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第一讲 功 功率 动能定理考点一 功的分析与计算【1】考点逐项排查（基础层）1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功．2．必要因素：力和物体在力的方向上发生的位移．3．物理意义：功是能量转化的量度．4．计算公式(1)当恒力F 的方向与位移l 的方向一致时，力对物体所做的功为W ＝Fl .(2)当恒力F 的方向与位移l 的方向成某一夹角α时，力F 对物体所做的功为W ＝Fl cos α，即力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦值这三者的乘积．5．功的正负(1)当0≤α<π2时，W >0，力对物体做正功． (2)当π2<α≤π时，W <0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功． (3)当α＝π2时，W ＝0，力对物体不做功． [思维深化]判断下列说法是否正确．(1)只要物体受力且发生位移，则力对物体一定做功．( × )(2)如果一个力阻碍了物体的运动，则这个力一定对物体做负功．( √ )(3)摩擦力可能对物体做正功、负功，也可能不做功．( √ )(4)作用力做正功时，反作用力一定做负功．( × )【2】题组阶梯突破（应用层）1．[正、负功的判断]如图1所示，质量为m 的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a 沿水平方向向左做匀加速运动，运动中物体m 与斜面体相对静止．则关于斜面对m 的支持力和摩擦力的下列说法中错误的是( )图1A ．支持力一定做正功B ．摩擦力一定做正功C ．摩擦力可能不做功D ．摩擦力可能做负功答案 B解析 支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定做正功．而摩擦力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，物体只受重力和支持力，如图所示，此时加速度a ＝g tan θ，当a >g tan θ时，摩擦力沿斜面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功；当a <g tan θ时，摩擦力沿斜面向上，摩擦力与位移夹角大于90°，则做负功．综上所述，B 是错误的．2．[变力做功的计算](多选)如图2所示，摆球质量为m ，悬线的长为L ，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A 点运动到B 点的过程中空气阻力F 阻的大小不变，则下列说法正确的是( )图2A ．重力做功为mgLB ．绳的拉力做功为0C ．空气阻力F 阻做功为－mgLD ．空气阻力F 阻做功为－12F 阻πL 答案 ABD解析 小球下落过程中，重力做功为mgL ，A 正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做功为0，B 正确；空气阻力F 阻大小不变，方向始终与速度方向相反，故空气阻力F 阻做功为－F 阻·12πL ，C 错误，D 正确． 3．[恒力做功的计算](2014·新课标Ⅱ·16)一物体静止在粗糙水平地面上．现用一大小为F 1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v .若将水平拉力的大小改为F 2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v .对于上述两个过程，用W F 1、W F 2分别表示拉力F 1、F 2所做的功，W f1、W f2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( )A ．W F 2>4W F 1，W f2>2W f1B ．W F 2>4W F 1，W f2＝2W f1C ．W F 2<4W F 1，W f2＝2W f1D ．W F 2<4W F 1，W f2<2W f1答案 C解析 根据x ＝v ＋v 02t 得，两过程的位移关系x 1＝12x 2，根据加速度的定义a ＝v －v 0t，得两过程的加速度关系为a 1＝a 22.由于在相同的粗糙水平地面上运动，故两过程的摩擦力大小相等，即F f1＝F f2＝F f ，根据牛顿第二定律得，F 1－F f1＝ma 1，F 2－F f2＝ma 2，所以F 1＝12F 2＋12F f ，即F 1>F 22.根据功的计算公式W ＝Fl ，可知W f1＝12W f2，W F 1>14W F 2，故选项C 正确，选项A 、B 、D 错误． 【方法提炼】功的计算方法1．恒力做功：2．变力做功：(1)用动能定理：W ＝12m v 22－12m v 21. (2)当变力的功率P 一定时，可用W ＝Pt 求功，如机车恒定功率启动时．(3)将变力做功转化为恒力做功：当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积．如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等．3．总功的计算：(1)先求物体所受的合外力，再求合外力的功；(2)先求每个力做的功，再求各功的代数和．考点二 功率的理解和计算【1】考点逐项排查（基础层）1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．3．公式：(1)P ＝W t，P 为时间t 内的物体做功的快慢． (2)P ＝F v①v 为平均速度，则P 为平均功率．②v 为瞬时速度，则P 为瞬时功率．4．对公式P ＝F v 的几点认识：(1)公式P ＝F v 适用于力F 的方向与速度v 的方向在一条直线的情况．(2)功率是标量，只有大小，没有方向；只有正值，没有负值．(3)当力F 和速度v 不在同一直线上时，可以将力F 分解或者将速度v 分解．[思维深化]判断下列说法是否正确．(1)由P ＝W t，只要知道W 和t 就可求出任意时刻的功率．( × )(2)由P ＝F v ，既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率．( √ )(3)由P ＝F v 知，随着汽车速度的增大，它的功率也可以无限制地增大．( × )(4)由P ＝F v 知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比．