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高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。
变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。
注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。
这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。
如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。
一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
高等数学知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l =0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l =1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x，1−cos x ~2/2^x ，x e −1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~xα二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则Ax f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次233521211...()2!3!!sin ...(1)()3!5!(21)!n xn n n n x x x e x o x n x x x x x o x n ++=++++++=-+++-++)(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=)()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++)(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital）法则.∞∞型未定式定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式1011lim ()()n n k k f f x dx n n →∞==∑⎰（如果存在）三．函数的间断点的分类)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y =f (x )的间断点。
高等数学是大学理工科学生的一门基础课程，涉及到数学分析、线性代数、概率论和数学物理方法等内容。
本文将对高等数学的知识点进行总结，以供参考。
一、数学分析1.极限与连续极限是数学分析的基础概念，主要研究函数在某一点的邻域内的性质。
极限的性质包括保号性、保序性等。
连续性是极限的一种特殊情况，一个函数在某一点的极限等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。
2.导数与微分导数研究函数在某一点的切线斜率，是函数变化率的具体体现。
导数的计算方法包括定义法、导数法则和高阶导数等。
微分是导数的一种应用，主要研究函数在某一点的微小变化。
3.积分与不定积分积分是导数的逆运算，研究函数在某一区间内的累积变化。
积分的计算方法包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法等。
不定积分是积分的一种扩展，没有明确的积分界限，主要用于求解原函数。
级数是数学分析中的重要部分，研究函数的和式。
常见的级数包括幂级数、泰勒级数和傅里叶级数等。
级数的收敛性判断是级数研究的关键，常用的判断方法有比较判别法、比值判别法和根值判别法等。
5.多元函数微分学多元函数微分学研究多个变量之间的函数关系。
主要内容包括偏导数、全微分、方向导数和雅可比矩阵等。
重积分是研究函数在空间区域上的累积变化。
重积分的计算方法包括一重积分、二重积分和三重积分等。
7.常微分方程常微分方程是描述自然界和工程技术中具有变化规律的数学模型。
常微分方程的解法包括分离变量法、常数变易法和线性微分方程组等。
二、线性代数矩阵是线性代数的基本工具，用于描述线性方程组和线性变换。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。
矩阵的行列式用于判断线性方程组的解的情况。
2.线性方程组线性方程组是实际问题中常见的数学模型。
线性方程组的解法包括高斯消元法、矩阵求逆法和克莱姆法则等。
3.向量空间与线性变换向量空间是具有加法和数乘运算的向量集合。
线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射。
4.特征值与特征向量特征值和特征向量是描述矩阵性质的重要概念。
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高等数学知识点总结
一、函数与极限
1. 函数的定义、连续性与间断点
2. 导数与极值
3. 不定积分与定积分
4. 泰勒展开式与幂级数展开
5. 重要的极限定理：夹逼定理、洛必达法则等
二、微分方程
1. 一阶常微分方程与分离变量法
2. 一阶线性微分方程
3. 高阶线性常系数齐次微分方程
4. 高阶线性常系数非齐次微分方程
5. 欧拉方程与特征方程法
三、多元函数与偏导数
1. 多元函数的定义与性质
2. 偏导数与全微分
3. 隐函数与参数方程
4. 多元函数的极值与条件极值
四、重积分与曲线积分
1. 重积分的概念与性质
2. 极坐标系与二重积分
3. 三重积分与球坐标系
4. 曲线积分的概念与性质
5. 向量场的曲线积分和曲面积分
五、无穷级数与傅里叶级数
1. 数列极限与数列的收敛性
2. 数项级数的概念与性质
3. 正项级数的审敛法与一致收敛性
4. 幂级数与傅里叶级数的展开
六、空间解析几何
1. 点、直线与平面的方程
2. 曲线与曲面的方程
3. 空间中的向量运算
4. 空间曲线的切线与法平面
5. 空间曲面的切平面与法线
七、常微分方程
1. 一阶常微分方程的概念与解法
2. 高阶常微分方程的特征方程法
3. 常系数线性齐次微分方程的解法
4. 变系数线性齐次微分方程的解法
这些是高等数学中的一些重要知识点总结，掌握了这些知识，对于解题和理解高等数学的相关概念非常有帮助。
高等数学知识点高等数学知识点在日复一日的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编为大家收集的高等数学知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
高等数学知识点1第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2.会建立简单应用问题中的函数关系式。
3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。
4.掌握基本初等函数的性质及图形。
5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。
6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。
7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。
8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
9.掌握极限性质及四则运算法则。
10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。
3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。
4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。
2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。
3.了解函数图形的作图步骤。
了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。
4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。
第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。
2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。
高等数学知识点总结一、导数与微分1.导数的概念在数学中，导数是用来描述函数在某一点的变化率。
如果一个函数f(x)在点x处可导，那么f(x)在该点的导数记作f'(x)，它表示函数f在x处的变化率。
2.导数的计算导数的计算可以通过极限的方法来求解。
例如，要计算函数f(x)在点x处的导数，可以计算f(x)在x+h处与x处函数值的差值与h的比值，当h趋向于0时的极限值即为f(x)在x 处的导数。
3.导数的性质导数具有一些重要的性质，如导数的线性性质、导数与函数的关系等。
4.微分的概念微分是导数的一个重要应用，在函数f(x)的某一点x处，函数值的微小增量与自变量的微小增量的比值称为函数f(x)在点x处的微分。
5.微分的计算微分可以通过导数来计算，函数f(x)在点x处的微分可以表示为dy=f'(x)dx。
这样，微分与导数的关系变得更加紧密。
6.微分的性质微分具有一些重要的性质，如微分的线性性质、微分的复合性质等。
二、多元函数的偏导数与全微分1.多元函数的概念多元函数是指具有多个自变量的函数，例如f(x,y)。
在多元函数中，每个自变量都是独立的，并且可以对每个自变量进行求导。
2.偏导数的概念多元函数对其中的某个自变量进行求导得到的导数称为偏导数，记作∂f/∂x，表示函数f对自变量x的偏导数。
3.偏导数的计算偏导数的计算可以通过极限的方法来求解，类似于一元函数的导数计算。
例如，对于函数f(x,y)，其对x的偏导数可以表示为lim[(f(x+h,y)-f(x,y))/h]，当h趋向于0时的极限值。
4.偏导数的性质偏导数具有一些重要的性质，如偏导数的线性性质、偏导数的交换性等。
5.全微分的概念在多元函数中，全微分是描述函数在某一点的微小增量与自变量的微小增量的比值。
6.全微分的计算全微分可以通过偏导数来计算，函数f(x,y)在点(x,y)处的全微分可以表示为df=∂f/∂xdx+∂f/∂ydy。
7.全微分的性质全微分具有一些重要的性质，如全微分的线性性质、全微分的复合性质等。
高等数学知识点高等数学知识点汇总通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。
