铜陵学院数学试题卷(一)

2022-2023学年安徽省铜陵市普通高校对口单招数学自考真题(含答案)班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(10题)1.A.6B.7C.8D.92.下列结论中，正确的是A.{0}是空集B.C.D.3.设集合U={1，2,3,4,5,6}，M={1，3,5}，则C∪M=()A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,4}D.U4.设集合，，则（）A.A，B的都是有限集B.A，B的都是无限集C.A是有限集，B是无限集D.B是有限集，A是无限集5.根据如图所示的框图，当输入z为6时，输出的y=( )A.1B.2C.5D.106.已知椭圆的一个焦点为F(0，1)，离心率e=1/2，则该椭圆的标准方程为（)A.x2/3+y2/4=1B.x2/4+y2/3=1C.x2/2+y2=1D.y2/2+x2=17.若sinα与cosα同号，则α属于( )A.第一象限角B.第二象限角C.第一、二象限角D.第一、三象限角8.若函数y=log2（x+a）的反函数的图像经过点P（-1，0），则a的值为（）A.-2B.2C.D.9.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为（）A.1/100B.1/20C.1/99D.1/5010.命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是（）A.f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数二、填空题(10题)11.12.已知那么m=_____.13.14.从某校随机抽取100名男生，其身高的频率分布直方图如下，则身高在[166，182]内的人数为____.15.已知一个正四棱柱的底面积为16，高为3，则该正四棱柱外接球的表面积为_____.16.己知0<a<b<1，则0.2a 0.2b。

第 1 页 共 2 页A 卷一、选择题（每题2分，共16分） 1、函数x e ，xe2是微分方程023=+'-''y y y 的两个特解，则此方程的通解为（ ）（A ）xxe e 2+ （B ）xxec e c 221+ （C ）x e x c c )(21+ （D ）xx e ce 2⋅2、双叶双曲面1993222=--z y x 的旋转轴是（ ） （A ）x 轴 （B ）y 轴 （C ）z 轴 （D ）没有旋转轴3、设有直线123:112x y z L ---==-及平面:4220x y z π-+-=，则直线L （ ） （A ）平行于π （B ）在π上 （C ）垂直于π （D ） 与π斜交4、二元函数(),f x y 在点()00,x y 处两个偏导数()00,x f x y '，()00,y f x y '存在是(),f x y 在该点连续的（ ）（A ）充分而非必要条件 （B ）必要而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 5、已知函数22ln(1)z x y =++，在1,2x y ==时的全微分(1,2)dz=（ ）（A ）dy dx 2121+ （B ）dy dx 3231+（C ）dy dx 3131+ （D ）dy dx 2121+6、交换积分次序后=⎰⎰xdy y x f dx 010),(（ ）（A ）x d y x f dy y ⎰⎰110),( （B ）⎰⎰1010),(dx y x f dy（C ）⎰⎰ydx y x f dy 01),( （Ｄ）⎰⎰10),(dx y x f dy x7、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰+LQdy Pdx =（ ）（A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(（B ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Py Q )( （C ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(（D ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y P x Q )( 8、下列级数中条件收敛的级数是 （ ）11()(1)(1)nn A n n ∞= -+∑ 11()n B n ∞= -∑1()(1)nn C ∞= -∑1sin ()2n n n D ∞= ∑二、填空题（每题2分，共14分）1、微分方程02=-'-''y y y 的通解为 ___.2、已知)2,1,1(-=a，)3,,1(λ-=b ，且a b ⊥则λ= ___.3、曲线⎩⎨⎧==-+30222z x z y 在xoy 面上投影曲线的方程是______________.4、函数2xy z =在点)1,1(P 处从点)1,1(P 到点)3,2(Q 的方向的方向导数为______________. 5、曲面()231,2,0z z e xy -+=在点处的切平面方程为______________.6、⎰⎰⎰Ω__________________dV =⎰⎰∑++Rdxdy Qdzdx Pdydz ，其中∑是Ω的取外侧的封闭曲面. 7、幂级数213nn n n x ∞=∑的收敛半径为___.第 2 页 共 2 页1、求微分方程24dyxy x dx+=的通解. 2、求过直线L:21020x y z x y z +++=⎧⎨-+-=⎩与平面π：20x y z ++=垂直的平面方程.3、已知函数v u z ln 2=，而y x v y x u 23,-==，求x z ∂∂，yz∂∂.4、计算二重积分dxdy x D ⎰⎰，其中}|),{(22x y x y x D ≤+=.5、计算曲面积分⎰⎰∑xzdxdy ，其中∑是平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.6、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数，并指出收敛域.四、证明题（6分）设{}n u ，{}n c 都是正数数列。