( √ )【2】题组阶梯突破（应用层）4．[合理近似解答实际问题]一个成年人以正常的速度骑自行车，受到的阻力为总重力的0.02倍，则成年人骑自行车行驶时的功率最接近于( )A ．1 WB ．10 WC ．100 WD ．1 000 W答案 C解析 设人和车的总质量为100 kg ，匀速行驶时的速率为5 m/s ，匀速行驶时的牵引力与阻力大小相等F ＝0.02mg ＝20 N ，则人骑自行车行驶时的功率为P ＝F v ＝100 W ，故C 正确．5．[应用P ＝F v 求瞬时功率](多选)一质量为1 kg 的质点静止于光滑水平面上，从t ＝0时刻开始，受到水平外力F 作用，如图3所示．下列判断正确的是()图3A ．0～2 s 内外力的平均功率是4 WB ．第2 s 内外力所做的功是4 JC ．第2 s 末外力的瞬时功率最大D ．第1 s 末与第2 s 末外力的瞬时功率之比为9∶4答案 AD解析 第1 s 末质点的速度v 1＝F 1m t 1＝31×1 m /s ＝3 m/s. 第2 s 末质点的速度v 2＝v 1＋F 2m t 2＝(3＋11×1) m /s ＝4 m/s. 则第2 s 内外力做功W 2＝12m v 22－12m v 21＝3.5 J 0～2 s 内外力的平均功率P ＝12m v 22t ＝0.5×1×422W ＝4 W. 选项A 正确，选项B 错误；第1 s 末外力的瞬时功率P 1＝F 1v 1＝3×3 W ＝9 W ，第2 s 末外力的瞬时功率P 2＝F 2v 2＝1×4 W ＝4 W ，故P 1∶P 2＝9∶4.选项C 错误，选项D 正确．6．[机车运动中功率综合问题]一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m 的重物，当重物的速度为v 1时，起重机的功率达到最大值P ，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v 2匀速上升，物体上升的高度为h ，则整个过程中，下列说法正确的是( )A ．钢绳的最大拉力为P v 2B ．钢绳的最大拉力为mgC ．重物匀加速的末速度为P mgD ．重物匀加速运动的加速度为P m v 1－g 答案 D解析 加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力较大，匀速运动阶段钢绳的拉力为P v 2，故A 错误；加速过程重物处于超重状态，钢绳拉力大于重力，故B 错误；重物匀加速运动的末速度不是运动的最大速度，此时钢绳对重物的拉力大于其重力，故其速度小于P mg，故C 错误；重物匀加速运动的末速度为v 1，此时的拉力为F ＝P v 1，由牛顿第二定律得：a ＝F －mg m＝P m v 1－g ，故D 正确． 7．[机车运动中功率综合问题](2015·新课标全国Ⅱ·17)一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时间t 的变化如图4所示．假定汽车所受阻力的大小f 恒定不变．下列描述该汽车的速度v 随时间t 变化的图线中，可能正确的是( )图4答案 A解析 当汽车的功率为P 1时，汽车在运动过程中满足P 1＝F 1v ，因为P 1不变，v 逐渐增大，所以牵引力F 1逐渐减小，由牛顿第二定律得F 1－f ＝ma 1，f 不变，所以汽车做加速度减小的加速运动，当F 1＝f 时速度最大，且v m ＝P 1F 1＝P 1f.当汽车的功率突变为P 2时，汽车的牵引力突增为F 2，汽车继续加速，由P 2＝F 2v 可知F 2减小，又因F 2－f ＝ma 2，所以加速度逐渐减小，直到F 2＝f 时，速度最大v m ′＝P 2f，以后匀速运动．综合以上分析可知选项A 正确． 【规律总结】关于功率的理解和应用1．求解功率时应注意的“三个”问题(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．2．机车启动中的功率问题(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即v m ＝P F min ＝P F 阻(式中F min 为最小牵引力，其值等于阻力F 阻)．(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v ＝P F <v m ＝P F 阻. 考点三 动能定理及其应用【1】考点逐项排查（基础层）1．内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化量．2．表达式：W ＝12m v 22－12m v 21＝E k2－E k1. 3．理解：动能定理公式中等号表明了合外力做功与物体动能的变化具有等量代换关系．合外力做功是引起物体动能变化的原因． 4．适用条件：(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动．(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功．(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用．5．应用技巧：若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑．【思维深化】判断下列说法是否正确．(1)一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化．( √ )(2)动能不变的物体一定处于平衡状态．( × )(3)如果物体所受的合外力为零，那么合外力对物体做功一定为零．( √ )(4)物体在合外力作用下做变速运动时，动能一定变化．( × )(5)物体的动能不变，所受的合外力必定为零．( × )(6)做自由落体运动的物体，动能与时间的二次方成正比．( √ )【2】题组阶梯突破（应用层）8．[应用动能定理求变力的功]如图5所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A 的速度为v ，压缩弹簧至C 点时弹簧最短，C 点距地面高度为h ，则小球从A 到C 的过程中弹簧弹力做功是( )图5A ．mgh －12m v 2 B.12m v 2－mgh C ．－mghD ．－(mgh ＋12m v 2) 答案 A解析 小球从A 点运动到C 点的过程中，重力和弹簧的弹力对小球做负功，由于支持力与位移始终垂直，则支持力对小球不做功，由动能定理，可得W G ＋W F ＝0－12m v 2，重力做功为W G ＝－mgh ，则弹簧的弹力对小球做功为W F ＝mgh －12m v 2，所以正确选项为A. 