下面小编给大家介绍高等数学知识点汇总，赶紧来看看吧!高等数学知识点汇总第一章函数与极限知识点1：函数的概念、函数定义域的求法知识点2：函数的分类、特殊类型的函数知识点3：函数的基本性质知识点4：数列极限的概念与性质知识点5：函数极限的概念与性质知识点6：证明极限式与证明极限不存在的方法知识点7：无穷小与无穷大的概念与关系知识点8：极限的四则运算法则知识点9：复合函数的极限运算法则知识点10：极限存在的两个准则知识点11：两个重要极限知识点12：无穷小的比较知识点13：函数连续性的概念及判断知识点14：函数间断点的求法及分类知识点15：闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分知识点16：导数的概念知识点17：导数的几何意义、平面曲线的切线与法线方程的求法知识点18：复合函数的求导知识点19：反函数的求导知识点20：隐函数及参数方程的求导知识点21：微分的概念及运算知识点22：一元函数微分形式的不变性知识点23：导数的物理意义知识点24：按定义求导的题目类型知识点25：可导、可微与连续三个概念之间的关系知识点26：奇偶函数与周期函数的导数的性质知识点27：用求导公式与法则求导数知识点28：函数的高阶导数第三章微分中值定理与导数的应用知识点29：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用知识点30：柯西中值定理的应用知识点31：有关中值定理证明题的典型实例知识点32：洛必达法则求极限知识点33：求极限的方法总结知识点34：函数的零点（方程的根）存在性与唯一性的证明知识点35：函数的零点（方程的根）个数的讨论知识点36：不等式的证明方法总结知识点37：泰勒公式的求法知识点38：泰勒公式的应用知识点39：函数的单调性及判别知识点40：函数的极值及判别知识点41：函数的最值及判别知识点42：渐近线的分类与求法知识点43：曲线的凸凹性和拐点知识点44：曲率、曲率圆及曲率半径（数学一、二）知识点45：弧微分知识点46：导数在经济领域的应用（数学三）第四章不定积分知识点47：不定积分的概念与性质知识点48：不定积分的换元积分法知识点49：不定积分的分部积分法知识点50：有理函数与三角有理式的不定积分知识点51：不定积分计算技巧的典型实例第五章定积分知识点52：定积分的概念与基本性质知识点53：变上限的积分及其导数知识点54：奇偶函数与周期函数的积分性质知识点55：涉及定积分证明题型的典型实例知识点56：用牛顿-莱布尼兹定理计算定积分知识点57：定积分的换元积分法知识点58：定积分的分部积分法知识点59：定积分的特殊计算方法的典型实例知识点60：无穷限的.反常积分的概念与计算知识点61：无界函数的反常积分的概念与计算第六章定积分的应用知识点62：用定积分求平面图形的面积知识点63：用定积分求特殊立体的体积知识点64：用定积分求弧长知识点65：定积分的物理应用（数一、二）知识点66：连续函数的平均值（数一、二）第七章空间解析几何与向量代数知识点67：空间直角坐标系及相关概念（数一）知识点68：向量的属性、向量的长度与夹角（数一）知识点69：向量的各类运算及其运算法则（数一）知识点70：用向量解决的几何问题（数一）知识点71：平面的法向量与平面方程（数一）知识点72：直线的方向向量与直线方程（数一）知识点73：两个平面间的关系（数一）知识点74：两条直线间的关系（数一）知识点75：直线与平面的关系（数一）知识点76：点到平面的距离的计算（数一）知识点77：点到直线的距离的计算（数一）知识点78：旋转曲面（数一）知识点79：柱面（数一）知识点80：二次曲面（数一）知识点81：空间曲线的方程及其在坐标面上的投影（数一）第八章多元函数微分法及其应用知识点82：多元函数的概念和几何意义知识点83：二元函数的极限知识点84：二元函数的连续性知识点85：偏导数的概念与常规计算知识点86：高阶偏导数知识点87：多元函数可微与全微分知识点88：连续，可偏导，可微的关系知识点89：多元复合函数的求导法则知识点90：多元函数的微分形式不变性知识点91：多元隐函数的求导知识点92：多元函数的极值问题知识点93：条件极值问题、拉格朗日乘数法知识点94：多元函数的最值问题知识点95：方向导数（数一、二）知识点96：数量场的梯度（数一、二）知识点97：空间曲线的切线与法平面（数一、二）知识点98：空间曲面的切平面与法线（数一、二）知识点99：二元函数的二阶泰勒公式（数一）第九章重积分知识点100：重积分的概念与性质知识点101：直角坐标下二重积分的定限与计算知识点102：极坐标下二重积分的定限与计算知识点103：直角坐标下三重积分的定限与计算知识点104：柱面坐标下三重积分的定限与计算知识点105：球面坐标下三重积分的定限与计算知识点106：重积分积分次序的交换知识点107：利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性求重积分的技巧第十章曲线积分与曲面积分知识点108：第一类曲线积分的概念与计算知识点109：第二类曲线积分的概念与计算知识点110：两类曲线积分之间的联系知识点111：二元函数全微分求积知识点112：格林公式及其应用知识点113：曲线积分与路径无关的条件知识点114：第一类曲面积分的概念与计算知识点115：第二类曲面积分的概念与计算知识点116：两类曲面积分之间的联系知识点117：高斯公式及其应用知识点118：通量与散度知识点119：斯托克斯公式及其应用知识点120：环流量与旋度知识点121：涉及重积分与曲线曲面积分的证明题总结第十一章无穷级数知识点122：级数的概念及性质（数一、三）知识点123：级数收敛的概念与判别法（数一、三）知识点124：正项级数的审敛法（数一、三）知识点125：交错级数、莱布尼兹判别法（数一、三）知识点126：函数项级数与幂级数的概念（数一、三）知识点127：函数的幂级数展开（数一、三）知识点128：阿贝尔判别法（数一、三）知识点129：幂级数的收敛域（数一、三）知识点130：幂级数的和函数（数一、三）知识点131：绝对收敛与条件收敛（数一、三）知识点132：傅里叶级数的展开式的求法（数一）知识点133：傅里叶级数的周期延拓（数一）知识点134：傅里叶级数的奇偶延拓（数一）第十二章微分方程知识点135：微分方程的基本概念知识点136：可分离变量的微分方程知识点137：齐次微分方程知识点138：一阶线性微分方程知识点139：全微分方程知识点140：伯努利方程知识点141：用变量替换解微分方程举例知识点142：含变限积分的方程知识点143：可降阶的高阶微分方程知识点144：线性微分方程解的性质和结构知识点145：二阶常系数齐次线性方程知识点146：n阶常系数齐次线性方程知识点147：二阶常系数非齐次线性方程知识点148：欧拉方程（数学一）知识点149：差分方程（数学三）知识点150：微分方程应用题的典型实例。
高等数学知识点汇总高等数学知识点汇总1. 集合：集合是一组具有特定意义的对象的总称。
集合可以根据不同条件被分类，如有界集合、无界集合、空集合、子集、伯努利子集、近似集合等。
2. 函数：函数是一种特殊的数学关系，它用于表示一个自变量和它的函数值之间的对应关系。
如果一个函数的自变量和因变量是多元的，那么就称这个函数为多元函数。
3. 微积分：微积分是数学中的一个重要分支，它研究数量之间的变化。
它主要有两个重要的概念：·微分学，它是用极限的思想去研究函数之间的变化·积分学，它是用定积分的思想去求解函数之间的面积4. 相似几何：相似几何是一种特殊的几何图形，它指的是两个图形之间存在着唯一的比例，即它们之间的长度比例，面积比例是相等的。
5. 概率统计：概率统计是数学中的一个重要分支，它主要研究随机事件的发生概率。
它设计了几种概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布、贝叶斯分布等。
6. 数列：数列是由一些有特宁顺序排列的数字或元素组成的序列。
数列分为等差数列、等比数列、定点数列和其他特殊数列。
7. 极限：极限是数学中的一个重要概念，它用来描述一个变量在不变的情况下，它的初始值或最终值无限接近但又不等于某一特定值。
8. 椭圆：椭圆是一种曲线，可以通过椭圆方程来表示。
它具有两个焦点和一个长轴和短轴，这两个轴是椭圆的解释。
它在物理学中用来计算椭圆偏心率和圆周率。
9. 向量：向量是指一个数量，它有大小和方向。
它可以用来表示几何形状的位置或运动，也可以用来描述物理量，如力、速度和加速度。
10. 四元数：四元数又称复数，它是一种用来表示复平面上变量之间关系的数学形式，一个四元数由实部和虚部组成，它们与实数的加减乘除运算类似。
高等数学知识点汇总高等数学是大学理工科和经济类等专业的重要基础课程，它包含了丰富的知识体系，对于培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
下面就为大家汇总一下高等数学中的一些主要知识点。
一、函数与极限函数是高等数学研究的基本对象之一。
函数的概念包括定义域、值域和对应法则。
常见的函数类型有初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）以及由这些初等函数经过有限次四则运算和复合运算得到的函数。
极限是高等数学中的一个重要概念，它用于描述函数在某个过程中的变化趋势。
例如，当自变量趋于某个值时，函数值的趋近情况。
极限的计算方法有很多，如代入法、有理化法、等价无穷小替换法、洛必达法则等。
二、导数与微分导数是函数的变化率，它反映了函数在某一点处的瞬时变化速度。
导数的定义是函数的增量与自变量增量之比的极限。
通过求导公式和求导法则可以求出函数的导数，常见的求导公式有基本初等函数的求导公式，求导法则包括四则运算求导法则、复合函数求导法则等。
微分是函数增量的线性主部，它与导数密切相关。
函数在某一点处的微分可以表示为 dy ＝ f'（x)dx 。
三、中值定理与导数的应用中值定理是高等数学中的重要定理，包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这些定理在证明等式和不等式、研究函数的性质等方面有着广泛的应用。
导数的应用非常广泛，例如利用导数判断函数的单调性、极值和最值；利用导数研究函数的凹凸性和拐点；利用导数解决优化问题，如求最大利润、最小成本等。
四、不定积分不定积分是求导的逆运算，它是求一个函数的原函数的过程。
不定积分的基本公式包括基本初等函数的不定积分公式，不定积分的计算方法有换元积分法（包括第一类换元法和第二类换元法）和分部积分法。
五、定积分定积分表示的是一个数值，它是由函数在某个区间上的积分和所定义的。
定积分的几何意义可以是曲边梯形的面积。
定积分的计算方法有牛顿莱布尼茨公式，即如果函数 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，则∫a,bf(x)dx ＝ F(b) F(a) 。
高数重点总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。
3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 1031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。
例如：||x y =连续但不可导。
6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df ∙= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y x y yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→ 斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。
大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. . 数列函数数列函数数列函数: : 1. 1. 类型类型类型: : (1) (1)数列数列数列: *: *()na f n =; *1()n n a f a +=(2) (2)初等函数初等函数初等函数: :(3) (3)分段函数分段函数分段函数: *: *0102()(),()x x f x F x x x f x £ì=í>î; *00()(),x x f x F x x x a¹ì=í=î;* (4) (4)复合复合复合((含f )函数函数: : (),()y f u u x j == (5) (5)隐式隐式隐式((方程方程): ): (,)0F x y =(6) (6)参式参式参式((数一数一,,二): ()()x x t y y t =ìí=î (7) (7)变限积分函数变限积分函数变限积分函数: : ()(,)xaF x f x t dt =ò(8) (8)级数和函数级数和函数级数和函数((数一数一,,三): 0(),nn n S x a x x ¥==ÎW å 2. 2. 特征特征特征((几何几何): ):(1) (1)单调性与有界性单调性与有界性单调性与有界性((判别判别); (); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x Þ"--定号定号) ) (2) (2)奇偶性与周期性奇偶性与周期性奇偶性与周期性((应用应用). ).3. 3. 反函数与直接函数反函数与直接函数反函数与直接函数: : 11()()()y f x x f y y f x --=Û=Þ= 二. . 极限性质极限性质极限性质: :1. 1. 类型类型类型: *: *lim n n a ®¥; *lim ()x f x ®¥(含x ®±¥); *0lim ()x x f x ®(含0x x ±®)2. 2. 无穷小与无穷大无穷小与无穷大无穷小与无穷大((注: : 无穷量无穷量无穷量): ):3. 3. 未定型未定型未定型: :00,,1,,0,0,0¥¥¥-¥×¥¥¥4. 4. 性质性质性质: *: *: *有界性有界性有界性, *, *, *保号性保号性保号性, *, *, *归并性归并性 三. . 常用结论常用结论常用结论: :11nn ®, 1(0)1na a >®, 1()max(,,)n nn na b c a b c ++®,()00!na a n >®1(0)x x ®®¥, 0lim 1x x x +®=, lim 0nx x x e ®+¥=, ln lim 0n x x x®+¥=, 0lim ln 0nx x x +®=, 0,xx e x ®-¥ì®í+¥®+¥î四. . 