数学建模莫 血样的分组检验(1)

血样的分组检验文 摘: 本文以医学的调查统计为基础，进行抽象，利用概率论知识组建模型，对何时分组和怎样分组给出了详尽的讨论并对结果进行了符合实际情况的解释，结合真实的数据对模型进行了验证，最后对模型加以改进和推广。

关键词：概率, 数学期望, 血样分组检验1． 索引血样分组检验是医学统计中普遍使用的一种调查方法，但是并不是每一次调查都需要分组，情况取决于以前对该病毒感染概率的统计数字，即题目中的先验概率p 。

通过建立概率模型，我们得出在不考虑不平均分组的情况下，当阳性的先验概率3066.0≥p 时，不分组即采取逐个检验的方法为宜；当3066.02929.0<≤p 时，进行一次分组后再对呈阳性的组进行逐个检验效果最佳；当2929.00<≤p 时，应采取两次或多次分组。

除此，我们还给出了解释该问题的初等方法。

在模型评价与推广中，我们结合实际情况给出了另一种常用的分组方法――二分法，并提出平均分组的现实可能性和先验概率是影响模型的主要因素。

2． 问题要在人群中（数量很大，基本上是健康人）找出某种病毒的感染者，为减少检验次数（目的是降低费用），通常采用筛选的办法。

即假设人群总数为n ，将人群分成m 组，每组的人数为k ，将每组的k 份血样混在一起进行化验，若化验结果呈阳性，则需要对改组的每个人重新进行化验，以确定谁是病毒感染者；若化验结果呈阴性，则表明该组全体成员均为阴性，不需要重新化验。

（1） 已知阳性的先验概率为p ，当p 固定时，如何分组可使得化验次数最小； （2） 找出不应分组的p 的取值范围；（3） 讨论两次分组的情况，即检测为阳性的组再次分组检验的情况。

3． 问题的分析本问题所述的情况在医学统计、病毒检测等诸多医学问题中是必须首要解决的问题。

进行某种疾病的调查需要大量的统计数据，而统计数据的取得主要靠实验的方法，这就不可避免地要面临如何分组的问题是效率最高（花销最少），找出最优分组方法是本文的主要目的。

由于人群总体数固定，在讨论问题时，我们可以借助于平均每人检验次数这个量来衡量分组与不分组情况的好坏，这是概率模型的主要思路。

对于该问题，若不分组，一个人一个人检验，共需检验n 次，平均每个人检验一次；采取分组的方法，直观上可以感觉到会降低检验次数。

分组时计算每个人的平均检验次数，若该值小于1，即认为分组比不分组好。

对于两次分组的问题，也采用上述思路，只要两次分组时平均每个人检验次数小于一次分组时平均每个人的检验次数，就可以认为两次分组的方法优于一次分组的方法。

我们也可以借助总的检验次数来进行分析，这是初等模型的主要思路。

4． 模型假设下面给出该模型的基本假设：（1） 在实际操作中，多次分组的方法要比只分一次组或不分组的方法操作起来繁琐、耗时，且需要更多的人力把工作的重点放在分组的方案上，实际增加了开支。

所以若在人数不太多，且两种方法平均每人检验次数相近，宏观上解释就是当不分组或不继续分组比分组或继续分组的次数少或二者差距不大时，使用少分组的方法效率更高、费用更省。

本题由于叙述了人数很大的条件，故哪种方法平均每人检验次数少，就采用那种方法；（2） 可以理解先验概率p 为对某个人检验一次，结果呈阳性的概率，并假设先验概率在一次检验中保持不变（即假设该概率p 只与疾病有关，而对同一种疾病该值为常量）；（3） 每个人检验一次是阳性的概率相互独立（即不考虑是否有遗传性与病毒的传染）；（4） 为了简化模型便于讨论分析，假设每次分组时都能达到平均分配，而且在进行再次分组时采用的对呈阳性的组进行组内分组的形式。

这在实际中是普遍采用的一种方法，它比把呈阳性的组的人重新打乱再进行分组的效率高出很多而且易被人接受。

如果设1m m 、分别表示第一、二次分组时分出的组数，1k k 、分别表示第一、二次分组每组的人数，则第一次分组总人数k m n ⋅=，第二次分组的总人数11k m k ⋅=。

可以通过调整1,k k 的值实现最优分组方案。

5． 变量说明根据题给条件，可得： n ---- 被检验人群的总数；m ---- 对人群的第一次分组数；p ---- 先验概率，某人检验结果是阳性的概率； q=1-p ---- 阴性的先验概率；k ---- 第一次分组时每组的人数；1k ---- 第二次分组时（进行两次分组）每组的人数。

ξ----每个人的血需要化验的次数，为一随机变量E ξ----ξ的期望，即每个人的血平均需要化验的次数。

6． 模型的建立及求解5.1 概率模型利用概率中的数学期望来计算平均每人的检验次数。

5.1.1 一次分组的情况在一次分组的情况下，如上所示变量假设，每组的人数为k （由假设（4），22nk ≤≤）；阳性的先验概率为p ；另设变量ξ表示每人的平均检验次数；p q -=1，即q 为每个人检验一次呈阴性的概率。

因此，如果一组检验为阴性，则其中每个人均不是病毒的感染者，在由每个人是否是感染者是相互独立的（假设（3）），可得出现此种情况的概率为kq ，每个人平均检验次数为k1次（该组只检验了一次）；如果一组检验为阳性，该组中有病毒感染者，仍由假设（3），可知出现此种情况的概率为kq -1，每个人的平均检验次数为k11+次（该组每个人又被一一检验，故次数加一）。

