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2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．3．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．104．（4分）如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．D．5．（4分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β6．（4分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．7．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A．B．C．D．8．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）A．一个点B．线段C．圆D．圆弧二、填空题（本大题共7个小题，第9～12小题每空3分，第13～15小题每空4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）已知直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=．10．（6分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为．11．（6分）如上图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是，若D1E⊥EC，则直线A1D 与平面D1DE所成的角为．12．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为．13．（4分）设实数a，b满足约束条件，则的取值范围为．14．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为．15．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，且a＞b，则的最小值是．三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．（1）求角C的大小；（2）a=1，b=4，求边c的长．17．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，且3S n=4a n﹣4．又数列{b n}满足b n=log2a1+log2a2+…+log2a n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若，求使得不等式恒成立的实数k的取值范围．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．19．（14分）已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：直线x﹣y﹣1=0的斜率为k=1设直线的倾斜角为α，∴tanα=1∵α∈[0，π]∴α=．故选：B．2．（4分）已知a＞b＞0，那么下列不等式成立的是（）A．﹣a＞﹣b B．a+c＜b+c C．（﹣a）2＞（﹣b）2D．【解答】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，故选：C．3．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5 B．7 C．9 D．10【解答】解：由等差数列{a n}的性质，及a1+a3+a5=3，∴3a3=3，∴a3=1，∴S5==5a3=5．故选：A．4．（4分）如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1cm的正方形，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．D．【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y′轴上，可求得其长度为cm，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2cm，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8cm故选：A．5．（4分）设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β【解答】解：对于A，α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故A也不一定成立；对于B，由线面垂直的判定，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则线面垂直，而选项B中，只有m⊥n，则n⊥α，显然不成立；对于C，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥β，则m⊥α，结论成立；对于D，同由面面平行的判定，一个面经过另一个面的垂线，仅有m⊥n，不能得到m⊥β或n⊥α，故不正确．故选：C．6．（4分）设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体的棱长为：1，所以正方体的表面积为：S2=6；正方体的体对角线的长为：，就是球的直径，所以球的表面积为：S1==3π．所以==．故选：D．7．（4分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA+sinC=psinB 且．若角B为锐角，则p的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式sinA+sinC=psinB（p＞0），利用正弦定理化简得：a+c=pb ＞2，把ac=b2代入得：a+c=pb＞b，即p＞1，∵B为锐角，∴0＜cosB＜1，即0＜=﹣2＜1，∵﹣2=﹣3=2p2﹣3，∴0＜2p2﹣3＜1，解得：＜p＜，综上，p的取值范围为＜p＜，故选：D．8．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为正三角形，底面边长为1的正方形，平面PCD⊥平面ABCD，M为底面内一动点，当时，点M在底面正方形内（包括边界）的轨迹为（）A．一个点B．线段C．圆D．圆弧【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，A（1，﹣，0），P（0，0，），设M（x，y，0）∵，∴（x﹣1）2+（y+）2=2（x2+y2+），∴x2+y2+2x﹣y+=0，表示圆．故选：C．二、填空题（本大题共7个小题，第9～12小题每空3分，第13～15小题每空4分，满分36分，将答案填在答题纸上）9．（6分）已知直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，若l1⊥l2，则a=1．【解答】解：∵直线l1：x+ay﹣4=0与l2：（a﹣2）x+y﹣1=0相交于点P，l1⊥l2，∴a﹣2+a=0，∴a=1，故答案为：1．10．（6分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为．【解答】解：由已知中的三视图，可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：其底面ABC的面积为：×2×2=2，高VA=1，故三棱锥的体积V=，AB=AC==，故侧面VAB和VAC的面积均为：=，侧面VBC的高VD==，故侧面VBC的面积为：×=，故三棱锥的表面积为：；故答案为：，11．（6分）如上图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动，则直线D1E与A1D所成角的大小是90°，若D1E⊥EC，则直线A1D 与平面D1DE所成的角为30°．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB 上移动，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），设E（1，t，0），0≤t≤2，则=（1，t，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴•=﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．∵=（1，t，﹣1），=（﹣1，2﹣t，0），D1E⊥EC，∴•=﹣1+t（2﹣t）+0=0，解得t=1，∴AE=1．平面D1DE的法向量为=（﹣1，1，0），cos＜，＞==﹣，∴直线A1D与平面D1DE所成的角为30°．故答案为90°，30°．12．（6分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，则圆C的半径为，过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为3x﹣y﹣5=0．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0，可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，∴圆心C（1，﹣2），圆C的半径为．过点（2，1）的直线中，被圆C截得弦长最长的直线方程为y﹣1=（x﹣2），即3x﹣y﹣5=0．过答案为，3x﹣y﹣5=0．13．（4分）设实数a，b满足约束条件，则的取值范围为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）：z=的几何意义为阴影部分的动点（a，b）到定点P（﹣2，﹣2）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点位于B时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由，解得B（，），∴BP的斜率k==，由可得A（1，1）OP的斜率k==1，∴﹣3≤z≤．故答案为：．14．（4分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5及点B（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，则||+||的最小值为2．【解答】解：由于点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=3﹣=2，故答案为：2．15．（4分）已知关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，且a＞b，则的最小值是2．【解答】解：关于x的不等式ax2+2x+b＞0（a≠0）的解集为，∴，即ab=1且a＞0；又a＞b，∴a﹣b＞0；∴==（a﹣b）+≥2=2，当且仅当a﹣b=，即a﹣b=时“=”成立；∴的最小值是．故答案为：2．三、解答题（本大题共4小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin2C=cosC，其中C为锐角．（1）求角C的大小；（2）a=1，b=4，求边c的长．【解答】解：（1）在△ABC中，由sin2C=cosC，可得：2sinCcosC=cosC，因为C为锐角，所以cosC≠0，可得sinC=，可得角C的大小为．（2）由a=1，b=4，根据余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcos=13，可得边c的长为．17．（12分）已知数列{a n}的前项n和为S n，且3S n=4a n﹣4．又数列{b n}满足b n=log2a1+log2a2+…+log2a n．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若，求使得不等式恒成立的实数k的取值范围．【解答】解：（1）由3S n=4a n﹣4可得a1=4，∵3S n=4a n﹣4，∴3S n﹣1=4a n﹣1﹣4，∴3S n﹣3S n﹣1=4a n﹣4﹣（4a n﹣1﹣4），∴3a n=4a n﹣4a n﹣1，即．∴数列{a n}是首项为a1=4，公比为4的等比数列，∴．又b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=2+4+…+2（n﹣1）+2n=n（n+1），∴b n=n（n+1）．（2）=1﹣+﹣+…+﹣=，不等式恒成立，即k≥恒成立，设d n=，则d n+1﹣d n=，∴当n≥2时，数列{d n}单调递减，当1≤n＜2时，数列{d n}单调递增；即d1＜d2＞d3＞d4＞…，∴数列最大项为，∴．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（1）证明CD⊥AE；（2）证明PD⊥平面ABE；（3）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．【解答】（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE；（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD∴PA⊥AB，又AD⊥AB，AD∩PA=A∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD∴AB⊥PD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，则△ABC是正三角形．∴AC=AB∴PA=PC∵E是PC中点∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CD∩PC=C∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD，又AB⊥PD，AB∩AE=A∴PD⊥平面ABE；（3）解：过E点作EM⊥PD于M点，连结AM，由（2）知AE⊥平面PCD，则AE⊥PD，则PD⊥平面AEM，∴AM⊥PD，则∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角．设AC=a，AD==，PA=A，PD==a，AM===，在Rt△AEM中，AE=a，EM===a，则tan∠AME===．19．（14分）已知圆O：x2+y2=16及圆内一点F（﹣3，0），过F任作一条弦AB．（1）求△AOB面积的最大值及取得最大值时直线AB的方程；（2）若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平方线，求点M的坐标．【解答】解：（1）设∠AOB=θ，则，=8，此时O到AB的距离为，，当时，S△AOBmax∴S=8，直线AB的方程为．△AOBmax（2）当直线AB斜率不存在时，MF始终平分∠AMB．当直线AB斜率存在时，设直线AB：y=k（x+3），（k≠0），设M（m，0），由得：（1+k2）x2+6k2x+（9k2﹣16）=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∵∠BMF=∠AMF，∴k BM+k AM=0，，∴（x1+3）（x2﹣m）+（x2+3）（x1﹣m）=0，∴2x1x2+（3﹣m）（x1+x2）﹣6m=0，∴，∴﹣32﹣6m=0，，∴．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