9．[动能定理与图象的结合](多选)质量为1 kg 的物体静止在水平粗糙的地面上，在一水平外力F 的作用下运动，如图6甲所示，外力F 和物体克服摩擦力F f 做的功W 与物体位移x 的关系如图乙所示，重力加速度g 取10 m/s 2.下列分析正确的是( )图6A ．物体与地面之间的动摩擦因数为0.2B ．物体运动的位移为13 mC ．物体在前3 m 运动过程中的加速度为3 m/s 2D ．x ＝9 m 时，物体的速度为3 2 m/s答案 ACD解析 由W f ＝F f x 对应图乙可知，物体与地面之间的滑动摩擦力F f ＝2 N ，由F f ＝μmg 可得μ＝0.2，A 正确；由W F ＝Fx 对应图乙可知，前3 m 内，拉力F 1＝5 N,3～9 m 内拉力F 2＝2 N ，物体在前3 m 内的加速度a 1＝F 1－F f m ＝3 m/s 2，C 正确；由动能定理得：W F －F f x ＝12m v 2可得：x ＝9 m 时，物体的速度为v ＝3 2 m/s ，D 正确；物体的最大位移x m ＝W F F f＝13.5 m ，B 错误．10．[应用动能定理分析临界问题](2015·新课标全国Ⅰ·17)如图7，一半径为R 、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ 水平．一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道．质点滑到轨道最低点N 时，图7对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小．用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中克服摩擦力所做的功．则( )A ．W ＝12mgR ，质点恰好可以到达Q 点 B ．W ＞12mgR ，质点不能到达Q 点 C ．W ＝12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离 D ．W ＜12mgR ，质点到达Q 点后，继续上升一段距离 答案 C解析 根据动能定理得P 点动能E k P ＝mgR ，经过N 点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得4mg －mg ＝m v 2R ，所以N 点动能为E k N ＝3mgR 2，从P 点到N 点根据动能定理可得mgR －W ＝3mgR 2－mgR ，即克服摩擦力做功W ＝mgR 2.质点运动过程，半径方向的合力提供向心力，即F N －mg cos θ＝ma ＝m v 2R，根据左右对称，在同一高度处，由于摩擦力做功导致在右边圆形轨道中的速度变小，轨道弹力变小，滑动摩擦力F f ＝μF N 变小，所以摩擦力做功变小，那么从N 到Q ，根据动能定理，Q 点动能E k Q ＝3mgR 2－mgR －W ′＝12mgR －W ′，由于W ′＜mgR 2，所以Q 点速度仍然没有减小到0，会继续向上运动一段距离，对照选项，C 正确． 【技巧点拨】动能定理的理解及应用技巧1．动能定理说明了合力对物体所做的总功和动能变化间的一种因果关系和数量关系，不可理解为功转变成了物体的动能．2．应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系．3．明确研究对象的已知量和未知量，若求过程的初、末速度，首先确定各力做功及总功，然后列出方程；若求某力或某力的功，首先确定过程的初、末速度，然后列方程求解．4．解决图象问题的突破点(1)注意图象斜率、面积和截距的物理意义．(2)注意挖掘图象中的隐含信息，往往可以找到解题突破口．考点四 用动能定理解决多过程问题【1】考点逐项排查（基础层）1．由于多过程问题的受力情况、运动情况比较复杂，从动力学的角度分析多过程问题往往比较复杂，但是，用动能定理分析问题，是从总体上把握其运动状态的变化，并不需要从细节上了解．因此，动能定理的优越性就明显地表现出来了，分析力的作用是看力做的功，也只需把所有的力做的功累加起来即可．2．运用动能定理解决问题时，有两种思路：一种是全过程列式，另一种是分段列式．3．全过程列式时，涉及重力、弹簧弹力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运用它们的功能特点：(1)重力的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；(2)大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小与路程的乘积．(3)弹簧弹力做功与路径无关．11．[直线与平抛运动组合的多过程问题](2015·浙江理综·23)如图8所示，用一块长L 1＝1.0 m 的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H ＝0.8 m ，长L 2＝1.5 m ．斜面与水平桌面的夹角θ可在0～60°间调节后固定．将质量m ＝0.2 kg 的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数μ1＝0.05，物块与桌面间的动摩擦因数为μ2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失．(重力加速度取g ＝10 m/s 2；最大静摩擦力等于滑动摩擦力)图8(1)求θ角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示)(2)当θ角增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数μ2；(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(3)继续增大θ角，发现θ＝53°时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离x m . 答案 (1)arctan 0.05 (2)0.8 (3)1.9 m解析 (1)为使小物块下滑，应有mg sin θ≥μ1mg cos θ①θ满足的条件tan θ≥0.05②即当θ＝arctan 0.05时物块恰好从斜面开始下滑．