函数基本性质
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函数的基本性质其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
函数表⽰每个输⼊值对应唯⼀输出值的⼀种对应关系。
函数f中对应输⼊值x的输出值的标准符号为f(x)。
性质有界性设函数f(x)在区间X上有定义,如果存在M>0,对于⼀切属于区间X上的x,恒有|f(x)|≤M,则称f(x)在区间X上有界,否则称f(x)在区间上⽆界。
单调性设函数f(x)的定义域为D,区间I包含于D。
如果对于区间上任意两点x1及x2,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调递增的;如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时,恒有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。
单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
奇偶性设为⼀个实变量实值函数,若有f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数。
⼏何上,⼀个奇函数关于原点对称,亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例⼦有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。
设f(x)为⼀实变量实值函数,若有f(x)=f(-x),则f(x)为偶函数。
⼏何上,⼀个偶函数关于y轴对称,亦即其图在对y轴映射后不会改变。
偶函数的例⼦有|x|、x2、cos(x)和cosh(x)。
偶函数不可能是个双射映射。
连续性在数学中,连续是函数的⼀种属性。
直观上来说,连续的函数就是当输⼊值的变化⾜够⼩的时候,输出的变化也会随之⾜够⼩的函数。
如果输⼊值的某种微⼩的变化会产⽣输出值的⼀个突然的跳跃甚⾄⽆法定义,则这个函数被称为是不连续的函数(或者说具有不连续性)。
函数五大性质函数的五大性质是指函数的基本性质,它们是:平稳性、单调性、有界性、可导性和连续性。
掌握了这五大性质,将有助于我们更好地理解和研究函数,以及求解方程等。
平稳性是指在函数域上,如果一个函数的值有限,那么它的极限为零。
这意味着函数的值不会随着变量的变化而发生显著变化。
例如,在函数 x2 + 2x 上,当 x化时,该函数的值变化不大。
单调性是指在函数域上,如果一个函数的值是递增的(或者函数的值是递减的),那么该函数就是单调的。
这样的函数不会随着变量的变化而发生明显的变化;例如,函数 f (x) = x2 + 2x x限增大时,该函数的值会逐渐增加,因此该函数是单调的。
有界性是指在函数域上,如果函数的值是有限的,那么该函数就是有界的。
例如,函数 f (x) = x2 + 2x有有界性,因为它的值介于 0 ~ 10 之间,不能变得无限大。
可导性是指在函数域上,函数的导数不为零,那么该函数就是可导的。
例如,函数 f (x) = x2 + 2x有可导性,因为它的导数不为零,且为 f x) = 2x + 2。
连续性是指在函数域上,如果函数在相邻的点上具有定义,那么该函数就是连续的。
例如,函数 f (x) = x2 + 2x有连续性,因为它在每个数值处都具有定义。
在数学中,函数具有五大性质。
这些性质有助于我们更好地理解和研究函数,以及求解方程等。
函数的五大性质是平稳性、单调性、有界性、可导性和连续性,在函数域上,如果某种函数具备这五种性质,那么它就是一个理想的定义函数。
五大性质是数学中最重要的几个素材之一,即使在初等数学中也有应用。
比如,运用有界性可以快速解决定积分的问题,而运用连续性可以检验初等函数的连续性。
深入学习函数的五大性质,可以让我们对函数有更深刻的理解,从而更加熟练地操作和使用函数。
因此,了解函数的五大性质,对我们学习数学具有极大的帮助,这些性质可以作为解决各种数学问题的一个重要参考,为我们的学习和研究提供了很大的帮助。
第四讲 函数的基本性质.函数的单调性概念(1)增函数和减函数的概念如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性.区间D 叫做函数y =f (x )的单调区间. (3)函数的单调性等价变形 设[]2121,,x x b a x x ≠∈,那么 ①[]1212()()()0x x f x f x --> ⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数;②[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.2.运算法则:如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则(1)增函数+增函数是增函数;(2)减函数+减函数是减函数;(3)增函数-减函数是增函数;(4)减函数-增函数是减函数;3.常见函数的单调性:(1)一次函数b kx y +=,当0>k 时,在区间),(+∞-∞上是增函数,当0<k 时,在区间),(+∞-∞上是减函数;(2)反比例函数xky =,当0>k 时,在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是减函数,当0<k 时,在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是增函数(3)二次函数c bx ax y ++=2,当0>a 时,在区间)2,(ab--∞是减函数,在区间),2(+∞-a b 是增函数,当0<a 时,在区间)2,(a b --∞是增函数,在区间),2(+∞-ab是减函数.4.函数单调性判定方法①定义法:取值、作差、变形、定号、下结论 ②运算法则法④图像法,利用图像研究函数的单调性.1.根据函数的单调性的定义,证明函数1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。
2.判断函数)0()(>+=p xpx x f 的单调性3.根据函数的单调性的定义,证明函数x x x f -+=1)(2在),(+∞-∞上是减函数。
