行程中的相遇问题

第十四讲行程中的相遇问题【知识概述】相遇问题是行程问题的一种类型，它的结构特征是：两个运动的物体，同时或不同时从两地相向而行，经过一定时间相遇。

解答这类问题的关键是理解速度、时间、路程这三者之间的关系。

速度和×相遇时间=总路程总路程÷速度和=相遇时间总路程相遇时间=速度和例题精学例1小军和小丽同时从两地对面走来，小军每分钟走36米，小丽每分钟走43米，两人在距中点14米处相遇，两地相距多少米？?【思路点拨】画图分析：要求两地相距多少米，现已知两人的速度，所以求出两人相遇的时间是解答本题的关键。

两人在离中点14米处相遇，从图上可以看出相遇时小丽比小军多走了14×2=28（米），又因为小丽每分钟比小军多走43-36=7（米），所以用28÷7就可以求出相遇时间为4分钟。

同步精练1. 甲、乙两人同时从相距39千米的两地相向而行，甲步行每小时行3千米，乙骑自行车每小时行10千米。

多少小时后他们在途中相遇?2. 甲、乙两车同时从A ，B 两地相对开出，甲车每小时行92千米，乙车每小时行108千米，两车在离中点48千米的地方相遇。

A ，B 两地之间相距多少千米?3. 货车和客车同时由甲、乙两地相向而行，经过6小时相遇，相遇后客车再行5小时到达乙地。

已知货车每小时行50千米，求甲、乙两地相距多少千米？例2东城和西城相距35千米，甲、乙两人从东、西两城同时相向出发，甲每小时行4千米，乙每小时行3千米。

乙出发时带一只狗，狗以每小时8千米的速度向甲走去，遇到甲又立即返回向乙走，遇到乙又立即返回向甲走，这样狗一直往返于甲、乙之间直到甲、乙两人相遇为止。

狗走了多少千米?每分钟走43米小军 小丽 ？米每分钟走36米【思路点拨】这道题不能想狗先向甲走了几小时，再向乙走了几小时，再向甲走了几小时……经过审题可以发现，狗是与乙一同出发的，到甲、乙相遇时它也停了下来，这样狗走的时间就是甲和乙的相遇时间。

行程问题之相遇问题
方法解析：有关行程问题，总的思路是路程＝速度×时间
相关变式：速度＝路程÷时间
时间＝路程÷速度
路程之差＝速度差×共同时间
路程之和＝速度和×共同时间
另外，要学会通过画线段图来分析路程、速度、时间的关系
例题一：（相遇问题）A、B两地相距700千米，慢车行完全程需要10小时，快车行完全程需要8小时，慢车从A地出发1小时后，快车才从B地开出，快车开出几小时后与慢车相遇？
练习1、客货两车同时从A、B两地相对开出，4.5小时相遇，相遇时
4，求A、B两地相客车比货车多行了27千米，货车的速度是客车的
5
距多少千米？
练习2、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次在离A地75米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地55米处，求A、B两地相距多远？
练习3、兄妹二人同时离家去学校，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米，哥哥到校门时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离学校180米处与妹妹相遇，那么他们家离学校有多少米？
9，两车分别从甲、乙两地同时相向而行，练习4、货车速度是客车的
10
在离两地中点3千米处相遇，相遇后，两车分别用原速继续前进，问当客车到达甲站时，货车还离乙站多远？
练习5、甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，5小时后甲到达中点，
2，求A、B两站乙车离中点还有60千米，已知乙车速度是甲车的
3
的距离。

练习6、客车由甲地到乙地需行10小时，货车从乙地到甲地需15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距乙地还有192千米，两地的距离是多少千米？。

相遇问题的三种情况
行程问题是专门研究物体运动的速度、时间和路程三者之间关系的应
用题，主要的数量关系是：路程＝速度×时间．
行程问题大致可以分成以下三种情况：
1．相向而行：速度和×相遇时间＝路程；2.相背而行：速度和×时
间＝相背路程；
3．同向而行：速度差×追击时间＝追击路程．
【例题精讲】
例1有两列火车，一列长102米，每秒行20米；另一列长83米，每
秒行17米。