杭州市2016学年第一学期期末测试 高二数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合要求的，不选、多选、错选均不得分）1.对于直线n m ,和平面α，下面命题中的真命题是（ ） A. 如果α⊂m ，α⊄n ，n m ,是异面直线，那么α//n B. 如果α⊂m ，α⊄n ，n m ,是异面直线，那么n 与α相交 C. 如果α⊂m ，α//n ，n m ,共面，那么n m // D. 如果α//m ，α//n ，n m ,共面，那么n m //2.下列四个正方体图形中，B A ,为正方体的两个顶点，P N M ,,分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④3.将正三棱柱截去三个角（如图1所示C B A ,,分别是GHL ∆三边的中点）得到的几何体，如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）A. B. C. D.4.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（ ） A. 4 B. 5 C. 6D. 85.若)3,1,2(x a =，)9,2,1(y b -=，如果a 与b 为共线向量，则（ ）A. 1,1==y xB. 21,21-==y x C. 23,61=-=y x D. 23,61-==y x6.在同一直角坐标系中，表示直线ax y =与a x y +=正确的是（ ）A. B. C. D.7.已知直线l 与直线0432=+-y x 关于直线1=x 对称，则直线l 的方程为（ ）A. 0832=-+y xB. 0123=+-y xC. 052=-+y xD. 0723=-+y x8.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-++≤20222x y x x y ，则31+-x y 的取值范围是（ ）A. ),1[]51,(+∞--∞B. ]1,31[C. ]31,51[-D. ]1,51[-9.已知圆0122222=-+-+-m my y x x ，当圆的面积最小时，直线b x y +=与圆相切，则=b （ ）A. 1±B. 1C. 2±D.210.已知圆1)3()2(:221=-+-y x C ，圆9)4()3(:222=-+-y x C ，N M ,分别是圆21,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM +的最小值为（ ） A. 425- B.117- C. 226- D. 1711.若方程12222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是（ ） A. 0>m B. 10<<m C. 12<<-m D. 1>m 且2≠m12.已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线1322222=-ny m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A. y x 215±= B. x y 215±= C. y x 43±= D. x y 43±= 13.已知点F 是抛物线x y 42=的焦点，N M ,是该抛物线上两点，6||||=+NF MF ，则MN 中点的横坐标为（ ）A.23 B. 2 C. 25D. 3 14.图中共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为4321,,,a a a a ，其大小关系为（ ） A. 4321a a a a <<< B. 4312a a a a <<< C. 3421a a a a <<< D. 3412a a a a <<<15.如图，βα⊥，l =βα ，βα∈∈B A ，，B A ,到l 的距离分别是a 和b ，AB 与βα,所成的角分别分别是θ和ϕ，AB 在βα,内的射影分别是n m ,，若b a >，则（ ） A. ϕθ>，n m > B. ϕθ>，n m < C. ϕθ<，n m < D. ϕθ<，n m >16.若直线)0(:>+=n n my x l 过点)34,4(A ，若可行域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+≤003y y x nm y x 的外接圆的面积为364π，则实数n 的值为（ ）A. 8B. 7C. 6D. 917.如图，圆O 的半径为定长R ，A 是圆O 外的一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是（ ）A. 椭圆B. 双曲线的一支C. 抛物线D. 圆18.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点，那么当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点N M ,在大圆内所绘出的图形大致是（ ）A. B. C. D.非选择题部分 二、填空题（本大题共4小题，每空4分，共16分）19.设}41|),{(2x y y x A -+==，}4)2(|),{(+-==x k y y x B ，若B A 中含有两个元素，则实数k 的取值范围是_________.20.若点)1,1(在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是________.21.已知21,F F 是双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若2ABF ∆为钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是_______.22.在ABC ∆中，10=∠BAC ，30=∠ACB ，将直线BC 绕AC 旋转得到C B 1，直线AC 绕AB 旋转得到1AC ，在旋转过程中，直线C B 1和1AC 所成角的取值范围为________.三、解答题（本大题共3小题，共30分）23.（本题满分10分）已知圆03:22=++++Ey Dx y x C ，圆C 关于直线01=-+y x 对称，圆心在第二象限，半径为2.（1）求圆C 的方程；（2）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程.24.（本题满分10分）如图所示，在矩形ABCD 中，4=AB ，2=AD ，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕，将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PB PC =. （1）求证：⊥PO 面ABCE ；（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值.25.（本题满分10分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x G 的离心率为22，右焦点)0,1(F ，过点F 作斜率为k（0≠k ）的直线l ，交椭圆G 于B A ,两点，)0,2(M 是一个定点，如图所示，连BM AM ,，分别交椭圆G 于D C ,两点（不同于B A ,），记直线CD 的斜率为1k . （1）求椭圆G 的方程；（2）在直线l 的斜率k 变化的过程中，是否存在一个常数λ，使得k k λ=1恒成立？若存在，求出这个常数λ；若不存在，请说明理由.。
浙江省杭州第二中学2015—2016学年度上学期期末考试高二数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中） 1．双曲线的焦距是（ ）A. B.5 C. 10 D. 2.设，则“”是“直线与直线2:(23)10l ax a y --+=垂直”的 （ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若则 B. 若则C. 若则D. 若//,,,m m n αβαβ⊂=则4. 已知不等式的解集为.则（ ）A. B. C. D. 5.直线与曲线的公共点的个数是（ ）A. 1B.2 C .3 D. 46. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ） A. 90° B .60° C. 45° D.30° 7．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，若，则的斜率是（ ） A. B. C. D.8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1y≤2x －1x ＋y≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．39．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（ ）BAA ．B ．C ．D ． 10．已知，，若不等式恒成立，则 的最小值为 （ ） A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷中相应横线上） 11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是 腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的表面积 是 ．12. 设是一个球面上的四个点，两两垂直，且，则该球的体积为 ． .13. 已知双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作斜率为2-的直线交双曲线的渐近线于P Q ，两点，M 为线段P Q 的中点．若直线1M F 平行于其中一条渐近线，则该双曲线的离心率为 ．14.如图，直线，垂足为O ，已知中，为直角，AB=2，BC=1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1），（2）.则C 、O 两点间的最大距离为______.15．已知，且满足， 则的最大值为 ． 16. 在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为， 设有下列四个说法：①存在实数，使点在直线上；②若，则过、两点的直线与直线平行；③若，则直线经过线段的中点；④若，则点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交.在上述说法中，所有正确说法的序号是 .三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．（本小题满分8分）关于的方程：04222=+--+m y x y x . （1）若方程表示圆，求实数的范围；（2）在方程表示圆时，若该圆与直线相交于两点， 且，求实数的值.18．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P AB C -中，BC ⊥平面APC，AB =， 2A P P CC B ===．（1）求证：AP ⊥平面PBC ；（2）求二面角P A B C --的大小．正视图 侧视图俯视图19．（本小题满分12分）已知圆经过椭圆2222:1(0)x ya ba bΓ+=>>的右焦点和上顶点,如图所示．（1）求椭圆的方程；（2）过原点的射线与椭圆在第一象限的交点为，与圆的交点为，为的中点，求的最大值.[来源: ]20．（本小题满分14分）已知函数,且,.（1）求､的值；（2）已知定点,设点是函数图象上的任意一点,求的最小值；（3）当时,不等式恒成立,求实数m的取值范围.CA参考答案一、选择题：CADBC ，CCBDA二、填空题： 11． ； 12.. 13.． 14.． 15． 18． 16.②③④三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17． 【解析】（Ⅰ）方程可化为m y x -=-+-5)2()1(22 若方程表示圆只需,所以的范围是-----3分由（Ⅰ）圆的圆心（1，2）半径为，过圆心作直线的垂线，为垂足， 则，又，知 -----6分则222)552()55()5(+=-m ，解得 -----8分18． （本小题满分12分）【解析】(Ⅰ）因为面，， 面， 所以， -----2分 因为，，所以． 又因为，所以， 故 -----4分因为，所以平面 -----6分 （Ⅱ）因为平面，所以面平面． 在面内作于，则平面． 过作于，连接，则即为二面角的平面角 -----9分 在Rt APC V 中，AP PCPQ AC ⋅==，在RtABC V 中，QR =故tan PQPRQ QR ∠==．从而二面角的大小为 -----12分19．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）在中，令得，即，令，得，即， -------------------2分 由，∴椭圆：. ------------------4分 （Ⅱ）法一：依题意射线的斜率存在，设，设 22184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：，∴. ---------------6分 ()OM OQ OC CM OQ OC OQ⋅=+⋅=⋅CBAP=222(1,1)(,)(1)x kx k x ⋅=+= ---------------9分 .设，则222222(1)1131112212243224()3()3[()]33k t k t t t t t +===≤+-+-+-+.当且仅当即. ---------------12分法二：设点，，()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅= . -----------------7分 又，设与联立得： . --------------9分令2201612(28)0b b b ∆=⇔--=⇒=±又点在第一象限，∴当时，取最大值. ----------12分 20．（本小题满分14分）【解析】 (1)由,得, 解得: ----------2分(2)由(1),所以22222||(1)(1)4()1x AP x y x x =-+=-++,令, ,则22222142||(2)4(1)4()8AP t t t t t t =-+-=+-++ 22222()4()4(2)t t t t t t =+-++=+-22||22()2AP t t t t ∴=+-=-+≥+[来源: ]即的最小值是,此时. ---------------8分【另解】221[(1)1]1||1(1)x x AP x x ++-+====+-+2||2[(1)]2)11()AP x x x ∴=-++≥+<-+ ---------------8分(3)问题即为对恒成立,也就是对恒成立,要使问题有意义,即，则,或. ----------10分法一:在或下,问题化为对恒成立, [来源:学,科,网]即对恒成立,即2mx m x mx m -≤≤+对恒成立,①当时,或,②当时,且对恒成立, 对于对恒成立,等价于, 令, ,则, ,22(1)121x t t x t t -==+-+,递增,, ,结合或,对于对恒成立,等价于 令, ,则, ,22(1)121x t t x t t +==++-,递减,, ,0124m m ∴<<<≤或, 综上: ----------14分法二:故问题转化为对恒成立, 其中或 令①若时,由于,故2()()g x x x m x mx =-=-, 在时单调递增,依题意, ,舍去;②若,由于,故22()()()24m m g x x m x x =-=--+, 考虑到,再分两种情形:(ⅰ),即,的最大值是, 依题意,即,;(ⅱ),即,在时单调递增,故, , ,舍去｡综上可得, ----------14分【另解】问题即为对恒成立,也就是对恒成立, 要使问题有意义,即，则或.（*）----------10分 此时，问题转化为对恒成立, 令，则首先4(2)2|2|43g m m m =-≤∴≤≤，则由（*）得 (缩小范围，避免讨论！)此时 22()()(),24122m g x x m x mm x =---<=+≤ 2max2 4.()(),24m m x m g g m ∴==∴<≤≤ ----------14分。
