专题2.9与圆相关的最值问题(讲)2017年高考二轮复习数学(文)(无答案)

高中数学与圆有关的最值问题
在解决与圆有关的最值问题时，我们可以使用以下方法：
1. 建立坐标系：将问题转化为在坐标系中求最值的问题。

2. 确定变量：确定影响最值的变量，并建立函数关系式。

3. 利用函数的性质：利用函数的单调性、对称性、最值等性质，求出最值。

4. 结合圆的性质：利用圆的性质，如半径、弦长、圆心等，求出最值。

下面是一个例子：
求圆x^2 + y^2 = 4 上一点到原点的距离的最大值和最小值。

解：设圆上的点为(2cosθ, 2sinθ)，则该点到原点的距离为√(4cos^2θ+ 4sin^2θ) = 2。

因此，最大值为2+2=4，最小值为2-2=0。

专题解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22++=，点(2,0):(2)32C x yD，点P是圆C上任意一点，线段PD的垂直平分线交线段CP于点Q．（1）求点Q的轨迹方程．（2）设点(0,2)A，M，N是Q的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN为直径的圆过点A．求证直线MN过定点，并求出该定点的坐标．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-． （Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域； （2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my =+与圆22(1)(1)4x y -+-=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （1）当1m =时，求||AB ；（2）是否存在实数m ，使得OA OB ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．专题15 解析几何中与圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，圆不会单独出大题，一般是结合椭圆、抛物线一起考查，预计在高考中解答题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想.典型例题【例1】（2020•湖南模拟）已知圆22:(2)32C x y ++=，点(2,0)D ，点P 是圆C 上任意一点，线段PD 的垂直平分线交线段CP 于点Q ． （1）求点Q 的轨迹方程．（2）设点(0,2)A ，M ，N 是Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN 为直径的圆过点A ．求证直线MN 过定点，并求出该定点的坐标．【分析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a ，b 即可．（2）当直线斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得t 的值，则直线过直线MN 恒过点2(0,)3-．【解答】解：（1）点Q 在线段PD 的垂直平分线上，||||PQ PD ∴=．又||||||CP CQ QP =+=，||||||4CQ QD CD ∴+=>=．Q ∴的轨迹是以坐标原点为中心，(2,0)C -和(2,0)D 为焦点，长轴长为的椭圆．设曲线的方程为222211x y a b+==，(0)a b >>．2c =，a =，2844b ∴=-=．∴点Q 的轨迹的方程为22184x y +=；（2）当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，当直线MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则2228y kx tx y =+⎧⎨+=⎩，整理得：222(12)4280k x ktx t +++-=， 122412ktx x k +=-+，21222812t x x k -=+， 由AM AN ⊥，则0AM AN =，即221212(1)(2)()(2)0k x x k t x x t ++-++-=，则22222284(1)(2)()(2)01212t ktk k t t k k-+⨯+--+-=++， 整理得：23440t t --=，解得：2t =（舍去）或23t =-，则直线MN 的方程23y kx =-，则直线MN 恒过点2(0,)3-， 当直线MN 的斜率不存在时，则8(3M ，2)3-，8(3N -，2)3-，直线MN 的方程为23y =-，综上可知：直线MN 过点2(0,)3-．【例2】（2020•南昌一模）已知圆2221:(1)(3)F x y r l r ++=，圆2222:(1)(4)F x y r -+=-． （Ⅰ）证明圆1F 与圆2F 有公共点，并求公共点的轨迹E 的方程；（Ⅰ）已知点(Q m ，0)(0)m <，过点E 斜率为(0)k k ≠的直线与()I 中轨迹E 相交于M ，N 两点，记直线QM 的斜率为1k ，直线QN 的斜率为2k ，是否存在实数m 使得12()k k k +为定值？若存在，求出m 的值，若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用圆心距与两圆半径和与差的大小关系，即可判断圆1F 与圆2F 有公共点，再利用定义法得到P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆，从而求出公共点P 的轨迹E 的方程；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入2121212212122(1)()2()()x x m x x m k k k k x x m x x m-++++=-++，整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-，所以当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值．【解答】解：（Ⅰ）因为1(1,0)F -，2(1,0)F ，所以12||2F F =， 因为圆1F 的半径为r ，圆2F 的半径为4r -，又因为13r ，所以|4|2r r --，即12|4||||4|r r F F r r ---+，所以圆1F 与圆2F 有公共点，设两圆公共点为点P ，所以12||||44PF PF r r +=+-=， 所以P 点的轨迹E 是以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆， 所以24a =，1c =，所以23b =，所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅰ）过2F 点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-，设1(M x ，2)y ，2(N x ，2)y ， 联立方程22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+①，111y k x m =-，222y k x m=-， 22212121212211212122121212121212(1)(1)11(1)()(1)()2(1)()2()()()()()()()y y k x k x x x x x m x x m x x m x x m k k k k k k k k x m x m x m x m x m x m x m x m x x m x x m ------+---+++∴+=+=+=+==---------++， 将①式代入整理得：212222(624)()4(1)312m k k k k m k m -+=-+-0m <，∴当23120m -= 时，即2m =-时，12()1k k k +=-，为定值，故存在实数2m =-，使得12()k k k +为定值1-．【例3】（2020•常熟市模拟）江南某湿地公园内有一个以O 为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线1l ，2l ，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道，其路线为A B C --（如图，A 在B 右侧）．其中，BC 与圆O 相切于点Q ，1OA l ⊥，30OA =米．设CBP θ∠=，θ满足02πθ<<．（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，并指出其定义域； （2）求木栈道A B C --总长的最短长度．【分析】（1）试将木栈道A B C --的总长表示成关于θ的函数()L θ，由0AB >且0BC >求三角不等式得函数定义域；（2）利用导数求木栈道A B C --总长的最短长度．【解答】解：（1）过Q 分别向AO 和1l 作垂线，垂足为H ，M ， 由题意可得，QOH θ∠=，20sin QH θ∴=，20cos OH θ=， 则3020cos AH MQ θ==-． 在直角三角形BMQ 中，3020cos tan tan QM BM θθθ-==． 3020cos 2030cos 20sin tan sin AB AM BM QH BM θθθθθ--∴=-=-=-=． 又70sin BC θ=，702030cos 9030cos (0)sin sin sin 2L BC AB θθπθθθθ--∴=+=+=<<． 0AB >且0BC >，∴2cos 3sin 0θθ⎧<⎪⎨⎪>⎩，令02cos 3θ=，则0(,)2πθθ∈．∴定义域为0(,)2πθ；（2）由9030cos ()sin L θθθ-=，得213cos ()30L sin θθθ-'=，0(,)2πθθ∈． 令()0L θ'=，得1cos 3θ=，1233<，∴当1cos 3θ=时，[()]min L θ= 故木栈道A B C --总长的最短长度为【变式训练】1.（2020•珠海一模）设P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过点(2,0)F 作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最大时，求直线l 的方程．【分析】（1）利用P 点轨迹以及3PQ MQ =，表示出M 的轨迹方程即可；（2）设出过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+，联立直线方程和椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用弦长公式求得||AB ，再由点到直线的距离公式求得O 到AB 所在直线的距离，代入三角形面积公式，利用换元法求得OAB ∆的面积最大时的m 值，则直线l 的方程可求 【解答】解：（1）设(,)P x y ，则(,0)Q x ，0(M x ，0)y 且0x x =又根据3PQ MQ =．可得(0，00)))y y y -=-=-，则0y =，所以2200)6x +=，整理可得M 的轨迹方程为2236x y +=； （2）设过(2,0)F 的直线的方程为：2x my =+， 联立整理得22(3)420m y my ++-=， 所以12243m y y m +=-+，1212223233y y y y m m ==-++，则2226||3m ABm ⨯==+，点O 到直线的距离d =，所以111||26222AOBS AB d ∆===⨯，212m+=时取“=”，此时1m=±，故直线方程为2x y=+或2x y=-+．2．（2020春•山西月考）已知直线1x my=+与圆22(1)(1)4x y-+-=相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当1m=时，求||AB；（2）是否存在实数m，使得OA OB⊥，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用垂径定理直接求解即可；（2）假设存在满足条件的实数m，根据已知条件建立关于m的方程，由方程解的情况即可得出结论．【解答】解：圆22(1)(1)4x y-+-=的圆心为(1,1)，半径为2，（1）当1m=时，直线1x y=+即为10x y--=，圆心(1,1)到直线10x y--=的距离为d==∴||AB=（2）设1(A x，1)y，2(B x，2)y，由221(1)(1)4x myx y=+⎧⎨-+-=⎩可得22(1)230m y y+--=，且△0>恒成立，12122223,11y y y ym m-+==++，∴212122221(1)(1)1m mx x my mym-++=++=+，若存在实数m，使得OA OB⊥，则1212OA OB x x y y=+=，即222221m mm-+-=+，亦即210m m-+=，无解，故不存在实数m，使得OA OB⊥．专题强化1．（2020•全国Ⅰ卷模拟）动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4． （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设(,)P x y ，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ==，PG =PA ==24(0)y x x =≠；（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ，设其方程为11(0)x t y a t =+≠，联立124x t y ay x =+⎧⎨=⎩，利用根与系数关系表示出2QS ，2QT ， 进而表示出2211||||QS QT +即可． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，当P 点不在y 轴上时，过P 作PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点， 122GB GH ∴==，PG ∴=，又(PA =24(0)y x x =≠；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =，（2）假设存在(,0)Q a 满足题意，设1(S x ，1)y ，2(T x ，2)y ， 根据题意可知直线l '的斜率必不为0，设其方程为11(0)x t y a t =+≠， 联立124x t y a y x =+⎧⎨=⎩，整理可得21440y t y a --=，1214y y t ∴+=-，124y y a =-，222212112112121()24216x x t y y a t ax x y y a ∴+=++=+==， 222222111111()()4(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222222222()()4(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，222222221122121212(42)(42)()(42)()22QS QT x a x a x a x a x x a x x x x a ∴+=+-+++-+=++-+-+22212121211()(42)22(42)(44)x x x x a x x a t a t =+++--+=+++， 22222116(1)QS QT a t =+，则22212222221211||||2(1)t a QS QT QS QT QS QT a t +++==+， 当2a =时，上式14=与1t 无关为定值， 所以存在(2,0)Q 使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足2211||||QS QT +为定值14． 2．（2019秋•武汉期末）已知圆22:()(1)13()C x a y a R -+-=∈，点(3,3)P 在圆内，在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 （1）求实数a 的值；（2）若点M 为圆外的动点，过点M 向圆C 所作的两条切线始终互相垂直，求点M 的轨迹方程． 【分析】（1）直接利用点和圆的位置关系的应用求出a 的值． （2）利用圆的切线和圆的位置关系式的应用求出圆的方程． 【解答】解：（1）由圆22:()(1)13()C x ay a R -+-=∈， 得到圆心坐标为(,0)a ， 点(3,3)P 在圆内，解得06a <<，由圆的弦的性质可知，点P与圆心的连线与弦垂直， 即点P为弦的中点时，过点P 的弦长最短．在过点P 所作的圆的所有弦中，弦长最小值为 ， 解得2a =或4，（符合06)a <<．（2）由（1）可知，2a =或4a =时，因为过点M 向圆C 作的两条切线总互相垂直，所以，点M 的轨迹为(,1)a所以点M 的轨迹方程为22(2)(1)26x y -+-=或22(4)(1)26x y -+-=．3．（2019•全国）已知点1(2,0)A -，2(2,0)A ，动点P 满足1PA 与2PA 的斜率之积等于14-，记P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设过坐标原点的直线l 与C 交于M ，N 两点，且四边形12MA NA 的面积为l 的方程． 【分析】（1）设(,)P x y ，运用直线的斜率公式，化简运算可得所求轨迹方程；（2）设直线l 方程为y kx =，代入C 的方程，求得交点，再由四边形的面积公式，解方程可得斜率k ，进而得到所求方程．【解答】解：（1）设(,)P x y ，由题意可得121224PA PA y y k k x x ==-+-，化为221(2)4x y x +=≠±，可得C 的方程为221(2)4x y x +=≠±；（2）当直线l 的斜率不存在，即直线方程为0x =，可得四边形12MA NA 的面积为14242⨯⨯=，不符题意，舍去；设直线l 方程为y kx =，代入方程2214x y +=，可得22414x k=+，222414k y k =+， 由M ，N 关于原点对称，可得四边形12MA NA 的面积为2122114||||24222214M N k y y A A k -==+， 解得12k =±，即有直线l 的方程为12y x =±．4．（2019•新课标Ⅰ）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，||4AB =，M 过点A ，B 且与直线20x +=相切．（1）若A 在直线0x y +=上，求M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，||||MA MP -为定值？并说明理由．【分析】（1）由条件知点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设圆的方程为M 的方程为222()()(0)x a y a R R -+-=>，然后根据圆与直线20x +=相切和圆心到直线0x y +=的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；（2）设M 的坐标为(,)x y ，然后根据条件的到圆心M 的轨迹方程为24y x =，然后根据抛物线的定义即可得到定点． 【解答】解：M 过点A ，B 且A 在直线0x y +=上，∴点M 在线段AB 的中垂线0x y -=上，设M 的方程为：222()()(0)x a y a R R -+-=>，则 圆心(,)M a a 到直线0x y +=的距离d =又||4AB =，∴在Rt OMB ∆中， 2221(||)2d AB R +=，即224R +=①又M 与2x =-相切，|2|a R ∴+=② 由①②解得02a R =⎧⎨=⎩或46a R =⎧⎨=⎩，M ∴的半径为2或6；（2）线段AB 为M 的一条弦O 是弦AB 的中点，∴圆心M 在线段AB 的中垂线上， 设点M 的坐标为(,)x y ，则222||||||OM OA MA +=，M 与直线20x +=相切，|||2|MA x ∴=+， 22222|2|||||4x OM OA x y ∴+=+=++， 24y x ∴=，M ∴的轨迹是以(1,0)F 为焦点1x =-为准线的抛物线，|||||2|||MA MP x MP ∴-=+- |1|||1||||1x MP MF MP =+-+=-+，∴当||||MA MP -为定值时，则点P 与点F 重合，即P 的坐标为(1,0)，∴存在定点(1,0)P 使得当A 运动时，||||MA MP -为定值．5．（2020•4月份模拟）已知点P 在圆22:9O x y +=上运动，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ =．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设(3,0)G -，(3,0)H ，过点(1,0)F 的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点．问：直线AG 与BH 的斜率之比是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由． 【分析】（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)，则由432PQ MQ =，得0x x =，0y y ，代入圆22:9O x y +=，可得动点M 的轨迹E 的方程；（2）设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系即可求得直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 【解答】解：（1）设(,)M x y ，0(P x ，0)y ，0(Q x ，0)， 则由432PQ MQ =，得4(0，00)y x x -=-，)y -， 0x x ∴=，0y y ， 代入圆22:9O x y +=，可得22198x y +=．∴动点M 的轨迹E 的方程为22198x y +=；（2）直线AG 与BH 的斜率之比为定值12． 证明如下：设直线l 为1x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 联立221198x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(89)16640m y my ++-=．则1221689m y y m -+=+，1226489y y m -=+． 12124()my y y y ∴=+，则121212112121223(2)23(4)4AG BH k y x y my my y y k x y my y my y y ---===+++ 12112122124()22414()4482y y y y y y y y y y +-+===+++．6．（2020•东莞市模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)1N x y -+=，圆心(1,0)N ，点E 在直线1x =-上，点P 满足//PE ON ，NP NE EP EN =，点P 的轨迹为曲线M ． （1）求曲线M 的方程．（2）过点N 的直线l 分别交M 和圆N 于点A 、B 、C 、D （自上而下），若||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，求直线l 的方程．【分析】（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -，求出向量的坐标代入NP NE EP EN =，化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，对直线l 的斜率分情况讨论，当斜率不存在时，||46AB =≠，不符合题意，当斜率存在时，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可求得k 的值，从而得到直线l 的方程．【解答】解：（1）设(,)p x y ，由//PE ON ，得(1,)E y -， 则(1,)NP x y =-，(2,)NE y =-，(1,0)EP x =+，(2,)EN y =-，由NP NE EP EN =，得(1x -，)(2y -，)(1y x =+，0)(2，)y -，即22222x y x -++=+， 化简得：24y x =，所以点P 的轨迹曲线M 的方程为：24y x =；（2）由||AC 、||CD 、||DB 成等差数列，得||||2||4AC DB CD +==， 所以弦长||||||||6AB AC CD DB =++=，①当斜率不存在时，直线l 的方程为：1x =，交点(1,2)A ，(1,2)B -，此时||46AB =≠，不符合题意， ②当斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立方程2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=，∴12242x x k +=+，121x x =，显然△216(1)0k =+>恒成立， 由抛物线的定义可知，12||26AB x x =++=，∴2446k +=，解得：k = ∴直线l的方程为1)y x =-．7．（2020•福建二模）已知(1,0)F ，点P 在第一象限，以PF 为直径的圆与y 轴相切，动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 在点P 处的切线的斜率为1k ，直线PF 的斜率为2k ，求满足123k k +=的点P 的个数． 【分析】（1）设(,)P x y ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y ，由以PF 为直径的圆与y 轴相切得11||22x PF +=，化简即可得到曲线C 的方程； （2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，利用导数的几何意义得到102k y =，022044y k y =-，由123k k +=，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，利用导数得到函数()f x 在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足123k k +=的点P 的个数为2个． 【解答】解：（1）设(,)P x y ，0x >，0y >， 又(1,0)F ，则PF 中点坐标为1(2x +，)2y， 因为以PF 为直径的圆与y 轴相切，所以11||22x PF +=，即12x +， 整理得C 的方程为：24(0)y x y =>，（2）由24(0)y x y =>，得y =y '=，设20(4y P ，00)(0)y y >，则102k y ==，002220004414y y k y y -==--，由123k k +=，即02004234y y y +=-，得：32000361280y y y --+=①，令32()36128f x x x x =--+，由2()912120f x x x '=--=得，23x =-，或2x =，因为当(0,2)x ∈时，()0f x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，又(0)80f=>，f（2）160=-<，f（4）560=>，()f x的图象连续不断，所以()f x在(0,)+∞内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足123k k+=的点P的个数为2个．。