第 1 页 共 3 页3351110243152113------xaa axa a a x D n=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=231102A ,102324171⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B ,111201111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=P 铜 陵 学 院2012 - 2013 学年第 一 学期《 线性代数 》考查试卷（适用班级： ）一计算题（8×5=40分）1. 2.3.已知 求 TAB )(4.已知求 1-P------------------------------------------第----------------------------2----------------------------装---------------------------------------线---------------------------------------------班 姓 学------------------------------------------第----------------------------1----------------------------装---------------------线--------------------------------------------第 2 页 共 3 页⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=0000041461351021632305023A ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++;0222,02,02432143214321x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+;0895,4433,13432143214321x x x x x x x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;,,12321321321λλλλλx x x x x x x x x5.已知 求 R （A ）二、解答题（12×5=60分） 1.解齐次线性方程组2. 解非齐次线性方程组3.λ为何值时，非齐次线性方程组第 3 页 共 3 页,97963422644121121112⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=A ,4321,5432321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηη（1）有唯一解； （2）无解； （3）有无穷解？4.设矩阵求矩阵A 的列向量组的一个极大无关组，并把不 属于极大无关组的向量用极大无关组线性表示。

2023年安徽省铜陵市普通高校对口单招数学自考测试卷(含答案)一、单选题(10题)1.A.B.C.D.2.A.B.C.3.以坐标轴为对称轴，离心率为，半长轴为3的椭圆方程是（）A.B.或C.D.或4.过点A(2，1)，B(3,2)直线方程为（）A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+l=0D.x-y+l=05.设a，b为实数，则a2=b2的充要条件是（）A.a=bB.a=-bC.a2=b2D.|a|=|b|6.A.3B.4C.5D.67.己知tanα，tanβ是方程2x2+x-6 = 0的两个根，则tan(α+β)的值为( )A.-1/2B.-3C.-1D.-1/88.若a<b<0，则下列结论正确的是( )A.a2<b2B.a3<b<b3</bC.|a|<|b|D.a/b<19.函数f(x)=的定义域是( )A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(0,2)D.R10.把6本不同的书分给李明和张强两人，每人3本，不同分法的种类数为( )A.B.C.D.二、填空题(10题)11.当0＜x＜1时，x(1-x)取最大值时的值为________.12.已知一个正四棱柱的底面积为16，高为3，则该正四棱柱外接球的表面积为_____.13.若△ABC 中，∠C=90°,,则= 。

14.设A(2,-4), B(0,4),则线段AB的中点坐标为。

15.长方体中，具有公共顶点A的三个面的对角线长分别是2，4，6，那么这个长方体的对角线的长是_____.16.17.某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的a的最大值为______.18.若函数_____.19.在等比数列{an }中,a5=4，a7=6，则a9= 。

20.三、计算题(5题)21.解不等式4<|1-3x|<722.有语文书3本，数学书4本，英语书5本，书都各不相同，要把这些书随机排在书架上.(1) 求三种书各自都必须排在一起的排法有多少种?(2) 求英语书不挨着排的概率P。

2023高考数学铜陵卷数列的极限历年真题及答案【2023高考数学铜陵卷数列的极限历年真题及答案】一、引言数列的极限在高考数学中占据着重要的地位，它是数学中的基本概念之一。

通过掌握数列的极限性质和求解方法，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力。

在铜陵地区的高考数学卷子上，数列的极限问题经常会出现。

本文将为大家梳理2023年铜陵高考数学卷上涉及数列的极限题目，并提供详细的解析答案。

二、历年真题与解析1. 2019年铜陵高考数学卷题目：已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\frac{1}{n^2+1}$，求$\lim\limits_{n \to \infty}a_n$。

解析：由已知的数列通项公式，当$n$趋于无穷大时，分母的$n^2$项的影响将远远大于1，因此可以忽略1的存在。

同时，$n$的指数次幂将使分母的影响趋于无穷大，使得数列的值趋近于0。

因此，$\lim\limits_{n \to \infty}a_n=0$。

2. 2020年铜陵高考数学卷题目：已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$，若$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=100$，且$a_1=-2, d=5$，求数列的公差$d$。

解析：根据题意，$\lim\limits_{n \to \infty}S_n=100$，即当$n$趋向无穷大时，数列的前$n$项和趋近于100。

代入等差数列的前$n$项和公式，得到$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n(-4+(n-1)5)}{2}=100$。

