高中数学人教版必修2 3.1.1直线的倾斜角和斜率 作业(系列三)

倾斜角与斜率〔一〕教学目标1．知识与技能〔1〕正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.〔2〕理解直线倾斜角的唯一性.〔3〕理解直线斜率的存在性.〔4〕斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式.2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题〔几何问题〕转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题〔代数问题〕进行解决，使学生不断体会“数形结合〞的思想方法.3．情感、态度与价值观〔1〕通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力.〔2〕通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.〔二〕教学重点与难点直线的倾斜角、斜率的概念和公式.〔三〕教学方法教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题引入我们知道，经过两点有且只有〔确定〕一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否认的，这些直线有什么联系呢？直线的倾斜角的概念.学生答复〔不能确定〕〔1〕它们都经过点P.〔2〕它们的倾斜程度不同.接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题.设疑激趣导入课题概念形成1．直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，取教师提问：倾斜角 的取值范围是什x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定0α=.么？0180α≤< 当直线l 与x 轴重合时90α=〔由学生结合图形答复〕 概念深化因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P 和一个倾斜角α.教师提问：如左图，直线a ∥b ∥c ，那么它们的倾斜角α相等吗？学生答复后作出结论. 一个倾斜角α不能确定一条直线，进而得出. 确定一条直线位置的几何要素.通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素概念形成2．直线的斜率一条直线的倾斜角α〔α≠90°k 表示，即tan k α=.由此可知，一条直线l 的倾斜角α一定存在，但是斜率k 不一定存在. 例如α= 45°时k = tan45°= 1α= 135°时 k = tan135°= –1教师提问：〔由学生讨论后答复〕〔1〕当直线l 与x 轴平行或重合时，k 为多少？k = tan0°= 0〔2〕当直线l 与x 轴垂直时，k 还存在吗？α= 90°，k 不存在设疑激发学生思考得出结论概念形成3．直线的斜率公式2121y y k x x -=- 教师提出问题： 给定两点P 1 (x 1，y 1)，P 2 (x 2，y 2)，x 1≠x 2，如何用两点的坐标借助多媒体演示让学生亲自y abc x O备选例题例1 求以下两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. 〔1〕(1，1)，(2，4)； 〔2〕(–3，5)，(0，2)； 〔3〕(2，3)，(2，5)； 〔4〕(3，–2)，(6，–2) 【解析】〔1〕413021k -==>-，所以倾斜角是锐角； 〔2〕25100(3)k -==-<--，所以倾斜角是钝角；〔3〕由x 1 = x 2 = 2得：k 不存在，倾斜角是90° 〔4〕2(2)063k ---==-，所以倾斜角为0° 例2 点P (点Q 在y 轴上，直线PQ 的倾斜角为120°，那么Q 点的坐标为.【解析】因为点Q 在y 轴上，那么可设其坐标为(0，6) 直线PQ 的斜率k = tan120°=∴k =∴b = –2，即Q 点坐标为。

