任意角三角函数的定义练习题

任意角的三角函数定义及其应用知识梳理教学重、难点作业完成情况典题探究例1、已知点P (－3,4)在角α的终边上，则sin α＋cos α3sin α＋2cos α的值为( )A ．－16B.16C.718 D ．－1例2、已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________.例3、已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.例4、如图所示，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点3(cos ,)5A ，则cos α－sin α＝________.演练方阵A 档（巩固专练）1．如果α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－332．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( )A ．{－1,1,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．R 3．若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 4．若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则sin α的值为( )A.104B.64C.24 D ．－1046．设a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25 B ．－25 C.15 D ．－15 7． sin1，cos1，tan1的大小关系为( )A ．sin1>cos1>tan1B ．sin1>tan1>cos1C ．tan1>sin1>cos1D ．tan1>cos1>sin18．已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( )A ．第二、四象限B ．第一、三象限C ．第一、三象限或x 轴上D ．第二、四象限或x 轴上9．y ＝sin x ＋lgcos xtan x的定义域为( )A ．2k π≤x ≤2k π＋π2B ．2k π<x <2k π＋π2C ．2k π<x <(2k ＋1)πD ．2k π－π2<x <2k π＋π2(以上k ∈Z)10．10．设0≤θ<2π，如果sin θ>0且cos2θ>0，则θ的取值范围是( )A ．0<θ<3π4B ．0<θ<π4或3π4<θ<πC.3π4<θ<πD.3π4<θ<5π41．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第______象限角． 2．若750°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________．3．已知角α的终边在直线y ＝x 上，则sin α＋cos α的值为________． 4．判断符号，填“>”或“<”： sin3·cos4·tan5________0.5．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α的值．6．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α>0，求角α的取值范围．7．设θ是第三象限角，且满足⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，试判断θ2所在象限．8．设cos θ＝m －nm ＋n（m ＞n ＞0)，求θ的其他三角函数值.9．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α>0，求实数a 的取值范围．10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．1．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若角α的终边过点(－3，－2)，则( )A ．sin αtan α>0B ．cos αtan α>0C ．sin αcos α>0D ．sin αcos α<0 3．cos1110°的值为( )A.12 B.32C ．－12D ．－324．已知P (2，－3)是角θ终边上一点，则tan(2π＋θ)等于( )A.32B.23 C ．－32D ．－235．cos 2201.2°可化为( )A ．cos201.2°B ．－cos201.2°C ．sin201.2°D ．tan201.2° 6．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B.114 C ．－4D ．47．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则sin α的值为( ) A.104 B.64C.24D ．－1049．如果α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12C ．－32D ．－3310．已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值．成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字： 负责人签字：教学主管签字： 主管签字时间：任意角的三角函数定义及其应用典题探究例1．[答案] B[解析] 由条件知tan α＝－43，∴sin α＋cos α3sin α＋2cos α＝tan α＋13tan α＋2＝16.例2．[答案] 25[解析] 由条件知x ＝－4m ，y ＝3m ，r ＝x 2＋y 2＝5|m |＝5m ，∴sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.例3．[答案] －8[解析] |OP |＝42＋y 2，根据任意角三角函数的定义得，y 42＋y2＝－255，解得y ＝±8， 又∵sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角，∴y ＝－8. 例4．[答案] －75[解析] 由条件知，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴cos α－sin α＝－75.演练方阵A 档（巩固专练）1．[答案] C[解析] ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 2．[答案] C[解析] ∵该函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π2，k ∈Z }，∴当x 是第一象限角时，y ＝3；当x 是第二象限角时，y ＝1－1－1＝－1； 当x 是第三象限角时，y ＝－1－1＋1＝－1； 当x 是第四象限角时，y ＝－1＋1－1＝－1. 