必备公式必备公式必备公式: :1. 1. 等价无穷小等价无穷小等价无穷小: : : 当当()0u x ®时,sin ()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 211cos ()()2u x u x -;()1()u x e u x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x a a +-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 2. 泰勒公式泰勒公式泰勒公式: :(1)2211()2!xe x x o x =+++;(2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x aa a a -+=+++. 五. . 常规方法常规方法常规方法: :前前提: (1)准确判断0,,1,0Ma ¥¥¥(其它如:00,0,0,¥-¥×¥¥); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 1. 抓大弃小抓大弃小()¥¥,2. 2. 无穷小与有界量乘积无穷小与有界量乘积无穷小与有界量乘积 ( (M a ×) () (注注:1sin 1,x x£®¥)3. 1¥处理处理((其它如其它如::000,¥) 4. 4. 左右极限左右极限左右极限((包括x ®±¥):(1)1(0)x x®; (2)()xe x ®¥; 1(0)x e x ®; (3)分段函数: x , []x ,max ()f x5. 5. 无穷小等价替换无穷小等价替换无穷小等价替换((因式中的无穷小因式中的无穷小)()()(注注: : 非零因子非零因子非零因子) )6. 6. 洛必达法则洛必达法则洛必达法则(1) (1)先”处理”先”处理”先”处理”,,后法则后法则((00最后方法最后方法); (); (); (注意对比注意对比注意对比: :1ln lim 1x x x x ®-与0ln lim 1x x x x ®-) (2) (2)幂指型处理幂指型处理幂指型处理: : ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x xx xee e e-++-=-)(3) (3)含变限积分含变限积分含变限积分; ; (4) (4)不能用与不便用不能用与不便用不能用与不便用 7. 7. 泰勒公式泰勒公式泰勒公式((皮亚诺余项皮亚诺余项): ): ): 处理和式中的无穷小处理和式中的无穷小 8. 8. 极限函数极限函数极限函数: : ()lim (,)n f x F x n ®¥=(Þ分段函数分段函数) )六. . 非常手段非常手段 1. 1. 收敛准则收敛准则收敛准则: :(1)()lim ()nx a f n f x ®+¥=Þ(2) (2)双边夹双边夹双边夹: *: *?n n n b a c ££, *,?n nb c a ®(3) (3)单边挤单边挤单边挤: : 1()n n a f a += *21a a ³ *?n a M £ *'()0?f x >2. 2. 导数定义导数定义导数定义((洛必达洛必达?): ?): 00lim'()x ff x x®=3. 3. 积分和积分和积分和: : 10112lim [()()()]()n n f f f f x dx n n n n®¥+++=ò,4. 4. 中值定理中值定理中值定理: : lim [()()]lim '()x xf x a f x a f x ®+¥®+¥+-=5. 5. 级数和级数和级数和((数一三数一三): ):(1)1n n a ¥=å收敛lim 0n n a ®¥Þ=, (, (如如2!limnn n n n ®¥) (2)121lim()n nn n a a a a ¥®¥=+++=å, (3){}na 与11()nn n aa ¥-=-å同敛散七. . 常见应用常见应用常见应用: :1. 1. 无穷小比较无穷小比较无穷小比较((等价等价,,阶): *(),(0)?n f x kx x ®(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f ffa -=====Û()()!!nn n a a f x x x x n n a =+(2)()xxnf t dtkt dt òò2. 2. 渐近线渐近线渐近线((含斜含斜): ): (1)()lim,lim[()]x xf x a b f x ax x®¥®¥==-()f x ax b a Þ++(2)()f x ax b a =++,(10x®)3. 3. 连续性连续性连续性: (1): (1): (1)间断点判别间断点判别间断点判别((个数个数); (2)); (2)); (2)分段函数连续性分段函数连续性分段函数连续性((附:极限函数极限函数, , '()f x 连续性)八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性:([,])[,]f a b m M = (注:01l "<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x l l +-=) 2. 2. 介值定理介值定理介值定理: (: (: (附附: : 达布定理达布定理达布定理) )(1) (1)零点存在定理零点存在定理零点存在定理: : ()()0f a f b <0()0f x Þ=(根的个数根的个数); ); (2)()0(())'0xaf x f x dx =Þ=ò.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. . 基本概念基本概念基本概念: :1. 1. 差商与导数差商与导数差商与导数: : '()f x =0()()limx f x x f x x ®+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x ®--(1)0()(0)'(0)lim x f x f f x ®-= ( (注注:0()lim (x f x A f x ®=连续连续))(0)0,'(0)f f A Þ==) (2) (2)左右导左右导左右导: :''0(),()f x f x -+;(3) (3)可导与连续可导与连续可导与连续; (; (; (在在0x =处, x 连续不可导连续不可导; ; x x 可导可导) )2. 2. 微分与导数微分与导数微分与导数: : ()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+Þ= (1) (1)可微可微Û可导可导; (2); (2); (2)比较比较,f df D 与"0"的大小比较的大小比较((图示图示); ); 二. . 求导准备求导准备求导准备: :1. 1. 基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式基本初等函数求导公式; (; (; (注注: (())'f x )2. 2. 法则法则法则: (1): (1): (1)四则运算四则运算四则运算; (2); (2); (2)复合法则复合法则复合法则; (3); (3); (3)反函数反函数1'dx dy y = 三. . 各类求导各类求导各类求导((方法步骤方法步骤): ): 1. 定义导: (1)'()f a 与'()x af x =; (2)分段函数左右导;(3)0()()limh f x h f x h h®+--( (注注: 00()(),x x F x f x x x a ¹ì=í=î, , 求求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性的连续性) )2. 2. 初等导初等导初等导((公式加法则公式加法则): ): (1)[()]u f g x =, , 求求:0'()u x (图形题图形题); ); (2)()()xaF x f t dt=ò,求:'()F x (注:((,))',((,))',(())'xbbaaaf x t dt f x t dt f t dt òòò)(3)0102(),()x x f x y x x f x <ì=í³î,求''00(),()f x f x -+及0'()f x ( (待定系数待定系数待定系数) )3. 3. 隐式隐式隐式(((,)0f x y =)导: 22,dy d ydx dx(1) (1)存在定理存在定理存在定理; ; (2) (2)微分法微分法微分法((一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性). ). (3) (3)对数求导法对数求导法对数求导法. .4. 4. 参式导参式导参式导((数一数一,,二): ()()x x t y y t =ìí=î, , 求求:22,dy d y dx dx 5. 5. 高阶导高阶导()()nfx 公式公式: :()()ax n n ax e a e =; ()11!()()nn n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n p =+´; ()(cos )cos()2n nax a ax n p =+´()()1(1)2(2)()'"nnn n nnuv u v C uv C uv --=+++注注: ()(0)n f与泰勒展式与泰勒展式: : 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n Þ=四. . 各类应用各类应用各类应用: :1. 1. 斜率与切线斜率与切线斜率与切线((法线法线); (); (); (区别区别区别: : ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线的切线) )2. 2. 物理物理物理: (: (: (相对相对相对))变化率-速度速度; ;3. 3. 曲率曲率曲率((数一二数一二): ): 23"()(1'())f x f x r =+(曲率半径曲率半径, , , 曲率中心曲率中心曲率中心, , , 曲率圆曲率圆曲率圆) )4. 4. 边际与弹性边际与弹性边际与弹性((数三数三): (): (): (附附: : 需求需求需求, , , 收益收益收益, , , 成本成本成本, , , 利润利润利润)) 五. . 单调性与极值单调性与极值单调性与极值((必求导必求导) ) 1. 1. 判别判别判别((驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ³Þ; '()0()f x f x £Þ;(2) (2)分段函数的单调性分段函数的单调性(3)'()0f x >Þ零点唯一零点唯一; ; "()0f x >Þ驻点唯一驻点唯一((必为极值必为极值,,最值最值). ). 2. 2. 极值点极值点极值点: :(1) (1)表格表格表格(('()f x 变号变号); (); (); (由由02'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x xxxxxf x f x f x x xxx®®®¹¹¹Þ=的特点)(2) (2)二阶导二阶导二阶导((0'()0f x =)注注(1)f 与',"f f 的匹配的匹配(('f 图形中包含的信息图形中包含的信息); );(2) (2)实例实例实例: : : 由由'()()()()f x x f x g x l +=确定点“0x x =”的特点”的特点. . (3) (3)闭域上最值闭域上最值闭域上最值((应用例应用例: : : 与定积分几何应用相结合与定积分几何应用相结合与定积分几何应用相结合, , , 求最优求最优求最优) ) 3. 3. 不等式证明不等式证明不等式证明((()0f x ³)(1) (1)区别区别区别: *: *: *单变量与双变量单变量与双变量单变量与双变量? *? *[,]x a b Î与[,),(,)x a x Î+¥Î-¥+¥? (2) (2)类型类型类型: *: *'0,()0f f a ³³; *'0,()0f f b £³*"0,(),()0f f a f b £³; *0"()0,'()0,()0f x f x f x ³=³(3) (3)注意注意注意: : : 单调性单调性Å端点值Å极值Å凹凸性凹凸性. (. (. (如如: max ()()f x M f x M £Û=) 4. 4. 函数的零点个数函数的零点个数函数的零点个数: : : 单调单调Å介值六. . 凹凸与拐点凹凸与拐点凹凸与拐点((必求导必求导!): !): 1. "y Þ表格表格; (; (0"()0f x =)2. 2. 应用应用应用: (1): (1): (1)泰勒估计泰勒估计泰勒估计; (2); (2)'f 单调单调; (3); (3); (3)凹凸凹凸凹凸. . 