函数的基本性质(函数的单调性、奇偶性、周期性)一、函数单调性 1、可以从三个方面理解(1)图形刻画:对于给定区间上的函数()f x ,函数图象如从左向右连续上升,则称函数在该区间上单调递增;函数图象如从左向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减。
(2)定性刻画:对于给定区间上的函数()f x ,如函数值随自变量的增大而增大,则称函数在该区间上单调递增;如函数值随自变量的增大而减小,则称函数在该区间上单调递减。
(3)定量刻画,即定义。
2、判断增函数、减函数的方法:①定义法:一般地,对于给定区间上的函数()f x ,如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值1x 、2x ,当21x x <时,都有()()21x f x f <〔或都有()()21x f x f >〕,那么就说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。
与之相等价的定义: ⑴()()02121>--x x x f x f ,〔或都有()()02121<--x x x f x f 〕则说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。
其几何意义为:增(减)函数图象上的任意两点()()()()2211,,,x f x x f x 连线的斜率都大于(或小于)0。
⑵()()()[]02121>--x f x f x x ,〔或都有()()()[]02121<--x f x f x x 〕则说()f x 在这个区间上是增函数(或减函数)。
②导数法:一般地,对于给定区间上的函数()f x ,如果()0`>x f 那么就说()f x 在这个区间上是增函数;如果()0`<x f 那么就说()f x 在这个区间上是减函数;如果函数()x f y =在某个区间上是增函数(或减函数),就说()f x 在这一区间上具有(严格的)单调性,这一区间叫做()f x 的单调区间。
如函数是增函数则称区间为增区间,如函数为减函数则称区间为减区间。
函数的基本性质及常用结论一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势,高考中常考其一下作用:比较大小,解不等式,求最值。
定义:(略)定理1:[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数; []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 定理2:(导数法确定单调区间) 若[]b a x ,∈,那么()[]b a x f x f ,)(0在⇔>'上是增函数; ()[]b a x f x f ,)(0在⇔<'上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =,如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性,当(),x a b ∈时(),u m n ∈,且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性,则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x 和()g x ,若它们的定义域分别为I 和J ,且I J ⋂≠∅:(1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时,①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同,②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定; (2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时,我们假设()f x 为增函数,()g x 为减函数,那么:①1()()()F x f x g x =+、②2()()()F x f x g x =⋅、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()()(()0)()g x F x f x f x =≠的增减性不能确定;③3()()()F x f x g x =-为增函数。
函数是数学中一种重要的概念,它具有一些重要的性质。
常见的函数性质包括:
1.单调性:函数在定义域内单调递增或递减。
2.可导性:函数在定义域内可导。
3.可积性:函数在定义域内可积。
4.可逆性:函数在定义域内可逆。
5.可微性:函数在定义域内可微。
6.可解析性:函数在定义域内可解析。
7.持久性:函数在定义域内持久,即函数的值在定义域内不会突然变化。
8. 函数的值域:函数的值域是函数在定义域内所有可能取到的值的集合。
9. 函数的导函数:函数在定义域内可导,那么它就有导函数,并且导函数是唯一的。
10. 函数的导数:函数的导数描述了函数在某一点处的变化率。
这些性质对于理解和分析函数具有重要的意义。
不同的函数具有不同的性质,因此在研究和使用函数时需要结合具体情况来考虑这些性质。
备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质(函数的奇偶性、对称性、周期性)灵活应用一.函数的周期性(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)即可.(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数的局部性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.