综上，函数的值域是{－1,3}． 3．[答案] C 4．[答案] D..[解析] 由条件可知：cos θ>0>sin θ，则θ为第四象限角， 5．[答案] A[解析] ∵|OP |＝x 2＋5，∴cos α＝x x 2＋5＝24x ，又因为α是第二象限角，∴x <0，得x ＝－ 3 ∴sin α＝5x 2＋5＝104，6．[答案] A[解析] ∵a <0，角α终边经过点P (－3a,4a )，∴r ＝－5a ，sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋2cos α＝25，7．[答案] C[解析] 设1rad 角的终边与单位圆交点为P (x ，y )，∵π4<1<π2，∴0<x <y <1，从而cos1<sin1<1<tan1. 8．[答案] D[解析] ∵|cos θ|＝cos θ，∴cos θ≥0，又|tan θ|＝－tan θ，∴tan θ≤0，∴2k π＋3π2<θ≤2k π＋2π，∴k π＋3π4<θ2≤k π＋π，k ∈Z .9．[答案] B[解析] ∵⎩⎨⎧sin x ≥0cos x >0tan x ≠0x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴2k π<x <2k π＋π2，k ∈Z .10．[答案] B[解析] ∵0≤θ<2π，且sin θ>0，∴0<θ<π.． 又由cos2θ>0得，2k π－π2<2θ<2k π＋π2，即k π－π4<θ<k π＋π4(k ∈Z )．∵0<θ<π，∴θ的取值范围是0<θ<π4或3π4<θ<π.B 档（提升精练）1．[解析] 要使原式有意义，必须cos θ·tan θ>0，即需cos θ、tan θ同号，∴θ是第一或第二象限角．2．[解析] ∵tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝33＝a －4. ∴a ＝33×(－4)＝－433.3．[答案] ±2[解析] 在角α终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝x ，当x >0时，r ＝x 2＋y 2＝2x ， sin α＋cos α＝y r ＋xr＝22＋22＝2，当x <0时，r ＝x 2＋y 2＝－2x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－22－22＝－ 2. 4．[答案] >[解析] π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3cos4tan5>0.5． [解析] ∵r ＝4＋y 2， ∴sin α＝y r ＝y y 2＋4＝－55，∵y <0，∴y ＝－1，r ＝5，∴cos α＝xr ＝－255.6．[解析] ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上，∵α终边过(3a －9，a ＋2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0a ＋2＞0，∴－2<a ≤3.7．[解析] ∵θ是第三象限角，∴2k π＋π<θ<2k π＋32π，k ∈Z . ∴k π＋π2<θ2<k π＋34π，k ∈Z .∴θ2在第二、四象限内．又∵⎪⎪⎪⎪sin θ2＝－sin θ2，∴sin θ2≤0. ∴θ2为第四象限角．8．解：∵m ＞n ＞0，∴cos θ＝m －nm ＋n＞0∴θ是第一象限角或第四象限角. 当θ是第一象限角时：sin θ＝222)()(1cos 1n m n m +--=-θ＝mn n m n m n m n m +=+--+2)()()(222 tan θ＝mn nm -=2cos sin θθ 当θ是第四象限角时： sin θ＝－mn nm +-=-2cos 12θtan θ＝mn nm --=2cos sin θθ9．[解析] ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上， ∵α终边过(3a －9，a ＋2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0a ＋2＞0，∴－2<a ≤3. 10．[解析] (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lgcos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角． 综上可知角α是第四象限的角． (2)∵|OM |＝1，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.C 档（跨越导练）1．[答案] C[解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或四象限，又tan α>0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．2．[答案] C[解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)， ∴sin α<0，cos α<0，tan α>0， ∴sin αcos α>0，故选C.3．[答案] B[解析] cos1110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos30°＝32.4．[答案] C[解析] tan(2π＋θ)＝tan θ＝－32＝－32. 5．[答案] B[解析] ∵201.2°是第三象限角，∴cos201.2°<0， ∴cos 2201.2°＝|cos201.2°|＝－cos201.2°. 6．[答案] C[解析] 由题意得cos α＝m m 2＋9＝－45，解得mα＝－45<0，则α的终边在第二或三象限，则点P 在第二或三象限，所以m <0，则m ＝－4. 7．[答案] C[解析] 由于点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ<0，sin θcos θ>0，所以有sin θ<0，cos θ<0，所以θ是第三象限角． 8．[答案] A[解析] ∵|OP |＝x 2＋5，∴cos α＝x x 2＋5＝24x 又因为α是第二象限角，∴x <0，得x ＝－ 3 ∴sin α＝5x 2＋5＝104，故选A.9．[答案] C[解析] ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋－32＝2，Word 可编辑资料分享，希望对你有帮助----完整版学习资料分享---- ∴sin α＝－32. 10．[解析] (1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；(2)当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153； (3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153。