第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率一、基础达标1．下列说法中，正确的是() A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan αB．直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sin α>0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tan α答案 D解析对于A，当α＝90°时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan α，但只有0°≤α<180°时，α才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，α＝0°，sin α＝0，故C不正确，故选D. 2．若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是() A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在答案 C解析由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在．故选C.3．(2014·乌鲁木齐高一检测)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于()A．1 B．5C．－1 D．－5答案 D解析由斜率公式可得：y＋34－2＝tan 135°，∴y＋32＝－1，∴y＝－5.∴选D.4．直线l 过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α≤90°B ．90°≤α<180°C ．90°≤α<180°或α＝0°D ．90°≤α≤135°答案 C解析 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴．5．斜率为2的直线经过点A (3,5)、B (a,7)、C (－1，b )三点，则a 、b 的值为( ) A ．a ＝4，b ＝0 B ．a ＝－4，b ＝－3 C ．a ＝4，b ＝－3 D ．a ＝－4，b ＝3 答案 C解析 由题意，得⎩⎨⎧k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2.解得a ＝4，b ＝－3.6．如果过点(－2，m )和Q (m,4)的直线的斜率等于1，则m ＝________. 答案 1解析 由斜率公式知4－mm ＋2＝1，解得m ＝1.7．已知直线l 上两点A (－2,3)，B (3，－2)，求其斜率．若点C (a ，b )在直线l 上，求a ，b 间应满足的关系，并求当a ＝12时，b 的值． 解 由斜率公式得k AB ＝－2－33＋2＝－1. ∴C 在l 上，k AC ＝－1，即b －3a ＋2＝－1. ∴a ＋b －1＝0.当a ＝12时，b ＝1－a ＝12. 二、能力提升8．在平面直角坐标系中，正三角形ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为( )A．－2 3 B．0C. 3 D．2 3答案 B解析由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60°，120°，所以tan 60°＋tan 120°＝3＋(－3)＝0.9．(2014·合肥高一检测)若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．答案(－2,1)解析∵k＝a－1a＋2且直线的倾斜角为钝角，∴a－1a＋2<0，解得－2<a<1.10．直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是________．答案[0,2]解析如图，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝2－01－0＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．11．过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－4,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．解如图所示，(1)直线l过点A(3,0)时，即为直线MA，倾斜角α1为最小值．∵tan α1＝0－(－3)3－0＝1，∴α1＝45°.(2)直线l过点B(－4,1)时，即为直线MB，倾斜角α2为最大值，∵tan α2＝1－(－3)－4－0＝－1，∴α2＝135°.所以直线l 倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°. 当α＝90°时，直线l 的斜率不存在；当45°≤α<90°时，直线l 的斜率k ＝tan α≥1； 当90°<α≤135°时，直线l 的斜率k ＝tan α≤－1. 所以直线l 的斜率k 的取值范围是 (－∞，－1]∪[1，＋∞)． 三、探究与创新12．已知A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)， (1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段AB (包括端点)上移动时，求直线CD 的斜率的变化范围． 解 (1)由斜率公式得 k AB ＝1－11－(－1)＝0，k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33.(2)如图所示． k BC ＝3＋1－12－1＝ 3.设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.13．光线从点A (2,1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4,3)，试求点Q 的坐标及入射光线的斜率．解 法一 设Q (0，y )，则由题意得k QA ＝－k QB .∵k QA＝1－y2，k QB＝3－y4，∴1－y2＝－3－y4.解得y＝53，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53，∴k入＝k QA＝1－y2＝－13.法二如图，点B(4,3)关于y轴的对称点为B′(－4,3)，k AB′＝1－32＋4＝－13，由题意得，A、Q、B′三点共线．从而入射光线的斜率为k AQ＝k AB′＝－1 3.设Q(0，y)，则k入＝k QA＝1－y2＝－13.解得y＝53，即点Q的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，53.。