函数y=f(x)满足:(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的周期为2a;(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的周期为2a;(3)若f(x+a)=-1f(x),则函数的周期为2a;(4)若f(x+a)=1f(x),则函数的周期为2a;(5)若函数f(x)关于直线x=a与x=b对称,那么函数f(x)的周期为2|b-a|;(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是2|b-a|;(7)若函数f(x)关于直线x=a对称,又关于点(b,0)对称,则函数f(x)的周期是4|b-a|;(8)若函数f(x)是偶函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为2a;(9)若函数f(x)是奇函数,其图象关于直线x=a对称,则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系:(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;一般的,若对于R上的任意x都有f(a-x)=f(a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若函数y=f(x+a)是奇函数,即f(-x+a)+f(x+a)=0,则函数y =f (x )关于点(a ,0)中心对称;一般的,若对于R 上的任意x 都有f (-x +a )+f (x +a )=2b , 则y =f (x )的图象关于点(a ,b )中心对称.2. 函数对称性、周期性间关系:若函数有多重对称性,则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍, 为相邻对称中心距离的2倍,为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍. (注:如果遇到抽象函数给出类似性质,可以联想y =sin x ,y =cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性(中心对称、轴对称),有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ,都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+x =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x ,函数f (x +1)是奇函数,当-12≤x ≤12时,f (x )=2x ,则方程f (x )=-12在区间[-3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+x =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x 对任意的x ∈R 恒成立,得f (x )关于直线x =12对称,由函数f (x +1)是奇函数,f (x )关于点(1,0)中心对称,根据函数对称性、周期性间关系,知函数f (x )的周期为2,作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x +1)是奇函数,所以f (-x +1)=-f (x +1),又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+x = f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x ,所以f (1-x )=f (x ),所以f (x +1)=-f (x ),即f (x +2)=-f (x +1)=f (x ), 所以 函数f (x )的周期为2,且图象关于直线x =12对称.作出函数f (x )的图象如图所示,由图象可得f (x )=-12在区间[-3,5]内有8个零点,且所有根之和为12×2×4=4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y =f (x )(x ∈R)在区间[-1,0]上单调递增,且满足f (1-x )+f (1+x )=0,给出下列判断:①f (5)=0; ②f (x )在[1,2]上是减函数; ③函数f (x )没有最小值; ④函数f (x )在x =0处取得最大值; ⑤f (x )的图象关于直线x =1对称. 其中正确的序号是________.解:因为f (1-x )+f (1+x )=0,所以f (1+x )=-f (1-x )=-f (x -1),所以f (2+x )=-f (x ),所以f (x +4)=f (x ),即函数f (x )是周期为4的周期函数.由题意知,函数y =f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称,画出满足条件的图象如图所示,结合图象可知①②④正确.答案:①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足:当(]1,0x ∈-时,()2x f x =,且()1f x +的图像关于原点对称,则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .2B C .2-D .【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知,函数的周期;根据周期性及()1f x +为奇函数,可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.解:由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称,所以函数()f x 的周期为4,则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x -1)=f (x +1),且当x ∈[-1,1]时,f (x )=x ⎝⎛⎭⎫1-2e x +1,则( )A .f (-3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B .f ⎝⎛⎭⎫52<f (-3)<f (2)C .f (2)<f (-3)<f ⎝⎛⎭⎫52D .f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (-3) 解: ∵f (x -1)=f (x +1),则函数f (x )的周期T =2.当x ∈[-1,1]时,f (x )=x ⎝⎛⎭⎫1-2e x +1=x ·e x-1e x +1,则f (-x )=-x ·e -x -1e -x +1=-x ·1-e x 1+e x =x ·e x -1e x +1=f (x ),则函数f (x )为偶函数,因此f ⎝⎛⎭⎫52=f ⎝⎛⎭⎫12,f (-3)=f (-1)=f (1),f (2)=f (0). 