耐人寻味的对称
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耐人寻味的对称性
肖燕鹏
（黄石市第三中学，湖北 435000）
对称性普遍存在于自然界中，如各种动物的形体就具有很好的对称性。
能熟练求曲线关于点或直线的对称曲线，判断关于点或直线的对称性，加深对自然界的认识，体现数学的美感，是培养数学情操内容之一。
曲线关于点对称的曲线方程或关于直线对称的曲线方程的求法源于点的对称原理。
其应用灵活性较大且变化多端，确实耐人寻味。
一、曲线关于点或直线对称性的定理
定理1：曲线f (x ，y)＝0关于点p (a ，b) 的对称曲线方程为f (2a －x ，2b －y)＝0。
证明略。
特殊情况，曲线f (x ，y)＝0关于原点对称的曲线方程为f (－x ，－y)＝0。
定理2：曲线f (x ，y)＝0关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)对称的曲线方 程为0)](2),(2[2222=+++-+++-C By Ax B
A B y C By Ax B A A x f (*) 证明：设f(x ，y)=0上任一点P 0(x 0，y 0)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0的对称点为P(x,y)， 则f(x 0,y 0)＝0且1)(00-=-⋅--B
A x x y y ，化为： A(y －y 0)－B(x －x 0)＝0——①
注意到B ＝0时①式成立，又由P 0P 的中点在直线Ax ＋By ＋C ＝0 上得
02
200=++++C y y B x x A ——② 由①②解出2
2222222022)(,22)(B A BC ABx y A B y B A AC ABy x B A x +++--=+++--= 化成易记形式：),(2),(22
2220C By Ax B A B y y C By x B A A x x +++-=+++-= 代入f (x ，y )＝0得点P(x ，y)在曲线(*)上。
反过来可证得曲线(*)上任一点关于直线Ax+By+C ＝0 的对称点也在f (x,y)＝0上。
特殊情况：
① 曲线f (x,y)＝0关于直线x 轴的对称轴或方程为f (x ，－y)＝0
② 曲线f (x,y)＝0关于y 轴对称的曲线方程为f(－x,y)＝0
③ 曲线f (x,y)＝0关于直线x ＝a 的对称曲线方程为f(2a －x,y)＝0
④ 曲线f (x,y)＝0关于直线y ＝b 对称的曲线方程为f(x,2b －y)＝0
⑤ 曲线f (x,y)＝0关于直线x+y+c ＝0对称的曲线方程为f(－y －c, －x －c)＝0
⑥ 曲线f (x,y)＝0关于直线x －y+c ＝0对称的曲线方程为f(y －c,x+c)＝0
观察其本质，只需对原方程中x ，y 的位置用相应的式子代即可，如关于直线x ＝a 对称，当且仅当2a －x 代替x ，y 不变。
关于点P (a,b)对称，则用2a －x 代x ，2b －y 代y 等等。
二、应用曲线关于点或直线对称性的定理时应确定的几个问题
1、确定自身对称还是他对称
定理中若前后两个方程相同，则曲线f(x,y)＝0 自身具有对称性，若不同，则两个曲线之间具有对称性。
例1：f(x)的定义域为R ，则y ＝f(x －1)与y ＝f(1－x) 的图像关于______对称。
分析：注意到y ＝f(x －1)可由y ＝f(1－x)中用2－x 代替x ，y 不变得到，所以两曲线关于直线x ＝1对称。
例2：设f(x)的定义域为R ，且f(1－x)＝f(x －1)，则y ＝f(x)的图像关于______对称。
分析：注意到y ＝f (x)中x 的位置特点，需把等式f (1－x)＝f (x －1)中用x ＋1代x 得f (－x)＝f (x)，所以y ＝f (x)自身的图像关于y 轴对称。
2、确定x ，y 的位置
例3：设函数y ＝f (x)的定义域为R ，且满足f (1－x)＝f(x+1)，则函数y ＝f(x+1)的图像关于___________对称，函数y ＝f(x) 的图像关于__________对称。
分析：对函数y ＝f(x+1)而言，y ＝f(1－x)为y ＝f(x+1)中用-x 代x 而得，而f(1－x)＝
f(x+1)则表明y ＝f(x+1)与y ＝f(1－x)为同一个函数，故y ＝f(x+1)的图像关于y 轴对称。
对函数y ＝f(x)而言，应先把f (1－x)＝f (x+1)转化为f(2－x) ＝f(x)，故能确定x 的位置用2－x 代，而y 不变，故y ＝f(x)的图像关于直线x=1对称。
其实y ＝f(x+1)可由y ＝f (x)的图像向左平移1个单位而得。
例4：设y ＝f(x)的定义域为R ，且对任意x ∈R ，有f(1－2x) ＝f(2x)，则y ＝f(2x)的图像关于__________对称；y ＝f (x)的图像关于_________对称。
分析：对于函数y ＝ f(2x)，f(1－2x)为x 的位置用
21－x 代替而得，所以y ＝f(2x)的图像关于直线x ＝4
1对称。
对于函数y ＝f(x)，先把f (1－2x) = f (2x)化为f (1－x)＝f (x)可得y ＝f (x)的图像关于直线x ＝2
1对称。
3、确定点对称与轴对称
例5：已知函数y ＝f(x)，x ∈R ，且对任意x 总有f (x) +f (2－x)=0则y ＝f(x)的图像关于______对称。
分析：已知等式化为 –y ＝ f(2－x)即在y ＝f(x)中用2－x 代替x ， 0－y 代替y 得函数y ＝-f(1－x)，因为f(x)＝－f(1－x)，所以y=f(x)关于点(1,0)成中心对称。
例6：已知函数y ＝f(x)，x ∈R ，且对任意x 值总有f(x)－f(2－x)=0，则y=f(x)的图象关于______对称。
分析：已知等式化为y ＝f(2－x)，所以y=f (x) 的图像关于直线x=1对称。
三、曲线关于点或直线对称性定理的条件挖掘和运用
对一些对称问题的隐含条件应善于挖掘和应用，往往起到简化解题过程之效。
例7：已知定义在R 是的函数f(x)有f (2-x)=f （2+x ）,若方程f(x)=0有六个实根，求这六根之和。
分析：由f (2-x)=f （2+x ）知，函数f(x)的图象关于直线x=2对称，而方程f(x)=0的六个实根即函数f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，则这六个交点也关于直线x=2对称，所以这六根之和为12.
例8：已知定义在(－2,2)上的偶函数f(x)，当x ≥0时f(x)是减函数，如果f(1－a) < f(a)，求a 的取值范围。
分析：f(x)为偶函数，其图像关于y 轴对称，而x ≤0时f(x) 为减函数，故离对称轴越近函数值越大，反之亦然，故由f (1－a) < f (a)可得|1－a| > | a |，结合定义域－2<1－a<2，－2 < a < 2解得：－1 < a <2
1 。
例9：方程log
2 x+x －2=0的解为x 1，方程2 x + x －2=0的解为x 2 ，求x 1 +x 2的值。
分析：x 1 ，x 2分别为函数y ＝log 2x ，y=2x 的图像与直线y ＝-x ＋2的交点A ，B 的横坐标，而y ＝log 2x 与y ＝2x 互为反函数，图像关于直线y=x 对称，又直线y=-x+2关于y=x 自身对称，故A ，B 两点关于直线y=x 对称，解y=x 与y=2－x 的交点得x=1，所以x 1 +x 2 =2。
只要充分理解了曲线对称变换的原理及题型特点，熟练掌握基本方法，对数学中的容易题或中等题就会迎刃而解，较难的题也能理清思路，抓住要点，做到事半功倍。