2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．直线y=x+1的倾斜角是（）A．B．C． D．2．“x=1”是“x2=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥44．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C 所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°5．已知直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0交于A，B两点．若|AB|=2，则实数a的值是（）A．﹣ B．﹣ C．D．26．已知直线l：mx﹣y﹣3=0（m∈R），则点P（2，1）到直线l的最大距离是（）A．2 B．2 C．3 D．57．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β8．设点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M 作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，则双曲线的离心率是（）A．﹣1 B．C． +1 D．29．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小10．设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（2，4） B．（1，3） C．（1，4） D．（2，3）二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是，渐近线方程是．12．已知向量=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），则||的值是，向量与之间的夹角是．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．14．设F为抛物线y2=12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|=5，则点M的横坐标x的值是，三角形OMF的面积是．15．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且=，=，=，用，，表示，则=．16．若在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1（O为坐标原点），则实数r的取值范围是．17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，且满足x1•y1+x2•y2=﹣，则y12+y22的值是．三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知直线l1：x+y﹣2=0，直线l2过点A（﹣2，0）且与直线l1平行．（1）求直线l2的方程；（2）点B在直线l1上，若|AB|=4，求点B的坐标．19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1中点．求证：（1）EF∥平面C1BD；（2）A1C⊥平面C1BD．20．已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分别是PA，PB，BC的中点；（1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆上的顶点，且∠PF1O=45°（O为坐标原点）．（1）求a，b的值；（2）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆交于C，D两点，且|AB|=|CD|．①求m1+m2的值；②求四边形ABCD的面积S的最大值．2016-2017学年浙江省湖州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．直线y=x+1的倾斜角是（）A．B．C． D．【考点】直线的倾斜角．【分析】由方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得所求．【解答】解：∵直线y=x+1的斜率为，∴直线y=x+1的倾斜角α满足tanα=，∴α=60°故选：B2．“x=1”是“x2=1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先判断由x=1能否推出“x2=1”，再判断由“x2=1”成立能否推出“x=1“成立，利用充要条件的定义判断出结论．【解答】解：当x=1成立则“x2=1”一定成立反之，当“x2=1”成立则x=±1即x=1不一定成立∴“x=1”是“x2=1”的充分不必要条件故选A．3．命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是（）A．若x2≥4，则x≥2或x≤﹣2 B．若﹣2＜x＜2，则x2＜4C．若x＞2或x＜﹣2，则x2＞4 D．若x≥2，或x≤﹣2，则x2≥4【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】原命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”．【解答】解：命题“若x2＜4，则﹣2＜x＜2”的逆否命题是“若x≤﹣2，或x≥2，则x2≥4”；故选：D．4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C 所成角的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与B1C所成角的大小．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则D（0，0，0），E（1，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（1，1，2），=（﹣2，0，﹣2），设异面直线DE与B1C1所成角为θ，则cosθ===，∴θ=30°．∴异面直线DE与B1C所成角的大小是30°．故选：D．5．已知直线ax+y﹣1=0与圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0交于A，B两点．若|AB|=2，则实数a的值是（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．【解答】解：圆方程化为（x﹣1）2+（y﹣4）2=4，可得圆心（1，4），半径r=2，∵弦长|AB|=2，圆心到直线的距离d==，解得：a=﹣，故选A．6．已知直线l：mx﹣y﹣3=0（m∈R），则点P（2，1）到直线l的最大距离是（）A．2 B．2 C．3 D．5【考点】点到直线的距离公式．【分析】求出直线系经过的定点，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：直线mx﹣y﹣3=0恒过（0，﹣3），点P（2，1）到直线mx﹣y﹣3=0的最远距离．就是点P（2，1）到（0，﹣3）的距离．所以=2．点P（2，1）到直线mx﹣y﹣3=0的最远距离：2．故选B．7．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βC．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C中，α与β相交或平行；在D中，α与β相交或平行．【解答】解：由设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在A中，若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，n⊥β，m∥n，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若m∥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．8．设点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M 作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，则双曲线的离心率是（）A．﹣1 B．C． +1 D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意M的坐标为M（，），代入双曲线方程可得e的方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意点F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点（O为坐标原点），以O为圆心，|F1F2|为直径的圆交双曲线于点M（第一象限）．若过点M作x轴的垂线，垂足恰为线段OF2的中点，△OMF2是正三角形，M的坐标为M（，），代入双曲线方程可得﹣=1∴e4﹣8e2+4=0，∴e2=4+2∴e=+1．故选：C．9．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案．【解答】解：A中，∵QEF平面也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面QEF的距离是定值．∴点P到平面QEF的距离为定值；B中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；C中，∵Q是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值；D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P ﹣EF﹣Q的大小为定值．故选：C．10．设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（2，4） B．（1，3） C．（1，4） D．（2，3）【考点】抛物线的简单性质．【分析】先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，相减得（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），当l的斜率存在时，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3．将x=3代入y2=4x，得y2=12，∴﹣2＜y0＜2，∵M在圆上，∴（x0﹣5）2+y02=r2，∴r2=y02+4≤12+4=16，∵直线l恰有4条，∴y0≠0，∴4＜r2＜16，故2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选A．二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11．在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是6，渐近线方程是y=±．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线方程，求解虚轴长与渐近线方程即可．【解答】解：在平面坐xOy中，双曲线﹣=1的虚轴长是：6；渐近线方程为：y=x．故答案为：；12．已知向量=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），则||的值是，向量与之间的夹角是120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由已知向量的坐标利用向量模的公式求，进一步求得，代入数量积求夹角公式求得向量与之间的夹角．【解答】解：由=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0），得，，，∴cos＜＞=，∴向量与之间的夹角是120°．故答案为：．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12，表面积为36．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为3正方形，EA⊥底面ABCD，EA=4．∴棱锥的体积V=．棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=5，∴棱锥的表面积S=32++=36．故答案为12；36．14．设F为抛物线y2=12x的焦点（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，若|MF|=5，则点M的横坐标x的值是2，三角形OMF的面积是3．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质，推出M的横坐标；然后求解三角形的面积．【解答】解：F为抛物线y2=12x的焦点（3，0）（O为坐标原点），M（x，y）为抛物线上一点，|MF|=5，设M的横坐标为x，可得|MF|=x﹣（﹣3），可得x=2；纵坐标为：y==．三角形OMF的面积是：=3．故答案为：；15．已知空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且=，=，=，用，，表示，则=．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】作出图象，由向量的运算法则易得答案，其中是解决问题的关键．【解答】解：如图结合向量的运算法则可得：===﹣=故答案为：16．若在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1（O为坐标原点），则实数r的取值范围是（4，6）．【考点】圆的一般方程．【分析】由题意画出图形，求出圆心到原点的距离，结合图形可得满足条件的圆的半径的范围．【解答】解：如图，圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）是以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，圆心到原点的距离为．要使圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2（r＞0）上存在着两个不同的点P，Q，使得|OP|=|OQ|=1．则4＜r＜6．故答案为：（4，6）．17．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，且满足x1•y1+x2•y2=﹣，则y12+y22的值是1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设A（cosα，sinα），B=（cosβ，sinβ），α，β∈[0，2π），则得到x1•y1+x2•y2=（sin2α+sin2β）=﹣，即sin2α+sin2β=﹣2，根据三角函数的性质，可得sin2α=sin2β=﹣1，即可求出α=，β=，即可求出答案．【解答】解：设A（cosα，sinα），B=（cosβ，sinβ），α，β∈[0，2π）∴x1•y1+x2•y2=sinαcosα+sinβcosβ=（sin2α+sin2β）=﹣，∴sin2α+sin2β=﹣2，∵﹣1≤sin2α≤1，﹣1≤sin2β≤1，∴sin2α=sin2β=﹣1，∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆+y2=1两个不同的动点，∴不妨令α=，β=，∴y12+y22=sin2α+sin2β=+=1，故答案为：1三、解答题（共5小题，满分74分）18．已知直线l1：x+y﹣2=0，直线l2过点A（﹣2，0）且与直线l1平行．（1）求直线l2的方程；（2）点B在直线l1上，若|AB|=4，求点B的坐标．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】（1）由题意得l1的斜率为﹣1，即可求直线l2的方程；（2）设B（x0，y0），则由点B在直线l1上得，x0+y0﹣2=0①，由|AB|=4得，②，联立①②，求点B的坐标．【解答】解：（1）由题意得l1的斜率为﹣1，…则直线l2的方程为y+2=﹣x即x+y+2=0．…（2）设B（x0，y0），则由点B在直线l1上得，x0+y0﹣2=0①…由|AB|=4得，②…联立①②解得，或即点B的坐标为B（2，0）或B（﹣2，4）．…19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1中点．求证：（1）EF∥平面C1BD；（2）A1C⊥平面C1BD．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AD1，由已知可证四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1，可证得EF∥BC1，又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，从而可证EF∥平面AB1D1．（2）连接AC，则AC⊥BD．可证AA1⊥平面ABCD，又AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，可证BD⊥平面AA1C，有A1C⊥BD．同理可证A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，即可证明A1C⊥平面C1BD．【解答】证明：（1）连接AD1，∵E，F分别是AD和DD1的中点，∴EF∥AD1∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AB∥D1C1，AB=D1C1，∴四边形ABC1D1为平行四边形，即有A1D∥BC1∴EF∥BC1．又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴EF∥平面AB1D1．（2）连接AC，则AC⊥BD．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD又AA1∩AC=A，∴BD⊥平面AA1C，∴A1C⊥BD．同理可证A1C⊥BC1，又BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD．20．已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|．（1）若点P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，当|QM|取最小值时，求直线QM的方程．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设P点的坐标为（x，y），利用动点P满足|PA|=2|PB|，求解曲线的方程C的方程．