当0 ≤x ≤1时,函数y =x 与y =1-2e x +1均为增函数且都不小于0, 所以f (x )=x ⎝⎛⎭⎫1-2e x +1在区间[0,1]上是增函数,∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0),即f (-3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2). 答案:D4.(2018年全国2卷)已知是定义域为的奇函数,满足.若,则A.B. 0C. 2D. 50分析:先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期,再根据周期以及对应函数值求结果. 解:因为是定义域为的奇函数,且,所以,因此,因为,所以,,从而,选C.【答案】C点睛:函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f (x )=3x -1,则f ⎝⎛⎭⎫2 0192=( )A.3+1B.3-1 C .-3-1D .-3+1解:由题可知f (x +2)=f (x )=-f (-x ),所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192=f ⎝⎛⎭⎫1 008+32=f ⎝⎛⎭⎫32=-f ⎝⎛⎭⎫-32=-f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时,f (x )=3x -1,所以f ⎝⎛⎭⎫12=3-1,则f ⎝⎛⎭⎫2 0192=-f ⎝⎛⎭⎫12=-3+1. 答案:D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数,若f (1)<1,f (5)=2a -3a +1,则实数a 的取值范围为______ 解:∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数,∴f (5)=f (5-6)=f (-1)=f (1),∵f (1)<1,f (5)=2a -3a +1, ∴2a -3a +1<1,即a -4a +1<0,解得-1<a <4. 答案:(-1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-4x 2+2,-1≤x <0,x ,0≤x <1,则f ⎝⎛⎭⎫32=________. 解:∵f (x )的周期为2,∴f ⎝⎛⎭⎫32=f ⎝⎛⎭⎫-12, 又∵当-1≤x <0时,f (x )=-4x 2+2, ∴f ⎝⎛⎭⎫32=f ⎝⎛⎭⎫-12=-4×⎝⎛⎭⎫-122+2=1. 答案:18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x (1-x ),0≤x ≤1,sin πx ,1<x ≤2,则f ⎝⎛⎭⎫294+f ⎝⎛⎭⎫416=________. 解:由于函数f (x )是周期为4的奇函数,所以f ⎝⎛⎭⎫294+f ⎝⎛⎭⎫416=f ⎝⎛⎭⎫2×4-34+f ⎝⎛⎭⎫2×4-76=f ⎝⎛⎭⎫-34+f ⎝⎛⎭⎫-76=-f ⎝⎛⎭⎫34-f ⎝⎛⎭⎫76 =-316+sin π6=516.答案:5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +2)=-f (x ),当2≤x ≤3时,f (x )=x ,则f (105.5)=________.解:由f (x +2)=-f (x ),得f (x +4)=f [(x +2)+2]=-f (x +2)=-[-f (x )]=f (x ),所以函数f (x )的周期为4,∴f (105.5)=f (4×27-2.5)=f (-2.5)=f (2.5)=2.5. 答案:2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数,且满足f (1)=1,f (2)=2,则f (3)-f (4)=________. 解:由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)=f (-2)=-f (2)=-2,f (4)=f (-1)=-f (1)=-1, ∴f (3)-f (4)=-1.答案:-111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)=15,且对任意的x 都有f (x +3)=-1f (x ),则f (8)=________;f (2 015)=________. 解:由f (x +3)=-1f (x ),得f (x +6)=-1f (x +3)=f (x ), 故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)=f (2)=15,f (2 015)=f (6×335+5)=f (5)=-1f (2)=-115=-5.答案:15;-513.奇函数f (x )的周期为4,且x ∈[0,2],f (x )=2x -x 2,则f (2 018)+f (2 019)+f (2 020)的值为________.解:函数f (x )是奇函数,则f (0)=0,由f (x )=2x -x 2,x ∈[0,2]知f (1)=1,f (2)=0,又f (x )的周期为4,所以f (2 018)+f (2 019)+f (2 020)=f (2)+f (3)+f (0)=f (3)=f (-1)=-f (1)=-1. 答案:-114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数,当x ∈[0,1)时,f (x )=lg(x +1),则f ⎝⎛⎭⎫2 0165+lg 18=________.解:由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165=f ⎝⎛⎭⎫65=f ⎝⎛⎭⎫-45=-f ⎝⎛⎭⎫45, 又当x ∈[0,1)时,f (x )=lg(x +1), 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165=-f ⎝⎛⎭⎫45=-lg 95=lg 59, 故f ⎝⎛⎭⎫2 0165+lg 18=lg 59+lg 18=lg 10=1. 