1-2-0-1任意角的三角函数的定义一、选择题1．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由于sin α<0，则α的终边在第三或四象限，又tan α>0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．2．若角α的终边过点(－3，－2)，则( ) A ．sin αtan α>0 B ．cos αtan α>0 C ．sin αcos α>0 D ．sin αcos α<0 [答案] C[解析] ∵角α的终边过点(－3，－2)， ∴sin α<0，cos α<0，tan α>0， ∴sin αcos α>0，故选C. 3．cos1110°的值为( ) A.12 B.32C ．－12D ．－32[答案] B[解析] cos1110°＝cos(3×360°＋30°)＝cos30°＝32. 4．已知P (2，－3)是角θ终边上一点，则tan(2π＋θ)等于( ) A.32B.23C ．－32D ．－23[答案] C[解析] tan(2π＋θ)＝tan θ＝－32＝－32.5.cos 2201.2°可化为( ) A ．cos201.2° B ．－cos201.2° C ．sin201.2° D ．tan201.2°[答案] B[解析] ∵201.2°是第三象限角，∴cos201.2°<0， ∴cos 2201.2°＝|cos201.2°|＝－cos201.2°.6．已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114B.114C ．－4 D ．4[答案] C[解析] 由题意得cos α＝mm 2＋9＝－45，解得m ＝±4.又cos α＝－45<0，则α的终边在第二或三象限，则点P 在第二或三象限，所以m <0，则m ＝－4.7．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由于点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ<0，sin θcos θ>0，所以有sin θ<0，cos θ<0，所以θ是第三象限角． 8．α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则sin α的值为( )A.104B.64C.24 D ．－104[答案] A[解析] ∵|OP |＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5＝24x 又因为α是第二象限角，∴x <0，得x ＝－ 3 ∴sin α＝5x 2＋5＝104，故选A.9．如果α的终边过点P (2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( )A.12 B ．－12C ．－32D ．－33[答案] C[解析] ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋(－3)2＝2， ∴sin α＝－32. 10．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是( )A ．{－1,1,3}B ．{1,3}C ．{－1,3}D ．R[答案] C[解析] ∵该函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠k π2，k ∈Z }，∴当x 是第一象限角时，y ＝3；当x 是第二象限角时，y ＝1－1－1＝－1； 当x 是第三象限角时，y ＝－1－1＋1＝－1； 当x 是第四象限角时，y ＝－1＋1－1＝－1. 综上，函数的值域是{－1,3}． 二、填空题11．使得lg(cos θ·tan θ)有意义的角θ是第________象限角． [答案] 一或二[解析] 要使原式有意义，必须cos θ·tan θ>0，即需cos θ、tan θ同号，∴θ是第一或第二象限角．12．已知角θ的终边经过点(－32，12)，那么tan θ的值是________．[答案] －3313．已知角α的终边在直线y ＝x 上，则sin α＋cos α的值为_____． [答案] ±2[解析] 在角α终边上任取一点P (x ，y )，则y ＝x ， 当x >0时，r ＝x 2＋y 2＝2x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝22＋22＝2，当x <0时，r ＝x 2＋y 2＝－2x ， sin α＋cos α＝y r ＋x r ＝－22－22＝－ 2.14．判断符号，填“>”或“<”： sin3·cos4·tan5________0. [答案] >[解析] π2<3<π，π<4<3π2，3π2<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3cos4tan5>0.三、解答题15．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α>0，求实数a 的取值范围．[解析] ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上， ∵α终边过(3a －9，a ＋2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0a ＋2＞0，∴－2<a ≤3. 16．求下列各式的值： (1)sin25π3＋tan(－23π4)； (2)sin 1170°＋cos360°－tan 125°.[分析] 此类问题的解答应先将角改写成2k π＋α或k ·360°＋α(k ∈Z )的形式，再运用诱导公式(一)求值．[解析] (1)sin 25π3＋tan(－23π4)＝sin(8π＋π3)＋tan(－6π＋π4)＝sinπ3＋tan π4＝32＋1＝3＋22.(2)sin1170°＋cos360°－tan1125°＝sin(3×360°＋90°)＋cos(0°＋360°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.17．已知1|sin α|＝－1sin α，且lgcos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M (35，m )，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解析] (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角． 由lgcos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角． 综上可知角α是第四象限的角． (2)∵|OM |＝1，∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.18．(2011～2012·黑龙江五校联考)已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值． [分析] 此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解．对于本题可由定义求出m 的值，再求cos θ与tan θ的值．[解析] (1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0；(2)当m＝5时，cosθ＝－64，tanθ＝－153；(3)当m＝－5时，cosθ＝－64，tanθ＝153.。