（2）求出圆的圆心与半径，求出圆心M到直线l1的距离，求出QM|的最小值，求出直线CQ的方程，得Q坐标，设切线方程为y+4=k（x﹣1），圆心到直线的距离，求出k求解直线方程．【解答】解：（1）设P点的坐标为（x，y），…因为两定点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，所以（x+3）2+y2=4[（x﹣3）2+y2]，…即（x﹣5）2+y2=16．所以此曲线的方程为（x﹣5）2+y2=16．…（2）因为（x﹣5）2+y2=16的圆心坐标为C（5，0），半径为4，则圆心M到直线l1的距离为，…因为点Q在直线l1：x+y+3=0上，过点Q的直线l2与曲线C：（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，所以QM|的最小值为．…直线CQ的方程为x﹣y﹣5=0，联立直线l1：x+y+3=0，可得Q（1，﹣4），…设切线方程为y+4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣4=0，…故圆心到直线的距离，得k=0，切线方程为y=﹣4；…当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，…因此直线QM的方程x=1或y=﹣4．…21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，G分别是PA，PB，BC的中点；（1）求直线EF与平面PAD所成角的大小；（2）若M为线段AB上一动点，问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG 所成角的正弦值等于？【考点】直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证AB⊥平面PAD，推出EF⊥平面PAD，即可求解直线EF与平面PAD所成角．（2）取AD中点O，连结OP．以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面EFG的法向量，求出，利用直线MF与平面EFG所成角为θ，通过空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD所以AB⊥平面PAD．…又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD，所以直线EF与平面PAD所成角的为：．…（2）取AD中点O，连结OP，因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD所以PO⊥平面ABCD…如图所示，以O点为原点，分别以射线OG，OD为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣2，0），B（4，﹣2，0），，，G（4，0，0）所以，…设平面EFG的法向量为，由即可取…设…即（x M，y M+2，z M）=λ（4，0，0），解得，即M（4λ，﹣2，0）．故…设直线MF与平面EFG所成角为θ，，…解得或．…因此AM=1或AM=3．…22．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆上的顶点，且∠PF1O=45°（O为坐标原点）．（1）求a，b的值；（2）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆交于C，D两点，且|AB|=|CD|．①求m1+m2的值；②求四边形ABCD的面积S的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件推出b=c=1，求出a，即可得到椭圆的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）联立，消去y得：，利用判别式以及韦达定理，求出弦长|AB|，|CD|，通过|AB|=|CD|，推出m1+m2=0．（ⅱ）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则，得到，求出三角形的面积表达式，路基本不等式求解即可．【解答】解：（1）因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．…故a2=2．所以椭圆的标准方程为．…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）由消去y得：，△=（4km1）2﹣4（2m12﹣2）（1+2k2）=8（1+2k2﹣m12）＞0x1+x2=，x1x2=…所以=同理…因为|AB|=|CD|，所以．得，又m1≠m2，所以m1+m2=0．…（ⅱ）由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．…又m1≠m2，所以，所以…．…（或）所以，当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…2017年2月17日。
2016-2017学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高二上学期期中考试数学一、选择题：共8题1．直线的倾斜角是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查直线的倾斜角与斜率.由题意得,即直线的倾斜角.选B.2．已知，那么下列不等式成立的是A. B.a+c<b+c C. D.【答案】D【解析】本题主要考查不等式的性质.解答本题时要注意利用不等式的性质，结合特殊值法进行排除.因为，则不妨设，则A中不成立；B中设，则不成立；C中不成立，D中成立，故选D. 【备注】统计历年的高考试题可以看出，不等式的性质是高考的一个考查方向，属于容易题，处于选择题的前3题.3．设是等差数列的前项和，若，则A.5B.7C.9D.11【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质与求和.因为为等差数列,所以=,即;所以=.选A.【备注】等差数列中，.4．如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为的正方形，则原图形的周长是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查直观图.还原出平面图形,如图平行四边形所示;其中,,所以;所以原图形的周长==8.选A.5．为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】C【解析】本题考查直线与平面的位置关系.对A,若，，，则不一定成立,排除A；对B,若，，，则不一定成立,排除B；对D,若，，，则不一定成立.排除D.选C.6．设一个球的表面积为S1,它的内接正方体的表面积为S2,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】设球的半径为R,其内接正方体的棱长为a,则易知R2=a2,即a=R,则==,选D.7．中，角所对的边分别为，已知且.若角为锐角，则的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查正弦定理,基本不等式.,由正弦定理得;而,即,所以,排除A,B,C.选D.8．四棱锥中，为正三角形，底面边长为1的正方形，平面平面，为底面内一动点，当时，点在底面正方形内(包括边界)的轨迹为A.一个点B.线段C.圆D.圆弧【答案】A【解析】本题考查空间向量的应用.由题意得:以的中点为坐标原点建立空间直角坐标系,,,令(,),所以,;而,即,即,整理得;而,,所以,,即,即点在底面正方形内(包括边界)的轨迹为一个点.选A.二、填空题：共7题9．已知直线：与：相交于点，若，则，此时点的坐标为 .【答案】，【解析】本题考查两直线垂直.因为直线与垂直,所以,解得;联立方程,解得,即点的坐标为.10．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为，它的表面积为 .【答案】，【解析】本题考查三视图,空间几何体的表面积与体积.还原出空间几何体,如图三棱锥所示,其中底面;=,所以三棱锥的体积;表面积=.11．如图，在长方体中，，，点在棱上移动，则直线与所成角的大小是，若，则直线与平面所成的角为 .【答案】，【解析】本题考查线面垂直,线面角.在长方体中，，所以,,而,所以面，而平面，∴；即直线与所成角的大小是; 若，则为的中点;取的中点,连接、,取的中点,连接;则面,此时为直线与平面所成的角；在直角三角形中,,,所以,所以,即直线与平面所成的角为.12．已知圆：，则圆的半径为，过点的直线中，被圆截得弦长最长的直线方程为 .【答案】，【解析】本题考查直线与圆的位置关系.圆:,其圆心，半径为；当过圆心时,弦长最长,此时直线的斜率,所以直线方程为,即过点的直线中，被圆截得弦长最长的直线方程为.13．设实数满足约束条件，则的取值范围为 .【答案】【解析】本题考查线性规划问题.画出可行域,如图三角形所示,,;而表示过点的直线的斜率;=,=;即，所以的取值范围为.14．已知圆的方程为，点的坐标为，设分别是直线：和圆上的动点，则的最小值为 .【答案】【解析】本题考查直线与圆的位置关系.由题意得,半径;点关于直线：的对称点,则;所以==,即的最小值为.15．已知关于的不等式的解集为，且，则的最小值是 .【答案】【解析】本题考查一元二次不等式,基本不等式.因为的解集为，所以,即,且;所以===(当且仅当时等号成立);即的最小值是.三、解答题：共4题16．在中，角的对边分别为，已知，其中为锐角.(1)求角的大小；(2)若，，求边的长.【答案】(1)由得，∵为锐角，∴，可得，∴.(2)由已知及余弦定理得，∴.【解析】本题考查二倍角公式,余弦定理.(1)由得，得，∴.(2)由余弦定理得.17．已知数列的前项和为，且.又数列满足.(1)求数列、的通项公式；(2)若，求使得不等式恒成立的实数的取值范围. 【答案】(1)由可得，∵，∴，∴，∴，即.∴数列是首项为，公比为4的等比数列，∴.又==，∴.(2)==；由恒成立，即恒成立设，∴当时，数列单调递减，当时，数列单调递增；即，∴数列最大项为；∴.【解析】本题考查等比数列,数列求和.(1)由得.∴数列是等比数列，∴，∴.(2)裂项相消得=；求得恒成立，∴.18．如图，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点.(1)证明；(2)证明底面；(3)求二面角的正弦值的大小.【答案】(1)证明：在四棱锥中，∵底面，平面，∴∵，，∴平面，而平面，∴.(2)证明：由，，可得∵是的中点，∴，由(1)知，且，∴平面，而平面，∴∵底面，在底面内的射影是，，∴又∵，综上得底面.(3)过点作，垂足为，连结.由(2)知平面，在平面内的射影是，∴∴是二面角的平面角.由已知得，设，可得，，，，在中，∵，∴，则.在中，.【解析】本题考查线面垂直,线面角.(1)∵底面，∴∵，∴平面，∴.(2)证得，所以底面.(3)∴是二面角的平面角.在中，求得.19．已知圆：及圆内一点，过任作一条弦(1)求面积的最大值及取得最大值时直线的方程；(2)若点在轴上，且使得为的一条内角平分线，求点的坐标.【答案】(1)设，则，当时，，此时到的距离为，，∴，直线的方程为.(2)当直线斜率不存在时，始终平分当直线斜率存在时，设直线：，设，由得：设，，则，.∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∴.【解析】本题考查直线与圆的位置关系,三角形的面积公式(1)，∴，直线为.(2)联立方程,套用根与系数的关系得，.∵，∴，求得，∴.。
2016学年第一学期高二年级数学期末考前训练理科（十四）建议完成时间：60分钟 实际完成时间： 分钟一、选择题（每题5分，共6小题）1、“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的” （ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2、若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是 （ A ）A ． 50<<kB ． 05<<-kC ． 130<<kD ． 50<<k3、若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+- ，则△ABC （ B ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形4、如图，l A B A B αβαβαβ⊥=∈∈ ，，，，，到l 的距离分别是a 和b ，AB 与αβ，所成的角分别是θ和ϕ，AB 在αβ，内的射影分别是m 和n ，若a b >，则（ D ）A ．m n θϕ>>，B ．m n θϕ><，C ．m n θϕ<<，D ．m n θϕ<>， 5、偶函数)(x f 在]0,1[-上为减函数，βα,为任意一个锐角三角形的两内角，则有（ A ）A ．)(cos )(sin βαf f >B ．)(sin )(sin βαf f >C ．)(cos )(cos βαf f >D ．)(sin )(cos βαf f >6.已知异面直线,a b ，过不在,a b 上的任意一点，下列结论有几个是正确的 （ B ）①一定可作直线l 与,a b 都相交； ②一定可作直线l 与,a b 都垂直；③一定可作直线l 与,a b 都平行； ④一定可作直线l 与,a b 都异面⑤一定可作平面与,a b 都平行 ⑥一定可作平面与,a b 都垂直⑦一定可作平面与,a b 都相交A.2B.3C.4D.5二、填空题（每题5分，共6题）7、函数()f x =)x (log .150-的定义域是 21≤<x ．8、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4562S S S =+，则数列{}n a 的公比的值为 2- 。
2016-2017学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）过A（0，1），B（3，5）两点的直线的斜率是（）A．B．C．D．2．（3分）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc23．（3分）直线在y轴上的截距是（）A．a B．b C．﹣a D．﹣b4．（3分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．5．（3分）设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④6．（3分）半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C．D．7．（3分）若圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB被点P（2，1）平分，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=08．（3分）已知正实数a，b满足a+b=2，则的最小值为（）A．B．3 C．D．9．（3分）能推出{a n}是递增数列的是（）A．{a n}是等差数列且递增B．S n是等差数列{a n}的前n项和，且递增C．{a n}是等比数列，公比为q＞1D．等比数列{a n}，公比为0＜q＜110．（3分）如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb 平面上的区域（不包含边界）为（）A． B．C．D．11．（3分）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 12．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题（本大题共6小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共30分）13．（4分）数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=，若，则a n=．14．（4分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=9，若P（x，y）是圆C上一动点，则x的取值范围是；的最大值是．15．（4分）已知点P在x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，则线段PQ中点M的轨迹方程是；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是．16．（3分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中x 的值是．17．（3分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），则关于x的不等式的解集为．