2 2一、基本模型构建拔高专题圆中的最值问题常见模型图(1) 图（2）思考图（1）两点之间线段最短图（2）垂线段最短。

；.在直线L 上的同侧有两个点A、B，在直线L 上有到A、B 的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L 的对称点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点．二、拔高精讲精练探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题例1：如图，A 点是⊙O 上直径MN 所分的半圆的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是MN 上一动点，⊙O 的半径为3，求AP+BP 的最小值。

解：作点A 关于MN 的对称点A′，连接A′B，交MN 于点P，连接OA′，AA′．∵点A 与A′关于MN 对称，点A 是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B 是弧AN 的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3，∴A′B=3 ．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=3 ．【教师总结】解决此题的关键是确定点P 的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。

2 2 2 OP 2 OQ 2 2 探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题例 2：如图，在 Rt △AOB 中，OA=OB=3 ，⊙O 的半径为 1，点 P 是 AB 边上的动点， 过点 P 作⊙O 的一条切线 PQ （点 Q 为切点），求切线 PQ 的最小值解：连接 OP 、OQ ．∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ；根据勾股定理知 PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当 PO ⊥AB 时，线段 PQ 最短，∵在 Rt △AOB 中，OA=OB=3 ，OA • OB ∴AB= OA=6，∴OP==3，∴PQ= =2 ．AB【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心，2 为半径画⊙O ，P 是⊙O 是一动点且 P 在第一象限内，过 P 作⊙O 切线与 x 轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 B ．求线段 AB 的最小值．解：（1）线段 AB 长度的最小值为 4， 理由如下：连接 OP ，∵AB 切⊙O 于 P ， ∴OP ⊥AB ，取 AB 的中点 C ，∴AB=2OC ；当 OC=OP 时，OC 最短， 即 AB 最短， 此时 AB=4．【教师总结】结合切线的性质以及辅助线的作法，利用“垂线段最短”是解决此类问题的关键。