(2)克服摩擦力做功W f ＝μ1mgL 1cos θ＋μ2mg (L 2－L 1cos θ)③由动能定理得mgL 1sin θ－W f ＝0④代入数据得μ2＝0.8⑤(3)由动能定理得mgL 1sin θ－W f ＝12m v 2⑥ 结合③式并代入数据得v ＝1 m/s ⑦由平抛运动规律得H ＝12gt 2，x 1＝v t 解得t ＝0.4 s ⑧x 1＝0.4 m ⑨x m ＝x 1＋L 2＝1.9 m12．[含弹簧的物体运动多过程问题]如图9甲所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端点在O 位置．质量为m 的物块A (可视为质点)以初速度v 0从距O 点右方x 0的P 点处向左运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧右端压到O ′点位置后，A 又被弹簧弹回．A 离开弹簧后，恰好回到P 点．物块A 与水平面间的动摩擦因数为μ.求：图9(1)物块A 从P 点出发又回到P 点的过程，克服摩擦力所做的功．(2)O 点和O ′点间的距离x 1.(3)如图乙所示，若将另一个与A 完全相同的物块B (可视为质点)与弹簧右端拴接，将A 放在B 右边，向左推A 、B ，使弹簧右端压缩到O ′点位置，然后从静止释放，A 、B 共同滑行一段距离后分离．分离后物块A 向右滑行的最大距离x 2是多少？答案 (1)12m v 20 (2)v 204μg －x 0 (3)x 0－v 208μg解析 (1)物块A 从P 点出发又回到P 点的过程，根据动能定理得克服摩擦力所做的功为W f ＝12m v 20. (2)物块A 从P 点出发又回到P 点的过程，根据动能定理得2μmg (x 1＋x 0)＝12m v 20 解得x 1＝v 204μg－x 0 (3)A 、B 在弹簧处于原长处分离，设此时它们的共同速度是v 1，弹出过程弹力做功W F 只有A 时，从O ′到P 有W F －μmg (x 1＋x 0)＝0－0A 、B 共同从O ′到O 有W F －2μmgx 1＝12×2m v 21 分离后对A 有12m v 21＝μmgx 2 联立以上各式可得x 2＝x 0－v 208μg. 13．[直线与圆周运动组合的多过程问题]如图10所示，半径R ＝0.5 m 的光滑圆弧面CDM 分别与光滑斜面体ABC 和斜面MN 相切于C 、M 点，斜面倾角分别如图所示．O 为圆弧圆心，D 为圆弧最低点，C 、M 在同一水平高度．斜面体ABC 固定在地面上，顶端B 安装一定滑轮，一轻质软细绳跨过定滑轮(不计滑轮摩擦)分别连接小物块P 、Q (两边细绳分别与对应斜面平行)，并保持P 、Q 两物块静止．若PC 间距为L 1＝0.25 m ，斜面MN 足够长，物块P 质量m 1＝3 kg ，与MN 间的动摩擦因数μ＝13，重力加速度g ＝10 m/s 2，求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)图10(1)小物块Q 的质量m 2；(2)烧断细绳后，物块P 第一次到达D 点时对轨道的压力大小；(3)物块P 在MN 斜面上滑行的总路程．答案 (1)4 kg (2)78 N (3)1.0 m解析 (1)根据共点力平衡条件，两物块的重力沿斜面的分力相等，有：m 1g sin 53°＝m 2g sin 37°解得：m 2＝4 kg即小物块Q 的质量m 2为4 kg.(2)小物块P 到D 点过程，由动能定理得m 1gh ＝12m 1v 2D 根据几何关系，有：h ＝L 1sin 53°＋R (1－cos 53°)在D 点，支持力和重力的合力提供向心力：F D －m 1g ＝m 1v 2D R解得：F D ＝78 N由牛顿第三定律得，物块P 对轨道的压力大小为78 N.(3)分析可知最终物块在CDM 之间往复运动，C 点和M 点速度为零．由全过程动能定理得：m 1gL 1sin 53°－μm 1g cos 53°L 总＝0解得L 总＝1.0 m即物块P 在MN 斜面上滑行的总路程为1.0 m.【规律总结】利用动能定理求解多过程问题的基本思路1．弄清物体的运动由哪些过程组成．2．分析每个过程中物体的受力情况．3．各个力做功有何特点，对动能的变化有无影响．4．从总体上把握全过程，表达出总功，找出初、末状态的动能．5．对所研究的全过程运用动能定理列方程．【限时自测】1．(2015·海南单科·3)假设摩托艇受到的阻力的大小正比于它的速率．如果摩托艇发动机的输出功率变为原来的2倍，则摩托艇的最大速率变为原来的( )A ．4倍B ．2倍 C.3倍 D.2倍答案 D解析 设f ＝k v ，当阻力等于牵引力时，速率最大，输出功率变化前，有P ＝F v ＝f v ＝k v ·v ＝k v 2，变化后有2P ＝F ′v ′＝k v ′·v ′＝k v ′2，联立解得v ′＝2v ，D 正确．2.(2015·海南单科·4)如图11所示，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g .质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( )图11A.14mgRB.13mgRC.12mgRD.π4mgR 答案 C解析 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有F N －mg ＝m v 2R，F N ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下滑过程中，根据动能定理可得mgR －W f ＝12m v 2，解得W f ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功12mgR ，C 正确． 3．(2015·浙江理综·18)(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104 kg ，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N ；弹射器有效作用长度为100 m ，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )A ．弹射器的推力大小为1.1×106 NB ．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 JC ．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 WD ．