七. . 罗尔定理与辅助函数罗尔定理与辅助函数罗尔定理与辅助函数: (: (: (注注: : 最值点必为驻点最值点必为驻点最值点必为驻点) ) 1. 1. 结论结论结论: : ()()'()()0F b F a F f x x =Þ== 2. 2. 辅助函数构造实例辅助函数构造实例辅助函数构造实例: :(1)()f x Þ()()xa a F x f t dt =ò(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x x x x x +=Þ= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x x x x x -=Þ=(4)'()()()0f f x l x x +=Þ()()()x dx F x e f x l ò=;3. ()()0()n f f x x =Û有1n +个零点(1)()n f x -Û有2个零点4. 4. 特例特例特例: : : 证明证明()()nf a x =的常规方法的常规方法::令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点个零点((()nP x 待定)5. 5. 注注: : 含含12,x x 时,分家分家!(!(!(柯西定理柯西定理柯西定理) )6. 6. 附附(达布定理达布定理): ): ()f x 在[,]a b 可导可导,,['(),'()]c f a f b "Î,[,]a b x $Î,使:'()f c x = 八. . 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理1. 1. 结论结论结论: : ()()'()()f b f a f b a x -=-; (()(),'()0a b j j x j x <Þ$'>)2. 2. 估计估计估计: : '()f f x x =九. . 泰勒公式泰勒公式泰勒公式((连接,',"f f f 之间的桥梁之间的桥梁) )1. 1. 结论结论结论: : 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x x =+-+-+-;2. 2. 应用应用应用: : : 在已知在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. . 积分中值定理积分中值定理积分中值定理((附:广义广义): [): [): [注注:有定积分有定积分((不含变限不含变限))条件时使用条件时使用] ] 第三讲: 一元积分学 一. . 基本概念基本概念基本概念: : 1. 1. 原函数原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+ò注注(1)()()xaF x f t dt =ò(连续不一定可导连续不一定可导); );(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -ÞÞòò (()f x 连续连续) )2. 2. 不定积分性质不定积分性质不定积分性质: :(1)(())'()f x dx f x =ò; (())()d f x dx f x dx =ò(2)'()()f x dx f x c =+ò; ()()df x f x c =+ò二. . 不定积分常规方法不定积分常规方法不定积分常规方法 1. 1. 熟悉基本积分公式熟悉基本积分公式2. 2. 基本方法基本方法基本方法: : : 拆拆(线性性线性性) )1212(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+òòò3. 3. 凑微法凑微法凑微法((基础基础): ): ): 要求巧要求巧要求巧,,简,活(221sin cos x x =+)如如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x ax=+==2dx d x x=221,(1ln )(ln )1x dx d x x dx d x x x=++=+4. 4. 变量代换变量代换变量代换: :(1) (1)常用常用常用((三角代换三角代换,,根式代换根式代换,,倒代换倒代换): ): 1sin ,,,1xx t ax b t t e t x=+==+=(2) (2)作用与引伸作用与引伸作用与引伸((化简化简): ): 21x x t ±-=5. 5. 分部积分分部积分分部积分((巧用巧用): ):(1) (1)含需求导的被积函数含需求导的被积函数含需求导的被积函数((如ln ,arctan ,()xax x f t dt ò);(2) (2)“反对幂三指”“反对幂三指”“反对幂三指”: : ,ln ,n ax n x e dx x xdx òò(3) (3)特别特别特别: :()xf x dx ò (* (*已知已知()f x 的原函数为()F x ; *; *已知已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b xdx a x b x ++ò; (2)(),()sin kxp x e dx p x axdx òò快速法; (3)()()nv x dx u x ò三. . 定积分定积分定积分: : 1. 1. 概念性质概念性质概念性质: : (1) (1)积分和式积分和式积分和式((可积的必要条件可积的必要条件::有界有界, , , 充分条件充分条件充分条件::连续连续) ) (2) (2)几何意义几何意义几何意义((面积面积,,对称性对称性,,周期性周期性,,积分中值积分中值) ) *220(0)8a ax x dx a ap ->=ò; *()02baa b x dx +-=ò(3) (3)附附: ()()baf x dx M b a £-ò,()()()bbaaf xg x dx M g x dx £òò) (4) (4)定积分与变限积分定积分与变限积分定积分与变限积分, , , 反常积分的区别联系与侧重反常积分的区别联系与侧重2: 2: 变限积分变限积分()()xax f t dt F =ò的处理的处理((重点重点) )(1)f 可积ÞF 连续连续, , f 连续ÞF 可导 (2)(())'xaf t dt ò()f x =;(()())'()x xaax t f t dt f t dt-=òò;()()()xaf x dt x a f x =-ò(3) (3)由函数由函数()()xaF x f t dt =ò参与的求导参与的求导, , , 极限极限极限, , , 极值极值极值, , , 积分积分积分((方程方程))问题3. N L -公式公式: :()()()baf x dx F b F a =-ò(()F x 在[,]a b 上必须连续上必须连续!)!) 注注: (1): (1)分段积分分段积分分段积分, , , 对称性对称性对称性((奇偶奇偶), ), ), 周期性周期性 (2) (2)有理式有理式有理式, , , 三角式三角式三角式, , , 根式根式 (3) (3)含含()baf t dt ò的方程的方程. .4. 4. 变量代换变量代换变量代换: :()(())'()baf x dx f u t u t dt ba=òò(1)00()()()aaf x dx f a x dx x a t =-=-òò,(2)0()()()[()()]aaaaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-òòò ( (如如:4411sin dx x pp -+ò) (3)2201sin nn n n I xdx I np--==ò,(4)220(sin )(cos )f x dx f x dx pp =òò;20(sin )2(sin )f x dx f x dx pp =òò,(5)0(sin )(sin )2xf x dx f x dx p p p =òò,5. 5. 分部积分分部积分(1) (1)准备时“凑常数”准备时“凑常数” (2) (2)已知已知'()f x 或()x af x =ò时, , 求求()baf x dx ò6. 6. 附附: : 三角函数系的正交性三角函数系的正交性三角函数系的正交性: :22200sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx ppp pp p===òòò2200sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m p p=¹=òò22220sin cos nxdx nxdx p pp ==òò 四. . 反常积分反常积分反常积分: : 1. 1. 类型类型类型: (1): (1)(),(),()aaf x dx f x dx f x dx +¥+¥-¥-¥òòò(()f x 连续连续) )(2)()b af x dx ò: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断处为无穷间断) )2. 2. 敛散敛散敛散; ;3. 3. 计算计算计算: : : 积分法积分法ÅN L -公式Å极限极限((可换元与分部可换元与分部) )4. 4. 特例特例特例: (1): (1)11p dx x+¥ò; (2)101pdx xò五. . 应用应用应用: (: (: (柱体侧面积除外柱体侧面积除外柱体侧面积除外) )1. 1. 面积面积面积, ,(1)[()()];baS f x g x dx =-ò(2)1()dcS f y dy -=ò;(3)21()2S r d b a q q =ò; (4); (4)侧面积侧面积侧面积::22()1'()b a S f x f x dx p =+ò 2. 2. 体积体积体积: :(1)22[()()]bx a V fx g x dx p=-ò; (2)12[()]2()dbyc a V f y dy xf x dx p p -==òò(3)0x x V =与0y y V = 3. 3. 弧长弧长弧长: : 22()()ds dx dy =+(1)(),[,]y f x x a b =Î21'()bas f x dx =+ò(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =ìÎí=î 2122'()'()t t s x t y t dt =+ò(3)(),[,]r r q q a b =Î: 22()'()s r r d baq q q =+ò4. 4. 物理物理物理((数一数一,,二)功,引力引力,,水压力水压力,,质心质心, ,5. 5. 平均值平均值平均值((中值定理中值定理): ): (1)1[,]()baf a b f x dx b a=-ò;(2)0()[0)limxx f t dt f x®+¥+¥=ò, (f 以T 为周期为周期::0()Tf t dt fT=ò)第四讲: 微分方程 一. . 基本概念基本概念 1. 1. 常识常识常识: : : 通解通解通解, , , 初值问题与特解初值问题与特解初值问题与特解((注: : 应用题中的隐含条件应用题中的隐含条件应用题中的隐含条件) ) 2. 2. 变换方程变换方程变换方程: : (1) (1)令令()'""x x t y Dy =Þ=(如欧拉方程如欧拉方程) )(2) (2)令令(,)(,)'u u x y y y x u y =Þ=Þ(如伯努利方程如伯努利方程) ) 3. 3. 建立方程建立方程建立方程((应用题应用题))的能力 二. . 一阶方程一阶方程一阶方程: :1. 1. 形式形式形式: (1): (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 2. 变量分离型变量分离型变量分离型: : '()()y f x g y = (1) (1)解法解法解法: :()()()()dyf x dx G y F x Cg y =Þ=+òò(2) (2)“偏”微分方程“偏”微分方程“偏”微分方程: : (,)z f x y x¶=¶;3. 3. 一阶线性一阶线性一阶线性((重点重点): ): '()()y p x y q x += (1) (1)解法解法解法((积分因子法积分因子法): ): 0()01()[()()]()x x p x dxxx M x e y M x q x dx y M x ò=Þ=+ò(2) (2)变化变化变化: : '()()x p y x q y +=;(3) (3)推广推广推广: : : 伯努利伯努利伯努利((数一数一) ) '()()y p x y q x y a += 4. 4. 齐次方程齐次方程齐次方程: : '()y y x=F(1) (1)解法解法解法: : '(),()y dudx u u xu u xu u x=Þ+=F =F -òò(2) (2)特例特例特例: : 111222a xb yc dy dxa xb yc ++=++5. 