脊波变换

多尺度几何分析详解一、从小波分析到多尺度几何分析小波分析取在从多学科领域中取得巨大成功的一个关键原因在于它比傅里叶分析能更“稀疏”地表示一维分段光滑或者有界变差函数。

遗憾的是，小波分析在一维时所具有的优异特性并不能简单的推广到二维或更高维。

这是因为一维小波张成的可分离小波(Separable wavelet)只具有有限的方向，不能“最优”表示含线或者面奇异的高维函数，但事实上具有线或面奇异的函数在高维空间中非常普遍，例如，自然物体光滑边界使得自然图像的不连续性往往体现为光滑曲线上的奇异性，而并不仅仅是点奇异。

换句话说，在高维情况下，小波分析并不能充分利用数据本身特有的几何特征，并不是最优的或者说“最稀疏”的函数表示方法；而继小波分析之后发展起来的多尺度几何分析（Multiscale Geometric Analysis,MGA）发展的目的和动力正是要致力于发展一种新的高维函数的最优表示方法，为了检测、表示、处理某些高维空间数据，这些空间的主要特点是：其中数据的某些重要特征集中体现于其低维子集中（如曲线、面等）。

比如，对于二维图像，主要特征可以由边缘所刻画，而在3-D图像中，其重要特征又体现为丝状物（filaments）和管状物（tubes）。

由一维小波张成的二维小波基具有正方形的支撑区间，不同的分辨率下，其支撑区间为不同尺寸大小的正方形。

二维小波逼近奇异曲线的过程最终表现为用“点”来逼近线的过程。

在尺度j，小波支撑区间的边长近似为2-j，幅值超过2-j的小波系数的个数至少为O(2j)阶，当尺度变细时，非零小波系数的数目以指数形式增长，出现了大量不可忽略的系数，最终表现为不能“稀疏”表示原函数。

因此，我们希望某种变换在逼近奇异曲线时，为了能充分利用原函数的几何正则性，其基的支撑区间应该表现为“长条形”，以达到用最少的系数来逼近奇异曲线。

基的“长条形”支撑区间实际上是“方向”性的一种体现，也称为这种基具有“各向异性(anisotropy)”。

脊波变换在眼底图像中的去噪效果评价梁义涛;何连连;常华【摘要】针对实际的眼底图像中含有噪声,严重影响对病灶的诊断,根据其先验知识,本文采用四种多尺度几何变换技术对其进行去噪处理,即脊波,加维纳滤波的脊波、小波和轮廓波算法;并给出基于高斯波形提取的LMLSD(局部均值和局部标准差)算法,估算处理后图像的SNR(信噪比),对这四种去噪算法的处理效果进行客观的量化评价.实验结果表明,图像经加维纳滤波的脊波去噪算法处理后,图像最为清晰,SNR 提高最为明显,较原始图像提高约5.04倍,客观量化评价结果与主观视觉感受一致.【期刊名称】《光电工程》【年(卷),期】2010(037)001【总页数】5页(P136-140)【关键词】图像质量评价;脊波;信噪比;高斯波形;眼底图像【作者】梁义涛;何连连;常华【作者单位】河南工业大学,信息科学与工程学院,郑州,450001;河南工业大学,信息科学与工程学院,郑州,450001;河南工业大学,信息科学与工程学院,郑州,450001【正文语种】中文【中图分类】TP3910 引言在眼科，眼底图像辅助诊断是一种直观、标准的诊断方法。

通过眼底图像可以诊断许多眼病以及全身性疾病。

眼底循环障碍疾病以及全身性疾病导致的眼底改变均可不同程度地显征于视网膜和脉络膜[1]。

因此在临床中，获得清晰的眼底图像信息是准确诊断相关病情的先决条件。

但眼底图像受获取和存储、处理及各种干扰的影响，使得眼底图像中包含有各种各样的随机噪音。

所谓噪音就是对有用信号进行干扰的不需要的信号。

图像劣化可以分为两类：一是所需图像变形、模糊；二是图像上有各种干扰点或线。

图像上的这些干扰点或线称为图像噪音。

图像的噪音一般是随机产生的，因此具有分布和大小的不规则性的特点[2]。

为使眼底图像更加清晰，更好的指导医生诊断，眼底图像去噪就显得尤为重要。

常见的去除眼底图像噪音的方法有: 1) 邻域平滑法。

即利用某一像素及其邻域像素灰度的平均值作为该像素的灰度值，该方法简单但缺点明显，它使眼底图像边界变得模糊[3]。

图像去噪中的小波变换摘要--我们描述两个新的近似数字实现的数学转换,即,脊波变换[2]和小波变换[6],[5]。

这一实现提供精确的重建、稳定性与扰动,缓解的实现,和较低的计算复杂度。

一个重要工具是近似计算傅氏域数字拉冬变换。

下面将介绍一个非常简单的傅里叶空间插值，此空间在基于同心轴几何的伪极性采样集的rectopolar网格中采取笛卡儿样本和收益率样本。

虽然此插值法比较粗略,但它的视觉效果非常好。

脊波变换适用于拉冬变换这一特殊的过完备的小波金字塔，小波分析在频域得到很好的支持。

小波变换以脊波变换为一个组件步骤,使用滤波器组的多孔小波滤波器实现了小波的部分波段。

我们的理念是,转换应该是过完备的,而不是临界采样。

将数字转换运用到某些标准的嵌入了白噪声的图像去噪中。

在测试报告中,简单的阈值曲波系数与基于小波的“艺术状态”这一技术相比是很有优势的,包括阈值的下降或抽取小波转换,也包括树型贝叶斯后验平均方法。

此外,曲波重建比小波重构表现出更高的感知质量,提供更清晰的视觉图像,特别是高质量的边缘和微弱的复苏直线和曲线特性。

小波和脊波变换的现有理论表明这些新方法在特定的图像重建问题上优于小波法。

本文所给出的实证结果有很好的一致性。

索引词——曲波,离散小波变换、傅立叶变换,过滤、淡水舱,拉冬转换,脊波,阈值规则,小波。

1.引言a .小波图像去噪在过去的十年里,已经有大量的爱好者研究信号和图像的小波去噪方法。

发表在科学和工程学科的期刊中的数百篇论文中,基于小波的工具和思想被广泛地提出和研究。

最初的成果包括正交小波系数阈值的缺点数据,其次是重建像这样非常简单的想法。

后来发现知觉质量在本质上的改善可以通过基于阈值的方法抽取小波变换平移不变来获取。

最近,“树型”小波去噪方法在图像去噪中有所突破,利用树结构的小波系数和所谓的亲子相关性存在于图像的小波系数与边缘中。

同时,许多研究人员已经尝试基本方案的改变——修改阈值函数,依赖于强度阈值,阈值、自适应块阈值的选择,贝叶斯定理条件期望的非线性等等。