化简方程，得到$-\frac{5}{2}n^2+9.5n-100=0$。

解方程，得到$n=10$。

由公差$d$的性质，可得到$a_{10}=a_1+9d$，代入已知条件，得到$-2+9d=100$。

解方程，最终求得$d=12$。

铜陵一中届高二模拟试卷 数学本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，共150分。

考试时间120分钟。

第一卷〔选择题，共50分〕一、选择题〔每题5分，共50分〕1.直线 1x y += 与 圆224x y +=交于 A 、B 两点，那么AB =〔 〕 A.27 B.14 C.72 D. 1422.样本3,,2,1x 的平均数为2 ，那么样本方差是 A.31 B.22 C.21 D.41 ,两条不同的直线m 、n 两个不同的平面α、β，那么以下命题中的真命题是〔 〕 A.假设,,,βαβα⊥⊥⊥n m 那么n m ⊥ B.假设,,//,βαβα⊥⊥n m 那么n m ⊥ C.假设,//,//,//βαβαn m 那么n m // D.假设,,,//βαβα⊥⊥n m m ∥α，那么n m //4.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1＝1，∠AA 1B=∠A 1D 1B 1=60°，那么此长方体的对角线长是〔 〕A.2B. 5C. 3D. 25.为了了解1200名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，那么分段的间隔k 为( )A.40B. 30C.206.一个几何体的三视图如右图所示,那么此几何体的体积是 〔 〕 A.112 B.80 C.72 D.647.假设直线)0,(022>=+-b a by ax 平分圆014222=+-++y x y x 的周长, 那么ab 的最大值是〔 〕 A.41 B.21C.1D.2(1,3)A 关于直线y kx b =+对称的点B 是(2,1)-，那么直线y kx b =+在x 轴上的截距为〔 〕A. 32-B.54C. 65-D.5610.设x 、y R ∈，且2220x y x ++<，那么〔 〕 A.22680x y x +++< B.22680x y x +++> C.22430x y x +++<D.22430x y x +++>第二卷〔非选择题共100分〕二、填空题〔每题5分，共25分〕11.∠ACB= 90°在平面α内，PC 与CA 、CB 所成角∠PCA=∠PCB= 60°，那么PC 与平面α所成的角为12.一只蚂蚁在边长分别为5,4,3的三角形的边上爬行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是__________13.在样本频率分布直方图中,共有11个小长方形,假设中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积的41,样本容量为160,那么中间一组频数为 14.如右图，是计算1111 (3599)++++的程序框图，判断框应填的内容是________________, 处理框应填的内容是________________.15.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置， 其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器 内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ． 如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)． 有以下四个命题：(1)正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 (2)将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P(3)任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P (4)假设往容器内再注入a 升水，那么容器恰好能装满 其中正确的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．三、解答题〔16-19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分〕 16.ABC ∆三个顶点是)4,1(A -，)1,2(B --，)3,2(C ． 〔1〕求BC 边中线AD 所在直线方程；〔2〕求点Ａ到ＢＣ边的距离．17.下表是我校学生日睡眠时间的抽样频率分布表〔单位：h 〕 (1)将表中空缺局部填齐(2)根据频率分布表画出频率分布直方图；(3)根据频率分布表估计学生的日平均睡眠时间。

铜陵专升本试题数学及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：C2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。

A. -1B. 1C. 7D. 9答案：C3. 一个圆的半径为5，其面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π答案：B4. 直线y = 3x + 2与x轴的交点坐标是什么？A. (-2/3, 0)B. (0, 2)C. (2/3, 0)D. (-2, 0)答案：A5. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求A∩B。

A. {1}B. {2, 3}C. {1, 2, 3}D. {2, 3, 4}答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 若a + b = 5，且a - b = 3，则a = ______，b = ______。

答案：4, 17. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值。

答案：178. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点是x = ______。

答案：19. 已知三角形ABC的三边长分别为a = 3, b = 4, c = 5，求其面积。

答案：610. 若sinθ = √3/2，且θ为锐角，则cosθ = ______。

答案：1/2三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明：若a > 0，b > 0，则a + b ≥ 2√(ab)。

证明：由于 a > 0，b > 0，根据算术平均数与几何平均数的关系，有：a +b ≥ 2√(ab)，当且仅当a = b时取等号。

12. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

解：(x - 2)(x - 3) = 0，所以x = 2 或 x = 3。

四、综合题（每题15分，共15分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求其导数，并讨论其单调性。