5. 全微分方程全微分方程全微分方程((数一数一): ): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y¶¶=¶¶ dU Mdx Ndy U C =+Þ=6. 6. 一阶差分方程一阶差分方程一阶差分方程((数三数三): ): 1*0()()xx x x xn x x y ca y ay b p x y x Q x b +=ì-=Þí=î三. . 二阶降阶方程二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: : 令令'()"(,)dp y p x y f x p dx=Þ==3. "(,')y f y y =: : 令令'()"(,)dp y p y y p f y p dy =Þ==四. . 高阶线性方程高阶线性方程高阶线性方程: : ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 1. 通解结构通解结构通解结构: :(1) (1)齐次解齐次解齐次解: : 01122()()()y x c y x c y x =+(2) (2)非齐次特解非齐次特解非齐次特解: : 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 2. 常系数方程常系数方程常系数方程: : "'()ay by cy f x ++=(1) (1)特征方程与特征根特征方程与特征根特征方程与特征根: : 20a b c l l ++=(2) (2)非齐次特解形式确定非齐次特解形式确定非齐次特解形式确定: : : 待定系数待定系数待定系数; (; (; (附附: ()ax f x ke =的算子法的算子法) )(3) (3)由已知解反求方程由已知解反求方程由已知解反求方程. .3. 欧拉方程(数一):2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'t x e x y D D y xy Dy =Þ=-=五. . 应用应用应用((注意初始条件注意初始条件): ): 1. 1. 几何应用几何应用几何应用((斜率斜率, , , 弧长弧长弧长, , , 曲率曲率曲率, , , 面积面积面积, , , 体积体积体积); ); 注注: : 切线和法线的截距切线和法线的截距 2. 2. 积分等式变方程积分等式变方程积分等式变方程((含变限积分含变限积分); ); 可设可设 ()(),()0xaf x dx F x F a ==ò3. 3. 导数定义立方程导数定义立方程导数定义立方程: : 含双变量条件含双变量条件()f x y +=的方程4. 4. 变化率变化率变化率((速度速度) )5. 22dv d x F ma dt dt ===6. 6. 路径无关得方程路径无关得方程路径无关得方程((数一数一): ): Q Px y ¶¶=¶¶7. 7. 级数与方程级数与方程级数与方程: :(1)幂级数求和;(2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 8. 弹性问题弹性问题弹性问题((数三数三) )第五讲: 多元微分与二重积分一. . 二元微分学概念二元微分学概念 1. 1. 极限极限极限, , , 连续连续连续, , , 单变量连续单变量连续单变量连续, , , 偏导偏导偏导, , , 全微分全微分全微分, , , 偏导连续偏导连续偏导连续((必要条件与充分条件必要条件与充分条件), ), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y D =++D =+D =+(2)lim ,lim ,lim y xx y f ff f f x y D D D ==D D(3)22,lim()()x y f dff x f ydf x y D -++ ( (判别可微性判别可微性判别可微性) )注注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义点处的偏导数与全微分的极限定义: :(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limx y x y f x f f y f f f xy®®--==2. 2. 特例特例特例: :(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx yf x y ì¹ï+=íï=î: (0,0)点处可导不连续点处可导不连续; ; (2)22(0,0)(,)0,(0,0)xy f x y x y ì¹ï=+íï=î: (0,0)点处连续可导不可微点处连续可导不可微; ; 二. . 偏导数与全微分的计算偏导数与全微分的计算偏导数与全微分的计算: :1. 1. 显函数一显函数一显函数一,,二阶偏导二阶偏导: : (,)z f x y = 注注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3); (3)含变限积分含变限积分2. 2. 复合函数的一复合函数的一复合函数的一,,二阶偏导二阶偏导((重点重点): ): [(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用 3. 3. 隐函数隐函数隐函数((由方程或方程组确定由方程或方程组确定): ):(1) (1)形式形式形式: *: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =ìí=î ( (存在定理存在定理存在定理) )(2) (2)微分法微分法微分法((熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0xyzF dx F dy F dz ++= ( (要求要求要求: : : 二阶二阶导)(3) (3)注注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4) (4)会变换方程会变换方程会变换方程. . 三. . 二元极值二元极值二元极值((定义定义?); ?); 1. 1. 二元极值二元极值二元极值((显式或隐式显式或隐式): ): (1) (1)必要条件必要条件必要条件((驻点驻点); ); (2) (2)充分条件充分条件充分条件((判别判别) ) 2. 2. 条件极值条件极值条件极值((拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法) () () (注注: : 应用应用应用) )(1) (1)目标函数与约束条件目标函数与约束条件目标函数与约束条件: : (,)(,)0z f x y x y j =Å=, (, (或或: : 多条件多条件多条件) ) (2) (2)求解步骤求解步骤求解步骤: : (,,)(,)(,)L x y f x y x y l lj =+, , 求驻点即可求驻点即可求驻点即可. . 3. 3. 有界闭域上最值有界闭域上最值有界闭域上最值((重点重点). ).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y j =ÅÎ=£ (2) (2)实例实例实例: : : 距离问题距离问题四. . 二重积分计算二重积分计算二重积分计算:: 1. 1. 概念与性质概念与性质概念与性质((“积”前工作“积”前工作): ): (1)Dd s òò,(2) (2)对称性对称性对称性((熟练掌握熟练掌握): *): *D 域轴对称域轴对称; *; *f 奇偶对称奇偶对称; *; *; *字母轮换对称字母轮换对称字母轮换对称; *; *; *重心坐重心坐标;(3) (3)“分块”积分“分块”积分“分块”积分: *: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义分片定义; *; *(,)f x y 奇偶2. 2. 计算计算计算((化二次积分化二次积分): ):(1) (1)直角坐标与极坐标选择直角坐标与极坐标选择直角坐标与极坐标选择((转换转换): ): ): 以“以“D ”为主”为主; ; (2) (2)交换积分次序交换积分次序交换积分次序((熟练掌握熟练掌握). ). 3. 3. 极坐标使用极坐标使用极坐标使用((转换转换): ): 22()f x y +附附: 222:()()D x a y b R -+-£; 2222:1x y D ab+£;双纽线双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +£ 4. 4. 特例特例特例: :(1) (1)单变量单变量单变量: : ()f x 或()f y (2) (2)利用利用重心求积分: : 要求要求要求: : : 题型题型12()Dk x k y dxdy +òò, , 且已知且已知D 的面积DS 与重心(,)x y5. 5. 无界域上的反常二重积分无界域上的反常二重积分无界域上的反常二重积分((数三数三) ) 五: : 一类积分的应用一类积分的应用一类积分的应用((():;;;;f M d D L s WÞW W G S ò):1. 1. “尺寸”“尺寸”“尺寸”: (1): (1)D Dd Ss Ûòò; (2); (2)曲面面积曲面面积曲面面积((除柱体侧面除柱体侧面); ); 2. 2. 质量质量质量, , , 重心重心重心((形心形心), ), ), 转动惯量转动惯量转动惯量; ; 3. 3. 为三重积分为三重积分为三重积分, , , 格林公式格林公式格林公式, , , 曲面投影作准备曲面投影作准备曲面投影作准备. .第六讲: 无穷级数(数一,三) 一. . 级数概念级数概念1. 1. 定义定义定义: (1): (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S ®¥( (如如1(1)!n nn ¥=+å)注注:(1)lim n n a ®¥; (2)nq å(或1n aå); (3)“伸缩”级数级数::1()n n a a +-å收敛{}n a Û收敛收敛. .2. 2. 性质性质性质: (1): (1): (1)收敛的必要条件收敛的必要条件收敛的必要条件: : lim 0n n a ®¥=;(2) (2)加括号后发散加括号后发散加括号后发散, , , 则原级数必发散则原级数必发散则原级数必发散((交错级数的讨论交错级数的讨论); ); (3)221,0n n n n s s a s s s s +®®Þ®Þ®; 二. . 正项级数正项级数1. 1. 正项级数正项级数正项级数: (1): (1): (1)定义定义定义: : 0n a ³; (2); (2)特征特征特征: : n S ; (3); (3)收敛收敛n S M Û£(有界)2. 2. 标准级数标准级数标准级数: (1): (1)1p n å, (2)ln knna å, (3)1ln k n n å 3. 3. 审敛方法审敛方法审敛方法: (: (: (注注:222ab a b £+,ln ln baa b=)(1) (1)比较法比较法比较法((原理原理):):np k a n (估计估计), ), ), 如如10()n f x dx ò; ()()P n Q n å (2) (2)比值与根值比值与根值比值与根值: *: *1lim n n nu u +®¥ *lim n n n u ®¥ ( (应用应用应用: : : 幂级数收敛半径计算幂级数收敛半径计算幂级数收敛半径计算) )三. . 交错级数交错级数交错级数((含一般项含一般项): ):1(1)n n a +-å(0n a >) 1. 1. “审”前考察“审”前考察“审”前考察: (1): (1)0?na > (2)0?n a ®; (3); (3)绝对绝对绝对((条件条件))收敛收敛? ? 注注: : 若若1lim 1n n na a r +®¥=>,则n u å发散2. 2. 标准级数标准级数标准级数: (1): (1)11(1)n n +-å; (2)11(1)n p n +-å; (3)11(1)ln n pn +-å3. 3. 莱布尼兹审敛法莱布尼兹审敛法莱布尼兹审敛法((收敛收敛?) ?) (1) (1)前提前提前提: :n a å发散发散; (2); (2); (2)条件条件条件: : ,0nn a a ®; (3); (3)结论结论结论: : 1(1)n n a +-å条件收敛收敛. .4. 4. 补充方法补充方法补充方法: :(1) (1)加括号后发散加括号后发散加括号后发散, , , 则原级数必发散则原级数必发散则原级数必发散; (2); (2)221,0n n n n s s s s a a s s s s s s s s+®®Þ®Þ®.5. 