任意角的三角函数(一)三角函数的定义角α的终边上一点P （a ,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,则（1）r b 叫做三角形的正弦，即sin α=r b; （2） r a 叫做三角形的余弦，即cos α=r a;（3） a b 叫做三角形的正切，即tan α=.ab1．已知角α的终边和单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（ ）A ．（sinα，cos α）B ．（cosα，sin α）C ．（sinα，tan α）D ．（tanα，sin α） 2．已知角α的终边过点P，则sinα=______，cos α=_________，tanα=________3．角α的终边上有一点P (-3a ，4a )，a ∈R ，且a ≠0，则2sinα+cos α=____.4．点P是角α终边上的一点，且，则b 的值是________．5．已知角α的终边经过点P (x ，3-)(x >0)．且cos α＝2x，则tan α________． （二）三角函数值符号的判断.1．若45πα=，则点P （cosα，sin α）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知0tan cos <⋅θθ，那么角θ是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第三或第四象限D ．第一或第四象限 3．函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域是 ． 4．sin2·cos3·tan4的符号是（ ）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不确定（三）三角函数求值.(1)5cos1803sin902tan 06sin 270-+- ；(2)cos sin tan sin cos 364344ππππππ-+-+.(3)5sin902cos0cos180-++ ．(4)213cos tan tan sin cos 24332ππππ-+-+π．同角三角函数基本关系式公式：1cos sin 22=+αα ； αααcos sin tan =1．若α是第四象限角，125tan -=α，则αsin 等于（ ） A ．51 B ．51- C ．135 D ．135- 2．化简 160sin 12-的结果是 .3．下列三个式子：① 100cos 100sin 12=-；② ααπαsin )2tan(cos =+； ③αααααtan 2sin 1sin 1sin 1sin 1=+---+正确是有 个4．已知55sin =α，则=-αα44cos sin . 5．已知1312sin =α，且παπ-<<-23，则=αtan . 6．已知2cos sin =-αα，),0(πα∈，则=αtan .7．=---10sin 110sin 10cos 10sin 212.8．ααααsin 1cos cos 1cos 1-=+-成立的α的范围是 .9．已知53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ，其中πθπ<<2，则=θtan . 10．化简下列各式：（1）若α为第三象限角，化简αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-；（2）()ααααtan 1cos tan 11sin 22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+11．已知]2,0[πθ∈，而θsin ，θcos 是方程012=++-k kx x 的两个实数根，求k 和θ的值.诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.将三角函数的角度全部化成απ+⋅2k 或是απ-⋅2k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函数名，偶数就不变 1、sin1560°的值为( ) A 、21-B 、23-C 、21D 、232、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-3、sin34π·cos625π·tan45π的值是（ ）A ．－43B ．43C ．－43D ．43 4、)2cos()2sin(21++-ππ （ ） A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25、已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为 （ ） A ．332 B ． －2 C ． 332- D ． 332± 6、如果A 为锐角，21)sin(-=+A π，那么=-)cos(A π （ ） A 、21-B 、21C 、23-D 、23 7、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____．8、已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sinf 的值为 。