数学（答案在最后）本试卷共4页，22题.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}2680B x x x =-+>，则集合A B = （）A.{}2 B.{}2,3,4 C.{}1,5,6 D.{}1,2,4,5,6【答案】C 【解析】【分析】先求解一元二次不等式得集合B ，再进行交集运算即可.【详解】{2B x x =<或}4x >，所以{}1,5,6A B = .故选：C.2.若复数z 满足()1i 1i z +=-，则z =（）A.i -B.iC.+D.22i 22-【答案】D 【解析】【分析】由复数的模及复数的除法运算可求.【详解】由1i -=()1i z +=，则i)i 1i (1i)(1i)222z -====++-.故选：D.3.已知cos 21sin αα=-，则tan α=（）A.43B.34 C.43-D.34-【答案】B 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求解.【详解】因为cos 21sin αα=-，所以cos 2sin 2αα+=,且cos 0α≠，所以22cos 4sin cos 4sin 4αααα++=，即24sin cos 3cos ααα=，cos 0α≠，所以3tan 4α=，故选：B4.在封闭的等边圆锥（轴截面为等边三角形）内放入一个球，若球的最大半径为1，则该圆锥的体积为（）A.3πB.6πC.9πD.12π【答案】A 【解析】【分析】根据截面图中圆内切于正三角形，即可求出圆锥的底面半径和高，进而可解决其体积.【详解】由题意，等边三角形的内切圆的圆心也是三角形的重心，所以得高为3h =，设底面半径为r ，由已知得tan 60hr ==︒，故体积为21π3π3V r h ==.故选：A5.已知函数()(ln 2f x x =+为奇函数，则f=（）A.)ln1B.)ln1+ C.)2ln 1- D.)2ln1+【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数的知识求得a，进而求得f .【详解】()(ln 2f x x -=-+22ln x x ⎛⎫=-++ln ⎛⎫=，因为()f x 是奇函数，所以()()0fx f x -+=，即(ln ln 2ln 0x a ⎛⎫+==，解得1a =，故()(()(ln 2,ln 32ln 1f x x f=+=+=+.故选：D6.分形几何是一门新兴学科，图1是长度为1的线段，将其三等分，以中间线段为边作无底边正三角形得到图2，称为一次分形；同样把图2的每一条线段重复上述操作得到图3，称为二次分形；……，则第5次分形后图形长度为（）A.10227B.13381C.524243D.4515729【答案】C 【解析】【分析】分析可知n 次分形后线段的长度为43n⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】图1的线段长度为1，图2的线段长度为43，图3的线段长度为243⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则一次分形长度为143a =，二次分形长度为2243a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，n 次分形后线段的长度为43n⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5次分形后长度为5545243243a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：C.7.已知椭圆C 的左右焦点分别为1F ，2F ，P ，Q 为C 上两点，2223PF F Q = ，若12PF PF ⊥，则C 的离心率为（）A.35 B.45C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆的焦点三角形，结合勾股定理即可求解.【详解】设23PF m = ，则22QF m = ，123PF a m =- ，122QF a m =-.5PQ m=在1PQF △中得：()()222232522a m m a m -+=-，即215m a =.因此225PF a = ，185PF a = ，212F F c = ，在12PF F △中得：22264442525a a c +=，故221725a c =，所以5e =.故选：D8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,P Q 分别为棱11C D ，1B C 上的动点，则四面体PQAD 的体积最大值为（）A.16B.14C.13D.12【答案】A 【解析】【分析】作平行辅助线，借助线面平行关系，将所求几何体体积Q PAD V -转化为G PAD V -，再利用等体积法转化为A PGD V -即可运算求解.【详解】过点Q 作11QG B C ∥交1CC 于G ，连接,,PG GD DP ，又11B C BC AD∥∥QG AD ∴∥，又QG ⊄平面PAD ，且AD ⊂平面PAD ，//QG ∴平面PAD ，则Q PAD G PAD A PGD V V V ---==，设CG t =，1PD s =，则[],0,1t s ∈，11111(1)(1))2222PGD S s t s t st =-----=-△，故四面体PQAD 的体积()1111(1)13326Q PAD A PGD PGD V V S AD st st --==⋅=⨯-=- ，当0st =时，其最大值为16.故选：A.二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.甲乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲78795491074乙9578768677则（）A.甲乙两人射击成绩的平均数相同B.甲乙两人射击成绩的中位数相同C.甲命中环数的极差大于乙命中环数的极差D.甲比乙射击成绩更稳定【答案】ABC 【解析】【分析】对A ，计算平均数判断即可；对B ，计算中位数判断即可；对C ，根据极差的定义判断即可；对D ，计算甲乙的方差判断即可.【详解】对A ，甲平均数为()1178795491074710x =+++++++++=，乙平均数为()219578768677710x =+++++++++=，故A 正确；对B ，甲命中环数从小到大排列为4,4,5,7,7,7,8,9,9,10，中位数为7；乙命中环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，中位数为7，故B 正确；对C ，甲的极差为1046-=，乙的极差为954-=，故C 正确；对D ，甲的方差为：()140144949977⨯++++++=，乙的方差为：()11244111177⨯+++++=，401277>，故D 错误.故选：ABC10.已知()2,0P ，()cos ,sin A αα，()cos ,sin B ββ，A ，B 两点不重合，则（）A.PA PB -的最大值为2B.PA PB +的最大值为2C.若PA PB λ=，PA PB -D.若PA PB λ= ，PA PB +最大值为4【答案】AD 【解析】【分析】A 选项，由几何意义可得A ，B 为单位圆上任意两点，从而得到2PA PB AB -=≤；B 选项，取AB 中点D ，得到2PA PB PD += ，数形结合得到()1,3PD ∈，进而求出()2,6PA PB +∈；C 选项，2PA PB AB -=≤ ；D 选项，分两种情况，得到24PA PB PD +=≤.【详解】A 选项，由已知A ，B 为单位圆上任意两点，1OA OB ==，2PA PB AB -=≤，A 正确；B 选项，设D 为AB 的中点，则2PA PB PD +=，由于A ，B 两点不重合，所以()1,3PD ∈，则()22,6PA PB PD +=∈，故B 错误；C 选项，当P ，A ，B 共线时，2PA PB AB -=≤，故C 错误；D 选项，当P ，A ，B 共线时，若,A B 坐标分别为()1,0-与()1,0或()1,0与()1,0-时，,O D 两点重合，此时24PA PB PD +==，若,A B 坐标不同时为()1,0-与()1,0时，此时OD ⊥PB ，则PD OP <，故24PA PB PD +=≤，故D 正确.