两列火呈在双轨线上相向而行，从两车相遇到车尾离开共要
用多少秒？
例2一列客车通过860米长的大桥需要45秒，用同样的速度穿过
610米的隧道需要35秒。

求这列客车行驶的速度及车身的长度。

例3甲、乙两车分别从A、B两地同时开出，相向而行，经过6小时，甲车行了全程的75%,乙车超过中点16千米。

已知甲车比乙车每小时多行
4千米。

求A、B两地相距多少千米？
例4一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时
间提前一小时到达，如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则
可提前40分钟到达，则甲、乙两地相距多少千米？。

实用标准文档行程问题---相遇问题1、甲乙两人分别从相距27.3千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6.2千米，乙每小时走4.3千米。

两人几小时后相遇？2、甲乙两艘轮船分别从A、B两港同时出发相向而行，甲船每小时行驶18.5千米，乙船每小时行驶15.6千米，经过6小时两船在途中相遇。

两地间的水路长多少千米？3、甲乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车从A城到B城需6小时，乙车从B城到A城需12小时。

两车出发后多少小时相遇？4、一列快车和一列慢车分别从甲乙两地同时相向而行。

快车10小时可以到达乙地，慢车15小时可以到达甲地。

已知快车每小时比慢车多行20千米，两车出发后几小时相遇？5、甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56.4千米，乙车每小时行48.6千米。

两车在距中点42.9千米处相遇，东、西两地相距多少千米?6、.甲、乙两汽车同时从两地出发，相向而行。

甲汽车每小时行52.6千米，乙汽车每小时行55.4千米，两车在距中点16.8千米处相遇。

求两地之间的路程是多少千米？7、一辆汽车和一辆摩托车同时从A、B两城相对开出，汽车每小时行62.5千米，摩托车每小时行70千米，当摩托车行到两地中点处时，与汽车还相距30千米。

求A、B两城之间的距离？8、甲乙两地相距60千米，甲乙两人都骑自行车从A城同时出发，甲比乙每小时慢4千米，乙到B城当即折返，于距B城12千米处与甲相遇，那么甲的速度是多少？文案大全9、快车和慢车同时从甲、乙两地相向开出，快车每小时行40千米，经过3小时，快车已驶过中点25千米，这时快车与慢车还相距7千米。

慢车每小时行多少千米？10、兄弟二人同时从学校和家中出发，相向而行。

哥哥每分钟行120米，5分钟后哥哥已超过中点50米，这时兄弟二人还相距30米。

弟弟每分钟行多少米？11.汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米。

4小时后，剩下的路比全程的一半少8千米，如果改用每小时56千米的速度行驶，再行几小时到达乙地？12、甲乙两车同时从A、B两地相对开出，4小时后相遇，甲车再开3小时到达B地。

第一讲行程问题——相遇问题【例1】夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行 50 米，冬冬每分钟行 60 米，两人在距两地中点 50 米处相遇，求两地的距离是多少米？【巩固1】1、李明从甲地到乙地，每小时行5千米，王勇从乙地到甲地每小时行4千米，两人同时出发，在离甲乙两地中点1千米的地方相遇，求甲乙两地相距多少千米？【巩固2】甲乙两人同时从两地相向而行．甲每小时行 5 千米，乙每小时行 4 千米．两人相遇时乙比甲少行 3 千米．两地相距多少千米？【巩固3】夏夏和冬冬同时从两地相向而行，两地相距 1100 米，夏夏每分钟行 50 米，冬冬每分钟行 60 米，问两人在距两地中点多远处相遇？【例 2】甲、乙两辆汽车分别从 A 、 B 两地出发相向而行，甲车先行 3 小时后乙车从 B 地出发，乙车出发 5 小时后两车还相距 15 千米．甲车每小时行 48 千米，乙车每小时行 50 千米．求A 、 B 两地间相距多少千米？【巩固1】A、B两地相距259千米，甲车从A地开往B地，每小时行38千米；半小时后，乙车从B地开往A地，每小时行42千米。