倾斜角与斜率一、选择题(每题6分,共30分)l 经过原点O 和点P(-1,-1),那么它的倾斜角是( )A.45°B.135°C.135°或225°D.0°l 经过第二、三、四象限,那么直线l 的倾斜角的范围是( )A.0°≤α<90°B.90°≤α<180°C.90°<α<180°D.0°≤α<180°3.如图,直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,那么( )1<k 2<k 33<k 1<k 23<k 2<k 11<k 3<k 2l 过(a,1)和(a+1,tanα+1),那么( )l 的倾斜角l 的倾斜角l 的倾斜角D.180°-α一定是直线l 的倾斜角5.(2021·保定高一检测)点M(x,y)在函数y=-2x+8的图象上,当x ∈[2,5]时, y 1x 1++的取值范围是( )A.[-16,2] B.[0,53]C.[-16,53] D.[2,4]二、填空题(每题8分,共24分)6.A(a,2),B(3,1)且直线AB 的倾斜角为90°,那么a=.7.a,b,c 是两两不等的实数,那么经过P(-b,-b-c),Q(a,a-c)两点的直线l 的倾斜角为.8.(2021·太原高一检测)假设三点A(3,3),B(a,0),C(0,b)(其中a·b≠0)共线,那么11a b ＋=.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.点A(1,2),点P 为坐标轴上一点,且直线PA 的倾斜角为120°,求P 点的坐标.10.如图,菱形OBCD 的顶点O 与坐标原点重合,一边在x 轴的正半轴上,∠BOD=60°,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.11.(能力挑战题)假设0<a<b,并且p>0,求证：a p a b p b++＞. 答案解析1.【解析】⊥x 轴,垂足为A,那么在Rt △POA 中,∠POA=45°,即倾斜角为45°.2.【解析】l 经过第二、三、四象限,所以斜率k<0,所以倾斜角为钝角,应选C.【变式训练】直线l 经过第一、三、四象限,其倾斜角为α,斜率为k,那么( )A.ksinα>0B.ksinα≥0C.kcosα<0D.kcosα≤0【解析】l 经过第一、三、四象限,所以倾斜角α为锐角,所以sinα>0,k=tanα>0,所以ksinα>0.3.【解题指南】当直线的倾斜角为锐角时,倾斜角越大斜率越大,此时斜率大于0;当倾斜角为钝角时,倾斜角越大斜率越大,但此时斜率小于0.【解析】l 1的倾斜角为钝角,所以k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角为锐角且α2>α3,所以k 2>k 3>0,应选D.4.【解析】选C.根据题意,直线l 的斜率为k=(tan 1)1(a 1)aα+-+-=tanα,令θ为直线l 的倾斜角,那么一定有0°≤θ<180°,且tanθ=k,所以假设0°≤α<180°,那么α是直线l 的倾斜角;假设α<0°或α≥180°,那么α不是直线l 的倾斜角;由以上可知α不一定是直线l 的倾斜角,所以应选C.5.【解析】选C.y 1y (1)x 1x (1)+--=+--的几何意义是过M(x,y), N(-1,-1)两点的直线的斜率.因为点M 在函数y=-2x+8的图象上,且x ∈[2,5],所以设该线段为AB,且A(2,4),B(5,-2).因为k NA =53,k NB =-16, 所以-16≤y 1x 1++≤53. 所以y 1x 1++的取值范围是[-16,53]. 6.【解析】直线AB 的倾斜角为90°,所以A,B 两点的横坐标相等,所以a=3.答案：37.【解析】直线l 的斜率k=a c b c a b a (b)a b----+=--+()=1,所以直线l 的倾斜角为45°.答案：45°8.【解析】由于A,B,C 三点共线,那么k AB =k AC , 所以03b 3a 303－－＝－－.所以ab=3a+3b,即111a b 3＋＝. 答案：13 【变式训练】三点A(m,2),B(5,1),C(-4,2m)在同一条直线上,那么m 的值为.【解析】k AB =125m --,k BC =2m 145---,因为A,B,C 三点共线, 所以k AB =k BC ,即122m 15m 45--=---,解得m=2或72. 答案：2或72 9.【解析】因为点P 为坐标轴上一点,(1)当点P 在x 轴上时,设P 点的坐标为(x,0),因为直线PA的倾斜角为120°,所以直线PA 的斜率k=tan120°又A 点坐标为(1,2),所以02x 1-=-,所以+1.所以+1,0). (2)当点P 在y 轴上时,设P 点的坐标为(0,y),那么y 201-=-,所以所以综上知P 点的坐标为1,0+)或). 10.【解题指南】利用菱形的根本性质：对边平行且相等,对角线平分一组内对角,两条对角线互相垂直等,先求倾斜角,再求斜率.【解析】因为OD ∥BC,∠BOD=60°,所以直线OD,BC 的倾斜角都是60°,斜率都是tan60°DC ∥OB,所以直线DC,OB 的倾斜角都是0°,斜率也都为0;由菱形的性质知,∠COB=30°,∠OBD=60°,所以直线OC 的倾斜角为30°,斜率k OC =tan30°,直线BD 的倾斜角为∠DBx=180°-60°=120°,斜率k BD =tan120°.11.【解题指南】把a pb p++看作过(0,0)和(b+p,a+p)两点的直线的斜率,把ab看作过(b,a)和(0,0)两点的直线的斜率,通过比拟两直线斜率来证明不等式.【证明】如图,在平面直角坐标系中,构造直角三角形OAB,使AB=a,OA=b,那么ab即为直线OB的斜率,由0<a<b可知直线OB的斜率小于45°.以点B为一个顶点构造正方形BCDE,使BC与x 轴平行,且正方形的边长为p,那么点B在直线OD的下方,直线OD的斜率为a pb p++,由图易知,k OD>k OB,即a p ab p b++＞.关闭Word文档返回原板块。