故选：AD11.已知1x =为函数()23log a f x x x x =--的极值点，则（）（参考数据：ln 20.6931≈）A.()f x 在()0,1上单调递减 B.()f x 的极小值为-2C.()315f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭ D.()114f f ⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】BCD 【解析】【分析】求导代入()10f '=可得()23ln f x x x x =-+，再求导分析函数的单调性与极值即可.【详解】()123ln f x x x a '=--，由()10f '=，故ln 1a =-，所以1ea =，()23ln f x x x x =-+.此时()()()2211231x x x x f x x x---+'==，令()0f x ¢>可得10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或()1,x ∈+∞；令()0f x '<可得1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.对A ，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故A 错误；对B ，()f x 极小值为()12f =-，故B 正确；对C ，因为()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故()315f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故C 正确；对D ，()111ln 421416f f ⎛⎫=--<-=⎪⎝⎭，故D 正确.故选：BCD12.已知平行四边形ABCD 中，()1,2A ，()1,0B -，()3,0C ，P ，Q 分别为ABC 与ADC △的外接圆M ，N e 上一点，则（）A.P ，Q 两点之间的距离的最大值为6B.若直线PQ 与M ，N e 都相切，则直线PQ 的斜率为1C.若直线PQ 过原点与N e 相切，则直线PQ 被M 截得的弦长为4D.tan ADP ∠的最大值为43【答案】BD 【解析】【分析】首先求出D 点坐标，再根据0AC AB ⋅=，即可得到AB AC ⊥，从而求出M 、N e 的方程，再一一判断即可.【详解】在平行四边形ABCD 中，()1,2A ，()1,0B -，()3,0C ，所以()2,2AB =-- ，设(),D x y ，则()3,DC AB x y ==-- ，所以322x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，所以()5,2D ，()2,2AC =- ，所以()()()22220AC AB ⋅=⨯-+-⨯-=，所以AB AC ⊥，则AC CD ⊥，所以()1,0M ，()3,2N ，4BC AD ==，所以M 的方程为：()2214x y -+=，N e 的方程为：()()22324x y -+-=，则MN ==P ，Q 两点之间的距离的最大值为4+，故A 错误.由已知//PQ MN ，故直线PQ 的斜率为20131MN k -==-，所以B 正确.当PQ 斜率为0时，直线PQ 被M 截得的弦长为4，当PQ 斜率不为0时，直线PQ 被M 截得的弦长不为4，故C 错误.显然AD 与M 相切，当DP 与M 相切（P 不与A 重合）时，tan ADP ∠最大，此时1tan 2ADM ∠=，所以22tan 4tan tan 21tan 3ADM ADP ADM ADM ∠∠=∠==-∠，所以D 正确.故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在621()x x+的展开式中，常数项为_____．【答案】15【解析】【详解】试题分析：常数项为224621C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，系数为2615C =．考点：二项式展开式．14.写出函数()sin cos f x x x =-，[]π,πx ∈-的一个单调递增区间为________.【答案】3ππ,4⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3ππ,4⎡⎤--⎢⎣⎦或3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦等【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及正弦型函数的单调区间公式得出结果.【详解】因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，由[]0,πx ∈，()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()f x 在3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，由对称性可知在3π,π4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增.故答案为：3ππ,4⎛⎫--⎪⎝⎭，3ππ,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦或3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦等.15.过抛物线2:4C x y =的焦点F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，且4AF FB =，O 为坐标原点，则OAB 的面积为________.【答案】52【解析】【分析】分析可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，由4AF FB =，可得出124x x =-，结合韦达定理求出2k 的值，求出AB 以及原点到直线AB 的距离，利用三角形的面积公式可求得OAB 的面积.【详解】易知，抛物线C 的焦点为()0,1F ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意，所以，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩可得2440x kx --=，则216160k ∆=+>，故124x x k +=，124x x =-，又4AF FB =，即()()1122,14,1x y x y --=-，即124x x =-，所以，12234x x x k +=-=，可得243x k =-，2212244443x x x k ⎛⎫=-=-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得2916k =.此时，()()212122441AB y y k x x k =++=++=+又因为原点O 到直线AB 的距离为d =，故OAB 的面积为()211541222S AB d k =⋅=⨯+⋅.故答案为：52.16.已知函数()22log a f x x x x =-既有极小值又有极大值，则实数a 的取值范围是________.【答案】()1,e 【解析】【分析】函数()f x 既有极小值又有极大值，则()0f x '=有两个不相等的实数根，进而分离参数，通过分析函数的单调性及最值，即可求出a 的取值范围.