18．（3分）已知动直线l的方程：cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），给出如下结论：①动直线l恒过某一定点；②存在不同的实数α1，α2，使相应的直线l1，l2平行；③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线；⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线；其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣2|（Ⅰ）写出不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）解不等式f（x）＜x．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧棱，∠SDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB与面SDC所成角的大小．21．（15分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P （3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）是否存在过点N（1，0）的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．22．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且（Ⅰ）求证：是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3na n，求数列{b n}的前n项和T n．2016-2017学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）过A（0，1），B（3，5）两点的直线的斜率是（）A．B．C．D．【解答】解：由斜率公式可得：k==故选A2．（3分）若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc2【解答】解：对于A，若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，正确；对于B，a=1，b=﹣1，不成立，故不正确；对于C，a=1，b=﹣1，不成立，故不正确；对于D，c=0，不成立，故不正确；故选A．3．（3分）直线在y轴上的截距是（）A．a B．b C．﹣a D．﹣b【解答】解：直线中，令x=0，解得y=﹣b，∴直线在y轴上的截距为﹣b．故选：D．4．（3分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，∴a2=a1q=2a1，S4==15a1，∴=，故选：B由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*），若a1＜a3＜a2，5．（3分）设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选C6．（3分）半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C．D．【解答】解：半径为R的半圆弧长为πR，圆锥的底面圆的周长为πR，圆锥的底面半径为：，所以圆锥的高：=．故选：B．7．（3分）若圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB被点P（2，1）平分，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【解答】解：由圆（x﹣1）2+y2=25，得到圆心C坐标为（1，0），又P（2，1），∴k PC=1，∴弦AB所在的直线方程斜率为﹣1，又P为AB的中点，则直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．故选B．8．（3分）已知正实数a，b满足a+b=2，则的最小值为（）A．B．3 C．D．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=2，则==≥=，当且仅当b=2a=4（﹣1）时取等号．因此最小值为．故选：A．9．（3分）能推出{a n}是递增数列的是（）A．{a n}是等差数列且递增B．S n是等差数列{a n}的前n项和，且递增C．{a n}是等比数列，公比为q＞1D．等比数列{a n}，公比为0＜q＜1【解答】解：对于B：S n=，=a1+，∵递增，∴d＞0，因此{a n}是递增数列．故选：B．10．（3分）如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb 平面上的区域（不包含边界）为（）A． B．C．D．【解答】解：因为函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，所以a≠0，△=b2﹣4a2＞0，即（b+2a）（b﹣2a）＞0，即或，则其表示的平面区域为选项C．故选C．11．（3分）如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 【解答】解：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC．故选D．12．（3分）如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共30分）13．（4分）数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=2n﹣1，若，则a n=2n﹣1．【解答】解：在数列{a n}中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，∴．故答案为：2n﹣1；2n﹣1．14．（4分）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=9，若P（x，y）是圆C上一动点，则x的取值范围是1≤x≤7；的最大值是．【解答】解：由题意|x﹣4|≤3，∴1≤x≤7，设=k，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=≤3，∴0≤k≤，∴的最大值是．故答案为1≤x≤7；．15．（4分）已知点P在x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，则线段PQ中点M的轨迹方程是x+2y+1=0；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是．【解答】解：由题意，线段PQ中点M的轨迹与已知直线平行，且距离相等，方程是x+2y+1=0；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是（0，0）到直线x+2y+1=0的距离，即=，故答案为：x+2y+1=0；．16．（3分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中x 的值是．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面直角梯形的直角顶点．则体积为וx=，解得x=．故答案为：．17．（3分）关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），则关于x的不等式的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．【解答】解：∵不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），∴a＞0且=1，∴a=b＞0；∴＞0⇔，∴或，解得x＞2或x＜﹣1；∴不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．18．（3分）已知动直线l的方程：cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），给出如下结论：①动直线l恒过某一定点；②存在不同的实数α1，α2，使相应的直线l1，l2平行；③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线；⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线；其中正确结论的序号是②③．【解答】解：对于①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P处的切线为cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），直线不会过一定点，故错；对于②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行，故正确；对于③，cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1⇒，所有使的点（x，y）都不在其上，故正确；对于④，⑤由③可得错．故答案为：②③三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣2|（Ⅰ）写出不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）解不等式f（x）＜x．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣2|≥0，故f（x）＞0的解集是：{x|x＞0且x≠2}；（Ⅱ）由x|x﹣2|＜x，得：，或，解得：1＜x＜3，或x＜0，故不等式的解集是{x|1＜x＜3或x＜0}．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧棱，∠SDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB与面SDC所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵SD=2，SA=2，∴AD⊥SD，又AD⊥CD，CD⊂侧面SDC，SD⊂侧面SDC，且SD∩CD=D，∴AD⊥侧面SDC；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，AD⊥侧面SDC，∴∠BSC是棱SB与面SDC所成角．△SDC中，SD=2，DC=2，∠SDC=120°，∴SC=2，△BSC中，tan∠BSC=，∴∠BSC=30°，∴棱SB与面SDC所成角为30°．21．（15分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P （3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）是否存在过点N（1，0）的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y+2=x﹣3，即y=x﹣5．（1分）与直线y=﹣4x联立，解得x=1，y=﹣4，∴圆心为（1，﹣4），…（2分）∴半径r==2，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．…（4分）（Ⅱ）①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，原点到直线的距离为d=1，同时令x=1代入圆方程得y=﹣4，∴|EF|=4，=满足题意，∴S△OEF此时方程为x=1．…（8分）②当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），圆心C（1，﹣4）到直线l的距离d=，…（9分）设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，在Rt△CDE中，DE==，∴EF=，原点到直线l的距离=，…（10分）=•=2，…（12分）∴S△OEF整理，得3k2+1=0，不存在这样的实数k．综上所述，所求的直线方程为x=1．…（14分）22．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且（Ⅰ）求证：是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3na n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】证明：（Ⅰ）∵S n是数列{a n}的前n项和，且，∴===﹣1．由，得{}是首项为﹣，公比为﹣1的等比数列，∴=﹣（﹣1）n，∴a n =．解：（Ⅱ）b n=3na n=n•2n﹣1+（﹣1）n•n，取{n•2n﹣1}前n项和A n，{（﹣1）n•n}前n项和B n，则，2A n=1•23+2•24+3•25+…+n•2n+2，则﹣A n=22+23+24+…+2n+1﹣n•2n+2=，∴，当n是奇数时，B n=（﹣1）+2+（﹣3）+4+（﹣5）+…+（﹣n）=﹣，当n是偶数时，B n=（﹣1）+2+（﹣3）+4+（﹣5）+，∴T n =．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为MFEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
2016-2017学年浙江省杭州市高二（下）期末考试数学试卷一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 设集合A={x|x≤3，x∈N*}，B={﹣2，0，2，3}，则A∩B=（）A. {3}B. {2，3}C. {0，2，3}D. {﹣2，0，2}【答案】B【解析】∵A=1,2,3∴A∩B=2，3,选B点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. 设d为点P（1，0）到直线x﹣2y+1=0的距离，则d=（）A. 55 B. 255C. 355D. 455【答案】B【解析】d=1+4=255选B3. 设向量a =（﹣1，﹣1，1），b=（﹣1，0，1），则cos＜a，b＞=（）A. B. 22C. 32D. 63【答案】D【解析】cos a,b=++3⋅263选D4. 下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】图A,B,D中,对任意的x只有唯一的y与其对应，而在图C中，当x>0时，由两个y值与其对应，故选C5. sin15°cos15°=（）A. B. 34C. D. 32【答案】A【解析】sin15°cos15°=12⋅2sin15°cos15°=12sin30°=14，选A6. 函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A. （0，1）B. [0，1]C. （﹣∞，0）∪（1，+∞）D. （﹣∞，0]∪[1，+∞）【答案】C【解析】x2−x>0,解得x<0或x>1，则定义域为(−∞,0)∪(1,+∞)，选C7. 若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A. 若l∥α，m∥α，则l∥mB. 若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC. 若l∥α，m⊂α，则l∥mD. 若l⊥α，l∥m，则m⊥α【答案】D【解析】选项A错误，两直线可能相交；选项B错误，直线可能在平面α内；选项C 错误，只有当直线l,m在同一平面内时有l//m选项D正确，故选D8. 若x∈R，则“x＞1”是“1x<1”的（）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当x>1时，有1x <1；当1x<1时，有x>1或x<0，故“x＞1”是“1x<1”的充分非必要条件，故选A点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．9. 下列函数是奇函数的是（）A. f（x）=x2+2|x|B. f（x）=x•sinxC. f（x）=2x+2﹣xD. f(x)=cos xx【答案】D【解析】选项A：f（−x）=x2+2x=f(x)，是偶函数；选项B：f（−x）=−x•si n−x=x sin x，偶函数；选项C：f（−x）=2−x+2x=f x，偶函数；选项D：f−x=cos（−x）−x =−cos xx=−f x，奇函数，故选D10. 圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（）A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【答案】B【解析】试题分析：由题两圆的圆心分别为(−2,0)，(2,1)，圆心距为+1=17，两圆的半径分别为2,3，由于3−2<17<3+2，所以两圆相交。