3.1.1 倾斜角与斜率[课时作业][A 组 基础巩固]1．直线x ＝1的倾斜角和斜率分别是( )A ．45°，1B ．135°，－1C ．90°，不存在D ．180°，不存在解析：直线x ＝1与y 轴平行，∴倾斜角为90°，但斜率不存在，∴选C.答案：C2．若直线过点(1,2)，(4,2＋3)，则此直线的倾斜角是( )A ．30° B．45° C．60° D ．90°解析：由题意得k ＝2＋3－24－1＝33，∴直线的倾斜角为30°.答案：A3．经过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或4解析：由两点斜率公式得4－mm ＋2＝1，解之得m ＝1.答案：A4．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2解析：由－2－33－－＝m ＋212－3得m ＝12.故选C.答案：C5.如图，设直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 1＜k 3＜k 2C ．k 2＜k 1＜k 3D ．k 3＜k 2＜k 1解析：根据“斜率绝对值越大，直线的倾斜程度越大”可知选项A 正确．答案：A6．已知直线l 1的倾斜角为α，直线l 2与l 1关于x 轴对称，则直线l 2的倾斜角为________． 解析：如图所示，可得直线l 2与l 1的倾斜角互补，故直线l 2的倾斜角为180°－α.答案：180°－α7．设斜率为m (m ＞0)的直线上有两点(m,3)，(1， m )，则此直线的倾斜角为________．解析：由m ＝m －31－m得：m 2＝3，∵m ＞0，∴m ＝ 3.又在[0°，180°)内tan 60°＝3，∴倾斜角为60°.答案：60°8．已知实数x ，y 满足方程x ＋2y ＝6，当1≤x ≤3时，y －1x －2的取值范围为________． 解析：y －1x －2的几何意义是过M (x ，y )，N (2,1)两点的直线的斜率，因为点M 在函数x ＋2y ＝6的图象上，且1≤x ≤3，所以可设该线段为AB ，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32，由于k NA ＝－32，k NB ＝12，所以y －1x －2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 9．已知A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1,4)，直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，求m 的值．解析：由题意直线AC 的斜率存在，即m ≠－1.∴k AC ＝－m ＋－4m ＋1，k BC ＝－－42－－. ∴－m ＋－4m ＋1＝3·－－42－－. 整理得：－m －1＝(m －5)(m ＋1)，即(m ＋1)(m －4)＝0，∴m ＝4或m ＝－1(舍去)．∴m ＝4.10．已知M (2m ＋3，m )，N (m －2,1)．(1)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为锐角？(2)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为钝角？(3)当m 为何值时，直线MN 的倾斜角为直角？解析：(1)斜率大于0，即k ＝m －12m ＋3－－＝m －1m ＋5>0，解之得m >1或m <－5. (2)斜率小于0，即k ＝m －12m ＋3－－＝m －1m ＋5<0， 解之得－5<m <1.(3)当直线垂直于x 轴时直线倾斜角为直角，即2m ＋3＝m －2，解之得m ＝－5.[B 组 能力提升]1．已知点P (1,1)，直线l 过点P 且不经过第四象限，则直线l 的倾斜角α的最大值为( )A ．135°B ．90°C ．45°D ．30°解析：如图所示，因为直线l 不经过第四象限，故当直线l 处于图示位置，即过坐标原点(0,0)时，它的倾斜角有最大值，易求得其值为45°.答案：C2．过点M (0,1)和N (－1，m 2)(m ∈R)的直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A ．0°≤α＜180°B ．45°≤α＜180°C ．0°≤α≤45°或90°＜α＜180°D ．0°≤α≤45°或90°≤α＜180°解析：如图所示，当点N 从点A 移动到点B (－1，1)时，倾斜角由45°减小到0°；当从点B 上移时，倾斜角为钝角并逐渐减小，且向90°接近．由倾斜角的定义，得直线l 的倾斜角α为0°≤α≤45°或90°＜α＜180°.答案：C3．已知A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b＝________. 解析：由题知k AB ＝22－a ，k AC ＝2－b 2. 又A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，∴4＝(2－a )(2－b )，∴2a ＋2b ＝ab ，∴1a ＋1b ＝12. 答案：124．已知点P (3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为________．解析：设点Q 的坐标为(x,0)，则k ＝2－03－x ＝tan 150°＝－33，解得x ＝23＋3. 答案：(23＋3,0)5．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．(1)求直线AB 、BC 、AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 的斜率k 的变化范围． 解析：(1)由斜率公式得k AB ＝1－11－－＝0.k BC ＝3＋1－12－1＝ 3. k AC ＝3＋1－12－－＝33. 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 又∵tan 0°＝0，tan 60°＝3，tan 30°＝33， ∴AB 的倾斜角为0°，BC 的倾斜角为60°，AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3. 6．已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y x的最大值和最小值． 解析：如图，由点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)， 故k OA ＝2，k OB ＝23. 因为y x的几何意义是直线OP 的斜率，且k OB ≤k OP ≤k OA ， 所以y x 的最大值为2，最小值为23.。