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s 2答案 ABD解析 设总推力为F ，位移x ＝100 m ，阻力F 阻＝20%F ，对舰载机加速过程由动能定理得Fx －20%F ·x ＝12m v 2，解得F ＝1.2×106 N ，弹射器推力F 弹＝F －F 发＝1.2×106 N －1.0×105 N ＝1.1×106 N ，A 正确；弹射器对舰载机所做的功为W ＝F 弹·x ＝1.1×106×100 J ＝1.1×108 J ，B 正确；弹射器对舰载机做功的平均功率P ＝F 弹·0＋v 2＝4.4×107 W ，C 错误；根据运动学公式v 2＝2ax ，得a ＝v 22x ＝32 m/s 2，D 正确． 4．山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动．一滑雪道ABC 的底部是一个半径为R 的圆，圆与雪道相切于C 点，C 的切线沿水平方向，到水平雪地之间是高为H 的峭壁，D 是圆的最高点，如图12所示．运动员从A 点由静止下滑，刚好经过圆轨道最高点D 旋转一周，再滑到C 点后被水平抛出，当抛出时间为t 时，迎面遭遇一股强风，最终运动员落到了雪地上，落地时速度大小为v .已知运动员连同滑雪装备总质量为m ，重力加速度为g ，不计遭遇强风前的空气阻力和雪道间的摩擦阻力，求：图12(1)运动员刚好能过D 点，AC 的高度差h ；(2)运动员刚遭遇强风时的速度大小及距地面的高度；(3)强风对运动员所做的功．答案 (1)52R (2)5gR ＋g 2t 2 H －12gt 2 (3)12m v 2－mg (H ＋52R ) 解析 (1)运动员刚好做圆周运动的速度满足mg ＝m v 2D R由动能定理得mg (h －2R )＝12m v 2D 联立解得h ＝52R (2)运动员做平抛运动，在竖直方向的速度v ′＝gt从A 到C 由动能定理得mg ·52R ＝12m v 20 v 1＝v 20＋v ′2＝5gR ＋g 2t 2下落高度为h 1＝12gt 2 距地面高度为h 2＝H －h 1＝H －12gt 2 (3)由动能定理得W f ＋mg (H ＋52R )＝12m v 2 W f ＝12m v 2－mg (H ＋52R ) 第二讲 机械能守恒定律考点一 机械能守恒的判断【1】考点逐项排查（基础层）1．重力做功与重力势能(1)重力做功的特点 重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关．(2)重力做功与重力势能变化的关系①定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加．②定量关系：物体从位置A到位置B时，重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即W G＝－ΔE p.③重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关．2．弹性势能(1)定义发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能．(2)弹力做功与弹性势能变化的关系①弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系．②对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能越大．3．机械能动能、重力势能和弹性势能统称为机械能．4．机械能守恒定律内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．5．机械能守恒的条件(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化．【思维深化】判断下列说法是否正确．(1)克服重力做功，物体的重力势能一定增加．(√)(2)发生弹性形变的物体都具有弹性势能．(√)(3)弹簧弹力做正功时，弹性势能增加．(×)(4)物体速度增大时，其机械能可能在减小．(√)(5)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒．(×)(6)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化．(×)(7)物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒．(√)【2】题组阶梯突破（应用层）1．[机械能守恒的判断]下列关于机械能守恒的说法中正确的是()A．做匀速运动的物体，其机械能一定守恒B．物体只受重力，机械能才守恒C．做匀速圆周运动的物体，其机械能一定守恒D．除重力做功外，其他力不做功，物体的机械能一定守恒答案 D解析匀速运动所受合外力为零，但除重力外可能有其他力做功，如物体在阻力作用下匀速向下运动，其机械能减少了，A错．物体除受重力或弹力也可受其他力，只要其他力不做功或做功的代数和为零，机械能也守恒，B错．匀速圆周运动物体的动能不变，但势能可能变化，故C错．由机械能守恒条件知，选项D正确．2．[机械能守恒的判断](多选)如图1所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()图1A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒B．乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒答案CD解析甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错．乙图中物体B除受重力外，还受到弹力和摩擦力作用，弹力不做功，但摩擦力做负功，物体B的机械能不守恒，B错．丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，C对．丁图中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，D对．3．[机械能守恒的判断]如图2所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直时处于原长h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中()图2。
第2讲 动能和动能定理【课程标准】 1.理解动能和动能定理。
2.能用动能定理解释生产生活中的现象。
【素养目标】物理观念：了解动能的概念和动能定理的内容。
科学思维：会用动能定理分析曲线运动、多过程运动问题。