2017届高三数学跨越一本线精品问题一 与圆有关的最值问题通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.本文就此问题从内容和处理方法上进行归纳,以帮助同学们攻克这个难点. 一、与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题利用公式＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.处理方法：直线倾斜角的范围是0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时,斜率k ∈0,＋∞)；当α＝π2时,斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时,斜率k ∈(－∞,0)．【例1】坐标平面内有相异两点2(cos ,sin ),(0,1)A B θθ,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ). A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．30,,44πππ⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围．【小试牛刀】【2017届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点()2P --，的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】B【解析】当过点(2)P --的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为+2=k(y x +,即k 20x y -+-=.由圆心到直线的距离等于半径可得2=,求得0k =或k =故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.1.2 与距离有关的最值问题在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有： （1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -,最远为AO r +； （2）过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离,则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +,最近为d r -； （4）过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. （5）直线外一点与直线上的点的距离中,最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动,这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离. 【例2】 过点()1,2M 的直线与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点,C 为圆心,当ACB ∠最小时,直线的方程是 ．答案: 30x y +-=解析：要使ACB ∠最小,由余弦定理可知,需弦长AB 最短.要使得弦长最短,借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短.因圆心和()1,2M 所在直线的42131k -==-,则所求的直线斜率为1-,由点斜式可得1(2)30y x x y -=--⇒+-=.【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题.【例3】【2016-2017学年湖北大冶市实验中学高二上学期月考】若圆C ：222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称,则由点(,)a b 向圆C 所作的切线长的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．【小试牛刀】【2016届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系x y O 中,圆1C :()()221625x y ++-=,圆2C :()()2221730x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ,满足2PA =AB ,则半径的取值范围是（ ） A ．[]5,55 B ．[]5,50 C ．[]10,50 D ．[]10,55 【答案】A【解析】由题,知圆1C 的圆心为(1,6)-,半径为5,圆2C 的圆心为(17,30),半径为,两圆圆心距30=,如图,可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值,所以当点P 位于点1P 所在位置时取得最小值,当点P 位于点2P 所在位置时取得最大值．因为max ||10AB =,||2||PA AB =,所以min 5r =,max 55r =,故选A ．1.3 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.【例4】 在平面直角坐标系中,,A B 分别是轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为（ ）A.45πB.34πC.(6π-D.54π 【答案】A【解析】设直线：240x y +-=.因为1||||2C l OC AB d -==,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,为准线的抛物线.圆C半径最小值为1122O ld -==圆C面积的最小值为24.5ππ=选A.【例5】动圆C 经过点(1,0)F ,并且与直线1x =-相切,若动圆C与直线1y x =+总有公共点,则圆C 的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π 【答案】D【解析】设圆心为(,)a b ,半径为,|||1|r CF a ==+,即222(1)(1)a b a -+=+,即214a b =,∴圆心为21(,)4b b ,2114r b =+,圆心到直线1y x =+的距离为22|1|14b b b d -+=≤+,∴3)b ≤-或2b ≥,当2b =时,min 14124r =⨯+=,∴2min 4S r ππ==. 【小试牛刀】【2016-2017学年广东潮阳黄图盛中学高二上期中】已知点A (2,0)-,B (0,2),点P是圆22(1)1x y -+=上任意一点,则PAB ∆面积的最大值是（ ） A.3 B.23+ C.23- D.6 【答案】B二、与圆相关的最值问题的常用的处理方法 2.1 数形结合法处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.【例6】已知实数x ,y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0,求： (1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型【解析】原方程变形为(x －2)2＋y 2＝3,表示以(2,0)为圆心,半径r ＝3的圆．(1)设yx ＝k ,即y ＝kx ,由题知,直线y ＝kx 与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径 3. ∴|2k －0|k 2＋1≤3.∴k 2≤3,即－3≤k ≤3,∴y x 的最大值为3,最小值为－ 3. (2)设y －x ＝b ,则当直线y －x ＝b 与圆相切时,b 取最值,由|2－0＋b |2＝3,得b ＝－2±6,∴y －x 的最大值为6－2,最小值为－2－ 6. (3)令d ＝x 2＋y 2表示原点与点(x ,y )的距离,∵原点与圆心(2,0)的距离为2,∴d max ＝2＋3,d min ＝2－ 3.∴x 2＋y 2的最大值为(2＋3)2＝7＋43,最小值为(2－3)2＝7－4 3.【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三周考】已知直线:60l x y +-=和曲线22:2220M x y x y +---=,点A 在直线上,若直线AC 与曲线M 至少有一个公共点C ,且030MAC ∠=,则点A 的横坐标的取值范围是（ ）A ．()0,5B ．[]1,5C ．[]1,3D ．(]0,3 【答案】B【解析】设()00,6A x x -,依题意有圆心到直线的距离sin 302d AM =≤,即()()22001516x x -+-≤,解得[]01,5x ∈.2.2 建立函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.【例7】设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点,则Q P ,两点间的最大距离是（ ）A.25B.246+C.27+D.26 【答案】D【解析】依题意Q P ,两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上的点的最大距离再加上;圆的设(,)Q x y .圆心到椭圆的最大距离d ===所以Q P ,两点间的最大距离是26.故选D. 2.3 利用基本不等式求解最值如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如a b ⋅或者a b +的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证.【例8】 设m R ∈,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ,则||||PA PB ⋅的最大值是 .【分析】根据222||||||10PA PB AB +==,可用均值不等式求最值【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ,则消去m 得：2230x y x y +--=,所以点P 在以AB为直径的圆上,PA PB ⊥,所以222||||||10PA PB AB +==,2||||||52AB PA PB ⨯≤=. 【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三周考】设,m n R ∈,若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22111x y -+-=相切,则m n +的取值范围是（ ） A．1⎡⎣ B．(),113,⎡-∞++∞⎣C．22⎡-+⎣D ．(),2222,⎡-∞-++∞⎣【答案】D【解析】直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,1=,化简得2mn m n =++,由基本不等式得222m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭,令t m n =+,则2480t t --≥,解得(),2222,t ⎡∈-∞-++∞⎣. 【迁移运用】1．【2017河北卓越联盟上学期月考】由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线,则切线长的最小值为（ ）A.1B.【解析】圆的圆心为()3,0，r=1,圆心到直线10x y -+=的距离为d ==,所以由=2．【2017福建福州外国语上期末模】已知平面上两点()()(),0,,00A a B a a ->,若圆()()22344x y -+-=上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则a 的取值范围是（ ）A ．[]3,6B ．[]3,7 C. []4,6D ．[]0,7 【答案】C3．【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】如果直线()70 0ax by a b +=>>，和函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆()()221125x b y a +-++-=的内部或圆上,那么ba的取值范围是（ ） A ．34 43⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．340 43⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， C.4 3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．30 4⎛⎤ ⎥⎝⎦， 【答案】A【解析】根据指数函数的性质,可知函数()()1log 0 1m f x x m m =+>≠，，恒过定点()1 1，,将点()1 1，代入7ax by +=,可得7a b +=,由于()1 1，始终落在所给圆的内部或圆上,所以2225a b +≤,由22725a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩,这说明点() a b ，在以()3 4，和()4 3，为端点的线段上运动,所以b a 的取值范围是34 43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.选A. 4．【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】设直线：340x y a ++=,圆C ：22(2)2x y -+=,若在圆C 上存在两点P ,Q ,在直线上存在一点M ,使得90PMQ ∠=︒,则a 的取值范围是A ．[]18,6- B．6⎡-+⎣C ．[]16,4- D．66⎡---+⎣【答案】C【解析】圆C从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时,所成的角最大,此时四边形MPOQ 为正方形,所以对角线2OM =,故圆心C 到直线的距离2d ≤,625a +=≤,求出164a -≤≤,选C.5．【2017湖北宜昌葛洲坝中学上期中】若圆C ：x 2＋y 2－－－12＝0上有四个不同的点到直线l ：x －y ＋c ＝0的距离为2,则c 的取值范围是（ ） A ．－2,2] B ．－22,22] C ． （－2,2） D ．（－22,22） 【答案】D【解析】圆C ：x 2＋y 2－－－12＝0,配方为：((2216x y +=,∵圆上有四个不同的点到直线l ：x-y+c=0的距离为2, ∴圆心到直线l的距离2d =<,解得c -<6．【2017届重庆市一中高三上学期期中】设B A ,在圆122=+y x 上运动,且3=AB ,点P 在直线01243=-+y x 上运动,+的最小值为（ ）A ．B ．4C ．517D ．519 【答案】D7．【2017届四川省高三高考适应性测试】已知圆的方程为2260x y x +-=,过点()1 2，的该圆的所有弦中,最短的弦长为（ ） A.12B. C.2 D.4 【答案】C【解析】222260(3)9x y x x y +-=⇒-+=,最短的弦长为2,选C.8．【2017重庆万州二中上期中】已知圆22:8150C x y x +-+=,直线 2y kx =+上至少存在一点P ,使得以点P 为圆心,半径为的圆与圆C 有公共点,则的最小值是（ ）A.43-B.54- C.35- D.53-【答案】A【解析】因为圆C 的方程为228150x y x +-+=,整理得22(4)1x y -+=,所以圆心为(4,0)C ,半径为1r =,又因为直线2y kx =+上至少存在一点P ,使得以点P 为圆心,半径为的圆与圆C 有公共点,所以点C 到直线2y kx =+的距离小于或等于,2≤,化简2340k k +≤,解得403k -≤≤,所以的最小值是43-,故选A. 9．【2016学年四川省雅安中学期中】已知点P （t,t ）,t∈R,点m 是圆221(1)4x y +-=上的动点,点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点,则PN PM -的最大值是（ ）B ．2C ．3D ．【答案】B 【解析】如图：圆 221(1)4x y +-=的圆心E （0,1）,圆的圆心 F （2,0）,这两个圆的半径都是21 要使|PN||-|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,由图可得,|PN|最大值为|PF|+21,PM|的最小值为|PE|-21PN PM -=|PF|-|PE|+1,点P （t,t ）在直线 y=x 上,E （0,1）关于y=x 的对称点E′（1,0）,直线FE′与y=x 的交点为原点O,则|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤|E′F|=1,故|PF|-|PE|+1的最大值为1+1=2,故答案为B ．10．【2016届浙江省临海市台州中学高三上第三次统练】已知(,)P x y 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点,PA PB 、是圆C ：0222=-+y y x 的两条切线,A B 、是切点,若四边形PACB 的最小面积是2,则的值为（ ）A ．3B ．212 C ．22 D ．2 【答案】D【解析】圆C 的方程可化为22()11x y +-=,因为四边形PACB 的最小面积是,且此时切线长为,故圆心()0,1到直线40kx y ++==解得2k =±,又0k >,所以2k =．11．【2016湖北宜昌一中高二上学期期中】．直线 ),(13R b a by ax ∈=+与圆2:221=+y x O 相交于A,B 两点,且△AOB 是直角三角形（O 是坐标原点）,则点P （a,b ）与点（0,1）之间距离的最大值是 A ．417B ．4C ．73D ． 2【答案】D12．【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知AC,BD 为圆2216x y +=的两条相互垂直的弦,垂足为(1,2)M ,则四边形ABCD 面积的最大值为 ． 【答案】27【解析】圆2216x y +=的圆心坐标为(0,0)O ,半径为4,设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,因为垂足为(1,2)M ,所以2222212125d d OM +==+=,所以四边形ABCD 的面积()2212132272S AB CD d d =⋅=≤-+=,当且仅当2212d d =时等号成立．13．【2016届广西河池高中高三上第五次月考】在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心,且与直线210()mx y m m R ---=∈相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程是________．【答案】22(1)2x y -+=【解析】因为直线210mx y m ---=恒过定点(2,1)-,所以圆心(1,0)到直线210mx y m ---=的最大距离为d =所以半径最大时的半径2=r ,所以半径最大的圆的标准方程为22(1)2x y -+=．14．【2016届江苏省如东高中高三上学期期中】在平面直角坐标系xOy 中,已知点(2,0)A -,点B 是圆22:(2)4C x y -+=上的点,点M 为AB 中点,若直线:l y kx =上存在点P,使得30OPM ∠=,则实数的取值范围为________．【答案】22k -≤≤【解析】因为点M 为AB 中点,所以112OM CB ==,即点M 轨迹为以原点为圆心的单位圆,当PM为单位圆切线时,OPM ∠取最大值,即30OPM ∠≥,从而12sin OP OPM =≤∠,因此原点到直线:l y kx =距离不大于2,222k ≤⇒-≤≤15．【2016届贵州省贵阳市一中高三上学期第三次月考】已知圆22240x y x y a ++-+=关于直线2y x b =+成轴对称,则a b -的取值范围是 ． 【答案】(),1-∞【解析】圆的标准方程为22(1)(2)5x y a ++-=-,圆心为(12)-，,50a ->,即5a <．将圆心代入直线方程2y x b =+,得41b a b =-<，∴． 16.已知圆22: (01)O x y c c +=<≤,点 (, )P a b 是该圆面（包括⊙O 圆周及内部）上一点,则a b c ++的最小值等于 ．【答案】12-【解析】依题意可得22a b c +≤.令z a b c =++.所以,a b 满足如图所示.所以目标函数b a z c =-+-.所以当目标函数与直线相切的时候z 最小.由圆心到直线的距离可得.z c =2122-.所以当且仅当12c =时,min 12z =-. 17.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(3,0)P 在圆222:24280C x y mx y m +--+-=内,动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点,若△ABC 的面积的最大值为16,则实数m 的取值范围为 ．【答案】[3(327,3++--18.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线(1)y k x =+上存在一点P ,使过P 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数的取值范围是 ．【答案】⎡-⎣【解析】圆C 的方程为22(2)4x y -+=．先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P 到圆心的距离为P 到圆心的距离为于等于k ≤-≤19.设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点,过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线,切点分别为A ,B ,则四边形PACB 的面积的最小值为________． 【答案】 320. 已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -,(1,0)B ,(3,2)C ,其外接圆为H ．(1)若直线过点C ,且被H 截得的弦长为2,求直线的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ,若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ,使得点M 是线段PN 的中点,求C 的半径的取值范围．解：(1)线段AB 的垂直平分线方程为0x =,线段BC 的垂直平分线方程为30x y +-=,所以外接圆圆心(0,3)H ,H 的方程为22(3)10x y +-=．设圆心H 到直线的距离为,因为直线被H 截得的弦长为2,所以3d ==． 当直线垂直于轴时,显然符合题意,即3x =为所求； 当直线不垂直于轴时,设直线方程为2(3)y k x -=-,3=,解得43k =, 综上,直线的方程为3x =或4360x y --=．(2) 直线BH 的方程为330x y +-=,设(,)(01),(,)P m n m N x y ≤≤, 因为点M 是点P ,N 的中点,所以(,)22m x n yM ++,又,M N 都在半径为的C 上, 所以222222(3)(2),(3)(2).22x y r m x n y r ⎧-+-=⎪⎨++-+-=⎪⎩即222222(3)(2),(6)(4)4.x y r x m y n r ⎧-+-=⎪⎨+-++-=⎪⎩ 因为该关于,x y 的方程组有解,即以(3,2)为圆心为半径的圆与以(6,4)m n --为圆心2r 为半径的圆有公共点,所以2222(2)(36)(24)(2)r r m n r r -≤-++-+≤+, 又330m n +=－,所以2221012109r m m r +－≤≤对[01]m ∀∈，]成立． 而()2101210f m m m =+－在0,1]上的值域为325,10],故2325r ≤且2r 10≤9．又线段BH 与圆C 无公共点,所以222(3)(332)m m r -+-->对[01]m ∀∈，成立,即2325r <.故C的半径的取值范围为.。

