弦、正切，即：sin y r α=、cos x r α=、tan yx α=分别叫角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数统称为三角函数.阅读对比 请同学们仔细阅读教材，比较教材上的定义与上面的定义有哪些区别与联系？教材中取得点是一个定点，上面的定义中取的什么点？结果一样嘛？为什么？（链接2）2.已知角α的终边经过点)4,3(--P ，求α的正弦、余弦、正切值. 解：解后反思 你能从这快乐体验中两道题的解答感悟到什么吗？如：各用什么方法求解的？用到什么数学思想？在第2题中满足4sin 5α=-的有多少角？这些角有何关系？ 挖掘拓展 （1）三角函数定义中的比值的大小与P 点在终边上的位置无关； （2）三角函数的定义域：sin y α=的定义域 、cos y α=的定义域 ； tan y α=的定义域 ；（为什么？） （3）三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号可得：①正弦sin yr α=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负； ②余弦cos xr α=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负；③正切tan yxα=，当α在第 象限是为正，当α在第 象限是为为负；记忆法则： 一全正，二正弦，三切，四余弦，其余均为负.（4）终边相同角的三角函数的关系（诱导公式一）（链接3）；sin(2)____cos(2)____k k απαπ+=+=；；tan(2)____k απ+=∈（其中k Z ） （5）另三个三角函数， cot x y α=、sec rxα=、csc r y α=分别叫角α的的余切、正割、余割函数（类比上面（2）（3）（4），对这三个函数有怎样的结论？链接4）. 三、典例赏析例1（教材P13的例3.请同学们先看题，独立做一下后，再看教材的解答） 解：解后反思 你的解法与教材的解法相同吗？有哪些区别？教材是怎么书写表达的？变式练习 教材P15练习第6题. 解：例2 （教材P14的例4、例5.请同学们先看题，独立做一下后，再看教材的解答） 解：解后反思 你的解法与教材解法相同吗？有哪些区别？你的解法是最简洁的方法吗？ 求解的过程中用到了哪些数学知识与思想方法？（链接5）变式练习 已知sin 0α<且tan 0α>，试判断tan ,sincos222ααα的符号．解：例3.已知点P (3,-4)r r (0)r ≠在角α的终边上，求sin α、cos α、tan α的值． 解：解后反思 求解该题的关键在哪儿？易错点在哪儿？变式练习 已知角α的终边上一点()P m ，且sin 4α=， 求cos ,sin αα,αtan 的值． 解： 四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：任意角三角函数的概念理解了吗？各函数的定义域知道了吗？三角函数值在各象限的符号如何记忆？ 公式一掌握了吗？本节课有哪些题型？运用了哪些思想方法求解的？有哪些需要我们注意的？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？五、学习评价 1．已知角α的终边过点（6,-8），则αtan =（ ）．43.A 43.-B C ．34- D ． 342.有下列命题：（1）在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． （2）若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上的一点，则22cos yx x +-=α（3）若αsin >0，则α是第一,第二象限的角.其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 3.若在则ααα,0cos sin <⋅ 象限．4.已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，求a 的取值范围. 解：5.求函数|cos ||tan |cos tan x x y x x=+的值域 解：6.若角θ的终边过点()8，a P ，且53cos -=θ，求a 的值． 解：【学习链接】链接1.对于任意给定的值α，都分别有一个唯一确定的比值（实数）y r 、x r、yx 与之对应，所以sin y rα=、cos x r α=、tan yx α=均分别能构成角α的函数.链接2.教材上的定义与学案的定义本质是一样（由三角形相似成比例），教材上的定义是取点P 为角α的终边与单位圆的交点P （x ，y ），此时1OP r ==，从而有sin ,cos ,tan y y x xααα===. 链接3. （1）公式一的文字语言表述为：终边相同的角的同一三角函数的值相等； （2）公式一的作用：利用它可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到π2（或00~0360）链接5.用到了三角函数的概念、公式一；运用了公式法；借助计算器求解.。