一、动能 定义 物体由于运动而具有的能公式 E k ＝21mv 2矢标性 动能是标量，只有正值，动能与速度方向无关状态量 动能是状态量，因为v 是瞬时速度 相对性 由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性动能的 变化物体末动能与初动能之差，即ΔE k ＝12 mv 22 －12mv 21 。
动能的变化是过程量命题·生活情境滑滑梯是小朋友的乐趣所在，如图所示为一滑梯的实物图，水平段与斜面段平滑连接。
某小朋友从滑梯顶端由静止开始滑下，经斜面底端后水平滑行一段距离，停在水平滑道上。
整个过程小朋友的动能如何变化？ 提示：先增大后减小，最后变为0。
二、动能定理命题·科技情境荷兰埃因霍芬理工大学的太阳能团队研发出一款太阳能房车，车顶上配有一个8.8平方米的太阳能电池板，搭配60 kW·h的锂离子电池，最高时速可达120 km。
在晴朗的阳光下，该车一天可以行驶约730 km，而在电池充满电后，夜间行驶的续航里程也可以达到600 km。
(1)该款房车的能量转化关系是什么？提示：太阳能转化为电能，电能转化为动能和内能。
(2)若该款房车的质量为m，以恒定功率P启动，经时间t速度达到最大v，则房车受到的阻力在此过程中做的功是多少？提示：12mv2－Pt。
角度1 动能(1)质量大的物体，动能一定大。
( ×)(2)速度方向变化，物体的动能一定变化。
( ×)(3)动能不变的物体一定处于平衡状态。
( ×)角度2 动能定理(4)如果物体所受的合外力不为零，那么合外力对物体做的功一定不为零。
( ×)(5)合外力做功是物体动能变化的原因。
( √ ) (6)动能定理只适用于同时作用的力做功。
第2讲 动能定理及应用一、动能1.定义：物体由于运动而具有的能.2.公式：E k ＝12m v 2.3.单位：焦耳，1 J ＝1 N·m ＝1 kg·m 2/s 2.4.标矢性：动能是标量，动能与速度方向无关.5.动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔE k ＝12m v 22－12m v 12.二、动能定理1.内容：在一个过程中合力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化.2.表达式：W ＝ΔE k ＝E k2－E k1＝12m v 22－12m v 12.3.物理意义：合力的功是物体动能变化的量度.4.适用条件：(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动. (2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功.(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段作用.如图1所示，物块沿粗糙斜面下滑至水平面；小球由内壁粗糙的圆弧轨道底端运动至顶端(轨道半径为R ).图1对物块有W G ＋W f1＋W f2＝12m v 2－12m v 02对小球有－2mgR ＋W f ＝12m v 2－12m v 02自测1 (多选)关于动能定理的表达式W ＝E k2－E k1，下列说法正确的是( ) A.公式中的W 为不包含重力的其他力做的总功B.公式中的W 为包含重力在内的所有力做的功，也可通过以下两种方式计算：先求每个力的功再求功的代数和或先求合外力再求合外力的功C.公式中的E k2－E k1为动能的增量，当W>0时动能增加，当W<0时，动能减少D.动能定理适用于直线运动，但不适用于曲线运动，适用于恒力做功，但不适用于变力做功自测2关于运动物体所受的合外力、合外力做的功及动能变化的关系，下列说法正确的是()A.合外力为零，则合外力做功一定为零B.合外力做功为零，则合外力一定为零C.合外力做功越多，则动能一定越大D.动能不变，则物体所受合外力一定为零命题点一对动能定理的理解1.动能定理表明了“三个关系”(1)数量关系：合外力做的功与物体动能的变化具有等量代换关系，但并不是说动能变化就是合外力做的功.(2)因果关系：合外力做功是引起物体动能变化的原因.(3)量纲关系：单位相同，国际单位都是焦耳.2.标量性动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方向的选取问题.当然动能定理也就不存在分量的表达式.例1(多选)如图2所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B，由于A、B间摩擦力的作用，A将在B上滑动，以地面为参考系，A、B都向前移动一段距离.在此过程中()图2A.外力F做的功等于A和B动能的增量B.B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量C.A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功D.外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和变式1 (多选)质量为m 的物体在水平力F 的作用下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v ，再前进一段距离使物体的速度增大为2v ，则( ) A.第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量 B.第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍 C.第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功 D.第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍命题点二 动能定理的基本应用1.应用流程2.注意事项(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系.(2)应用动能定理的关键在于准确分析研究对象的受力情况及运动情况，可以画出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系.(3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；也可以全过程应用动能定理.(4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功，最后根据结果加以检验.