任意角的三角函数练习题一．选择题1.已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ）A ．－55 B ．－ 5 C ．552 D ．252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（ ）A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．cot α3.已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ）A ．25B ．－25C ．0D ．与a 的取值有关4.α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=42x ，则sin α的值为 （ ）A ．410 B ．46 C ．42D ．－410 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是 （ ） A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈ B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈6.若θ是第三象限角，且02cos <θ，则2θ是 （）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7.已知sin α=54，且α是第二象限角，那么tan α的值为 （ ）A ．34- B ．43- C ．43 D ．34 8.已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二．填空题1.已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 ．2.角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α+cos α=______．3.已知角θ的终边在直线y =33x 上，则sin θ= ；θtan = ．4.设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ． 三．解答题 1.求43π角的正弦.余弦和正切值．2.若角α的终边落在直线y x 815=上，求ααtan sec log 2-．3.(1)已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值； （2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；（3）已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零），求2sinα+cosα的值．参考答案一． 选择题ABAA BBAB 二．填空题 1.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+-Z k k k ,2222|ππαππα； 2.12=m 时，1317cos sin =+αα；12-=m 时，137cos sin -=+αα． 3.21sin ±=θ；33tan =θ． 4.4745πθπ<<．三．解答题1.2243sin=π；2243cos -=π；143tan -=π． 2.（1）取)15,8(1P ，则17=r ，2815817log tan sec log 22-=-=-αα； （2）取)15,8(2--P ，则17=r ，2815817log tan sec log 22=--=-αα． 3.（1）∵3,4-==y x ，∴5=r ，于是：5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα．（2）∵a y a x 3,4-==，∴a r 5=，于是：当0>a 时，5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα 当0<a 时，5254532cos sin 2=-+⋅=+αα （3）若角α终边过点()3,4P ，则254532cos sin 2=+⋅=+αα；若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2=-+⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4--P ，则254532cos sin 2-=-+-⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα．。

《任意角的三角函数、三角函数诱导公式》知识梳理与同步练习一、任意角的三角函数【知识梳理】1.设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x xα=≠．2.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．3.三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．4.同角三角函数的基本关系式：（平方关系式）()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（商数关系式）()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．【典型例题】1.三角函数的定义：例1、已知sinαtanα≥0，则α的取值集合为．例2、角α的终边上有一点P（m，5），且)0(,13cos ≠=m m α，则sinα+cosα=______．例3、已知角θ的终边在直线y =33x 上，则sin θ=；θtan =例4、设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是．例5、求43π角的正弦、余弦和正切值．例6、已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；2.三角函数线例1、sin（－1770°）·cos1500°＋cos（－690°）·sin780°＋tan405°=．例2、化简：ππππ37sin 3149cos 21613tan 3325cos 342222222m n n m --+=．例3、求下列三角函数值：（1）sin（－1080°）（2）tan 13π3（3）cos780°3、三角函数的基本关系一、选择题1、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A =23,则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．不等腰直角三角形D．等腰直角三角形2、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为A．51+B．51-C．51±D．51--3、已知sinαcosα=18,则cosα－sinα的值等于（）A．±34B．±23C．23D．－234、已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，则=θθcos sin （）A．32B．32-C．31D．31-二、填空题1、若15tan =α，则=αcos ；=αsin ．2、若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________．3、已知2cos sin cos sin =-+αααα，则ααcos sin 的值为．4、已知524cos ,53sin +-=+-=m m m m θθ，则m=_________；=αtan ．三、解答题1、已知51sin =α，求ααtan ,cos 的值．2、已知22cos sin =+αα，求αα22cos 1sin 1+的值．3、已知51cos sin =+ββ，且πβ<<0．（1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；（2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．二、三角函数诱导公式：【基础知识】1、三角函数诱导公式（2k πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.2、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正余弦互换，符号看象限．3、诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；（2）转化为锐角三角函数。

