人教版高三数学选修4-4优质教学PPT课件

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四 柱坐标系与球坐标系简介
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第二讲 参数方程
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引言 一 平面直角坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 四 渐开线与摆线
引言
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第一讲 坐标系
一 曲线的参数方程
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一 平面直角坐标系
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二 极坐标系
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三 简单曲线的极坐标方程

【归纳总结】 1.曲线的参数方程与普通方程互化的作用 (1)将曲线的参数方程化为普通方程,可借助于熟悉的 普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、 性质等.
(2)将曲线的普通方程化为参数方程,可用参变量作为 中介来表示曲线上点的坐标,从而给研究与曲线有关的 最大值、最小值以及取值范围等问题带来方便.
x

t 2，中的参数t,
y 2t
得到普通方程为y2=4x.
答案:y2=4x
【知识探究】 探究点 参数方程和普通方程的互化 1.同一曲线的参数方程是否唯一? 提示:求曲线的参数方程,关键是灵活确定参数,由于参 数不同,同一曲线的参数方程也会有差异,但是一定要 注意等价性.
2.将曲线的参数方程和普通方程互相转化需要注意什 么? 提示:尽管同一曲线的参数方程不唯一,但是一定要注 意方程与曲线的等价性.

1 t2
)①，
由 y b (t 1) 两边平方可得
2t
y2

b2 4
(t2

2

1 t2
)②，
①
1 a2

②
1 b2
并化简,得
x2 a2

y2 b2
（1 a，b为大于0

y2 b2
（1 a
0，b
0）.
所以方程表示焦点在x轴上的双曲线.
a (t 1)，
2 t (a,b为大于零的常数,t为参
b (t 1) 2t
数)化为普通方程,并判断曲线的形状.
【解析】因为 x a (t 1)，所以t>0时,x∈[a,+∞),
2t
t<0时,x∈(-∞,-a].
由 x a (t 1) 两边平方可得

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[解]
如图：令 A(ρ，θ)，
θ △ABC 内，设∠B＝θ，∠A＝ ， 2 又|BC|＝10，|AB|＝ρ. 10 由正弦定理，得 ＝ θ， 3θ sinπ－ sin2 2 化简，得 A 点轨迹的极坐标方程为 ρ＝10＋20cos θ. ρ
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互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴 的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度． 互化公式为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ y ρ2＝x2＋y2，tan θ＝xx≠0
π ＋(y－2) ＝4，圆心为(0,2)．将 θ＝ (ρ∈R)化成直角坐标方 6
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
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2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
化简，可得 x2＋y2＝56. 即所求顶点 Q 的轨迹方程为 x2＋y2＝56.
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设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
x′＝λ· x φ： y′＝μ· y
λ＞0 的作用下， P(x， 点 y)对应点 P′(x′， μ＞0
y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．
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[例 2]
x′＝2x， y′＝2y
在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 后， 曲线 C 变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，
求曲线 C 的方程，并判断其形状．
[解]
x′＝2x， 将 y′＝2y
代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1 中，

空间直角坐标(x,y,z) 柱坐标
(ρ,θ,z)
球坐标 (r,φ,θ)
转 换 公式
【易错警示】 1.关于伸缩变 换 公式的注意事项 (1)伸缩变 换 不改变点所在的象限,坐标轴 上的点经 过 伸缩变 换 仍在坐标轴 上. (2)求曲线经 过 伸缩变 换 后的曲线方程,要分清变换 前后的点的坐标,常常运用代入法求解.
【变 式训练 】1.圆 x2+y2=4经 过 伸缩变 换 图 形的方程为________.
后的
【解析】由
代入x2+y2=4得
故圆经过已知伸缩变换后的方程为 答案:
2.在伸缩变 换
的作用下某曲线C的方程变为 y=
cos2x,试 求曲线C的方程.
【解析】由
得 y=cos x，
即y=cosx,故曲线C的方程为y=cosx.
【解析】y=tanx的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 , 得到y=tan2x.再将其纵坐标伸长为原来的3倍,横坐标 不变,得到曲线y=3tan2x. 设变换为 则μy=3tan2λx, 即y= tan2λx.
与y=tanx比较,则有μ=3,λ伸缩变 换 公式及其应用
【解析】选D.点
的直角坐标为(-1, ),且
(k∈Z)四点的
直角坐标分别为Q(-1, ),R(-1, ),M(-1, ),
N(-1, ),所以与P重合的点有4个.
2.在极坐标系中,求由三条曲线θ=0,θ= ,ρcosθ+ ρsinθ=1围 成的图形的面积.
【解析】曲线ρcosθ+ ρsinθ=1的直角坐标方程 为x+ y-1=0.它与x轴的交点为B(1,0). 曲线θ= 的直角坐标方程为 x-y=0. 它们的交点坐标为 所以由三条曲线θ=0,θ= ,ρcosθ+ ρsinθ= 1围成的图形如图所示.