答案:115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件:①f (x )+f (-x )=0;②f (x )=f (x +2);③当0≤x ≤1时,f (x )=2x -1.则f ⎝⎛⎭⎫12+f (1)+f ⎝⎛⎭⎫32+f (2)+f ⎝⎛⎭⎫52=________. 解析:依题意知:函数f (x )为奇函数且周期为2,则f ⎝⎛⎭⎫12+f (1)+f ⎝⎛⎭⎫32+f (2)+f ⎝⎛⎭⎫52=f ⎝⎛⎭⎫12+f (1)+f ⎝⎛⎭⎫-12+f (0)+f ⎝⎛⎭⎫12 =f ⎝⎛⎭⎫12+f (1)+f (0)=212-1+21-1+20-1= 2. 答案: 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +1,-1≤x <0,bx +2x +1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12=f ⎝⎛⎭⎫32,则a +3b 的值为________.解:因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,所以f ⎝⎛⎭⎫32=f ⎝⎛⎭⎫-12,且f (-1)=f (1),故f ⎝⎛⎭⎫12=f ⎝⎛⎭⎫-12,从而12b +212+1=-12a +1, 即3a +2b =-2.① 由f (-1)=f (1),得-a +1=b +22, 即b =-2a .② 由①②得a =2,b =-4,从而a +3b =-10. 答案:-1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x <2时,f (x )=x 3-x ,则函数y =f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解:因为当0≤x <2时,f (x )=x 3-x ,又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数,且f (0)=0,所以f (6)=f (4)=f (2)=f (0)=0.又f (1)=0,所以f (3)=f (5)=0.故函数y =f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案:718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且对任意的x ∈R 恒有f (x +1)=f (x -1),已知当x ∈[0,1]时,f (x )=2x ,则有 ①2是函数f (x )的周期;②函数f (x )在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ③函数f (x )的最大值是1,最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解:在f (x +1)=f (x -1)中,令x -1=t ,则有f (t +2)=f (t ),因此2是函数f (x )的周期,故①正确;当x ∈[0,1]时,f (x )=2x 是增函数,根据函数的奇偶性知,f (x )在[-1,0]上是减函数,根据函数的周期性知, 函数f (x )在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数,故②正确;由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max =f (1)=2,f (x )的最小值f (x )min =f (0)=f (2)=20=1, 且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2,最小值是1,故③错误. 答案:①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +1)=-f (x ),且在[0,1)上单调递增,记a =f ⎝⎛⎭⎫12,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.a >b =c B.b >a =c C.b >c >a D.a >c >b解:依题意得,f (x +2)=-f (x +1)=f (x ),即函数f (x )是以2为周期的函数,f (2)=f (0)=0,又f (3)=-f (2)=0,且f (x )在[0,1)上是增函数, 于是有f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)=f (2)=f (3),即a >b =c . 答案:A2.奇函数f (x )的定义域为R ,若f (x +1)为偶函数,且f (1)=2,则f (4)+f (5)的值为( )A .2B .1C .-1D .-2解:设g (x )=f (x +1),∵f (x +1)为偶函数,则g (-x )=g (x ),即f (-x +1)=f (x +1),∵f (x )是奇函数,∴f (-x +1)=f (x +1)=-f (x -1), 即f (x +2)=-f (x ),f (x +4)=f (x +2+2)=-f (x +2)=f (x ), 则f (4)=f (0)=0,f (5)=f (1)=2,∴f (4)+f (5)=0+2=2,故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数,且f (x +1)=1f (x ),若f (x )在[-1,0]上是减函数, 那么f (x )在[2,3]上是( )A .增函数B .减函数C .先增后减的函数D .先减后增的函数 解:由题意知f (x +2)=1f (x +1)=f (x ),所以f (x )的周期为2, 又函数f (x )是定义域为R 的偶函数,且f (x )在[-1,0]上是减函数, 则f (x )在[0,1]上是增函数,所以f (x )在[2,3]上是增函数.选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x +π)=f (x )+sin x .