任意角的三角函数练习题(一)三角函数的定义1．已知角α的终边过点P，则sin α=______，cos α=_________，tan α=________ 2． 角α的终边经过点P ，则（1） ；tan α=________3．若角的终边过点(-3，-2)，则sin α=______，cos α=_________，tan α=________4．已知角的终边过P (-3，4)，则sin α=______，cos α=_________，tan α=________ 5．角的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α=____，cos α=____，tan α=________6．已知P (-3，y )为角的终边上一点，且sin ＝1313，那么y 的值等于________． 7.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42x ，则sin α的值为________． 8．点P 是角α终边上的一点，且 ，则b 的值是________．9．已知角的终边经过点P (x ，-3)(x >0)．且cos ＝2x ，则sin=_______，cos________，tan________． 10 是角θ终边上的一点，且。

11．已知锐角终边上一点P (1，3)，则的弧度数为________．12．已知角的终边落在直线y ＝3x 上，则sin ＝________．13． 已知角α的终边落在第一和第三象限的角平分线上，求α的3个三角函数值。

14. 已知角α的终边落在第二和第四象限的角平分线上，求α的3个三角函数值。

（二）三角函数值符号的判断.1.求值。

（1）sin00=_______， cos00=_______, tan00=_______.(2) sin1800=_______， cos1800=_______, tan1800=_______.(3)sin2700=_______， cos2700=_______, tan2700=_______.(4) sin900=_______， cos900=_______, tan900=_______.2． 填入不等号：（1） ；（2） tan3200_______0；（3） ；（5） 。

任意角的三角函数练习题一．选择题1.已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－55 B ．－ 5 C ．552 D ．252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A ．sin α B ．cos α C ．tan α D ．cot α3.已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ） A ．25 B ．－25 C ．0 D ．与a 的取值有关4.α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=42x ，则sin α的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是（）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈ 6.若θ是第三象限角，且02cos<θ，则2θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7.已知sin α=54，且α是第二象限角，那么tan α的值为 （）A ．34- B ．43- C ．43D ．34 8.已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二．填空题1.已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 ．2.角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α+cos α=______． 3.已知角θ的终边在直线y =33x 上，则sin θ= ；θtan = ． 4.设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．三．解答题1.求43π角的正弦.余弦和正切值．2.若角α的终边落在直线y x 815=上，求ααtan sec log 2-．3.(1)已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；（2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；（3）已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sin α+cos α的值．参考答案一． 选择题ABAA BBAB 二．填空题1.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+-Z k k k ,2222|ππαππα； 2.12=m 时，1317cos sin =+αα；12-=m 时，137cos sin -=+αα． 3.21sin ±=θ；33tan =θ．4.4745πθπ<<．三．解答题1.2243sin=π；2243cos -=π；143tan -=π． 2.（1）取)15,8(1P ，则17=r ，2815817log tan sec log 22-=-=-αα； （2）取)15,8(2--P ，则17=r ，2815817log tan sec log 22=--=-αα． 3.（1）∵3,4-==y x ，∴5=r ，于是：5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα． （2）∵a y a x 3,4-==，∴a r 5=，于是：当0>a 时，5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα 当0<a 时，5254532cos sin 2=-+⋅=+αα（3）若角α终边过点()3,4P ，则254532cos sin 2=+⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2=-+⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4--P ，则254532cos sin 2-=-+-⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα．。