5. 注意事项注意事项注意事项: : : 对比对比 n a å; (1)n n a -å; n a å; 2n a å之间的敛散关系四. . 幂级数幂级数幂级数: : 1. 1. 常见形式常见形式常见形式: : (1)n n a x å, (2)0()n n a x x -å, (3)20()nna x x -å 2. 2. 阿贝尔定理阿贝尔定理阿贝尔定理: :(1) (1)结论结论结论: : *x x =敛*0R x x Þ³-; *x x =散*0R x x Þ£-(2) (2)注注: : 当当*x x =条件收敛时*R x x Þ=- 3. 3. 收敛半径收敛半径收敛半径,,区间区间,,收敛域收敛域((求和前的准备求和前的准备) ) 注注(1),nnnn a na x x nåå与n n a x å同收敛半径(2)nn a x å与20()nn a x x -å之间的转换 4. 4. 幂级数展开法幂级数展开法幂级数展开法: : (1) (1)前提前提前提: : : 熟记公式熟记公式熟记公式((双向双向,,标明敛域标明敛域) )23111,2!3!xe x x x R =++++W =24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++W =35111(),23!5!xxe e x x x R --=+++W =3511sin ,3!5!x x x x R =-+-W = 2411cos 1,2!4!x x x R =-++W =; 211,(1,1)1x x x x =+++Î--; 211,(1,1)1x x x x=-+-Î-+2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-Î-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----Î-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-Î-(2) (2)分解分解分解: : ()()()f x g x h x =+(注:中心移动中心移动) () () (特别特别特别: : 021,x x ax bx c=++) (3) (3)考察导函数考察导函数考察导函数: : ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f Þ=+ò(4) (4)考察原函数考察原函数考察原函数: : 0()()xg x f x dx ò()'()f x g x Þ=5. 5. 幂级数求和法幂级数求和法幂级数求和法((注: *: *先求收敛域先求收敛域先求收敛域, *, *, *变量替换变量替换变量替换): ): (1)(),S x =+åå(2)'()S x =,(,(注意首项变化注意首项变化注意首项变化) )(3)()()'S x =å,(4)()"()"S x S x Þ的微分方程 (5) (5)应用应用应用::()(1(1))nn n n a a x S x a S Þ=Þ=ååå. 6. 6. 方程的幂级数解法方程的幂级数解法7. 7. 经济应用经济应用经济应用((数三数三): ):(1) (1)复利复利复利: : (1)nA p +; (2); (2)现值现值现值: : (1)n A p -+五. . 傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数((数一数一): (): (2T p =) 1. 1. 傅氏级数傅氏级数傅氏级数((三角级数三角级数): ): 01()cos sin 2n n n aS x a nx b nx ¥==++å2. Dirichlet 充分条件充分条件((收敛定理收敛定理): ): (1) (1)由由()()f x S x Þ(和函数和函数) ) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++3. 3. 系数公式系数公式系数公式: : 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin nn a f x nxdx a f x dx n b f x nxdxppp ppp ppp ---ì=ïï==íï=ïîòòò4. 4. 题型题型题型: (: (: (注注: ()(),?f x S x x =Î) (1)2T p =且(),(,]f x x p p =Î-(分段表示分段表示) )(2)(,]x p p Î-或[0,2]x p Î (3)[0,]x p Î正弦或余弦 *(4)[0,]x p Î(T p =) *5. 2T l =6. 6. 附产品附产品附产品: : ()f x Þ01()cos sin 2n n n aS x a nx b nx ¥==++å0001()cos sin 2n n n aS x a nx b nx ¥=Þ=++å001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一) 一. . 向量基本运算向量基本运算1. 12k a k b +; (; (平行平行b a l Û=)2. a ; (; (单位向量单位向量单位向量((方向余弦方向余弦) ) 01(cos ,cos ,cos )a aaa b g =)3. a b ×; (; (投影投影投影::()a a b b a×=; ; 垂直垂直垂直::0a b a b ^Û×=; ; 夹角夹角夹角::(,)a b a b a b×=)4. a b ´; (; (法向法向法向::,n a b a b =´^; ; 面积面积面积::S a b =´) 二. . 平面与直线平面与直线 1. 1.平面平面P(1) (1)特征特征特征((基本量基本量): ): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C Å= (2)方程(点法式):000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D p -+-+-=Þ+++=(3) (3)其它其它其它: *: *: *截距式截距式1x y za b c++=; *; *三点式三点式2. 2.直线直线L(1) (1)特征特征特征((基本量基本量): ): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p Å=(2) (2)方程方程方程((点向式点向式): ): 000:x x y y z z L m n p ---==(3) (3)一般方程一般方程一般方程((交面式交面式): ): 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=ìí+++=î(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a ty b b b t t z c c c t=+-ìï=+-Îíï=+-î)3. 3. 实用方法实用方法实用方法: :(1) (1)平面束方程平面束方程平面束方程: : 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D p l +++++++=(2) (2)距离公式距离公式距离公式: : : 如点如点000(,)M x y 到平面的距离000222Ax By Cz D d A B C +++=++(3) (3)对称问题对称问题对称问题; ;(4) (4)投影问题投影问题投影问题. .三. . 曲面与空间曲线曲面与空间曲线曲面与空间曲线((准备准备) ) 1. 1. 曲面曲面(1) (1)形式形式S : (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (; (注注: : 柱面柱面(,)0f x y =) (2) (2)法向法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y zn F F F a b g =Þ ( (或或(,1)x y n z z =--)2. 2. 曲线曲线(1) (1)形式形式():()()x x t y y t z z t =ìïG =íï=î, , 或或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =ìí=î; (2) (2)切向切向切向: : {'(),'(),'()}s x t y t z t = ( (或或12s n n =´)3. 3. 应用应用 (1) (1)交线交线交线, , , 投影柱面与投影曲线投影柱面与投影曲线投影柱面与投影曲线; ;(2) (2)旋转面计算旋转面计算旋转面计算: : : 参式曲线绕坐标轴旋转参式曲线绕坐标轴旋转参式曲线绕坐标轴旋转; ;(3) (3)锥面计算锥面计算锥面计算. .四. . 常用二次曲面常用二次曲面 1. 1. 圆柱面圆柱面圆柱面: : 222x y R += 2. 2. 球面球面球面: : 2222x y z R ++=变形变形变形: : 2222x y R z +=-, 222()z R x y =-+,2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 3. 锥面锥面锥面: : 22z x y =+变形变形变形: : 222x y z +=, 22z a x y =-+ 4. 4. 抛物面抛物面抛物面: : 22z x y =+,变形变形变形: : 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 5. 双曲面双曲面双曲面: : 2221x y z +=± 6. 6. 马鞍面马鞍面马鞍面: : 22z x y =-, , 或或z xy =五. . 偏导几何应用偏导几何应用 1. 1. 曲面曲面(1) (1)法向法向法向: : (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =Þ=, , 注注: (,)(,1)x y z f x y n f f =Þ=- (2) (2)切平面与法线切平面与法线切平面与法线: :。
高等数学知识点关键信息项1、函数与极限函数的概念与性质极限的定义与计算方法无穷小与无穷大2、导数与微分导数的定义与几何意义基本函数的导数公式微分的定义与运算3、中值定理与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理函数的单调性与极值曲线的凹凸性与拐点函数的最值问题4、不定积分不定积分的概念与性质基本积分公式换元积分法与分部积分法5、定积分定积分的定义与性质牛顿莱布尼茨公式定积分的计算与应用反常积分6、多元函数微分学多元函数的概念与极限偏导数与全微分多元函数的极值与最值7、重积分二重积分的概念与性质二重积分的计算方法三重积分8、曲线积分与曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分格林公式对面积的曲面积分对坐标的曲面积分高斯公式与斯托克斯公式9、无穷级数数项级数的概念与性质正项级数的审敛法任意项级数的审敛法幂级数函数展开成幂级数11 函数与极限111 函数的概念函数是数学中的一个基本概念，设集合 D 是实数集的子集，如果对于 D 中的每个实数 x ，按照某种确定的对应关系 f ，都有唯一确定的实数 y 与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数，记作 y ＝ f(x) ，其中 x称为自变量，y 称为因变量，D 称为函数的定义域，值域是函数值的集合。
112 函数的性质函数具有单调性、奇偶性、周期性等性质。
单调性是指函数在某个区间上的增减性；奇偶性是指函数关于原点或 y 轴对称的性质；周期性是指函数在一定区间上重复出现的性质。
12 极限的定义极限是高等数学中的一个重要概念。
当自变量无限趋近于某个值时，函数值无限趋近于一个确定的常数，这个常数就是函数在该点的极限。
13 极限的计算方法极限的计算方法包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限、等价无穷小替换、洛必达法则等。
14 无穷小与无穷大无穷小是以 0 为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。
无穷小与无穷大之间存在着密切的关系。
21 导数与微分211 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，它反映了函数在该点处的瞬时变化趋势。