知识建构 专题一 专题二
综合应用
真题放送
3.参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式. 参数方程 普通方程,可见普通方程和参数方程是同一曲 线的两种不同表达形式.
知识建构 专题一 专题二
综合应用
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应用1 求方程4x2+y2=16的参数方程. (1)设y=4sin θ,以θ为参数; (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数. 提示:对于(1),可直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x即可; 对于(2),可寻找斜率k与此方程任一点的坐标之间的关系来求解. 解:(1)把y=4sin θ代入方程,得4x2+16sin2θ=16, 于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. 所以x=±2cos θ. 由于参数θ的任意性,可取x=2cos θ, ������ = 2cos������, 2 2 因此 4x +y =16 的参数方程是 (������为参数). ������ = 4sin������
本讲整合
-1-
知识建构
综合应用
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知识建构 专题一 专题二
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专题一 曲线的参数方程与普通方程的互化 1.将曲线的参数方程转化为普通方程,需要消去参数t,其一般步 骤为: (1)将参数t用变量x表示; (2)将t代入y的代数式; (3)整理得到x,y的关系,即为普通方程. 2.参数方程与普通方程的区别与联系. 曲线的普通方程 F(x,y)=0 是相对参数方程而言,它反映了坐标变 ������ = ������(������), 量 x 与 y 之间的直接联系;而参数方程 (������∈D)是通过参数 ������ = ������(������) t 反映坐标变量 x 与 y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变 数,变数的个数比方程的个数多 1; 曲线的参数方程中有三个变数和 两个方程,变数的个数比方程的个数多 1,从这个意义上讲,曲线的普 通方程和参数方程是“一致”的.

[思维启迪] 解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意
义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解．
解 (1)设 A′(x′，y′)， 由伸缩变换 φ：x2′ y′＝＝y3x得到xy′′＝＝123yx，由于 A13，－2，于是 x′ ＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1， ∴A′(1，－1)为所求． (2)设 B(x，y)，由伸缩变换 φ：2xy′′＝＝y3x得到xy＝＝213yx′′，由于
[思维启迪] 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出
其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然
后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆．
解 设变换为xy′′＝＝μyλ，x，μ>λ0>，0，可将其代入第二个方程， 得 λ2x2＋μ2y2＝1.与 4x2＋9y2＝36 比较，
将其变为346x2＋396y2＝1，即19x2＋14y2＝1，比较系数得
证明 法一 以A为坐标原点O，AB所在 直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy， 则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，
则 Da＋2 b，2c， 所以|AD|2＋|BD|2
＝（a＋b）2＋c2＋（a－b）2＋c2
4
4
4
4
＝12(a2＋b2＋c2)， |AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2
【思维导图】
题型一 运用坐标法解决解析几何问题
【例1】 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是
1，|O1O2|＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)，
使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系， 并求动点 P 的轨迹方程．
[思维启迪] 本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立

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1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 坐标 、
曲线与 方程 建立联系，从而实现 数与形 的结合． (2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适 当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 几何 元素，将 几何问题转化为 代数 问题；第二步：通过代数运算解决
代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成 几何 结论．
x′＝2x ∴ y′＝y
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
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6．求 4x －9y ＝1 方程．
2
2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y
后的图形所对应的
1 x′＝2x， x＝2x′， 解：由伸缩变换 得： y′＝3y y＝1y′， 3 将其代入 4x2－9y2＝1， 1 1 2 得 4· x′) －9· y′)2＝1. ( ( 2 3 整理得：x′2－y′2＝1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
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4．已知△ABC中，BD＝CD，
求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
证明：以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立 平面直角坐系 xOy，则 A(0,0)． 设 B(a,0)，C(b，c)， a＋b c 则 D( ， )， 2 2 所以 AD2＋BD2 a＋b2 c2 a－b2 c2 ＝ ＋ ＋ ＋ 4 4 4 4 1 2 ＝ (a ＋b2＋c2)， 2 AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2＝2(AD2＋BD2).
x′＝3x ∴ y′＝2y
，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原