例2 (多选)(2016·全国卷Ⅲ·20)如图3所示，一固定容器的内壁是半径为R 的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m 的质点P .它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W .重力加速度大小为g .设质点P 在最低点时，向心加速度的大小为a ，容器对它的支持力大小为N ，则( )图3A.a ＝2(mgR －W )mRB.a ＝2mgR －W mRC.N ＝3mgR －2W RD.N ＝2(mgR －W )R例3 (2017·上海单科·19)如图4所示，与水平面夹角θ＝37°的斜面和半径R ＝0.4 m 的光滑圆轨道相切于B 点，且固定于竖直平面内.滑块从斜面上的A 点由静止释放，经B 点后沿圆轨道运动，通过最高点C 时轨道对滑块的弹力为零.已知滑块与斜面间动摩擦因数μ＝0.25.(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：图4(1)滑块在C 点的速度大小v C ； (2)滑块在B 点的速度大小v B ； (3)A 、B 两点间的高度差h .变式2 (2016·天津理综·10)我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一.如图5所示，质量m ＝60 kg 的运动员从长直助滑道AB 的A 处由静止开始以加速度a ＝3.6 m/s 2匀加速滑下，到达助滑道末端B 时速度v B ＝24 m/s ，A 与B 的竖直高度差H ＝48 m ，为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C 处附近是一段以O 为圆心的圆弧.助滑道末端B 与滑道最低点C 的高度差h ＝5 m ，运动员在B 、C 间运动时阻力做功W ＝－1 530 J ，取g ＝10 m/s 2.图5(1)求运动员在AB 段下滑时受到阻力F f 的大小；(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C 点所在圆弧的半径R 至少应为多大.命题点三 动能定理与图象问题的结合1.解决物理图象问题的基本步骤(1)观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义.(2)根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式.(3)将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点、图线下的面积所对应的物理意义，分析解答问题，或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量. 2.图象所围“面积”的意义(1)v －t 图象：由公式x ＝v t 可知，v －t 图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移. (2)a －t 图象：由公式Δv ＝at 可知，a －t 图线与坐标轴围成的面积表示物体速度的变化量. (3)F －x 图象：由公式W ＝Fx 可知，F －x 图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功. (4)P －t 图象：由公式W ＝Pt 可知，P －t 图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功.例4 如图6甲所示，在倾角为30°的足够长的光滑斜面AB 的A 处连接一粗糙水平面OA ，OA 长为4 m.有一质量为m 的滑块，从O 处由静止开始受一水平向右的力F 作用.F 只在水平面上按图乙所示的规律变化.滑块与OA 间的动摩擦因数μ＝0.25，g 取10 m/s 2，试求：图6(1)滑块运动到A 处的速度大小；(2)不计滑块在A 处的速率变化，滑块冲上斜面AB 的长度是多少？变式3 (多选)质量为m 的物体放在水平面上，它与水平面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g .用水平力拉物体，运动一段时间后撤去此力，最终物体停止运动.物体运动的v －t 图象如图7所示.下列说法正确的是( )图7A.水平拉力大小为F ＝m v 0t 0B.物体在3t 0时间内位移大小为32v 0t 0C.在0～3t 0时间内水平拉力做的功为12m v 02D.在0～3t 0时间内物体克服摩擦力做功的平均功率为12μmg v 0变式4(2018·湖北黄石调研)用传感器研究质量为2 kg的物体由静止开始做直线运动的规律时，在计算机上得到0～6 s内物体的加速度随时间变化的关系如图8所示.下列说法正确的是()图8A.0～6 s内物体先向正方向运动，后向负方向运动B.0～6 s内物体在4 s时的速度最大C.物体在2～4 s时的速度不变D.0～4 s内合力对物体做的功等于0～6 s内合力对物体做的功命题点四动能定理在多过程问题中的应用例5(2017·河北唐山模拟)如图9所示，装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度x＝5 m，轨道CD足够长且倾角θ＝37°，A、D两点离轨道BC的高度分别为h1＝4.30 m、h2＝1.35 m.现让质量为m的小滑块(可视为质点)自A点由静止释放.已知小滑块与轨道BC间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：图9(1)小滑块第一次到达D点时的速度大小；(2)小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔；(3)小滑块最终停止的位置距B点的距离.答案(1)3 m/s(2)2 s(3)1.4 m变式5(2015·福建理综·21)如图10所示，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，BC段是长为L的水平粗糙轨道，两段轨道相切于B点.一质量为m的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g.图10(1)若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力；(2)若不固定小车，滑块仍从A 点由静止下滑，然后滑入BC 轨道，最后从C 点滑出小车.