高等数学知识点总结高等数学知识点总结1一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >=()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0<x<兀 p="" 兀<<12. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为m，最小值为m则m(b-a)<= <=m(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法高等数学知识点总结2a.function函数(1)函数的定义和性质(定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等)(2)幂函数(一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数)(3)指数和对数(指数和对数的公式运算以及函数性质)(4)三角函数和反三角函数(运算公式和函数性质)(5)复合函数，反函数(6)参数函数，极坐标函数，分段函数(7)函数图像平移和变换b.limit and continuity极限和连续(1)极限的定义和左右极限(2)极限的运算法则和有理函数求极限(3)两个重要的极限(4)极限的应用-求渐近线(5)连续的定义(6)三类不连续点(移点、跳点和无穷点)(7)最值定理、介值定理和零值定理c.derivative导数(1)导数的定义、几何意义和单侧导数(2)极限、连续和可导的关系(3)导数的求导法则(共21个)(4)复合函数求导(5)高阶导数(6)隐函数求导数和高阶导数(7)反函数求导数(8)参数函数求导数和极坐标求导数d.application of derivative导数的应用(1)微分中值定理(d-mvt)(2)几何应用-切线和法线和相对变化率(3)物理应用-求速度和加速度(一维和二维运动)(4)求极值、最值，函数的增减性和凹凸性(5)洛比达法则求极限(6)微分和线性估计，四种估计求近似值(7)欧拉法则求近似值e.indefinite integral不定积分(1)不定积分和导数的关系(2)不定积分的公式(18个)(3)u换元法求不定积分(4)分部积分法求不定积分(5)待定系数法求不定积分f.definite integral 定积分(1)riemann sum(左、右、中和梯形)和定积分的定义和几何意义(2)牛顿-莱布尼茨公式和定积分的.性质(3)accumulation function求导数(4)反常函数求积分h.application of integral定积分的应用(1)积分中值定理(i-mvt)(2)定积分求面积、极坐标求面积(3)定积分求体积，横截面体积(4)求弧长(5)定积分的物理应用i.differential equation微分方程(1)可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程(2)斜率场j.infinite series无穷级数(1)无穷级数的定义和数列的级数(2)三个审敛法-比值、积分、比较审敛法(3)四种级数-调和级数、几何级数、p级数和交错级数(4)函数的级数-幂级数(收敛半径)、泰勒级数和麦克劳林级数(5)级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：(1)问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。
高等数学上重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义以数列为例,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时,ε<-||a x n2、性质1 )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小; 2保号性若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时,0)(>x f ; 3无穷小乘以有界函数仍为无穷小; 二、求极限的主要方法与工具 1、两个重要极限公式 11sin lim=∆∆→∆ 2e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 1 夹逼准则 2单调有界准则 3、等价无穷小替换法 常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin 2∆∆~tan 3∆∆~arcsin 4∆∆~arctan （5）∆∆+~)1ln( 6∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- 8nn ∆-∆+~11 4、分子或分母有理化法 5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较 高阶、同阶、等价 四、连续与间断点的分类 1、连续的定义)(x f 在a 点连续2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线 五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义 2、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(0 3、导数的几何意义 4、导数的物理意义5、可导与连续的关系: 连续，反之不然。
高数总结知识点一、函数与极限函数的概念、性质及其图像。
函数的极限定义、性质及其运算。
无穷小与无穷大的概念及关系。
极限存在准则（夹逼准则、单调有界准则等）。
二、导数与微分导数的定义、性质及几何意义。
导数的计算（包括基本初等函数的导数、复合函数求导法则、隐函数求导、参数方程求导等）。
高阶导数的概念及计算。
微分的定义、性质及运算。
三、微分中值定理与导数的应用微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理等）。
洛必达法则及其应用。
函数的单调性、极值、最值及凹凸性的判定。
曲线的渐近线、拐点及图形的描绘。
四、不定积分与定积分不定积分的概念、性质及基本积分公式。
不定积分的计算（包括凑微分法、换元积分法、分部积分法等）。
定积分的概念、性质及计算。
定积分的应用（如面积、体积、弧长、功、平均值等的计算）。
五、向量代数与空间解析几何向量的概念、性质及运算。
空间直角坐标系及点的坐标表示。
向量的坐标表示及运算。
平面与直线的方程及其位置关系。
六、多元函数微分学多元函数的概念、性质及极限与连续。
偏导数的定义、计算及几何意义。
全微分的概念及计算。
多元函数的极值与最值问题。
七、多元函数积分学二重积分的概念、性质及计算。
三重积分的概念及计算。
曲线积分与曲面积分的概念及计算。
八、无穷级数常数项级数的概念、性质及收敛判别法。
函数项级数的概念及一致收敛性。
幂级数的概念、性质及运算。
傅里叶级数及其应用。
九、微分方程微分方程的概念及分类。
一阶微分方程的解法（分离变量法、凑微分法等）。
高阶微分方程的解法（降阶法、幂级数解法等）。
微分方程的应用（如物理、化学、生物等领域中的实际问题）。
以上只是高等数学的一些主要知识点，实际上高等数学的内容非常丰富且深入，需要学习者不断地探索和实践。
一.函数的概念1．用变上、下限积分表示的函数（1）()dt t f y x∫=0，其中()t f 连续，则()x f dxdy=（2）()()()dt t f y x x∫=21ϕϕ，其中()x 1ϕ，()x 2ϕ可导，()t f 连续，则()[]()()[]()x x f x x f dxdy1122ϕϕϕϕ′−′=2．两个无穷小的比较设()0lim =x f ，()0lim =x g ，且()()l x g x f =lim （1）0=l ，称()x f 是比()x g 高阶的无穷小，记以()()[]x g x f 0=，称()x g 是比()x f 低阶的无穷小。
（2）0≠l ，称()x f 与()x g 是同阶无穷小。
（3）1=l ，称()x f 与()x g 是等价无穷小，记以()()x g x f ~ 3．常见的等价无穷小当0→x 时x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，xx ~arctan 221~cos 1x x −，x e x ~1−，()x x ~1ln +，()xx αα~11 −+二．求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则2．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在（1）若n n x x ≤+1（n 为正整数）又m x n ≥（n 为正整数），则A x n n =∞→lim 存在，且m A ≥（2）若n n x x ≥+1（n 为正整数）又M x n ≤（n 为正整数），则A x n n =∞→lim 存在，且MA ≤准则2．（夹逼定理）设()()()x h x f x g ≤≤若()A x g =lim ，()A x h =lim ，则()A x f =lim 3．两个重要公式公式1．1sin lim0=→xxx 公式2．e n nn =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim ；e u uu =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim ；()ev vv =+→101lim 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式当0→x 时，()n nxx n x x x e 0!!212+++++=Λ()()()1212530!121!5!3sin ++++−+++−=n n nx n x x x x x Λ()()()nnn x n xx x x 22420!21!4!21cos +−+−+−=Λ()()()n nn x n x x x x x 01321ln 132+−+−+−=++Λ()()1212153012153arctan +++++−+−+−=n n n x n xx x x x Λ()()()()[]()n n x x n n x x x 0!11!21112+−−−++−++=+αααααααΛΛ 6．洛必达法则 法则1．（型）设（1）()0lim =x f ，()0lim =x g （2）x 变化过程中，()x f ′，()x g ′皆存在（3）()()A x g x f =′′lim （或∞）则()()A x g x f =lim（或∞）（注：如果()()x g x f ′′lim不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()()x g x f lim不存在且不是无穷大量情形）法则2．（∞∞型）设（1）()∞=x f lim ，()∞=x g lim （2）x 变化过程中，()x f ′，()x g ′皆存在（3）()()A x g x f =′′lim （或∞） 则()()A x g x f =lim（或∞）7．利用导数定义求极限基本公式：()()()0000limx f xx f x x f x ′=∆−∆+→∆ [如果存在]8．利用定积分定义求极限基本公式()∫∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞→1011lim dx x f n k f n n k n [如果存在]三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数()x f y =的间断点。