【详解】()122log ln a f x x x a ⎛⎫'=-+⎪⎝⎭()ln 1222ln 1ln ln ln ln xx x a x a a a⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭函数()22log a f x x x x =-既有极小值又有极大值，则()0f x '=在()0,∞+上有两个不等的实数根，即()2ln 1ln 0ln x a x a--=有两个不等的实数根，所以ln 1ln 0x a x --=有两个不等的实数根，所以ln 1ln x a x+=有两个不等的实数根，令()ln 1x g x x +=，()2ln x g x x-'=，()0,1x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，()()max 11g x g ==，当x →+∞时，()0g x →，故0ln 1a <<，解得()1,e a ∈.故答案为：()1,e 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，π4B ∠=，满足()()()sin sin sin sin a b A B c B C +-=+.（1）求sin C ；（2）点D 在BC 上，AD AC ⊥，AD =AB .【答案】（1）624（2）2【解析】【分析】（1）由正余弦定理可求出A ，利用两角差的正弦公式求解；（2）在△ABD 中，由正弦定理求解即可得解.【小问1详解】由已知及正弦定理得：()()()a b a b c b c +-=+，即222b c a bc +-=-.由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-==-，又()0,πA ∈，所以2π3A =.故2ππππ3412C ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，所以ππππππsin sin sin cos cos sin 3434344C ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）知2π3A =，又AD AC ⊥，所以π6BAD ∠=，7π12ADB ∠=7πππ62sin sinsin 12344ADB +⎛⎫∠==+=⎪⎝⎭，在△ABD 中，由正弦定理得：sin sin AB AD ADB B=∠，所以7πsin12π2sin 4AD AB ==.18.已知数列{}n a 满足11a =，12,21,N 2,2,N n n na n k k a a n k k *+*⎧+=-∈=⎨=∈⎩.（1）记2n n b a =，求证：数列{}2n b +是等比数列；（2）若12n n T a a a =++⋅⋅⋅+，求2n T .【答案】（1）证明见解析（2）1252610n n T n +=⨯--【解析】【分析】（1）先计算出123b a ==，125b +=，再推导出当2n ≥时，122n n b b -=+，故数列{}2n b +是首项为5，公比为2的等比数列；（2）在（1）基础上求出1522n n b -=⨯-，分组求和，得到()21221222n n n T a a a b b b n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-，计算出125225nn n S b b b n =++⋅⋅⋅+=⨯--，得到答案.【小问1详解】因为11a =，所以2123a a =+=，故123b a ==，故12225b a +=+=，当2n ≥时，()()221221211221222222n n n n n n n b a a a a a b ----+-+====+=+=++，故()1222n n b b -+=+，所以数列{}2n b +是首项为5，公比为2的等比数列；【小问2详解】由（1）知：1522n n b -=⨯+，故1522n n b -=⨯-，其中41321224221222222n n n n n n a a a a a a a a a b b b -++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅=-+--==-，故()()()212213212421222n n n n n T a a a a a a a a a b b b n -=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-，设()112512225225n nn n S b b b n n -=++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+-=⨯--，故122252610n n n T S n n +=-=⨯--.19.为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各5名同学进行羽毛球友谊赛，每人至多参加一场比赛，各场比赛互不影响，比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0，其中甲班5名参赛学生的情况如下表：学生A B C D E 获胜概率0.40.50.60.70.8获胜积分87654（1）若进行5场比赛，求甲班至多获胜4场的概率；（2）若进行3场比赛，依据班级积分期望超过10为参赛资格，请问甲班BCD 三人组合是否具有参赛资格？请说明理由.【答案】（1）0.9328；（2）BCD 三人组合具有参赛资格，理由见解析.【解析】【分析】（1）记,,,,A B C D E 参赛获胜事件分别用,,,,A B C D E 表示，由相互独立事件的概率乘法公式求出5场全胜的概率为:()0.0672P ABCDE =，又甲班至多获胜4场与5场全胜为对立事件,即可求解；（2）记BCD 三人组合班级得分为Y ,Y 的取值分别为0,7,6,5,11,12,13,18,求出对应的概率，即可求出期望.【小问1详解】记,,,,A B C D E 参赛获胜事件分别用,,,,A B C D E 表示，5场全胜的概率为：()0.40.50.60.70.80.0672P ABCDE =⨯⨯⨯⨯=，甲班至多获胜4场与5场全胜为对立事件，故甲班至多获胜4场的概率为()110.06720.9328P P ABCDE =-=-=,故甲班至多获胜4场的概率为0.9328；【小问2详解】记BCD 三人组合班级得分为Y ，Y 的取值分别为0，7，6，5，11，12，13，18，由已知得()00.50.40.30.06P Y ==⨯⨯=，()70.50.40.30.06P Y ==⨯⨯=，()60.50.60.30.09P Y ==⨯⨯=，()50.50.40.70.14P Y ==⨯⨯=，()110.50.60.70.21P Y ==⨯⨯=，()120.50.40.70.14P Y ==⨯⨯=，()130.50.60.30.09P Y ==⨯⨯=，()180.50.60.70.21P Y ==⨯⨯=，()70.0660.0950.14110.21120.14130.09180.2110.6E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为()10.610E Y =>，所以BCD 三人组合具有参赛资格.20.在矩形ABCD 中，AB ==△ADC 沿AC 折起至△APC 的位置，且2PB =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）求二面角P AC B --的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）在△PBC 中，利用勾股定理证得PB BC ⊥，然后利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理证得结论.（2）取AB 、CD 的中点O 、E ，建立空间直角坐标系，写出个点坐标及向量坐标，利用空间向量数量积公式求得平面的法向量，然后结合空间向量的夹角公式求得结果.【小问1详解】由已知可得：2BC =，2PB =，PC CD AB ===在△PBC 中，222PB BC PC +=，故PB BC ⊥，又AB BC ⊥，且PB AB B ⋂=，AB ⊂平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，BC ⊥平面PAB ，因为BC ABC ⊂，所以平面PAB ⊥平面PBC ；【小问2详解】取AB 、CD 的中点O 、E ，连接OP ，OE .因为PA PB =，所以PO AB ⊥，由（1）知：平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PO ⊂平面PAB 所以PO ⊥平面ABC .