高中数学经典例题-与圆有关的最值问题I ．题源探究·黄金母题【例1】已知圆()()22:1225C x y -+-=，直线()():211740,l m x m y m m +++--=为任意实数．（1）求证：直线l 恒过定点；（2）判断直线l 被圆截C 得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短长度． 【答案】（1）()3,1；（2）34-， 【解析】（1）直线l 的方程经过整理得()()2740x y m x y +-++-=．由于m 的任意性，于是有27,4.x y x y +-⎧⎨+-⎩解此方程组，得3,1x y =⎧⎨=⎩，即直线l 恒过定点()3,1D ．（2）因为直线l 恒过圆C 内一点D ，所以当直线l 经过圆心C 时被截得的弦最长，它是圆的直径；当直线l 垂直于CD 时被截得的弦长最短．由()()1,2,3,1C D ，可知直线CD 的斜率为12CD k =-，故当直线l 被圆C 截得的弦长最短时，直线l 的斜率为2，于是有2121m m +-=+，解得34m =-，此时直线l 的方程为()123y x -=-，即250x y --=。

又CD精彩解读【试题来源】人教A 版必修2P 144B 组T6．【母题评析】本题考查圆的有关最值问题，考查考生的分析问题、解决问题的能力． 【思路方法】结合圆的有关几何性质解题．线l 被圆C 截得的弦最短时m 的值为34-，最短长度是45。