任意角的三角函数一、选择题1．以下四个命题中，正确的是( )A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等B ．｛｜＝k ＋6π，k ∈Z ｝≠｛｜＝-k ＋6π，k ∈Z ｝ C ．若是第二象限的角，则sin2＜0 D ．第四象限的角可表示为｛｜2k ＋23＜＜2k ，k ∈Z ｝2．若角的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin tan ＞0 B ．cos tan ＞0 C ．sin cos ＞0 D ．sin cot ＞03．角的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin 的值是( ) A ．22 B ．-22 C ．±22 D ．14.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42x ，则sin α的值为（ ）A ．410B ．46C ．42D ．－4105.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一、二象限角或终边在y 轴上6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7. 已知集合E=｛θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tanθ＜si nθ｝，那么E∩F 是区间( )二、填空题1．已知角的终边落在直线y ＝3x 上，则sin ＝________． 2．已知P (-3，y )为角的终边上一点，且sin ＝1313，那么y 的值等于________． 3．已知锐角终边上一点P (1，3)，则的弧度数为________．4．（1）sin49πtan 37π_________ 5.三、解答题1．已知角的终边过P (-3，4)，求的三角函数值2．已知角的终边经过点P (x ，-3)(x >0)．且cos ＝2x，求sin 、cos 、tan 的值．3.(1)已知角α终边上一点P(3k ，－4k)(k ＜0)，求sinα，cosα，tanα 的值；4. 一个扇形的周长为l，求扇形的半径、圆心角各取何值时，此扇形的面积最大．9 .化简或求值：三角函数的诱导公式一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的.）1、与－463°终边相同的角可表示为（ ） A ．k·360°＋436°（k ∈Z ） B ．k·360°＋103°（k ∈Z ） C ．k·360°＋257°（k ∈Z ）D ．k·360°－257°（k ∈Z ）2、下列四个命题中可能成立的一个是（ ） A 、21cos 21sin ==αα且 B 、1cos 0sin -==αα且 C 、1cos 1tan -==αα且 D 、α是第二象限时，αααcos tan sia -= 3、若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（ ） A 、34- B 、43 C 、43± D 、34±4、若2cos sin =+αα，则ααcot tan +等于（ ）A 、1B 、2C 、-1D 、-2 1、 ︒︒+450sin 300tan 的值为（ ） A 、31+ B 、31- C 、31-- D 、31+-5、若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，则下列等式成立的是（ ） A 、A C B sin )sin(=+ B 、A C B cos )cos(=+ C 、A C B tan )tan(=+ D 、A C B cot )cot(=+6、)2cos()2sin(21++-ππ等于 （ ）A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos27、sinαcosα＝81，且4π＜α＜2π，则cosα－sinα的值为（ ） A ．23B ．23-C ．43 D ．43-8、在△ABC 中，若最大角的正弦值是22，则△ABC 必是（ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形9、下列不等式中，不成立的是（ ）A 、︒︒>140sin 130sin B 、︒︒>140cos 130cos C 、︒︒>140tan 130tan D 、︒︒>140cot 130cot10、已知函数2cos)(xx f =，则下列等式成立的是（ ） A 、)()2(x f x f =-π B 、)()2(x f x f =+π C 、)()(x f x f -=- D 、)()(x f x f =-11、若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=++m mx x 的两个实根，则m 值为（ ）A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,34mB 、51-=mC 、51±=mD 、51+=m 12、已知()sin()cos()4f x a x b x παπβ=++++（,,,a b αβ为非零实数），(2011)5f =则(2012)f =（ ）A ．1B ．3C ．5D ．不能确定二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13、化简=+-+βαβαβα222222cos cos sin sin sin sin .14、若0cos 3sin =+αα，则ααααsin 3cos 2sin 2cos -+的值为 .15、=-︒)945cos( .16、=⋅⋅⋅⋅⋅⋅︒︒︒︒89tan 3tan 2tan 1tan .三、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤） 17、求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18、 化简：)(cos )tan()2tan()cos()(sin 32πααππααππα--⋅+--+⋅+.19、已知21)sin(=+απ，求απααπcos )tan()2sin(⋅-+-的值.20、已知54sin -=α. 求ααtan cos 和的值 .21、（10分）已知α是第三角限的角，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+22、已知1)sin(=+βα，求证 0tan )2tan(=++ββα。

