第三讲 抽屉原理

抽屉原理的三个公式抽屉原理（也称为鸽笼原理）是离散数学中的一项基本原理，用于解决一类关于集合和计数的问题。

该原理指出，当将n+1个物体放入n个容器中时，至少有一个容器中必然有两个或两个以上的物体。

这个原理虽然看似简单，却被广泛应用于各个领域，如图论、计算机科学等。

在本文中，我们将通过阐述抽屉原理的三个公式来进一步理解和应用这一原理。

公式一：抽屉问题公式在抽屉问题中，我们要研究的是如何将n个物体放入m个抽屉中，使得至少有一个抽屉中装有k个或更多的物体。

那么根据抽屉原理，我们可以得到如下公式：n ≥ (k-1) * m + 1这个公式告诉我们，当抽屉的数量m不足以容纳k个物体时，至少有一个抽屉中会有k个以上的物体。

公式二：鸽笼问题公式鸽笼问题是抽屉原理的一种特殊形式，它要求从n个物体中选择m 个物体，保证至少有一个物体被选中两次。

根据抽屉原理，我们可以得到如下公式：m ≥ n这个公式告诉我们，当鸽笼的数量m小于等于物体的数量n时，至少有一个鸽笼会被分配到两个或更多的物体。

公式三：化简公式在某些情况下，我们需要对抽屉原理进行化简，以求得更简洁的表达式。

当物体的数量n不足以填满抽屉的数量m时，我们可以利用抽屉原理进行化简，得到如下公式：n ≤ (k-1) * m这个公式告诉我们，当抽屉的数量m过多时，至少会有一个抽屉为空。

同时，它也提醒我们在实际问题中进行有效的资源利用，避免抽屉的浪费。

综上所述，抽屉原理是离散数学中一项重要的原理，通过公式的运用，我们能够更好地理解和应用这一原理。

通过抽屉问题公式，我们可以确定至少某抽屉中装有一定数量的物体；通过鸽笼问题公式，我们可以确定至少某个物体会被选中两次；通过化简公式，我们可以对抽屉原理进行简化，提醒我们有效利用资源。

无论是在理论还是实践中，抽屉原理的三个公式都具有重要的指导意义。

所以，我们应该深入学习和掌握这些公式，并能够在适当的时候灵活运用，解决实际问题。

第三讲抽屉原理（一）专题简析：如果给你5盒饼干，让你把它们放进4个抽屉，可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。

如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。

如果把3本联系册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。

这些简单的例子就是数学中的“抽屉原理”。

基本的抽屉原理有两条：（1）如果把x+k（k≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。

（2）如果把m×x+k（x＞k ≥1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。

利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”？哪些是“元素”？然后按以下步骤解答：a、构造抽屉，指出元素。

B、把元素放入（或取出）抽屉。

C、说明理由，得出结论。

本周我们先来学习第（1）条原理及其应用。

B1、某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天？为什么？试一试：1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有两个学生的生日是同一天，为什么？2、某校有30名学生是2月份出生的。

能否至少有两个学生的生日是在同一天？3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？B2、某班学生去买语文书、数学书、外语书。

买书的情况是：有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？1、某班学生去买数学书、语文书、美术书、自然书。

买书的情况是：有买一本、二本、三本或四本的。

问至少去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）？2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。

每个学生从中任意借两本，那么至少要几个学生才能保证一定有两人所借的图书属于同一种？3、一之袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有2个同色的？B3、一只布袋中装有大小相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种，问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的？试一试：1、一只布袋中装有大小相同、颜色不同的手套。

抽屉原理抽屉原理I ：把1+n 件东西任意放入n 只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西。

抽屉原理II ：把m 件东西放入n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 件东西。

把4只苹果放到3个抽屉里去，共有4种放法，不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。

同样，把5只苹果放到4个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。

……更进一步，我们能够得出这样的结论：把n ＋1只苹果放到n 个抽屉里去，那么必定有一个抽屉里至少放进两个苹果。

这个结论，通常被称为抽屉原理。

利用抽屉原理，可以说明（证明）许多有趣的现象或结论。

不过，抽屉原理不是拿来就能用的，关键是要应用所学的数学知识去寻找“抽屉”，制造“抽屉”，弄清应当把什么看作“抽屉”，把什么看作“苹果”。

抽屉原理I1.一个小组共有13名同学，其中至少有2名同学同一个月过生日。

为什么？2.任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数。

这是为什么？3.有规格尺寸相同的5种颜色的袜子各15只混装在箱内，试问不论如何取，从箱中至少取出多少只就能保证有3双袜子（袜子无左、右之分）？4.一个布袋中有35个同样大小的木球，其中白、黄、红三种颜色球各有10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球，试问一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同一颜色的球？5.1947年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明：任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。