3．1.1 倾斜角与斜率练习1．如图所示，直线l 的倾斜角是( )A ．0°B ．90°C ．∠CABD ．∠OAB2．已知点A (2,1)，B (3，－1)，则过A ，B 两点的直线的斜率为( )A ．－2B ．－12C ． 12D ．23．直线l 的倾斜角α＝135°，则其斜率k 等于( )A ． 2B ． 2C ．－1D ．14．过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角是45°，则y 等于( )A ．－1B ．－5C ．1D ．55．如图，已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2 6．三点A (0,2)，B (2,5)，C (3，b )能作为三角形的三个顶点，则实数b 满足的条件是__________．7．设P 为x 轴上的一点，A (－3,8)，B (2,14)，若P A 的斜率是PB 的斜率的两倍，则点P 的坐标为__________．8．若三点A (3,3)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则11a b＝__________. 9．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角．(1)A (0，－1)，B (2,0)；(2)P (5，－4)，Q (2,3)；(3)M (3，－4)，N (3，－2)．10．已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2)．(1)求直线AB 和AC 的斜率；(2)若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．参考答案1. 答案：C2. 答案：A3. 答案：C4. 答案：A5. 答案：D6. 答案：b ≠1327. 答案：(－5,0)8. 答案：139. 解：(1)k AB ＝101022--=-， ∵k AB ＞0，∴直线AB 的倾斜角是锐角．(2)k PQ ＝437523--=--， ∵k PQ ＜0，∴直线PQ 的倾斜角是钝角．(3)∵x M ＝x N ＝3，∴直线MN 的斜率不存在，其倾斜角为直角．10. 解：(1)由斜率公式，可得直线AB 的斜率k AB ＝231437-=--，直线AC 的斜率k AC ＝235033--=-， 即直线AB 的斜率为17，AC 的斜率为53.(2)如图，当点D 由点B 运动到点C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，由(1)知，k AB ＝17，k AC ＝53.故直线AD 的斜率的变化范围是15,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

§3.1.1直线的倾斜角与斜率【教材分析】“直线的倾斜角与斜率”是高中平面解析几何的入门课，担负着承前启后、渗透方法的重任。

直线倾斜角和斜率是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示。

倾斜角是几何概念，在研究直线平行、垂直的解析表示等问题时都要用这个概念；由倾斜角的正切值建立的斜率概念是本章后续内容展开的主线，在建立直线方程并通过直线方程研究几何问题时起到核心作用。