任意角的三角函数教案关键信息项1、教学目标理解任意角三角函数的定义。

掌握三角函数在各象限的符号。

能运用三角函数的定义解决相关问题。

2、教学重难点重点：任意角三角函数的定义。

难点：三角函数在各象限的符号判断及应用。

3、教学方法讲授法练习法讨论法4、教学工具多媒体课件黑板、粉笔导入新课讲授课堂练习课堂总结作业布置11 教学目标111 知识与技能目标通过本节课的学习，学生能够理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，明确其定义域和值域，并能熟练运用定义求解相关问题。

112 过程与方法目标经历从锐角三角函数推广到任意角三角函数的过程，培养学生的数学抽象和逻辑推理能力。

113 情感态度与价值观目标激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，感受数学的严谨性和逻辑性。

12 教学重难点任意角三角函数的定义是本节课的重点。

学生需要明确在平面直角坐标系中，对于任意角α，其终边上任取一点 P（x，y），点 P 到原点的距离 r ＝√（x²＋ y²) ，则正弦函数sinα ＝ y/r，余弦函数cosα ＝ x/r，正切函数tanα ＝ y/x （x ≠ 0）。

122 教学难点三角函数在各象限的符号判断及应用是本节课的难点。

由于角的终边位置不同，三角函数值的符号也不同，需要学生牢记“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的口诀，并能灵活运用。