乙车开出几小时后和甲车相遇？【巩固2】 (全国希望杯数学邀请赛)甲、乙两辆汽车从 A 、 B 两地同时相向开出，出发后 2 小时，两车相距141 千米；出发后 5 小时，两车相遇． A 、 B 两地相距多少千米？【巩固3】甲乙两人上午8时于东村到西村去，甲每小时比乙快6千米，中午12时甲到西村后立即原路返回，在距西村15千米处遇见乙，求东西两村相距多少千米？【例3】两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走 40 千米，另一列城铁每小时走 45 千米，在途中每列车先后各停车 4 次，每次停车 15 分钟，经过 7 小时两车相遇，求两城的距离？【巩固1】两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走 40 千米，另一列城铁每小时走 45 千米，在途中每列车先后各停车 5 次，每次停车 12 分钟，经过 7 小时两车相遇，求两城的距离？【巩固2】有人提出这样一个问题,甲、乙两人同时相对而行,距离为100千米,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米.总有一个时间会碰面.甲带着一只狗,每小时走10千米,狗走得比人快,同甲一起出发,碰到乙时,它往甲方向走,碰到甲它又往乙方向走.问:这只狗一共走了多少千米?【巩固3】小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？思考题：1. 甲、乙两车同时从A 、B 两站相对开出，两车第一次是在离A 站50千米处相遇，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，到达B 、A 站后立即原路返回，第二次是在离B 站30千米处相遇。

第二讲相遇问题知识点1.行程问题中的相遇问题涉及到三个数量：路程、速度和时间，其关系为路程=速度×时间2.甲、乙两人在行程中相遇，就有甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×时间+乙的速度×时间=（甲的速度+乙的速度）×时间通俗地说，“相遇问题”要考虑两人的速度和。

3.多次相遇问题两个物体从不同地点相向而行，第一次相遇后走1个全程，第二次相遇是合走3个全程，以后每相遇一次都是多走了2个全程。

4.流水问题（注意流水的影响）、钟表问题（注意时针和分针两者重合成直线）都属于相遇问题。

顺水速度=船速+水速逆流速度=船速—水速顺流行程=（船速+水速）×顺水时间逆水行程=（船速—水速）×逆水时间静水行程=（顺水速度+逆水速度）÷2水速=（顺水速度—逆水速度）÷2经典例题例1 快、慢车分别从A、B两地同时相向而行，快车每小时行78千米，慢车每小时行58千米，两车在离中点25千米处相遇。

那么A 、B两地相距多少千米？及时巩固1.小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟。

他们同时出发，几分钟后两人相遇？例2 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于点C。

如果甲车的速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发，相向而行，则相遇地点距点C处12千米，如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发，相向而行，则相遇地点距C处16千米。

求A、B两地间的距离。

及时巩固2.小张和小王各以一定速度,在周长为500米的环形跑道上跑步。

小王的速度是每分钟180米。

（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，小张的速度是每分钟多少米？（2）小张和小王同时从同一地点出发，同向跑步，小张跑多少圈后，才能第一次追上小王？例3 甲、乙两人同时从A、B两地出发，相向而行，第一次在距A地25千米处相遇，相遇后两个继续前进，到达目的地后又立即返回，在距B地15千米处第二次相遇。

行程问题（一）（相遇问题）例1：甲乙两辆列车同时从两地相对开出。

快车每小时行60千米，乙车每小时行55千米。

相遇时，甲车比乙车多行45千米，求两地相距多少千米？快慢两车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米，相遇时快车比慢车多行70千米。

