固体与半导体物理-第三章晶格振动与晶体的热学性质-1
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第三章晶格振动与晶体的热学性质第三章晶格振动与晶体的热学性质晶体中的格点表示原子的平衡位置,晶格振动便是指原子在格点附近的振动。
晶格振动对晶体的电学、光学、磁学、介电性质、结构相变和超导电性都有重要的作用。
本章的主题用最邻近原子间简谐力模型来讨论劲歌振动的本征频率;并用格波来描述晶体原子的集体运动;再用量子理论来表述格波相应的能量量子、3.1 连续介质中的波波动方程22220u ux Y tρ??-=??对足够长的介质,求行波的解:s v q ω=其中波相速ω=称作色散关系。
3.2 一维晶格振动格波讨论晶格振动时采用了绝热近似,近邻近似和简谐近似。
绝热近似:考虑离子运动时,可以近似认为电子很快适应离子的位置变化。
为简单化,可以将离子的运动看成是近似成中性原子的运动。
近邻近似:在晶格振动中,只考虑最近邻的原子间的相互作用;简谐近似:在原子的互作用势能展开式中,只取到二阶项。
0020021()()()()......2r r dU d U U r U r dr dr δ+=+++简谐近似——振动很微弱,势能展式中作二级近似:00'''001()()||2r r U r U r U U δ+=++相邻原子间的作用力02222,r Ud U d U f dr dr δβδβδ=-=-=-= ? ??????一维晶格振动格波考虑第n 个例子的受力情况,它只受最近邻粒子的相互作用即分别受到来自第n-1个粒子及第n+1个例子的弹性力11()n n n f u u β--=-- 11()n n n f u u β++=--1111(2)n n n n n n f f f u u u β-++-=-=--- 2112(2)n n n n d uf ma m u u u dtβ+-===---试探解以行波作试探解()i t naq nq u Ae ω-=2()()(2)i t naq i t naq iaq iaq m e e e e ωωωβ----=---利用:222cos()24sin (/2)iaq iaq e e qa qa -+-=-=得224sin (/2)qa m βω=,/2)qa ω=色散关系 s i n (/2)qa ω=长波极限因为色散曲线是周期的且关于原点对称,在0/q a π<<的区间内,频率仅覆盖在0m ωω<<的范围内。
第三章晶体热振动与晶体的热学性质3.1一维单原子链3.1.1一维原子间相互作用势图 3-1-1 一维单原子晶格考虑由N 个相同的原子组成的一维晶格,如图 3-1-1 所示,相邻原子间的平衡距离为 a ,第j 原子的平衡位置用x0j来表示,它偏离平衡位置的位移用u j来表示,第j 原子的瞬时位置就可以表示为:(3-1-1)原子间的相互作用势能设为,如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用,则晶体总的相互作用能可表示为:(3-1-2)式中是i 、j 原子的相对距离,是i ,j 两原子的相对位移,在温度不太高时,原子在平衡位置附近作微振动,相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多,可将展开为:(3-1-3)于是有:(3-1-4)式中第一项是所有原子处于平衡位置上时的总相互作用能,用U 0来表示,是U 的极小值,(3-1-5)第二项是的线性项,它的系数为:,是所有其它原子作用在i原子的合力的负值,当所有原子处在平衡位置上时,晶体中任一原子所受到的净作用力应为零,所以在式( 3-1-4 )中不存在位移的线性项。
因此,(3-1-6)式中:(3-1-7)称为力常数。
.3.1.2 简谐近似下运动方程若在U 的展开式中,忽略u 的高次项而仅保留到u 的平方项,即有(3-1-8)这种近似称为简谐近似。
由此可以得出第n 原子的运动方程式为:(3-1-9)式中m 为原子的质量,如果只考虑最近邻的相互作用,在上式中只保留i=n+ 1 和i = n -1 两项,且令,则可得到形式上很简单的运动方程式:(3-1-10)3.1.3 周期性边界条件对于无限大的晶体,每个原子都有形如式( 3-1-10 )的运动方程,但实际上晶体是有限大的,处在表面上(对一维晶格来说是两端上)的原子所受到的作用与内部原子不同,其运动方程式应有不同,使问题变复杂。
为解决这一问题,需要引入边界条件,常用的边界条件是所谓的周期性边界条件,是玻恩 - 卡曼提出的,又称为玻恩 - 卡曼边界条件。