故可得ξ的分布律为由上表可得，kq k q k q E k k k 11)11()1(1+-=+⋅-+⋅=ξ 所以对于n 个人平均检验次数为)11(kq n E n k+-⋅=⋅ξ次。

所以由假设（1）可得，只要1<ξE ，即分组后平均每人检验次数小于不分组每个人检验的次数（1次），就进行分组检验。

由1<ξE ，可得以下约束条件：（后称第一次分组的约束条件）k k k kp k q k q 111111-<⇒>⇒<+- 此时对于不同疾病，)3066.0(≤p p 不同，调整k 满足上式，即可认为分一次组比不分组好。

下面进行更深层次的讨论：由于本题的人数是离散变量，故无法直接采用数学分析的方法，所以先把离散变量连续化。

采用与离散变量变化趋势相同的连续性函数，即设)10,2(,11)(<<≥+-=q x x q x f x ，)1(,11)(≥-=x x x p xA ． 因为k k p 11-<，根据上述条件及假设，对)(x p 求导得，)ln 1(1)1()(21'x xx x p x -⋅⋅=由此可以看出，当e x >时，函数)(x p 单调减少，而e x <≤1时，函数)(x p 单调增加，在e x =时取得最大值。

做出函数)(x p 的图像，见下图：对于本题所讨论的离散值，从上图可知在3=k 时，p 取得满足条件kkp 11-<时的最大值，也就是只有在3066.0<p 时，调整k 的值总能满足上述约束条件。

即此时分一次组才比不分组每人平均检验次数少。

而对于大于此值的p ，不满足约束条件，故不分组比分一次组平均每人检验次数少。

B ． 对函数)2(,11)(≥+-=x x q x f x求导可得， 2'1ln )(xq q x f x -⋅-=由函数取极值的必要条件得，01ln )(2'=-⋅-=x q q x f x 如果对于给定的)1(p q -=（当然必须满足约束条件）值，可以通过数值解法求得使)(x f 最小的mx 值。

（可以证明此值为函数)(x f 在本题所给范围内的最小值）由于本题变量（每组人数）均为离散变量，故取与mx 最相近的两个值(上取整和下取整))(),(mbbmaax x x x x x ><，代入ξE ，比较两个函数值，找出较小的一个。

此时的值即为只分一次组总次数最少的k 值。

下面给出对于不同的先验概率，相应的最小检验次数的每组人数：5.1.2 两次分组的情况这时，在检验为阳性的组中继续分组，按照假设的变量及另设ζ表示两次分组时每人平均检验的次数，如5.1.1设每人检验一次呈阴性的概率为)1(p q -=。

同5.1.1，若第一次分组时，一组的k 个人均为阴性的概率为kq ，此时每人平均检验了k1次；若为阳性，此时的概率为kq -1，再次分组：第二次分组时，一组全为阴性的概率为1)1(k kq q -，此时每个人的平均检验次数为111k k +；若为阳性，此时的概率为)1)(1(1k k q q --，每个人的平均检验次数为111++k k 。

由上所述，可得ζ的分布率为：由此可得)111()1()1()11()1(11111k k q q k k q q k q E k k k k k ++⋅-⋅-++⋅⋅-+⋅=ζ 经过化简得)111()1(111k k k q k k q k q E -++⋅-+⋅=ζ 由实际情况知，此时的k k <1。

为使两次分组的情况优于一次分组的情况，只须ξζE E <。

经过计算，可得1111k k p -<。

此时发现两次分组的约束条件与一次分组的约束条件只是取值范围的不同，下面进行进一步的讨论：A ． 由于k k <1时，第二次分组的约束条件在第一次分组的约束条件满足时总是能够满足（41>k ），（即使当第一次分组时取使ξE 最小时的k 值，我们仍可在满足假设（4）的条件下，取4,211>=k kk ，而此条件满足二次分组的约束条件），故在大多数情况，能够进行一次分组时进行第二次分组，一定能使总次数减少。

见下图：任意取小于30的值均可减少每人平均检验次数（相对于不分组），只要令151=k 或更小的值但满足条件41>k ，由于此时亦满足两次分组的约束条件，故分两组可以比只分一组的平均每人检验次数少。

B ．在一次分组时，取4,2==k k 时可知，代入到kk11-里发现上述两值相等（见图一中两白点），故在做分析5.1.2.A 时没有考虑4<k 的情况，实际上，当4=k 时取21=k ，取先验概率2929.0=p 分别代入到分一次组和分两次组的平均每人检验次数的期望中可得1,1241====k k E E ζξ。

由此可见，只要所给的p 值小于0.2929（而且满足假设（4）），分两次组就比分一次组要好。

在此种情况下，还可以计算分两次组时平均每人检验次数的最小值，方法同分一次组时的情况，只要进行求导便可，在此不赘述。

所以不应再分组的先验概率的取值范围是3066.02929.0<<p 。

在3k =时，经实验发现在p 值大于0.28195时，有二次分组（此时第二次分组每组至多2人）的平均化验次数大于一次分组的情况发生，所以当3k =，且有0.281950.3066p <<时，不宜再分组; 当4,2==k k ，且有3066.02929.0<<p 时，不宜再分组。