审视新课标教材，本节删掉了方程的直线与直线的方程的概念，就是想让学生专心经历把直线的几何特征——倾斜角代数化为斜率，并会使用直线上两点坐标计算斜率这一过程；其次，在这一过程中初步体会用解析法研究几何问题的思想。

因此，本节教学内容应有显性和隐性两方面的知识:显性知识——倾斜角、斜率概念及斜率公式的推导过程；隐性知识——坐标法。

【学生分析】有利：1、已经内化了点与坐标的关系，实现了最简单的形与数的转化；2、经历了函数的学习，尤其是一次函数，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，具备一定的数形结合的思想；3、已经系统学习与角相关的知识，包括在直角三角形中建立的锐角三角函数、平面直角坐标系下任意角的概念、任意角三角函数等。

这都为正确理解倾斜角和斜率的概念、它们之间的关系以及在平面直角坐标系下从不同的角度推导斜率公式奠定了良好的基础。

不利：1、正是因为学生具备任意角的概念和完整三角函数的知识体系，这就使得学生不易理解为什么不用弧度制数化倾斜角？为什么要把斜率定义为倾斜角的正切，而不是正弦或余弦？如果处理不当，甚至根本回避，那学生就不会产生认同感，当然在知识的内化时，就会产生极大地障碍。

2、综合运用知识解决问题的意识和能力都比较薄弱。

【教学目标】1、能通过观察平面直角坐标系下的不同位置的直线，探索确定直线位置的几何要素，发现直线的倾斜角，理解直线倾斜角的唯一性，并准确找到倾斜角的范围；2、能积极参与到“探究直线上两点坐标与直线倾斜角的关系”核心问题活动中，利用与角有关的所学知识，力争通过多种途径完成对斜率公式的推导。

直线的倾斜角和斜率一．选择题：1. 若经过P(-2,m)和Q(m,4)的直线斜率为1，则m=( )（A ）1 （B ）4 （C ）1或3 （D ）1或42. 若A(3,-2),B(-9,4),C(x,0)三点共线，则x=( )（A ）1 （B ）-1 （C ）0 （D ）73．若直线l 经过原点和点(－1, 1)，则直线l 的倾斜角为（A ）450 （B ）1350 （C ）450或1350 （D ）-4504．已知直线l 的倾斜角为α，若cosα=54，则直线l 的斜率为 （A ）43 （B ）34 （C ）－43 （D ）－34 5．如图，若图中直线l 1, l 2, l 3的斜率分别为k 1, k 2, k 3，则（A ）k 1<k 2<k 3 （B ）k 3<k 1<k 2（C ）k 3<k 2<k 1 （D ）k 1<k 3<k 26. 已知直线l 的倾斜角为015α-，则下列结论正确的是（ ） 00.0180A α≤<（） 00.150180B α<<（）00.15195C α≤<（） 00.15180D α≤<（）7. 下列叙述不正确的是( )（A ）若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应（B ）每一条直线都有唯一对应的一个倾斜角（C ）与坐标轴垂直的直线的倾斜角为00090或（D ）若直线的倾斜角为α，则其斜率为tan α二．填空题：8. 经过点P(1,3)和Q(2,5)的直线的斜率为 .9．经过A (a , b )和B (3a , 3b )(a ≠0)两点的直线的斜率k = ，倾斜角α= .10．已知点P (3 2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为 .11．已知点M(5,3),N(-3,2)，若直线PM 和PN 的斜率分别为2和7-4，则点P 的坐标为 .12. 已知()()M 1,3,N3,3，若直线l 的倾斜角是直线MN 倾斜角的一半，则直线l 的斜率为 .三．解答题13．已知实数x,y 满足2x+y=8,当2≤x ≤3时，求y x 的最大值和最小值。