[研一题] [例 3] 在赤道平面上，我们选取地球球心 O 为极点，以 O
为端点且与零子午线相交的射线 Ox 为极轴，建立坐标系．有 A、 π π π 2π B 两个城市，它们的球坐标分别为 A(R，4，6)，B(R，4， 3 )， 飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．
[精讲详析]
本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距
x＝rsin φcos θ， 由变换公式y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ x＝5sin 得y＝5sin z＝5cos 5 4 5 6πcos 3π＝－4， 5 4 5 3 6πsin 3π＝－ 4 ， 5 5 3 6π＝－ 2 .
5 5 3 5 3 故它的直角坐标为(－4，－ 4 ，－ 2 )．
[悟一法] 由直角坐标化为球坐标时， 我们可以先设点 M 的球坐标为(r， x＝rsin φcos θ， θ，φ)，再利用变换公式y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ
2 2 2 2
求出 r、θ、φ 代入点
y z 的球坐标即可；也可以利用 r ＝x ＋y ＋z ，tan θ＝x，cos φ＝r. 特别注意由直角坐标求球坐标时， 和 φ 的取值应首先看清点所在 θ 的象限，准确取值，才能无误．
[通一类] 2 6 2 2．设点 M 的直角坐标为( 4 ， 4 ，－ 2 )，求它的球坐标． 解：由变换公式得
r＝ x ＋y ＋z ＝
2 2 2
2 6 2 16＋16＋4＝1，
2 2 3π 由 rcos φ＝z＝－ 2 得 cos φ＝－ 2 ，φ＝ 4 . y 又 tan θ＝x＝ 3(x>0，y>0)， π 得 θ＝3. 3π π ∴M 的球坐标为(1， 4 ，3).

可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可依定义写出轨迹方程．
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(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1， y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，
y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、y1，把x1、y1代入已知
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建立平面直角坐标系的原则
根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一 些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点， ②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使 图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
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3．求证等腰梯形对角线相等． 已知：等腰梯形ABCD.求证：AC＝BD.
证明：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设 A(－a，h)，B(－b,0)， 则 D(a，h)，C(b,0)． ∴|AC|＝ b＋a2＋h2， |BD|＝ a＋b2＋h2. ∴|AC|＝|BD|， 即等腰梯形 ABCD 中，AC＝BD.
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
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1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 坐标 、
曲线与 方程 建立联系，从而实现 数与形 的结合． (2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适 当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 几何 元素，将 几何问题转化为 代数 问题；第二步：通过代数运算解决

2020/11/6
【解析】在直角坐标系中,点(2016,-2016)到原点(极
点)的距离为2016 ,极角θ= 7+2kπ,k∈Z,
2 因为0≤θ<2π,所以θ= .
4
7
所以点(2016,-2016)的极4 坐标为
.
答案:
(2 016 2，7) 4
(2 016 2，7) 4
2020/11/6
【知识探究】 探究点 极坐标和直角坐标的互化 1.点与极坐标是一一对应的吗?
由代入φy: =xys＝＝in212(0y2106x1，6得x),xy得＝＝222yy01，′1=6 xsi，nx′,所以y′=
sinx′, 1
即y= sinx,所以y= sinx与直线x=0,x=π,y=20围成图
1
1
2
2
2020/11/6
形的面积为S=
0
答案:1
1 2
sin
xdx
1 2
cos
y 4y
2020/11/6
【解题探究】如何求变换后的新曲线的方程? 提示:将x,y表示出来,代入到原方程即可得到新曲线的 方程.
2020/11/6
【解析】曲线x2+y2=1经过φ:x 3x变, 换后,
即 x 代x3，入到圆的方程,可得 即所y求 新y4，曲线的方程为
y 4y
x2 y2 1， 9 16
2020/11/6
提示:在直角坐标系和极坐标系中,点M与直角坐标(x,y) 是一一对应的,点M与极坐标(ρ,θ)不是一一对应的, 即点M的极坐标不唯一.
2020/11/6
2.将点的直角坐标化为极坐标的关键是什么?
2020/11/6
提示:将点的直角坐标化为极坐标的关键是运用公式