2016—2017学年浙江省杭州市高二（上)期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．过A（0，1),B（3,5)两点的直线的斜率是（）A．B．C．D．2．若a，b，c∈R,则下列说法正确的是（)A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc23．直线在y轴上的截距是()A．a B．b C．﹣a D．﹣b4．设等比数列｛a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（) A．B．C．D．5．设m，n是不同的直线，α,β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（)A．①④B．②③C．①③D．②④6．半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C． D．7．若圆（x﹣1)2+y2=25的弦AB被点P(2，1）平分，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=08．已知正实数a，b满足a+b=2，则的最小值为（)A．B．3 C．D．9．能推出{a n}是递增数列的是（)A．｛a n｝是等差数列且递增B．S n是等差数列{a n}的前n项和，且递增C．｛a n}是等比数列,公比为q＞1D．等比数列{a n｝，公比为0＜q＜110．如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a,b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）A． B．C． D．11．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 12．如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=,则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题（本大题共6小题,单空题每空4分，多空题每空3分，共30分）13．数列｛a n}中，已知a1=1，若,则a n=,若，则a n=．14．已知圆C：(x﹣4）2+（y﹣3)2=9,若P(x，y）是圆C上一动点，则x的取值范围是；的最大值是．15．已知点P在x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上,则线段PQ中点M的轨迹方程是;若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是．16．某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是，则正视图中x的值是．17．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞)，则关于x的不等式的解集为．18．已知动直线l的方程：cosα•(x﹣2）+sinα•(y+1)=1(α∈R)，给出如下结论:①动直线l恒过某一定点；②存在不同的实数α1，α2,使相应的直线l1，l2平行;③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线；⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线；其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共4小题,共54分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19．(12分)已知函数f（x)=x|x﹣2｜（Ⅰ）写出不等式f(x)＞0的解集；（Ⅱ）解不等式f（x)＜x．20．（12分）如图,在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧棱,∠SDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；（Ⅱ)求棱SB与面SDC所成角的大小．21．（15分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上,且与直线x+y﹣1=0相切于点P （3，﹣2）．（Ⅰ)求圆C方程;（Ⅱ)是否存在过点N（1，0)的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2(O为坐标原点）．若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由．22．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且（Ⅰ）求证：是等比数列,并求｛a n}的通项公式;（Ⅱ）设b n=3na n，求数列｛b n｝的前n项和T n．2016—2017学年浙江省杭州市高二(上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题，每小题3分,共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．过A（0,1)，B（3，5）两点的直线的斜率是（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【分析】直接应用斜率公式求解．【解答】解：由斜率公式可得：k==故选A【点评】本题主要考查直线的斜率公式，比较基础．2．若a，b，c∈R,则下列说法正确的是（）A．若a＞b,则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b,则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc2【考点】不等式比较大小．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若a＞b,则a﹣c＞b﹣c，正确;对于B，a=1，b=﹣1，不成立，故不正确；对于C，a=1，b=﹣1,不成立，故不正确；对于D,c=0，不成立，故不正确；故选A．【点评】本题考查不等式的性质,考查学生分析解决问题的能力，比较基础．3．直线在y轴上的截距是（)A．a B．b C．﹣a D．﹣b【考点】直线的截距式方程．【分析】令x=0，求出y的值即为直线在y轴上的截距．【解答】解：直线中，令x=0，解得y=﹣b,∴直线在y轴上的截距为﹣b．故选:D．【点评】本题考查直线方程的纵截距的求法,是基础题，解题时要认真审题，注意直线的性质的合理运用．4．设等比数列｛a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的通项公式和求和公式,代入要求的式子化简可得．【解答】解：等比数列{a n｝的公比q=2，前n项和为S n，∴a2=a1q=2a1,S4==15a1，∴=，故选：B由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n(n﹣1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3,即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），(＊），若a1＜a3＜a2,【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．5．设m，n是不同的直线，α，β,γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【考点】命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【解答】解:对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β,α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C,A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行,而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β,故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确,故选C【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6．半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C． D．【考点】棱锥的结构特征．【分析】半径为R的半圆弧长为πR，圆锥的底面圆的周长为πR,圆锥的底面半径为：,由此能求出圆锥的高．【解答】解：半径为R的半圆弧长为πR，圆锥的底面圆的周长为πR,圆锥的底面半径为：，所以圆锥的高：=．故选：B．【点评】本题考查圆锥的高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用．7．若圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB被点P(2，1）平分，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心C的坐标，连接CP，由P为弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得到CP垂直于AB，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由P 与C的坐标求出直线PC的斜率,进而确定出弦AB所在直线的斜率，由P的坐标及求出的斜率，写出直线AB的方程即可．【解答】解：由圆（x﹣1)2+y2=25，得到圆心C坐标为（1,0），又P（2，1)，∴k PC=1，∴弦AB所在的直线方程斜率为﹣1,又P为AB的中点,则直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2)，即x+y﹣3=0．故选B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有:圆的标准方程，垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程,根据题意得出直线PC与直线AB垂直是解本题的关键．8．已知正实数a，b满足a+b=2,则的最小值为（)A．B．3 C．D．【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法"与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=2，则==≥=，当且仅当b=2a=4(﹣1）时取等号．因此最小值为．故选：A．【点评】本题考查了“乘1法"与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．能推出｛a n｝是递增数列的是（）A．｛a n｝是等差数列且递增B．S n是等差数列｛a n}的前n项和，且递增C．{a n}是等比数列，公比为q＞1D．等比数列{a n}，公比为0＜q＜1【考点】数列的函数特性．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其单调性即可判断出结论．【解答】解：对于B：S n=，=a1+，∵递增，∴d＞0，因此｛a n}是递增数列．故选:B．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点,则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）A． B．C． D．【考点】二元一次不等式(组）与平面区域．【分析】由y=ax2+bx+a的图象与x轴有两上交点，知△＞0；进一步整理为a、b 的二元一次不等式组，再画出其表示的平面区域即可．【解答】解:因为函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4a2＞0，即（b+2a）（b﹣2a）＞0，即或，则其表示的平面区域为选项C．故选C．【点评】本题主要考查由二元一次不等式组（数）画出其表示的平面区域（形)的能力．11．如图所示，四边形ABCD中,AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC,则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】证明CD⊥平面ABD,因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，即可得到平面ADC⊥平面ABC．【解答】解:由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC,于是得到平面ADC⊥平面ABC．故选D．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．12．如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（)A．AC⊥BEB．EF∥面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【考点】命题的真假判断与应用．【分析】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．【解答】解：连结BD,则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1,∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值,从而A,B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等,∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等,故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，涉及到空间位置关系，属于基础题．．二、填空题（本大题共6小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共30分）13．数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=2n﹣1,若，则a n=2n﹣1．【考点】数列递推式．【分析】由已知递推式a n﹣a n﹣1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．【解答】解：在数列｛a n}中，由,可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；由，可知数列是公比为2的等比数列,又a1=1，∴．故答案为：2n﹣1；2n﹣1．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式,是基础题．14．已知圆C:（x﹣4)2+（y﹣3）2=9，若P(x,y)是圆C上一动点，则x的取值范围是1≤x≤7；的最大值是．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意｜x﹣4｜≤3，可得x的取值范围；设=k，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=≤3，可得的最大值．【解答】解：由题意｜x﹣4｜≤3,∴1≤x≤7,设=k，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=≤3，∴0≤k≤,∴的最大值是．故答案为1≤x≤7；．【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式，属于中档题．15．已知点P在x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，则线段PQ中点M的轨迹方程是x+2y+1=0；若点M的坐标（x,y)又满足不等式，则的最小值是．【考点】轨迹方程;分段函数的应用．【分析】由题意，线段PQ中点M的轨迹与已知直线平行,且距离相等，可得方程；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是(0，0）到直线x+2y+1=0的距离．【解答】解：由题意，线段PQ中点M的轨迹与已知直线平行，且距离相等,方程是x+2y+1=0;若点M的坐标（x，y)又满足不等式，则的最小值是(0，0）到直线x+2y+1=0的距离，即=，故答案为:x+2y+1=0;．