II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅，则点P 的横坐标的取值范围是 ． 【答案】52,1⎡⎤-⎣⎦【解析】不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知052,52x ⎡⎤∈-⎣⎦．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-，故00250x y -+．B (1,7)A (-5,-5)2x-y+5=0Oyx52所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）．联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知052,1x ⎡⎤∈-⎣⎦．【命题意图】本类题主要考查点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系，以及考查逻辑思维能力、运算求解能力、数形结合的能力、方程思想的应用．【考试方向】这类试题考查根据给定直线、圆方程判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，同时考查通过数形结合思想、充分利用圆的几何性质解决圆的切线、圆的弦长等问题．在考查形式上，主要要以选择题、填空题为主，也有时会出现在解答题中，中档题．【难点中心】1．直线与圆的位置关系的判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离d 与半径长r 的大小关系来判断． 若d r >，则直线与圆相离； 若d r =，则直线与圆相切；若d r <，则直线与圆相交． （2）代数法故填52,1⎡⎤-⎣⎦．【例3】【2015高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，以点()1,0为圆心且与直线210mx y m ---=()m ∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．【答案】()2212x y -+=【解析】解法一（几何意义）：动直线210mx y m ---=整理得()()210m x y --+=，则l 经过定点()2,1M -，故满足题意的圆与l 切于M 时，半径最大，从而()()2221102r =-+--=，故标准方程为()2212x y -+=．解法二（代数法——基本不等式）：由题意222221112111m m m m r d m m m ++==+--==+++ 211m m=++21212mm+=，当且仅当1m =时，取“=”．故标准方程为()2212x y -+=．解法三（代数法——∆判别式）：由题意211m r d m --==+22211m m m ++=+，设22211m m t m ++=+，则()21210t m m t --+-=，m ∴∈R ，2．点与圆、圆与圆位置关系的判断方法，类似的也有几何法和代数法两种； 3．比较圆心距与两个圆的半径和与半径差的大小关系，特别是遇到参数问题时，如何建立等式或不等式是一个难点．()()222410t ≥∴∆=---，解得02t ≤≤，maxd ∴=【例4】【2015高考广东卷】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)l y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）3325,,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦．【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0；（2）设(),M x y ．因为点M 为弦AB 中点，即1C M AB ⊥，所以11C M AB k k =-，即13y yx x=--，所以线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）由（2）知点M的轨迹是以3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，32r =为半径的部分圆弧EF （不包括两端点），且533E ⎛ ⎪⎝⎭，525,3F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．又直线():4l y k x =-过定点()4,0D ， 当直线l 与圆C 相切时，由223402321k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+得34k =±． 又250255743DEDFkk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-=-=-，所以当332525,,44k ⎡⎤⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦时，直线():4l y k x =-与曲线C 只有一个交点．III ．理论基础·解题原理考点一 与截距有关的圆的最值问题形如t ax by =+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． 考点二 与斜率有关的圆的最值问题形如y bx aμ-=-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． 考点三 与距离有关的圆的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等．这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题．常见的结论有：（1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +； （2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -；（4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积． （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离． 考点四 与面积相关的最值问题与圆有关的最值问题，因与平面几何性质联系密切，且与圆锥曲线相结合的命题趋势，使与圆相关的最值问题成为命题宠儿．与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题，通常以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，多为容易题、中档题；若以解答题的形式呈现，则有一定难度． 【技能方法】1．数形结合法处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如y bx aμ-=-形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ax by =+形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2．建立函数关系求最值根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解．2．利用基本不等式求解最值如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如a b ⋅或者a b +的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值．同时需要注意，“一正二定三相等”的验证．V ．举一反三·触类旁通考向1 与斜率有关的圆的最值问题【例1】如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x mm m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡3443， B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛3443， C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3443， D ．⎪⎭⎫⎝⎛3443，【答案】C【解析】函数()11x f x m+=+恒过定点()1,2-．将点()1,2-代入直线2140ax by -+=可得22140a b --+=，即()7,0,0a b a b +=>>．由点()1,2-在圆()()221225x a y b -+++-=内部或圆上可得()()22112225a b --+++-≤即2225a b +≤()0,0a b >>．2273425a b a b a b +==⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩或43a b =⎧⎨=⎩．所以点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动．ba表示以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以min 303404b a -⎛⎫==⎪-⎝⎭，max404303b a -⎛⎫== ⎪-⎝⎭．所以3443b a ≤≤．故C 正确． 【例2】已知圆22:8150C x y x +-+=，直线2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为原心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是 （ ）A ．43-B ．54-C ．35-D ．53- 【答案】A【跟踪练习】1．已知实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则22-+y x xy的最小值为 （ ）A ．222-B ．222-C ．222+D ．222-- 【答案】A2．在平面直角坐标系x y O 中，圆1C :()()221625x y ++-=，圆2C :()()2221730x y r -+-=．若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足2PA =AB ，则半径r 的取值范围是_______． 【答案】[]5,55【解析】由题，知圆1C 的圆心为(1,6)-，半径为5，圆2C 的圆心为(17,30)，半径为r ，两圆圆心距为22(171)(306)30++-=，如图，可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值，所以当点P 位于点1P 所在位置时r 取得最小值，当点P 位于点2P 所在位置时r 取得最大值．因为max ||10AB =，||2||PA AB =，所以min 5r =，max 55r =．3．过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ． 【答案】: 30x y +-=【解析】：要使ACB ∠最小，由余弦定理可知，需弦长AB 最短．要使得弦长最短，借助结论可知当()1,2M 为弦的中点时最短．因圆心和()1,2M 所在直线的42131k-==-，则所求的直线斜率为1-，由点斜式可得1(2)30y x x y -=--⇒+-=．【点评】此题通过两次转化，最终转化为求过定点的弦长最短的问题．4．若圆C ：034222=+-++y x y x 关于直线062=++by ax 对称，则由点（a ，b ）向圆所作的切线长的最小值是_____________． 【答案】4【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题，解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直，从而得出一个直角三角形．考向2 与截距有关的圆的最值问题【例3】【2017北京海淀模拟】设为不等式表示的平面区域，直线与区域有公共点，则的取值范围是_____．【答案】或者【解析】由题设到直线的距离，解之得，应填答案．【跟踪练习】1．【2017江苏南通高三第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，为圆上一动点，则的最大值是____．【答案】2点睛：首先根据问题将的表达式列出来，做最值问题的小题，首先得明确问题表达式，然后根据函数或者基本不等式求解最值，本题解题关键在于，写出表达式后要将其化为斜率的定义求法来理解从而求得结论．2．【2018安徽六安模拟】若直线2x y m =-+与曲线2142y x =-恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．2) B ．(2121) C ．(121) D ．21)思路分析：直线2x y m =-+与曲线21|4|2y x =-m 的取值范围，可以转化为直 线2x y m =-+的图象与曲线21|4|2y x =-的图象有三个交点时实数m 的取值范围，作出两个函数 的图象，通过图象观察临界直线，从而求出m 的取值范围；本题曲线21|4|2y x =- 画图时要分类讨论，知图象由椭圆的上一部分与双曲线的上部分组成．3．【2018湖北稳派教育高三上学期第二次联考】已知圆C的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线320x y-+=均与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)设点()0,1P，若直线y x m=+与圆C相交于M，N两点，且MPN∠为锐角，求实数m的取值范围．【答案】（1）()2224x y-+=；（2）1515222,(,222⎛⎫---+--⋃-+⎪⎪⎝⎭）．试题解析：（1）设圆C的标准方程为：故由题意得，解得，∴圆C 的标准方程为：．（2）由()22{24y x mx y=+-+=消去y整理得．∵直线y x m =+与圆C 相交于M ，N 两点，∴，解得，设，则．∴依题意得()()()()121212121111PM PN x x y y x x x m x m ⋅=+--=++-+-()()()212122110x x m x x m =+-++->，∴()()()221210m m m m +--+->，整理得210m m +->，解得或．又，∴15222m ----<<或152222m -+<<-+．故实数m 的取值范围是．点睛：（1）对于BAC ∠为锐角的问题（或点A 在以BC 为直径的圆外，或222AB AC BC >＋），都可转化为0AB AC ⋅>，然后坐标化，转化为代数运算处理．（2）对于直线和圆位置关系的问题，可将直线方程和圆的方程联立消元后根据所得的二次方程的判别式、根据系数的关系，借助于代数运算处理．解题时注意“设而不求”、“整体代换”等方法的运用，以减少计算量、提高解题速度．考向3 与距离有关的圆的最值问题【例4】【2018广西南宁模拟】在平面直角坐标系xOy 中，已知()221125x y -+=，22240x y -+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）A ．55．15 C ．1215D ．1155 【答案】B【跟踪练习】1．【2018江西赣州红色七校一联】已知圆C ：（a<0）的圆心在直线 上，且圆C 上的点到直线的距离的最大值为，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】圆的方程为，圆心为①，圆C 上的点到直线的距离的最大值为②由①②得，a <0，故得 ， =3．点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用． 2．【2018山西临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学模拟】已知()2,0A ，直线4310x y ++=被圆()()22:313(3)C x y m m ++-=<所截得的弦长为43P 为圆C 上任意一点，则PA 的最大值为（ ）A ．2913B ．513+．7132913 【答案】D【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得： 22311(23=135m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭），解得： 2m =或163m = (舍去)，当2m =时， PA 的最大值2913PC r +=+，故选D ．3．【2017辽宁辽南协作校一模】圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -8=0的最大距离与最小距离的差是（ ） A ．