当0≤x <π时,f (x )=0,则f ⎝⎛⎭⎫23π6=( )A.12B.32 C .0 D .-12解:∵f (x +2π)=f (x +π)+sin(x +π)=f (x )+sin x -sin x =f (x ),∴f (x )的周期T =2π,又∵当0≤x <π时,f (x )=0, ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6=0,∴f ⎝⎛⎭⎫-π6+π=f ⎝⎛⎭⎫-π6+sin ⎝⎛⎭⎫-π6=0, ∴f ⎝⎛⎭⎫-π6=12,∴f ⎝⎛⎭⎫23π6=f ⎝⎛⎭⎫4π-π6=f ⎝⎛⎭⎫-π6=12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ,都有f (x +6)+f (x )=0,y =f (x -1)的图象关于点(1,0)对称,且f (2)=4,则f (2 014)=( )A .0B .-4C .-8D .-16解:由题可知,函数f (x )对任意x ∈R ,都有f (x +6)=-f (x ),∴f(x+12)=f[(x+6)+6]=-f(x+6)=f(x),∴函数f(x)的周期T=12.把y=f(x-1)的图象向左平移1个单位得y=f(x-1+1)=f(x)的图象,关于点(0,0)对称,因此函数f(x)为奇函数,∴f(2 014)=f(167×12+10)=f(10)=f(10-12)=f(-2)=-f(2)=-4,故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2),则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解:依题意,得f(-2+4)=f(-2)+f(2)=f(2),即2f(2)=f(2),f(2)=0,f(x+4)=f(x),f(x)是以4为周期的周期函数,又2014=4×503+2,所以f(2014)=f(2)=0.故选A.答案:A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.-2 B.-1 C.0 D.1解:因为f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0.因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),即函数f(x)的周期为8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x2,则函数y=f(x)-|log5x|的零点个数为( )A.4 B.5 C.8 D.10解:由零点的定义可得f(x)=|log5x|,两个函数图象如图,总共有5个交点,所以共有5个零点。
高中数学必修1函数的基本性质1.奇偶性(1)定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=f (x ),则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质,则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f (x )既是奇函数,又是偶函数。
注意:○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ○2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ○2 确定f (-x )与f (x )的关系; ○3 作出相应结论: 若f (-x ) = f (x ) 或 f (-x )-f (x ) = 0,则f (x )是偶函数;若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x )+f (x ) = 0,则f (x )是奇函数。
(3)简单性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称;②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇2.单调性(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2)),那么就说f (x )在区间D 上是增函数(减函数);注意:○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1<x 2时,总有f (x 1)<f (x 2) (2)如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
第2讲 函数的基本性质一、要点精讲1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ,则称f (x )为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有 ,则称f (x )为偶函数。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否 ○2 确定f (-x )与f (x )的关系; ○3 作出相应结论: 若f (-x ) = f (x ) 或 = 0,则f (x )是偶函数;若f (-x ) =-f (x ) 或 = 0,则f (x )是奇函数。
(3)函数的图像与性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称; 2.单调性(1)定义:注意:① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;② 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1<x 2时,总有f (x 1)<f (x 2) (2)如果函数y =f (x )在某个区间上是 或是 ,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有 ,区间D 叫做y =f (x )的 。