已知滑块质量m ＝M2，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC 间的动摩擦因数为μ，求：①滑块运动过程中，小车的最大速度大小v m ； ②滑块从B 到C 运动过程中，小车的位移大小s .1.(多选)(2017·山师大附中模拟)质量不等，但有相同动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平地面上滑行，直至停止，则( ) A.质量大的物体滑行的距离大 B.质量小的物体滑行的距离大 C.它们滑行的距离一样大D.它们克服摩擦力所做的功一样多解析 根据动能定理－μmg ·s ＝0－E k0，所以质量小的物体滑行的距离大，并且它们克服摩擦力所做的功在数值上都等于初动能的大小，B 、D 选项正确.2.一个质量为25 kg 的小孩从高度为3.0 m 的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0 m/s.g 取10 m/s 2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是( ) A.合外力做功50 J B.阻力做功500 J C.重力做功500 J D.支持力做功50 J3.(2016·全国卷Ⅲ·16)一质点做速度逐渐增大的匀加速直线运动，在时间间隔t 内位移为s ，动能变为原来的9倍.该质点的加速度为( ) A.s t 2 B.3s 2t 2 C.4s t 2 D.8s t 24.在离地面高为h 处竖直上抛一质量为m 的物块，抛出时的速度为v 0，当它落到地面时的速度为v ，用g 表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于( ) A.mgh －12m v 2－12m v 02B.－12m v 2－12m v 02－mghC.mgh ＋12m v 02－12m v 2D.mgh ＋12m v 2－12m v 025.静止在粗糙水平面上的物块在水平向右的拉力作用下做直线运动，t ＝4 s 时停下，其v －t 图象如图1所示，已知物块与水平面间的动摩擦因数处处相同，则下列判断正确的是( )图1A.整个过程中拉力做的功等于物块克服摩擦力做的功B.整个过程中拉力做的功等于零C.t ＝2 s 时刻拉力的瞬时功率在整个过程中最大D.t ＝1 s 到t ＝3 s 这段时间内拉力不做功6.(多选)质量为1 kg 的物体静止在水平粗糙的地面上，在一水平外力F 的作用下运动，如图2甲所示，外力F 对物体所做的功、物体克服摩擦力F f 做的功W 与物体位移x 的关系如图乙所示，重力加速度g 取10 m/s 2.下列分析正确的是( )图2A.物体与地面之间的动摩擦因数为0.2B.物体运动的位移为13 mC.物体在前3 m 运动过程中的加速度为3 m/s 2D.x ＝9 m 时，物体的速度为3 2 m/s7.(多选)质量为2 kg的物体，放在动摩擦因数μ＝0.1的水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，水平拉力做的功W和物体发生的位移x之间的关系如图3所示，重力加速度g 取10 m/s2，则此物体()图3A.在位移x＝9 m时的速度是3 3 m/sB.在位移x＝9 m时的速度是3 m/sC.在OA段运动的加速度是2.5 m/s2D.在OA段运动的加速度是1.5 m/s28.(多选)(2018·河南安阳质检)一质量为2 kg的物体，在水平恒定拉力的作用下以一定的初速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图4中给出了拉力随位移变化的关系图象.已知重力加速度g取10 m/s2，由此可知()图4A.物体与水平面间的动摩擦因数为0.35B.减速过程中拉力对物体所做的功约为12 JC.匀速运动时的速度约为6 m/sD.减速运动的时间约为1.7 s9.(多选)如图5所示，竖直平面内有一个半径为R的半圆形轨道OQP，其中Q是半圆形轨道的中点，半圆形轨道与水平轨道OE在O点相切，质量为m的小球沿水平轨道运动，通过O 点后进入半圆形轨道，恰好能够通过最高点P，然后落到水平轨道上，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是(g为重力加速度)()图5A.小球落地时的动能为52mgRB.小球落地点离O 点的距离为2RC.小球运动到半圆形轨道最高点P 时，向心力恰好为零D.小球到达Q 点的速度大小为3gR10.(多选)太阳能汽车是靠太阳能来驱动的汽车.当太阳光照射到汽车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动汽车前进.设汽车在平直的公路上由静止开始匀加速行驶，经过时间t ，速度为v 时达到额定功率，并保持不变.之后汽车又继续前进了距离s ，达到最大速度v max .设汽车质量为m ，运动过程中所受阻力恒为F f ，则下列说法正确的是( ) A.汽车的额定功率为F f v maxB.汽车匀加速运动过程中，克服阻力做功为F f v tC.汽车从静止开始到速度达到最大值的过程中，克服摩擦力所做的功为12m v max 2－12m v 2D.汽车从静止开始到速度达到最大值的过程中，合力所做的功为12m v max 211.(2017·全国卷Ⅱ·24)为提高冰球运动员的加速能力，教练员在冰面上与起跑线相距s 0和s 1(s 1<s 0)处分别设置一个挡板和一面小旗，如图6所示.训练时，让运动员和冰球都位于起跑线上，教练员将冰球以速度v 0击出，使冰球在冰面上沿垂直于起跑线的方向滑向挡板；冰球被击出的同时，运动员垂直于起跑线从静止出发滑向小旗.训练要求当冰球到达挡板时，运动员至少到达小旗处.假定运动员在滑行过程中做匀加速运动，冰球到达挡板时的速度为v 1.重力加速度为g .求：图6(1)冰球与冰面之间的动摩擦因数； (2)满足训练要求的运动员的最小加速度.⑥12.如图7所示，装置ABCDE固定在水平地面上，AB段为倾角θ＝53°的斜面，BC段为半径R＝2 m的圆弧轨道，两者相切于B点，A点离地面的高度为H＝4 m.一质量为m＝1 kg的小球从A点由静止释放后沿着斜面AB下滑，当进入圆弧轨道BC时，由于BC段是用特殊材料制成的，导致小球在BC段运动的速率保持不变.最后，小球从最低点C水平抛出，落地速率为v＝7 m/s.已知小球与斜面AB之间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，求：图7(1)小球从B点运动到C点克服阻力所做的功；(2)B点到水平地面的高度；(3)小球运动到C点时的速度大小.。