18 B ．6 C ．52 D ．42【答案】C点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．4．【2017安徽宣城二模】已知P 是圆224x y +=上一点，且不在坐标轴上， ()2,0A ， ()0,2B ，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，则2AN BM +的最小值为__________．【答案】8【解析】设点()2cos ,2sin P θθ，则直线PA 的方程： ()sin 2cos 1y x θθ=--，则2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫- ⎪-⎝⎭同理2cos ,0sin 1N θθ⎛⎫-⎪-⎝⎭，则2AN BM + 2cos 4sin 6sin 1cos 1θθθθ=++--的最小值为8． 5．【2107吉林省延边州模拟】点N 是圆()2251x y ++=上的动点，以点()3,0A 为直角顶点的R t ABC ∆另外两顶,B C 在圆2225x y +=上，且BC 的中点为M ，则MN 的最大值为__________．【答案】1541+ 【解析】6．【2017山东济宁3月模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率31l ： 1x ya b+=被椭圆C 5 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线1l 与圆D ： 22640x y x y m +--+=相切： （i ）求圆D 的标准方程；（ii ）若直线2l 过定点()3,0，与椭圆C 交于不同的两点E 、F ，与圆D 交于不同的两点M 、N ，求EF MN ⋅的取值范围．【答案】（I ）2214x y +=；（II ）（i ）()()22325x y -+-=；（ii ）(]0,8．【解析】试题分析：（Ⅰ）由直线1l 过定点(),0a ， ()0,b ，可得到225a b +=，再结合c a =，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）（i ）利用圆的几何性质，求出圆心到直线1l 的距离等于半径，即可求出m 的值，即可求出圆D 的标准方程；（ii ）首先设直线2l 的方程为()3y k x =-，利用韦达定理即可求出弦长EF 的表达式，同理利用圆的几何关系可求出弦长MN 的表达式，即可得到EF MN ⋅的表达式，再用换元法29141,5t k ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭，即可求出EF MN ⋅的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由已知得直线1l 过定点(),0a ， ()0,b ， 225a b +=，又2c a =， 222a b c =+，解得24a =， 21b =，故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=． （Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）得直线1l 的方程为12xy +=，即220x y +-=，又圆D 的标准方程为()()223213x y m -+-=-，∴圆心为()3,2，圆的半径r ==∴圆D 的标准方程为()()22325x y -+-=．（ii ）由题可得直线2l 的斜率存在，设2l ： ()3y k x =-，与椭圆C 的两个交点为()11,E x y 、()22,F x y ，由()223,{1,4y k x x y =++=消去y 得()222214243640k x k x k +-+-=，由0∆>，得2105k ≤<， 21222414k x x k +=+， 212236414k x x k-=+， ∴EF ===．又圆D 的圆心()3,2到直线2l ： 30kx y k --==∴圆D 截直线2l 所得弦长222251221k MN r d k +=-=+， ∴()()()()2224222221155112542811414k k k k EF MN k k k +-+-⋅=⨯=+++，设29141,5t k ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭， 214t k -=，则22211251148295025t EF MN t t t -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅==-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵295025y x x =-+-的对称轴为259x =，在5,19⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 016y <≤， ∴21109502516t t ⎛⎫⎛⎫<-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴08EF MN <⋅≤．【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线，直线与圆的位置关系，常采取联立直线和圆锥曲线方程，利用一元二次方程的根与系数关系求解，对于直线与圆的位置关系，常采取圆的几何性质较多，运算量较少点，圆锥曲线类的题目的特点就是运算量大，要求学生具有较强的运算能力，属于难题． 考向4 与面积相关的最值问题【例5】 在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为_______________．【答案】45π【例6】动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线221y x =+总有公共点，则圆C 的面积的最小值_________________．【答案】4π【解析】设圆心为(,)a b ，半径为r ，|||1|r CF a ==+，即222(1)(1)a b a -+=+，即214a b =，∴圆心为21(,)4b b ，2114r b =+，圆心到直线221y x =++的距离为22|221|4142b b b d -++=≤+，∴2(223)b ≤-+或2b ≥，当2b =时，min 14124r =⨯+=，∴2min 4S r ππ==． 【跟踪练习】1．设,m n R ∈，若直线10mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则ABO ∆面积的最小值为_____________． 【答案】3【解析】l 与圆相交所得弦的长为2，故弦心距2222213d m n ==-=+，所以22123m n mn +=≥，16mn ∴≤，l 与x 轴相交于点A 1,0m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，与y 轴相交于点B 1,0n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1111111632222AOB S OA OB m n mn ∆∴===≥⨯=． 2．【2017届高三七校联考期中考试】已知直线1:=-y x l 与圆M ：012222=-+-+y x y x 相交于A ，C 两点，点B ，D 分别在圆M 上运动，且位于直线AC 两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为 ．30【解析】3)1()1(01222222=++-⇒=-+-+y x y x y x ，圆心M 到直线1:=-y x l 距离为212|111|=-+，BD 为过圆心M 且垂直于AC 的直径时，四边形ABCD 面积取最大值，为303221322121=⨯-⨯=⨯⨯BD AC ．3．【2017河南安阳二模】已知圆：，动点在圆：上，则面积的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B4．【2018河南洛阳模拟】已知两动圆2221:(3)F x y r +=和2222:(3)(4)(04)F x y r r +=-<<，把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点,A B 满足：0MA MB =．（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； （3）求ABM ∆面积S 的最大值．【答案】（1）2214x y += ；（2）证明见解析，定点坐标为3(0,)5N -；（3）6425． 【解析】试题分析：（1）设两动圆的公共点为Q ，则有12124()QF QF F F +=> ，根据椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，由此求出轨迹方程；（2）先求出(0,1)M ，设1122(,),()A x y B x y ，当直线AB 斜率存在时设直线方程为y kx m =+ 与椭圆方程联立，由韦达定理计算1212(1)(1)0MA MB x x kx m kx m ⋅=++-+-=得35m -=，所以直线恒过定点3(0,)5N -，验证当直线AB 斜率不存在时也过此点即可；（3）将三角形面积分割成两部分进行计算，即ABM △面积212213225422514MNA MNB k S S S MN x x k ∆∆+=+=⋅-=⋅+，令254t k =+即可求出面积的最大值．试题解析： （1）设两动圆的公共点为Q ，则有12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=． （2）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-= 122814km x x k-+=+③，21224414m x x k -⋅=+④， 因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m km k k m m k k--++-+-=++，（有公因式m －1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -．证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =， 点A B 、的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++ （3）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△＝1212MN x x -由第（2）小题的③④代入，整理得：2322514S k=+ 因N 在椭圆内部，所以k R ∈，可设t 23249t t +32(2)94t t t=≥+92542t t +≥，∴6425S ≤（0k =时取到最大值）．所以ABM △面积S 的最大值为6425．考点：1．椭圆的定义与几何性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．基本不等式． 考向5 与圆有关的最值问题综合题【例7】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： （1）yx 的最大值和最小值；（2）y －x 的最大值和最小值； （3）x 2＋y 2的最大值和最小值．【点评】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【例8】设Q P ,分别为()2622=-+y x 11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是________________．【答案】26【例9】设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是 ． 【答案】5【跟踪练习】1．【2018广西桂林柳州模拟】已知圆()221:24C x a y ++=和圆()222:1C x y b +-=只有一条公切线，若,a b R ∈且0ab ≠，则2211a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．9 【答案】D【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．2．【2017甘肃兰州高三第一次诊断性考试】已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设为圆上一点，由题意知，，即，，，，，所以所在直线倾斜角为30，所以的纵坐标为，的横坐标为，所以，故选D ．3．【2018黑龙江海林朝鲜中学】已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >），若曲线2223230x y x y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]1,2 【答案】B4．【2017吉林吉林大学附中高三第七次模拟】已知圆C ： (()22311x y +-=和两点()0A t -，，()0(0)B t t >，，若圆C 上存在点P ，使得·0PA PB =，则t 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 【答案】D【解析】由题意可得点P 的轨迹方程是以AB 位直径的圆，当两圆外切时有：min min 11t t =+⇒=，即t 的最小值为1．本题选择D 选项．点睛：在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念及其几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围5．【2017天津河西区二模】若直线20ax by -+=（0a >， 0b >）被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（ ）A ．32+ C ．14 D ．32+【答案】A【解析】由题意得()()22124x y ++-= ，所以直线20ax by -+=过圆心，即220,22a b a b --+=+= ，因此111121213332222a b b a a b a b a b ⎛++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝ ，选A ． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．6．【2018安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会上学期第一次联考】从直线y x =上一动点出发的两条射线恰与圆()22:21C x y +-=都相切，则这两条射线夹角的最大值为__________．【答案】2π 【解析】当动点与圆心连线与y=x 垂直时，两条射线夹角的最大，如图，易得夹角的最大值为2π．答案： 2π 7．若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________．【答案】[1,1]-过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以||||sin 45OA OM ==2||12OM ≤， 解得||2OM ≤M （0x ，1），所以20||12OM x =+≤011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-．8．【湖北省黄石市2017届高三年级九月份调研，10】圆222240x y ax a +++-=和圆2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈，且0ab ≠，则2211a b+的最小值为 ． 【答案】19．【2017江苏苏北三市（连云港、徐州、宿迁）高三年级第三次调研】在平面直角坐标系中，圆：．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是__________．【答案】(或)【解析】由于原C 存在以G 位中点的弦AB ，且AB=2GO ，故 ， 如图所示，过点O 作圆C 的两条切线，切点分别为B ，D ，圆上要存在满足题意的点A ，只需，即，连结CB ，由可得： ， ．10．【2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦的中点为，且满足，当取得最大值时，直线的方程是__________．【答案】。

纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上,主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问题.要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1.已知含参数直线与圆位置关系，求直线方程中参数取值范围问题画出圆，利用直线过定点，结合图像即可确定直线方程中满足的条件，利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公司，列出关于参数的不等式或方程，即可求出参数的范围. 例1 【河北省沧州市第一中学2017届高三10月月考】若直线10(0)ax by a b ++=>、过圆228210x y x y ++++=的圆心，则14a b+的最小值为（ ） A ．8 B ．12 C.16D ．20【答案】C2.已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问题作出相应的图形，利用数形结合思想找出圆中相关量，如圆心坐标、圆心到某点距离、圆的半径、圆的弦长或圆的弦心距等满足的条件，列出不等式或方程或函数关系，再利用相关方法求出参数的范围.例2 【2016届浙江省慈溪中学高三上学期期中考试】设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1- （B ）11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）⎡⎣ （D ）⎡⎢⎣⎦【答案】A3. 与距离有关的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等常常涉及圆上一点到直线的距离最值问题、切线长最值问题、圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题、过定点的圆的弦长最值问题等.这些问题常常利用平面几何知识或圆的参数方程或设圆上点的坐标，直接求出最值或转化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法求解,与圆有关的长度最值问题有以下题型：①圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +；②过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；③直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -； ④过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.⑤圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题，利用两点间距离公式转化二元函数的最值问题，利用消元法转化一元函数在某个区间上的最值问题求解.例3 【吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测（一）】已知圆22(1)(1)4x y -+-=上到直线y x b =+的距离等于1的点有且仅有2个，则b 的取值范围是（ ）A ．((0,2)B ．(-C ．((2,32)-D ．((2,32]-【答案】C【解析】 由已知，圆的半径为2，可知圆心到直线的距离属于(1,3)时，满足只有两个圆上的点到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式可得13<<，因此((2,32)b ∈-. 故选C.4. 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.例4动圆C 经过点(1,0)F ，并且与直线1x =-相切，若动圆C 与直线1y x =+总有公共点，则圆C 的面积（ ）A ．有最大值8πB ．有最小值2πC ．有最小值3πD ．有最小值4π【答案】D5.圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题本类问题有三种解题思路，思路1：充分利用所给式子的几何意义，利用数形结合思想解题；思路2：设所给式子等于z ，代入圆的方程化为一元二次方程，利用判别式即可求出参数的范围；思路3：利用圆的参数方程或消元法化为函数问题，利用函数求最值的方法求最值,注意留下变量的范围.例5实数x 、y 满足22326x y x +=，则22y x +的最大值为【答案】2【解析】由题：20,023322≤≤∴≥-=x x x y ，因此29)3(212132222+--=-=+x x x y x ，所以当x=2时，22y x +取得最大值4最大值为2.【反思提升】综上所述，解决与圆相关的最值问题的关键要善于利用数形结合思想，利用几何知识求最值，要善于利用转化与化归思想将最值问题转化为函数的最值求解. 如22)()x a y b -+-（表示曲线上点(,)x y 与点（a,b ）之间距离的平方；y b x a--表示曲线上点(,)x y 与点（a,b ）连线的斜率；z Ax By =+注意将直线z Ax By =+在坐标轴上的截距与z 联系起来解题.。