以OB ，OE ，OP 所在直线分别为x ，y ，z轴，建立空间直角坐标系，则()A，)B，)2,0C，(P ，设平面APC 的法向量为()111,,m x y z =r，()AC =，AP =，0m AC ⋅= ，0m AP ⋅=，故1111200y ⎧+=⎪=，取11x =，1y =，11z =-，则()1,1m =-，又平面APC 的法向量为()0,0,1n =，1cos ,2m n m n m n ⋅==-⋅.设二面角P AC B --的二面角为θ，则sin 2θ==，所以二面角P AC B --的正弦值为2.21.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，()4,6P 在C 上.（1）求双曲线C 的方程；（2）不经过点P 的直线l 与C 相交于M ，N 两点，且PM PN ⊥，求证：直线l 过定点.【答案】（1）221412x y -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据双曲线上过的点及离心率列出方程组，求出双曲线方程；（2）设出直线方程，分斜率不存在和斜率存在两种情况，特别是当斜率存在时，设直线为y kx m =+，与双曲线方程联立，根据题干中条件，列出方程，找到k 和m 的关系，求出过的定点，记得检验是否满足斜率不存在的情况.【小问1详解】由已知得：2,2ce c a a===，则22223b c a a =-=，又因为()4,6P 在C 上，则2216361a b -=，解得24a =，212b =，所以双曲线C 的方程为221412x y -=.【小问2详解】若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程221412x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()22232120k x kmx m ----=，由已知k ≠，则230k -≠，且0∆>，可得12223km x x k +=-，2122123m x x k+=--，又因为()()11224,6,4,6PM x y PN x y =--=--uuu r uuu r，由PM PN ⊥可得：()()()()()()()()12121212446644660PM PN x x y y x x kx m kx m ⋅=--+--=--++-+-=uuu r uuu r，整理得：()()()()2212121646160k x x km k x x m ++--++-+=，则()()()22222122164616033m km kkm k m k k ⎛⎫+⎛⎫+-+--+-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，可得2232418720m k km m ---+=，则()()468120m k m k +---=，由已知l 不经过点()4,6，故460m k +-≠，所以8120m k --=，即812m k =+，可得l ：()812y k x =++，过定点()8,12Q -；若直线l 的斜率不存在，设()11,M x y ，()11,N x y -，可得()()11114,6,4,6PM x y PN x y =--=---uuu r uuu r，由PM PN ⊥可得：()()()()()2211111144664360PM PN x x y y x y ⋅=--+---=--+=uuu r uuu r ，又因为22111412x y -=，解得18x =-，满足条件，综上所述：故直线l 过定点()8,12Q -.【点睛】方法点睛：直线过定点问题，先考虑直线斜率不存在时，再考虑直线斜率时，要设出直线方程为y kx m =+，与曲线方程联立后得到两根之和与两根之积，根据题意建立等量关系，求出,k m 的关系或者m 的值，从而求出定点.22.已知函数()e axf x =，()21g x x =+，若曲线()y f x =与()y g x =相切.（1）求函数()()y f x g x =-的单调区间；（2）若曲线()y mf x =上存在两个不同点()11,A x y ，()22,B x y 关于y 轴的对称点均在()g x 图象上.①求实数m 的取值范围；②证明：122x x +>.【答案】（1）递减区间为(),0∞-，递增区间为()0,∞+（2）①21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②证明见解析【解析】【分析】（1）设切点坐标,利用导数得出切线斜率，写出处切线方程，又切线方程为21y x =+，对照得出方程，结合导数求出参数a ，再利用导数求出单调区间；（2）①设()11,A x y ，()22,B x y ，根据对称关系得出()221exm x -=-+有两个不等的实根，令()()221e x G x x -=-+，通过导数求出函数()G x 的单调性及最值，得出结果.②不妨设12112x x <<<，要证明122x x +>，即证122x x >-，故只需证()()122G x G x <-，设()()()()21F x G x G x x =-->，利用导数求出函数()F x 的单调区间得出结果.【小问1详解】设曲线()y f x =与()y g x =的切点坐标为()00,e ax x ，由()e axf x a '=，得()00eax f x a '=.故切线方程为：()000e e ax ax y a x x -=-，即()000e1e ax ax y a x ax =+-，又切线方程为21y x =+，所以0e 2ax a =，①且()001e1ax ax -=，②设()()1e tt t ϕ=-，()e tt t ϕ'=-，当(),0t ∈-∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增；当()0,t ∈+∞时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减，()t ϕ最大值为()()max 01t ϕϕ==，由②可得：00ax =代入①得：2a =，故()()2e21xy f x g x x =-=--，()22e 1x y '=-所以()()y f x g x =-递减区间为(),0∞-，递增区间为()0,∞+.【小问2详解】由（1）知()2e xf x =，故121e x y m =，222e xy m =，①()11,A x y ，()22,B x y 关于y 轴的对称点为()11,A x y '-，()22,B x y -，由已知得：121e21x m x =-+，222e 21x m x =-+，即()221e x m x -=-+有两个不等的实根1x ，2x ，令()()221exG x x -=-+，()()241exG x x -'=-，当(),1x ∈-∞时，()0G x '<，()G x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 单调递增，()()21min 1e G x G ==-，又x →-∞，()G x →+∞，x →+∞，()0G x →，且102G ⎛⎫=⎪⎝⎭，故实数m 的取值范围是21,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②不妨设12112x x <<<，要证明122x x +>，即证122x x >-，因为当(),1x ∈-∞时，()G x 单调递减，故只需证()()122G x G x <-，又()()12G x G x =，即证明()()2220G x G x --<，令()()()()21F x G x G x x =-->，()()()()()()()224224241e 41e 41e e x x x x F x G x G x x x x ----'''=+-=-+-=--因为1x >，故242x x ->-，故()0F x '<，()F x 在()1,+∞单调递减，所以()()10F x F <=.故()20F x <，即()()2220G x G x --<，所以122x x +>.。