13 教学方法131 讲授法通过教师的详细讲解，让学生理解任意角三角函数的定义、性质和应用。

132 练习法安排适量的课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

133 讨论法组织学生进行小组讨论，共同解决问题，培养学生的合作精神和思维能力。

14 教学工具141 多媒体课件利用多媒体课件展示图形、动画等，帮助学生直观地理解任意角三角函数的概念。

142 黑板、粉笔用于教师板书重点内容和解题过程，方便学生记录和复习。

15 教学过程151 导入通过回顾锐角三角函数的定义，引导学生思考如何将其推广到任意角。

1.2.1 任意角的三角函数(一)自主探究1．任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ；③y x 叫做α的正切，记作y x ，即tan α＝y x(x ≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：sin(α＋k ·2π)＝sin_α，cos(α＋k ·2π)＝cos_α， tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .解 以α＝2π为例，其余略．设P (x ，y )为α＝32π上一点，易知点P (x ，y )在y 轴负半轴上．∴x ＝0，y <0，r ＝x 2＋y 2＝－y >0.∴sin 32π＝y r ＝－1；cos 32π＝x r ＝0；tan 32π＝yx ，无意义．名师点拨1．对三角函数定义的理解(1)三角函数也是一种函数，它满足函数的定义，可以看成是从一个角的集合(弧度制)到一个比值的集合的对应，并且对任意一个角，在比值集合中都有唯一确定的象与之对应，三角函数的自变量是角α，比值是角α的函数．(2)三角函数是用比值来定义的，所以三角函数的定义域是使比值有意义的角的范围．如在求正切时，若点P 的横坐标x 等于0，则tan α无意义．(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．(4)符号sin α、cos α、tan α是一个整体，离开“α”，“sin”、“cos”、“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘积．2．诱导公式一的理解及其应用(1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等．(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边的角为α＋k ·2π，右边的角为α.(3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．典例剖析一、利用定义求任意角的三角函数值例1 已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值． 解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a .∴r ＝－15a 2＋a 2＝17|a | (a ≠0)． (1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815.(2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815.点拨 已知角终边一点求三角函数值，关键在确定该点的坐标，根据三角函数定义求解，同时应注意一些字母符号．二、判断三角函数值的符号例2 若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ答案 C解析 ∵θ为第一象限角，∴2k π<θ<2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<θ2<k π＋π4，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π<θ2<2n π＋π4(n ∈Z )．∴θ2为第一象限角，∴sin θ2>0，cos θ2>0，tan θ2>0. 当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π<θ2<2n π＋54π (n ∈Z )．∴θ2为第三象限角，∴sin θ2<0，cos θ2<0，tan θ2>0， 从而tan θ2>0，而4k π<2θ<4k π＋π，k ∈Z ，cos 2θ有可能取负值．点拨 根据三角函数值的符号判断角所在的象限时，可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆．三、诱导公式一的应用 例3 求下列各式的值．(1)cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π； (2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°.解 (1)原式＝cos 253π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π3 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°＝32×32＋12×12－1＝0. 点拨 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．同时要熟记特殊角的三角函数值．变式训练1．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．解 sin α＝y3＋y2＝34y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得：y ＝±213. 当y ＝213时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，213，r ＝433. ∴cos α＝－34，tan α＝－73.当y ＝－213时，cos α＝－34，tan α＝73. 2．若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 答案 C解析 ∵sin α<0，∴α是第三、四象限角．又tan α>0， ∴α是第一、三象限角，故α是第三象限角． 3．求下列各式的值．(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 174π； (2)sin 630°＋tan 1 125°＋tan 765°＋cos 540°.解 (1)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋－4×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin 270°＋tan 45°＋tan 45°＋cos 180° ＝－1＋1＋1－1＝0.一、选择题1．sin 210°等于( )A.32 B ．－32 C.12 D ．－12 答案 D2．若cos θ>0且sin 2θ<0，则角θ的终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 D3．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为( ) A. 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33答案 B4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3 D．5 答案 A解析 r ＝b 2＋16，cos α＝－b r ＝－b b 2＋16＝－35.∴b ＝3.二、填空题5．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________． 答案 负号解析 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，∵π2<3<π，∴cos 3<0， ∵π<4<32π，∴tan 4>0.∴sin 2cos 3tan 4<0.6．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________．答案 －2<a ≤3解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y 轴正半轴上，∴3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3.7．设角α的终边经过点(－6t ，－8t ) (t ≠0)，则sin α－cos α的值是________．答案 ±15解析 当t >0时，r ＝10|t |＝10t .sin α＝－45，cos α＝－35，sin α－cos α＝－15.当t <0时，r ＝10|t |＝－10t .sin α＝45，cos α＝35，sin α－cos α＝15.8．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________.答案 2解析 ∵y ＝3x ，sin α<0，∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，且m <0，n <0，n ＝3m .∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m |＝－10m ＝10. ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 三、解答题9．已知角θ的终边上一点P (x,3) (x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 解 ∵r ＝x 2＋9，cos θ＝x r，∴1010x ＝xx 2＋9. ∵x ≠0，∴x ＝±1.∵y ＝3>0，∴θ是第一或第二象限角，当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3；当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3.10．已知α是第三象限角，试判定sin(cos α)·cos(sin α)的符号． 解 α是第三象限角，则有：cos α<0且－1<cos α<0，sin α<0且－1<sin α<0，进而有cos α是第四象限角，所以sin(cos α)<0，sin α是第四象限角，所以cos(sin α)>0， 所以sin(cos α)·cos(sin α)<0.。

1.2.1任意角的三角函数一、教学目标1、借助单位圆理解任意角的三角函数的定义。

2、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号，以及终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）。

3、让学生在任意角三角函数知识的形成过程中，感悟数学概念的严谨性与科学性，体会函数思想，体会数形结合思想。

二、教学重点与难点1、教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；三角函数值的符号；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）。

2、教学难点：任意角的三角函数概念的理解。

三、教学方法引导法、讲授法。

四、教学过程 1、问题情境在初中学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的函数。

c b =αsin c a =αcos ab=αtan前几节课的内容我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来学习任意角的三角函数。

2、讲授新课对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来学习。

bacα设α是一个任意角，其顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的终边上任取（异于原点）一点P （x ,y ）， 则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r ， 因此有比值ry叫做α的正弦 记作： r y =αsin比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos比值xy叫做α的正切 记作： x y =αtan单位圆：以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆。

设α是一个任意角，它终边与单位圆交于点P （x ,y ），则： （1）y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； （3）y x叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)y x xα=≠。