高等数学知识点总结导数公式：导数公式：(tan x)′ = sec2 x (c tan x)′ = csc2 x (sec x)′ = sec x tan x (csc x)′ = csc x cot x (a x )′ = a x ln a 1 (loga x)′ = x ln a基本积分表：基本积分表：三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：(arcsin x )′ =11 x2 1 (arccos x )′ = 1 x2 1 (arctan x )′ = 1+ x2 1 (arc cot x )′ = 1+ x2∫ tan xdx = ln cos x + C ∫ cot xdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C ∫ csc xdx = ln csc x cot x + Cdx 1 x = arctan +C 2 +x a a dx 1 xa ∫ x 2 a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a 2 x 2 = 2a ln a x + C dx x ∫ a 2 x 2 = arcsin a + C∫ cos ∫ sindx2x x= ∫ sec 2 xdx = tan x + C = ∫ csc 2 xdx = cot x + Cdx2∫a∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx = csc x + Cx ∫ a dx =2ax +C ln a∫ shxdx = chx + C ∫ chxdx = shx + C ∫dx x ±a2 2= ln( x + x 2 ± a 2 ) + Cπ2π2I n = ∫ sin n xdx = ∫ cos n xdx =0 0 2n 1 I n2 n∫ ∫ ∫sinx =x a2 2 2 x + a dx = x + a + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x a2 x 2 a 2 dx = x 2 a 2 ln x + x 2 a 2 + C 2 2 x a2 x a 2 x 2 dx = a 2 x 2 + arcsin + C 2 2 a22u 1 u2 x 2du ，x = cos ，= tan ，= u dx 1+ u2 1+ u2 2 1+ u21 / 13一些初等函数：一些初等函数：两个重要极限：两个重要极限：ex ex 双曲正弦: shx = 2 x e + e x 双曲余弦: chx = 2 shx e x e x 双曲正切: thx = = chx e x + e x arshx = ln( x + x 2 + 1）archx = ± ln( x + x 2 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1 x三角函数公式：三角函数公式：诱导公式：·诱导公式：函数角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α ·和差角公式：和差角公式：limsinx x +x →=x1 = elimx →∞(11 ) xsin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinαcos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosαtg -tanα cotα -cotα -tanα tanα cotα -cotα -tanα tanαctg -cotα tanα -tanα -cotα cotα tanα -tanα -cotα cotα·和差化积公式：和差化积公式：sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β tan α ± tan β tan(α ± β ) = 1 m tan α tan β cot α cot β m 1 cot(α ± β ) = cot β ± cot αsin α + sin β = 2 sinα +β2 2 α+β αβ sin α sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α β cos α cos β = 2 sin sin 2 2cosα β2 / 13·倍角公式：倍角公式：sin 2α = 2 sin α cosα cos 2α = 2 cos2 α 1 = 1 2 sin 2 α = cos2 α sin 2 α cot2 α 1 cot 2α = 2 cotα 2 tanα tan 2α = 1 tan2 α·半角公式：半角公式：sin 3α = 3sinα 4 sin3 α cos3α = 4 cos3 α 3 cosα 3 tanα tan3 α tan 3α = 1 3 tan2 αsin tanα2=± =±α 1 cos α 1 + cos α cos = ± 2 2 2 α 1 cos α 1 cos α sin α 1 + cos α 1 + cos α sin α = = cot = ± = = 1 + cos α sin α 1 + cos α 2 1 cos α sin α 1 cos αa b c = = = 2R sin A sin B sin C·余弦定理：c = a + b 2ab cos C 余弦定理：2 2 2α2·正弦定理：正弦定理：定理·反三角函数性质：arcsin x = 反三角函数性质：π2arccos x arctan x =π2arc cot x高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：——莱布尼兹k (uv) ( n ) = ∑ C n u ( nk ) v ( k ) k =0 n= u ( n ) v + nu ( n1) v′ +n(n 1) ( n2) n(n 1)L(n k + 1) ( nk ) ( k ) u v + L + uv ( n ) u v′′ + L + 2! k!中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) f (a) = f ′(ξ )(b a) f (b) f (a ) f ′(ξ ) 柯西中值定理：= F (b) F (a ) F ′(ξ ) 当F( x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：曲率：弧微分公式：ds = 1 + y ′ 2 dx , 其中y ′ = tg α K 平均曲率：= α .α : 从M 点到M ′点，切线斜率的倾角变化量；s：MM ′弧长。
s y ′′ α dα M 点的曲率：K = lim = = . s → 0 s ds (1 + y ′ 2 ) 3 1 . a3 / 13直线：K = 0; 半径为a的圆：K =定积分的近似计算：定积分的近似计算：矩形法：f ( x) ≈ ∫abba ( y0 + y1 + L + y n1 ) n ba 1 [ ( y0 + y n ) + y1 + L + y n1 ] n 2 ba [( y0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + L + y n2 ) + 4( y1 + y3 + L + y n1 )] 3n梯形法：f ( x) ≈ ∫a bb抛物线法：f ( x) ≈ ∫a定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：功：W = F s 水压力：F = p A m1m2 , k为引力系数r2 b 1 函数的平均值：= y f ( x)dx ba ∫ a 引力：F = k 1 2 均方根：∫ f (t )dt ba a空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：b空间2点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2 + ( z 2 z1 ) 2 向量在轴上的投影：ju AB = AB cos ,是AB与u轴的夹角。
Pr v v v v Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 v v v v a b = a b cosθ = a x bx + a y b y + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角：θ = cos i v v v c = a × b = ax bx j ay by k a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + a z bx + b y + bz2 2 2 2 2 2v v v v v v a z , c = a b sin θ .例：线速度：v = w × r .bz ay by cy az czax v vv v v v 向量的混合积：b c ] = (a × b ) c = bx [a cx 代表平行六面体的体积。
v v v bz = a × b c cos α ,α为锐角时，4 / 13平面的方程：v 1、点法式：A( x x0 ) + B( y y 0 ) + C ( z z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程：+ + = 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2x = x0 + mt x x0 y y 0 z z 0 v 空间直线的方程：= = = t , 其中s = {m, n, p}; 参数方程：y = y0 + nt m n p z = z + pt 0 二次曲面：x2 y2 z 2 1、椭球面：2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面：+ = z（p, q同号）, 2 p 2q 3、双曲面：x2 y2 z2 单叶双曲面：2 + 2 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面：2 2 + 2 =（马鞍面） 1 a b c多元函数微分法及应用全微分：dz =z z u u u dx + dy du = dx + dy + dz z x y x y全微分的近似计算：z ≈ dz = f x ( x, y )x + f y ( x, y )y 多元复合函数的求导法：dz z u z v z = f [u (t ), v(t )]= + dt u t v t z z u z v z = f [u ( x, y ), v( x, y )]= + x u x v x 当u = u ( x, y )，v = v( x, y )时，du = u u v v dx + dy dv = dx + dy x y x y隐函数的求导公式：F F F dy dy d2y 隐函数F ( x, y ) = 0，= x ， 2 = ( x )＋( x ) x Fy y Fy dx dx Fy dx Fy F z z 隐函数F ( x, y, z ) = 0，= x ，= x y Fz Fz5 / 13F F ( x, y , u , v ) = 0 ( F ,G ) u 隐函数方程组：J = = G (u , v) G ( x, y, u , v) = 0 u u 1 ( F , G) v 1 ( F , G) = = x J ( x, v ) x J (u , x) u 1 ( F , G) v 1 ( F , G ) = = y J ( y, v) y J (u , y )微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：F v = FuG Gu vFv Gvx = (t ) xx y y0 z z 0 空间曲线y = ψ (t )在点M ( x0 , y0 , z 0 )处的切线方程：0 = = ′(t 0 ) ψ ′(t 0 ) ω ′(t 0 ) z = ω (t ) 在点M处的法平面方程：′(t 0 )( x x0 ) + ψ ′(t 0 )( y y0 ) + ω ′(t 0 )( z z 0 ) = 0 v Fy Fz Fz Fx Fx F ( x, y , z ) = 0 , 则切向量T = { , , 若空间曲线方程为：G y G z Gz G x Gx G ( x, y, z ) = 0 曲面F ( x, y, z ) = 0上一点M ( x0 , y0 , z 0 )，则：v 1、过此点的法向量：n = {Fx ( x0 , y0 , z 0 ), Fy ( x0 , y 0 , z 0 ), Fz ( x0 , y0 , z 0 )} x x0 y y0 z z0 3、过此点的法线方程：= = Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 )方向导数与梯度：方向导数与梯度：Fy Gy2、过此点的切平面方程：Fx ( x0 , y0 , z 0 )( x x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z 0 )( y y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z 0 )( z z 0 ) = 0f f f 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )沿任一方向l的方向导数为：= cos + sin l x y 其中为x轴到方向l的转角。