……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………1 / 11 / 11 / 12014年铜陵学院专升本招生考试试题卷理 科 综 合【注意事项】1. 本试题卷共由两部分组成，第一部分《高等数学》为75分，第二部分《英语》为75分，满分150分。

考试时间150分钟。

2. 所有答题必须写在答题纸上指定位置方有效，写在试题卷和草稿纸上一律无效。

3. 答卷前，考生务必将姓名、考生号、座位号填在试题卷和答题纸上规定位置。

4. 考试结束后，请将试题卷和答题纸一并上交。

第一部分 高等数学一、单项选择题（每题2分，共10分） 1.函数{}y x =在0x =处（ ）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导 2.当0x →时，下列结论中不正确的是（ ） A. 21cos ~x x - B. 1~x e x -1~2xD. ln(1)~x x +3.函数sin y x x =+在区间(0,)2π内是（ ）A.单调增加、上凹B.单调增加、下凹C.单调减少、上凹D.单调减少、下凹 4.设A ，B 均为n 阶方阵，则必有（ ） A. A B A B +=+ B. AB BA =C. AB BA =D. 111()A B A B ---+=+ 5.设A ，B 是两随机事件，若B 发生时A 必发生，则一定有（ ） A. (|)()P A B P A = B. ()()P A B P B =理科综合试题卷 第1页（共8页）C. (|)1P B A =D. ()()P AB P B = 二、填空题（每题2分，共10分）6.函数2log (1)y x =-的定义域为__________________________。

7.函数21y x =+在点(1,2)处的切线方程为__________________________。

8.设()y f x =是由方程221x y +=所确定的隐函数，则dydx=__________。

铜 陵 学 院高 等 数 学 试 题 卷（一）一．选择题（每题2分，共14分）1.下列各组函数中，为相同函数的是( )A.f (x )=ln x 2与g (x )=2lnxB.f (x )=x 与g (x )=√x 2 C .f (x )=1与g (x )=|x|xD.f (x )=√x 4−x 33与g (x )=x √x −13 2．当x →1时，1−x 与√1−x 3相比是（ ）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶（非等价）无穷小3.在平均变化率Δy Δx 取极限lim Δx→0∆x ∆y 的过程中，x 与Δx 的状态是（ ）A. x 与Δx 都是常量B. x 与Δx 都是变量C. x 是变量Δx 是常量D. x 是常量Δx 是变量4.设在[0,1]上，f ′′(x )>0，则f ′(0)，f ′(1),f (1)−f (0)或f (0)−f (1)的大小顺序是（ ）A. f ′(1)>f ′(0)> f (1)−f (0)B. f ′(1)> f (1)−f (0)>f ′(0)C. f (1)−f (0)>f ′(1)>f ′(0)D. f ′(1)> f (0)−f (1)>f ′(0)5.函数y =42−x 2的图形水平，垂直渐近线共有（ ）条A.1B.2C.3D.46.下列各题计算正确的是（ ）A.∫x 2ⅆx =x 23+CB.∫2x ⅆx =12x +CC.∫ⅇαx ⅆx =αⅇαx +CD.∫lnx ⅆx =1x +C7.函数在闭区间上可积的必要条件是在该区间上（ ）A.有定义B.连续C.有界D.无界二．填空题（每小题2分，共16分）1.设f (x )的定义域为[0,1]，则f (lnx )的定义域为_______________2.函数y =x 2−1x 2−3x+2的可去间断点是x =____________3.设f (x )=2x +xⅇx ,则ⅆf (x )=______________________4.函数y =ⅇx 在点(0,1)处的切线方程是___________________5.函数y =√x 23的单调增加区间是__________________6.设∫f (x )ⅆx=xⅇx +C ，则f ′(x )=__________________ 7.反常积分∫11+x 2ⅆx +∞−∞=_________________________8.由定积分的几何意义可得∫√a 2−x 2ⅆx a0=________________三．计算题（每小题10分，共40分）1.求极限：lim x→0(2x 2−1−1x−1)2.设{x =ln (1+t 2)y =t −arctan t ,求ⅆy ⅆx 及ⅆ2y ⅆx 23.计算不定积分∫11+√x 3ⅆx .4.设f (x )={x 2,x ∈[0,1]x,x ∈[1,2],求F (x )=∫f (t )ⅆt x 0在[1,2]上的表达式。