任意角的三角函数知识讲解一、角的概念1.定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．其中顶点，始边，终边称为角的三要素．掌握角的概念应注意角的三要素：顶点，始边，终边．角可以是任意大小的．2.范围：R3.正角、负角、零角①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．4.终边相同的角:设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{}360,Z S k k ββα==+⋅︒∈．集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0k =时，对应元素为α．5.象限角:能用集合的形式表示终边落在四个象限以及坐标轴上的角，如：终边落在第一象限的角：或终边落在轴上的角：或．6.角的运算:掌握基本的角的运算如“”等．二、弧度制1.定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．|22,2k k k Z παπαπ⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭{|36090360,}k k k Z αα︒<<︒+︒∈y |,2k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭{|90180,}k k Z αα=︒+︒∈,2,,2,22παπαπααα±±±2.弧度与角度的换算:，10.01745180radπ︒=≈︒，． 3.弧长与扇形面积公式:①弧长公式：②扇形面积公式：三、三角函数的概念1.定义:在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为(0)r r >，那1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin yr α=； 2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； 3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y xα=； 4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x yα=； 2.符号:1）正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； 2）余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； 3）正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）．可以用右图表示：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值．3.特殊角的三角函数：对于一些常见的、特殊角的三角函数值需要熟练记忆，如180radπ︒=18015730=5718'rad π︒⎛⎫=≈︒︒ ⎪⎝⎭．l r α=21122S lr r α==4.三角函数线1）单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆．设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴交点分别为(1,0)A，(1,0)A'-，而与y轴的交点分别为(0,1)B，(0,1)B'-．由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cos,sin)αα，即(c o s,s i n)Pαα．其中cos OMα=，sin ONα=．这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T（或T'），则tan ATα=（或AT'）．2）有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向．具有方向的线段叫做有向线段．规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负．3）三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(,)x y，α)过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T ．我们就分别称有向线段MP ，OM ，AT 为正弦线、余弦线、正切线．5.同角三角函数基本关系式平方关系：22sin cos 1x x +=，22sec tan 1x x -=，22csc cot 1x x -= 商数关系：sin tan cos x x x =，cos cot sin xx x= 倒数关系：111sec ,csc ,tan cos cos cot x x x x x x===典型例题一．选择题（共2小题）1．（2015•上海）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A． B． C．D．2．（2017春•莲湖区校级期中）若0＜x＜，则2x与3sin x的大小关系（）A．2x＞3sin x B．2x＜3sin xC．2x=3sin x D．与x的取值有关二．填空题（共3小题）3．（2017•咸阳二模）已知tanα=2，则=．4．（2017春•林芝地区期末）已知，则=．5．（2017春•长安区校级期中）已知tanα=﹣2，则2sinαcosα﹣cos2α的值是．三．解答题（共8小题）6．（2016春•台中市校级期中）已知角θ的终边经过点P（，m）（m≠0）且sinθ=试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．7．（2012秋•延川县校级月考）角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合．（1）若角α终边经过点（3，﹣4）．求角α的正弦函数值、余弦函数值．（2）若角α的终边经过点（4，y），且，求y的值．8．（2017秋•黄陵县校级期末）已知tanα=﹣，求的值．9．（2017春•长安区校级月考）已知，求y=sinβ﹣cos2α的最值．10．（2016春•咸阳校级期中）f（x）=2cos2x﹣2acosx﹣1﹣2a的最小值为g（a），a∈R（1）求g（a）；（2）若g（a）=，求a及此时f（x）的最大值．。