求甲乙两地之间的路程。

例2:甲乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行，一个同学骑自行车以每小时14千米的速度，在两队之间不停的往返联络，甲队每小时行5千米，乙队每小时行4千米。

两队相遇时，骑自行车的同学共行多少千米？两队同学同时从相距30千米的甲乙两地相向出发，一只鸽子以每小时二20千米的速度在两队之间不断往返送信，如果鸽子从同学们出发到相遇共飞行了30千米。

而甲队同学比乙队同学每小时多走0.4千米。

求两队同学的行走速度。

例3:甲乙两辆汽车从相距600千米的两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时行40千米，甲车先开出2小时后，乙车才开出，问乙车行几小时后与甲车相遇？相遇时两车各行多少千米？甲乙两地相距1050千米，一辆快车以每小时150千米的速度从甲地开出，3小时后一辆慢车每小时90千米的速度从乙地开出，问慢车几小时后与快车相遇？相遇吋两车各行多少千米？例4：甲乙两车同时从ab两地相向出发，3小时后两车还相距120千米。

又行3小时两车又相距120千米，问ab两地相距多少千米？快慢车早上6时同时从甲乙两地相向开出。

中午12时两车相距50千米，继续行驶到14时，两车又相距170天。

甲乙两地相距多少千米？例5:甲乙两辆汽车从东西两地相向而行，甲车每小时行48千米，乙车每小时行42千米。

两车离中点21千米处相遇，求东西两地相距多少千米？甲乙两辆汽车同时从东西两城市相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行56千米。

两车在距中点16千米处相遇，求东西两城市相距多少千米？例6:甲乙两列火车同时从ab两站相向开出，在离a站60千米的地方相遇后，两车仍以原速继续前进，各车分别到达对方出发点后立即返回。

行程问题中的相遇问题在行程问题中主要包括两种题型：1. 是相遇问题2. 是追及问题相遇问题中两个运动物体行驶的路程和即为全程。

其基本数量关系是：速度和×相遇时间= 路程和。

相向而行注意出发的时间、地点。

分析行程问题时最有效的方法是画图法。

请同学们看下面的练习。

【模拟试题】相遇问题一. 甲、乙两地相距128千米，一人骑自行车从甲地出发，每小时行16千米。

另一个人骑摩托车从乙地出发，两人同时出发，相向而行，已知摩托车速度是自行车速度的3倍，问几个小时相遇？二. A、B两地相距486千米，甲车从A地开往B地，半小时后，乙车从B地开往A地，它的速度是甲车的1.5倍，乙车开出小时后才能与甲车相遇，求甲、乙两车速度各是多少？三. 甲、乙两轮航行于A、B两地之间，由A到B航速35千米/时，由B到A航速是25千米/时。

今甲轮从A地开往B地，乙轮从B地开往A地，甲轮先开2小时，两轮在距B地120千米处相遇，求两地的路程是多少千米？四. 甲骑车从A地出发以12千米/时的速度驶向B地，经过15分后，乙骑车从B地出发，以14千米/时的速度驶向A地时，乙已经超过中点1.5千米，求A、B 两地路程？五. A、B两地相距20千米，甲从A地向B行进，同时乙从B向A行进，2小时二人在途中相遇。

相遇后，甲立即返回A处，乙继续向A前进，甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙二人速度？六. A、B两地相距40千米，甲、乙二人都从A地前往B地，甲速为6千米/时，甲出发1小时20分，乙也从A地出发，乙速为10千米/小时，乙到达B地后，又沿原路返回，在途中与甲相遇，求乙从出发到与甲相遇用几小时？七. 甲、乙两车从A、B两地相向而行，甲车比乙车提前15分出发，甲、乙两车速度比是，相遇时，甲比乙少走6千米，已知乙车走了1小时30分钟，求甲乙两车速度和两地距离？八. 两只快艇在湖的两岸的A地和B地来回行驶，若甲从A地，乙从B地同时出发，并在第一次相遇时离A地500米。