三角函数：是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。

高中数学任意角三角函数第2课时学案新人教A版必修4【学习目标】1.三角函数的符号；2. 诱导公式（一）。

【重点难点】符号及诱导公式（一）【学习内容】【复习回顾】：三角函数的定义【新授】一．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知：①正弦值yr 对于第一、二象限为正（0,0y r>>），对于第三、四象限为负（0,0y r<>）；②余弦值xr 对于第一、四象限为正（0,0x r>>），对于第二、三象限为负（0,0x r<>）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,x y同号），对于第二、四象限为负（,x y异号）．说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.口诀：一全正二正弦三正切四余弦二．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同.即有： sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，tan(2)tan k απα+=， 其中k Z ∈．例1：已知sin 0α<且tan 0α>，（1）求角α的集合；（2）求角2α终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 222ααα的符号.例2： 求函数x xx xy tan tan cos cos +=x xsin sin +的值域.解：例3：求下列三角函数的值：（1）9cos 4π，（2）11tan()6π-，（3）9sin 2π．解：例4：求函数x y sin 1=的定义域和值域解：例5：求函数x y tan 1=的定义域和值域解：例6：求函数x x y sin 3sin 2+=的值域解：【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1.4tan 3cos 2sin ⋅⋅的值为 （答：正数，负数，0 ）. 2.确定tan －cos 8·tan 5的符号；3.α是第二象限角，且2cos 2cos αα-=，则2α是（） A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角4．若tan α<0，且sin α > cos α，则α在() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．若sin θ·cos θ＞0，则θ所在象限为6．求下列函数的值域（1）x x y sin sin 2-=（2）2sin sin 12+-=x x y7．求值（1）)415tan(325sin ππ-+（2） ︒-︒+︒1125tan 360cos 810sin（3）)423tan(313cos 613sin πππ--+8. 若α角是第三象限角，则ααααcos cos sin sin -的值为。

学案 角的概念的推广与任意角的三角函数一、目标要求：1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化2.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及三角函数线的意义 二、知识梳理：1.角的概念的推广:⑴按旋转方向不同产生正角、零角、和负角； ⑵按终边位置的不同产生象限角和象限界角； ⑶终边与角α相同的角. 2.角的度量:⑴角度制： ；⑵弧度制： ； ⑶角度制与弧度制间的换算关系： ； ⑷弧长l 、半径r 与其所对的圆心角的弧度数α之间的关系为：|α|l r=，扇形面积21122S lr r α==3.⑴三角函数的定义:=αsin , =αcos ,=αtan ,=αcot . ⑵三角函数在各象限的符号： 。

4.三角函数线：=αsin , =αcos ,=αtan 三、基础训练1.第二象限角的集合 ，第四象限角的集合 ，终边在x 轴上的角的集合 ，终边在y 轴上的角的集合 ，终边在坐标轴上的角的集合 。

2.下列命题是真命题的是（ ）A.三角形的内角必是一、二象限内的角B.第一象限的角必是锐角C.不相等的角终边一定不同D.{|36090,}k k Z αα=⋅±∈= {|18090,}k k Z αα=⋅+∈3、若角α满足条件sin cos 0,cos sin 0αααα<-<，则α在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.角α的终边过点(4,3)(0)P a a a -<，则2sin cos αα+的值是（ ） A.52 B.52-C.0D.与a 的取值有关5.若42ππθ<<，则下列不等式中成立的是（ ）A.sin cos tan θθθ>>B.cos tan sin θθθ>>C.tan sin cos θθθ>>D.sin tan cos θθθ>> 四、典例精析例1. 角α终边经过点(,2)(0)P x x -≠，且3cos 6x α=，求sin cot αα+的值.例2 . 已知22cos sin cos 21tan 1cot θθθθθ+=++ (,)2k k Z πθ≠∈，求θ的取值范围.例3.已知πβπββ<<+-=+-=2,524cos ,53sin m m m m ,求m 的取值范围。