【点评】本题考查直线方程,考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．16．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中x的值是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形,一条长为x的侧棱垂直于底面直角梯形的直角顶点．通过几何体的体积求出x的值．【解答】解:由三视图可知：原几何体是一个四棱锥,其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面直角梯形的直角顶点．则体积为וx=，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查了三视图,由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键；考查空间想象能力与计算能力．17．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞)，则关于x的不等式的解集为(﹣∞，1）∪（2,+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】依题意，可知a=b＞0，从而可解不等式的解集．【解答】解：∵不等式ax﹣b＞0的解集为（1,+∞），∴a＞0且=1，∴a=b＞0；∴＞0⇔，∴或,解得x＞2或x＜﹣1；∴不等式的解集为（﹣∞,﹣1）∪(2，+∞）．故答案为:(﹣∞，﹣1）∪（2,+∞）．【点评】本题考查分式不等式的解法，求得a=b＞0是关键，考查分析、运算能力,属于中档题．18．已知动直线l的方程：cosα•(x﹣2)+sinα•(y+1）=1（α∈R)，给出如下结论:①动直线l恒过某一定点；②存在不同的实数α1，α2,使相应的直线l1，l2平行;③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线；⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线;其中正确结论的序号是②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①,圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα)，则点P处的切线为cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1)=1(α∈R）；②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行；③，cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1⇒，所有使的点(x，y）都不在其上；对于④，⑤由③可判定．【解答】解：对于①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P处的切线为cosα•（x﹣2)+sinα•（y+1)=1（α∈R)，直线不会过一定点，故错；对于②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1,相应的直线l1，l2平行,故正确；对于③,cosα•(x﹣2）+sinα•（y+1）=1⇒,所有使的点（x，y）都不在其上，故正确；对于④，⑤由③可得错．故答案为:②③【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到直线方程的知识，属于基础题．三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19．（12分）（2016秋•杭州期末）已知函数f(x）=x|x﹣2|（Ⅰ）写出不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）解不等式f（x）＜x．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据|x﹣2|≥0，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣2｜≥0，故f（x)＞0的解集是：｛x|x＞0且x≠2}；（Ⅱ)由x|x﹣2|＜x，得：,或，解得：1＜x＜3,或x＜0,故不等式的解集是｛x｜1＜x＜3或x＜0}．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想，是一道基础题．20．（12分）（2016秋•杭州期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧棱，∠SDC=120°．(Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB与面SDC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由SD=2，SA=2，得AD⊥SD，又AD⊥CD，由线面垂直的判定得AD⊥侧面SDC；（Ⅱ)证明∠BSC棱SB与面SDC所成角，即可求棱SB与面SDC所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明:∵SD=2，SA=2，∴AD⊥SD，又AD⊥CD，CD⊂侧面SDC，SD⊂侧面SDC，且SD∩CD=D,∴AD⊥侧面SDC；（Ⅱ)解：∵BC∥AD，AD⊥侧面SDC，∴∠BSC是棱SB与面SDC所成角．△SDC中,SD=2,DC=2，∠SDC=120°,∴SC=2，△BSC中,tan∠BSC=，∴∠BSC=30°，∴棱SB与面SDC所成角为30°．【点评】本题主要考查线面垂直，考查线面角的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（15分)（2016秋•杭州期末）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上,且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）．(Ⅰ)求圆C方程；(Ⅱ）是否存在过点N（1,0)的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程,若不存在,请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与直线y=﹣4x联立，解得圆心为(1，﹣4)，由此能求出圆的方程．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l方程为x=1,满足题意;当斜率存在时,设直线l的方程为y=k（x﹣1）,由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数k．从而所求的直线方程为x=1．【解答】解：（Ⅰ）过切点P（3,2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y+2=x﹣3，即y=x﹣5．（1分)与直线y=﹣4x联立，解得x=1，y=﹣4，∴圆心为（1,﹣4)，…（2分）∴半径r==2，∴所求圆的方程为(x﹣1)2+（y+4）2=8．…(Ⅱ）①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，原点到直线的距离为d=1，同时令x=1代入圆方程得y=﹣4，∴｜EF|=4，=满足题意,∴S△OEF此时方程为x=1．…（8分)②当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），圆心C（1，﹣4)到直线l的距离d=，…（9分）设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，在Rt△CDE中，DE==，∴EF=，原点到直线l的距离=，…（10分)=•=2，…（12分）∴S△OEF整理，得3k2+1=0，不存在这样的实数k．综上所述,所求的直线方程为x=1．…(14分）【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程存在性的讨论及其求法，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．22．（14分）(2016秋•杭州期末)已知S n是数列{a n}的前n项和,且（Ⅰ）求证:是等比数列，并求｛a n}的通项公式;（Ⅱ）设b n=3na n，求数列｛b n｝的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ)由==﹣1．由，能证明{}是等比数列，由此能求出{a n｝的通项公式．（Ⅱ）由b n=3na n=n•2n﹣1+（﹣1）n•n，利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】证明：（Ⅰ）∵S n是数列{a n｝的前n项和，且,∴===﹣1．由，得｛｝是首项为﹣，公比为﹣1的等比数列，∴=﹣(﹣1)n，∴a n=．解：（Ⅱ）b n=3na n=n•2n﹣1+(﹣1）n•n，取｛n•2n﹣1｝前n项和A n，｛（﹣1）n•n}前n项和B n，则，2A n=1•23+2•24+3•25+…+n•2n+2，则﹣A n=22+23+24+…+2n+1﹣n•2n+2=,∴,当n是奇数时，B n=（﹣1)+2+（﹣3)+4+（﹣5）+…+（﹣n)=﹣，当n是偶数时，B n=（﹣1)+2+（﹣3）+4+（﹣5）+，∴T n=．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和错位相减法的合理运用．。
2016-2017学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．过A（0，1），B（3，5）两点的直线的斜率是（）A．B．C．D．2．若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc23．直线在y轴上的截距是（）A．a B．b C．﹣a D．﹣b4．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．5．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④6．半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C． D．7．若圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB被点P（2，1）平分，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=08．已知正实数a，b满足a+b=2，则的最小值为（）A．B．3 C．D．9．能推出{a n}是递增数列的是（）A．{a n}是等差数列且递增B．S n是等差数列{a n}的前n项和，且递增C．{a n}是等比数列，公比为q＞1D．等比数列{a n}，公比为0＜q＜110．如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）A． B．C． D．11．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题（本大题共6小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共30分）13．数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=，若，则a n=．14．已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=9，若P（x，y）是圆C上一动点，则x的取值范围是；的最大值是．15．已知点P在x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，则线段PQ中点M的轨迹方程是；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是．16．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中x的值是．17．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），则关于x的不等式的解集为．18．已知动直线l的方程：cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），给出如下结论：①动直线l恒过某一定点；②存在不同的实数α1，α2，使相应的直线l1，l2平行；③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线；⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线；其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19．（12分）已知函数f（x）=x|x﹣2|（Ⅰ）写出不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）解不等式f（x）＜x．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧棱，∠SDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB与面SDC所成角的大小．21．（15分）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P （3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）是否存在过点N（1，0）的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．22．（14分）已知S n是数列{a n}的前n项和，且（Ⅰ）求证：是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3na n，求数列{b n}的前n项和T n．2016-2017学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．过A（0，1），B（3，5）两点的直线的斜率是（）A．B．C．D．【考点】直线的斜率．【分析】直接应用斜率公式求解．【解答】解：由斜率公式可得：k==故选A【点评】本题主要考查直线的斜率公式，比较基础．2．若a，b，c∈R，则下列说法正确的是（）A．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c B．若a＞b，则C．若a＞b，则a2＞b2D．若a＞b，则ac2＞bc2【考点】不等式比较大小．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若a＞b，则a﹣c＞b﹣c，正确；对于B，a=1，b=﹣1，不成立，故不正确；对于C，a=1，b=﹣1，不成立，故不正确；对于D，c=0，不成立，故不正确；故选A．【点评】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．3．直线在y轴上的截距是（）A．a B．b C．﹣a D．﹣b【考点】直线的截距式方程．【分析】令x=0，求出y的值即为直线在y轴上的截距．【解答】解：直线中，令x=0，解得y=﹣b，∴直线在y轴上的截距为﹣b．故选：D．【点评】本题考查直线方程的纵截距的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的性质的合理运用．4．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得．【解答】解：等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，∴a2=a1q=2a1，S4==15a1，∴=，故选：B由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*），若a1＜a3＜a2，【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．5．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①②③④其中，真命题是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【考点】命题的真假判断与应用；平面的基本性质及推论．【分析】对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．