(3)判断函数单调性的方法(ⅰ)定义法:利用定义严格判断(ⅱ)利用已知函数的单调性如若()f x 、)(x g 为增函数,则①()f x +)(x g 为 ;②1()f x 为 (()f x >0);为 (()f x ≥0);④-()f x 为 (ⅲ)利用复合函数【y = f (u ),其中u =g(x ) 】的关系判断单调性:复合函数的单调性法则是“ ” (ⅳ)图象法(ⅴ)利用奇偶函数的性质①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反; 3.最值:利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法:○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; ○2 利用图象求函数的最大(小)值; ○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 4.周期性(1)定义:如果存在一个 常数T ,使得对于函数定义域内的 ,都有 ,则称f (x )为周期函数;(2)f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(Tx f T x f -=+若f (x )的周期中,存在一个最小的正数,则称它为f (x )的最小正周期;②若周期函数f (x )的周期为T ,则f (ωx )(ω≠0)是周期函数,且周期为||ωT 。
三角函数基本性质三角函数是数学中常见的函数类型,它们在解决几何、物理和工程问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三角函数的基本性质,包括定义域、值域、周期性等。
1. 正弦函数(sin)的基本性质:正弦函数的定义域为实数集R,值域为闭区间[-1, 1]。
其图像为一条连续的曲线,通过坐标原点,关于y轴对称。
正弦函数是一个周期函数,其周期为2π(或360度)。
在定义域内,正弦函数是奇函数,即满足sin(-x) = -sin(x)。
2. 余弦函数(cos)的基本性质:余弦函数的定义域为实数集R,值域为闭区间[-1, 1]。
其图像为一条连续的曲线,通过坐标原点,关于x轴对称。
余弦函数也是一个周期函数,其周期为2π(或360度)。
在定义域内,余弦函数是偶函数,即满足cos(-x) = cos(x)。
3. 正切函数(tan)的基本性质:正切函数的定义域为实数集R,在其定义域内,正切函数有无穷多个极值点。
其图像没有定义域内的极值点,但在周期性为π的点处有无穷多个间断点。
正切函数的值域为实数集R。
4. 余切函数(cot)的基本性质:余切函数的定义域为实数集R,在其定义域内,余切函数有无穷多个极值点。
其图像没有定义域内的极值点,但在周期性为π的点处有无穷多个间断点。
余切函数的值域为实数集R。
5. 正割函数(sec)的基本性质:正割函数的定义域为实数集R,其在定义域内没有极值点。
其图像在周期性为2π的点处有无穷多个间断点。
注意到正割函数与余弦函数的关系,即sec(x) = 1/cos(x)。
6. 余割函数(csc)的基本性质:余割函数的定义域为实数集R,其在定义域内没有极值点。
其图像在周期性为2π的点处有无穷多个间断点。
注意到余割函数与正弦函数的关系,即csc(x) = 1/sin(x)。
三角函数的基本性质对于解决几何、物理和工程问题至关重要。
在解决角度、周期性、波动等问题时,我们可以利用这些性质计算和推导。
三角函数还与复数、级数等数学概念有着广泛的联系,为更深入的数学研究提供了基础。
一 函数及其基本性质一、函数概念设集合A 是一个非空的数集,对A 中的任意数x ,按照确定的法则f ,都有唯一确定的数y 与它对应,则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数,记作()y f x =,x A ∈,其中x 叫做自变量,自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域. 如果自变量取值a ,则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值,记作()y f a =所有函数值构成的集合{}|(),y y f x x A =∈叫做这个函数的值域.二、函数的表示方法函数常用的方法有列表法、解析法和图象法三种. 三、函数的奇偶性设函数()y f x =的定义域为D ,如果对D 内的任意一个x ,都有x D -∈,且()()f x f x -=-,则这个函数叫做奇函数.设函数()yg x =的定义域为D ,如果对D 内的任意一个x ,都有x D -∈,且()()g x g x -=,则这个函数叫做偶函数.如果一个函数是奇函数,则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.如果一个函数是偶函数,则它的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图像关于y 轴对称,则这个函数是偶函数. 此外,由奇函数定义可知,若奇函数()f x 在原点处有定义,则一定有(0)0f =,此时函数()f x 的图像一定通过原点.四、函数的单调性设D 是)(x f y =定义域内的一个区间,对于∀D x x ∈21,,当21x x <时,都有)()(21x f x f <,则称)(x f y =在D 上是增函数,D 叫做)(x f y =的单调递增区间;对于∀D x x ∈21,,当21x x <时,都有)()(21x f x f >,则称)(x f y =在D 上是减函数,D 叫做)(x f y =的单调递减区间. )(x f y =在D 上是增函数或者是减函数,则称)(x f y =在D 上具有单调性,D 称为)(x f y =的单调区间.五、函数的零点函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标叫做函数)(x f y =的零点.六、零点定理若)(x f y =在区间],[b a 上连续,并且有0)()(<⋅b f a f ,则)(x f y =在区间),(b a 内至少有一个零点;若)(x f y =在区间),(b a 内有零点,不一定有0)()(<⋅b f a f . 典例分析例1.已知)(x f 的定义域为]3,1[,求)1(x f -的定义域.例2.判断下列函数的奇偶性.(1)1)(2-=x x f (2)x x x f -+=22)( (3)xx x f --=22)( (4)xx x f 1)(-=例3.