”这道题看起来与数学没有多大关系，似乎无法用数学知识解决。

但解决时并不要用到多少高深知识，立即引起了许多数学爱好者的关注和兴趣。

以上问题就是数学中的一类与“存在性”有关的问题。

抽屉原理II1.某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？2.一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。

小升初数学总复习知识点：抽屉原理
抽屉原理
抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。

例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。

抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n>m，那么必有一个抽屉至少有：
①k=[n/m ]+1个物体：当n不能被m整除时。

②k=n/m个物体：当n能被m整除时。

理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
关键问题：构造物体和抽屉。

也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。

趣味数学中级班第三讲抽屉原理
一、课前复习：
1、计算下面各题：
（1）8+98+998+9998+6 （2）954-（154-128）
（3）56+51+49+48+53+47 （4）96-95+94-93+92-91+……+4-3+2-1
2、一群麻雀入竹林，争先恐后竹上停。

一根竹子落两只，竹子便会多一根。

一根竹子落一只，竹子便会少一根。

请君细想算算看，麻雀几只竹几根？
二、新课讲解：
《晏子春秋》里面有一个“二桃杀三士”的故事。

齐景公养着三名勇士，他们分别叫田开疆、公孙接和古冶子。

这三名勇士都力大无比，……
抽屉原理虽然简单，但在数学中却有着广泛而深刻的运用。

例1.把红、黄、蓝3种颜色的球各5个放到1个袋子里，至少取出多少个球可以保证取到两个颜色相同的球？
例2.幼儿园有白兔、熊猫、长颈鹿3种塑料玩具各若干件，每个小朋友任意选择2件。

证明：不管怎样挑选，在7个小朋友中总有2个人选的玩具相同。

例3.8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有3只鸽子要飞进同一个鸽舍，为什么？
例4.能否在10行10列的方格表的每个空格中，分别填上1，2,3这三个数之一，使得大正方形的每行、每列及每条对角线上的10个数字之和互不相同吗？。

抽屉原理是指当物件数量大于抽屉数量时，必然会有至少一个抽屉中
放置两个或以上的物件。

这个原理其实非常简单，但是却有着广泛的应用。

首先，我们来详细解释一下抽屉原理。

假设有n个物件和m个抽屉，
如果n>m，那么至少有一个抽屉中必然放有两个及以上的物件。

要理解抽屉原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。

假设有10
个苹果要放在5个抽屉里面，如果每个抽屉只能放一个苹果，那么无论怎
样放置，必然会有至少一个抽屉中放有两个或以上的苹果。

这是因为苹果
的数量比抽屉的数量多出来了5个，所以必然会有苹果无法放置在抽屉里面。

抽屉原理在数学中有广泛的应用。

以下是一些常见的例子：
1.许多人都熟悉的鸽巢原理就是抽屉原理的另一个表述。

鸽巢原理说
的是，如果有n只鸽子要放到m个鸽巢里面，当n>m时，必然会出现至少
一个鸽巢中有两只或以上的鸽子。

2.抽屉原理还可以应用于生日问题。

生日问题是指，当一个房间里有
多少人时，至少有两个人的生日相同的概率超过50%。

假设有365个可能
的生日，当房间里的人数超过365时，就会有至少两个人的生日相同。

这
是因为生日的数量比房间里的人数多。

3.抽屉原理还可以应用于图论中的染色问题。

图论是研究点和边的集
合的学科。

当一个图的点的数量大于颜色的数量时，必然会有至少两个相
邻的点有相同的颜色。

综上所述，抽屉原理是一个非常有用的数学原理，可以应用于各个领域。

无论是在生活中还是在学习中，理解抽屉原理可以帮助我们更好地解
决问题。