3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率【选题明细表】1.已知直线l的倾斜角为α,则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为( C )(A)α (B)90°-α(C)180°-α(D)90°+α解析:根据倾斜角的定义,结合图形知所求直线的倾斜角为180°-α.2.(2018·湖北宜昌期末)若直线经过A(1,0),B(4,)两点,则直线AB 斜率为( A )(A) (B)1 (C) (D)-解析:因为直线经过A(1,0),B(4,)两点,所以直线AB斜率k==.故选A.3.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( A )(A)1 (B)4(C)1或3 (D)1或4解析:过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,所以k==1,解得m=1.4.(2018·天津期末)经过两点A(4,a),B(2,3)的直线的倾斜角为45°,则a等于( C )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由题意可得=tan 45°=1,解得a=5.故选C.5.(2018·江西师大附中高一测试)当直线l的倾斜角α满足0°≤α<120°,且α≠90°时,它的斜率k满足( C )(A)-<k≤0(B)k>-(C)k≥0或k<-(D)k≥0或k<-解析:当0°≤α<90°时,k≥0;当90°<α<120°时,k<-.6.若经过A(2,1),B(1,m)的直线l的倾斜角为锐角,则m的取值范围是( A )(A)(-∞,1) (B)(1,+∞)(C)(-∞,-1) (D)(-1,+∞)解析:由l的倾斜角为锐角,可知k AB=>0,即m<1.故选A.7.(2018·福州调研)四边形ABCD的四个顶点是A(2,3),B(1,-1),C(-1,-2),D(-2,2),分别求四条边所在直线的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.解:k AB==4,k BC==,k CD==-4,k DA==.因为k AB>0,k BC>0,k CD<0,k DA>0,所以直线AB,BC,DA的倾斜角为锐角,直线CD的倾斜角为钝角.8.已知点A(1,2),在坐标轴上求一点P,使直线PA的倾斜角为60°. 解:(1)当点P在x轴上时,设点P(a,0),因为A(1,2),所以直线PA的斜率k==.又直线PA的倾斜角为60°,所以tan 60°=,解得a=1-,所以点P的坐标为1-,0.(2)当点P在y轴上时,设点P(0,b),同理可得b=2-,所以点P的坐标为(0,2-).9.(2018·广东中山期末)已知函数f(x)=log3(x+2),若a>b>c>0,则,,的大小关系为( B )(A)>> (B)<<(C)>> (D)<<解析:作出函数f(x)=log3(x+2)的大致图象,如图所示.由图象可知曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,因为a>b>c>0,所以<<,故选B.10.已知M(1,),N(,3),若直线l的倾斜角是直线MN倾斜角的一半,则直线l的斜率为( B )(A) (B) (C)1 (D)解析:设直线MN的倾斜角为α,则tan α===,α=60°,所以直线l的倾斜角为30°,斜率为,故选B.11.如果三点A(2m,),B(4,-1),C(-4,-m)在同一条直线上,求常数m 的值.解:由于三点A,B,C所在直线不可能垂直于x轴,因此设直线AB,BC的斜率分别为k AB,k BC.由斜率公式,得k AB==,k BC==.因为点A,B,C在同一条直线上,所以k AB=k BC.所以=,即m2-3m-12=0.解得m1=,m2=.所以m的值是或.12.已知A(-1,1),B(1,1),C(2,+1),(1)求直线AB和AC的斜率;(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时,求直线CD的斜率的变化范围.解:(1)由斜率公式得k AB==0,k BC==.k AC==.(2)如图所示.设直线CD的斜率为k,当斜率k变化时,直线CD绕C点旋转,当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时,直线CD与AB恒有交点,即D在线段AB上,此时k由k CA增大到k CB,所以k的取值范围为[,].13.已知实数x,y满足关系式x+2y=6,当1≤x≤3时,求的取值范围.解:的几何意义是过M(x,y),N(2,1)两点的直线的斜率.因为点M在y=3-x的图象上,且1≤x≤3,所以可设该线段为AB,其中A(1,),B(3,).由于k NA=-,k NB=,所以的取值范围是(-∞,-]∪[,+∞).。