【解答】解：对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确对应④m有可能在平面α内，故不正确，故选C【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．6．半径为R的半圆卷成底面最大的圆锥，所得圆锥的高为（）A．B．C． D．【考点】棱锥的结构特征．【分析】半径为R的半圆弧长为πR，圆锥的底面圆的周长为πR，圆锥的底面半径为：，由此能求出圆锥的高．【解答】解：半径为R的半圆弧长为πR，圆锥的底面圆的周长为πR，圆锥的底面半径为：，所以圆锥的高：=．故选：B．【点评】本题考查圆锥的高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用．7．若圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB被点P（2，1）平分，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心C的坐标，连接CP，由P为弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得到CP垂直于AB，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，由P 与C的坐标求出直线PC的斜率，进而确定出弦AB所在直线的斜率，由P的坐标及求出的斜率，写出直线AB的方程即可．【解答】解：由圆（x﹣1）2+y2=25，得到圆心C坐标为（1，0），又P（2，1），∴k PC=1，∴弦AB所在的直线方程斜率为﹣1，又P为AB的中点，则直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣2），即x+y﹣3=0．故选B．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，垂径定理，两直线垂直时斜率满足的关系，以及直线的点斜式方程，根据题意得出直线PC与直线AB垂直是解本题的关键．8．已知正实数a，b满足a+b=2，则的最小值为（）A．B．3 C．D．【考点】基本不等式．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=2，则==≥=，当且仅当b=2a=4（﹣1）时取等号．因此最小值为．故选：A．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．能推出{a n}是递增数列的是（）A．{a n}是等差数列且递增B．S n是等差数列{a n}的前n项和，且递增C．{a n}是等比数列，公比为q＞1D．等比数列{a n}，公比为0＜q＜1【考点】数列的函数特性．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其单调性即可判断出结论．【解答】解：对于B：S n=，=a1+，∵递增，∴d＞0，因此{a n}是递增数列．故选：B．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．如果函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为（）A． B．C． D．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由y=ax2+bx+a的图象与x轴有两上交点，知△＞0；进一步整理为a、b 的二元一次不等式组，再画出其表示的平面区域即可．【解答】解：因为函数y=ax2+bx+a的图象与x轴有两个交点，所以△=b2﹣4a2＞0，即（b+2a）（b﹣2a）＞0，即或，则其表示的平面区域为选项C．故选C．【点评】本题主要考查由二元一次不等式组（数）画出其表示的平面区域（形）的能力．11．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使面ABD⊥面BCD，连结AC，则下列命题正确的是（）A．面ABD⊥面ABC B．面ADC⊥面BDC C．面ABC⊥面BDC D．面ADC⊥面ABC 【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】证明CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，即可得到平面ADC⊥平面ABC．【解答】解：由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD．在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD．又因为AB⊥AD，AD∩DC=D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC．故选D．【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等【考点】命题的真假判断与应用．【分析】连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．【解答】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A﹣BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，涉及到空间位置关系，属于基础题．．二、填空题（本大题共6小题，单空题每空4分，多空题每空3分，共30分）13．数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=2n﹣1，若，则a n=2n﹣1．【考点】数列递推式．【分析】由已知递推式a n﹣a n﹣1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．【解答】解：在数列{a n}中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，∴．故答案为：2n﹣1；2n﹣1．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．14．已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=9，若P（x，y）是圆C上一动点，则x的取值范围是1≤x≤7；的最大值是．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由题意|x﹣4|≤3，可得x的取值范围；设=k，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=≤3，可得的最大值．【解答】解：由题意|x﹣4|≤3，∴1≤x≤7，设=k，即kx﹣y=0，圆心到直线的距离d=≤3，∴0≤k≤，∴的最大值是．故答案为1≤x≤7；．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．15．已知点P在x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，则线段PQ中点M的轨迹方程是x+2y+1=0；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是．【考点】轨迹方程；分段函数的应用．【分析】由题意，线段PQ中点M的轨迹与已知直线平行，且距离相等，可得方程；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是（0，0）到直线x+2y+1=0的距离．【解答】解：由题意，线段PQ中点M的轨迹与已知直线平行，且距离相等，方程是x+2y+1=0；若点M的坐标（x，y）又满足不等式，则的最小值是（0，0）到直线x+2y+1=0的距离，即=，故答案为：x+2y+1=0；．【点评】本题考查直线方程，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．16．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中x的值是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面直角梯形的直角顶点．通过几何体的体积求出x的值．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面直角梯形的直角顶点．则体积为וx=，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查了三视图，由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键；考查空间想象能力与计算能力．17．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），则关于x的不等式的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】依题意，可知a=b＞0，从而可解不等式的解集．【解答】解：∵不等式ax﹣b＞0的解集为（1，+∞），∴a＞0且=1，∴a=b＞0；∴＞0⇔，∴或，解得x＞2或x＜﹣1；∴不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【点评】本题考查分式不等式的解法，求得a=b＞0是关键，考查分析、运算能力，属于中档题．18．已知动直线l的方程：cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），给出如下结论：①动直线l恒过某一定点；②存在不同的实数α1，α2，使相应的直线l1，l2平行；③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上；④动直线l可表示坐标平面上除x=2，y=﹣1之外的所有直线；⑤动直线l可表示坐标平面上的所有直线；其中正确结论的序号是②③．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P 处的切线为cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R）；②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行；③，cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1⇒，所有使的点（x，y）都不在其上；对于④，⑤由③可判定．【解答】解：对于①，圆（x﹣2）2+（y+1）2=1上任一点P（2+cosα，﹣1+sinα），则点P处的切线为cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），直线不会过一定点，故错；对于②，当≠0时，直线的斜率k=﹣，存在不同的实数α1，α1，使cotα1=cotα1，相应的直线l1，l2平行，故正确；对于③，cosα•（x﹣2）+sinα•（y+1）=1⇒，所有使的点（x，y）都不在其上，故正确；对于④，⑤由③可得错．故答案为：②③【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到直线方程的知识，属于基础题．三、解答题（本大题共4小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）19．（12分）（2016秋•杭州期末）已知函数f（x）=x|x﹣2|（Ⅰ）写出不等式f（x）＞0的解集；（Ⅱ）解不等式f（x）＜x．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据|x﹣2|≥0，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣2|≥0，故f（x）＞0的解集是：{x|x＞0且x≠2}；（Ⅱ）由x|x﹣2|＜x，得：，或，解得：1＜x＜3，或x＜0，故不等式的解集是{x|1＜x＜3或x＜0}．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．20．（12分）（2016秋•杭州期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧棱，∠SDC=120°．（Ⅰ）求证：AD⊥面SDC；（Ⅱ）求棱SB与面SDC所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由SD=2，SA=2，得AD⊥SD，又AD⊥CD，由线面垂直的判定得AD⊥侧面SDC；（Ⅱ）证明∠BSC棱SB与面SDC所成角，即可求棱SB与面SDC所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵SD=2，SA=2，∴AD⊥SD，又AD⊥CD，CD⊂侧面SDC，SD⊂侧面SDC，且SD∩CD=D，∴AD⊥侧面SDC；（Ⅱ）解：∵BC∥AD，AD⊥侧面SDC，∴∠BSC是棱SB与面SDC所成角．△SDC中，SD=2，DC=2，∠SDC=120°，∴SC=2，△BSC中，tan∠BSC=，∴∠BSC=30°，∴棱SB与面SDC所成角为30°．【点评】本题主要考查线面垂直，考查线面角的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（15分）（2016秋•杭州期末）已知圆C的圆心在直线y=﹣4x上，且与直线x+y﹣1=0相切于点P（3，﹣2）．（Ⅰ）求圆C方程；（Ⅱ）是否存在过点N（1，0）的直线l与圆C交于E、F两点，且△OEF的面积是2（O为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y=x﹣5，与直线y=﹣4x联立，解得圆心为（1，﹣4），由此能求出圆的方程．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l方程为x=1，满足题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），由点到直线距离公式结合已知条件推导出不存在这样的实数k．从而所求的直线方程为x=1．【解答】解：（Ⅰ）过切点P（3，2）且与x+y﹣1=0垂直的直线为y+2=x﹣3，即y=x﹣5．（1分）与直线y=﹣4x联立，解得x=1，y=﹣4，∴圆心为（1，﹣4），…（2分）∴半径r==2，∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2=8．…（Ⅱ）①当斜率不存在时，此时直线l方程为x=1，原点到直线的距离为d=1，同时令x=1代入圆方程得y=﹣4，∴|EF|=4，=满足题意，∴S△OEF此时方程为x=1．…（8分）②当斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），圆心C（1，﹣4）到直线l的距离d=，…（9分）设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，在Rt△CDE中，DE==，∴EF=，原点到直线l的距离=，…（10分）=•=2，…（12分）∴S△OEF整理，得3k2+1=0，不存在这样的实数k．综上所述，所求的直线方程为x=1．…（14分）【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线方程存在性的讨论及其求法，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．22．（14分）（2016秋•杭州期末）已知S n是数列{a n}的前n项和，且（Ⅰ）求证：是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=3na n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由==﹣1．由，能证明{}是等比数列，由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）由b n=3na n=n•2n﹣1+（﹣1）n•n，利用分组求和法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】证明：（Ⅰ）∵S n是数列{a n}的前n项和，且，∴===﹣1．由，得{}是首项为﹣，公比为﹣1的等比数列，∴=﹣（﹣1）n，∴a n=．解：（Ⅱ）b n=3na n=n•2n﹣1+（﹣1）n•n，取{n•2n﹣1}前n项和A n，{（﹣1）n•n}前n项和B n，则，2A n=1•23+2•24+3•25+…+n•2n+2，则﹣A n=22+23+24+…+2n+1﹣n•2n+2=，∴，当n是奇数时，B n=（﹣1）+2+（﹣3）+4+（﹣5）+…+（﹣n）=﹣，当n是偶数时，B n=（﹣1）+2+（﹣3）+4+（﹣5）+，∴T n=．【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法和错位相减法的合理运用．。