2018年高三二轮复习讲练测之测案【新课标版理科数学】热点九与圆有关的最值问题总分_______ 时间_______ 班级_______ 学号_______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）1. 【2018届安徽省皖南八校高三第二次（12月）联考】已知直线平分圆的周长，且直线不经过第三象限，则直线的倾斜角的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的标准方程为，故直线过圆的圆心，因为直线不经过第三象限，结合图象可知，，，故选A.2．【2018届西藏拉萨市高三第一次模拟考试（期末）】已知点在圆：上运动，则点到直线：的距离的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D3．【2018届安徽省六安市第一中学高三上学期第五次月考】若是圆上任一点，则点到直线距离的最大值（）A. 4B. 6C.D.【答案】B【解析】由题意得直线过定点．圆的圆心为，半径．由几何知识可得当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时，故，直线方程为，即．所以圆心到直线的最大距离为．故点到直线距离的最大值为．选B．4．【2018届辽宁省凌源市高三上学期期末】已知直线截圆所得的弦长为，点在圆上，且直线过定点，若，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D故选：D.5．【2018届重庆市九校联盟高三上学期第一次联考】设，则的最小值为（）A. 3B. 4C. 9D. 16【答案】C【解析】其几何意义是单位圆上的点到直线的距离的平方，故其最小值为，故选：C6．设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则m－n的最大值是( ) A. 2 B. 2C. D.【答案】A【解析】依题意得，圆心到直线(的距离等于圆的半径1，于是有，即设，则当且仅当时取等号，因此的最大值是，选A.7．【2018届四川省绵阳市南山中学高三二诊】若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】圆可化为则圆心为（-2，2），半径为3，则由圆x2+y2+4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤32=即则a2+b2-4ab≤0，若b=0，则a=0，故不成立，故b≠0，则上式可化为1+由直线l的斜率k=-则上式可化为k2+4k+1≤0解得故选B.8．【2018届湖北省襄阳市高三1月调研】已知点P(1，2)和圆C：，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是（）A. RB.C. D.【答案】C【解析】圆，因为过有两条切线，所以在圆外，从而，解得，选C．9．已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，则的最小值是( )A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】∵直线x＋y＋a＝0与圆(x－b)2＋(y－1)2＝2相切，∴＝，a>0，b>0，∴b＝1－a>0,0<a<1，＝＝2a＋＋2≥4，当且仅当a＝时取等号.故选：B.10．已知圆C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为( ) A. (0,1) B. (0，－1)C. (1,0)D. (－1,0)【答案】B【解析】圆C的方程可化为，所以当k＝0时圆C的面积最大．即圆心C的坐标为(0，－1)．本题选择B选项.【2018届福建省泉州市高三1月】已知直线：，圆：. 11．若对任意，存在被截得弦长为，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可得，圆心到的距离即解得或故实数的取值范围是故选12.【2018届重庆市梁平区二调】过点作圆C：R)的切线，切点分别为A，B，则的最小值为（）A. B. C. D. 2－3【答案】C【解析】由题意可得圆心坐标为，半径，其中，，，.利用平面向量数量积的定义有：设，则：，结合对勾函数的性质可得：函数在区间上单调递增当时，.本题选择C选项.二、填空题（4*5=20分）13.【2018届安徽省淮南市高三第一次（2月）模拟】过动点作圆：的切线，其中为切点，若 (为坐标原点)，则的最小值是 . 【答案】14. 【2018届安徽省皖西高中教学联盟三上学期期末】已知是椭圆上的一点，分别是圆和上的点，则的最小值是_________.【答案】7【解析】设两圆圆心为M,N,则M,N为椭圆焦点，因此，即的最小值是7 15.【2018届河南省商丘市高三第一学期期末】设点是函数的图像上的任意一点，点，则的最小值为__________．【答案】【解析】由函数,得(x−1)2+y2=4,(y⩽0)，对应的曲线为圆心在C(1,0)，半径为2的圆的下部分，∵点Q(2a,a−3)，∴x=2a，y=a−3，消去a得x−2y−6=0，即Q(2a,a−3)在直线x−2y−6=0上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则，故答案为：.16.如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，，则的周长的取值范围是_______________.【答案】.【解析】易知圆的圆心坐标为，则圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点，作抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可知，则，当点位于圆与轴的交点时，取最大值，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值为，此时与重合，由于、、构成三角形，因此，所以，因此的周长的取值范围是.三、解答题题（6*12=72分）17.【2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期末】如图，单位圆与，轴正半轴的交点分别为，，圆上的点在第一象限.（1）若点的坐标为，延长至点，使得，求的长；（2）圆上的点在第二象限，若，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）.解析：（1）由点在单位圆上，可知，由图像可得；在中，，，；由余弦定理得；解得；（2）设，，四边形的面积，当，即时，四边形的面积的最大值为.18.在平面直角坐标系中，点，直线,设圆的半径为，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.【答案】（1）或者；（2）.【解析】（1）由得圆心C 为（3,2），∵圆的半径为∴圆的方程为：1分显然切线的斜率一定存在，设所求圆C 的切线方程为，即∴∴∴∴或者∴所求圆C 的切线方程为：或者即或者 6分 （2）∵圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C 为（a,2a-4）则圆的方程为：8分又∴设M为（x,y）则整理得：设为圆D 10分∴点M应该既在圆C上又在圆D上即圆C和圆D有交点∴11分解得，的取值范围为：12分19．【2018届宁夏育才中学高三第四次月考】已知圆：，直线过定点．（1）若与圆相切，求直线的方程；（2）若点为圆上一点，求的最大值和最小值．【答案】（1）直线方程为，；（2）.【解析】试题分析：（1）根据直线和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径列式子求得k 值；（2）将式子化简得到，转化为点点距，进而转化为圆心到的距离，加减半径，即求得最值。