奇函数)(x f 的定义域为R ,0x >时,2()(1)f x x =-,求)(x f 的解析式.例4.下列区间中包含函数2)21()(--=x x f x的零点的是 .(1) )0,1(- (2) )1,1(- (3) )1,0( (4) (1,2) (5) )3,2(-例5.若⎩⎨⎧≥-<--=).0(),1(),0(,2)(2x x f x x x x f ,求函数x x f x F -=)()(的零点的个数.例6. (1)若函数()log (a f x x =是奇函数,则a =______.(2)设()f x 的图像关于原点对称,且在(0,)+∞上是增函数,(3)0f -=,则()0x f x⋅< 的解集为______例7. (1) 已知(31)41()log 1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A .()0,1B .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C .11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .1,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2) 已知()log (2)a f x ax =-在[0,1]上是减函数,求a 的取值范围____________. (3) 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调增加,则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是A .12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C .12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D .12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭课下练习1.函数y 的定义域为A .[4,1]-B .[4,0]-C .(0,1]D .[4,0)(0,1]-2.函数111y x =-- A .在()1,-+∞内单增 B .在()1,-+∞内单减 C .在()1,+∞内单增D .在()1,+∞内单减3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数,又是减函数的是 A .3,y x x =-∈RB .sin ,y x x =∈RC .,y x x =∈RD .1,2xy x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭R4.函数3()sin 1f x x x =++(x ∈R ),若()2f a =,则()f a -的值为 A .3B .0C .1-D .2-5. 已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数,且(3)(1)f f >,则下列各式中一定成立的是A.(0)(6)f f <B.(-3)(-2)f f >C.(1)(3)f f -<D.(-2)(1)f f > 6. 已知函数()26log f x x x=-,在下列区间中,包含()f x 零点的区间是( ) A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.根据统计,一名工作组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Ax Ac A x x c x f ,,,)((,A C 为常数)。
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)“定义域优先”的思想是研究函数的前提,在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域,所以必须先考虑函数的定义域,离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性f(-x)与f(x)之间的关系:①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(-x)=0为奇;③f(-x)÷f(x)=1是偶;f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. (1)若定义域关于原点对称(2)若定义域不关于原点对称⾮奇⾮偶例如:3x y =在)1,1[-上不是奇函数常⽤性质:1.0)(=x f 是既奇⼜偶函数;2.奇函数若在0=x 处有定义,则必有0)0(=f ; 3.偶函数满⾜)()()(x f x f x f =-=;4.奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于y 轴对称;5.0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满⾜:(1)奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=⾮奇⾮偶(2)奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数 6.任何函数)(x f 可以写成⼀个奇函数2)()()(x f x f x --=和⼀个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性定义:函数定义域为A ,区间,若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应⽤:(⼀)常⽤定义法来证明⼀个函数的单调性⼀般步骤:(1)设值(2)作差(3)变形(4)定号(5)结论(⼆)求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注:常⽤结论(1)奇函数在对称区间上的单调性相同(2)偶函数在对称区间上的单调性相反(3)复合函数单调性-------同增异减3. 周期性(1)⼀般地对于函数内⼀切值时总有,那么叫做周期函数,T 叫做周期,kT (T 的整数倍)也是它的周期(2)如果周期函数在所有周期中存在⼀个最⼩正数,就把这个最⼩正数叫最⼩正周期。